3.1.1二次根式的概念及性质 课件 -2026-2027学年湘教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦二次根式的概念、有意义条件、两大性质及双重非负性，通过“思考算术平方根表示”导入，衔接已学知识，搭建从算术平方根到二次根式的学习支架，帮助学生构建知识脉络。 其亮点在于以典例精析和归纳总结为核心，结合运算能力与推理意识，如通过分式型二次根式有意义条件分析、双重非负性求值等实例，培养学生数学思维。课堂小结系统梳理知识，学生能夯实基础提升解题能力，教师可直接使用系统资料与考点分析提高教学效率。

湘教版数学八年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年6月12日 3.1.1二次根式的概念及性质 第3章 二次根式 湘教版数学八年级下册3.1.1 二次根式的概念及性质同步练习题 一、核心知识点精讲 1. 二次根式的定义 形如 $$\sqrt{a}$$（$$a\geq0$$）的式子叫做二次根式。其中： ① 根指数必须是2（可省略不写）；② 被开方数a必须是非负数（整式、分式均可）；③ 二次根式是一个非负数，即 $$\sqrt{a}\geq0(a\geq0)$$。 2. 二次根式有意义的条件 单独二次根式 $$\sqrt{a}$$：$$a\geq0$$； 分式型二次根式 $$\dfrac{1}{\sqrt{a}}$$：$$a>0$$（分母不为0）。 3. 二次根式两大核心性质（必考） 性质一：$$(\sqrt{a})^2=a\ \ (a\geq0)$$ （先开方、后平方，结果等于本身） 性质二：$$\sqrt{a^2}=|a|= \begin{cases} a & (a\geq0) \\ -a & (a<0) \end{cases}$$ （先平方、后开方，结果为绝对值） 4. 双重非负性（考试高频考点） 二次根式 $$\sqrt{a}$$ 同时满足：① 被开方数 $$a\geq0$$；② 根式结果 $$\sqrt{a}\geq0$$。常见题型：几个非负数和为0，则每一项均为0。 二、选择题（每题4分，共24分） 1. 下列式子一定是二次根式的是（） A. $$\sqrt{-2}$$ B. $$\sqrt{x}$$ C. $$\sqrt{3}$$ D. $$\sqrt[3]{5}$$ 2. 二次根式 $$\sqrt{x-3}$$ 有意义，则x的取值范围是（） A. $$x>3$$ B. $$x\geq3$$ C. $$x<3$$ D. $$x\leq3$$ 3. 下列计算正确的是（） A. $$(\sqrt{5})^2=5$$ B. $$\sqrt{(-5)^2}=-5$$ C. $$(\sqrt{-5})^2=-5$$ D. $$\sqrt{-4}=-2$$ 4. 化简$$\sqrt{(2-\pi)^2}$$ 的结果是（） A. $$2-\pi$$ B. $$\pi-2$$ C. $$\pm(2-\pi)$$ D. 2 5. 若 $$\sqrt{a+2}+(b-1)^2=0$$，则 $$a+b$$ 的值为（） A. -1 B. 1 C. 3 D. -3 6. 式子$$\dfrac{\sqrt{x+1}}{x-2}$$ 有意义的x的取值范围是（） A. $$x\geq-1$$ B. $$x eq2$$ C. $$x\geq-1且x eq2$$ D. $$x>-1且x eq2$$ 三、填空题（每题4分，共24分） 7. 若 $$\sqrt{2x-4}$$ 有意义，则x的最小整数值为________。 8. 计算：$$(\sqrt{7})^2=$$________；$$\sqrt{(-6)^2}=$$________。 9. 化简：$$\sqrt{(x-1)^2}(x\geq1)=$$________。 10. 已知 $$\sqrt{x-2}+\sqrt{2-x}$$ 有意义，则 $$x=$$________。 11. 若 $$\sqrt{m^2}=-m$$，则m的取值范围是________。 12. 计算：$$(\sqrt{0.3})^2=$$________。 四、解答题（共52分） 13.（16分）基础计算化简： （1）$$(\sqrt{13})^2$$ （2）$$\sqrt{(-\dfrac{1}{3})^2}$$ 14.（18分）求取值范围： （1）$$\sqrt{5-x}$$ （2）$$\dfrac{1}{\sqrt{x+4}}$$ （3）$$\sqrt{x^2+1}$$ 15.（18分）综合求值： 已知实数x、y满足 $$\sqrt{x-3}+(y+2)^2=0$$，求 $$x+y$$ 的值。 五、参考答案与详细解析 一、选择题 1.C（二次根式被开方数非负，B取值不确定，A无意义，D是三次根式）； 2.B（$$x-3\geq0$$，解得 $$x\geq3$$）； 3.A（B结果应为6，C被开方数不能为负，D无意义）； 4.B（$$\sqrt{a^2}=|a|$$，$$2-\pi<0$$，绝对值为$$\pi-2$$）； 5.A（双重非负性：$$a+2=0，b-1=0$$，得 $$a=-2，b=1$$，$$a+b=-1$$）； 6.C（需满足 $$x+1\geq0$$ 且 $$x-2 eq0$$）。 二、填空题 7. $$2$$（$$2x-4\geq0$$，$$x\geq2$$）； 8. $$7$$，$$6$$； 9. $$x-1$$（$$x\geq1$$，绝对值直接去符号）； 10. $$2$$（$$x-2\geq0$$且 $$2-x\geq0$$，仅 $$x=2$$）； 11. $$m\leq0$$（根号结果为相反数，说明原数非正）； 12. $$0.3$$。 三、解答题 13. 解： （1）原式$$=13$$； （2）原式$$=\left|-\dfrac{1}{3}\right|=\dfrac{1}{3}$$。 14. 解： （1）由 $$5-x\geq0$$，得 $$x\leq5$$； （2）由 $$x+4>0$$，得 $$x>-4$$； （3）$$x^2\geq0$$，故 $$x^2+1\geq1>0$$，x取全体实数。 15. 解： ∵ $$\sqrt{x-3}\geq0，(y+2)^2\geq0$$，且两者和为0， ∴ $$x-3=0，y+2=0$$， 解得：$$x=3，y=-2$$， ∴ $$x+y=3+(-2)=1$$。 本节易错必记 1. $$(\sqrt{a})^2$$ 和 $$\sqrt{a^2}$$ 极易混淆：前者先开方后平方，必须a≥0；后者先平方后开方，a可取任意实数，结果为绝对值。 2. 含二次根式的分式有意义，需同时满足被开方数非负、分母不为0。 3. 二次根式、平方、绝对值均为非负数，非负数和为0，每一项必为0。 学习目标 1.了解二次根式的定义； 2.理解二次根式在实数范围内有意义的条件； 3.掌握二次根式的两条重要性质．（重点、难点） 学习目标 (1) 2，3，5的算术平方根分别是怎样表示的? 思考 二次根式的概念及有意义的条件 1 2，3，5 的算术平方根分别为 我们知道：每一个正实数 a 有且只有两个平方根，分别为 和 ，其中 称为 a 的算术平方根. 同时，在实数范围内，负实数没有平方根， 因此，只有当被开方数是非负实数时，二次根式才在实数范围内有意义. 一般地，形如 的式子叫作二次根式，根号下的数叫作被开方数. 知识要点 二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平方根.对于任意一个二次根式 ，我们知道： （1）a 为被开方数或式，为保证其有意义，可知 a≥0； （2） 表示一个数或式的算术平方根，可知 ≥0. 二次根式的被开方数(或式)非负 二次根式的值非负 二次根式的双重非负性 归纳总结 5 例1 当 x 是怎样的实数时, 在实数范围内有意义? 解：由 x - 1≥0，得 x≥1. 当 x≥1 时， 在实数范围内有意义. 【变式题】当 x 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ 解：由题意得 x - 1＞0， 所以 x＞1. 典例精析 解：因为被开方数需大于或等于零， 所以 3 + x≥0，所以 x≥-3. 因为分母不能等于零， 所以 x - 1≠0，所以 x≠1. 所以 x≥-3 且 x≠1. 要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方式≥0，列不等式求解即可.若式子为分式，应同时考虑分母不为零. 归纳 (2)多个二次根式相加：如 有意义的条件： (1)单个二次根式：如 有意义的条件：A≥0； (3)二次根式作为分式的分母：如 有意义的条件： A＞0； (4)二次根式与分式的和：如 有意义的条件： A≥0且B≠0. 归纳总结 对于非负实数a，由于 是 a 的一个平方根，因此 ＝a (a≥0). 即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身. 注意：不要忽略 a≥0 这一限制条件.这是使二次根式 有意义的前提条件. （a≥0）的性质 2 例2 计算： 解： (2)可以用到幂的哪条基本性质呢？ 积的乘方： (ab)2 = a2b2 典例精析 的性质 2 做一做 填空： (1) ＝ ； (2) ＝ ； (3) ＝ ； (4) ＝ . 由于 a 的平方等于 a²，因此 a 是 a² 的一个平方根，当 a≥0 时，根据算术平方根的意义，有 = a，由此得出： = a ( a≥0). 2 1.2 2 1.2 由于 －a 的平方等于 a²，因此 －a 是 a² 的一个平方根，当 a＜0 时，－a＞0，根据算术平方根的意义，可以得到： = = －a ( a＜0). a (a≥0)， a (a＜0). 综上可得： 即任意一个实数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值. 例3 计算： 解： ，而3.14＜π，要注意 a 的正负性. 注意 例4 计算： (1) ； (2) . 解：(1) ＝|3－π|＝π－3. (2) ＝||＝. 例5 实数 a、b 在数轴上的对应点如图所示，请你化简： 解：由数轴可知 a＜0，b＞0，a - b＜0， 所以原式= | a | - | b | + | a - b | = - a - b - (a - b) = -2a. a b 1. 已知下列各式：，，，， ， ，, ,其中二次根式有( ) C A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 返回 考试考法 15 返回 2 考试考法 返回 C 考试考法 返回 4. 若，则 ( ) D A. B. C. 6 D. 考试考法 18 返回 0 考试考法 19 6. 当x取何值时，下列各式在实数范围内有意义？ （1） ； 【解】要使有意义，则必须有 . 因为 恒大于零， 所以取任意实数.所以取任意实数， 都有意义. 考试考法 20 （2） ； 因为要使有意义，则有且 ， 解得，所以当时， 有意义. 考试考法 21 （3） . 由题意，得且，即 ， 故或 ， 解得或.所以当或时, 有意义. 返回 考试考法 22 返回 2.5 27 考试考法 返回 考试考法 24 返回 9. 若，则 的值可以是( ) C A. 2 B. 3 C. D. 8 考试考法 25 返回 考试考法 26 二次根式 二次根式的概念 二次根式的表示 二次根式有意义的条件 被开方数≥0 → 性质 应用 课堂小结 2．若是二次根式，则b的值是________． 3．要使式子＋＋(2x－4)0有意义，则x的取值范围应为(　　) A．x＞ B．x≥－1且x≠2 C．x＞且x≠2 D.≤x≤2 5．若代数式的值为0，则满足要求的x的值为________． 7．(－)2＝________；(3)2＝________． 8.的算术平方根是________． － 10．化简：－＝________． $