25.2.2 公式法（PDF部分书稿）-【鸿鹄志·名师测控】2026-2027学年九年级全一册数学（人教版·新教材 贵州专版）

25.2.2 第1课时 一元二 基础过关 逐点击破 知识点一元二次方程的根的判别式 1.一元二次方程x2一5.x+2=0的根的判别式 的值是 A.33 B.23 C.17 D.√/17 2.(2026·贵州一模)下列方程中，有两个相等 的实数根的是 ( A.x2-1=0 B.x2+1=0 C.x2-2.x+1=0 D.x2-x+1=0 3.若关于x的一元二次方程x2一2x十k=0 有两个不相等的实数根，则k的取值范围 是 A.k>1 B.k<1 C.k≥1 D.k≤1 4.半开放性题新趋势已知关于x的一元二次 方程x2+3.x一2m=0没有实数根，则m的 值可能是 .(写出一个即可) 5.(教材P17习题T4变式)利用一元二次方程 根的判别式判断下列方程的根的情况： (1)x2-3√2x+4=0: (2)5x2+5x=4x2-10 8第二十五章一元二次方程 公式法 方程的根的判别式 口能力提升 ·◆。整合运用 6.若方程2x2-x十m=0的根的判别式的值为 9,则常数m的值为 A.2 B.1 C.0 D.-1 7.（2025·雅安中考)关于x的一元二次方程 （m一3)x2+6x+3=0有两个实数根，则m 的取值范围是 A.m>6 B.m≤6且m≠3 C.m≥6 D.m<6且m≠3 【变式题】弱化条件：一元二次方程有实数 根→方程有实数根 (易错题)若关于x的方程kx2一4x十4=0 有实数根，则的取值范围是 ( A.k<1且k≠0 B.k<1 C.k≤1且k≠0 D.k≤1 8.（易错题)已知m,n,3分别是等腰三角形三 边的长，且m,n是关于x的一元二次方程 x2一8.x+21一k=0的两个实数根，则k的值 为 9.(教材P18习题T10变式)已知关于x的一 元二次方程x2-(2m十1)x十4m-2=0. (1)求这个一元二次方程的根的判别式的 值；（用含m的式子表示） (2)求证：无论m取何值，这个方程总有实 数根。 第2课时 【新知导学 >♪◆预习新知 同新知梳理 ①当△0时，方程a.x2十bx十c=0 (a≠0)的实数根可写为x= 的形式，这个式子叫作一元二次方程 a.x2+b.x十c=0的求根公式. ②用公式法解方程的一般步骤： 一化：化为一般形式ax2十b.x十c=0 (a≠0)； 二定：确定a,b,c的值； 三求：先算△=b2-4ac的值，若△≥ 0,再代入求根公式求解. ☑例题引路 【例1】用公式法解下列方程： (1)x2-2x+3=0:(2)2x2+7x=0. 【方法点拨】在代入求根公式前，先求△ 的值，只有当△≥0时方程才有解. 【学生解答】 易错典例 【例2】已知关于x的一元二次方程bx2 cx-a=0(b≠0)，当△≥0时，该方程的 解是 ( A.x=-b±B-4a 2a B.x=c±V+4ab 2b C.x=-c±2+4ab 2b D.x=±V十4ab 26 【易错剖析】注意审题，不要盲目套用公 式解方程，注意分辨本题的二次项系 数、一次项系数和常数项. 【学生解答】 用公式法解一元二次方程 基础过关 ●>逐点击破 知识点用公式法解一元二次方程 1.(2025-2026·遵义期中)用公式法解x2+3x-1=0 时，先求出a,b,c的值，则a,b,c依次为 () A.-1,3,-1 B.1,-3,-1 C.-1,-3,-1 D.1,3,-1 2.(2025一2026·黔南期未)某一元二次方程的根用求根 公式表示为x=二（一2)±，2.4X3x(五，则 2×3 该一元二次方程为 ( A.-2x2+3x-1=0 B.3x2-2x-1=0 C.2x2-3x+1=0 D.3x2-2x+1=0 3.用公式法解下列方程： (1)写2-2x+3=0: (2)-x2+2J5x=10. 4.过程纠错新趋势小明解方程x2一5x=1的过程如下： 解：.a=1,b=-5,c=1,(第一步) ∴.△=-4ac=(-5)2-4×1×1=21.(第二步) x=5±/2团，（第三步） 2 即1=5+四=5.（第四步) 2 2 (1)小明的解答过程从第 步开始出现错误，错 误原因是 (2)写出此题正确的解答过程. 九年级数学人教版全一册9 能力提升 ◆>·整合运用 5.关于x的一元二次方程x2一2x一c=0能用 公式法求解的前提是 A.c=1 B.c≥1 C.c≥-1 D.c≤-1 6.已知关于x的一元二次方程ax2十bx十c=0 的根为一b士，厅+4，则c的值为 () 2 A.1 B.-1 C.0 D.2 7.新定义新趋势（易错题）对于两个不相等的 实数a,b,我们规定符号min{a,b}表示a,b中 的较小值，如：min{2,5}=2.按照这个规定，方 程min{x,l}=x2-2的根为 8.用公式法解方程：x(x-2)-3x2=-1. 9.已知关于x的一元二次方程x2一(k十1)x十 2k-2=0. (1)求证：此方程总有两个实数根； (2)若此方程有一个根大于0且小于1，求 的取值范围. 10第二十五章一元二次方程 【思维拓展 ,·强化素养 10.数形结合新理念古希腊数学家丢番图在 《算术》中就提到了一元二次方程的问题， 不过当时古希腊人还没有找到它的求根公 式，只能用图解等方法来求解.在欧几里得 的《几何原本》中，形如x2+ax=b(a>0, b>0)的方程的图解法如下： 如图，以号和b为两直角边长作Rt△ABC, 其中∠ACB=90°，再在斜边AB上截取 BD=号，则AD的长就是所求方程的解. (1)求AD的长；（用含字母a,b的代数式表示） (2)请利用公式法说明该图解法的正确性， 并说说这种解法的遗憾之处参考答案 第二十五章一元二次方程 25.1一元二次方程的概念 新知梳理 ①一整式2≠常数项②相等 例题引路 【例1】解：去括号，得5x2-10x=4x2-3x.移项、合并同类项，得x2-7x=0.它的二次项系 数是1，一次项系数是一7，常数项是0.【例2】A 易错典例 【例3】2 基础过关 1.C2B3.解：(1)移项，得一元二次方程的一般形式为3x2-7=0.它的二次项系数是 3,一次项系数是0，常数项是一7.(2)移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式为 2x2一4x十5=0.它的二次项系数是2，一次项系数是-4，常数项是5.(3)去括号，得2x2十 弥 x一4x-2=x2十2.移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式为x2-3x一4=0.它的 帐 二次项系数是1，一次项系数是-3，常数项是一4.4.B5.56.20297.C 能力提升 8.B9.C10.203411.解：(1)根据题意，得(x十5)(x十2)=54.化成一般形式为x2+ 7x-44=0.(2)设较短直角边的长为xcm.根据题意，得x2十(x十2)2=(x十4)2.化为一般 形式为x2-4x-12=0. 思维拓展 地 12.解：(1)是.理由如下：a=2,b=-1,c=-4,.3a十2b十c=3×2十2×(-1)十(-4) 0.方程2x2-x-4=0是“波浪方程”.(2)把x=-1代入ax2-2x十c=0,得a十2十c=0. .此方程为“波浪方程”，，3a十2×（一2）十c=0,即3a一4十c=0.联立 1a十2十(=0，解得 3a-4+c=0,1 封 1a=3, .这个“波浪方程”为3x2-2x-5=0. c=-5. 25.2降次一解一元二次方程 25.2.1配方法 第1课时用直接开平方法解一元二次方程 新知梳理 ①√D -√万0②n二厘 m 例题引路 渠 【例】解：1)整理，得r-织由此可得x=±子“A==一子(2)移项，得（红 5)2=9.由此可得x-5=士3..x-5=3,或x-5=-3.∴.x1=8,x2=2.(3)整理，得(x 1)2=18.由此可得x-1=士3√2.∴x-1=3√2，或x-1=-3√2..x1=1+3√2，x2=1 3√2 易错典例 【例2】8 基础过关 1.C2.C【变式题15（答案不唯-（≥0即可）3解：1)整理，得r=号”一另<0， 原方程无实数根.(2)整理，得x2=6.由此可得x=士√6，即x1=√6，x2=一√6.4.D 5.x1=6,x2=06.解：(1)由方程可得3x-1=士9..3x-1=9,或3x-1=-9,.x1= 38 10 2)整理，得(2-)=品由此可得2-=±是2-=是，或2-= 11 42= 41 55 能力提升 7.C8C9.-25【变式题1k=2=-210.解：0整理，得(2x十1=克由此可 得2x十1=±号2x+1=号或2x十1=-号∴=是，=-子.(2)整理，得9r= 7,即产=子由此可得=±号甲=号=(3)整理，得(x十6=3.由此可得 x十5=士5.∴.x十5=√5，或x十5=-√5.∴.x1=-5十√5，x2=-5-√5. 思维拓展 11.解：(1)53(2)原方程变形，得[(x十2)-4][(x十2)十4]=4，∴.(x十2)2-42=4. ∴.(x十2)2=20.两边开平方，得x十2=士25.x1=-2+2√5，x2=-2-25. 第2课时用配方法解一元二次方程 新知梳理 ①(a±b)2②一半 例题引路 【例1】解：(1)移项，得x2十2x=1.配方，得x2十2x十1=1十12，即(x十1)2=2.由此可得 x十1=士2.∴x=-1十√2，x2=-1一√2.(2)移项，得4x-7x=-2.二次项系数化为1， 得-子=-司配方，得x-子+（餐）=-令+（合），即(x-8)-品由此可 8 易错典例 【例2】C 基础过关 1D2.193(2)华号（3)是是3B4解：1)移项，得x十10x=-8配 方，得x2十10x十52=-8十52，即(x十5)2=17.由此可得x十5=±√17..x1=-5十 =-5-m.2)配方，得x-3x+()=-子+（受），即(x-是)=子.由 此可得一-±=3 -2 2 2,=3,2.5.B6.解：1)移项、二次项系数化为 2 1得一号是配方得r-导十（付）=号(）即（一吉）碧由此可得 一号=士专=1=一子(2)移项、二次项系数化为1，得2-8x=一4.配方，得 x2-8x十42=-4十42，即(x-4)=12.由此可得x-4=士2√5..x1=4+2√3，x2=4- 23. 能力提升 7.D84或-29.-空10.解：1)移项，得r-25x=3.配方，得r-2x十= 3十3，即(x一√5)2=6.由此可得x一√3=士6.∴.x1=5十√6，x2=3-√6.(2)整理，得 x+3x=1.配方，得x+3x+(受)广=1+（受），即(x+受)-9由此可得x+多 ±.x=二3士区，=二3压.(3)整理，得3x+2x=-1.二次项系数化为1， 2 2 2 得父+号=一子配方，得+号x+(信)=言十(）)即(+）-号 :-号<0原方程无实数根。 思维拓展 1山.解：)x=5=号(2)士(3)三次项系数化为1，得r-29=-1.配方，得 a 2- （得）=-1+（号）(x-号)-岩由此可得x-号=士号=5 5 x=行经检验，=5，=号都是原方程的解.(1)中猜想结论正确。 1 -56 专题一配方法的四种常见运用 1.证明：原式=(4x2-8.x十4)十5=4(x2-2x十1)十5=4(x-1)2+5.4(x-1)2≥0， .4(x-1)2十5≥5.∴.代数式4x2-8x十9的值恒为正数.2.解：(1)1(2)原式=m2十6m十9 十n2-4十4十7=(m十3)2十(n-2)2十7..(m十3)2≥0，(n-2)2≥0，∴.(m十3)2十(n 2)2+7≥7..m2十n2+6m-4n十20的最小值为7.3.解：x2-1-(2x-3)=x2-2x十2= (x-1)2十1.(x-1)≥0，.(x-1)2+1>0.∴.x2-1-(2x-3)>0.∴.x2-1>2x-3. 4.15.解：：a2-8a+b-6b+c2-6c+34=0,.(a2-8a十16)+(b-6b+9)+(c2-6c+ 9)=0..(a-4)2+(b-3)2+(c-3)2=0.:(a-4)2≥0，(b-3)2≥0，(c-3)2≥0，.a 4=0,b-3=0,c-3=0,解得a=4,b=c=3.∴.△ABC是等腰三角形.6.解：原式=x2 4xy十4y2-y2=(x-2y)2-y2=(x-2y十y)(x-2y-y)=(x-y)(x-3y). 25.2.2公式法 第1课时一元二次方程的根的判别式 基础过关 1.C2.C3B4-2(答案不唯-，m<-号即可）5.解：1)：a=1,b=-3c=4, .△=b2-4ac=(-3√2)2-4×1×4=2>0.∴.方程有两个不相等的实数根.(2)原方程可 化为x2+5x十10=0，：a=1,b=5,c=10,.△=-4ac=52-4×1×10=-15<0..方程 没有实数根， 能力提升 6.D7.B【变式题】D8.5或69.(1)解：由题意，得△=[-(2m十1)]-4×1× (4m-2)=4m2-12m十9.(2)证明：由(1)，得△=4m2-12m十9=(2m-3)2≥0，.无论m 取何值，这个方程总有实数根， 第2课时用公式法解一元二次方程 新知梳理 ①≥ -b士√形-4ac 2a 例题引路 【例1】解：(1)a=1,b=-2,c=3,△=b2-4ac=(-2)2-4×1×3=-8<0..方程无实 数根.(2)：a=2,b=7,c=0,∴.△=b2-4ac=72-4×2×0=49>0.∴.方程有两个不相等的 实数根.生公匹-装里-7学=0。=一号 7 2a 2×2 易错典例 【例2】B 基础过关 1.D2.B3解：1：a=号，6=-2c=3,4=8-4ac=(-2)-4×号×3=0.方 3 程有两个相等的实数根六=9=一2名=-一名=3.(2)方程化为x一25x十100 1 a=1,b=-25,c=10,.△=6-4ac=(-2√5)2-4×1×10=-20<0..方程无实数 根.4.解：(1)一用公式法解方程前没有将方程化为一般形式(2)原方程可化为x2一 5x-1=0.a=1,b=-5,c=-1,∴.△=b2-4ac=(-5)2-4×1X(-1)=29>0..方程 有两个不相等的实数根.“x=二生4@匹_5±，四1=5士)√四，x 2a 2 2 型，-2四 2 能力提升 5.C6.B7.x1=3,x2=-18.解：方程化为2x2十2x-1=0..a=2,b=2,c=-1, ∴.△=b2-4ac=22-4×2×(-1)=12>0..方程有两个不相等的实数根.x= 证-2生2=1a=1 Za 4 2 ,9.(1)证明：：△=[-(k十 1)]-4×1×(2k-2)=(k-3)≥0，.此方程总有两个实数根.(2)解：由(1)得x= 十1)±/=3》，=k-1,=2.由题意，得0<k-1<1,解得1<k<2. 2 57 思维拓展 10.解：I:∠ACB=90,BC=号AC=b,AB=√BC+AC-√+=W :BD=号，AD=AB-BD=合-.(2)方程化为x十a一公=0，A=Q-4X 2 1X（-6)2=a十4.x=二a±a干46.m=二a十@+4 2 ,x2= -a-a+46 2 ,∴AD的长是方程的正根.遗憾之处：图解法不能表示方程的负根.（合理 即可) 25.2.3因式分解法 新知梳理 ②00 例题引路 【例1】解：(1)左边因式分解，得x(x-3)=0.于是得x=0,或x-3=0.x1=0,x2=3. (2)左边因式分解，得(x一5)(x十1)=0.于是得x一5=0，或x十1=0..x1=5,x2=-1. (3)左边因式分解，得3x(2x十1)=2x十1.移项，得3x(2x十1)一(2x十1)=0.左边因式分 解，得2x十103x-1D=0.于是得2x十1=0，或3x-1=0.∴1=-分=号 易错典例 【例2】② 基础过关 1,C2.C3.解：(1)左边因式分解，得x(4x-11)=0.于是得x=0,或4x-11=0.∴x1= 0,=只.(2)移项、合并同类项，得9-4=0.左边因式分解，得(3x十2)(3x-2)=0.于 是得3x+2=0,或3x-2=01=-号=号.4D5.解：1)配方，得-2x十 2 12=3十1，即(x-1)2=4.由此可得x-1=士2.∴.x=3,x2=-1.(2)原方程可化为3x2 7x十2=0.：a=3,b=-7,c=2,.△=b-4ac=(-7)2-4×3X2=25>0.∴.方程有两个 不相等的实数根，一匹-7结否-7告=2=分 2a 2×3 能力提升 6.C7.208.解：(1)①B②等式的基本性质(2)：a=3,b=-6,c=1,.△=6-4ac （一6)°-4×3×1=24>0.“方程有两个不相等的实数根.x=二b士一4ac=6±35 Za 2×3 1±5=1+ 3-1-6 .(3)移项，得3(x-2)2-(x2-4)=0.左边因式分解，得 (x-2)[3(x-2)-(x十2)]=0，即(x-2)(2x-8)=0.于是得x-2=0,或2x-8=0. .x1=2,x2=4. 思维拓展 9.解：(1)①②(2)解方程x2一2x=0,得x1=0,x2=2,当相同的根是x=0时，把x=0代 入x2十x十m-1=0,得m-1=0,解得m=1;当相同的根是x=2时，把x=2代入x2十x十 m一1=0，得4十2十m一1=0，解得m=一5.综上所述，m的值为1或-5.(3).关于x的一 元二次方程a.x2十bx十c=0(a≠0)同时满足a-b十c=0和9a十3b+c=0,∴.该方程的两个 根是x1=-1,x2=3.:方程(x-n)(x十3)=0的两个根是x1=n,x2=一3，且与方程a.x2十 bx十c=0(a≠0)为“同伴方程”，∴.n=-1或3. 专题二一元二次方程的特殊解法【培养阅读理解能力】 1.解：(1)左边因式分解，得(x十1)(x十4)=0.∴x十1=0，或x十4=0.∴x1=-1,x2= -4.(2)左边因式分解，得(x-1)(x-2)=0..x一1=0，或x-2=0..x1=1,x2=2. (3)左边因式分解，得(x十1)(x一6)=0..x十1=0，或x一6=0..x1=-1,x2=6.(4)左 边偶式分解，得(2x-30(x十2)=0.∴2x-3=0,或x十2=0.∴=号w=-2.2解： (1)设y=x2,则原方程化为y2-3y十2=0，.(y-1)(y-2)=0.∴y-1=0或y-2=0. -58 y=1或y=2..x2=1或x2=2.∴.原方程的解为x1=1,x2=-1,xa=√2，x1=-√2. (2)原方程为(x2-2x)2-5x2十10x-6=0,即(x2-2x)2-5(x2-2x)-6=0,设y=x2 2x,则原方程化为y2-5y-6=0,.(y-6)(y十1)=0..y-6=0或y十1=0..y=6或 y=-1..x2-2x=6或x2-2x=-1.对于x2-2x=6,即x2-2x-6=0.△=(-2)2 4X1×(-6)=4+24=28,x=2生/2s-2生27=1±万.对于x2-2x=-1,即x2 2x十1=0..(x-1)2=0..x=x1=1..原方程的解为=1十√7，x2=1一√7，x3=x1=1. 25.2.4一元二次方程的根与系数的关系 新知梳理 ①-≥ 例题引路 【例1】解：1)m十x=-（-4)=4,x1=1.(2)十=-二3 -2。 2 3x2= 6 3-2. (3)原方程化为x2十8.x-10=0,.x1十x2=-8,x1x2=-10. 易错典例 【例2】D 基础过关 1.C2.C3.A4.C5,一26.解：佳佳的解题过程未考虑△>≥0这个条件.正确的解题 过程如下：根据题意，得△=[一(2m-1D门一4m≥0，解得m≤}.由根与系数的关系，得 a十b=2m-1,ab=m2.:a十b=ab-4,.2m-1=m2-4,解得m1=-1,m2=3(舍去). .m=-1. 能力提升 7.C8.D9.C10.311.解：方程x2+(a2-2a)x十a-1=0的两个实数根互为相反 数，.x十x2=-a2+2a=0,解得a1=0,a2=2.当a=0时，原方程为x2-1=0,符合题意； 当a=2时，原方程为x2十1=0，方程无实数根，舍去.∴.a=0. 思维拓展 12.解：(1)71 √a√b +2=3.(3)令=a,-n=b,则a2+a-7=0,6+b-7=0.“mn≠-1，≠-， a√6 m m 即a≠h..a,b是方程x2十x-7=0的两个不相等的实数根.∴.a十b=一1，ab=-7. 十m=a2+=(a+b)22ab=（1)2-2X(-7)=15. 专题三根与系数的关系的运用【教改变化·贵州热点】 1A2.-33.A41)-告(2)日3)唱（④-}6） 5 ,【变式题】6 5.解：(1)由题意，得△=(-6)-4(2m十1)≥0，解得m≤4.(2)由根与系数的关系，得x1十 x2=6,1x2=2m十1.2x1x2十x1十x2≥20，.2(2m十1)十6≥20，解得m≥3.m≤4， .3m≤4.6.(1)证明：.△=b2-4ac=(-2m)2-4×1×(m2-1)=4>0,.无论m取 何值，方程总有两个不相等的实数根.(2)解：x1十x2=2m,x1x2=m2一1,1x2十x1十x2= -1,.(m2-1)十2m=-1..m2十2m=0.解得m1=0,m2=-2. 25.3实际问题与一元二次方程 第1课时几何图形问题 例题引路 【例1】解：设其中一条直角边的长为xcm,则另一条直角边的长为(30一13一x)cm.根据题 意，得x2+(30-13-x)2=132,解得x1=12,x2=5.当x=12时，30-13-x=5;当x=5 时，30-13-x=12.答：两条直角边的长分别为12cm,5cm 易错典例 【例2】2 59 基础过关 1.A2.43.114.解：四边形ABCD是矩形，.AD=BC,AB=CD.设AB=xm,则 BC=(32-2x)m.由题意，得x(32-2x)=120,解得x1=6,x2=10.当x=6时，BC=AD= 32-2×6=20>18,不符合题意.当x=10时，BC=AD=32一2×10=12<18，符合题意 答：AB的长为10m.5.B6.解：设小路的宽度为xm.根据题意，得(20-4x)(14-4x)= 24X9,解得x1=0.5,x2=8(不符合题意，舍去).答：小路的宽度为0.5m. 能力提升 7.C8.29.解：(1)设剪开后其中一段绳长为xcm,则另一段绳长为(80一x)cm.根据题 意，得（气）”十(0，)=20，解得1==0.要使这两个正方形的面积之和为 200cm,可将绳子从中点处剪开.(2)设剪开后其中一段绳长为ycm,则另一段绳长为 (80-0m根据题意，得（学）+(9）=48，解得=-8（含去）=8（含去》 .这两个正方形的面积之和不可能为488cm2. 思维拓展 10.解：.四边形ABCD为矩形，.CD=AB=6,BC=AD=8.由题意，得BM=2t,CN=t, CM=BC-BM=8-2,DN=CD-CN=6-.:Samw=专Sem,∴8X6-号X6X 21-合×(8-20X1一合×8X(6-)=号×8×6，鉴理，得f-61+8=0,解得1=2， 4.∴当t=2或4时，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的3 第2课时传播与平均增长（下降）率问题 新知梳理 ②a(1+x)"=ba(1-x)"=b 例题引路 【例1】C【例2】解：(1)设该商场投入资金的月平均增长率为x,根据题意，得20(1十x)= 24.2,解得x1=0.1=10%,x2=一2.1（不符合题意，舍去）.答：该商场投入资金的月平均增 长率为10%.(2)24.2×(1十10%)=26.62（万元）.答：预计该商场7月份投入资金将达到 26.62万元. 基础过关 1.B2.63.A4.解：设这两年该电池成本的年平均下降率为x,根据题意，得1200(1一 x)2=972,解得x1=0.1=10%,x2=1.9(不符合题意，舍去).答：这两年该电池成本的年平 均下降率为10% 能力提升 5.D6.67.解：设11,12这两个月销售额的月平均增长率为x.根据题意，得200×(1 20%)(1十x)2=193.6,解得x1=0.1=10%,x2=-2.1(不符合题意，舍去).答：11,12这两 个月销售额的月平均增长率为10%.8.解：(1)根据题意，得1十x十x2=111,解得x1= 10,x2=一11（不符合题意，舍去）..x的值为10.(2)经过三轮转发之后，参与人数为1十 10+100+1000=1111(人)，四轮转发之后，参与人数为1+10十100十1000十10000= 11111(人).11111>10000，.再经过两轮转发后，参与人数会超过10000人. 思维拓展 9.解：(1)10000(1十2x)10000(1十x)(2)根据题意，得10000(1十x)2-10000(1十 2x)=25,解得x1=0.05=5%,x2=一0.05（不符合题意，舍去）.答：该理财产品的年利率为 5%. 第3课时循环、数字与销售问题 例题引路 【例1】解：设十位数字为x,则个位数字为x十2.根据题意，得3.x(x十2)=10x十(x十2).整 理，得32-5x一2=0，解得=2=一号（不符合题意，舍去.∴x十2=4.答：这个两位 数为24. 60