专题十七 带电粒子在匀强磁场中的多解和临界问题 跟踪训练 -2027届高三物理一轮复习

**基本信息** 聚焦带电粒子在匀强磁场中多解与临界问题，通过分层训练构建"轨迹分析-几何建模-临界条件"的解题体系，强化科学思维与模型建构能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础对点练（多解问题）|4题|轨迹分类法、圆心角确定法、周期性分析|洛伦兹力提供向心力→轨迹半径公式→多解成因（方向/边界/周期性）| |基础对点练（临界极值）|4题|临界轨迹相切法、动态范围分析法|极值条件推导→几何关系构建→临界半径计算| |综合提升练|2选择+1计算|多磁场区域叠加法、运动时间比较法|单磁场规律→复合场运动拓展→时空关联应用| |培优加强练|1计算|边界条件控制法、多过程分段处理|复杂轨迹分解→区域转换分析→极值速度求解|

专题十七 带电粒子在匀强磁场中的多解和临界问题 跟踪训练 基础对点练 1． 选择题： 对点1　带电粒子在匀强磁场中运动的多解问题　　　　　　　　　　　　　　 1.如图所示，直线MN与水平方向成60°角，MN的右上方存在垂直纸面向外的匀强磁场，左下方存在垂直纸面向里的匀强磁场，两磁场的磁感应强度大小均为B。一粒子源位于MN上的a点，能水平向右发射不同速率、质量为m、电荷量为q(q>0)的同种粒子(重力不计，粒子间的相互作用不计)，所有粒子均能通过MN上的b点，已知ab＝L，则粒子的速度可能是(　　) A. B. C. D. 2.如图所示，四分之一圆区域OMN内存在方向垂直纸面向外的匀强磁场，P点为半径OM的中点。现有两个带电粒子a、b，以相同的速度先后从P点沿平行ON方向射入磁场，并分别从N、M两点射出磁场。不计粒子所受重力及粒子间相互作用。则粒子a、b在磁场中运动周期之比为(　　) A.5∶1 B.1∶5 C.2∶3 D.3∶2 3.(多选)如图所示，P、Q为一对水平放置的平行板，板长与板间距离均为d，板间区域内充满匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里。一质量为m、电荷量为q的粒子(重力不计)，以水平初速度v0从P、Q两板间左侧中央沿垂直磁场方向射入，粒子打到板上，则初速度v0的大小可能为(　　) A. B. C. D. 4.(多选)长为l的水平极板间有垂直纸面向里的匀强磁场，如图所示。磁感应强度为B，板间距离为l，极板不带电。现有质量为m、电荷量为q的带正电粒子(不计重力)，从左边极板间中点处垂直磁感线以速度v水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是(　　) A．使粒子的速度v< B．使粒子的速度v> C．使粒子的速度v> D．使粒子的速度<v< 对点2　带电粒子在匀强磁场中运动的临界极值问题 5.空间存在垂直纸面向外的匀强磁场(图中未画出)，A、B、C、D、E为磁场中的五个点，AB=DE，C为BD中点，AB平行于DE，如图所示。一束带正电的同种粒子垂直AB由A点沿纸面向上射入磁场，各粒子速度大小不同，经过一段时间后第一次到达虚线位置。用tB、tC、tD、tE分别表示第一次到达B、C、D、E四点的粒子所经历的时间，不计粒子重力和粒子间的相互作用，下列说法正确的是(　　) A.tB>tC>tD>tE B.tB>tC=tE>tD C.tB>tC>tE=tD D.tB=tE>tC>tD 6.真空中有一匀强磁场，磁场边界为两个半径分别为a和3a的同轴圆柱面，磁场的方向与圆柱轴线平行，其横截面如图所示。一速率为v的电子从圆心沿半径方向进入磁场。已知电子质量为m，电荷量为e，忽略重力。为使该电子的运动被限制在图中实线圆围成的区域内，磁场的磁感应强度最小为(　　) A. B. C. D. 7.(多选)如图所示，边界OA与OC之间存在磁感应强度为B的匀强磁场，磁场方向垂直纸面向外，∠AOC＝60°。边界OA上距O点l处有一粒子源S，可发射质量为m，带正电荷q的等速粒子，不计重力。当S沿纸面向磁场各个方向发射粒子，发现没有粒子从OC边界射出。则(　　) A.粒子的最大发射速率不超过 B.粒子的最大发射速率不超过 C.粒子从OA边界离开磁场时离S的最远距离可能为l D.粒子从OA边界离开磁场时离S的最远距离可能为 8.(多选)如图所示，三角形abc区域(含边界)内存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，在a点有一粒子源，可向三角形内部发射速度大小和方向均不相同的同种带电粒子。已知∠b＝90°，∠a＝60°，ab边长为L，粒子质量为m，电荷量为＋q，不计重力，下列说法正确的是(　　) A.粒子在磁场中运动的最长时间为 B.粒子在磁场中运动的最长时间为 C.沿ab边入射，从ac边飞出的粒子的最大速率为 D.沿ab边入射，从ac边飞出的粒子的最大速率为 综合提升练 1． 选择题： 9.(多选)如图，在平面直角坐标系Oxy的第一象限内，存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。大量质量为m、电荷量为q的相同粒子从y轴上的P(0，L)点，以相同的速率在纸面内沿不同方向先后射入磁场，设入射速度方向与y轴正方向的夹角为α(0≤α≤180°)。当α＝150°时，粒子垂直x轴离开磁场。不计粒子的重力。则(　　) A.粒子一定带正电 B.当α＝45°时，粒子也垂直x轴离开磁场 C.粒子入射速率为 D.粒子离开磁场的位置到O点的最大距离为3L 10．(多选)一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向里，其边界如图中虚线所示，ab为半圆的直径，ac、bd与直径ab共线，a、c间的距离等于半圆的半径R。一束质量均为m、电荷量均为q的带负电的粒子，在纸面内从c点垂直于ac以不同速率射入磁场，不计粒子重力及粒子间的相互作用。下列说法正确的是(　　) A．可以经过半圆形边界的粒子的速率最小值为 B．可以经过半圆形边界的粒子的速率最大值为 C．在磁场中运动时间最短的粒子速率为 D．在磁场中运动时间最短的粒子运动时间为 二．计算题： 11.如图所示，在平面直角坐标系xOy内，有一个质量不计、带正电的粒子从y轴上的P点以沿x轴正向的速度进入匀强磁场(磁场区域未画出，P点在磁场的边界上)。已知粒子的比荷＝108 C/kg，速度大小v0＝106 m/s，P点的坐标为(0，1 m)。 (1)若磁场方向垂直于纸面向外，且为半径R＝1 m的圆形区域，其圆心位于(1 m，1 m)处，粒子恰能够垂直于x轴离开圆形磁场区域，求磁感应强度B的大小; (2)若磁场方向垂直于纸面向外，且充满第一象限，粒子经过Q( m，0)点离开第一象限，求粒子在磁场中运动的时间t; (3)若在第一象限加垂直纸面向里的矩形磁场，粒子沿与y轴平行的方向向上离开磁场区域，已知磁场区域面积的最小值为S＝2 m2，求粒子做圆周运动的半径(结果可用根号表示)。 培优加强练 12.如图所示，在空间中有一平面直角坐标系xOy，其第一象限内(包括坐标轴上)充满着两个匀强磁场区域Ⅰ和Ⅱ，直线OP是它们的边界。区域Ⅰ中的磁感应强度为3B，方向垂直纸面向外;区域Ⅱ中的磁感应强度为B，方向垂直纸面向里。边界上的P点坐标为(L，L)。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子从P点平行于y轴负方向射入区域Ⅰ，忽略粒子重力。 (1)若粒子不能从x轴出射，则粒子运动速度的最大值; (2)若粒子垂直于y轴离开磁场，则该粒子在磁场中运动的最短时间; (3)若粒子从O点离开磁场，则该粒子在磁场中运动的速度的可能值? 参考答案： 1.答案　C解析　粒子可能在两个磁场间做多次运动，画出粒子可能的轨迹，如图所示，所有轨迹对应的圆心角均为120°，由几何关系可知2nrcos 30°＝L(n＝1，2，3，…)，根据洛伦兹力提供向心力，则有qvB＝m，解得v＝(n＝1，2，3，…)，当n＝1时，可得v＝，故C正确，A、B、D错误。 2.答案　A解析　设四分之一圆的半径为R，画出a、b两个粒子的运动轨迹如图所示，根据几何关系可知rb＝＝R2＋，可得ra＝R，又因为T＝，可得Ta∶Tb＝ra∶rb＝5∶1，A正确，B、C、D错误。 3.答案　BC解析　设粒子带正电，根据左手定则可判断粒子刚进入板间时所受洛伦兹力方向向上，由于粒子不计重力，粒子在洛伦兹力的作用下做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力有qvB＝m，解得r＝，由题意知粒子在偏转以后打在板上，若粒子恰好未打在板上，与极板平行从左端射出，由几何关系知半径r1＝，速度v1＝;若粒子恰好从极板右端飞出，由几何关系知＝d2＋，解得r2＝d，速度v2＝，粒子要打在极板上，则初速度v0应满足的条件为<v0<，故A、D错误，B、C正确。 4.答案　AB解析　 如图所示，若带电粒子刚好打在极板右边缘，有＝＋l2，又因为qv1B＝， 解得v1＝；若粒子刚好打在极板左边缘，有r2＝，又qv2B＝，解得v2＝。欲使粒子不打在极板上，应使v<或v>，故A、B正确，C、D错误。 5.答案　B解析　粒子通过B、C、D、E各点的轨迹如图， 由几何关系可知，从A到B，粒子运动轨迹对应的圆心角为180°；由几何关系可知，从A到C和A到E，弦切角小于90°且相等，则粒子运动轨迹对应的圆心角小于180°且相等；从A到D，弦切角最小，粒子运动轨迹对应的圆心角最小；带电粒子垂直进入匀强磁场后做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，有qBv=m，则v=，运动周期T==，周期与速度无关，粒子都是从A点沿纸面向上射入磁场，运动轨迹对应的圆心角越大，运动时间越长，所以tB>tC=tE>tD，故选B。 6.答案　C解析　由题意可知，电子在匀强磁场中只受洛伦兹力作用做匀速圆周运动，设轨迹半径为r，由牛顿第二定律得evB＝m，可得B＝，则速度一定时，电子的轨迹半径越大，对应的磁感应强度越小，由于电子被限制在实线圆内运动，当电子的运动轨迹与实线圆相切时，电子的轨迹半径最大，轨迹如图所示，△O1O2M为直角三角形，由几何关系可得＝(3a－rmax)2－a2，解得rmax＝a，则磁感应强度最小为Bmin＝，故C正确。 7.答案　AD解析　要使没有粒子从OC边界射出，沿如图路线运动的粒子刚好不离开磁场，速率最大，满足r＝，由几何关系知r＝lsin 60°＝，则v＝，故A正确，B错误;粒子速度v＝，从OA边界离开磁场时离S最远距离d＝2r＝lsin 60°＝l，故C错误，D正确。 8.答案　AC解析　粒子沿着ab边入射从ac边飞出时，粒子在磁场中运动的时间最长，轨迹如图甲所示，根据几何关系可知，转过的圆心角为120°，故粒子在磁场中运动的最长时间为t＝，故A正确，B错误;当粒子沿ab边入射，轨迹恰好与bc边相切时，粒子轨迹半径最大，对应速率最大，粒子运动轨迹如图乙所示，根据几何关系可知，粒子轨迹半径为L，由qvB＝，可知v＝，故C正确，D错误。 9.答案　ACD解析　根据题意可知粒子垂直x轴离开磁场，由左手定则可知粒子带正电，A正确;当α＝150°时，粒子垂直x轴离开磁场，运动轨迹如图甲，粒子运动的半径为r＝＝2L，洛伦兹力提供向心力qvB＝m，解得粒子入射速率v＝。若α＝45°，粒子运动轨迹如图乙，根据几何关系可知粒子离开磁场时与x轴不垂直，B错误，C正确;粒子离开磁场距离O点距离最远时，粒子在磁场中的轨迹为半圆，如图丙，根据几何关系可知(2r)2＝(L)2＋，解得xm＝3L，D正确。 10.答案　BD解析　由r＝可知，粒子速度越大，运动半径越大。粒子运动轨迹如图所示，在能到达半圆形边界的粒子中，经过a点的粒子运动半径最小，速度最小，其轨迹如图中轨迹1所示，由＝，解得vmin＝，故A错误；可以经过半圆形边界的粒子经过b点时运动半径最大，速度最大，其轨迹如图中轨迹2所示，由＝，解得vmax＝，故B正确；由分析可知，轨迹圆弧所对应的弦与ab半圆形边界相切时，圆心角最小，运动时间最短，其轨迹如图中轨迹3所示，圆心恰好位于a点，由R＝，解得v＝，其圆心角为120°，故运动时间为t＝＝，故C错误，D正确。 11.答案　(1)0.01 T　(2)×10－6 s　(3) m 解析　(1)根据几何关系可知，轨迹半径r1＝R＝1 m 根据洛伦兹力提供向心力有qv0B＝m 解得B＝0.01 T。 (2)作出粒子的运动轨迹，如图甲所示，根据几何关系有r2＝x2＋(r2－L)2 解得r2＝2 m，sin θ＝，则θ＝ 运动时间t＝ 解得t＝×10－6 s。 (3)如图乙所示，假设乙图的轨迹圆半径为r3，最小矩形磁场区域面积为 S＝·r3＝ 解得r3＝ m。 12.答案　(1)　(2)　 (3)(n＝1，2，3，…) 解析　(1)根据题意，作出粒子的运动轨迹如图甲所示 由几何关系得tan θ＝ 解得θ＝30° 由图可知rm＝OPsin θ＝2Lsin 30°＝L 由牛顿第二定律qvm·3B＝m 解得vmax＝。 (2)粒子垂直于y轴离开磁场，运动轨迹如图乙所示，由几何关系知粒子在Ⅰ区域转过的圆心角为120°，在Ⅱ区域转过的圆心角为30°，又T＝ 因带电粒子速度大小没有确定，可多次通过磁场Ⅰ区域和Ⅱ区域，但带电粒子第一次通过磁场Ⅰ区域进入磁场Ⅱ区域后与y轴垂直，所用时间最短， 故最短时间为t＝··。 (3)若粒子从O点离开磁场，如图丙所示， 由几何关系得OP＝n(2r1sin 60°＋2r2sin 60°) 其中r1＝，r2＝ 联立解得v＝(n＝1，2，3，…)。 学科网（北京）股份有限公司 $