25.2.3 因式分解法&专题2 一元二次方程的特殊解法（PDF部分书稿）-【鸿鹄志·名师测控】2026-2027学年九年级全一册数学（人教版·新教材 贵州专版）

思维拓展 10.解：I:∠ACB=90,BC=号AC=b,AB=√BC+AC-√+=W :BD=号，AD=AB-BD=合-.(2)方程化为x十a一公=0，A=Q-4X 2 1X（-6)2=a十4.x=二a±a干46.m=二a十@+4 2 ,x2= -a-a+46 2 ,∴AD的长是方程的正根.遗憾之处：图解法不能表示方程的负根.（合理 即可) 25.2.3因式分解法 新知梳理 ②00 例题引路 【例1】解：(1)左边因式分解，得x(x-3)=0.于是得x=0,或x-3=0.x1=0,x2=3. (2)左边因式分解，得(x一5)(x十1)=0.于是得x一5=0，或x十1=0..x1=5,x2=-1. (3)左边因式分解，得3x(2x十1)=2x十1.移项，得3x(2x十1)一(2x十1)=0.左边因式分 解，得2x十103x-1D=0.于是得2x十1=0，或3x-1=0.∴1=-分=号 易错典例 【例2】② 基础过关 1,C2.C3.解：(1)左边因式分解，得x(4x-11)=0.于是得x=0,或4x-11=0.∴x1= 0,=只.(2)移项、合并同类项，得9-4=0.左边因式分解，得(3x十2)(3x-2)=0.于 是得3x+2=0,或3x-2=01=-号=号.4D5.解：1)配方，得-2x十 2 12=3十1，即(x-1)2=4.由此可得x-1=士2.∴.x=3,x2=-1.(2)原方程可化为3x2 7x十2=0.：a=3,b=-7,c=2,.△=b-4ac=(-7)2-4×3X2=25>0.∴.方程有两个 不相等的实数根，一匹-7结否-7告=2=分 2a 2×3 能力提升 6.C7.208.解：(1)①B②等式的基本性质(2)：a=3,b=-6,c=1,.△=6-4ac （一6)°-4×3×1=24>0.“方程有两个不相等的实数根.x=二b士一4ac=6±35 Za 2×3 1±5=1+ 3-1-6 .(3)移项，得3(x-2)2-(x2-4)=0.左边因式分解，得 (x-2)[3(x-2)-(x十2)]=0，即(x-2)(2x-8)=0.于是得x-2=0,或2x-8=0. .x1=2,x2=4. 思维拓展 9.解：(1)①②(2)解方程x2一2x=0,得x1=0,x2=2,当相同的根是x=0时，把x=0代 入x2十x十m-1=0,得m-1=0,解得m=1;当相同的根是x=2时，把x=2代入x2十x十 m一1=0，得4十2十m一1=0，解得m=一5.综上所述，m的值为1或-5.(3).关于x的一 元二次方程a.x2十bx十c=0(a≠0)同时满足a-b十c=0和9a十3b+c=0,∴.该方程的两个 根是x1=-1,x2=3.:方程(x-n)(x十3)=0的两个根是x1=n,x2=一3，且与方程a.x2十 bx十c=0(a≠0)为“同伴方程”，∴.n=-1或3. 专题二一元二次方程的特殊解法【培养阅读理解能力】 1.解：(1)左边因式分解，得(x十1)(x十4)=0.∴x十1=0，或x十4=0.∴x1=-1,x2= -4.(2)左边因式分解，得(x-1)(x-2)=0..x一1=0，或x-2=0..x1=1,x2=2. (3)左边因式分解，得(x十1)(x一6)=0..x十1=0，或x一6=0..x1=-1,x2=6.(4)左 边偶式分解，得(2x-30(x十2)=0.∴2x-3=0,或x十2=0.∴=号w=-2.2解： (1)设y=x2,则原方程化为y2-3y十2=0，.(y-1)(y-2)=0.∴y-1=0或y-2=0. -58 y=1或y=2..x2=1或x2=2.∴.原方程的解为x1=1,x2=-1,xa=√2，x1=-√2. (2)原方程为(x2-2x)2-5x2十10x-6=0,即(x2-2x)2-5(x2-2x)-6=0,设y=x2 2x,则原方程化为y2-5y-6=0,.(y-6)(y十1)=0..y-6=0或y十1=0..y=6或 y=-1..x2-2x=6或x2-2x=-1.对于x2-2x=6,即x2-2x-6=0.△=(-2)2 4X1×(-6)=4+24=28,x=2生/2s-2生27=1±万.对于x2-2x=-1,即x2 2x十1=0..(x-1)2=0..x=x1=1..原方程的解为=1十√7，x2=1一√7，x3=x1=1. 25.2.4一元二次方程的根与系数的关系 新知梳理 ①-≥ 例题引路 【例1】解：1)m十x=-（-4)=4,x1=1.(2)十=-二3 -2。 2 3x2= 6 3-2. (3)原方程化为x2十8.x-10=0,.x1十x2=-8,x1x2=-10. 易错典例 【例2】D 基础过关 1.C2.C3.A4.C5,一26.解：佳佳的解题过程未考虑△>≥0这个条件.正确的解题 过程如下：根据题意，得△=[一(2m-1D门一4m≥0，解得m≤}.由根与系数的关系，得 a十b=2m-1,ab=m2.:a十b=ab-4,.2m-1=m2-4,解得m1=-1,m2=3(舍去). .m=-1. 能力提升 7.C8.D9.C10.311.解：方程x2+(a2-2a)x十a-1=0的两个实数根互为相反 数，.x十x2=-a2+2a=0,解得a1=0,a2=2.当a=0时，原方程为x2-1=0,符合题意； 当a=2时，原方程为x2十1=0，方程无实数根，舍去.∴.a=0. 思维拓展 12.解：(1)71 √a√b +2=3.(3)令=a,-n=b,则a2+a-7=0,6+b-7=0.“mn≠-1，≠-， a√6 m m 即a≠h..a,b是方程x2十x-7=0的两个不相等的实数根.∴.a十b=一1，ab=-7. 十m=a2+=(a+b)22ab=（1)2-2X(-7)=15. 专题三根与系数的关系的运用【教改变化·贵州热点】 1A2.-33.A41)-告(2)日3)唱（④-}6） 5 ,【变式题】6 5.解：(1)由题意，得△=(-6)-4(2m十1)≥0，解得m≤4.(2)由根与系数的关系，得x1十 x2=6,1x2=2m十1.2x1x2十x1十x2≥20，.2(2m十1)十6≥20，解得m≥3.m≤4， .3m≤4.6.(1)证明：.△=b2-4ac=(-2m)2-4×1×(m2-1)=4>0,.无论m取 何值，方程总有两个不相等的实数根.(2)解：x1十x2=2m,x1x2=m2一1,1x2十x1十x2= -1,.(m2-1)十2m=-1..m2十2m=0.解得m1=0,m2=-2. 25.3实际问题与一元二次方程 第1课时几何图形问题 例题引路 【例1】解：设其中一条直角边的长为xcm,则另一条直角边的长为(30一13一x)cm.根据题 意，得x2+(30-13-x)2=132,解得x1=12,x2=5.当x=12时，30-13-x=5;当x=5 时，30-13-x=12.答：两条直角边的长分别为12cm,5cm 易错典例 【例2】2 59 基础过关 1.A2.43.114.解：四边形ABCD是矩形，.AD=BC,AB=CD.设AB=xm,则 BC=(32-2x)m.由题意，得x(32-2x)=120,解得x1=6,x2=10.当x=6时，BC=AD= 32-2×6=20>18,不符合题意.当x=10时，BC=AD=32一2×10=12<18，符合题意 答：AB的长为10m.5.B6.解：设小路的宽度为xm.根据题意，得(20-4x)(14-4x)= 24X9,解得x1=0.5,x2=8(不符合题意，舍去).答：小路的宽度为0.5m. 能力提升 7.C8.29.解：(1)设剪开后其中一段绳长为xcm,则另一段绳长为(80一x)cm.根据题 意，得（气）”十(0，)=20，解得1==0.要使这两个正方形的面积之和为 200cm,可将绳子从中点处剪开.(2)设剪开后其中一段绳长为ycm,则另一段绳长为 (80-0m根据题意，得（学）+(9）=48，解得=-8（含去）=8（含去》 .这两个正方形的面积之和不可能为488cm2. 思维拓展 10.解：.四边形ABCD为矩形，.CD=AB=6,BC=AD=8.由题意，得BM=2t,CN=t, CM=BC-BM=8-2,DN=CD-CN=6-.:Samw=专Sem,∴8X6-号X6X 21-合×(8-20X1一合×8X(6-)=号×8×6，鉴理，得f-61+8=0,解得1=2， 4.∴当t=2或4时，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的3 第2课时传播与平均增长（下降）率问题 新知梳理 ②a(1+x)"=ba(1-x)"=b 例题引路 【例1】C【例2】解：(1)设该商场投入资金的月平均增长率为x,根据题意，得20(1十x)= 24.2,解得x1=0.1=10%,x2=一2.1（不符合题意，舍去）.答：该商场投入资金的月平均增 长率为10%.(2)24.2×(1十10%)=26.62（万元）.答：预计该商场7月份投入资金将达到 26.62万元. 基础过关 1.B2.63.A4.解：设这两年该电池成本的年平均下降率为x,根据题意，得1200(1一 x)2=972,解得x1=0.1=10%,x2=1.9(不符合题意，舍去).答：这两年该电池成本的年平 均下降率为10% 能力提升 5.D6.67.解：设11,12这两个月销售额的月平均增长率为x.根据题意，得200×(1 20%)(1十x)2=193.6,解得x1=0.1=10%,x2=-2.1(不符合题意，舍去).答：11,12这两 个月销售额的月平均增长率为10%.8.解：(1)根据题意，得1十x十x2=111,解得x1= 10,x2=一11（不符合题意，舍去）..x的值为10.(2)经过三轮转发之后，参与人数为1十 10+100+1000=1111(人)，四轮转发之后，参与人数为1+10十100十1000十10000= 11111(人).11111>10000，.再经过两轮转发后，参与人数会超过10000人. 思维拓展 9.解：(1)10000(1十2x)10000(1十x)(2)根据题意，得10000(1十x)2-10000(1十 2x)=25,解得x1=0.05=5%,x2=一0.05（不符合题意，舍去）.答：该理财产品的年利率为 5%. 第3课时循环、数字与销售问题 例题引路 【例1】解：设十位数字为x,则个位数字为x十2.根据题意，得3.x(x十2)=10x十(x十2).整 理，得32-5x一2=0，解得=2=一号（不符合题意，舍去.∴x十2=4.答：这个两位 数为24. 602 新知导学 》◆预习新知 同新知梳理 ①用因式分解法的条件：方程ax十 bx十c=0(a≠0)的左边能因式分解，化 为两个一次因式的乘积等于0的形式. ②理论依据：若ab=0,则a= 或 b三 ③一般步骤：一移项（方程右边等于0）， 二分解，三转化，四求解 ☑例题引路 【例1】用因式分解法解下列方程： (1)x2-3x=0: (2)x(x-5)+x-5=0; (3)6x2+3.x=2x+1. 【方法点拨】在用因式分解法解一元二 次方程时，不要急于将方程化为一般 式，要先观察方程的特点，能因式分解 的先因式分解.如本题(3)的左边. 【学生解答】 紉易错典例 【例2】小明解方程的步骤如下，他是从 第 步开始出错的.（填序号） 解方程：2x2十8x=一4一x. 解：2x(x十4)=一（x+4).① 2x=-1.② 2 【易错剖析】用因式分解法解方程时，不 要将方程两边同时除以含有未知数的 式子，会导致漏根. 【学生解答】 5.2.3因式分解法 基础过关 ●●逐点击破 知识点1用因式分解法解一元二次方程 1.(2025一2026·铜仁期末)一元二次方程x2-x=0的解 是 A.x=0 B.x=1 C.x=0或x=1 D.x=1或x=-1 2.用因式分解法解方程，下列解法正确的是 ( A.(x-2)(x一3)=2×3，则x-2=2或x-3=3 B.(x+3)(x-1)=1,则x十3=0或x-1=1 C.（2x一2)(3x-4)=0,则2x一2=0或3.x-4=0 D.x(x十2)=0，则x十2=0 3.用因式分解法解下列方程： (1)4x2-11.x=0; (2)11x2-3x=2x2-3x+4. 知识点2用适当的方法解一元二次方程 4.解方程x一√2=（√2-x)2,最合适的方法是 ( A.直接开平方法 B.配方法 C.公式法 D.因式分解法 5.用适当的方法解下列方程： (1)x2-2x=3; (2)x(3x-7)=-2. 九年级数学人教版全一册11 能力提升 ◆♪·整合运用 6.将(2x一1)2=10x-5转化为两个一元一次 方程，这两个方程是 A.2x-1=0,2x+1=-5 B.2x+1=5,2x-1=0 C.2x-1=0,2x-1=5 D.2x+1=0,2x-1=-5 7.(易错题)一个三角形的两边长分别是3和 8,第三边的长是方程x2一9x一13(x-9)=0 的根，则这个三角形的周长是 8.张老师讲解一元二次方程的解法时在黑板上的 板书过程如下，请阅读并解答下列问题， 解方程：3.x2-6x十1=0. 解：x2-2x= …。………e…… 3 第一步 x2-2.x+1= 十1. 3 ……………………… 第二步 (x-1)2=2 ……………… 第三步 x1=±6 …………………e…… 第四步 =1+6 2=1 .6 …… 3 第五步 (1)①张老师解方程的方法是 A.直接开平方法 B.配方法 C.公式法 D.因式分解法 ②第二步变形的依据是 (2)请你用公式法解该方程； (3)请你用因式分解法解方程：3(x一2)2= x2-4. 12第二十五章一元二次方程 【思维拓展 ♪~强化素养 9.新定义新趋势定义：若两个一元二次方程有 且只有一个相同的实数根，我们就称这两个 方程为“同伴方程”.例如，方程x2=4和 (x一2)(x十3)=0有且只有一个相同的实数 根x=2,所以这两个方程为“同伴方程”. (1)根据以上定义，下列方程属于“同伴方 程”的是 ;(填序号) ①(x-1)2=9; ②x2+4.x+4=0; ③x2+2x-8=0; (2)若关于x的一元二次方程x2一2x=0与x2十 x十m一1=0为“同伴方程”，求m的值； (3)若关于x的一元二次方程a.x2十b.x十c=0 (a≠0)同时满足a-b十c=0和9a十3b十 c=0,且与(x一n)(x十3)=0为“同伴方程” 求n的值， 提示 请完成基本功专练（一） 专题二一元二次方程的特殊解法【培养阅读理解能力】 类型1十字相乘法（选用） 类型2换元法 1.阅读下列材料： 2.(2025一2026·遵义期中)阅读材料，解答问题 材料一：将代数式x2+2x一35分解因式，我 解方程：(4x-1)2-10(4x-1)+24=0. 们可以按下面的方法解答： 解：把4x一1视为一个整体，设4x一1=y, 解：①竖分二次项与常数项： 则原方程化为y2一10y+24=0, x2=x·x,-35=(-5)X(+7). 解得y1=6,y2=4. ②交叉相乘，验中项： .4x-1=6或4x-1=4. 5 -5 7x-5x=2x. 以上方法就叫做“换元法”，达到简化或降次 1 的目的，体现了转化的思想. ③横向写出两因式： 请仿照材料解下列方程： x2+2x-35=(x-5)(x+7). (1)x-3.x2+2=0; 我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方 (2)(x2-2x)2-5.x2+10x-6=0. 法叫作十字相乘法. 材料二：根据乘法原理，若ab=0,则a=0或 b=0. 试用上述方法和原理解下列方程： (1)x2+5.x+4=0; (2)x2-3x+2=0; (3)x2-5x-6=0; (4)2x2+x-6=0. 九年级数学人教版全一册13