专题5.3 平面向量坐标运算 讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦平面向量坐标运算高考核心考点，涵盖坐标表示与运算、定比分点、数量积及模长角度计算、投影与投影向量等内容，按“基础运算—综合应用—几何意义”逻辑层次系统梳理。通过知识点精析、典型例题方法指导、分层真题训练环节，帮助学生构建向量运算体系，突破共线垂直判定、定比分点应用等难点。 资料以“数学思维”和“数学语言”为导向，创新设计“概念辨析—模型构建—迁移应用”教学流程。例如在投影向量教学中，结合坐标系实例推导投影公式，对比投影数量与投影向量的区别，培养学生运算能力与几何直观。设置选择填空、解答题分层练习，配合即时规律总结，高效提升学生解题技能，为教师精准把控复习节奏提供实用参考。

专题5.3平面向量坐标运算 5.3.1 平面向量的坐标表示及坐标运算 1.平面向量的坐标运算 （1）向量和差运算：已知，则，． 结论：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差. （2）向量数乘运算：若，则； 结论：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标． （3）向量共线运算：已知，则向量，共线的充要条件是. （4）若，，则. 2.线段的定比分点 设是直线上的两点，是上不同于的任一点，则一定存在实数，使，叫做点分所成的比： （1）定比分点坐标公式：若点，，为实数，且， 则点坐标为，我们称为点分所成的比. （2）点的位置与的范围的关系： ①当时，与同向共线，这时称点为的内分点； ②当()时，与反向共线，这时称点为的外分点. （3）若分有向线段所成的比为，点为平面内的任一点，则； 特别地为的中点. 例1.已知向量，，求与的坐标. 例2.已知,点在内,且.设,则等于( ) A. B.3 C. D. 例3.已知点，，点满足，求点的坐标. 例4.已知点分的比为，平面内一点，，，求的坐标. 1.已知向量满足,则（ ） A.-2 B.-1 C.0 D.1 2.已知向量,且,则的值分别为（ ） A.-2，1 B.1，-2 C2，-1 D.-1,2 3.设平面向量,则（ ） A.(7,3) B.(7,7) C.(1,7) D.(1,3) 4.若向量,则（ ） A. B. C. D. 5.已知点和.直线与线段的交点分有向线段的比为,则的值为（ ） A. B. C. D.4 6.在平行四边形中,为一条对角线,若,则（ ） A. B. C. D. 7.已知四边形的三个顶点,且,则顶点的坐标为（ ） A. B. C. D. 8.若过两点的直线与轴相交于点,则点分有向线段所成的比的值为（ ） A. B. C. D. 9.已知向量，，，若，求的值. 10.已知点，，点在直线上，且，求点的坐标. 11.已知为坐标原点，，，点在直线上，且，求及点坐标. 12.已知点，，点在直线上，且，求点的坐标. 5.3.2 平面向量数量积、模长、求角度之坐标运算 1.若，，向量数量积的坐标运算： （1）两个向量的数量积：即. （2）若两个向量垂直，即. （3）若两个向量平行，即. 3.用坐标表示的常用三个公式 ①向量的模公式：若，则. ②两点间的距离公式：若，，则. ③向量的夹角公式：设两个非零向量，，与的夹角为，则 . 例1.已知，，若，则（ ） A. B. C. D. 例2.已知，，的最小值为1，则 . 例3.已知，，求： (1)；(2)；(3) 例4.已知，，若为锐角，求的取值范围. 1.已知，，若，则( ) A. B. C. D. 2.已知，，则( ) A. B. C. D. 3.已知，，若，则( ) A. B. C. D. 4.已知，，则( ) A. B. C. D. 5.已知，，则的最小值为( ) A. B. C. D. 6.已知，，，则= . 7.已知，，求的最小值为 ，此时= . 8.已知，，，求的取值范围. 9.已知，，点在直线上，且，求坐标. 10.已知，. (1)若，求； (2)求的最小值. 11.已知，，求的最小值及对应. 12.已知，，为钝角，求的取值范围. 5.3.3 平面向量的投影与投影向量 1.设a，b是两个非零向量，a，b，考虑如下变换：过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量a在b上的投影向量. 2.在平面内任取一点,作a,b,过点作直线的垂线,垂足为,则就是向量a在b上的投影向量,且. 例1.在平面直角坐标系中，点在直线上.若向量，则在上的投影向量为( ) A. B. C. D. 例2.已知，，，求在上的投影向量. 例3.已知，，向量满足： ①在上的投影向量为； ②在上的投影向量为，求的坐标. 例4.已知向量满足，则向量在向量方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 1.已知向量，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 2.已知点，则向量在方向上的投影为（ ） A. B. C. D. 3.设，在上的投影为，在轴上的投影为，且，则为（ ） A. B. C. D. 4.设为坐标平面上三点，为坐标原点，若与在方向上的投影相同，则与满足的关系式为（ ） A. B. C. D. 5.已知平面上直线的方向向量，点和在上的射影分别是和，则，其中（ ） A. B. C. D. 6.已知向量满足，与的夹角为，则在上的投影是 . 7.已知，，在上的投影向量为，则实数= . 8.在中，，，，求在上的投影为 . 9.已知，，，求在上的投影向量. 10.已知，在上的投影数量为，且，求的坐标与的夹角. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题5.3平面向量坐标运算 5.3.1 平面向量的坐标表示及坐标运算 1.平面向量的坐标运算 （1）向量和差运算：已知，则，． 结论：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差. （2）向量数乘运算：若，则； 结论：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标． （3）向量共线运算：已知，则向量，共线的充要条件是. （4）若，，则. 2.线段的定比分点 设是直线上的两点，是上不同于的任一点，则一定存在实数，使，叫做点分所成的比： （1）定比分点坐标公式：若点，，为实数，且， 则点坐标为，我们称为点分所成的比. （2）点的位置与的范围的关系： ①当时，与同向共线，这时称点为的内分点； ②当()时，与反向共线，这时称点为的外分点. （3）若分有向线段所成的比为，点为平面内的任一点，则； 特别地为的中点. 例1.已知向量，，求与的坐标. 解：①计算：， . ②计算：，， . 例2.已知,点在内,且.设,则等于( ) A. B.3 C. D. 解：因为，所以，又因为点在内， 且，建立如图所示的坐标系： 则，，又因为，所以， 所以，所以.故选：B. 例3.已知点，，点满足，求点的坐标. 解：定比分点定义：若，则为分比，对应坐标公式：. 由得，代入、：，. 故. 例4.已知点分的比为，平面内一点，，，求的坐标. 解：定比分点向量公式：若，则对平面内任意一点，有：， 代入，，： 则. 1.已知向量满足,则（ ） A.-2 B.-1 C.0 D.1 解：向量满足， 所以.故选：B. 2.已知向量,且,则的值分别为（ ） A.-2，1 B.1，-2 C2，-1 D.-1,2 解：因为，所以.所以， 解得.故选：D. 3.设平面向量,则（ ） A.(7,3) B.(7,7) C.(1,7) D.(1,3) 解：∵，∴. 故选A. 4.若向量,则（ ） A. B. C. D. 解：设，则 即，解得：，则.故选B. 5.已知点和.直线与线段的交点分有向线段的比为,则的值为（ ） A. B. C. D.4 解：设，且，则，得，解得：，代入直线，，得.故选：D. 6.在平行四边形中,为一条对角线,若,则（ ） A. B. C. D. 解：在平行四边形中，，，所以， 所以.故选：B. 7.已知四边形的三个顶点,且,则顶点的坐标为（ ） A. B. C. D. 解：设顶点的坐标为，∵，，且， ∴解得.故选A. 8.若过两点的直线与轴相交于点,则点分有向线段所成的比的值为（ ） A. B. C. D. 解：设点，由，可得，可得， 解得.故选：A. 9.已知向量，，，若，求的值. 解：先计算组合向量：，， 由向量共线条件列方程：与共线，故 化简得：，解得. 10.已知点，，点在直线上，且，求点的坐标. 解：由得分比，为外分点， 仍适用定比分点通用公式：， 代入得： ，， 故. 11.已知为坐标原点，，，点在直线上，且，求及点坐标. 解：求参数：由，直接解得. ， 故. 12.已知点，，点在直线上，且，求点的坐标. 解：①与同向，为线段内分点时，此时，分比， 代入公式：，，得. ②：与反向，为线段外分点此时，分比， 代入公式：，，得. 故点的坐标为或. 5.3.2 平面向量数量积、模长、求角度之坐标运算 1.若，，向量数量积的坐标运算： （1）两个向量的数量积：即. （2）若两个向量垂直，即. （3）若两个向量平行，即. 3.用坐标表示的常用三个公式 ①向量的模公式：若，则. ②两点间的距离公式：若，，则. ③向量的夹角公式：设两个非零向量，，与的夹角为，则 . 例1.已知，，若，则（ ） A. B. C. D. 解：因为 由垂直得：，. 故选：B. 例2.已知，，的最小值为1，则 . 解：由题意可知：，，最小值为. 则.故答案为：-2. 例3.已知，，求： (1)；(2)；(3) 解：(1). (2)，. (3)，，. 例4.已知，，若为锐角，求的取值范围. 解：锐角条件：①数量积；②两向量不同向共线， 由题意可得：， 则. 若与共线，则，此时夹角为，不是锐角，舍去 综上：且.故的取值范围为. 1.已知，，若，则( ) A. B. C. D. 解：向量垂直充要条件：，. 故选：B. 2.已知，，则( ) A. B. C. D. 解：由夹角公式得：，，， 所以.故选：A. 3.已知，，若，则( ) A. B. C. D. 解：向量共线充要条件：， 则.故选：A. 4.已知，，则( ) A. B. C. D. 解：，两边平方：，则.故选：B. 5.已知，，则的最小值为( ) A. B. C. D. 解：，，，当时取最小值. 故选：B. 6.已知，，，则= . 解：∵，则， ∴.故答案为：12. 7.已知，，求的最小值为 ，此时= . 解：∵，则，当时取最小值. 故答案为：1,0. 8.已知，，，求的取值范围. 解：因为，， 所以，， ∴. 解得：或.故的取值范围为. 9.已知，，点在直线上，且，求坐标. 解：设，则， ∴，， 则， ∴， 解得：或. 故或 10.已知，. (1)若，求； (2)求的最小值. 解：(1)∵，， 则， 又∵， 所以. （2）由（1）知， 则， 因为对称轴，∴的最小值， 所以的最小值为. 11.已知，，求的最小值及对应. 解：∵，， ∴， 所以， 令，开口向上二次函数， 对称轴：， 则的最小值为：. ∴的最小值为，此时. 12.已知，，为钝角，求的取值范围. 解：钝角条件：①数量积；②不反向共线 由题意可知：， 设，得，此时夹角，不属于钝角，必须排除 综上：且. 故的取值范围为：. 5.3.3 平面向量的投影与投影向量 1.设a，b是两个非零向量，a，b，考虑如下变换：过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量a在b上的投影向量. 2.在平面内任取一点,作a,b,过点作直线的垂线,垂足为,则就是向量a在b上的投影向量,且. 例1.在平面直角坐标系中，点在直线上.若向量，则在上的投影向量为( ) A. B. C. D. 解：由题可设，则，所以，又， 故在上的投影向量为.故选：A. 例2.已知，，，求在上的投影向量. 解：因为，. 所以，. 所以在上的投影向量为：. 例3.已知，，向量满足： ①在上的投影向量为； ②在上的投影向量为，求的坐标. 解：由条件①：，，得，即. 由条件②：，，得，即. 联立方程组：，解得，即. 例4.已知向量满足，则向量在向量方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 解：因为， 所以，得， 所以向量在向量方向上的投影向量为.故选：C. 1.已知向量，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 解：因为，所以，， 所以在上的投影向量为.故选：B. 2.已知点，则向量在方向上的投影为（ ） A. B. C. D. 解：， 则向量在方向上的投影为：. 故选A. 3.设，在上的投影为，在轴上的投影为，且，则为（ ） A. B. C. D. 解：因为在轴上的投影为，设，由在上的投影为可得：， 整理得，所以或， 又，即，所以，.故选：B. 4.设为坐标平面上三点，为坐标原点，若与在方向上的投影相同，则与满足的关系式为（ ） A. B. C. D. 解：由与在方向上的投影相同，可得：即，.选A. 5.已知平面上直线的方向向量，点和在上的射影分别是和，则，其中（ ） A. B. C. D. 解：因为和，所以， 所以在上的投影满足：.又由与的方向相反，， 故由得：.故选：D. 6.已知向量满足，与的夹角为，则在上的投影是 . 解：根据已知条件可知，那么由与的夹角为，可知， ∴，∴，故在上的投影是1.故答案为：1. 7.已知，，在上的投影向量为，则实数= . 解：设投影向量，即，解得. 由投影向量性质：，，，代入得，解得. 故答案为：. 8.在中，，，，求在上的投影为 . 解：与夹角为，，在上的投影为：.故答案为：. 9.已知，，，求在上的投影向量. 解：∵. ∴， 又∵. ∴在上的投影向量为：. 10.已知，在上的投影数量为，且，求的坐标与的夹角. 解：设，投影数量，得，即. 由，可得. 又∵，，，设的夹角为， 则.又，故. 1 学科网（北京）股份有限公司 $