四川省2025-2026学年七年级数学下学期期末综合复习测试（北师大版下册）

**基本信息** 七年级数学下册期末综合复习卷，以原创情境（如健康骑行几何模型、月季花粉直径）和分层设计（基础运算到综合探究）为特色，融合几何直观、数据意识与推理能力，适配期末复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/40|轴对称、幂运算、概率、平行线性质|结合声速与温度函数关系考变量认知| |填空题|5/20|科学记数法、全等三角形、频率估计概率|开放题（补充全等条件）培养创新意识| |解答题|10/90|数形结合（图形面积证恒等式）、行程问题图表分析、等边三角形综合探究|25题三问递进（求角度-证线段-判形状），考查推理能力与模型意识|

表格_20260612 七年级数学下学期期末综合复习测试（北师大版）命题双向细目表 题号 考查知识点 题型 分值 难度系数 难度层次 1 轴对称图形的定义 选择题 4 0.92 基础题 2 整式的运算（完全平方公式、积的乘方、单项式除法） 选择题 4 0.88 基础题 3 事件的分类、概率与频率的意义 选择题 4 0.85 基础题 4 垂直的定义、邻补角的性质、角的和差计算 选择题 4 0.88 基础题 5 变量之间的关系（自变量、因变量，表格数据分析） 选择题 4 0.85 基础题 6 角平分线的定义、平行线的性质、三角形外角的性质（原创题） 选择题 4 0.78 基础题 7 整式运算在图形面积中的应用（完全平方公式） 选择题 4 0.72 基础题 8 平行线的性质与判定（作辅助线） 选择题 4 0.65 中等题 9 线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质、三角形面积计算 选择题 4 0.55 中等题 10 三角形内角和定理、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、三角形面积比（多结论判断） 选择题 4 0.5 中等题 11 科学记数法还原为小数 填空题 4 0.92 基础题 12 平行线的判定（开放型，添加合适条件） 填空题 4 0.88 基础题 13 用频率估计概率、概率的应用 填空题 4 0.85 基础题 14 三角形中线的性质、三角形面积的比例关系 填空题 4 0.65 中等题 15 等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形面积的最值 填空题 4 0.45 拓展题 16 实数的运算（幂的运算、零指数幂、负整数指数幂）、整式的混合运算、平方差公式简便计算 解答题 9 0.82 基础题 17 轴对称图形的画法、线段垂直平分线的性质、最短路径问题 解答题 7 0.78 基础题 18 条形统计图与扇形统计图的综合应用、用样本估计总体 解答题 8 0.75 基础题 19 整式的化简求值、多项式乘多项式的展开与系数问题 解答题 8 0.72 基础题 20 尺规作图（作平行线）、平行线的性质与角的计算 解答题 8 0.7 基础题 21 三角形三边关系与绝对值化简、完全平方公式的非负性、等腰三角形的周长计算 解答题 8 0.65 中等题 22 变量之间的关系（图象分析）、行程问题中的相遇问题 解答题 9 0.58 中等题 23 平行线的判定与性质、角平分线的定义、三角形外角的性质 解答题 10 0.55 中等题 24 数形结合思想（完全平方公式的几何背景）、多项式乘多项式的几何意义、平方差公式的应用 解答题 11 0.5 中等题 25 等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的定义、动点线段关系探究（原创题） 解答题 12 0.38 拓展题 合计 150 0.68 基础题：83 分（55.3%） 中等题：53 分（35.3%） 拓展题：14 分（9.3%） 整体难度系数：0.68 测评时间：120 分钟 满分：150 分 $ 应用场景：期末 七年级数学下册期末单元复习卷 期末综合复习卷 考试总分：150 分 考试时间： 120 分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上，选择题请用2B铅笔填涂。 卷Ⅰ（选择题） 一、单选题（本题共计 10 小题 ，每题 4 分 ，共计40分 ）   1.下列图形中，是轴对称图形的是（       ） A. B. C. D.   2.下列计算正确的是（       ） A.＝ B.＝ C.＝ D.＝ 3.下列说法正确的是（       ） A.“手可摘星辰”是不可能事件 B.概率是随机的，与频率无关 C.抛掷一枚质地均匀的硬币次，正面朝上的必有次 D.小明做了次抛瓶盖试验，发现次盖口向上，由此他得出盖口向上的概率是 4.如图，，点在同一条直线上．若，则的度数为（       ） A. B. C. D. 5.某科研小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度之间的关系的一些数据（如下表）： 下列说法中错误的是（       ） A.当空气温度为时，内声音可以传播 B.温度每升高，声速增加 C.在这个变化过程中，自变量是温度，因变量是声速 D.温度越高，声速越快 6.（原创）如图，， 分别是的一条内角平分线与一条外角平分线，AE∥BC，若，则的度数为（   ）  A. B. C.40° D. 7.如图1，现有边长为和的正方形纸片各一张，长和宽分别为a，b的长方形纸片一张，其中．把三张纸片按图2所示的方式放入另一张边长头的正方形纸片内，已知图2中阴影部分的面积满足，则a，b满足的关系式为（       ） A. B. C. D. 8.健康骑行越来越受到老百姓的喜欢，某品牌的自行车的平面示意图如图，自行车的前轴与后轴所在直线与地面平行，车架与地面平行，自行车的中轴处与座位处在一条直线上，若， ，则的度数是(        ) A. B. C. D. 9.如图，在锐角中，，的垂直平分线，相交于点，连接，，，延长交于点，于点，交于点．若，，则的长为 （       ） A. B. C. D. 10.如图，在中，，平分交于点平分交于点交于点．则下列说法正确的个数为（       ） ①；②，③若，则；④；⑤． A.个 B.个 C.个 D.个 卷Ⅱ（非选择题） 二、填空题（本题共计 5 小题 ，每题 4 分 ，共计20分 ）   11.晋中市在市城区公园、游园、街道两旁栽种了余万株月季，致力于打造“月季之城”．常见月季花粉的平均直径约为，将数据用小数可以表示为_______________． 12.如图，补充一个条件，使成立，这个条件可以是________． 13.已知不透明的袋中装有红色、黄色、蓝色的乒乓球共600个，某学习小组做“用频率估计概率”的摸球试验：从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，统计了“摸出球为红色”出现的频率，绘制了如图的折线统计图，那么估计袋中红色球的数目约为________个． 14.如图，在中，已知为的中线，过点A作分别交、于点F、E，连接，若，，，则________． 15.如图，和均为等腰直角三角形，，，连接、，那么以、、的长度为三边长的三角形的面积的最大值等于________． 三、 解答题（本题共计 10 小题 ，共计90分 ）   16.(9分) 计算： （1）； （2）； （3）．  17.(7分) 如图，在正方形网格中，的顶点，，均在格点上． （1）画出关于直线对称的（点，，分别为点，，的对应点）； （2）若为直线上一点，则_______；（填“”“”或“”） （3）在直线上找一点，使得最小．（不写作法，保留作图痕迹） 18.(8分) 重庆一中是“全国最美校园书屋”，在“尊重自由，激发自觉”的办学理念下，大力推动书香校园建设．为了统计初一年级同学每周的阅读时长，某数学兴趣小组随机抽取了部分学生进行问卷调查、并绘制了如下不完整的统计图．（数据共分为组：组：，组：，组：，组，其中表示每周阅读时长，单位为小时） 已知在所调查的学生中随机选取一人，所选学生每周阅读时间不低于小时的概率为，请根据图中信息回答下列问题： （1）参与此次调查的学生有________人，请补全条形统计图； （2）________．扇形统计图中组对应的扇形的圆心角度数为________； （3）若初一年级学生共有人，根据本次调查结果，估计初一年级学生中每周阅读时间不少于小时的共有多少人？  19.(8分) 解答题： （1）先化简，再求值：，其中，； （2）若关于的代数式，展开后的常数项为，且不含项，求的值. 20.(8分) 如图，，点为上的点，． （1）尺规作图：过点作交于点（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母）． （2）在（1）的条件下，若，求的度数． 21.(8分) 已知的三边长为，且都是整数． （1）化简：； （2）若．且为等腰的边长，求的周长． 22.(9分) 小南一家到某度假村度假．小南和妈妈坐车先出发，爸爸自驾车沿着相同的道路后出发．爸爸到达度假村后，发现忘了东西在家里，于是立即返回家里取，取到东西后又马上驾车前往度假村取东西的时间忽略不计，如下图是他们离家的距离与小南离家的时间的关系图．请根据图回答下列问题： （1）图中的自变量是_________，因变量是_________． （2）小南出发______小时后爸爸驾车出发，爸爸驾车的平均速度为______， （3）图中点表示____________________________． （4）小南从家到度假村的路途中，当他与爸爸相遇时，离家的距离约是多少千米？ 23.(10分) 如图，点D，E分别在的边，上，，点F在线段上，且 （1）试说明：； （2）若平分，，试说明：． 24.(11分) 图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，对于一个图形，通过不同方法计算图形的面积，就可以得到一个数学恒等式． （1）观察图1、图2，用等式表示图1和图2的面积运算为___________；（用含的式子表示） （2）嘉琪想用这三种纸片拼出一个面积为的大长方形，需要图2中的三种纸片各多少张？ （3）如图3，将两个正方形如图摆放，点与点重合，点分别在的延长线上，若它们边长之和为16，阴影部分面积为60，求这两个正方形的面积之差． 25.（12分）已知：是等边三角形，点，分别在边，上，，交于点，． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，为的角平分线，交于点，求证：； (3)在（2）的条件下，如图3，延长至点，使，连接、，试判断的形状并说明理由． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 应用场景：期末 七年级数学下册期末单元复习卷 期末综合复习卷 考试总分：150 分 考试时间： 120 分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上，选择题请用2B铅笔填涂。 卷Ⅰ（选择题） 一、单选题（本题共计 10 小题 ，每题 4 分 ，共计40分 ）   1.下列图形中，是轴对称图形的是（       ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 本题主要考查了轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．根据轴对称图形的定义逐一判断即可． 【解答】 解：、图形不是轴对称图形，故不符合题意； 、图形不是轴对称图形，故不符合题意； 、图形不是轴对称图形，故不符合题意； 、图形是轴对称图形，故符合题意； 故选：． 2.下列计算正确的是（       ） A.＝ B.＝ C.＝ D.＝ 【答案】 C 【解析】 根据各个选项中的式子，可以计算出正确的结果，从而可以解答本题． 【解答】 ＝，故选项错误＝，故选项正确（2）＝，故选项错误（3）故选：． 3.下列说法正确的是（       ） A.“手可摘星辰”是不可能事件 B.概率是随机的，与频率无关 C.抛掷一枚质地均匀的硬币次，正面朝上的必有次 D.小明做了次抛瓶盖试验，发现次盖口向上，由此他得出盖口向上的概率是 【答案】 A 【解析】 此题主要考查了事件的分类，概率与频率，概率的意义，掌握知识点的应用是解题的关键． 根据事件的分类，概率与频率，概率的意义逐项排除即可． 【解答】 解：、“手可摘星辰”是不可能事件，原选项说法正确，符合题意； 、概率不是随机的，与频率无关，原选项说法错误，不符合题意； 、抛掷一枚质地均匀的硬币次，正面朝上的未必有次，原选项说法错误，不符合题意； 、小明做了次抛瓶盖试验，发现次盖口向上，由此他得出盖口向上的概率不一定是，原选项说法错误，不符合题意； 故选：． 4.如图，点在直线AB上，过作C．若，则的度数为（       ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 先根据垂直的定义求出 ，再利用角的和差求出 的度数，最后根据邻补角的定义求出 的度数. 【解答】 解：， ， ， ， 点B,O,D在同一条直线上， ， . 某科研小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度之间的关系的一些数据（如下表）： 下列说法中错误的是（       ） A.当空气温度为时，内声音可以传播 B.温度每升高，声速增加 C.在这个变化过程中，自变量是温度，因变量是声速 D.温度越高，声速越快 【答案】 A 【解析】 根据自变量、因变量的含义，以及声音在空气中传播的速度与空气温度关系逐一判断即可． 【解答】 解：、当空气温度为时，声速为，内声音可以传播， 选项错误； 、，，， ，， 当温度每升高，声速增加， 选项正确； 、在这个变化中，自变量是温度，因变量是声速， 选项正确； 、根据数据表，可得温度越高，声速越快， 选项正确． 故此题答案为． 6.（原创）如图，， 分别是的一条内角平分线与一条外角平分线，AE∥BC，若，则的度数为（   ）  A. B. C.40° D. 【答案】 C 【解析】 由角平分线的定义、平行线性质及三角形外角的性质求解. 【解答】 解： E平分 ， ， 是 的外角， ， ， 是 的外角， ， ， ， 故选：C. 7.如图1，现有边长为和的正方形纸片各一张，长和宽分别为a，b的长方形纸片一张，其中．把三张纸片按图2所示的方式放入另一张边长头的正方形纸片内，已知图2中阴影部分的面积满足，则a，b满足的关系式为（       ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 本题考查了整式运算在图形面积中的应用，由图形得 ，即可求解；能根据图形表示出 是解题的关键． 【解答】 解：由题意得 整理得：； 故选：B. 8.健康骑行越来越受到老百姓的喜欢，某品牌的自行车的平面示意图如图，自行车的前轴与后轴所在直线与地面平行，车架与地面平行，自行车的中轴处与座位处在一条直线上，若， ，则的度数是(        ) A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 利用AE//BD和AB CD得到同旁内角互补，过点E作EF AB得出 ，结合 得出 ，即可求解. 【解答】 解： +： 即 如图，过点E作EF AB 9.如图，在锐角中，，的垂直平分线，相交于点，连接，，，延长交于点，于点，交于点．若，，则的长为 （       ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 由线段垂直平分线的性质得出，，，，则可得出，，，设，，由三角形外角的定义和性质可得出，，由三角形内角和定理得出，证明，则得出，过点作与点，由等腰三角形三线合一的性质得出，再得出，即可得出，，再结合已知条件可得出答案． 【解答】 解：，垂直平分，， ，，，， ，，， 设，， 是的一个外角， ， ， ， ， ， 在中，， 即， 则， 在中，， ， 又， ， ， 过点作与点， 则， ，， ， 又，， ， ，， ， ， ， ， 故选：  10.如图，在中，，平分交于点平分交于点交于点．则下列说法正确的个数为（       ） ①；②，③若，则；④；⑤． A.个 B.个 C.个 D.个 【答案】 C 【解析】 ①根据三角形内角和定理可得可得，然后根据平分平分，可得，，再根据三角形内角和定理即可进行判断； ②当是的中线时，，进而可以进行判断； ③根据，证明为等边三角形，根据三线合一的性质进而可以进行判断； ④作的平分线交于点，可得，证明，，可得，进而可以判断； ⑤过作于点，由④知，为的角平分线，可得，所以可得，根据，进而可以进行判断． 【解答】 解：①在中，， ， 平分平分， ，， ，故①正确； ②当是的中线时，，故②错误； ③， 为的中线， 为的角平分线， ， 为等边三角形， ，故③正确； ④如图，作的平分线交于点， 由①得， ， ， ， ， ， ， ，故④正确； ⑤过作，于点， 由④知，为的角平分线， ， ， ， ，故⑤正确． 综上所述：正确的有①③④⑤，共个， 故选：． 卷Ⅱ（非选择题） 二、填空题（本题共计 5 小题 ，每题 4 分 ，共计20分 ）   11.晋中市在市城区公园、游园、街道两旁栽种了余万株月季，致力于打造“月季之城”．常见月季花粉的平均直径约为，将数据用小数可以表示为_______________． 【答案】 【解析】 本题考查了科学记数法转化为小数，解题的关键在于掌握科学记数法还原规则，即把的小数点向左移动位． 将的小数点向左移动位即可． 【解答】 解：， 故答案为：． 12.如图，补充一个条件，使成立，这个条件可以是___（或 或 ）_____． 【答案】 （或 或 ） 【解析】 本题考查了平行线的判定方法，熟练掌握平行线的判定方法是解答本题的关键．平行线的判定方法：①同位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行；④平行于同一直线的两条直线互相平行；⑤同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行． 根据平行线的判定方法作答即可． 【解答】 解： ， ， ， ， ， ， 故答案为： （或 或 ） 13.已知不透明的袋中装有红色、黄色、蓝色的乒乓球共600个，某学习小组做“用频率估计概率”的摸球试验：从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，统计了“摸出球为红色”出现的频率，绘制了如图的折线统计图，那么估计袋中红色球的数目约为____198____个． 【答案】 198 【解析】 本题考查了由频率估计概率,根据概率求数量. 由题意知, 摸到红球的频率逐渐趋于 0.33 , 即摸到红球的概率为 0.33 , 根据 , 计算求解即可. 【解答】 解：由题意知，摸到红球的频率逐渐稳定于0.33， 摸到红球的概率为0.33, 故答案为：198. 14.如图，在中，已知为的中线，过点A作分别交、于点F、E，连接，若，，，则____84____． 【答案】 84 【解析】 根据BD为ΔABC的中线，可得，，通过题中条件可求得，根据BE:EC=3:1，可得，，设，则，，故，根据，列方程，即可解答. 【解答】 解：∵ BD为ΔABC的中线， ，， ， ， ， ，， 设，则， ， ， 根据，列方程， 解得， 。 故答案为：84. 15.如图，和均为等腰直角三角形，，，连接、，那么以、、的长度为三边长的三角形的面积的最大值等于____6____． 【答案】 6 【解析】 延长CO到点E，使 ，连接BE，作BH OE于点H，可得 ，进而得出AD=BE，从而得到 是以AD、BC、2OC的长度为三边长，然后根据当BO CE时， 最大求解即可. 【解答】 解：延长CO到点E，使 ，连接BE，作BH OE于点H， ， 当BO CE时， 最大为： 以AD、BC、2OC的长度为三边长的三角形的面 当BO CE时， 最大为： ， 以AD、BC、2OC的长度为三边长的三角形的面积的最大值等于6. 三、解答题（本题共计 10 小题 ，共计90分 ）   16.计算： （1）； （2）； （3）． 【答案】 -5 【解析】 此题暂无解析 【解答】 （1）解： （2）解： （3）解： 17.如图，在正方形网格中，的顶点，，均在格点上． （1）画出关于直线对称的（点，，分别为点，，的对应点）； （2）若为直线上一点，则___=____；（填“”“”或“”） （3）在直线上找一点，使得最小．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】 见解析 见解析 【解析】 （1）根据对称点与对称轴是垂直等距原理画图即可； （2）根据线段垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等，解答即可； （3）根据点关于的对称点，连接，交于点，点即为所求． 本题考查了坐标的对称问题，线段和最小作图计算，熟练掌握对称的原理，正确作图是解题的关键． 【解答】 （1）解：轴对称的原理：对称点连线垂直轴，对称点与轴等距，画图如下： 则即为所求． （2）解：根据线段垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等， 得, 故答案为：． （3）解：根据点关于的对称点，连接，交于点， 则点即为所求． 18.重庆一中是“全国最美校园书屋”，在“尊重自由，激发自觉”的办学理念下，大力推动书香校园建设．为了统计初一年级同学每周的阅读时长，某数学兴趣小组随机抽取了部分学生进行问卷调查、并绘制了如下不完整的统计图．（数据共分为组：组：，组：，组：，组，其中表示每周阅读时长，单位为小时） 已知在所调查的学生中随机选取一人，所选学生每周阅读时间不低于小时的概率为，请根据图中信息回答下列问题： （1）参与此次调查的学生有___400_____人，请补全条形统计图； （2）____20____．扇形统计图中组对应的扇形的圆心角度数为___108_____； （3）若初一年级学生共有人，根据本次调查结果，估计初一年级学生中每周阅读时间不少于小时的共有多少人？ 【答案】 ；见解析 ； 【解析】 （1）根据在所调查的学生中随机选取一人，所选学生每周阅读时间不低于小时的概率为，求出参与此次调查的学生数即可；求出组的人数，然后补全条形统计图即可； （2）根据总人数和组人数，然后求出即可；用乘组所占的百分比，求出圆心角度数即可； （3）用样本估计总体即可． 【解答】 （1）解：在所调查的学生中随机选取一人，所选学生每周阅读时间不低于小时的概率为，学生每周阅读时间不低于小时的人数为人， 参与此次调查的学生有： （人）， 组学生的人数为： （人）， 补全条形统计图，如图所示： （2）解：， ， 扇形统计图中组对应的扇形的圆心角度数为： ； （3）解：（人）， 答：估计初一年级学生中每周阅读时间不少于小时的共有人． 19.解答题： （1）先化简，再求值：，其中，； （2）若关于的代数式，展开后的常数项为，且不含项，求的值. 【答案】 解：     . 当，时，原式.    . ∵ 关于的代数式展开后的常数项为，且不含项， ∴  ，. ∴ ，， ∴  . 【解析】 （1）利用整式乘法法则求解； （2）利用整式乘除法法则及多项式相关概念求解. 【解答】 （1）解：     . 当，时，原式. （2）    . ∵ 关于的代数式展开后的常数项为，且不含项， ∴  ，. ∴ ，， ∴  . 20.如图，，点为上的点，． （1）尺规作图：过点作交于点（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母）． （2）在（1）的条件下，若，求的度数． 【答案】 画图见解析 【解析】 （1）利用尺规作图作出 ，即可作出 FG//BC； （2）利用平行线的性质求得 ，得到 ，再利用平行线的性质求解即可. 【解答】 （1）解：如图，FG即为所作. （2）解： 21.已知的三边长为，且都是整数． （1）化简：； （2）若．且为等腰的边长，求的周长． 【答案】 a+b+c 17 【解析】 （1）根据三角形的三边关系可得a+c>b，进而化简绝对值即可求解； （2）根据完全平方公式以及非负数的性质求得a,b的值，根据等腰三角形的三边关系求得c的值，进而即可求解. 【解答】 （1）解：的三边长为a,b,c， , $\therefore |a+b+c|-|b-c-a|+|a-b+c| =a+b+c-[-(b-c-a)]+a-b+c =a+b+c+(b-c-a)+a-b+c =a+b+c+b-c-a+a-b+c =a+b+c; （2） 即， , , 解得：a=3,b=7, 设第三条边长为c， , 即, 为等腰 的边长， , 的周长为a+b+c=7+7+3=17. 22.小南一家到某度假村度假．小南和妈妈坐车先出发，爸爸自驾车沿着相同的道路后出发．爸爸到达度假村后，发现忘了东西在家里，于是立即返回家里取，取到东西后又马上驾车前往度假村取东西的时间忽略不计，如下图是他们离家的距离与小南离家的时间的关系图．请根据图回答下列问题： （1）图中的自变量是_________，因变量是_________． （2）小南出发__1____小时后爸爸驾车出发，爸爸驾车的平均速度为____60__， （3）图中点表示_______小南出发小时后，离度假村的距离为________． （4）小南从家到度假村的路途中，当他与爸爸相遇时，离家的距离约是多少千米？ 【答案】 ， ， 小南出发小时后，离度假村的距离为 千米或千米 【解析】 （1）根据自变量与因变量的定义求解即可得； （2）根据函数图象可得小南出发小时后爸爸驾车出发，根据爸爸驾车小时行驶了即可求出速度； （3）根据点的坐标即可得； （4）设小南从家到度假村的路途中，当他与爸爸相遇时，他已出发了小时，先求出小南坐车的速度，再结合函数图象，建立方程，解方程即可得． 【解答】 （1）解：因为他们离家的距离随着小南离家的时间变化而变化， 所以图中的自变量是，因变量是， 故答案为：，． （2）解：由函数图象可知，小南出发小时后爸爸驾车出发， 爸爸驾车的平均速度为， 故答案为：， （3）解：由函数图象可知，点的坐标为， 因为由函数图象可知，小南家离度假村的距离为， 所以图中点表示小南和妈妈出发小时后，离度假村的距离为， 故答案为：小南和妈妈出发小时后，离度假村的距离为． （4）解：设小南从家到度假村的路途中，当他与爸爸相遇时，他已出发了小时， 由函数图象可知，小南坐车的平均速度为， 当时，则，解得， 此时小南离家的距离约是（千米）； 当时，则，解得， 此时小南离家的距离约是； 答：小南从家到度假村的路途中，当他与爸爸相遇时，离家的距离约是千米或千米． 23.如图，点D，E分别在的边，上，，点F在线段上，且 （1）求证：； （2）若平分，，求证：． 【答案】 见解析 见解析 【解析】 （1）首先根据平行线的性质可判定 ，再结合已知条件可得出 ，据此再根据平行线的判定可得出结论； （2）首先由 (1) 得到 ，结合角平分线的定义可得到 ，再由 即可得出 ，结合 即可得此 ，最后再由三角形的外角定理即可得出结论. 【解答】 （1）证明： ， ， ， ， . （2）证明：由 (1) 知： ， 平分 ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， . 24.图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，对于一个图形，通过不同方法计算图形的面积，就可以得到一个数学恒等式． （1）观察图1、图2，用等式表示图1和图2的面积运算为___________；（用含的式子表示） （2）嘉琪想用这三种纸片拼出一个面积为的大长方形，需要图2中的三种纸片各多少张？ （3）如图3，将两个正方形如图摆放，点与点重合，点分别在的延长线上，若它们边长之和为16，阴影部分面积为60，求这两个正方形的面积之差． 【答案】 需要图2中的 种纸片2张，B种纸片2张，C种纸片5张 64 【解析】 （1）根据等积法，列出等式即可； （2）将 利用多项式乘以多项式的法则展开，即可得出结果； （3）设 ， ，根据题意易得 ， ，再根据完全平方公式和平方差公式进行求解即可. 【解答】 （1）解：由题意，大正方形的面积等于两个小正方形的面积加上两个长方形的面积，故 （2）解： 由图2可知， 的面积为 ，B的面积为 ，C的面积为ab， 故需要图2中的 种纸片2张， 种纸片2张， 种纸片5张； （3）解：设 ，不妨设 ，将图形补成边长为 的大正方形，如图： 由题意， ， 两个正方形的面积之差为 25. （原创）在△ABC 中，AC=BC，点 D 是直线 AB 上的一个动点（不与点 A、B 重合），连接 AD，以AD为边作∠DAE，使∠BAC=∠DAE，且AD=AE，连接 DE、CE。 （1）如图 1，当AD⊥BC时： ∠AEC= 90 °； ②如图 2，当点DE⊥BC时，若∠CED=38°，∠B= 26 ° 。 （2） 如图3，当点D在线段BC上运动时，试说明AC平分∠BCE。 （3）当点 D 在直线 AB 上运动时，探究线段BD 与CE之间的数量关系，并直说明你的结论。（图4、图5选择一种证明即可。） 【答案】 120° 【解析】 （1）根据等边三角形的性质先证明 即可； (2) 根据（1）结合角平分线的定义说明. (3) 根据（2）说明即可. 【解答】 （1） 解：①∠BAC=∠DAE， ∠ （SAS）. 故答案为：90°. ②解：∠BAC=∠DAE， ∠ （SAS）. . 即∠B=26° （2）解：∠BAC=∠DAE， ∠ （SAS）. . （3）BD=CE.理由如下： 如图4，∠BAC=∠DAE， ∠ （SAS）. 如图5，∠BAC=∠DAE， ∠ （SAS）. 学科网（北京）股份有限公司 $