28．1　图形的旋转 课件 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件围绕图形的旋转展开，系统讲解旋转概念、三要素、性质、作图及图案设计，通过“逐点导讲练”流程，以等边三角形旋转实例引入概念，对比平移、轴对称深化性质，搭建连贯的知识学习支架。 其亮点在于结合几何直观与推理能力，如例1通过等边三角形旋转分析中心和角度，例2利用旋转性质推导等腰直角三角形角度，例5设计图案培养创新意识。采用讲练结合与课堂小结，帮助学生形成空间观念，教师可直接应用实例提升教学效率。

28．1　图形的旋转 学习目标 课时讲解 1 课时流程 2 旋转及其相关概念 旋转的性质 旋转作图 利用旋转设计图案 逐点 导讲练 课堂小结 作业提升 知1－讲 感悟新知 知识点 旋转及其相关概念 1 1. 旋转：把一个平面图形绕着平面内某一点O 转动一个角度，叫作图形的旋转，点O 叫作旋转中心，转动的角叫作旋转角. 如果图形上的点P经过旋转后变为点P′，那么这两个点叫作这个旋转的对应点. 特别提醒 1.图形的旋转是指图形上的每一个点都绕点O沿相同的方向旋转相等的角度. 2.确定旋转角的关键是找到旋转中心，旋转前后对应点与旋转中心所连线段的夹角就是旋转角.旋转角一般小于360°. 3.在描述图形旋转过程中，三要素缺一不可. 知1－讲 感悟新知 感悟新知 2. 旋转的“三要素”：旋转中心、旋转方向和旋转角 . (1)在旋转过程中，旋转中心可以在图形的内部，也可以在图形的外部，还可以是图形上的某点； (2)旋转方向有顺时针和逆时针两种. 知1－讲 感悟新知 3. 旋转前后的对应元素 知1－讲 感悟新知 知1－讲 图形举例 如图，△ ABC 绕点 O 逆时针旋转90° 得到△ A′ B′ C′ ，在这一旋转中， 点 O 是旋转中心，∠ AOA′， ∠ BOB′，∠ COC′ 都是旋转角 对应元素 对应点 点 A， B， C 分别与点 A′ ， B′ ， C′ 是对应点 对应角 ∠ ABC，∠ ACB，∠ BAC 分别与∠ A′ B′ C′ ， ∠ A′ C′ B′ ，∠ B′ A′ C′ 是对应角 对应边 线段AB， BC， CA分别与线段A′ B′ ， B′ C′ ， C′ A′是对应边 只有一个 有多个 知1－练 感悟新知 如图 28.1－1， A， B， C 三点共线，△ ACD 和△BCE 都是等边三角形，△ ACE经过旋转后到达△DCB 的位置 . (1)旋转中心是哪一点？ (2)旋转角是多少度？ 例1 思路导引： 知1－练 感悟新知 知1－练 感悟新知 解：∵点 C 是在△ ACE 旋转过程中不动的点， ∴点 C 是旋转中心 . (1) 旋转中心是哪一点？ 两个三角形在旋转过程中不动的点是旋转中心. 知1－练 感悟新知 解：顺时针方向. (2)旋转方向是什么？ 知1－练 感悟新知 解：△ ACE 旋转后到达△ DCB 的位置， AC 绕点 C 旋转到 DC， AC 转过的角即∠ ACD 就是旋转角 . ∵△ ACD 是等边三角形， ∴∠ ACD=60°，即旋转角是 60° . (3)旋转角是多少度？ 两个三角形的对应边所夹的角即为旋转角. 知1－练 感悟新知 1-1.如图，四边形ABCD，EFGC都是正方形，点D，C，G在同一条直线上，连接DE，BG，△ BCG旋转后到达△ DCE的位置. 知1－练 感悟新知 (1)旋转中心是哪一点？ (2)旋转方向是什么？ (3)旋转角是多少度？ 解：旋转中心是点C. 逆时针方向. 旋转角是90°. 感悟新知 知2－讲 知识点 旋转的性质 2 1. 旋转的性质 示意图 性质 旋转前、 后的图形全等 对应点到旋转中心的距离相等 对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角 △ ABC ≌ △ A′B′C′ OA=OA′ ， OB=OB′ ， OC=OC′ ， OP=OP′ ∠ AOA′ =∠ BOB′ = ∠ COC′=∠ POP′ 旋转只改变图形的位置 指任意一点的对应点 感悟新知 知2－讲 2. 旋转与平移、轴对称的异同点 变换 关系 旋转 平移 轴对称 不 同 点 运动方式 绕某一点转动 沿某一方向移动 沿一条直线翻折 对应点、对应线段得情况 连接各组对应点 的线段平行(或 在同一条直线上) 且相等 对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段所成的角相等，都等于旋转角 对应点所连的线段被对称轴垂直 平分 感悟新知 知2－讲 不 同 点 变换条件 旋转中心、旋转方向和旋转角 平移方向和平移 距离 对称轴 相同点 (1)都是在平面内进行的图形变换； (2)都只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小，即变换前、后两个图形全等； (3)都是一个已知图形变换后得到另一个图形 续表 知2－讲 感悟新知 特别提醒 1. 旋转是图形的一种全等变换，解题时一般转化为三角形全等来解决 . 2. 在旋转过程中，只有旋转中心不动，它是任意两对对应点所连线段的垂直平分线的交点 . 感悟新知 知2－练 如图28.1-2， 已知BC是等腰直角三角形ABC的斜边， D 是△ABC内一点， 连接AD， BD.若将△ABD绕点A逆时针旋转到△ACD′的位置， 则∠ADD′的度数是( ) A.25° B.30° C.35° D.45° 例2 感悟新知 知2－练 思路导引： 知2－练 感悟新知 解：由旋转的性质可知，AD和AD′是对应边，∠DAD′与∠BAC 都是旋转角， ∴AD=AD′，∠DAD′= ∠BAC. ∵△ABC是等腰直角三角形，BC是斜边， ∴∠BAC=90°. ∴∠DAD′=90°. 又AD=AD′， ∴△DAD′是等腰直角三角形. ∴∠ADD′= ∠AD′D= (180°- ∠DAD′)=45°. 答案：D 知2－练 感悟新知 技巧点拨 在一个旋转图形中，若含有等腰直角三角形，特别是当其直角顶点是旋转中心时，一般可利用等腰直角三角形中的特殊角(比如45°，90°)求得旋转角. 知2－练 感悟新知 2-1. 如图，△ ABC 中，AB=BC=2， ∠ CBA=120 °，将△ ABC 绕点A 顺时针旋转120 ° 得到△ ADE，点B，C的对应点分别为点D，E，连接CE，点D恰好落在线段CE 上，则CD的长为( ) A．2 B．4 C．3 D．6 B 感悟新知 知2－练 如图 28.1-3, 在由边长为 1 的小正方形组成的网格 中，将△ ABC绕点 P顺时针旋转 90°得到△ A′B′C′，则点 P的坐标是( ) A.(1， 1) B.(1， 2) C.(1， 3) D.(1， 4) 例3 知2－练 感悟新知 解题秘方：在作图时，尽量选择连线平行于坐标轴的对应点，这样能便捷地找到旋转中心 . 解： 确 定 对 应 点 A 与 A ′， C 与 C ′，连接 AA ′， CC ′，作 AA ′， CC ′ 的 垂 直 平分线，如图 28.1-3，两条垂直平分线的交点 P 即为旋转中心 . 答案： B 知2－练 感悟新知 3-1. 如 图 4× 4 的 正 方形网格中，其中一个三角形①绕某点旋转一定的角度，得到三角形②，则 A，B，C，D四个点中是其旋转中心的点是_________ . B 感悟新知 知3－讲 知识点 旋转作图 3 1.作图依据：图形上的每一点都绕旋转中心沿相同方向转动相同的角度；对应点到旋转中心的距离相等. 感悟新知 知3－讲 2. 旋转作图的一般步骤 (1)找：找出旋转中心、旋转方向、旋转角以及构成图形的 关键点； (2)连：将图形中的各关键点与旋转中心分别连接起来； (3)转：把连线绕旋转中心按旋转方向分别旋转相同的角度； (4)截：在旋转后的射线上截取与各连线分别相等的线段，得到各关键点的对应点； (5)作：根据原图形连接所得到的各对应点，作出要求的图形； (6) 写：写出结论. 如顶点 知3－讲 感悟新知 特别提醒 1. 画旋转后的图形，关键是根据旋转的性质作出对应点的位置. 2. 旋转的方向分顺时针和逆时针，若未指明，要分两种情况作图. 3. 旋转后的图形与原图形只是位置改变，形状和大小不改变. 知3－练 感悟新知 如图28.1-4，△ABC绕点C旋转后，顶点A旋转到了点A′ 处， 画出旋转后的三角形. 例4 知3－练 感悟新知 思路导引： 知3－练 感悟新知 解：如图28.1-4 所示. (1)连接CA′； (2)在BC的右侧，作∠BCD= ∠ACA′; (3)在射线CD上截取CB′=CB; (4)连接A′B′，则△A′B′C即为所求作的三角形. 确定旋转方向为顺时针 方向，∠ACA′为旋转角 知3－练 感悟新知 解题策略 在已知旋转中心的情况下，作旋转后的图形的关键是确定旋转方向和旋转角，当题目中没有直接给出旋转方向和旋转角时，旋转方向和旋转角通常根据一对对应点的位置确定. 知3－练 感悟新知 4-1. 如图，在△ ABC中，AB＝ 2，BC＝ 3.6， ∠ B＝ 60 ° ，将 △ ABC绕点 A 按顺时针旋转一定角度得到△ ADE，当 点 B 的 对 应 点 D 恰好落在 BC 边上时． (1)作出△ ADE(要求：尺规作图， 保留作图痕迹，不写作法)； 解：如图所示． 知3－练 感悟新知 (2)求 CD 的长． 解：由旋转的性质可得AD=AB. ∵∠B=60°，∴△ABD是等边三角形. ∴BD=AB=2.∵BC=3.6， ∴CD=BC-BD=3.6-2=1.6. 感悟新知 知4－讲 知识点 利用旋转设计图案 4 同一个图形，选择不同的旋转中心、不同的旋转角度旋转，会得到不同的图案.图28.1-5是一个图案，它可以看成是由基本图形(如左上角一个直角三角形)绕着图案的中心点O分别顺时针旋转90°，180°，270°之后得到的.在这一旋转过程中，旋转中心不变，旋转的角度依次增加90°，经过三次旋转，便得到了我们所看到的美丽的图案. 知4－讲 感悟新知 图示 感悟新知 知4－练 如图28.1-6所示的是某设计师在方格纸中设计 的图案的一部分，请你帮他完成余下的工作. (1)将图中的图案绕点 O 顺时针旋转 90°，连续旋转 3 次，请在方格纸中画出相关图形 . (2)你画出的图案绕点O 旋转多少度后可以与它自身重合？至少写出 3 个度数 . 例5 知4－练 感悟新知 解题秘方：在网格中利用旋转设计图案时，利用旋转中心、旋转角先找到关键点旋转后的位置，再顺次连接即可 . 本题中的基本图形由四个关键点确定，所以按作图步骤作图即可 . 知4－练 感悟新知 解：(1)如图 28.1-6. (2) 90° ，180° ，270°. (答案不唯一，只要是 90 ° 的正整数倍就行) . 知4－练 感悟新知 5-1.如图所示的图案，分别可以由哪个基本图形、经过怎样的旋转得到？ 知4－练 感悟新知 解：题图①中的图案是以图案的中心为旋转中心将基本图形 顺时针旋转120°二次得到的； 题图②中的图案是以图案的中心为旋转中心将基本图形 顺时针旋转72°四次得到的； 题图③中的图案是以图案的中心为旋转中心将基本图形 顺时针旋转60°五次得到的. 图形的旋转 图形的 旋转 旋转中心 旋转角 旋转方向 三要素 性质 作图 课堂小结 题型 利用旋转作图求点的坐标 1 [中考·宿迁] 如图 28.1-7，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标是(3， 2)，将线段 OA 绕点 O 顺时针旋转 90°，得到线段OA′，则点A′的对 应点的坐标是( ) A. (－3 ， 2) B. ( －2， 3) C. ( 3， －2) D. ( 2， －3) 例6 综合应用创新 解题秘方： 根据题意画出旋转后的图形，再结合全等三角形的判定与性质即可解决问题． 综合应用创新 解：如图28.1-7，根据题意画出旋转后的线段OA′，过点A作AB⊥ x 轴于点B，过点A′作A′C⊥ y 轴于点C，则∠A′CO= ∠ABO=90°. 由旋转的性质可知∠A′OA=90°，AO=A′O， ∴∠COA+ ∠A′OC=90°. ∵∠AOB+ ∠COA=90°，∴∠AOB= ∠A′OC. ∴△A′CO≌△ABO(AAS). ∴A′C=AB，OC=OB. ∵点A的坐标为(3，2)，∴AB=2，OB=3. ∴A′C=2，OC=3. ∴点A′的坐标为(-2，3) 答案： B 综合应用创新 解题策略 在平面直角坐标系中求旋转后图形上点的坐标，关键要把握三个转化： 1. 将 求 坐 标 转 化为求线段的长度； 2. 借助两条坐标轴的夹角为 90°，可将 150°， 135°， 120°的旋转角转化为 60°，45°， 30°的角； 3. 通过作坐标轴的垂线构造直角三角形来计算 . 综合应用创新 题型 利用旋转作图求角度 2 如图 28.1-8，等边三角形 ABC 内有一点 O，已知 OA=4， OB=3， OC=5，求∠ AOB 的度数 . 例7 综合应用创新 思路导引： 综合应用创新 解：如图 28.1-8，把 △ BOA绕 点B顺 时 针 旋 转 60 ° ， 得 到△ BPC，连接OP. 由旋 转的性质，得 BP=BO， PC=OA， ∠ AOB= ∠ CPB， ∠ OBP=60° . ∴△ OBP 为等边三角形 . ∴∠ OPB=60° ， OP=OB=3. ∵ PC=OA=4， ∴ OP 2+PC 2=3 2+4 2=25. 又 ∵ OC 2=5 2=25， ∴ OP 2+PC 2=OC 2. ∴∠ OPC=90° . ∴∠ CPB= ∠ OPB+ ∠ OPC=60°+90°=150° . ∴∠ AOB= ∠ CPB=150° . 综合应用创新 另解 如图28.1-9，将△AOB绕点A 逆时针旋转60°，得到△ AMC，连接OM.先证△ AMO 为等边三 角 形 , 得 ∠ AMO=60 °； 再 证 △ COM 为直 角 三 角 形， 得∠ OMC=90° . ∴∠ AMC=∠ AMO+∠ OMC=150° . ∴由旋转的性质得∠ AOB=∠ AMC=150°. 综合应用创新 题型 利用旋转作图探究线段之间的关系 3 如图 28.1-10， P 是正方形 ABCD 的边 CD 上一点， ∠ BAP的平分线交 BC 于点 Q. 求证： AP=DP+BQ. 例8 综合应用创新 思路导引： 综合应用创新 证 明： 如图 28.1-10，将△ ABQ 绕点 A 逆时针旋转 90° 得 到△ ADE. 由题易知∠ DAB= ∠ B= ∠ ADC=90° . 由旋转的性质可得∠ E=∠ AQB， DE=BQ， ∠ EAQ=90° ， ∠ ADE= ∠ B=90° . ∴ E， D， P 三点共线 . 综合应用创新 易知∠ PAQ= ∠ QAB， ∴ ∠ PAE= ∠ EAQ- ∠ PAQ=90 ° - ∠ QAB= ∠ AQB= ∠ E，∴ AP=PE=DP+DE=DP+BQ. 综合应用创新 技巧点拨 本题将△ ABQ 旋转到△ ADE 的位置，将线段DP+BQ 转化成一条线段PE，再证明PE=AP. 方法总结 旋转变换是一种基本的图形变换，它是将已知图形(或其中一部分)绕某一点旋转，构造出新的图形，可以等量转移图形的相关量，从而将一些分散的条件集中 . 综合应用创新 题型 利用旋转作图求线段和的最小值 3 [新考法 旋转构造法]如图28.1-11， 在菱形ABCD中， ∠ABC= 60°， AB=4， 连接BD， 点P是BD上的一个动点， 连接PA， PC， 则PA+PB+PC的最小值是______ 例8 综合应用创新 解题秘方：通过连接对角线和旋转构造全等三角形，从而进行线段的等量代换，这是解题的关键. 综合应用创新 解：如图28.1-11，将线段AP绕点A顺时针旋转60°，得到线段AP′，连接AC，DP′，PP′. 易得△APP′是等边三角形，∴AP=PP′. ∵四边形ABCD是菱形， ∴∠ABC= ∠ADC=60°，CD=AD=AB， ∴△ACD为等边三角形. ∴∠CAD=60°，DA=AC. ∴∠DAP′+ ∠P′AC=60°. ∵∠ PAP′= ∠P′AC+ ∠CAP=60°，∴∠DAP′= ∠CAP. 综合应用创新 在△DAP′和△CAP中， ∴△DAP′≌△CAP(SAS). ∴P′D=PC. ∴ PA+PB+PC=PP′+PB+P′D≥BD，即当点B，P′，P，D四点共线时，PA+PB+PC的值最小，此时最小值为BD的长度. 设BD，AC交于点O，则易得∠AOB=90°，AO= AC= AB=2，OB=OD， ∴BO= =2 ，∴BD=2BO=4 ． 答案： 4 综合应用创新 思路点拨 本题考查了旋转、三角形全等的判定及性质、菱形的性质以及等边三角形的性质.将AP 绕点A 顺时针旋转60°得AP′，证明△ DAP′和△ CAP 全等后找到对应的线段，PA+PB+PC 的最小值在点B，P′，P，D 四点共线时取得，即线段BD的长度即为所求. 综合应用创新 易错点 对旋转方式思考不全面而出错  如图 28.1-12，如果正方形 ABCD 旋转后能与正方形CDEF 重合，则在图形所在平面内，可以作为旋转中心的点的个数为( ) A.1 B. 2 C. 3 D. 4 例10 综合应用创新 62 错解： 以点D为旋转中心，顺时针旋转90°；以点C为旋转中心，逆时针旋转 90° . 故选 B. 正解： 以点D为旋转中心，顺时针旋转90°；以点C为旋转中心，逆时针旋转 90°；以 CD 的中点为旋转中心，顺时针或逆时针旋转180° . 答案： C 综合应用创新 诊误区： 确定旋转中心时，不能受到图形特征的影响，要从对应点的角度去分析.如本题A点可以与点C、点E、点 F 是对应点，所以旋转中心有3个. 综合应用创新 $