25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系&专题3 根与系数的关系的运用（PDF部分书稿）-【鸿鹄志·名师测控】2026-2027学年九年级全一册数学（人教版·新教材 贵州专版）

25.2.4 新知导学 预习新知 新知梳理 ①若关于x的一元二次方程a.x2十 bx十c=0的两根为1，x2,则01十x2= ,x1x2= ②注意：根与系数的关系是在方程有根 的前提下才成立，即△0. ☑例题引路 【例1】根据一元二次方程的根与系数的关 系，求下列方程两个根x2的和与积： (1)x2-4x+1=0: (2)-3.x2-2.x+6=0: (3)2x2-10=x2-8.x. 【方法点拨】先将方程整理为ax2十bx+ c=0的形式，确定a,b,c的值，再利用 根与系数的关系解题 【学生解答】 易错典例 【例2】下列方程中，满足两个实数根的 和等于3的方程是 A.2x2+6.x-5=0 B.2x2-3.x-5=0 C.2x2-6x+5=0 D.2x2-6x-5=0 【易错剖析】在运用根与系数的关系解 题时，不要忽视隐含的已知条件△≥0. 【学生解答】 14 第二十五章一元二次方程 元二次方程的根与系数的关系 【基础过关 ●>逐点击破 知识点1直接利用根与系数的关系求两根之和与两根之积 1.(2025·广西中考)已知x1,x2是方程x2-20x-25=0 的两个实数根，则x1十x2的值为 A.-25 B.-20 C.20 D.25 2.若a,3是一元二次方程2x2一3x一4=0的两个根，则a3 的值是 A号 B多 C.-2 D.2 知识点2利用根与系数的关系求方程的解、待定字母及 相关代数式的值 3.如果关于x的一元二次方程x2十px十q=0的两个根分 别是3，一6，那么p,q的值分别为 ( ) A.=3,q=-18 B.p=3,q=18 C.p=-3,q=-18 D.p=-3,q=18 4.(2026·遵义一模)若x=一1是关于x的方程x2+mx 5=0的一个根，则该方程的另一个根是 A.-5 B吉 C.5 D.-吉 5.(2025·眉山中考)已知方程x2一2x一5=0的两根分别 为x1,x2,则(x1十1)(x2十1)的值为 6.过程纠错新趋势已知关于x的一元二次方程x2一(2 1)x十m2=0的两根为a,b,且a十b=ab-4,求m的值 佳佳的解题过程如下： 解：由根与系数的关系，得a十b=2m一1，ab=m2. .'a+b=ab-4,∴.2m-1=m2-4,解得m=-1,1m2=3. 佳佳的解题过程未考虑哪个条件？请写出正确的解题 过程. 能力提升 ◆♪·整合运用 7.(2025·河北中考)若一元二次方程x(x十 2)一3=0的两根之和与两根之积分别为m,n, 则点(，n)在平面直角坐标系中位于( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 8.嘉嘉和琪琪一起写作业，在解一道一元二 次方程时，嘉嘉在化简过程中写错了常数 项，因而得到方程的两个根是一1和一5；琪 琪在化简过程中写错了一次项的系数，因 而得到方程的两个根是3和2.则正确的方 程是 ( A.x2+6x+5=0 B.x2-5.x+6=0 C.x2-5.x+5=0 D.x2+6x+6=0 9.若菱形ABCD的对角线AC,BD的长分别 为关于x的一元二次方程2x2一11x一m=0 的两个根，且S菱形AcD=3,则m的值为( A.4 B.8 C.-12 D.-24 10.(2025一2026·遵义期中)定义：如果一元 二次方程ax2十bx十c=0(a,b,c为常数，且 a≠0)的两个实数根a,3满足。十日=1，那 么称这样的方程为“倒数方程”.已知关于 的一元二次方程x2-(m+3)x+2m=0(m 为常数)是“倒数方程”，则m的值为· 11.(易错题)关于x的一元二次方程x2十 (a2-2a)x十a一1=0的两个实数根互为相 反数，求a的值. 【思维拓展 ,·强化素养 12.类比探究新趋势阅读材料： 已知实数m,n满足m2一m一1=0，n2一n 1=0,且m≠n,则m,n是方程x2一x一1 0的两个不相等的实数根，由根与系数的关 系可知m十n=1,mn=-1. 根据上述材料，解答下列问题： (1)直接应用： 已知实数a,b满足a2-7a十1=0，b2 7b十1=0，且a≠b,则a十b的值为， ab的值为； (2)间接应用： 在(1)的条件下，求二十二的值： a (3)拓展应用： 已知实数m,n满足 +是=7m ”=,且mm≠-1，求是十的值。 九年级数学人教版全一册15 专题三根与系数的关系的运用【教改变化·贵州热点】 (新课标、教材将一元二次方程根与系数的关系的选学标识删除) 类型1已知一根，求另一根或待定字母的值类型3求方程中待定字母的值或取值范围 1.关于x的一元二次方程2x2十k.x-4=0的5.已知关于x的一元二次方程x2-6.x十2m十 一个根x1=一2，则方程的另一个根x2和k 1=0有实数根， 的值分别为 (1)求m的取值范围； A.x2=1,k=2 B.x2=2,k=2 (2)如果方程的两个实数根分别为x1,x2,且 C.x2=1,k=-1 D.x2=2,k=-1 2x1x2十x1十x2≥20，求m的取值范围. 2.(2025·苏州中考)已知x1,x2是关于x的 一元二次方程x2十2x一m=0的两个实数 根，其中x1=1,则x2的值为 类型2求与两根有关的对称代数式的值 方法点拨：一元二次方程的两根分别为x1,x2,在运 用根与系数的关系解题时，常见的恒等变形有： 1+1=十，0x号+x2=x1x2(x十x2), 1 T2 Z1T2 x1+x3=(x1十x2)2-2x1x2, 6.(2025-2026·遵义期中)已知关于x的一 (x1-x2)2=(x1十x2)2-4x1x2, 元二次方程x2-2mx十m2一1=0. x1-x2|=√(1+x2)2-4x1x2: (1)求证：无论m取何值时，方程总有两个不 3.(2026·遵义一模)若方程x2-3x十1=0的 相等的实数根； 两个实数根分别是x1,x2,则x12十x22的值 (2)如果方程的两实数根为x1,x2,且x1x2十 为 x1十x2=一1，求m的值. A.7 B.9 C.11 D.13 4.(教材P18习题T11变式)已知x1,x2是方程 5.x2+x一5=0的两个根，求下列各式的值： (1)x1x2-x1一x2= (2)1+1= 1x2 (3)(x1-2)(x2-2)=; (4)2+飞= (5)|x1-x2|= 【变式题】与根的定义结合降次构造对称式 :易错总结：利用根与系数的关系解决方程αx2十bx十 若m,n是一元二次方程x2+3x一9=0的两 c二0相关问题时，需注意使用的前提是a≠0，△>0. 个根，则m2+4m十n的值是 提示 清完成阶段微测试（一）[25.1一25.2] 16第二十五章一元二次方程思维拓展 10.解：I:∠ACB=90,BC=号AC=b,AB=√BC+AC-√+=W :BD=号，AD=AB-BD=合-.(2)方程化为x十a一公=0，A=Q-4X 2 1X（-6)2=a十4.x=二a±a干46.m=二a十@+4 2 ,x2= -a-a+46 2 ,∴AD的长是方程的正根.遗憾之处：图解法不能表示方程的负根.（合理 即可) 25.2.3因式分解法 新知梳理 ②00 例题引路 【例1】解：(1)左边因式分解，得x(x-3)=0.于是得x=0,或x-3=0.x1=0,x2=3. (2)左边因式分解，得(x一5)(x十1)=0.于是得x一5=0，或x十1=0..x1=5,x2=-1. (3)左边因式分解，得3x(2x十1)=2x十1.移项，得3x(2x十1)一(2x十1)=0.左边因式分 解，得2x十103x-1D=0.于是得2x十1=0，或3x-1=0.∴1=-分=号 易错典例 【例2】② 基础过关 1,C2.C3.解：(1)左边因式分解，得x(4x-11)=0.于是得x=0,或4x-11=0.∴x1= 0,=只.(2)移项、合并同类项，得9-4=0.左边因式分解，得(3x十2)(3x-2)=0.于 是得3x+2=0,或3x-2=01=-号=号.4D5.解：1)配方，得-2x十 2 12=3十1，即(x-1)2=4.由此可得x-1=士2.∴.x=3,x2=-1.(2)原方程可化为3x2 7x十2=0.：a=3,b=-7,c=2,.△=b-4ac=(-7)2-4×3X2=25>0.∴.方程有两个 不相等的实数根，一匹-7结否-7告=2=分 2a 2×3 能力提升 6.C7.208.解：(1)①B②等式的基本性质(2)：a=3,b=-6,c=1,.△=6-4ac （一6)°-4×3×1=24>0.“方程有两个不相等的实数根.x=二b士一4ac=6±35 Za 2×3 1±5=1+ 3-1-6 .(3)移项，得3(x-2)2-(x2-4)=0.左边因式分解，得 (x-2)[3(x-2)-(x十2)]=0，即(x-2)(2x-8)=0.于是得x-2=0,或2x-8=0. .x1=2,x2=4. 思维拓展 9.解：(1)①②(2)解方程x2一2x=0,得x1=0,x2=2,当相同的根是x=0时，把x=0代 入x2十x十m-1=0,得m-1=0,解得m=1;当相同的根是x=2时，把x=2代入x2十x十 m一1=0，得4十2十m一1=0，解得m=一5.综上所述，m的值为1或-5.(3).关于x的一 元二次方程a.x2十bx十c=0(a≠0)同时满足a-b十c=0和9a十3b+c=0,∴.该方程的两个 根是x1=-1,x2=3.:方程(x-n)(x十3)=0的两个根是x1=n,x2=一3，且与方程a.x2十 bx十c=0(a≠0)为“同伴方程”，∴.n=-1或3. 专题二一元二次方程的特殊解法【培养阅读理解能力】 1.解：(1)左边因式分解，得(x十1)(x十4)=0.∴x十1=0，或x十4=0.∴x1=-1,x2= -4.(2)左边因式分解，得(x-1)(x-2)=0..x一1=0，或x-2=0..x1=1,x2=2. (3)左边因式分解，得(x十1)(x一6)=0..x十1=0，或x一6=0..x1=-1,x2=6.(4)左 边偶式分解，得(2x-30(x十2)=0.∴2x-3=0,或x十2=0.∴=号w=-2.2解： (1)设y=x2,则原方程化为y2-3y十2=0，.(y-1)(y-2)=0.∴y-1=0或y-2=0. -58 y=1或y=2..x2=1或x2=2.∴.原方程的解为x1=1,x2=-1,xa=√2，x1=-√2. (2)原方程为(x2-2x)2-5x2十10x-6=0,即(x2-2x)2-5(x2-2x)-6=0,设y=x2 2x,则原方程化为y2-5y-6=0,.(y-6)(y十1)=0..y-6=0或y十1=0..y=6或 y=-1..x2-2x=6或x2-2x=-1.对于x2-2x=6,即x2-2x-6=0.△=(-2)2 4X1×(-6)=4+24=28,x=2生/2s-2生27=1±万.对于x2-2x=-1,即x2 2x十1=0..(x-1)2=0..x=x1=1..原方程的解为=1十√7，x2=1一√7，x3=x1=1. 25.2.4一元二次方程的根与系数的关系 新知梳理 ①-≥ 例题引路 【例1】解：1)m十x=-（-4)=4,x1=1.(2)十=-二3 -2。 2 3x2= 6 3-2. (3)原方程化为x2十8.x-10=0,.x1十x2=-8,x1x2=-10. 易错典例 【例2】D 基础过关 1.C2.C3.A4.C5,一26.解：佳佳的解题过程未考虑△>≥0这个条件.正确的解题 过程如下：根据题意，得△=[一(2m-1D门一4m≥0，解得m≤}.由根与系数的关系，得 a十b=2m-1,ab=m2.:a十b=ab-4,.2m-1=m2-4,解得m1=-1,m2=3(舍去). .m=-1. 能力提升 7.C8.D9.C10.311.解：方程x2+(a2-2a)x十a-1=0的两个实数根互为相反 数，.x十x2=-a2+2a=0,解得a1=0,a2=2.当a=0时，原方程为x2-1=0,符合题意； 当a=2时，原方程为x2十1=0，方程无实数根，舍去.∴.a=0. 思维拓展 12.解：(1)71 √a√b +2=3.(3)令=a,-n=b,则a2+a-7=0,6+b-7=0.“mn≠-1，≠-， a√6 m m 即a≠h..a,b是方程x2十x-7=0的两个不相等的实数根.∴.a十b=一1，ab=-7. 十m=a2+=(a+b)22ab=（1)2-2X(-7)=15. 专题三根与系数的关系的运用【教改变化·贵州热点】 1A2.-33.A41)-告(2)日3)唱（④-}6） 5 ,【变式题】6 5.解：(1)由题意，得△=(-6)-4(2m十1)≥0，解得m≤4.(2)由根与系数的关系，得x1十 x2=6,1x2=2m十1.2x1x2十x1十x2≥20，.2(2m十1)十6≥20，解得m≥3.m≤4， .3m≤4.6.(1)证明：.△=b2-4ac=(-2m)2-4×1×(m2-1)=4>0,.无论m取 何值，方程总有两个不相等的实数根.(2)解：x1十x2=2m,x1x2=m2一1,1x2十x1十x2= -1,.(m2-1)十2m=-1..m2十2m=0.解得m1=0,m2=-2. 25.3实际问题与一元二次方程 第1课时几何图形问题 例题引路 【例1】解：设其中一条直角边的长为xcm,则另一条直角边的长为(30一13一x)cm.根据题 意，得x2+(30-13-x)2=132,解得x1=12,x2=5.当x=12时，30-13-x=5;当x=5 时，30-13-x=12.答：两条直角边的长分别为12cm,5cm 易错典例 【例2】2 59 基础过关 1.A2.43.114.解：四边形ABCD是矩形，.AD=BC,AB=CD.设AB=xm,则 BC=(32-2x)m.由题意，得x(32-2x)=120,解得x1=6,x2=10.当x=6时，BC=AD= 32-2×6=20>18,不符合题意.当x=10时，BC=AD=32一2×10=12<18，符合题意 答：AB的长为10m.5.B6.解：设小路的宽度为xm.根据题意，得(20-4x)(14-4x)= 24X9,解得x1=0.5,x2=8(不符合题意，舍去).答：小路的宽度为0.5m. 能力提升 7.C8.29.解：(1)设剪开后其中一段绳长为xcm,则另一段绳长为(80一x)cm.根据题 意，得（气）”十(0，)=20，解得1==0.要使这两个正方形的面积之和为 200cm,可将绳子从中点处剪开.(2)设剪开后其中一段绳长为ycm,则另一段绳长为 (80-0m根据题意，得（学）+(9）=48，解得=-8（含去）=8（含去》 .这两个正方形的面积之和不可能为488cm2. 思维拓展 10.解：.四边形ABCD为矩形，.CD=AB=6,BC=AD=8.由题意，得BM=2t,CN=t, CM=BC-BM=8-2,DN=CD-CN=6-.:Samw=专Sem,∴8X6-号X6X 21-合×(8-20X1一合×8X(6-)=号×8×6，鉴理，得f-61+8=0,解得1=2， 4.∴当t=2或4时，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的3 第2课时传播与平均增长（下降）率问题 新知梳理 ②a(1+x)"=ba(1-x)"=b 例题引路 【例1】C【例2】解：(1)设该商场投入资金的月平均增长率为x,根据题意，得20(1十x)= 24.2,解得x1=0.1=10%,x2=一2.1（不符合题意，舍去）.答：该商场投入资金的月平均增 长率为10%.(2)24.2×(1十10%)=26.62（万元）.答：预计该商场7月份投入资金将达到 26.62万元. 基础过关 1.B2.63.A4.解：设这两年该电池成本的年平均下降率为x,根据题意，得1200(1一 x)2=972,解得x1=0.1=10%,x2=1.9(不符合题意，舍去).答：这两年该电池成本的年平 均下降率为10% 能力提升 5.D6.67.解：设11,12这两个月销售额的月平均增长率为x.根据题意，得200×(1 20%)(1十x)2=193.6,解得x1=0.1=10%,x2=-2.1(不符合题意，舍去).答：11,12这两 个月销售额的月平均增长率为10%.8.解：(1)根据题意，得1十x十x2=111,解得x1= 10,x2=一11（不符合题意，舍去）..x的值为10.(2)经过三轮转发之后，参与人数为1十 10+100+1000=1111(人)，四轮转发之后，参与人数为1+10十100十1000十10000= 11111(人).11111>10000，.再经过两轮转发后，参与人数会超过10000人. 思维拓展 9.解：(1)10000(1十2x)10000(1十x)(2)根据题意，得10000(1十x)2-10000(1十 2x)=25,解得x1=0.05=5%,x2=一0.05（不符合题意，舍去）.答：该理财产品的年利率为 5%. 第3课时循环、数字与销售问题 例题引路 【例1】解：设十位数字为x,则个位数字为x十2.根据题意，得3.x(x十2)=10x十(x十2).整 理，得32-5x一2=0，解得=2=一号（不符合题意，舍去.∴x十2=4.答：这个两位 数为24. 60