2026年吉林长春市九台区九台第三十一中学、第三中学中考考前预热数学试卷

九年级学业大练习数学试卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1.若(1)×口的运第结果为正数，则口内的数字可以是 A A. 3 B.0 C.3 D. 5 2.如图，数轴上表示V3的点所在的线段是乙 A.AO B.OB C.BC CD 子日具支}→ 第2题) 第3划) 3.某个立体图形的表面展开图如图所示，这个立体图形是 公 A长方体 B.三棱柱 C.三棱锥 D.圆锥 4.下列运算正确的是 C A.m3 -m2 =m B.m6÷m3=m2 0.m2.m=m3 D.(m2)3=m5 5.如图，在坡角为a的山坡上有A、B两棵树，两树间的坡面距离AB=6米，则这 两棵树的竖直距离BC可表示为合 A.6sina米 B米 C 6co3a米 D.6米 cOso 95巴 第6数 6.如图，一束平行于主光轴0F的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光 心0的光线相交于点P,点F为焦点.若∠1=165°∠2=20°，则∠3的大小为B A.30° B.35 C.40 D:45 7.如图所示的是某蓄水池横藏面的示意图，现将满池的水匀速全部放出.能刻画 第1页共8氏 鳌水池中水的高度h(米)与放水时间t(时)的函数关系的图象大致是 h(米 (时) 《时) t(时) 时) (第7邀1 B D 8,如图，在平面直角坐标系中，点0是坐标原点，直线y=x+1与x轴交于点 A,与函数y=(x<0O)的图象交于点P,过点P作PC上x轴于点C,且P心2，则 k的值为 A.2 B.-2 C.4 D.-4 20 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 因式分解：a2-4=上A2-2 10.关于x的一元二次方程x2-4x+m=0有实数根，则m的取值范围是☑<4 11.正九边形的一个外角的大小为40度。 12.《九章算术》中记载了一道数学问题，其译文为：有人合伙购物，每人出8 钱，多余3钱：每人出7钱，还缺4钱，问合伙人数是多少？为解决此问题，设 合伙大数为x人，根据题意，可列方程为8)一之三1)十丝 13:如图，将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE.若AC=4,BC=7,则△ACD的 周长为 A(B) D D 第13想) 14.如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,过点C作CE⊥AB,交AB的延 长线于点E,连接E0并延长，交AD于点F,EF与BC相交于点G,若∠ABC=120 ，则下列四个结论：0∠代48=30@an∠B0G=号@cG:F=2:3: @S△OBG:S四边形ABOF=l:Z.其中结论正确的是①⑦②， 第2夏共8页 、尸乐 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15.(6分)先化简，再求值：(at2)(a-2)+a1-a小其中a=5+4. =02-4+0-a 0-L 当0=压十4d 顶大-JF+4-4 16.(6分)一个不透明的口袋中有三个小球，每个小球上分别标有一个汉字 “向”、“未”、“来”，小球除汉字外其余均相同.小明从口袋中随机摸出一个 小球，记下汉字后放回并搅匀：再从口袋中随机摸出一个小球记下汉字、用面树状 图（或列表）的方法，求小明两次摸出小球上的汉字不相同的概率 P你0= 来白永来回末果 17.(6分)图①、图②、均是4X4的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个 小正方形的顶点称为格点.点A、B均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定 的网格中按下列要求作△ABC,点C在格点上， (1)在图①中，作面积为2等腰△ABC: (2)在图②中，作面积为的直角△ABC 图① 图② 第3页共8页 18.(?分)小明的爸爸要把一份文件通过快递公司送到与本市相距900千米的城 市，甲公司的运输速度是乙公司的1.5倍，选用甲公司送此文件会比乙公司早 到5小时，求乙公司的运输速度 解设元公可这疼b习从7廷在为xk以 风 19.(7分)如图，在△ABC中，AD三角形的角平分线， 浅 (I)用圆规和无刻度的直尺作AD的垂直平分线MN,交AB于点E、交AC于点F, 连结DE、DF:(保留作图痕迹) (2)求证：四边形AEDF是菱形. ·AD开分∠Ba( L2∠3 入∠1=∠2 、MN老鱼平分D AFIDC D 八A飞三飞D 网服行 网010fh平行23 ∠1∠3 能1死 配：pU、四Ah 20.(7分)某校为了解八年级学生视力情况，在全校560名八年级学生中随机抽取 了20名学生，并对他们进行右眼视力检查，结果如下： 4.84.0 4.94.2 5.0 4.3 4.94.7 4.54.4 4.1 4.8 4.2 5.0 4.94.5 4.8 4.4 4.946 整理上面的数据得到如下表格： 右跟视力4.04.1424.34.4454.6 4.7.4.8 4,9 5.0 人数（人） 1 1 2 1 1 n 2 根据以上信息，回答下列问题： (1)表中m的值为 2一n的值为 以 (2)这组数据的中位数是生{S: 年级学生右眼视力在48及4.8以上的学生人数 ”下20 第4面牌展面 21.(⑧分)图①是王老师常用的一款单肩包，其肩带由单层部分、双层部分和调节 扣构成通过调节扣（调节扣所占长度忽略不计）加长或缩短双层部分的长度，使肩 带的长度（单层部分与双层部分长度的和）加长或缩短，小红为研究王老师这款单肩 包单层部分的长度y(厘米)与双层部分的长度x(厘米)之间的关系，进行了4次测 量，下表是测量得到的数据， 10 20 30 40 y 130 1H0 90 70 (1)根据表中×与y的对应值， 在图②给定的平面直角坐标系中描出相应的点： (2)观察(1)中描出各点的分布规律，判断y是x的一从函数，并求这个函数 的表达式： 4二2X十/切 (3)按照王老师的身高和习惯，肩带的长度调为138厘米为最佳肩带长，此时单层 部分的长度为公飞厘米 州厘米)本 140 30--↓-- 1 120-4-4-上- 110外-- 100外-t--1--r- 双层部分 单烬部分 0- 80-1-- 05--十-h 调节扣 可10203040.厘米) 将① 图② 22.(9分) 【问题提出】在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，t∠EAF=45,连结 EF.求证：EF-BE+DF 【问题探究】如图①，小亮采用了“截长补短”的方法，在CB的延长线上截取DG =BE,连结AG,通过证明三角形全等，进而得证， 下面是小亮的部分证明过程： 证明：在CD的延长线上截取DG=BE,连结AG ,四边形ABCD是正方形， ∴AB=AD,∠B=∠AC∠AG-90X.∠A&-∠SAg 又，BE=DG, 2B4D-98°，4E0F=4° ,∴，△ABE≌△ADG 、∠BAEt∠泊F=4! ∴.AE=AG 、上P06+∠F-4 证明过程缺失 ·∠6AF=4I ∴.EF=BE+DF. ∠2AF=∠GF 请补全缺失的证明过程. NA下将F 、△479△6F 无f67- 【方法总结】常用“截长补短”的方法证明线段间的数量关系.八G了=b广十7G 【问题解决】如图②，在【问题探究】的基础上，连结C,点M在花正吗过点M 作MN⊥AE,垂足为点P,交CB延长线于点N且MN=AE.若DF=5,CM=4v2,则线 段F的长为 【问题拓展】如图③，⊙0是△ABC的外接圆，∠ABC=90°，AB=BC,点P在⊙0上， 且点P与点B在AC的两侧，连结PA、B、P心若C2PA则片的值为卫 图， 4法 闪8 23.(I0分)如图，在ABCD中，AD=5,AB=9,sinA=专过点D作DB⊥AB于点E, 点P是边AB上的动点（点P不与点E重合），连结DP,过点D做.DQL DP,过点C 作CQ⊥DQ于点Q,连结PQ. )线段D呢的长为4： (2)当A、D、Q三点共线时，求线段P的长： 琴=5X等 (③)连结PC,若PQ经过边CD的中点，求证：四边形DPCQ是矩形：△DDP空△DCQ ④连结AQ,线段AQ的最大值是凸_，此时线段P的长是华 Q D D E pi (备用图》 (2)6 1 4+台MQ台4M 0D 24.(12分)在平面直角坐标系中，点0是坐标原点，抛物线y=-x2+bx+3(6 是常数)经过点(1，O),与y轴交于点C.点A、B是该抛物线上不重合的两点，横坐 标分别为m、-m,作点A关于点(1,0)的对称点D. (1)求该抛物线对应的函数表达式：二一犭242犭十3 (2)求证：点D与点B的横坐标之差为定值： (3)当点A在第一象限时，连结CB、BD,以CB、BD为邻边作口CBDE ①当此抛物线在口CBDE内部的点的纵坐标y随x的增大而减小时，求m的取值范 围：3人m←2 ②当点A落在oCB呢的边上时，直接写出n的值M二坦m=L )A(m-m22m+3》 D(2-m,m2-2m3 B(-m,-m22m3）》 DB=2-M-(m}=2 八D马品核存喜h2九台区第三十一中学第三中学考前预热 数学试卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1.若(-1)×口的运算结果为正数，则口内的数字可以是 A.-3 B.0 C.3 D.5 2.如图，数轴上表示√3的点所在的线段是 A.AO B.OB C.BC p. CD :第2题 第当巡： 3.某个立体图形的表面展开图如图所示，这个立体图形是 A.长方体 B.三棱柱 C.三棱锥 D.圆锥 4.下列运算正确的是 A.m3-m2 =m B.m6÷m3=m2 C.m2.m m3 D.(m2)3=m5 5.如图，在坡角为α的山坡上有A、B两棵树，两树间的坡面距离AB=6米，则这 两棵树的竖直距离BC可表示为 A.6sina米 B.6米 C. 6cosa米 D.6米 sin a cosa 第6艦 6.如图，一束平行于主光轴OF的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光 心0的光线相交于点P,点F为焦点.若∠1=165°，∠2=202则∠3的大小为 A.30 B.35° C.40° D.45° 7.如图所示的是某髻、也横截面的示意图，现将满池的水匀速全部放出.能刻画 蓄水池中水的高度h(米)与放水时间t(时)的函数关系的图象大致是 h(米M h(米 h(米 h(米年 1(时) t(时) 1(时) 1(时) (第7题： A 0 8.如图，在平面直角坐标系中，点0是坐标原点，直线y=x+1与x轴交于点 A,与函数y=x<0)的图象交于点P,过点P作PCLx轴于点C,且PC=2,则 k的值为 A.2 B.-2 C.4 D.-4 A 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9.因式分解：a2-4= 10.关于x的一元二次方程x2-4x+m=0有实数根，则m的取值范围是 11.正九边形的一个外角的大小为 度 12.《九章算术》中记载了一道数学问题，其译文为：有人合伙购物，每人出8 钱，多余3钱；每人出7钱，还缺4钱，问合伙人数是多少？为解决此问题，设 合伙人数为x人，根据题意，可列方程为 13.如图，将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE.若AC=4,BC=7,则△ACD的 周长为 A(B) 0 D 第13题 14.如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,过点C作CEL AB,交AB的延 长线于点E,连接E0并延长，交AD于点F,EF与BC相交于点G,若∠ABC=120° ,则下列四个结论：⑦∠CAB=30,②tan∠B0G=9,®cE:即=2：3； ④S△OBG:S四边形AB0F=1:7.其中结论正确的是 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15.(6分)先化简，再求值：(a+2)(a-2)+a(1-a),其中a=V5+4. 16.(6分)一个不透明的口袋中有三个小球，每个小球上分别标有一个汉字 “向”、“未”、“来”，小球除汉字外其余均相同.小明从口袋中随机摸出一个 小球，记下汉字后放回并搅匀；再从口袋中随机摸出一个小球记下汉字.用画树状 图（或列表）的方法，求小明两次摸出小球上的汉字不相同的概率， 17.(6分)图①、图②、均是4×4的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个 小正方形的顶点称为格点.点A、B均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定 的网格中按下列要求作△ABC,点C在格点上， (1)在图①中，作面积为2等腰△ABC; (2)在图②中，作面积为的直角△ABC. A1' 1 B 图① 图② 18.(7分)小明的爸爸要把一份文件通过快递公司送到与本市相距900千米的城 市，甲公司的运输速度是乙公司的1.5倍，选用甲公司送此文件会比乙公司早 到5小时，求乙公司的运输速度. 19.(7分)如图，在△ABC中，AD三角形的角平分线 (1)用圆规和无刻度的直尺作AD的垂直平分线MN,交AB于点E、交AC于点F, 连结DE、DF;(保留作图痕迹) (2)求证：四边形AEDF是菱形 20.(7分)某校为了解八年级学生视力情况，在全校560名八年级学生中随机抽取 了20名学生，并对他们进行右眼视力检查，结果如下： 4.8 4.0 4.9 4.2 5.0 4.3 4.9 4.7 4.5 4.4 4.1 4.8 4.2 5.0 4.9 4.5 4.8 4.4 4.9 4.6 整理上面的数据得到如下表格： 右眼视力 4.04.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 .4.8 4.9 5.0 人数（人） 2 2 3 n 2 根据以上信息，回答下列问题： (1)表中m的值为 n的值为 (2)这组数据的中位数是 (3)估计该校八年级学生右眼视力在4.8及4.8以上的学生人数 21.(8分)图①是王老师常用的一款单肩包，其肩带由单层部分、双层部分和调节 扣构成.通过调节扣（调节扣所占长度忽略不计）加长或缩短双层部分的长度，使肩 带的长度（单层部分与双层部分长度的和）加长或缩短.小红为研究王老师这款单肩 包单层部分的长度y(厘米)与双层部分的长度x(厘米)之间的关系，进行了4次测 量，下表是测量得到的数据： X 10 20 30 40 y 130 110 90 70 (1)根据表中x与y的对应值，在图②给定的平面直角坐标系中描出相应的点： (2)观察(1)中描出各点的分布规律，.判断y是x的 函数，并求这个函数 的表达式： (3)按照王老师的身高和习惯，肩带的长度调为138厘米为最佳肩带长，此时单层 部分的长度为 厘米 t厘米)来 140 130f- 120 110 100 双层部分 90 单层部分 80 70-1 调节扣 010203040x(厘米) 图① 图② 22.(9分) 【问题提出】在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且∠EA=45°，连结 EF.求证：EF=BE+DF. 【问题探究】如图①，小亮采用了“截长补短”的方法，在CD的延长线上截取DG =RE,连结AG,通过证明三角形全等，进而得证， 下面是小亮的部分证明过程： 证明：在CD的延长线上截取DG=BE,连结AG. ·四边形ABCD是正方形， .AB=AD, ∠B=∠ADC=∠ADG=90° 又BE=DG, ∴.△ABE≌△ADG ∴.AE=AG. 证明过程缺失 ∴.EF=BE+DF. 请补全缺失的证明过程 【方法总结】常用“截长补短”的方法证明线段间的数量关系 【问题解决】如图②，在【问题探究】的基础上，连结AC,点M在AC上，过点M 作MNLAE,垂足为点P,交CB延长线于点N且MN=AE.若DF=5,CM=4VZ,则线 段EF的长为 【问题拓展】如图③，⊙0是△ABC的外接圆，∠ABC-90°，AB=BC,点P在⊙0上， 且点P与点B在AC的两侧，连结PA、PB、PC.若PC-2PA则的值为 G D B E 图西 4: 图3 23.(10分)如图，在口ABCD中，AD=5,AB=9,sinA=.过点D作DE⊥AB于点E, 点P是边AB上的动点（点P不与点E重合），连结DP,过点D做.DQLDP,过点C 作CQ⊥DQ于点Q,连结PQ. (1)线段DE的长为 (2)当A、D、Q三点共线时，求线段AP的长： (3)连结PC,若PQ经过边CD的中点.求证：四边形DPCQ是矩形； (4)连结AQ,线段AQ的最大值是 ,此时线段AP的长是 0 B B (备用图) 24.(12分)在平面直角坐标系中，点0是坐标原点，抛物线y=-x2+bx+3(b 是常数)经过点(-1,0)，与y轴交于点C.点A、B是该抛物线上不重合的两点，横坐 标分别为m、-m,作点A关于点(1,0)的对称点D. (1)求该抛物线对应的函数表达式： (2)求证：点D与点B的横坐标之差为定值： (3)当点A在第一象限时，连结CB、BD,以CB、BD为邻边作口CBDE. ①当此抛物线在口CBDE内部的点的纵坐标y随x的增大而减小时，求m的取值范 围； ②当点A落在口CBDE的边上时，直接写出m的值，