8.2 向量的数量积（第1课时）同步练习-2025-2026学年高一下学期数学沪教版必修第二册

**基本信息** 高中数学向量的数量积（第1课时）同步练，以“概念理解-运算应用-综合探究”分层设计，通过基础题巩固投影向量核心概念，中档题深化几何情境应用，提升题培养综合推理能力，适配新授课知识内化需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|投影向量/长定义、投影数量计算|填空题1直接考查投影向量定义，题2-4结合模与夹角计算投影数量，强化符号意识| |中档|概念辨析与几何简单应用|选择题14以正三角形中心为背景，辨析投影向量方向，培养几何直观| |提升|综合几何情境与推理|解答题21在菱形中综合求投影数量，需结合菱形性质推理，发展推理能力|

8.2 向量的数量积（第1课时） 一、填空题 1．投影向量，投影长作向量，，两个向量的夹角为，过点作于点，则 ，其中与共线．      我们把__________称为在方向上的投影向量，投影向量的长度__________称为投影长． 2．已知，且，则在方向上的投影数量为___________． 3．已知，则向量在向量上的投影的数量是_______． 4．已知等边三角形ABC边长为4，则在方向上的数量投影为______． 5．已知平面向量，满足：，在上的投影向量为，则______. 6．已知向量为单位向量，且，则向量在向量方向上的投影向量是______ ． 7．已知为一单位向量，与之间的夹角是120°，而在方向上的投影向量为，则________． 8．在中，若在方向上的数量投影为正，则的形状是__________. 9．已知线段AB的长度为，与直线l的正方向的夹角为120°，则在l上的射影的长度为______. 10．已知，且，则在上的投影向量为__________． 11．若与方向相同的单位向量为，与的夹角为，则向量在向量上的投影向量为.当时，投影向量为____；当时，投影向量为_____；当时，投影向量为______. 12．已知为不共线的平面向量，，若，则在方向上的投影向量为______． 二、选择题 13．若、为单位向量，则下面各式中正确的是（    ） A．在方向上的数量投影为1 B． C． D． 14．已知为正三角形的中心，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 15．已知是的外心，且满足，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 16．已知平面向量和满足在上的投影向量为，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 三、解答题 17．在等腰三角形中，，，D为BC的中点． （1）求在方向上的投影； （2）求在方向上的投影． 18．已知，，，求在方向上的数量投影. 19．如图所示，，，写出向量、在方向上的数量投影． 20．在中，已知，，，求： （1）在方向上的投影； （2）在方向上的投影. 21．如图，在菱形中，其对角线．求： （1）； （2）在上的投影的数量； （3）在上的投影的数量． 8.2 向量的数量积（第1课时） 一、填空题 1．投影向量，投影长作向量，，两个向量的夹角为，过点作于点，则 ，其中与共线．      我们把__________称为在方向上的投影向量，投影向量的长度__________称为投影长． 【答案】 2．已知，且，则在方向上的投影数量为___________． 【答案】在方向上的投影数量为. 3．已知，则向量在向量上的投影的数量是_______． 【答案】在上的投影的数量为． 4．已知等边三角形ABC边长为4，则在方向上的数量投影为______． 【答案】在方向上的数量投影为. 5．已知平面向量，满足：，在上的投影向量为，则______. 【答案】，解得， 6．已知向量为单位向量，且，则向量在向量方向上的投影向量是______ ． 【答案】向量在向量方向上的投影向量是． 7．已知为一单位向量，与之间的夹角是120°，而在方向上的投影向量为，则________． 【答案】，所以，所以4. 8．在中，若在方向上的数量投影为正，则的形状是__________. 【答案】因为在方向上的数量投影为正，即与的夹角为锐角，所以为钝角，所以三角形为钝角三角形； 9．已知线段AB的长度为，与直线l的正方向的夹角为120°，则在l上的射影的长度为______. 【答案】设与直线l的正方向一致的单位向量为， 于是得在直线l的正方向的投影向量为，则， 所以在l上的射影的长度为. 10．已知，且，则在上的投影向量为__________． 【答案】在上的投影向量为， 11．若与方向相同的单位向量为，与的夹角为，则向量在向量上的投影向量为.当时，投影向量为____；当时，投影向量为_____；当时，投影向量为______. 【答案】 12．已知为不共线的平面向量，，若，则在方向上的投影向量为______． 【答案】由题意知平面向量满足，， 则，即， 可得，整理得， 所以在方向上的投影向量为. 二、选择题 13．若、为单位向量，则下面各式中正确的是（    ） A．在方向上的数量投影为1 B． C． D． 【答案】B 14．已知为正三角形的中心，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】取中点，连接，因为为正三角形的中心，故，则向量在向量上的投影向量为 故选：C 15．已知是的外心，且满足，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】设的中点为，则，所以， 所以外心与中点重合，故为直角三角形. 设，则，， ，设为方向上的单位向量，则 在上的投影向量为. 故选：C. 16．已知平面向量和满足在上的投影向量为，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】向量和满足，由在上的投影向量为， 得，所以在上的投影向量为. 故选：D 三、解答题 17．在等腰三角形中，，，D为BC的中点． （1）求在方向上的投影； （2）求在方向上的投影． 【答案（1）如图，连接AD．    由图可知与的夹角为的补角， 所以与的夹角为， 所以在方向上的投影为． （2）因为为等腰三角形，且为BC的中点，所以． 又，， 所以． 因为与的夹角为， 所以在方向上的投影为． 18．已知，，，求在方向上的数量投影. 【答案】∵，∴，∴. 故在方向上的数量投影为： 19．如图所示，，，写出向量、在方向上的数量投影． 【答案】在方向上的数量投影为：， 在方向上的数量投影为：． 20．在中，已知，，，求： （1）在方向上的投影； （2）在方向上的投影. 【答案】（1）因为，，， 所以是直角三角形 所以，所以在方向上的投影为 （2）在方向上的投影为 21．如图，在菱形中，其对角线．求： （1）； （2）在上的投影的数量； （3）在上的投影的数量． 【答案】（1）根据菱形的性质得， 为直角三角形，且． ． （2）在上的投影的数量为． （3）在上的投影的数量为 ． 学科网（北京）股份有限公司 $