培优02 一元二次方程的实际应用（9大题型）数学新教材人教版九年级上册

培优02 一元二次方程的实际应用 思维导图 知识点睛 一 一元二次方程应用解题步骤 1、步骤： （1）审：审清题目中各量之间的关系 （2）设：设出未知数（多数直接设，少数需要间接设未知数） （3）列：根据等量关系，列出方程 （4）解：求出未知数的值 （5）验：检验方程的正确性及是否符合实际情况 （6）答：写出应用题答案 二 基础核心题型 1、图形问题： 矩形、道路边框、无盖长方体裁剪、拼接图形的面积和周长公式计算。 2、传播、裂变问题： 病毒传播、树枝生长、人数传染等倍增类，核心公式： 。 3、比赛、握手问题： 双循环的比赛场数是单循环的二倍，核心公式：双循环：；单循环： 。 4、增长率、下降率问题： 连续两次的增长或下降，核心公式：终值=初值× 。 5、数字、日历问题： 利用数字的表示，十位数字×10、百位数字×100……。日历问题核心，左右差1，上下差7。 三 培优拔高题型 1、销售利润方案问题： 利用核心公式：总利润=单件利润×销售数量进行解答，按照要求进行方案的选择，利润最高或者销量最高。 2、动点问题： 利用核心公式：路程=速度×时间，结合题干中对图形要求寻找等量关系，关注运动的时间、开始和结束。 3、找规律问题： 依据数字规律或图形规律找到等量关系。 基础题型 题型1：图形问题（周长面积）（易） 1. 知识点：一元二次方程的应用 2. 解题技巧：多用平移到一个角落的形式，形成新的规则图形。 【例1】 （广西壮族自治区崇左市江州区2025-2026学年八年级下学期7月期末数学试题）如图，用长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽为1米的两扇小门． (1)设花圃的一边长为x米，请你用含x的代数式表示另一边的长； (2)若此时花圃的面积刚好为，求此时花圃的长与宽； (3)能否围成面积为的花圃？请说明理由． 变式1-1 （陕西咸阳市长武县彭公镇初级中学2025-2026学年度第二学期期末考试题（卷）八年级数学）如图，学校准备在教学楼后面搭建一个简易矩形自行车车棚，一边利用教学楼10米长的后墙，另外三边利用学校现有的总长为21米的铁栏围成（墙的厚度忽略不计）． (1)若围成的车棚面积为54平方米，求出自行车车棚的长和宽； (2)能围成面积为60平方米的车棚吗？若能，说出你的方案；若不能，请说明理由． 变式1-2 （浙江省长兴县部分校2021-2022学年八年级下学期数学试题）某镇政府规划在新城区政府大楼前建设一块长a米，宽b米的长方形草坪，并计划在该草坪上修筑宽都为2米的两条互相垂直的人行道（如图）． (1)用含a，b的代数式表示两条人行道的总面积； (2)若已知，并且四块草坪的面积之和为2204平方米，试求原长方形的长与宽各为多少米？ 题型2：传播、裂变问题（重） 1. 知识点：一元二次方程的应用 2. 解题技巧：病毒传染利用公式，树干分支利用公式，分支问题可理解成连续两个数字相乘，解为小数。 【例2】 （云南楚雄彝族自治州2025-2026学年九年级上学期2月期末数学试题）冬季期间，甲型流感在某班悄然传播，某班最初有2人患上甲流，经过2轮传染后，有32人已确诊甲流，求每轮传染中平均每人传染的人数． 变式2-1 （天津市第九十中学2025-2026学年九年级上学期第一次月考数学试卷）某种树木的主干长出若干支干，假设每个支干长出的小分支数目与主干长出的支干数目相同，若此时主干、支干和小分支的总数是111．求每个支干长出多少小分支？设主干长出了个支干．请根据相关信息，解答下列问题： (1)填空用含的代数式表示： ①在小分支没有长出之前，主干和支干的总数是________； ②在每个支干又长出了数目相同的小分支后，小分支的个数为________； ③在每个支干又长出了数目相同的小分支后，主干、支干和小分支的总数可以表示为________； (2)请继续完成本题的解答． 变式2-2 （天津市西青区中北中学2025-2026学年九年级上学期第一次月考数学试卷）有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感． (1)求每轮传染中平均一个人传染了几个人？ (2)经过第三轮传染一共有多少人感染？ 题型3：比赛、握手问题（重） 1. 知识点：一元二次方程的应用 2. 解题技巧：利用公式或，可理解成连续两个数字相乘，解为大数。 【例3】 （2026-2027全国九年级上册）按要求完成下列各题： (1)南宁市某中学要在初中组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排场比赛，问应该邀请多少支球队参加比赛? (2)南宁市某中学要在高中篮球比赛中，规定所有球队直接进行双循环赛（即每两个队之间进行两场比赛），总共进行场比赛，求有多少支球队参加比赛． 变式3-1 （2026-2027全国九年级上册）某学校九年级举办了一场乒乓球比赛，比赛采用单循环赛制（每两位参赛选手之间都赛1场）． 乐乐和淇淇针对这次比赛有如下对话： 乐乐：本次比赛一共进行了40场． 淇淇：你所说的并不正确，按照这个赛制，不应该是40场． 假设有x人报名参加比赛． (1)根据题意，乐乐列出的方程应该是：________．请利用乐乐所列的方程分析淇淇的说法是否正确； (2)乐乐补充道：本次比赛的确一共进行了40场，只是在比赛过程中遇到了特殊情况，有1人身体不适，只参加了4场比赛后就中途退赛．请直接写出此时x的值． 变式3-2 （2026-2027全国九年级上册）一个凸多边形共有条对角线，它是几边形?是否存在有条对角线的多边形?如果存在，它是几边形?如果不存在，说明得出结论的过程． 题型4：增长率、下降率问题（重） 1. 知识点：一元二次方程的应用 2. 解题技巧：利用公式终值=初值×。 【例4】 （2026-2027全国九年级上册）某工厂一月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，三月份的生产成本是289万元，假设每月生产成本的下降率相同．求每月生产成本的下降率． 变式4-1 （辽宁大连市西岗区2025-2026学年下学期期末质量抽测试卷八年级数学）为了减轻百姓医疗负担，某制药厂将一种药剂价格逐年降低．年这种药剂价格为元，年该药剂价格为元． (1)求年到年这种药剂价格的年平均下降率； (2)该制药厂计划年对此药剂继续降价，药剂价格的下降率与年到年的平均下降率相同，求该药剂在年的价格． 变式4-2 （2026-2027全国九年级上册）随着“绿色出行，低碳生活”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某品牌新能源汽车10月份销售量为3万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，12月份的销售量达到4.32万辆．求从10月份到12月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率． 题型5：数字、日历问题（易） 1. 知识点：一元二次方程的应用 2. 解题技巧：利用数字的表示，十位数字×10、百位数字×100……。日历问题核心，左右差1，上下差7。 【例5】 （安徽省宿州市泗县2025-2026学年九年级上学期11月月考数学试题）如图，这是2025年4月份的月历，在此月历表上按照如图所示的方式圈出4个数，若圈出的4个数中，最小的数与最大的数的乘积为345，则这个最小数为？ 变式5-1 （2026-2027全国九年级上册）回答下列问题：（1）一个两位数，个位数字比十位数字少1，且个位数字与十位数字的乘积等于72，则这个两位数是_______； （2）三个连续整数两两相乘，再求和，结果为242，则这三个数分别是___________． 变式5-2 （福建省福州第十八中学象园校区2025-2026学年第二学期八年级下学期期末考试数学试卷）2026年4月5日是我国的传统节日清明节，又称踏青节、行清节、三月节、祭祖节等，在每年4月4日至6日之间，是祭祀、祭祖和扫墓的节日．清明节源自上古时代的祖先信仰与春祭礼俗，兼具自然与人文两大内涵，既是自然节气点，也是传统节日．清明节与春节、端午节、中秋节并称为中国四大传统节日．在本月日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示）．若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为153，求这个最小数．（请用方程知识解答） 培优题型 题型6：销售、利润、方案问题（难） 1. 知识点：一元二次方程的应用。 2. 解题技巧:利用核心公式：总利润=单件利润×销售数量进行解答，按照要求进行方案的选择，利润最高或者销量最高。 【例6】 （广西壮族自治区百色市田林县田林中学2025-2026学年八年级下学期7月期末数学试题）【背景素材】某工厂一车间对某款新能源汽车的关键零部件进行智能化、一体化加工，生产效率大幅提升．车间技术员记录了以下两组信息： 素材1 该车间4月份生产该零件100个，到6月份产量增加至144个，且每月增长率相同． 素材2 该零件的生产成本为每个30元．市场调研发现：当售价定为每个40元时，每月可销售600个；若售价每上涨1元，月销售量就会减少10个． 【任务驱动】 (1)任务一：求该车间4月份到6月份生产该零件数量的月平均增长率． (2)任务二：工厂为了提升利润，计划调整售价，并要求月销售利润达到10000元．同时，为了让更多消费者买得起，价格尽可能实惠．请你计算该零件的实际售价应定为每个多少元？ 变式6-1 （河北石家庄外国语教育集团2025—2026学年第二学期八年级期末数学试题）问题情境： 八年级（1）班的同学，对石家庄梨膏糖食品厂出产的“梨膏糖”每日生产和销售的情况进行了信息整理，结果如下： 信息1：这款“梨膏糖”日产量x（千克）的范围是． 信息2：这款“梨膏糖”每千克的生产成本（元）与日产量x（千克）之间关系如下表所示． 信息3：这款“梨膏糖”每千克的售价（元）与日产量x（千克）之间的关系式为：． 日产量x（千克） 30 60 90 120 每千克的生产成本（元） 55 50 45 40 问题解决： (1)根据表格信息，这款“梨膏糖”每千克生产成本是x的一次函数，求此函数关系式； (2)求这款“梨膏糖”每千克的售价的最大值是多少元； (3)若该厂每日生产的“梨膏糖”当天会全部售完． ①该厂计划将某日这款“梨膏糖”的销售利润定为1200元，如果你是生产部经理，当日该产品的日产量应该定为多少比较合理？为什么？ ②该厂计划将某日这款“梨膏糖”的销售利润定为1500元，能否实现？请通过计算说明理由． 变式6-2 （山东省滕州市洪绪镇洪绪中学2021-2022学年九年级上学期开学质量检测数学试题）商场某种商品平均每天可销售件，每件盈利元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查，每件商品每降价元，商场平均每天可多销售件． (1)当每件盈利元时，每天可销售多少件？ (2)每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到元？ (3)商场日盈利能否达到元？ 题型7：动点问题（难） 1. 知识点：一元二次方程的应用。 2. 解题技巧：利用核心公式：路程=速度×时间，结合题干中对图形要求寻找等量关系，关注运动的时间、开始和结束。 【例7】 （福建省莆田市荔城区黄石镇沙堤初级中学2025-2026学年九年级上学期第一次数学阶段学情自测）如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．若P，Q两点同时出发，当点Q运动到点C时，P，Q两点同时停止运动． 求：(1)几秒后，的面积等于？(2)的面积能否等于？说明理由． 变式7-1 （浙江杭州师范大学东城实验学校2025-2026学年下学期八年级期中学情调研数学试题卷）在物理中，沿着一条直线且速度均匀地增大或减小的运动，叫作匀变速直线运动．在此运动过程中，每个时间段的平均速度为初速度和末速度的算术平均数，例如，在一个时间段内，初速度为10米/秒，末速度为30米/秒，则这个时间段的平均速度为（米/秒）．运动路程等于时间与平均速度的乘积（即）．若一个小球以10米/秒的初速度沿平滑的直线向前滚动，并且均匀减速，5秒后小球停止运动． (1)小球的滚动速度平均每秒减少________米，从开始到滚动了秒后小球的速度为________米/秒． (2)小球从开始到滚动21米用了多少秒？ (3)小球在最后一秒滚动了多少米？ 变式7-2 （25-26全国九年级上册）如图所示，在中，厘米，厘米，，点P从点A开始沿边向点B以1厘米秒的速度移动（到达点B即停止运动），点Q从B点开始沿边向点C以2厘米秒的速度移动（到达点C即停止运动），如果P、Q分别从A、B同时出发，经过几秒，的面积等于100平方厘米? 题型8：找规律问题（难） 1. 知识点：一元二次方程的应用。 2. 解题技巧：根据图形的摆放和数字规律，找到等量关系列式。 【例8】 （广东省中山市第一中学2025--2026学年九年级上学期期中数学试卷）探究：已知，如图是一个三角形点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……第行有个点，……，容易发现，10是三角形点阵中前4行的点数和． （提示：． (1)三角形点阵中前10行的点数和是___________； (2)若三角形点阵中前行的点数之和为210，求的值； (3)三角形点阵中前行的点数之和能是300吗？若能，求出的值；若不能，试用一元二次方程说明道理． 变式8-1 （山西省吕梁市汾阳市部分学校2025-2026学年上学期第一次月考九年级数学试卷）综合与实践 问题情境 在数学活动课上，同学们对三角形点阵中前n行的点数计算进行探究活动．如图1，这是一个三角形点阵，从上到下有无数行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，…第n行有n个点． 数学建模 （1）容易发现10是三角形点阵前4行的点数和，但是遇到较大的点数，逐个数点很繁琐．在探究的过程中，将一个正立的三角形点阵倒立，再与正立的原三角形点阵拼成一个平行四边形点阵（如图2），三角形点阵的点数和为平行四边形点阵中点的数量的一半．由此得图1中三角形点阵前n行的点数和是______． 问题解决 （2）如图3，该点阵每行的点数从上到下依次为1，3，5，7，…，，，，…，7，5，3，1，这个点阵的点数和能是841吗？请说明理由． （3）一群人走进果园去摘石榴，第一个人摘了1个石榴，第二个人摘了2个石榴，第三个人摘了3个石榴，以此类推，后进果园的人都比前一个人多摘一个石榴，这群人刚好把果园的石榴全部摘下来了，如果平均分配，每个人可以得到6个石榴，问这群人共有多少人？ 变式8-2 （2026年安徽省阜阳市临泉县第四中学等校二模数学（A卷）（试题卷））综合与实践 【项目主题】班级劳动实践小组拟用正方形和等腰直角三角形地砖铺设社区小广场． （1）【项目准备】已知图中小正方形地砖的面积为，则等腰直角三角形地砖的面积为①_____，图形中心的稍大正方形地砖的面积为②_____． （2）【项目分析】第1个图形中，小正方形的个数为，等腰直角三角形的个数为； 第2个图形中，小正方形的个数为，等腰直角三角形的个数为； 第3个图形中，小正方形的个数为，等腰直角三角形的个数为； ．．． 根据规律， 第4个图形中，小正方形的个数为③_____，等腰直角三角形的个数为④_____， （3）【项目实施】如果社区小广场是按以上方法铺设的面积为的正方形广场，则需要小正方形地砖的块数为⑤_____，等腰直角三角形地砖的块数为⑥_____． 请将上述材料中横线上所缺内容补充完整： ①_____；②_____；③_____；④_____；⑤_____．⑥_____． 题型9：综合项目探究式问题（难） 1. 知识点：一元二次方程的应用。 2. 解题技巧：结合销售、图形变换等具体的问题，依据题目探究的思路进行分析。 【例9】 （广东省湛江市寸金培才学校2023?2024学年初三级第六次学情调研数学科试卷）综合与实践 主题：如何制作收纳盒，收纳玩具． 素材：闲置的一张长为，宽为的长方形硬纸板（如图①）． 实践操作：在长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形（如图②），然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖长方体收纳盒（如图③）． 问题解决： (1)若剪去的小正方形的边长为，则折成的无盖长方体收纳盒的侧面积为 ； (2)若折成的无盖长方体收纳盒的底面积为时，请通过计算判断能否把家里的一个冰墩墩玩具完全放入该收纳盒里（冰墩墩的高度不能超过收纳盒的高度）．冰墩墩的实物图和尺寸大小如图④． 变式9-1 （江苏省淮安市开明中学2025—2026学年八年级第二学期数学期末试题）综合与实践：探究奶茶甜度 【阅读材料】奶茶甜度是衡量饮品口感的重要指标，行业内统一规定甜度计算公式：奶茶甜度，甜度数值越大，代表奶茶口感越甜；制作奶茶时额外添加的糖均可完全溶解，不计沉淀损耗． 【问题背景】某连锁奶茶店统一规格饮品基础参数：一杯a克的奶茶含糖量b克，称甜度为标准糖，以此甜度作为基准甜度，根据顾客需求划分四种甜度档位： 标准糖：含糖量b克；七分糖：含糖量0.7b克； 五分糖：含糖量0.5b克；三分糖：含糖量0.3b克． 已知制作过程中，后添加的糖全部溶解在饮品内，会同步增加奶茶总质量，请结合甜度计算公式完成下列探究任务． (1)任务一：一杯总质量为400克的奶茶含糖40克，则该奶茶的甜度为 ； (2)任务二：一天，小明到这家奶茶店点了一杯a克七分糖奶茶，则该奶茶的甜度 （用含a、b的代数式表示）；由于店员疏忽，做成了一杯a克五分糖奶茶，店员再往这杯奶茶中加入了0.2b克糖，则奶茶的甜度 （用含a、b的代数式表示）；请比较大小： ． (3)任务三：为了保持奶茶店产品的品质，一杯a克五分糖奶茶需要再加入多少克的糖才能与七分糖奶茶的甜度一样？ (4)任务四：奶茶店推出“双杯拼配”玩法： 甲杯：a克三分糖奶茶（含糖0.3b克） 乙杯：a克标准糖奶茶（含糖b克） 操作1：从甲、乙两杯各倒出x克奶茶，互相交换倒入对方杯中，搅拌均匀； 操作2：再从操作1后的甲、乙两杯各倒出x克奶茶，互相交换倒入对方杯中，搅拌均匀．此时甲杯奶茶的甜度恰好等于五分糖奶茶的甜度，则x的值为 （用含a的代数式表示，且）． 变式9-2 （山东省济南市历城区2025-2026学年度第二学期期末质量检测八年级数学试题）阅读材料，并解决问题． 【文化欣赏】 三国时期的数学家赵爽所著的《勾股圆方图注》中记载了一种图解一元二次方程的方法．以解方程为例：将原方程整理可得：，可视为一个矩形的面积为35，构造如图1所示的图形，此时大正方形的面积是，同时它又等于四个矩形的面积加中间小正方形的面积的和．所以，由此得原方程的一个正根为． 【类比迁移】 (1)小颖根据以上解法解方程，请将其解答过程补充完整： 第一步：将原方程变形为，即（ ）； 第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形； 第三步：根据大正方形的面积可得新的方程 ，解得原方程的一个正根为 ； 【拓展应用】 (2)一般地，对于形如（，）的一元二次方程可以构造图2来解．已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，请用上面的方法求此方程的正根； 【思维提升】 (3)小明用此方法解关于的方程，其中，他以和作为矩形的两邻边构造出如图2同样的图形，已知小正方形的面积为4，则的值为_________． 归纳总结 一、重点 1.列一元二次方程解应用题的通用步骤 熟练掌握“审、设、列、解、验、答”六步解题法，核心是找准题目中的等量关系，能将生活实际问题转化为一元二次方程数学模型。 2.掌握四大高频必考模型 增长率/下降率问题：牢记核心公式；传播、裂变问题：病毒传播、树枝生长、人数传染等倍增类问题；图形面积问题：矩形、道路边框、无盖长方体裁剪、拼接图形的面积计算；销售利润问题：利用“总利润=单件利润×销售数量”列方程。 3.解的实际意义检验 明确应用题的解必须符合生活实际，能主动舍去负数、超出题意范围、不符合现实的增根。 二、难点 1.复杂题干的等量关系提取 题目条件多、文字冗长，无法快速梳理数量关系，尤其是连续两次变化的增长率、多条件限制的利润问题。 2.几何图形动态面积建模 道路平移、裁剪折叠、图形重叠类问题，难以准确表示变化后的边长、长宽，容易列错代数式。 3.双解的取舍判断 一元二次方程大多有两个实数根，学生难以精准区分两个根都有效、一个有效一个舍去、两个都无效的三种情况。 4.区分一次变化与二次变化 混淆单次增减（一次方程）和两次连续增减、双向传播（必须用一元二次方程）的题型差异。 三、易错点 1.公式套用机械，审题不清：增长率问题不分“两次增长”和“一次增长”，乱套 (1\pm x)^2；多年增长不会对应次数，固定套用平方形式。 2.单位与设元不规范：设未知数不带单位、设语句表述模糊；题目有固定单位，求解后出现单位混乱。 3.面积问题高频错误：道路宽度问题：不会平移法化简图形，重复计算或漏算重叠面积；裁剪无盖长方体：忘记长宽同时减去两个路宽/裁边长度，只减一个。 4.利润问题核心公式出错：错用“总利润=单件利润×单价”“总利润=销量×单价”，混淆成本、售价、利润、销量四个量。 5.忘记检验根的实际意义：只求方程解，不检验直接作答；出现边长为负、增长率大于1、销量为负等不合理答案不舍去。 6.传播问题数量关系错误：第一轮、第二轮传播人数计算混乱，无法区分“原有基数+新增人数”的总数量。 四、数学思想 1.数学建模思想：将生活中的增长、几何、销售、传播问题，抽象化简为标准的一元二次方程模型，用代数方法解决实际问题。 2.转化与化归思想：将不规则图形、复杂拼接图形，通过平移、割补转化为规则矩形图形，简化边长和面积计算。 3.分类讨论思想：针对方程的两个根，结合实际场景分类判断根的有效性，取舍不合理解。 4.数形结合思想：解决面积、几何动态问题时，依托图形分析边长变化，以形助数，快速列出代数式和方程。 5.方程思想：通过设未知数、找等量、列方程，用代数运算替代复杂的文字推理，是初中应用题核心解题思想。 同步测评 1．（海南省海南澄迈县第二中学2025-2026学年九年级上学期第一次练习数学试题）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是31，则每个支干长出（    ） A．2根小分支 B．3根小分支 C．4根小分支 D．5根小分支 2．（2026年第一次适应与模拟数学）数学活动课上，同学们与智能体进行数字传播闯关游戏．智能体给出规则：游戏开始时有6名同学拥有通关密码，在每一轮传播中，每名拥有密码的同学都会传给相同数量的新同学，但每一轮传播结束后，都会随机有6名同学失去密码，不再参与下一轮传播．经过两轮完整传播后，场上共有114名同学持有通关密码．求每一轮传播中，1名同学传给多少名新同学． 3．（安徽省淮北市相山区淮纺路中学2025-2026学年八年级下学期期中数学试卷）经研究发现，若一人患上甲型流感，经过两轮传染后，共有169人患上流感．按这样的传染速度，若4人患上流感，则第一轮传染后患流感的人数共有多少人？ 4．（北京市东直门中学2025-2026学年第一学期九年级数学第一次阶段学情自测）有5个人患了流感，经过两轮传染后共有245个人患了流感，则每轮传染中平均一个人传染多少人？ 5．（2026年江苏无锡市梁溪区九年级下学期第二次模拟考试数学试题）如图为某年10月的月历表，小明和小亮分别用横着、竖着的透明“一”字形框框出3个数． (1)当小明与小亮的框有一个数相同时，他俩框出数的总和的最大值为 ； (2)小明对小亮说：“当我俩框的三个数的中间数相同时，你三数中的最小数与我三数中最小数的积可以为112．”小亮反驳道：“这种情况是不存在的．”请你判断他们俩谁的说法正确，并说明理由． 6．（2026年湖北荆门市外语学校九年级五月独立作业数学试卷）数学兴趣课上，老师拿出两盒数量相同的棋子，分给智算组和数形组各一盒，开展有关“形数”的探究活动．最终同学们经过讨论，分别设计出如下两种方案： 智算组的同学按照图①所示的方式摆放，数形组的同学按照图②所示的方式摆放． (1)先研究特殊情况，若两组都摆放5层，则智算组共用去棋子的数量为___________枚，数形组共用去棋子的数量为___________枚； (2)再探究一般情况，若摆放层，智算组共用去棋子的数量为___________枚，数形组共用去棋子的数量为___________枚（用含有的式子表示）； (3)若智算组按照图①所示的方式摆放老师所给的一盒棋子，完整摆完最后一层后恰好用完，数形组按照图②所示的方式摆放老师所给的一盒棋子，完整摆完最后一层后还剩下8枚棋子，且比智算组多摆了4层，请计算一盒棋子的数量为多少枚？ 7．（山东省聊城市东昌府区部分校2024——2025学年第一学期期中考试九年级数学试题）如图所示，它是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……，第行有..个点，…… (1)第一行有1个点，前两行点数和是3，前三行点数和是6，请问前四行的点数和是 ，前行的点数和是 ； (2)探究发现，120是前 行的点数和； (3)三角点阵中前行的点数和能是60吗？如果能请求出；如果不能，试用一元二次方程说明理由． 8．（安徽淮北市第一初级中学等校2025-2026学年下学期期末八年级数学试题卷（沪科版））观察下列由小黑点组成的图形： 图1中矩形框内小黑点个数为4，小黑点总数为， 图2中矩形框内小黑点个数为6，小黑点总数为， 图3中矩形框内小黑点个数为8，小黑点总数为， 照此规律，解答下列问题： (1)图4中矩形框内小黑点个数为________，小黑点总数为________； (2)当小黑点总数为132个时，矩形框内小黑点个数是多少？ 9．（山东省威海乳山市（五四制）2025-2026学年八年级下学期期末数学试题）园林部门准备在一块长米、宽米的矩形花园内修建一个底部为正方形的亭子如图所示，在亭子四周修四条宽度相同，且与亭子各边均垂直的小路，亭子的边长是小路宽度的倍，花园内的空白地方铺设草坪．若草坪的面积为平方米，求小路的宽度． 10．（第二十五章一元二次方程25.2降次——解一元二次方程25.2.3因式分解法）如图，公园内有一个正方形的小花坛，现在园艺设计师想把花坛的边长增加得到正方形的大花坛，使花坛的面积扩大2倍，求小花坛的边长． 11．（第二十五章一元二次方程综合与实践主题：设计符合国家标准的地下车库）综合与实践 【问题背景】国家对地下车库设计的核心标准是：过道的宽度不仅是为了“通过”，更是为了车辆安全、顺利地转弯、停入和驶出车位．为保证车辆交会时能安全通过，采取“宁宽勿窄”的原则，设计在条件允许的情况下，双向行驶车道的宽度标准为米． 【数据收集】我市某小区地下车库分为等多个区域，其中A区域为长40米，宽22米的标准矩形场地，规划如图所示，停车场内车道宽度均为x米．另据调查分析，该小区每个车位的月租金为200元时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位，设小区每个车位月租金上涨金额为y元． 【建立模型】 (1)当车库A区域停车位（图中阴影）的占地面积为时，通过计算判断车道宽度是否符合标准？ (2)若该小区E区域共有停车位50个，当每个车位的月租金上涨多少元时，该区域停车场的月租金收入为10125元？ 12．（第二十五章一元二次方程25.3实际问题与一元二次方程第1课时数字、面积问题）如图，要设计一本画册的封面，封面长40cm，宽30cm，正中央是一个与整个封面长、宽比例相同的矩形画．如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度? 13．（第二十五章追梦综合演练卷）为了方便居民收取快递，某小区计划在小区内的空地搭建一个面积为30平方米的快递投放点．如图是快递投放点的设计图，该快递投放点为矩形且一边靠墙；这堵墙长10米，在垂直于墙的两边分别开设“进口”和“出口”两道1.5米宽的门．围建投放点的三边（不含靠墙的一边和两道门）共需高度适当的板材14米．请求出这个快递投放点的边和的长． 14．（第二章一元二次方程高效同步练习4应用一元二次方程第1课时应用一元二次方程（一））新型科技广泛应用于智慧农业．为了降低成本和提高采摘效率，某果园引进1台智能机器人采摘某种水果．如图，为了方便智能机器人和工人采摘水果，计划在一块长、宽的矩形果园上修建三条道路，道路的宽度都相等，道路将果园分成面积均为的个小矩形，求道路的宽度． 15．（2022年湖南省张家界市中考数学考前冲刺试题）如图，有长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设． (1)的长用含的代数式表示为 m； (2)现要围成面积为的花圃能行吗？若能，请求出长方形的边长；若不能，请说明理由． 16．（浙江省杭州市拱墅区2025-2026学年八年级下学期期末考试数学试题）某农场要建一个大饲养场（矩形），两面靠墙，位置的墙最大可用长度为17米，位置的墙最大可用长度为12米，围成如图所示的矩形场地，每个场地各留一个1米宽的门（不用木栏）．建成后木栏总长34米．设木栏的长为米． (1)①__________米（用含的代数式表示） ②若饲养场面积为160平方米时，求的长； (2)饲养场面积能达到170平方米吗？若能，请求出的长，若不能，请说明理由． 17．（安徽省安庆市外国语学校2025-2026学年度第二学期期末考试八年级数学（沪科版）试题）根据以下素材，完成探索任务． 探索果园土地规划和销售利润问题 素材1 某农户承包了一块长方形果园，图1是果园的平面图，其中米，米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为米，左右两条纵向道路的宽度都为米，中间部分种植水果．出于货车通行等因素的考虑，道路宽度不超过12米，且不小于5米．    素材2 该农户在种植园区种植草莓，经市场调查，草莓培育一年可产果，若每平方米的草莓销售平均利润为元，每月可销售的草莓；受天气原因，农户为了快速将草莓出手，决定降价，若每平方米草莓平均利润下调5元，每月可多销售草莓．果园每月的承包费为2万元．    (1)解决果园中路面宽度的设计对种植面积的影响．若中间种植的面积是，求道路宽度x的值． (2)解决果园种植的预期利润问题（总利润销售利润承包费）．若农户预期一个月该草莓的总利润为万元，则从购买草莓客户的角度考虑，每平方米草莓平均利润应该降价多少元？ 18．（山东省临沂市河东区2020-2021学年九年级上学期期末数学试题）一个小球以速度开始向前滚动，并且均匀减速，后小球停止滚动．小球滚动约用了________秒（结果保留小数点后一位） 19．（【人教版课时练习】复习题21复习巩固）一个小球以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后小球停止滚动． （1）小球的滚动速度平均每秒减少多少？ （2）小球滚动约用了多少秒（结果保留小数点后一位）？ （提示：匀变速直线运动中，每个时间段内的平均速度（初速度与末速度的算术平均数）与路程s，时间t的关系为．） 20．（内蒙古赤峰市巴林左旗2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试题）如图，在中，．动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动，如果两点分别从两点同时出发． (1)写出的面积关于的函数解析式及的取值范围，并求出当为何值时，最大； (2)经过几秒，的面积为； (3)出发几秒后，的长度等于？ 21．（甘肃省武威市第十中学2025-2026学年九年级上学期期末考试数学试题）如图，在中，，，点点同时由、两点出发分别在线段线段上向点匀速移动，它们的速度都是，几秒后，的面积为面积的？ 22．（山东省淄博市临淄区2025-2026学年初三下学期数学期末考试（五四制））如图，矩形中，，，点从开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，，两点分别从，同时出发． (1)若当其中一个点到达终点时，两个点都停止运动． ①经过几秒，的面积等于？ ②的面积能否等于？如果能，求出运动的时间；如果不能，请说明理由． (2)若点到达后不停止，立即以原速沿返回；点到达后不停止，继续以原速沿射线方向运动，直到点第一次回到时，两点同时停止运动．在整个运动过程中，第几秒的面积等于？ 23．（安徽省阜阳市界首市2025-2026学年八年级下学期6月期末数学试题）项目背景：人工智能的发展为人们的生活与学习带来了诸多便利，初中生也能借助人工智能提升学习效率．为此，综合实践小组的同学们围绕“依托人工智能平台的自主高效学习”开展了项目学习活动，形成了如下活动报告． 项目主题 依托人工智能平台的自主高效学习 活动内容 选择人工智能平台，开展以问题驱动为核心的高效学习 活动过程 活动1：选择人工智能平台 小组成员搜集到如下资料：学习所使用的智能平台所属公司是一家专注人工智能领域的科技公司，该公司致力于开发先进的大语言模型和生成式技术，平台一经发布，便占据各大手机下载市场下载榜首位．据统计，该平台首日在某下载市场的下载量为万次，第二天、第三天的下载量连续增长，第三天的下载量为万次． 活动2：向人工智能平台提出问题 向平台提出的首个问题：如图，把一根长度为的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形的面积之和能否等于？    平台回复的结果： 交流展示 请根据以上的活动报告，解答下列问题： (1)求所使用平台刚发布后的前三天下载量的日平均增长率； (2)请猜想人工智能平台回复的结果是“能”还是“不能”，并说明理由． 24．（2026年河北省邯郸市第二十五中学北校区中考最后一次模拟考试数学试卷）项目主题：设计包装盒． 素材：如图1，矩形纸板中，，． 步骤1：将图1中阴影部分裁剪掉，其中左侧的阴影部分为两个小正方形． 步骤2：将图1中裁剪后的纸板沿虚线恰好可折叠成如图2所示的有盖长方体包装盒． 解决问题： (1)的长为_________； (2)若折叠成的包装盒底面积为，求包装盒的体积． 25．（安徽省六安市金寨县2025-2026学年八年级下学期6月期末数学试题）根据以下素材，探究完成任务： 制作长方体收纳盒 背景 某校数学项目化学习小组准备了一些长为，宽为的长方形硬纸板，准备利用纸板做长方体收纳盒（接缝处忽略不计）．    方案甲 如图所示，甲活动小组在长方形纸板的四个直角处裁掉四个边长均为的小正方形，再沿虚线折成一个无盖的长方体收纳盒，盒子的底面是矩形．    方案乙 如图所示，乙活动小组在长方形纸板的四个直角处裁掉四个长均为宽均为的小长方形，再沿虚线折成一个有盖的长方体收纳盒，若和两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底面是矩形．    (1)任务一：用含的代数式表示：方案甲制作出的无盖收纳盒的底面长为________，底面宽为________． (2)任务二：若方案甲制作出的无盖收纳盒的底面积为，求裁去小正方形的边长的值 (3)任务三：若方案乙制作出的有盖收纳盒的底面积为，请通过计算判断，图中长为，宽为，厚度为的书本能否完全放入该收纳盒内．    26．（安徽省滁州市来安县雷官初级中学等校2025-2026学年第二学期期末考试八年级数学试题）综合与实践 背景 2026年，随着AI服务器、消费电子市场持续回暖，合肥长鑫存储的国产内存芯片订单爆发式增长，产能持续爬坡，相关出货数据不断刷新纪录，带动了本地模组厂商的销售热潮． 素材41 已知长鑫存储某款DDR5-16G内存芯片，周一的出货收入为500万元，随着下游客户备货需求激增，周三的出货收入达到720万元． 素材2 为承接国产芯片的消费热潮，合肥本地模组厂商推出“国产芯·合肥造”DDR5-16G内存模组套装，已知该套装的物料及加工成本为200元/套；当定价为500元/套时，平均每天可售出40套．调研发现，售价每降低20元，平均每天就能多售出8套，现该厂商计划下调售价，使平均每天的销售利润达到12000元． 问题解决 (1)任务1，求从周一到周三，长鑫存储该款DDR5-16G内存芯片出货收入的日平均增长率； (2)任务2，根据素材2，为尽可能多的售空“国产芯·合肥造”DDR5-16G内存模组库存，求下调后每套模组的售价； (3)任务3，根据素材2，该厂商平均每天能否获利16000元？若能，请求出每套模组应降价多少元；若不能，请说明理由． 27．（浙江宁波市海曙区2025-2026学年第二学期期末调研八年级数学试题卷）中国航天“嫦娥探月”、“天问探火”以及空间站建设等成就激发了广大青少年对航天的热情．某航天科技体验馆将在暑假期间推出“逐梦苍穹”航天体验营，团体票收费标准如下： ①如果参加人数不超人，人均费用为元； ②如果参加人数超过人，每增加1人，人均费用降低5元，直到人均费用元时不再下降． (1)若有人参加活动，则人均费用是_______元（用含x的代数式表示）； (2)若某研学团参加体验营需要支付元的团体票费用，求研学团的人数． 28．（安徽池州市青阳县2025-2026学年度第二学期期末考试八年级数学试题）任务型学习： 【项目主题】 探究新款迷你无人机校园营销方案 【项目实施】 阶段一：销售增长趋势分析 任务1：从线上旗舰店调研数据可知，2025年11月该款迷你无人机的销量为1125架，2026年1月份该款迷你无人机的销量为1620架，若2025年12月与2026年1月这两个月该款迷你无人机销量的月平均增长率相同，求该款迷你无人机销量的月平均增长率． 阶段二：校园促销方案设计 任务2：调查发现该旗舰店迷你无人机的进价为每架60元且售价定为每架100元时，每天能销售20架，且售价每降低1元，每天可多销售2架．若需要尽量减少库存，且使每天销售获利1200元，则每架迷你无人机的售价应降低多少元？ 【项目成果】 科技实践小组以线上旗舰店的数据为参考设计出最佳校园营销方案． (1)解决任务1． (2)解决任务2． 29．（山东省烟台市芝罘区2025-2026学年下学期八年级期末数学试卷（五四制））某文创店生产一款文创产品并进行销售．每件文创产品的生产成本是30元，售价定为每件50元时，每天能售出40件．经市场调研发现：每件文创产品的售价每降低1元，每天会多售出8件． (1)该文创店为了提升利润，决定降价销售，若每天利润达到1200元，且尽可能让利于顾客，请求出相应的降价方案； (2)该文创店通过降价销售，每天利润能够达到1400元吗？如果能，请求出相应的降价方案；如果不能，请说明理由． 30．（陕西省西安市雁塔区陕西师范大学附属中学2025-2026学年八年级下学期期末考试数学试题）西安非遗关中剪纸享誉四方，某文创店铺售卖两款剪纸礼盒：礼盒甲、礼盒乙．已知礼盒甲每件售价比礼盒乙贵元．上一周，礼盒甲销售总额为元，礼盒乙销售总额为元，且两款礼盒销售量相等． (1)上一周，礼盒甲、乙的销售单价分别是多少元？（列分式方程求解） (2)本周店铺开展促销，礼盒甲每降价元，销量增加件；礼盒乙每件提价元，销量和上周一样．调整价格后，两款礼盒总销售额比上周多元，求礼盒甲每件降价多少元？ 31．（吉林长春市东北师范大学附属中学2026-2027学年上学期九年级数学开学考试题）超市销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，在让顾客得到更大实惠的前提下，当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？ 32．（黑龙江肇源县第四中学2026-2027学年九年级上学期开学数学收心练习）西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售，每天可售出200千克．为了更多地让利消费者，该经营户决定降价销售．经调查发现，这种小型西瓜每降价0.1元/千克，每天可多售出40千克．另外，每天的房租等固定成本共24元．该经营户要想每天盈利200元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元？ 33．（广东深圳市宝安中学（集团）2026-2027学年上学期九年级数学开学考试题）某超市以每个30元的价格购进A种商品，销售数据表明：当每个A种商品售价为40元时，平均每月售出600个；若售价每下降1元，其月销售量就增加200个． (1)若售价下降5元，每月能售出 个A种商品，若售价下降元（），每月能售出 个A种商品； (2)若本月最多购进有1210个A种商品，经销商决定降价促销，预计月获利恰好为8400元，求每个A种商品的售价； (3)经销商月获利能否达到9600元？说明理由． 34．（湖南省娄底市2022年初中毕业学业作业冲刺数学试题（一））“低碳生活，绿色出行”，自行车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某运动商城的自行车销售量自2021年起逐月增加．据统计，该商城1月份销售自行车64辆，3月份销售了100辆． (1)若该商城前4个月的自行车销量的月平均增长率相同，问该商城4月份卖出多少辆自行车？ (2)考虑到自行车需求不断增加，该商城准备再购进A，B两种型号的自行车共50辆，但投入的资金不超过3万元，已知A型车的进价为500元/辆，售价为700元/辆，B型车进价为1000元/辆，售价为1300元/辆．假设所进车辆全部售完，为使利润最大，该商城应如何进货？ 35．（2026年山东东营市中考数学试题）解决问题 探究主题 黄河口大闸蟹产业发展综合探究 探究背景 为贯彻落实黄河流域生态保护和高质量发展重大战略，东营深耕生态文旅，打造了“观鸟浪、赏黄蓝交汇、品大闸蟹”等特色名片． 资料一 某大闸蟹养殖基地依托旅游产业优势，产能稳步提升．该养殖基地2024年大闸蟹产量约64吨，计划2026年产量达到100吨． 资料二 为满足市场需求，该养殖基地推出不同规格的大闸蟹．其中，某规格公蟹单只售价40元，母蟹单只售价45元． 问题解决： (1)该养殖基地大闸蟹产量平均每年增长的百分率是多少？ (2)若某游客计划购买该规格公蟹和母蟹共12只，且购买母蟹的数量不少于公蟹数量的．怎样购买费用最低，最低费用是多少？ 23 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优02 一元二次方程的实际应用 思维导图 知识点睛 一 一元二次方程应用解题步骤 1、步骤： （1）审：审清题目中各量之间的关系 （2）设：设出未知数（多数直接设，少数需要间接设未知数） （3）列：根据等量关系，列出方程 （4）解：求出未知数的值 （5）验：检验方程的正确性及是否符合实际情况 （6）答：写出应用题答案 二 基础核心题型 1、图形问题： 矩形、道路边框、无盖长方体裁剪、拼接图形的面积和周长公式计算。 2、传播、裂变问题： 病毒传播、树枝生长、人数传染等倍增类，核心公式： 。 3、比赛、握手问题： 双循环的比赛场数是单循环的二倍，核心公式：双循环：；单循环： 。 4、增长率、下降率问题： 连续两次的增长或下降，核心公式：终值=初值× 。 5、数字、日历问题： 利用数字的表示，十位数字×10、百位数字×100……。日历问题核心，左右差1，上下差7。 三 培优拔高题型 1、销售利润方案问题： 利用核心公式：总利润=单件利润×销售数量进行解答，按照要求进行方案的选择，利润最高或者销量最高。 2、动点问题： 利用核心公式：路程=速度×时间，结合题干中对图形要求寻找等量关系，关注运动的时间、开始和结束。 3、找规律问题： 依据数字规律或图形规律找到等量关系。 基础题型 题型1：图形问题（周长面积）（易） 1. 知识点：一元二次方程的应用 2. 解题技巧：多用平移到一个角落的形式，形成新的规则图形。 【例1】 （广西壮族自治区崇左市江州区2025-2026学年八年级下学期7月期末数学试题）如图，用长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽为1米的两扇小门． (1)设花圃的一边长为x米，请你用含x的代数式表示另一边的长； (2)若此时花圃的面积刚好为，求此时花圃的长与宽； (3)能否围成面积为的花圃？请说明理由． 【答案】(1)米；(2)花圃的长为9米，宽为5米；(3)不能围成面积为的花圃 【分析】（1）设花圃的宽长为x米，则米； （2）由矩形面积，列出方程，解方程可得答案； （3）由矩形面积，列出方程，判断方程的解的情况可得答案． 【详解】（1）解：∵宽米， ∴长（米）； （2）解：∵花圃的面积刚好为平方米， ∴， 化简得：， 解得：，， 当时，长，不合题意，舍去； 当时，长，符合题意； 答：花圃的长为9米，宽为5米． （3）不能围成面积为的花圃，理由如下： 当花圃的面积刚好为时， ， 化简得：， ∴， ∴该方程没有实数解， ∴不能围成面积为的花圃． 变式1-1 （陕西咸阳市长武县彭公镇初级中学2025-2026学年度第二学期期末考试题（卷）八年级数学）如图，学校准备在教学楼后面搭建一个简易矩形自行车车棚，一边利用教学楼10米长的后墙，另外三边利用学校现有的总长为21米的铁栏围成（墙的厚度忽略不计）． (1)若围成的车棚面积为54平方米，求出自行车车棚的长和宽； (2)能围成面积为60平方米的车棚吗？若能，说出你的方案；若不能，请说明理由． 【答案】(1)面积为54平方米时车棚的长为9米，宽为6米；(2)不能围成面积为60平方米的车棚． 【详解】（1）解：设为x米，则为米， 由题可得：， 解得，， ， （舍去）， ，米， ∴面积为54平方米时车棚的长为9米，宽为6米； （2）解：不能围成面积为60平方米的车棚； 理由：设为x米，则为米， 由题可得：44， 整理得， ∵， ∴不能围成面积为60平方米的车棚． 变式1-2 （浙江省长兴县部分校2021-2022学年八年级下学期数学试题）某镇政府规划在新城区政府大楼前建设一块长a米，宽b米的长方形草坪，并计划在该草坪上修筑宽都为2米的两条互相垂直的人行道（如图）． (1)用含a，b的代数式表示两条人行道的总面积； (2)若已知，并且四块草坪的面积之和为2204平方米，试求原长方形的长与宽各为多少米？ 【答案】(1)平方米；(2)长为60米，宽为40米 【分析】（1）直接根据题意列代数式即可； （2）设，则，根据题意，得，然后解方程求得x值即可解答． 【详解】（1）解：∵两条人行横道的长分别为a米和b米，宽均为2米， ∴人行横道的面积为平方米； （2）解：∵， ∴设，则， 根据题意，得4 解得或（舍去） ∴，， 答：原长方形的长为60米，宽为40米． 题型2：传播、裂变问题（重） 1. 知识点：一元二次方程的应用 2. 解题技巧：病毒传染利用公式，树干分支利用公式，分支问题可理解成连续两个数字相乘，解为小数。 【例2】 （云南楚雄彝族自治州2025-2026学年九年级上学期2月期末数学试题）冬季期间，甲型流感在某班悄然传播，某班最初有2人患上甲流，经过2轮传染后，有32人已确诊甲流，求每轮传染中平均每人传染的人数． 【答案】3人 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用， 【详解】解：设每轮传染中平均每人传染人．依题意，得 ， 解得（舍去）． 答：每轮传染中平均每人传染3人． 变式2-1 （天津市第九十中学2025-2026学年九年级上学期第一次月考数学试卷）某种树木的主干长出若干支干，假设每个支干长出的小分支数目与主干长出的支干数目相同，若此时主干、支干和小分支的总数是111．求每个支干长出多少小分支？设主干长出了个支干．请根据相关信息，解答下列问题： (1)填空用含的代数式表示： ①在小分支没有长出之前，主干和支干的总数是________； ②在每个支干又长出了数目相同的小分支后，小分支的个数为________； ③在每个支干又长出了数目相同的小分支后，主干、支干和小分支的总数可以表示为________； (2)请继续完成本题的解答． 【答案】(1)①；②；③；(2)每个支干长出个小分支 【分析】本题考查列代数式及一元二次方程解应用题，读懂题意，准确表示相关量的代数式，并由等量关系建立方程求解是解决问题的关键． （1）设主干长出了个支干，根据题意，即可得到主干和支干的总数；小分支的个数；主干、支干和小分支的总数；直接列代数式即可得到答案； （2）由（1）中所得代数式，由题中主干、支干和小分支的总数是111，由等量关系建立方程，由因式分解法解一元二次方程即可得到答案． 【详解】（1）解：①设主干长出了个支干，在小分支没有长出之前，主干和支干的总数是， 故答案为：； ②设主干长出了个支干，当每个支干又长出了数目相同的小分支后，小分支的个数为， 故答案为：； ③由①②可知，在每个支干又长出了数目相同的小分支后，主干、支干和小分支的总数可以表示为， 故答案为：； （2）解：设主干长出了个支干， 由（1）可得， 即， ， 解得或（负值，舍去）， 答：每个支干长出个小分支． 变式2-2 （天津市西青区中北中学2025-2026学年九年级上学期第一次月考数学试卷）有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感． (1)求每轮传染中平均一个人传染了几个人？ (2)经过第三轮传染一共有多少人感染？ 【答案】(1)每轮传染中平均一个人传染了7人；(2)经过第三轮传染一共有512人感染 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； 根据题意列式计算即可． 【详解】（1）每轮传染中平均一个人传染了x个人， 根据题意得：， 整理得：， 解得：（不合题意，舍去）， 答：每轮传染中平均一个人传染了7人； （2）根据题意得：人， 答：经过第三轮传染一共有512人感染． 题型3：比赛、握手问题（重） 1. 知识点：一元二次方程的应用 2. 解题技巧：利用公式或，可理解成连续两个数字相乘，解为大数。 【例3】 （2026-2027全国九年级上册）按要求完成下列各题： (1)南宁市某中学要在初中组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排场比赛，问应该邀请多少支球队参加比赛? (2)南宁市某中学要在高中篮球比赛中，规定所有球队直接进行双循环赛（即每两个队之间进行两场比赛），总共进行场比赛，求有多少支球队参加比赛． 【答案】(1)应该邀请支球队参加比赛；(2)有支球队参加比赛 【分析】（1）设应该邀请支球队参加比赛，根据题意的数量关系列出一元二次方程即可； （2）根据题意的数量关系列出一元二次方程即可． 【详解】（1）解：设应该邀请支球队参加比赛， ∵赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排场比赛， ∴ 整理得，， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：应该邀请支球队参加比赛． （2）解：设有支球队参加比赛， ∵所有球队直接进行双循环赛，总共进行场比赛， ∴， 整理得，， 解得，，（不符合题意，舍去）， 答：有支球队参加比赛． 变式3-1 （2026-2027全国九年级上册）某学校九年级举办了一场乒乓球比赛，比赛采用单循环赛制（每两位参赛选手之间都赛1场）． 乐乐和淇淇针对这次比赛有如下对话： 乐乐：本次比赛一共进行了40场． 淇淇：你所说的并不正确，按照这个赛制，不应该是40场． 假设有x人报名参加比赛． (1)根据题意，乐乐列出的方程应该是：________．请利用乐乐所列的方程分析淇淇的说法是否正确； (2)乐乐补充道：本次比赛的确一共进行了40场，只是在比赛过程中遇到了特殊情况，有1人身体不适，只参加了4场比赛后就中途退赛．请直接写出此时x的值． 【答案】(1)，淇淇的说法正确；(2)10． 【分析】（1）设有x人报名参加比赛，根据采用单循环赛制，列方程，求解即可． （2）设有x人报名参加比赛，根据采用单循环赛制，有一人比赛了4场后退出比赛，还有人继续比赛，此时比赛的场数为，列方程求解即可； 【详解】（1） 解：根据题意列一元二次方程得，，整理得，解得，不是整数， ∴方程的解不符合实际，按这个赛制不应该是40场，故淇淇的说法正确； （2）解：设有x人报名参加比赛，根据采用单循环赛制，有一人比赛了4场后退出比赛，还有人继续比赛，其余人继续比赛的场数为， 由题意得， 解得（舍去）， ∴x的值为10． 变式3-2 （2026-2027全国九年级上册）一个凸多边形共有条对角线，它是几边形?是否存在有条对角线的多边形?如果存在，它是几边形?如果不存在，说明得出结论的过程． 【答案】有条对角线的多边形是八边形；不存在有条对角线的多边形． 【分析】设这个多边形是边形，利用多边形对角线公式得出，解一元二次方程求出符合条件的的值即可得出有条对角线的多边形的边数；令，解一元二次方程得出，根据为正整数，即可得出不存在有条对角线的多边形． 【详解】解：设这个多边形是边形， ∵一个凸多边形共有条对角线， ∴， 整理得，， 解得，（舍去）， ∴这个多边形是八边形． 不存在有条对角线的多边形，说明如下： 设边数为m， 则有， ， 解得，， ∵为正整数，不是正整数， ∴不存在有条对角线的多边形． 题型4：增长率、下降率问题（重） 1. 知识点：一元二次方程的应用 2. 解题技巧：利用公式终值=初值×。 【例4】 （2026-2027全国九年级上册）某工厂一月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，三月份的生产成本是289万元，假设每月生产成本的下降率相同．求每月生产成本的下降率． 【答案】每月生产成本的下降率为 【分析】设每月生产成本的下降率为，根据题意，得，解方程求解即可． 【详解】解：设每月生产成本的下降率为，根据题意，得， 故， 解得，（舍去）． 答：每月生产成本的下降率为． 变式4-1 （辽宁大连市西岗区2025-2026学年下学期期末质量抽测试卷八年级数学）为了减轻百姓医疗负担，某制药厂将一种药剂价格逐年降低．年这种药剂价格为元，年该药剂价格为元． (1)求年到年这种药剂价格的年平均下降率； (2)该制药厂计划年对此药剂继续降价，药剂价格的下降率与年到年的平均下降率相同，求该药剂在年的价格． 【答案】(1)年到年这种药剂价格的年平均下降率为 (2)该药剂在年的价格为元 【分析】（1）设年到年这种药剂价格的年平均下降率为，根据题意列方程求解即可； （2）根据题意列出算式求解即可． 【详解】（1）解：设年到年这种药剂价格的年平均下降率为， 解得 ，（不符合题意，舍去） ． 答：年到年这种药剂价格的年平均下降率为． （2）解：（元） 答：该药剂在年的价格为元． 变式4-2 （2026-2027全国九年级上册）随着“绿色出行，低碳生活”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某品牌新能源汽车10月份销售量为3万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，12月份的销售量达到4.32万辆．求从10月份到12月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率． 【答案】 【分析】本题是“平均增长率”应用题，可利用“复利增长模型”建立方程再求解．已知初始值是10月销售量3万辆，经过2个月后的终值为12月份的销售量4.32万辆，设月平均增长率为x，则列出一元二次方程，再通过解方程即可求出一元二次方程的两个根，最后应注意增长率为正数，应舍去负根． 【详解】解：设从10月份到12月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为x， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）； 答：从10月份到12月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为． 题型5：数字、日历问题（易） 1. 知识点：一元二次方程的应用 2. 解题技巧：利用数字的表示，十位数字×10、百位数字×100……。日历问题核心，左右差1，上下差7。 【例5】 （安徽省宿州市泗县2025-2026学年九年级上学期11月月考数学试题）如图，这是2025年4月份的月历，在此月历表上按照如图所示的方式圈出4个数，若圈出的4个数中，最小的数与最大的数的乘积为345，则这个最小数为？ 【答案】15 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．设最小数为，则最大数为，根据最小的数与最大的数的乘积为345建立方程，解方程即可得． 【详解】解：设最小数为，则最大数为， 由题意得：， 解得，， 答：这个最小数为15． 变式5-1 （2026-2027全国九年级上册）回答下列问题：（1）一个两位数，个位数字比十位数字少1，且个位数字与十位数字的乘积等于72，则这个两位数是_______； （2）三个连续整数两两相乘，再求和，结果为242，则这三个数分别是___________． 【答案】（1）98；（2）8，9，10或 【分析】（1）设个位数字为x，则得十位数字为，根据个位数字与十位数字的乘积等于72，列出一元二次方程，求解即可； （2）设三个连续整数里中间的整数为x，则可表示出两边的整数，列出方程即可求解． 【详解】解：（1）设个位数字为x，则得十位数字为， 由题意得， 整理得， 解得（舍去）， 则十位数字为，所求的两位数为98； （2）设三个连续整数里中间的整数为x，则较小的整数为，较大的整数为， 由题意得， 整理得， 解得， 所以三个连续整数分别为8，9，10或． 变式5-2 （福建省福州第十八中学象园校区2025-2026学年第二学期八年级下学期期末考试数学试卷）2026年4月5日是我国的传统节日清明节，又称踏青节、行清节、三月节、祭祖节等，在每年4月4日至6日之间，是祭祀、祭祖和扫墓的节日．清明节源自上古时代的祖先信仰与春祭礼俗，兼具自然与人文两大内涵，既是自然节气点，也是传统节日．清明节与春节、端午节、中秋节并称为中国四大传统节日．在本月日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示）．若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为153，求这个最小数．（请用方程知识解答） 【答案】9 【分析】设四个数中最小数为，则最大数为，再根据最小数与最大数的乘积为153列一元二次方程求解，最后选择符合实际的解即可． 【详解】解：设四个数中最小数为，则最大数为 由题意得：， 整理得：， ， 即， 解得：（舍）， 答：最小数为9． 培优题型 题型6：销售、利润、方案问题（难） 1. 知识点：一元二次方程的应用。 2. 解题技巧:利用核心公式：总利润=单件利润×销售数量进行解答，按照要求进行方案的选择，利润最高或者销量最高。 【例6】 （广西壮族自治区百色市田林县田林中学2025-2026学年八年级下学期7月期末数学试题）【背景素材】某工厂一车间对某款新能源汽车的关键零部件进行智能化、一体化加工，生产效率大幅提升．车间技术员记录了以下两组信息： 素材1 该车间4月份生产该零件100个，到6月份产量增加至144个，且每月增长率相同． 素材2 该零件的生产成本为每个30元．市场调研发现：当售价定为每个40元时，每月可销售600个；若售价每上涨1元，月销售量就会减少10个． 【任务驱动】 (1)任务一：求该车间4月份到6月份生产该零件数量的月平均增长率． (2)任务二：工厂为了提升利润，计划调整售价，并要求月销售利润达到10000元．同时，为了让更多消费者买得起，价格尽可能实惠．请你计算该零件的实际售价应定为每个多少元？ 【答案】(1)月平均增长率为；(2)该零件的实际售价应定为每个元 【分析】（1）本题为平均增长率问题，设月平均增长率为未知数，根据4月产量和6月产量的关系列一元二次方程，舍去不符合实际的负根即可得到结果； （2）本题为销售利润问题，利用“总利润单个利润月销售量”的关系列一元二次方程求解，结合“价格尽可能实惠”的要求，选择较小的解即可． 【详解】（1）解：设该车间4月份到6月份生产该零件数量的月平均增长率为， 根据题意得：， 解得，（增长率为负不符合实际，舍去） 答：月平均增长率为． （2）解：设该零件的实际售价应定为每个元，则单个利润为元，售价上涨了元， 因此月销售量为个， 由月销售利润为元， 列方程得：， 整理得， 因式分解得， 解得，， ∵要求价格尽可能实惠，需选取较小的售价， ∴， 答：该零件的实际售价应定为每个(元)． 变式6-1 （河北石家庄外国语教育集团2025—2026学年第二学期八年级期末数学试题）问题情境： 八年级（1）班的同学，对石家庄梨膏糖食品厂出产的“梨膏糖”每日生产和销售的情况进行了信息整理，结果如下： 信息1：这款“梨膏糖”日产量x（千克）的范围是． 信息2：这款“梨膏糖”每千克的生产成本（元）与日产量x（千克）之间关系如下表所示． 信息3：这款“梨膏糖”每千克的售价（元）与日产量x（千克）之间的关系式为：． 日产量x（千克） 30 60 90 120 每千克的生产成本（元） 55 50 45 40 问题解决： (1)根据表格信息，这款“梨膏糖”每千克生产成本是x的一次函数，求此函数关系式； (2)求这款“梨膏糖”每千克的售价的最大值是多少元； (3)若该厂每日生产的“梨膏糖”当天会全部售完． ①该厂计划将某日这款“梨膏糖”的销售利润定为1200元，如果你是生产部经理，当日该产品的日产量应该定为多少比较合理？为什么？ ②该厂计划将某日这款“梨膏糖”的销售利润定为1500元，能否实现？请通过计算说明理由． 【答案】(1)；(2)80元；(3)①日产量定为60千克；②不能实现 【分析】（1）利用待定系数法，代入表格数据求解一次函数解析式； （2）根据一次函数的增减性，结合自变量取值范围求的最大值； （3）①先根据总利润每千克利润日产量，得到总利润关于的二次函数，再令求解即可； ②令，通过方程解的情况判断目标利润能否实现． 【详解】（1）解：设与的函数关系式为， 从表格中选取两组数据，即；， 代入得，解得， 则有， 经检验，其余点均满足该解析式，结合的取值范围，得函数关系式为； （2）解：已知 ， 随的增大而减小， 当时，取得最大值，最大值为， 即这款“梨膏糖”每千克的售价的最大值是80元； （3）解：由题意，每日生产的梨膏糖全部售完，设总利润为W， 则， ①当时，得方程， 整理得，解得，均满足， 在获得相同利润时，日产量为60千克比120千克投入的人力和原材料更少，成本更低， 因此选择60千克更合理， 答：当日该产品的日产量应该定为60千克． ②当时，得方程， 整理得，配方得， 任何实数的平方都大于等于0，因此方程没有实数解，即不存在满足条件的日产量，因此不能实现目标利润， 答：不能实现利润为1500元的计划． 变式6-2 （山东省滕州市洪绪镇洪绪中学2021-2022学年九年级上学期开学质量检测数学试题）商场某种商品平均每天可销售件，每件盈利元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查，每件商品每降价元，商场平均每天可多销售件． (1)当每件盈利元时，每天可销售多少件？ (2)每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到元？ (3)商场日盈利能否达到元？ 【答案】(1)当每件盈利元时，每天可销售件；(2)每件商品降价元时，商场日盈利可达到元；(3)商场日盈利不能达到元 【分析】（1）根据“某种商品平均每天可销售件，每件盈利元，每件商品每降价元，商场平均每天可多销售件”，计算出每件盈利元时，每件商品降价的钱数，从而计算出商场每天可多销售的数量，从而计算出每天销售的数量； （2）设每件商品降价元时，商场日盈利可达到元，则商场每天多销售件，根据“某种商品平均每天可销售件，每件盈利元，每件商品每降价元，商场平均每天可多销售件”，列出关于的一元二次方程，解之即可； （3）设每件商品降价元时，商场日盈利可达到元，则商场每天多销售件，根据“某种商品平均每天可销售件，每件盈利元，每件商品每降价元，商场平均每天可多销售件”，列出关于的一元二次方程，结合判别式公式，判断该方程根的情况，即可得到答案． 【详解】（1）解：当每件盈利元时，每件商品降价：（元）， 商场每天可多销售：（件）， 每天销售：（件）， 答：当每件盈利元时，每天可销售件， （2）解：设每件商品降价元时，商场日盈利可达到 元， 则商场每天多销售件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 为减少库存，应舍去， 答：每件商品降价元时，商场日盈利可达到元； （3）解：设每件商品降价元时，商场日盈利可达到元，则商场每天多销售件， 根据题意得：， 整理得：， ， 该方程无实数根， 即商场日盈利不能达到元， 答：商场日盈利不能达到元． 题型7：动点问题（难） 1. 知识点：一元二次方程的应用。 2. 解题技巧：利用核心公式：路程=速度×时间，结合题干中对图形要求寻找等量关系，关注运动的时间、开始和结束。 【例7】 （福建省莆田市荔城区黄石镇沙堤初级中学2025-2026学年九年级上学期第一次数学阶段学情自测）如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．若P，Q两点同时出发，当点Q运动到点C时，P，Q两点同时停止运动． 求：(1)几秒后，的面积等于？(2)的面积能否等于？说明理由． 【答案】(1)当出发1秒后，的面积等于；(2)不能 【分析】（1）设出发t秒时，则，， ，根据， 解方程即可求解； （2）令，根据三角形的面积公式列出方程，再根据得出方程没有实数根，从而得出的面积不能等于． 【详解】（1）解：设出发秒时，则， ，． ∴ 即 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴当出发1秒后，的面积等于； （2）解：不能， 理由：假设经过t秒后，的面积等于，即， ∴， 整理得：， 由于， 则方程没有实数根， ∴的面积不能等于． 变式7-1 （浙江杭州师范大学东城实验学校2025-2026学年下学期八年级期中学情调研数学试题卷）在物理中，沿着一条直线且速度均匀地增大或减小的运动，叫作匀变速直线运动．在此运动过程中，每个时间段的平均速度为初速度和末速度的算术平均数，例如，在一个时间段内，初速度为10米/秒，末速度为30米/秒，则这个时间段的平均速度为（米/秒）．运动路程等于时间与平均速度的乘积（即）．若一个小球以10米/秒的初速度沿平滑的直线向前滚动，并且均匀减速，5秒后小球停止运动． (1)小球的滚动速度平均每秒减少________米，从开始到滚动了秒后小球的速度为________米/秒． (2)小球从开始到滚动21米用了多少秒？ (3)小球在最后一秒滚动了多少米？ 【答案】(1)2，；(2)秒；(3)米 【分析】（1）根据以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，5秒后小球停止运动列式计算即可； （2）设小球滚动21米用了秒，由时间速度路程，列出一元二次方程，解方程即可． （3）根据（1）中结论得出小球滚动距离，再代入和作差即可解答． 【详解】（1）解：小球的滚动速度平均每秒减少， 从开始到滚动了秒后小球的速度为米/秒， （2）解：设小球滚动21米用了秒，此时小球的末速度为 米/秒， 根据题意，得 整理得 解得 ， 当 时， ，不符合实际，舍去 因此 答：小球从开始到滚动21米用了3秒． （3）解：∵小球的滚动速度平均每秒减少，从开始到滚动了秒后小球的速度为米/秒， ∴小球滚动距离， 当时，， ∴小球滚动25米后停止， 当时，， 故小球在最后一秒滚动了米． 变式7-2 （25-26全国九年级上册）如图所示，在中，厘米，厘米，，点P从点A开始沿边向点B以1厘米秒的速度移动（到达点B即停止运动），点Q从B点开始沿边向点C以2厘米秒的速度移动（到达点C即停止运动），如果P、Q分别从A、B同时出发，经过几秒，的面积等于100平方厘米? 【答案】经过秒或秒，的面积等于100平方厘米 【分析】设运动时间为t秒，根据题意和三角形面积公式进行分类讨论求解即可． 【详解】解：设运动时间为t秒， 当时，依题意，得 解得，（不合题意，舍去）； 当时，依题意，得 解得． ∴经过秒或秒，的面积等于100平方厘米． 题型8：找规律问题（难） 1. 知识点：一元二次方程的应用。 2. 解题技巧：根据图形的摆放和数字规律，找到等量关系列式。 【例8】 （广东省中山市第一中学2025--2026学年九年级上学期期中数学试卷）探究：已知，如图是一个三角形点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……第行有个点，……，容易发现，10是三角形点阵中前4行的点数和． （提示：． (1)三角形点阵中前10行的点数和是___________； (2)若三角形点阵中前行的点数之和为210，求的值； (3)三角形点阵中前行的点数之和能是300吗？若能，求出的值；若不能，试用一元二次方程说明道理． 【答案】(1)；(2)的值为；(3)能， 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及规律型：图形的变化类，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）将前10行的点数相加，即可求出结论； （2）根据前a行的点数之和为210，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （3）根据前b行的点数之和为300，即可得出关于b的一元二次方程，再求解判断即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 故答案为：； （2）解：由题意得，， ， 整理得， 解得，（舍）， ∴的值为； （3）解：三角形点阵中前行的点数之和能是300，理由如下： 由题意可得：， 即． 整理得， ， ∴，， ∵为正整数， ∴． 变式8-1 （山西省吕梁市汾阳市部分学校2025-2026学年上学期第一次月考九年级数学试卷）综合与实践 问题情境 在数学活动课上，同学们对三角形点阵中前n行的点数计算进行探究活动．如图1，这是一个三角形点阵，从上到下有无数行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，…第n行有n个点． 数学建模 （1）容易发现10是三角形点阵前4行的点数和，但是遇到较大的点数，逐个数点很繁琐．在探究的过程中，将一个正立的三角形点阵倒立，再与正立的原三角形点阵拼成一个平行四边形点阵（如图2），三角形点阵的点数和为平行四边形点阵中点的数量的一半．由此得图1中三角形点阵前n行的点数和是______． 问题解决 （2）如图3，该点阵每行的点数从上到下依次为1，3，5，7，…，，，，…，7，5，3，1，这个点阵的点数和能是841吗？请说明理由． （3）一群人走进果园去摘石榴，第一个人摘了1个石榴，第二个人摘了2个石榴，第三个人摘了3个石榴，以此类推，后进果园的人都比前一个人多摘一个石榴，这群人刚好把果园的石榴全部摘下来了，如果平均分配，每个人可以得到6个石榴，问这群人共有多少人？ 【答案】（1）；（2）当时，这个点阵的点数和是841；（3）11人 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，规律型：图形的变化； （1）从图2可知平行四边形点阵是由n行每行个点组成的，所以总数为，而三角形点阵数量是同行数平行四边形点阵数量的一半，即； （2）设，，则，算出T就可知道S的值，参照（1）的计算方法可将T正立和倒立组成一个平行四边形点阵，从而得出T，再得出S，最后令，就可知点数和能否是841； （3）设这群人有x人，根据（1）的结论可知这群人摘石榴的总数为，根据这些石榴平均分配每人可得6个，可建立方程求解. 【详解】解：（1）∵从图2可知平行四边形点阵是由n行每行个点组成的， ∴总数量为， ∵三角形点阵的点数和为平行四边形点阵中点的数量的一半， ∴图1中三角形点阵前n行的点数和为． 故答案为． （2）这个点阵的点数和能是841， 理由：设，， 则， 由（1）的方法可得正立T和倒立T可组成如下图的平行四边形点阵， ∴， ∴， 当时，解得或， ∵n为正整数， ∴． 故当时，这个点阵的点数和是841. （3）设这群人共有x人． 由题意得， 即， 解得（舍去），． 故这群人共有11人． 变式8-2 （2026年安徽省阜阳市临泉县第四中学等校二模数学（A卷）（试题卷））综合与实践 【项目主题】班级劳动实践小组拟用正方形和等腰直角三角形地砖铺设社区小广场． （1）【项目准备】已知图中小正方形地砖的面积为，则等腰直角三角形地砖的面积为①_____，图形中心的稍大正方形地砖的面积为②_____． （2）【项目分析】第1个图形中，小正方形的个数为，等腰直角三角形的个数为； 第2个图形中，小正方形的个数为，等腰直角三角形的个数为； 第3个图形中，小正方形的个数为，等腰直角三角形的个数为； ．．． 根据规律， 第4个图形中，小正方形的个数为③_____，等腰直角三角形的个数为④_____， （3）【项目实施】如果社区小广场是按以上方法铺设的面积为的正方形广场，则需要小正方形地砖的块数为⑤_____，等腰直角三角形地砖的块数为⑥_____． 请将上述材料中横线上所缺内容补充完整： ①_____；②_____；③_____；④_____；⑤_____．⑥_____． 【答案】①；②2；③56；④28；⑤756；⑥84 【分析】（1）根据题目条件及图形计算即可； （2）根据图片的序号与图形中的数据关系，找出规律即可； （3）由（2）中的数量关系列方程求解即可． 【详解】解：（1）图中小正方形地砖的面积为，则等腰直角三角形地砖的面积是小正方形地砖的面积的一半，为，图形中心的稍大正方形地砖的面积是小正方形地砖的面积的两倍，为； （2）第1个图形可分成4个等腰梯形， 其中1个等腰梯形中，小正方形的个数为，等腰直角三角形的个数为， 第1个图形中小正方形的个数为，等腰直角三角形的个数为； 第2个图形中小正方形的个数为，等腰直角三角形的个数为， 第3个图形中小正方形的个数为，等腰直角三角形的个数为； 第4个图形中小正方形的个数为，等腰直角三角形的个数为； （3）第个图形中小正方形的个数为，等腰直角三角形的个数为； 第1个图形的面积是， 第2个图形的面积是， 第3个图形的面积是， ．．． 第个图形的面积是， 当时，解得（负值舍去）， 当时，． 铺设该广场需要小正方形地砖的块数为756，等腰直角三角形地砖的块数为84． 题型9：综合项目探究式问题（难） 1. 知识点：一元二次方程的应用。 2. 解题技巧：结合销售、图形变换等具体的问题，依据题目探究的思路进行分析。 【例9】 （广东省湛江市寸金培才学校2023?2024学年初三级第六次学情调研数学科试卷）综合与实践 主题：如何制作收纳盒，收纳玩具． 素材：闲置的一张长为，宽为的长方形硬纸板（如图①）． 实践操作：在长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形（如图②），然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖长方体收纳盒（如图③）． 问题解决： (1)若剪去的小正方形的边长为，则折成的无盖长方体收纳盒的侧面积为 ； (2)若折成的无盖长方体收纳盒的底面积为时，请通过计算判断能否把家里的一个冰墩墩玩具完全放入该收纳盒里（冰墩墩的高度不能超过收纳盒的高度）．冰墩墩的实物图和尺寸大小如图④． 【答案】(1)520；(2)冰墩墩玩具能完全放入该收纳盒里 【分析】（1）分别求出侧面小长方形的长，再根据侧面积公式，计算即可； （2）设剪去的小正方形的边长为，列出一元二次方程，求解，从而求出收纳盒的长、宽和高，最后比较即可． 【详解】（1）解：（），（）， （）， 则折成的无盖长方体收纳盒的侧面积为520； （2）解：设剪去的小正方形的边长为， 由题意得，， ，（不合题意，舍去）， 即剪去的小正方形的边长为12cm， 此时收纳盒的长为（），宽为（），高为12． ，，， 冰墩墩玩具能完全放入该收纳盒里． 变式9-1 （江苏省淮安市开明中学2025—2026学年八年级第二学期数学期末试题）综合与实践：探究奶茶甜度 【阅读材料】奶茶甜度是衡量饮品口感的重要指标，行业内统一规定甜度计算公式：奶茶甜度，甜度数值越大，代表奶茶口感越甜；制作奶茶时额外添加的糖均可完全溶解，不计沉淀损耗． 【问题背景】某连锁奶茶店统一规格饮品基础参数：一杯a克的奶茶含糖量b克，称甜度为标准糖，以此甜度作为基准甜度，根据顾客需求划分四种甜度档位： 标准糖：含糖量b克；七分糖：含糖量0.7b克； 五分糖：含糖量0.5b克；三分糖：含糖量0.3b克． 已知制作过程中，后添加的糖全部溶解在饮品内，会同步增加奶茶总质量，请结合甜度计算公式完成下列探究任务． (1)任务一：一杯总质量为400克的奶茶含糖40克，则该奶茶的甜度为 ； (2)任务二：一天，小明到这家奶茶店点了一杯a克七分糖奶茶，则该奶茶的甜度 （用含a、b的代数式表示）；由于店员疏忽，做成了一杯a克五分糖奶茶，店员再往这杯奶茶中加入了0.2b克糖，则奶茶的甜度 （用含a、b的代数式表示）；请比较大小： ． (3)任务三：为了保持奶茶店产品的品质，一杯a克五分糖奶茶需要再加入多少克的糖才能与七分糖奶茶的甜度一样？ (4)任务四：奶茶店推出“双杯拼配”玩法： 甲杯：a克三分糖奶茶（含糖0.3b克） 乙杯：a克标准糖奶茶（含糖b克） 操作1：从甲、乙两杯各倒出x克奶茶，互相交换倒入对方杯中，搅拌均匀； 操作2：再从操作1后的甲、乙两杯各倒出x克奶茶，互相交换倒入对方杯中，搅拌均匀．此时甲杯奶茶的甜度恰好等于五分糖奶茶的甜度，则x的值为 （用含a的代数式表示，且）． 【答案】(1)；(2)；；；(3)克（或）；(4) 【分析】（1）根据甜度计算公式，用糖的质量除以奶茶总质量即可． （2）分别用含糖量比总质量表示两种情况下奶茶的甜度，再作差比较大小． （3）设需要再加入克糖，根据甜度相等列出分式方程求解，并检验． （4）依次计算操作1和操作2后甲杯的含糖量，根据甲杯甜度等于五分糖甜度列出方程求解． 【详解】（1）解： 奶茶甜度， 该奶茶的甜度． （2）解： 一杯克七分糖奶茶含糖， ， 一杯克五分糖奶茶含糖克，再加入克糖后，含糖克，总质量为克， ， ，， ， ， 即． （3）解：设一杯克五分糖奶茶需要再加入克糖才能与七分糖奶茶的甜度一样， 加入克糖后，糖的质量为克，奶茶总质量为克， ， 解得，， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：需要再加入克糖． （4）解：操作1后，甲杯含糖量为克， 甲杯甜度为， 操作1后，乙杯含糖量为克， 乙杯甜度为， 操作2后，甲杯含糖量为克， 操作2后，甲杯甜度为， 五分糖奶茶的甜度为， ， 整理，得， ， ， ，且， ． 变式9-2 （山东省济南市历城区2025-2026学年度第二学期期末质量检测八年级数学试题）阅读材料，并解决问题． 【文化欣赏】 三国时期的数学家赵爽所著的《勾股圆方图注》中记载了一种图解一元二次方程的方法．以解方程为例：将原方程整理可得：，可视为一个矩形的面积为35，构造如图1所示的图形，此时大正方形的面积是，同时它又等于四个矩形的面积加中间小正方形的面积的和．所以，由此得原方程的一个正根为． 【类比迁移】 (1)小颖根据以上解法解方程，请将其解答过程补充完整： 第一步：将原方程变形为，即（ ）； 第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形； 第三步：根据大正方形的面积可得新的方程 ，解得原方程的一个正根为 ； 【拓展应用】 (2)一般地，对于形如（，）的一元二次方程可以构造图2来解．已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，请用上面的方法求此方程的正根； 【思维提升】 (3)小明用此方法解关于的方程，其中，他以和作为矩形的两邻边构造出如图2同样的图形，已知小正方形的面积为4，则的值为_________． 【答案】(1)；；；(2)此方程的正根为1；(3)6 【分析】（1）与题干思路一致，画出图形更容易得解； （2）先因式分解变形得，再根据题干条件分析，，求出的值，求解即可； （3）先画出图形，根据小正方形的面积为4，得到①，根据大正方形的面积可得新的方程：，则②，解方程即可． 【详解】（1）解：， 第一步：将原方程变为，即； 第二步：如图，利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形； 第三步：根据大正方形的面积可得新的方程：； 解得原方程的一个正根为； （2）解：∵， ∴， ∴四个小矩形的面积各为b，大正方形的面积是，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即， ∵图②是由4个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4， ∴，， 解得：，（舍去负值）， 当时，， ∴， 解得， ∴方程的一个正根为1； （3）解：如图，利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形， 9 ∵小正方形的面积为4，， ∴，①， ∵， ∴根据大正方形的面积可得新的方程：， ∴②， ②①得， 解得， 将代入①得， 解得． 归纳总结 一、重点 1.列一元二次方程解应用题的通用步骤 熟练掌握“审、设、列、解、验、答”六步解题法，核心是找准题目中的等量关系，能将生活实际问题转化为一元二次方程数学模型。 2.掌握四大高频必考模型 增长率/下降率问题：牢记核心公式；传播、裂变问题：病毒传播、树枝生长、人数传染等倍增类问题；图形面积问题：矩形、道路边框、无盖长方体裁剪、拼接图形的面积计算；销售利润问题：利用“总利润=单件利润×销售数量”列方程。 3.解的实际意义检验 明确应用题的解必须符合生活实际，能主动舍去负数、超出题意范围、不符合现实的增根。 二、难点 1.复杂题干的等量关系提取 题目条件多、文字冗长，无法快速梳理数量关系，尤其是连续两次变化的增长率、多条件限制的利润问题。 2.几何图形动态面积建模 道路平移、裁剪折叠、图形重叠类问题，难以准确表示变化后的边长、长宽，容易列错代数式。 3.双解的取舍判断 一元二次方程大多有两个实数根，学生难以精准区分两个根都有效、一个有效一个舍去、两个都无效的三种情况。 4.区分一次变化与二次变化 混淆单次增减（一次方程）和两次连续增减、双向传播（必须用一元二次方程）的题型差异。 三、易错点 1.公式套用机械，审题不清：增长率问题不分“两次增长”和“一次增长”，乱套 (1\pm x)^2；多年增长不会对应次数，固定套用平方形式。 2.单位与设元不规范：设未知数不带单位、设语句表述模糊；题目有固定单位，求解后出现单位混乱。 3.面积问题高频错误：道路宽度问题：不会平移法化简图形，重复计算或漏算重叠面积；裁剪无盖长方体：忘记长宽同时减去两个路宽/裁边长度，只减一个。 4.利润问题核心公式出错：错用“总利润=单件利润×单价”“总利润=销量×单价”，混淆成本、售价、利润、销量四个量。 5.忘记检验根的实际意义：只求方程解，不检验直接作答；出现边长为负、增长率大于1、销量为负等不合理答案不舍去。 6.传播问题数量关系错误：第一轮、第二轮传播人数计算混乱，无法区分“原有基数+新增人数”的总数量。 四、数学思想 1.数学建模思想：将生活中的增长、几何、销售、传播问题，抽象化简为标准的一元二次方程模型，用代数方法解决实际问题。 2.转化与化归思想：将不规则图形、复杂拼接图形，通过平移、割补转化为规则矩形图形，简化边长和面积计算。 3.分类讨论思想：针对方程的两个根，结合实际场景分类判断根的有效性，取舍不合理解。 4.数形结合思想：解决面积、几何动态问题时，依托图形分析边长变化，以形助数，快速列出代数式和方程。 5.方程思想：通过设未知数、找等量、列方程，用代数运算替代复杂的文字推理，是初中应用题核心解题思想。 同步测评 1．（海南省海南澄迈县第二中学2025-2026学年九年级上学期第一次练习数学试题）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是31，则每个支干长出（    ） A．2根小分支 B．3根小分支 C．4根小分支 D．5根小分支 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用． 设每个支干长出根小分支，根据题意列方程，求解即可． 【详解】解：设每个支干长出根小分支，为正整数， 根据题意可得，为正整数， 解得， ∴每个支干长出5根小分支． 故选：D． 2．（2026年第一次适应与模拟数学）数学活动课上，同学们与智能体进行数字传播闯关游戏．智能体给出规则：游戏开始时有6名同学拥有通关密码，在每一轮传播中，每名拥有密码的同学都会传给相同数量的新同学，但每一轮传播结束后，都会随机有6名同学失去密码，不再参与下一轮传播．经过两轮完整传播后，场上共有114名同学持有通关密码．求每一轮传播中，1名同学传给多少名新同学． 【答案】4名 【分析】先设每一轮传播中，1名同学传给x名新同学，根据题意列出一元二次方程，求出解，舍去不合题意的即可． 【详解】解：设每一轮传播中，1名同学传给x名新同学， 根据题意，得． 解得，（不合题意，舍去）． 答：每一轮传播中，1名同学传给4名新同学． 3．（安徽省淮北市相山区淮纺路中学2025-2026学年八年级下学期期中数学试卷）经研究发现，若一人患上甲型流感，经过两轮传染后，共有169人患上流感．按这样的传染速度，若4人患上流感，则第一轮传染后患流感的人数共有多少人？ 【答案】52人 【分析】设每轮传染中平均每人传染人，根据题意列出一元二次方程求解． 【详解】解：设每轮传染中平均每人传染人，根据题意得， 解得（舍去）， 第一轮传染后患流感的人数共有（人）， 答：第一轮传染后患流感的人数共有52人． 4．（北京市东直门中学2025-2026学年第一学期九年级数学第一次阶段学情自测）有5个人患了流感，经过两轮传染后共有245个人患了流感，则每轮传染中平均一个人传染多少人？ 【答案】 【分析】根据题意列一元二次方程解答即可． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了人，初始有5个人患流感，第一轮传染后，总患病人数为，第二轮传染后，总患病人数为， 根据题意列方程得：， 解得，（舍去）， 答：每轮传染中平均一个人传染6人． 5．（2026年江苏无锡市梁溪区九年级下学期第二次模拟考试数学试题）如图为某年10月的月历表，小明和小亮分别用横着、竖着的透明“一”字形框框出3个数． (1)当小明与小亮的框有一个数相同时，他俩框出数的总和的最大值为 ； (2)小明对小亮说：“当我俩框的三个数的中间数相同时，你三数中的最小数与我三数中最小数的积可以为112．”小亮反驳道：“这种情况是不存在的．”请你判断他们俩谁的说法正确，并说明理由． 【答案】(1)123；(2)小亮说法正确 【分析】（1）根据月历表找到符合题意的小明和小亮分别用横着、竖着的透明“一”字形框框出3个数，求和即可； （2）设两人框的中间相同的数为x，根据题意列方程并解方程即可． 【详解】（1）解：当小明框出3个数为，小亮框出3个数为，此时他俩框出数的总和最大， ∴最大值为； （2）解：小亮的说法是正确的． 理由：设两人框的中间相同的数为x， 则可得方程 ， 即 ，     解得（负数舍去），， 但是15在日历的最右侧，不可能成为横框的中间数，所以不符合题意舍去， 因此小亮说法正确． 6．（2026年湖北荆门市外语学校九年级五月独立作业数学试卷）数学兴趣课上，老师拿出两盒数量相同的棋子，分给智算组和数形组各一盒，开展有关“形数”的探究活动．最终同学们经过讨论，分别设计出如下两种方案： 智算组的同学按照图①所示的方式摆放，数形组的同学按照图②所示的方式摆放． (1)先研究特殊情况，若两组都摆放5层，则智算组共用去棋子的数量为___________枚，数形组共用去棋子的数量为___________枚； (2)再探究一般情况，若摆放层，智算组共用去棋子的数量为___________枚，数形组共用去棋子的数量为___________枚（用含有的式子表示）； (3)若智算组按照图①所示的方式摆放老师所给的一盒棋子，完整摆完最后一层后恰好用完，数形组按照图②所示的方式摆放老师所给的一盒棋子，完整摆完最后一层后还剩下8枚棋子，且比智算组多摆了4层，请计算一盒棋子的数量为多少枚？ 【答案】(1)，；(2)，；(3) 【分析】（1）根据题干的图形，分别计算5层总数即可； （2）由题意可设智算组共用去棋子的数量为，再令，两式相加即可求出，同理可求出数形组的棋子数量； （3）设智算组共摆了层，根据题意列出一元二次方程求解即可. 【详解】（1）解：由题意可知，若两组都摆放5层， 智算组共用去棋子的数量为枚， 数形组共用去棋子的数量为枚． （2）解：由题意可知，若摆放层， 可设智算组共用去棋子的数量为， 令， 两式相加可得，， 智算组共用去棋子的数量为枚； 可设数形组共用去棋子的数量为， 令， 两式相加， 数形组共用去棋子的数量为枚． （3）解：设智算组共摆了层， 由题意可得，， 整理化简可得，， 因式分解可得，，解得或（舍）， 一盒棋子的数量为枚 7．（山东省聊城市东昌府区部分校2024——2025学年第一学期期中考试九年级数学试题）如图所示，它是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……，第行有..个点，…… (1)第一行有1个点，前两行点数和是3，前三行点数和是6，请问前四行的点数和是 ，前行的点数和是 ； (2)探究发现，120是前 行的点数和； (3)三角点阵中前行的点数和能是60吗？如果能请求出；如果不能，试用一元二次方程说明理由． 【答案】(1)10；；(2)15；(3)不能 【分析】（1）利用倒序相加求和来解决第二空； （2）根据一元二次方程有正整数解即可判断； （3）根据一元二次方程没有正整数解即可判断． 【详解】（1）解：前四行的点数分别是：1，2，3，4； 前四行的点数和是：； 前行的点数分别是：1，2，3，4，，， 前行的点数和是：； （2）解：由题意得， 整理得到：， ， 解得：（舍去）， 所以120是前行的点数和； （3）解：不能，理由如下： 根据题意可得：，整理得，． ，即方程的两根均为无理数． 三角形点阵中前行的点数和不能是60． 8．（安徽淮北市第一初级中学等校2025-2026学年下学期期末八年级数学试题卷（沪科版））观察下列由小黑点组成的图形： 图1中矩形框内小黑点个数为4，小黑点总数为， 图2中矩形框内小黑点个数为6，小黑点总数为， 图3中矩形框内小黑点个数为8，小黑点总数为， 照此规律，解答下列问题： (1)图4中矩形框内小黑点个数为________，小黑点总数为________； (2)当小黑点总数为132个时，矩形框内小黑点个数是多少？ 【答案】(1)10，30；(2)22． 【分析】（1）根据图4作答即可； （2）找出规律，进而列方程求解即可． 【详解】（1）解：图4中矩形框内小黑点个数为10，小黑点总数为30； （2）解：照此规律，图中矩形框内小黑点个数为， 小黑点总数为， 当时， 整理得， 解得（负值舍去）， 当时，， 即矩形框内小黑点个数是22． 9．（山东省威海乳山市（五四制）2025-2026学年八年级下学期期末数学试题）园林部门准备在一块长米、宽米的矩形花园内修建一个底部为正方形的亭子如图所示，在亭子四周修四条宽度相同，且与亭子各边均垂直的小路，亭子的边长是小路宽度的倍，花园内的空白地方铺设草坪．若草坪的面积为平方米，求小路的宽度． 【答案】小路的宽度为1米 【分析】设小路的宽度为米，根据题意结合图形，列出一元二次方程，解方程，即可求解． 【详解】解：设小路的宽度为米，由题意得 ． 解，得，舍． 答：小路的宽度为1米． 10．（第二十五章一元二次方程25.2降次——解一元二次方程25.2.3因式分解法）如图，公园内有一个正方形的小花坛，现在园艺设计师想把花坛的边长增加得到正方形的大花坛，使花坛的面积扩大2倍，求小花坛的边长． 【答案】 【分析】设小花坛的边长为．根据花坛的面积扩大2倍列出一元二次方程并解方程即可求出答案． 【详解】解：设小花坛的边长为． 解得（不合题意，舍去） 答：小花坛的边长为． 11．（第二十五章一元二次方程综合与实践主题：设计符合国家标准的地下车库）综合与实践 【问题背景】国家对地下车库设计的核心标准是：过道的宽度不仅是为了“通过”，更是为了车辆安全、顺利地转弯、停入和驶出车位．为保证车辆交会时能安全通过，采取“宁宽勿窄”的原则，设计在条件允许的情况下，双向行驶车道的宽度标准为米． 【数据收集】我市某小区地下车库分为等多个区域，其中A区域为长40米，宽22米的标准矩形场地，规划如图所示，停车场内车道宽度均为x米．另据调查分析，该小区每个车位的月租金为200元时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位，设小区每个车位月租金上涨金额为y元． 【建立模型】 (1)当车库A区域停车位（图中阴影）的占地面积为时，通过计算判断车道宽度是否符合标准？ (2)若该小区E区域共有停车位50个，当每个车位的月租金上涨多少元时，该区域停车场的月租金收入为10125元？ 【答案】(1)车道宽度符合标准；(2)每个车位月租金上涨25元 【分析】（1）通过平移计算车库A区域停车位（图中阴影）的占地面积，再列方程求解即可； （2）设该区域每个车位月租金上涨y元，则租出的车位数量为个，再根据“该区域停车场的月租金收入为10125元”列方程求解即可． 【详解】（1）解：先将图形平移，如解图， 由题意，得， 或（不符合实际，舍去）， ， ∴车道宽度符合标准． （2）解：设该区域每个车位月租金上涨y元，则租出的车位数量为个， 由题意得． 解得， ∴每个车位月租金上涨25元． 12．（第二十五章一元二次方程25.3实际问题与一元二次方程第1课时数字、面积问题）如图，要设计一本画册的封面，封面长40cm，宽30cm，正中央是一个与整个封面长、宽比例相同的矩形画．如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度? 【答案】上、下边衬的宽分别为；左、右边衬的宽分别为 【分析】由题意设中央的矩形的长和宽分别是和，要使四周的边衬所占面积是封面面积的，则中央矩形的面积是封面面积的，由此列出方程即可求解． 【详解】解：∵封面的长、宽之比为，正中央是一个与整个封面长、宽比例相同的矩形画， ∴中央的矩形的长、宽之比也应为， 设中央的矩形的长和宽分别是和， 由题意得， 整理得， 解得或（不符合题意，舍去）， 则上、下边衬的宽分别为，左、右边衬的宽分别为． 13．（第二十五章追梦综合演练卷）为了方便居民收取快递，某小区计划在小区内的空地搭建一个面积为30平方米的快递投放点．如图是快递投放点的设计图，该快递投放点为矩形且一边靠墙；这堵墙长10米，在垂直于墙的两边分别开设“进口”和“出口”两道1.5米宽的门．围建投放点的三边（不含靠墙的一边和两道门）共需高度适当的板材14米．请求出这个快递投放点的边和的长． 【答案】的长为6米，的长为5米 【分析】设的长为x米，则的长为米，根据计划在小区内的空地搭建一个面积为30平方米的快递投放点，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】解：设的长为x米，则的长为米， 根据题意得， 解得，， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意舍去． 答：的长为6米，的长为5米． 14．（第二章一元二次方程高效同步练习4应用一元二次方程第1课时应用一元二次方程（一））新型科技广泛应用于智慧农业．为了降低成本和提高采摘效率，某果园引进1台智能机器人采摘某种水果．如图，为了方便智能机器人和工人采摘水果，计划在一块长、宽的矩形果园上修建三条道路，道路的宽度都相等，道路将果园分成面积均为的个小矩形，求道路的宽度． 【答案】道路宽度为1m 【分析】设道路宽度为，则6个小矩形的合并在一起的长为，宽为，结合6个小矩形的面积之和为列出方程，求解即可． 【详解】解：设道路宽度为，依题意得 ， 解得，（不合实际，舍去）． 答：道路宽度为． 15．（2022年湖南省张家界市中考数学考前冲刺试题）如图，有长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设． (1)的长用含的代数式表示为 m； (2)现要围成面积为的花圃能行吗？若能，请求出长方形的边长；若不能，请说明理由． 【答案】(1)；(2)不能 【分析】（1）根据题意列出代数式即可； （2）根据题意，列方程求得方程的根，检验即可得到答案． 【详解】（1）解：设， 则； （2）解：不能，理由如下： 根据题意，得， 整理，得， 解得， 当时，，不符合题意， 答：不能围成面积为的花圃． 16．（浙江省杭州市拱墅区2025-2026学年八年级下学期期末考试数学试题）某农场要建一个大饲养场（矩形），两面靠墙，位置的墙最大可用长度为17米，位置的墙最大可用长度为12米，围成如图所示的矩形场地，每个场地各留一个1米宽的门（不用木栏）．建成后木栏总长34米．设木栏的长为米． (1)①__________米（用含的代数式表示） ②若饲养场面积为160平方米时，求的长； (2)饲养场面积能达到170平方米吗？若能，请求出的长，若不能，请说明理由． 【答案】(1)①；②米；(2)不能 【分析】（1）①用总长加上两个门宽再减去2个的长，列出代数式即可；②根据矩形的面积公式列出方程进行求解即可； （2）根据矩形的面积公式列出方程，利用判别式判断方程的根的情况，即可. 【详解】（1）解：①由题意，（米）； ②由题意，得， 解得，， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意； 故米； （2）解：不能，理由如下： 当饲养场面积为170平方米时，， 整理得， 判别式， 方程无实数根， 因此饲养场面积不能达到170平方米. 17．（安徽省安庆市外国语学校2025-2026学年度第二学期期末考试八年级数学（沪科版）试题）根据以下素材，完成探索任务． 探索果园土地规划和销售利润问题 素材1 某农户承包了一块长方形果园，图1是果园的平面图，其中米，米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为米，左右两条纵向道路的宽度都为米，中间部分种植水果．出于货车通行等因素的考虑，道路宽度不超过12米，且不小于5米．    素材2 该农户在种植园区种植草莓，经市场调查，草莓培育一年可产果，若每平方米的草莓销售平均利润为元，每月可销售的草莓；受天气原因，农户为了快速将草莓出手，决定降价，若每平方米草莓平均利润下调5元，每月可多销售草莓．果园每月的承包费为2万元．    (1)解决果园中路面宽度的设计对种植面积的影响．若中间种植的面积是，求道路宽度x的值． (2)解决果园种植的预期利润问题（总利润销售利润承包费）．若农户预期一个月该草莓的总利润为万元，则从购买草莓客户的角度考虑，每平方米草莓平均利润应该降价多少元？ 【答案】(1)；(2)每平方米草莓平均利润下调元 【分析】（1）由果园的长、宽及四周道路的宽度，可得出中间种植部分是长为米、宽为米的长方形，根据中间种植的面积是，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，取其符合题意的值即可得出结论； （2）设每平方米草莓平均利润下调元，则每平方米草莓平均利润为元，每月可售出平方米草莓，利用总利润销售利润承包费，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，再结合要让利于顾客，即可确定结论． 【详解】（1）解：根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 道路宽度为10米； （2）设每平方米草莓平均利润下调y元， 整理得：． 解得：，， 又从客户的角度考虑，要让利于顾客， ． 答：每平方米草莓平均利润下调元． 18．（山东省临沂市河东区2020-2021学年九年级上学期期末数学试题）一个小球以速度开始向前滚动，并且均匀减速，后小球停止滚动．小球滚动约用了________秒（结果保留小数点后一位） 【答案】1.2． 【分析】利用等量关系：速度时间=路程，时间为，根据题意列出方程：求解即可． 【详解】由题意得：小球的平均每秒减少的滚动速度是， 设小球滚动5时约用了， 由题意得：， 整理得：， 解得：， ∵， ∴， 故小球滚动用了1.2秒． 19．（【人教版课时练习】复习题21复习巩固）一个小球以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后小球停止滚动． （1）小球的滚动速度平均每秒减少多少？ （2）小球滚动约用了多少秒（结果保留小数点后一位）？ （提示：匀变速直线运动中，每个时间段内的平均速度（初速度与末速度的算术平均数）与路程s，时间t的关系为．） 【答案】（1）（m／s）；（2）小球滚动到5 m约用了1.2 s 【分析】（1）从滚动到停下平均每秒速度减少值为：速度变化÷小球运动速度变化的时间； （2）利用等量关系：速度×时间＝路程，时间为xs，根据题意列出方程：求解即可． 【详解】解：（1）从滚动到停下平均每秒速度减少值为：速度变化÷小球运动速度变化的时间， 即5÷4＝（m/s）， 故小球的滚动速度平均每秒减少m/s；．   （2）设小球滚动到5m用了 s， 即， 解得（舍），． 答：小球滚动到5 m约用了1.2 s． 20．（内蒙古赤峰市巴林左旗2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试题）如图，在中，．动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动，如果两点分别从两点同时出发． (1)写出的面积关于的函数解析式及的取值范围，并求出当为何值时，最大； (2)经过几秒，的面积为； (3)出发几秒后，的长度等于？ 【答案】(1)，；(2)2秒或4秒；(3)2.4秒 【分析】本题属于三角形综合题，主要考查了动点问题，一元二次方程的解法，三角形的面积等知识，根据动点的运动速度表示各线段的长是解题的关键． （1）根据路程=速度×时间，可得、的长，从而得出的面积，可得答案； （2）由（1）得，列方程为，解一元二次方程即可，注意本题x的取值范围． （3）根据勾股定理可列方程为： ，解出x即可 【详解】（1）解：关于的函数解析式为：； 所以的取值范围是：． 对于，当时，有最大值； （2）设经过秒，的面积为． 列方程为 解得： 答：设经过2秒或4秒，的面积为． （3）设秒后，的长度等于12mm，列方程为：， 解得（舍去），， 答：出发2.4秒后，的长度等于． 21．（甘肃省武威市第十中学2025-2026学年九年级上学期期末考试数学试题）如图，在中，，，点点同时由、两点出发分别在线段线段上向点匀速移动，它们的速度都是，几秒后，的面积为面积的？ 【答案】2秒 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，找到等量关系列出方程求解是解题的关键． 设秒后，，而此时，，，，，进而可列出方程，求出答案． 【详解】解：设秒后，， 此时，，； 由题意得， 即， 解得，， 米， ， 不合题意，舍去， 即． 22．（山东省淄博市临淄区2025-2026学年初三下学期数学期末考试（五四制））如图，矩形中，，，点从开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，，两点分别从，同时出发． (1)若当其中一个点到达终点时，两个点都停止运动． ①经过几秒，的面积等于？ ②的面积能否等于？如果能，求出运动的时间；如果不能，请说明理由． (2)若点到达后不停止，立即以原速沿返回；点到达后不停止，继续以原速沿射线方向运动，直到点第一次回到时，两点同时停止运动．在整个运动过程中，第几秒的面积等于？ 【答案】(1)①经过2秒或4秒后，的面积等于；②的面积不能等于； (2)当为秒或秒，的面积等于． 【分析】（1）①设运动时间为x秒，根据三角形面积公式构建方程求解即可； ②设运动时间为x秒，的面积等于，根据三角形面积公式构建方程，解方程即可判断； （2）分两种情况讨论，用面积公式列方程即可得到答案． 【详解】（1）解：①设运动时间为x秒，则，， 又， ∴， 根据题意，得， 解得，． ∴经过2秒或4秒后，的面积等于； ②设运动时间为x秒，的面积等于， 根据题意，得， 整理得， ∴， ∴方程无解， ∴的面积不能等于； （2）解：设运动的时间为t秒， ①当时，， 由题意，得， 解得：，； ②当时，， 由题意，得， 解得：，（舍去）， 综上所述，当为秒或秒时，的面积等于． 23．（安徽省阜阳市界首市2025-2026学年八年级下学期6月期末数学试题）项目背景：人工智能的发展为人们的生活与学习带来了诸多便利，初中生也能借助人工智能提升学习效率．为此，综合实践小组的同学们围绕“依托人工智能平台的自主高效学习”开展了项目学习活动，形成了如下活动报告． 项目主题 依托人工智能平台的自主高效学习 活动内容 选择人工智能平台，开展以问题驱动为核心的高效学习 活动过程 活动1：选择人工智能平台 小组成员搜集到如下资料：学习所使用的智能平台所属公司是一家专注人工智能领域的科技公司，该公司致力于开发先进的大语言模型和生成式技术，平台一经发布，便占据各大手机下载市场下载榜首位．据统计，该平台首日在某下载市场的下载量为万次，第二天、第三天的下载量连续增长，第三天的下载量为万次． 活动2：向人工智能平台提出问题 向平台提出的首个问题：如图，把一根长度为的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形的面积之和能否等于？    平台回复的结果： 交流展示 请根据以上的活动报告，解答下列问题： (1)求所使用平台刚发布后的前三天下载量的日平均增长率； (2)请猜想人工智能平台回复的结果是“能”还是“不能”，并说明理由． 【答案】(1)；(2)不能 【分析】（1）设所使用平台刚发布后的前三天下载量的日平均增长率为，根据首日的下载量和第三天的下载量建立方程求解即可； （2）设其中一个正方形的周长为，则另一个正方形的周长为，假设这两个正方形的面积之和能等于列方程，然后利用判别式判断该方程是否有正实数解即可得到结论． 【详解】（1）解：设所使用平台刚发布后的前三天下载量的日平均增长率为， 由题意得，， 解得或（舍去）， 答：所使用平台刚发布后的前三天下载量的日平均增长率为； （2）解：猜想人工智能平台回复的结果是“不能”，理由如下： 设其中一个正方形的周长为，则另一个正方形的周长为， 假设这两个正方形的面积之和能等于，则， 整理得， ∵， ∴原方程没有实数根， ∴假设不成立， ∴这两个正方形的面积之和不能等于， ∴人工智能平台回复的结果是“不能”． 24．（2026年河北省邯郸市第二十五中学北校区中考最后一次模拟考试数学试卷）项目主题：设计包装盒． 素材：如图1，矩形纸板中，，． 步骤1：将图1中阴影部分裁剪掉，其中左侧的阴影部分为两个小正方形． 步骤2：将图1中裁剪后的纸板沿虚线恰好可折叠成如图2所示的有盖长方体包装盒． 解决问题： (1)的长为_________； (2)若折叠成的包装盒底面积为，求包装盒的体积． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）结合矩形与长方体的关系求解即可； （2）设长方体的高为，表示出长方体的长与宽，再根据包装盒底面积为，求解x的值，再由体积公式求解即可． 【详解】（1）解：根据矩形与长方体的关系可知，矩形纸板对应两个“长高”， 即； （2）解：设长方体的高为，则长方体的宽为，长为， ∵包装盒底面积为， ∴，即， 解得（大于的长度，不满足题意，舍）， ∴长方体的高为，宽为，长为， 故包装盒的体积为． 25．（安徽省六安市金寨县2025-2026学年八年级下学期6月期末数学试题）根据以下素材，探究完成任务： 制作长方体收纳盒 背景 某校数学项目化学习小组准备了一些长为，宽为的长方形硬纸板，准备利用纸板做长方体收纳盒（接缝处忽略不计）．    方案甲 如图所示，甲活动小组在长方形纸板的四个直角处裁掉四个边长均为的小正方形，再沿虚线折成一个无盖的长方体收纳盒，盒子的底面是矩形．    方案乙 如图所示，乙活动小组在长方形纸板的四个直角处裁掉四个长均为宽均为的小长方形，再沿虚线折成一个有盖的长方体收纳盒，若和两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底面是矩形．    (1)任务一：用含的代数式表示：方案甲制作出的无盖收纳盒的底面长为________，底面宽为________． (2)任务二：若方案甲制作出的无盖收纳盒的底面积为，求裁去小正方形的边长的值 (3)任务三：若方案乙制作出的有盖收纳盒的底面积为，请通过计算判断，图中长为，宽为，厚度为的书本能否完全放入该收纳盒内．    【答案】(1)；；(2)裁去小正方形的边长的值为；(3)书本能完全放入该收纳盒内 【分析】（1）根据方案甲长方形纸板的四个直角处裁掉四个边长均为的小正方形，可得长和宽为原来的长和宽分别减去； （2）利用（1）的代数式，结合面积公式列出方程解答即可； （3）根据图示得出该收纳盒的高为，然后表示出收纳盒底面的长和宽，结合面积公式列出方程求得收纳盒的高，进而得到收纳盒的长和宽，即可判断． 【详解】（1）解：依题意，方案甲制作出的无盖收纳盒的底面长为，底面宽为． （2）解：∵无盖收纳盒的底面长，底面宽，底面积为， ， 解得或， 底面宽，即， 舍去， ， 答：裁去小正方形的边长的值为； （3）解：根据题意可知，收纳盒的高为， 则盒子的底面的矩形中，， ∵收纳盒的底面积为， ， 解得或（不合题意，舍去）， ∴收纳盒的高为，，， ，，， ∴书本能完全放入该收纳盒内． 26．（安徽省滁州市来安县雷官初级中学等校2025-2026学年第二学期期末考试八年级数学试题）综合与实践 背景 2026年，随着AI服务器、消费电子市场持续回暖，合肥长鑫存储的国产内存芯片订单爆发式增长，产能持续爬坡，相关出货数据不断刷新纪录，带动了本地模组厂商的销售热潮． 素材41 已知长鑫存储某款DDR5-16G内存芯片，周一的出货收入为500万元，随着下游客户备货需求激增，周三的出货收入达到720万元． 素材2 为承接国产芯片的消费热潮，合肥本地模组厂商推出“国产芯·合肥造”DDR5-16G内存模组套装，已知该套装的物料及加工成本为200元/套；当定价为500元/套时，平均每天可售出40套．调研发现，售价每降低20元，平均每天就能多售出8套，现该厂商计划下调售价，使平均每天的销售利润达到12000元． 问题解决 (1)任务1，求从周一到周三，长鑫存储该款DDR5-16G内存芯片出货收入的日平均增长率； (2)任务2，根据素材2，为尽可能多的售空“国产芯·合肥造”DDR5-16G内存模组库存，求下调后每套模组的售价； (3)任务3，根据素材2，该厂商平均每天能否获利16000元？若能，请求出每套模组应降价多少元；若不能，请说明理由． 【答案】(1)长鑫存储该款DDR5-16G内存芯片出货收入的日平均增长率为；(2)为售空库存，下调后每套售价为元；(3)能获利元，每套应降价元 【分析】（1）设日平均增长率为，由平均增长率问题列一元二次方程求解即可； （2）设每套模组降价元，由题中等量关系列一元二次方程求解即可； （3）不妨假设能获利元，由题中等量关系列一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：设日平均增长率为， 根据题意列方程：， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴长鑫存储该款DDR5-16G内存芯片出货收入的日平均增长率为； （2）解：设每套模组降价元， 则单套利润：（元）， 根据利润目标列方程：， 解得（舍去），（降价元，销量最大）， 下调后售价：（元）， 则为售空库存，下调后每套售价为元； （3）解：不妨假设能获利元， 则列方程：， 解得，即降价（元）， 答：能获利元，每套应降价元． 27．（浙江宁波市海曙区2025-2026学年第二学期期末调研八年级数学试题卷）中国航天“嫦娥探月”、“天问探火”以及空间站建设等成就激发了广大青少年对航天的热情．某航天科技体验馆将在暑假期间推出“逐梦苍穹”航天体验营，团体票收费标准如下： ①如果参加人数不超人，人均费用为元； ②如果参加人数超过人，每增加1人，人均费用降低5元，直到人均费用元时不再下降． (1)若有人参加活动，则人均费用是_______元（用含x的代数式表示）； (2)若某研学团参加体验营需要支付元的团体票费用，求研学团的人数． 【答案】(1)；(2)人 【详解】（1）解：由题意得当时，人均费用为元， ， 有人参加活动，人均费用为元； （2）解：设有位研学团成员， 当时，，不符合题意， 当时，， 化简得， 方程两边同时除以得 ， 因式分解得， 解得、（舍去）， 当时，， 解得（舍去）， 答：研学团的人数为人． 28．（安徽池州市青阳县2025-2026学年度第二学期期末考试八年级数学试题）任务型学习： 【项目主题】 探究新款迷你无人机校园营销方案 【项目实施】 阶段一：销售增长趋势分析 任务1：从线上旗舰店调研数据可知，2025年11月该款迷你无人机的销量为1125架，2026年1月份该款迷你无人机的销量为1620架，若2025年12月与2026年1月这两个月该款迷你无人机销量的月平均增长率相同，求该款迷你无人机销量的月平均增长率． 阶段二：校园促销方案设计 任务2：调查发现该旗舰店迷你无人机的进价为每架60元且售价定为每架100元时，每天能销售20架，且售价每降低1元，每天可多销售2架．若需要尽量减少库存，且使每天销售获利1200元，则每架迷你无人机的售价应降低多少元？ 【项目成果】 科技实践小组以线上旗舰店的数据为参考设计出最佳校园营销方案． (1)解决任务1． (2)解决任务2． 【答案】(1)；(2)每架迷你无人机的售价应降低20元 【分析】（1）设该款迷你无人机的月平均增长率为，根据题意列出方程，进而求解即可； （2）设每架迷你无人机降价元，则每天能销售架，根据题意列出方程，进而解方程，结合满足条件可得答案． 【详解】（1）解：设该款迷你无人机的月平均增长率为， 由题意得， 解得，（不合题意，舍去）． 答：该款迷你无人机的月平均增长率为； （2）解：设每架迷你无人机降价元，则每天能销售架， 由题意得， 整理得， 解得，． ∵需要尽量减少库存， ． 答：每架迷你无人机的售价应降低20元． 29．（山东省烟台市芝罘区2025-2026学年下学期八年级期末数学试卷（五四制））某文创店生产一款文创产品并进行销售．每件文创产品的生产成本是30元，售价定为每件50元时，每天能售出40件．经市场调研发现：每件文创产品的售价每降低1元，每天会多售出8件． (1)该文创店为了提升利润，决定降价销售，若每天利润达到1200元，且尽可能让利于顾客，请求出相应的降价方案； (2)该文创店通过降价销售，每天利润能够达到1400元吗？如果能，请求出相应的降价方案；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)每件文创产品的售价应降低10元；(2)不能 【分析】（1）设每件文创产品的售价降低x元，根据题意列方程解方程即可； （2）假设每天利润能够达到1400元，根据题意列一元二次方程，根据根的判别式判断方程根的情况即可． 【详解】（1）解：设每件文创产品的售价降低x元，则每件文创产品的销售利润为元，每天能售出件， 根据题意得：， 整理得， 解得， 又要尽可能让利于顾客， ． 答：每件文创产品的售价应降低10元； （2）每天利润不能达到1400元，理由如下： 假设每天利润能够达到1400元，设每件文创产品的售价降低y元，则每件文创产品的销售利润为元，每天能售出件， 根据题意得：， 整理得， ， 原方程没有实数根， 假设不成立，即每天利润不能够达到1400元． 30．（陕西省西安市雁塔区陕西师范大学附属中学2025-2026学年八年级下学期期末考试数学试题）西安非遗关中剪纸享誉四方，某文创店铺售卖两款剪纸礼盒：礼盒甲、礼盒乙．已知礼盒甲每件售价比礼盒乙贵元．上一周，礼盒甲销售总额为元，礼盒乙销售总额为元，且两款礼盒销售量相等． (1)上一周，礼盒甲、乙的销售单价分别是多少元？（列分式方程求解） (2)本周店铺开展促销，礼盒甲每降价元，销量增加件；礼盒乙每件提价元，销量和上周一样．调整价格后，两款礼盒总销售额比上周多元，求礼盒甲每件降价多少元？ 【答案】(1)礼盒甲的销售单价为元，礼盒乙的销售单价为元；(2)礼盒甲每件降价元 【分析】（1）利用两款礼盒销售量相等的等量关系列分式方程求解； （2）结合价格调整后总销售额的变化关系列方程求解． 【详解】（1）解：设上一周礼盒乙的销售单价为元，则礼盒甲的销售单价为元， ∵两款礼盒销售量相等， ∴，解得， 检验：当时，， 故是原分式方程的解且符合实际意义， ∴ 礼盒甲的销售单价为（元）． 答：上一周礼盒甲的销售单价为元，礼盒乙的销售单价为元． （2）解：∵上周礼盒乙的销售额为元，单价为元， ∴上周两款礼盒的销售量均为（件）， 设礼盒甲每件降价元， ∵调整价格后两款礼盒总销售额比上周多元， ∴， 整理得 ， 解得，（不符合题意，舍去）． 答：礼盒甲每件降价元． 31．（吉林长春市东北师范大学附属中学2026-2027学年上学期九年级数学开学考试题）超市销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，在让顾客得到更大实惠的前提下，当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？ 【答案】当每件商品降价20元时，该商店每天销售利润为1200元． 【分析】设每件商品应降价元，根据“平均每天可售出20件，每件盈利40元，售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，每天销售利润为1200元”，列出方程，即可求解． 【详解】解：设每件商品应降价元． 由题意，得， 解得． 让顾客得到更大实惠， ． 故当每件商品降价20元时，该商店每天的销售利润为1200元． 32．（黑龙江肇源县第四中学2026-2027学年九年级上学期开学数学收心练习）西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售，每天可售出200千克．为了更多地让利消费者，该经营户决定降价销售．经调查发现，这种小型西瓜每降价0.1元/千克，每天可多售出40千克．另外，每天的房租等固定成本共24元．该经营户要想每天盈利200元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元？ 【答案】应将每千克小型西瓜的售价降低0.3元 【分析】设应将每千克小型西瓜的售价降低元，根据总利润每千克的利润销售量固定成本建立方程求解即可． 【详解】解：设应将每千克小型西瓜的售价降低元， 根据题意得：， 整理得, 解得，, ∵要更多地让利消费者， ∴， 答：应将每千克小型西瓜的售价降低0.3元． 33．（广东深圳市宝安中学（集团）2026-2027学年上学期九年级数学开学考试题）某超市以每个30元的价格购进A种商品，销售数据表明：当每个A种商品售价为40元时，平均每月售出600个；若售价每下降1元，其月销售量就增加200个． (1)若售价下降5元，每月能售出 个A种商品，若售价下降元（），每月能售出 个A种商品； (2)若本月最多购进有1210个A种商品，经销商决定降价促销，预计月获利恰好为8400元，求每个A种商品的售价； (3)经销商月获利能否达到9600元？说明理由． 【答案】(1)1600；；(2)每个A商品的售价为37元；(3)不能 【分析】（1）根据售价每下降1元，其月销售量就增加200个，分别计算即可； （2）设每个A商品的售价为x元，根据每个A商品的利润×销售数量＝总利润列出方程并解答； （3）根据题意列出方程，求出根的判别式，可得方程无实数根，即月获利不能达到9600元． 【详解】（1）解：∵售价每下降1元，其月销售量就增加200个， ∴若售价下降5元，每月能售出（个）A商品， 若售价下降x元()，每月能售出个A商品； （2）解：设每个A商品的售价为x元，由题意，得 ， 解得， 当时，（舍去）， 当时，（符合题意）， 答：每个A商品的售价为37元； （3）解：月获利不能达到9600元，理由： 设每个A商品的售价为x元， 由题意得：， 整理得：， ∵， ∴方程无实数根，即月获利不能达到9600元． 34．（湖南省娄底市2022年初中毕业学业作业冲刺数学试题（一））“低碳生活，绿色出行”，自行车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某运动商城的自行车销售量自2021年起逐月增加．据统计，该商城1月份销售自行车64辆，3月份销售了100辆． (1)若该商城前4个月的自行车销量的月平均增长率相同，问该商城4月份卖出多少辆自行车？ (2)考虑到自行车需求不断增加，该商城准备再购进A，B两种型号的自行车共50辆，但投入的资金不超过3万元，已知A型车的进价为500元/辆，售价为700元/辆，B型车进价为1000元/辆，售价为1300元/辆．假设所进车辆全部售完，为使利润最大，该商城应如何进货？ 【答案】(1)该商城4月份卖出自行车辆；(2)A型车购进40辆，B型车购进10辆利润最大 【分析】（1）根据某运动商城自行车销售量自2021年起逐月增加，设该商城前4个月自行车销量的月平均增长率为x，由1月份销售自行车数量与3月份销售自行车数量之间的关系建立方程，解出自行车销量月平均增长率x的值，进而求出该商城4月份卖出自行车数量； （2）该商城准备购进A，B两种型号的自行车共50辆，且全部售完使利润最大，则设A型车购进a辆，B型车购进辆时，总利润为y元，用含字母a的代数式表示总利润；根据商城投入的资金不超过3万元建立不等式，解出a的取值范围；再根据一次函数图象的增减性找出a值进而确定商城的进货方案． 【详解】（1）解：设该商城前4个月的自行车销量的月平均增长率为x，根据题意得： ， ∴， ∵， ∴， 解得， 故该商城4月份卖出自行车数量为：（辆）． （2）解：设A型车购进a辆，B型车购进辆时，总利润为y元， 根据题意得：， ∵，解得， 又因为，y随a的增大而减小， 所以，当a取最小值40时，y有最大值． ∴A型车购进40辆，B型车购进10辆时，该商城利润最大． 35．（2026年山东东营市中考数学试题）解决问题 探究主题 黄河口大闸蟹产业发展综合探究 探究背景 为贯彻落实黄河流域生态保护和高质量发展重大战略，东营深耕生态文旅，打造了“观鸟浪、赏黄蓝交汇、品大闸蟹”等特色名片． 资料一 某大闸蟹养殖基地依托旅游产业优势，产能稳步提升．该养殖基地2024年大闸蟹产量约64吨，计划2026年产量达到100吨． 资料二 为满足市场需求，该养殖基地推出不同规格的大闸蟹．其中，某规格公蟹单只售价40元，母蟹单只售价45元． 问题解决： (1)该养殖基地大闸蟹产量平均每年增长的百分率是多少？ (2)若某游客计划购买该规格公蟹和母蟹共12只，且购买母蟹的数量不少于公蟹数量的．怎样购买费用最低，最低费用是多少？ 【答案】(1)；(2)购买公蟹9只、母蟹3只时费用最低，最低费用为495元． 【分析】（1）设平均每年增长的百分率为x，根据“该养殖基地2024年大闸蟹产量约64吨，计划2026年产量达到100吨．”列出方程，即可求解； （2）设购买该规格公蟹m只，则购买母蟹只，根据“购买母蟹的数量不少于公蟹数量的”列不等式求出m的取值范围，设购买费用为w元，列出w关于m的函数关系式，再根据一次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：设平均每年增长的百分率为x， 根据题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：平均每年增长的百分率为； （2）解：设购买该规格公蟹m只，则购买母蟹只， 根据题意得：， 解得：， 设购买费用为w元，则 ， ∵， ∴w随m的增大而减小， ∵m为整数， ∴m的最大值为9， 当时，w取得最小值，最小值为， 答：购买公蟹9只、母蟹3只时费用最低，最低费用为495元． 23 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $