2025-2026学年沪教版（五四制）七年级数学下册期末提分卷

**基本信息** 沪教版五四制七年级数学期末提分卷，以都江堰放水节非遗文化为情境设计应用题，结合动态几何（旋转、动点）与新定义运算，考查抽象能力、推理意识和空间观念，实现基础巩固与创新应用的梯度提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|不等式性质、三角形三线、全等三角形|第2题以折纸情境辨析三线，第7题程序操作考查不等式应用| |填空题|6/18|等边三角形、平行线规律、新定义运算|第14题定义新法则，第16题动点最小值问题| |解答题|8/72|解不等式组、几何证明、应用题、动态几何|20题结合放水节文化，23题动态旋转探究垂直，24题等腰直角三角形综合提升推理能力|

2025-2026学年沪教版五四制七年级数学下册期末提分卷 1、 单选题(本大题共10小题.每小题3分.共计30分) 1．下列说法一定正确的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果那么 D．如果，那么 2．如图，下面是三位同学的折纸示意图，则AD依次是的（   ） A．中线、角平分线、高线 B．高线、中线、角平分线 C．角平分线、高线、中线 D．角平分线、中线、高线 3．将两个全等的三角形与按如图所示的位置摆放，其中，，则与互余的角的个数为（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．如图所示，在等腰中，，为边上的高线，，且交的延长线于点E．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 5．下列五个命题：①相等的角是对顶角；②内错角相等；③连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；④在同一平面内，对于直线，，，如果，，那么；⑤两条平行直线被第三条直线所截，一组同旁内角的平分线互相垂直．其中真命题有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．已知关于x，y的方程组，若，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．按照如下程序，输入的值并计算.规定从“输入一个数”到“判断结果是否大于70”为一次程序操作.若输入正整数，程序操作了两次停止，且所有符合条件的的最大值为，最小值为，则的值为（     ） A．23 B．15 C．12 D．10 8．如图，在中，，，是线段上一点（不与端点重合），且，则（   ） A． B．8 C．10 D．12 9．如图，点D、点E分别是的边上的点，连接并延长到F，使得，若，比的余角小，G为线段上一动点， H为上一点，且满足，为的平分线．下列结论∶①；②；③平分；④；⑤．其中结论正确的序号是（   ） A．①②③④⑤ B．①②③④ C．②③④ D．①⑤ 10．如图，，交于点，点是角平分线的交点，连接，，，连接交于点，，若，则（     ） A． B． C． D． 二、填空题(本大题共6小题.每小题3分.共计18分) 11．是等边三角形，是中线，延长到点，使．则的度数为______． 12．小可在纸上画了多条直线,…若,照此规律， 则与的位置关系为_________． 13．如图，的度数为_______°． 14．定义一种法则“”如下：，如：，若，则的值为____． 15．如图，和分别是的内角平分线和外角平分线，是的角平分线，是的角平分线，是的角平分线，是的角平分线，若，则为____． 16．如图，是等边三角形，是边上高，，点E是边的中点，点P是线段上的一个动点，则的最小值为_______． 三、解答题(本大题共8小题.每题9分.共计72分) 17．按要求完成以下问题 (1)解不等式：，并把它的解集在数轴上表示出来． (2)解不等式组，请按下列步骤完成解答． ①解不等式①，得______； ②解不等式②，得______； ③把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： ④原不等式组的解集为______． 18．如图，已知直线，，相交于点O，，平分，，求的度数． 19．已知的三边长分别为a，b，c． (1)若，，且c为整数，求周长的最大值． (2)化简：． 20．2026年都江堰放水节（国家级非物质文化遗产）盛大启幕，活动联动成都春假，引爆文旅消费热潮．某景区专营店售卖放水节纪念徽章和李冰治水主题书签两种文创产品，在传播传统文化的同时实现良好经营收益．已知购进2枚纪念徽章和3套主题书签，总进价为130元；购进4枚纪念徽章和1套主题书签，总进价为150元． (1)求每枚纪念徽章、每套主题书签的进价； (2)该店计划购进两种文创产品共50件，其中主题书签的数量不超过纪念徽章数量的2倍，且购进两种产品的总进价不超过1280元．求符合条件的进货方案有哪几种？ 21．如图，在中，，平分． (1)请仅用无刻度直尺和圆规在上找一点，使得，保留作图痕迹，并给出全等的证明过程． (2)若，，求的面积． 22．如图，点在线段上，，，，是的中点． (1)求证：； (2)若，，则的度数为________． 23.．如图1，已知直线，点是直线上两点，点在点左侧，点是直线上一点，连接，平分交于点． (1)若，则___________； (2)如图2，点是线段上一点，连接平分交于点．作交于点，点在线段上，且满足，当时，求证：； (3)如图3，若，点是射线上一点，射线以每秒的速度绕点逆时针转动，射线以每秒的速度绕点逆时针转动，当射线转至与射线重合时立即以相同速度绕点顺时针回转，若它们同时开始转动，设转动时间为秒，当射线回到出发时的位置时，射线，同时停止转动，则在转动过程中，当射线所在直线与射线所在直线互相垂直时，请直接写出所有符合条件的的值，并写出求解的值的其中一种情况的过程． 24．如图1，是以为直角的等腰直角三角形，射线是内部的一条射线，过点A作于点．过点C作于点F． (1)求证：； (2)如图2，现将图1中的射线逆时针旋转至的外部，过点A作于点E，过点B在射线的左侧作，且，连接交射线的反向延长线于点H．若，求的面积； (3)如图3，是以为直角的等腰直角三角形，点D为三角形内部一点，连接和，取的中点E，连接，作，连接与，若，求证：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年沪教版五四制七年级数学下册期末提分卷 1、 单选题(本大题共10小题.每小题3分.共计30分) 1．下列说法一定正确的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果那么 D．如果，那么 【答案】B 【详解】解：A、反例，满足，但，故A错误； B、∵，又∵， 根据不等式性质，不等式两边乘同一个正数，不等号方向不变，可得， 同理，，可得， ∴，故B正确； C、取反例，满足，但，故C错误； D、取反例，满足，但，故D错误． 2．如图，下面是三位同学的折纸示意图，则AD依次是的（   ） A．中线、角平分线、高线 B．高线、中线、角平分线 C．角平分线、高线、中线 D．角平分线、中线、高线 【答案】C 【分析】根据折叠的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：由图1得，， ∴是的角平分线； 由图2得，， ∵， ∴， ∴是的高线； 由图3得，， ∴是的中线； ∴依次是的角平分线、高线、中线． 3．将两个全等的三角形与按如图所示的位置摆放，其中，，则与互余的角的个数为（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据余角的定义，结合对应角相等进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴，即与互余， ∵， ∴与互余， ∵ ∴，即与互余， 综上，与互余的角有个． 4．如图所示，在等腰中，，为边上的高线，，且交的延长线于点E．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求解，，再利用平行线的性质求解即可． 【详解】解：在等腰中，，， ∴， ∵为边上的高线， ∴， ∵， ∴． 5．下列五个命题：①相等的角是对顶角；②内错角相等；③连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；④在同一平面内，对于直线，，，如果，，那么；⑤两条平行直线被第三条直线所截，一组同旁内角的平分线互相垂直．其中真命题有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了命题，逐一分析每个命题的真假性即可． 【详解】解：①相等的角不一定是对顶角，例如两直线平行产生的同位角相等，不是对顶角，故①是假命题； ②只有两条平行线被第三条直线所截，内错角才相等，命题未给出两直线平行的条件，故②是假命题； ③连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，故③是真命题； ④平面内平行于同一直线的两条直线互相平行，如果，，那么，故④是真命题； ⑤两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补，即和为，设这组同旁内角分别为和，则此时，它们的平分线为和，平分，平分，则两个半角的和为，根据三角形内角和定理，两条角平分线的夹角为，即两条平分线互相垂直，故⑤是真命题． 6．已知关于x，y的方程组，若，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先解含参数的二元一次方程组，得到关于的表达式，再根据题干条件列出不等式求解即可 【详解】解：， 由②得， 代入①得：， 化简得， 把代入，得：， ∵， ∴， 解得：． 7．按照如下程序，输入的值并计算.规定从“输入一个数”到“判断结果是否大于70”为一次程序操作.若输入正整数，程序操作了两次停止，且所有符合条件的的最大值为，最小值为，则的值为（     ） A．23 B．15 C．12 D．10 【答案】B 【分析】根据题意列不等式组求出的取值范围，进而得到和的值，再代入代数式计算即可求解． 【详解】解：由题意得：， 解得． ∵输入正整数，程序操作了两次停止，且所有符合条件的的最大值为，最小值为， ∴，， ∴． 8．如图，在中，，，是线段上一点（不与端点重合），且，则（   ） A． B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了外角的性质以及等腰三角形的判定与性质，熟练掌握这些知识点并作出辅助线是解题的关键． 延长至点，使，得到等腰三角形，再由外角的性质得到等腰三角形，由等腰三角形三线合一的性质得到即可求解． 【详解】解：如图所示，延长至点，使， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴是等腰三角形． ∵，， ∴， ∴， ∴． 9．如图，点D、点E分别是的边上的点，连接并延长到F，使得，若，比的余角小，G为线段上一动点， H为上一点，且满足，为的平分线．下列结论∶①；②；③平分；④；⑤．其中结论正确的序号是（   ） A．①②③④⑤ B．①②③④ C．②③④ D．①⑤ 【答案】B 【分析】根据平行线的判定与性质可判断①②，结合角平分线定义及平行线性质可判断③，通过角度计算可判断④⑤． 【详解】解：， ，故①正确； ， ， ， ，故②正确； ， ， ， 平分，故③正确； 在延长线上取点M， ， ，， 比的余角小， ， ， 解得， ，，故④正确； 为的平分线， ， ，即， ， ，即， ，故⑤错误， 综上可知，结论正确的序号是①②③④． 10．如图，，交于点，点是角平分线的交点，连接，，，连接交于点，，若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先证明，设，可得，，结合，再进一步求解即可. 【详解】解：∵点是角平分线的交点，， ∴，， ∵，，， ∴， ∴，，， 设， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴. 二、填空题(本大题共6小题.每小题3分.共计18分) 11．是等边三角形，是中线，延长到点，使．则的度数为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质及等腰三角形的性质． 由为等边三角形，可求出，由是等腰三角形求出，即可求出的度数． 【详解】解：为等边三角形，为中线， ， ， ， ， ． 故答案为：． 12．小可在纸上画了多条直线,…若,照此规律， 则与的位置关系为_________． 【答案】平行 【分析】先根据已知条件梳理直线间平行、垂直的循环规律，再判断与的位置关系． 【详解】解：已知，且在同一平面， 依次推导： ， ， ， ， ， ， ， 由此可得规律：每4条直线为一个循环周期， 即：， 计算：，余数为0，此余数规律与的情况一致，故． 13．如图，的度数为_______°． 【答案】 【分析】连接，先得到四边形内角和等于，再由三角形的外角性质得到，然后代入求解即可． 【详解】解：连接， ∴ ∴ ∵ ∴ ， 即题干图中． 14．定义一种法则“”如下：，如：，若，则的值为____． 【答案】 【分析】根据新定义的运算法则，分两种情况列出等式，结合每种情况的取值范围检验，舍去不符合条件的解，即可得到的值． 【详解】解：根据新定义的运算法则，分两种情况讨论： 情况1：当，解不等式得， 根据法则可得 ， 因此列方程得， 解得，满足，符合条件； 情况2：当，解不等式得， 根据法则可得 ， 因此列方程得， 解得，不满足，舍去； 综上，的值为． 15．如图，和分别是的内角平分线和外角平分线，是的角平分线，是的角平分线，是的角平分线，是的角平分线，若，则为____． 【答案】 【分析】根据角平分线的定义可得，，再根据三角形外角的性质可得，化简可得，同理可得：，， 进一步找出其中的规律，即可求出的度数． 【详解】解：∵和分别是的内角平分线和外角平分线， ，， 又，， ， ， 同理可得：， ， 则， ∵， ， ． 16．如图，是等边三角形，是边上高，，点E是边的中点，点P是线段上的一个动点，则的最小值为_______． 【答案】4 【分析】连接，根据等边三角形的性质可得垂直平分边，，从而得到，进而得到点B，P，E三点共线时，取得最小值，最小值为，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵是等边三角形，是边上高， ∴垂直平分边，， ∴， ∴， 即点B，P，E三点共线时，取得最小值，最小值为， ∵点E是边的中点， ∴BE是边的高， ∴， ∴， 即的最小值为4． 三、解答题(本大题共8小题.每题9分.共计72分) 17．按要求完成以下问题 (1)解不等式：，并把它的解集在数轴上表示出来． (2)解不等式组，请按下列步骤完成解答． ①解不等式①，得______； ②解不等式②，得______； ③把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： ④原不等式组的解集为______． 【答案】(1)，数轴见解析 (2)①得；②；③见解析；④ 【详解】（1）解：， ， ， ， 在数轴上表示为 ； （2）解：①解不等式①，得； ②解不等式②，得 ③把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： ④原不等式组的解集为. 18．如图，已知直线，，相交于点O，，平分，，求的度数． 【答案】 【分析】利用两直线垂直的性质，对顶角的性质和角平分线的性质，即可求出结果． 【详解】解：与是对顶角， ， 平分， ， ， ， ， ． 19．已知的三边长分别为a，b，c． (1)若，，且c为整数，求周长的最大值． (2)化简：． 【答案】(1)27 (2) 【分析】（1）根据三角形的三边关系确定c的取值范围，进而求得c的最大值，最后求周长即可； （2）先根据三角形的三边关系确定、、的正负，再化简绝对值，然后再合并同类项即可解答． 【详解】（1）解：∵，， ，即， ∵c为整数， ∴当，周长的最大值为； （2）解：的三边长为a，b，c， ，，， ∴ ． 20．2026年都江堰放水节（国家级非物质文化遗产）盛大启幕，活动联动成都春假，引爆文旅消费热潮．某景区专营店售卖放水节纪念徽章和李冰治水主题书签两种文创产品，在传播传统文化的同时实现良好经营收益．已知购进2枚纪念徽章和3套主题书签，总进价为130元；购进4枚纪念徽章和1套主题书签，总进价为150元． (1)求每枚纪念徽章、每套主题书签的进价； (2)该店计划购进两种文创产品共50件，其中主题书签的数量不超过纪念徽章数量的2倍，且购进两种产品的总进价不超过1280元．求符合条件的进货方案有哪几种？ 【答案】(1)每枚纪念徽章进价32元，每套主题书签进价22元 (2)进货方案有两种，方案1：纪念徽章17件，主题书签33件；方案2：纪念徽章18件，主题书签32件 【分析】（1）设每枚纪念徽章的进价为x元，每套主题书签的进价为y元，根据题意列方程组，再求解即可； （2）设购进纪念徽章a枚，用含a的式子表示购进主题书签的套数，根据题意列不等式组，再求解，根据解集的整数解得到a的值即可． 【详解】（1）解：设每枚纪念徽章的进价为x元，每套主题书签的进价为y元． 根据题意列方程组，， 解得． 答：每枚纪念徽章进价32元，每套主题书签进价22元； （2）解：设购进纪念徽章a枚，则购进主题书签套． 根据题意列不等式组：， ∴， ∵a为整数， ∴或． 当时，； 当时，； 即符合条件的进货方案有两种： 方案1：纪念徽章17件，主题书签33件；方案2：纪念徽章18件，主题书签32件． 21．如图，在中，，平分． (1)请仅用无刻度直尺和圆规在上找一点，使得，保留作图痕迹，并给出全等的证明过程． (2)若，，求的面积． 【答案】(1) 证明：由作图可知， ∵平分， ， 在和中， ， ； (2) 【分析】以点为圆心、的长为半径画弧，交于点，点即为所求，再利用证明即可； 由全等三角形的性质可得，，即得，再利用三角形的面积公式计算即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：， ，， ∴， ． 22．如图，点在线段上，，，，是的中点． (1)求证：； (2)若，，则的度数为________． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴； (2) 【分析】（1）证明，得，由等腰三角形三线合一的性质即可证明； （2）由得，则可求得的度数，再由等腰三角形的性质及三角形内角和定理即可求解． 【详解】（1）证明：略； （2）解：∵， ∴，， ∴，， ∴． 23.．如图1，已知直线，点是直线上两点，点在点左侧，点是直线上一点，连接，平分交于点． (1)若，则___________； (2)如图2，点是线段上一点，连接平分交于点．作交于点，点在线段上，且满足，当时，求证：； (3)如图3，若，点是射线上一点，射线以每秒的速度绕点逆时针转动，射线以每秒的速度绕点逆时针转动，当射线转至与射线重合时立即以相同速度绕点顺时针回转，若它们同时开始转动，设转动时间为秒，当射线回到出发时的位置时，射线，同时停止转动，则在转动过程中，当射线所在直线与射线所在直线互相垂直时，请直接写出所有符合条件的的值，并写出求解的值的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2)见解析 (3)的值是秒或秒或秒，见解析 【分析】本题考查了角平分线的有关计算，平行线的判定和性质，一元一次方程的应用． （1）根据得到，进而得到，根据角平分线的定义得到，即可求出的值； （2）设，则，根据得到，根据角平分线的定义得到，即，根据得到，即，根据角平分线的定义得到，即，即可证明； （3）分三种情况分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 故答案为：； （2）证明：设， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ； （3）解：当射线转至与射线重合，则（秒），当 时，（秒）， ，如图， ， ； 当时，如图， ， ； 当时，如图， ， ； 综上：的值是秒或秒或秒． 24．如图1，是以为直角的等腰直角三角形，射线是内部的一条射线，过点A作于点．过点C作于点F． (1)求证：； (2)如图2，现将图1中的射线逆时针旋转至的外部，过点A作于点E，过点B在射线的左侧作，且，连接交射线的反向延长线于点H．若，求的面积； (3)如图3，是以为直角的等腰直角三角形，点D为三角形内部一点，连接和，取的中点E，连接，作，连接与，若，求证：． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)证明见解析． 【分析】（1）根据证明即可； （2）过点作，交的延长线于点，先证明得到，再证明，得到，根据三角形面积公式即可求解； （3）延长至，使，连接，，证明，得到，，证明，得到，，进而得到，再求得，即可得出结论． 【详解】（1）证明：，， ， ， ， ， 又∵， （2）解：过点作，交的延长线于点，如图： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （3）证明：延长至，使，连接，，如图： ，，， ， ，， ，， ， 又，， ， ∴，， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $