27.3实际问题与反比例函数 课件 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦“实际问题与反比例函数”，涵盖应用步骤、解析式求法及常见类型，通过工程、行程等实际情境导入，衔接反比例函数概念，以“审清题意-设解析式-求系数-检验结论”步骤为支架，构建从理论到应用的学习脉络。 其亮点是立足真实问题，通过“情境建模-求解验证”流程，培养数学眼光（抽象数量关系）、数学思维（推理运算）和数学语言（模型表达）。如例5结合砗磲生长数据选择函数模型，讲练结合且小结结构化，助力学生提升应用能力，为教师提供系统教学资源。

27.3 实际问题与反比例函数 学习目标 课时讲解 1 课时流程 2 反比例函数的实际应用 建立函数模型解决问题 逐点 导讲练 课堂小结 作业提升 知1－讲 感悟新知 知识点 反比例函数的实际应用 1 1. 用反比例函数解决实际问题的一般步骤 知1－讲 感悟新知 知1－讲 感悟新知 2. 求反比例函数解析式常用的两种方法 (1)待定系数法：若题目提供的信息中明确此函数是反比例函数，则设函数解析式为y= (k 为常数，k≠0) ，然后求出k 的值. (2)列方程法：若题目所给的信息中两个变量之间的函数关系不明确，通常列出关于两个变量的方程，通过变形得到反比例函数解析式. 知1－讲 感悟新知 3. 实际问题中常见的反比例关系 类型 关系 公式 路程型 当路程s 一定时，时间t 与平均速度v 成反比例 t=(s 是常数) 面积型 矩形 当矩形面积S 一定时，长a 与宽b成反比例 a=(S 是常数) 三角形 当三角形面积S 一定时，三角形的一边a 与该边上的高h 成反比例 a=(S 是常数) 知1－讲 感悟新知 类型 关系 公式 物理应用型 做功型 当功W 一定时，力F 与物体在力F 的方向上移动的距离s 成反比例 F=(W是常数) 压强型 当压力F 一定时，压强p 与受力面积S 成反比例 p=(F 是常数) 电流型 在电路中，当电压U 一定时，电流I 与电阻R 成反比例 I=(U 是常数) 感悟新知 知1－讲 特别提醒 应用反比例函数解决实际问题时，自变量的取值范围一般有两个方面的限制：一是解析式本身的限制，二是实际问题的具体要求. 知1－练 感悟新知 某机床加工一批机器零件，如果每小时加工30 个，那么12 h可以完成. (1)设每小时加工x个零件，所需时间为y h，写出y关于x的函数解析式； (2)若要在一个工作日(8 h)内完成，则每小时至少要比原来多加工几个零件？ 例1 解题秘方：紧扣工程问题中“工作总量、工作时间与工作效率”之间的关系列式，变形即可求出函数解析式. 知1－练 感悟新知 知1－练 感悟新知 解：(1)由题意得xy=30×12=360， 所以y 关于x 的函数解析式为y= (x>0). (2)当y=8 时，8= ，解得x=45.45-30=15(个). 对于函数y= ，当x>0 时，x 越大，y 越小. 所以若要在一个工作日(8 h)内完成，则每小时至少要比原来多加工15 个零件. 知1－练 感悟新知 1-1. 一项工程中，某工程队工人每天需要挖掘20 t土的深沟，整个工程完成恰好用了6 天． 知1－练 感悟新知 (1)在工程结束后，工人需要把所有的土进行回填，求在整个回填过程中，平均回填速度v(单位：t/ 天)与回填天数t之间的函数解析式. 解：根据题意可知，工程结束后，工程队共挖掘出20×6=120(t)土，∴v=.∴平均回填速度v(单位：t/天)与回填天数t之间的函数解析式为v=. 知1－练 感悟新知 (2)由于遇到紧急情况，要求整个回填工程不超过4 天完成，那么平均每天至少要回填多少吨土？ 知1－练 解：∵v=，∴t=. 由题意知120v≤4，∴v≥30. ∴平均每天至少要回填30 t土. 知1－练 感悟新知 方方驾驶小汽车匀速地从A地行驶到B地，行驶里程为 480 km，设小汽车的行驶时间为t(单位：h)，行驶速度为v(单位：km/ h)，且全程速度限定为不超过120 km/ h. 例2 知1－练 感悟新知 (1)求v关于t的函数解析式. 思路导引： 解：由题意得vt=480，且v≤120，∴ v= ≤120， 解得t≥4.∴ v 关于t 的函数解析式为v= (t ≥ 4). 知1－练 感悟新知 (2)方方上午8 点驾驶小汽车从A地出发. ①方方需在当天12点48分至14点(含12点48分和14点)间到达B地，求小汽车行驶速度v的取值范围. 思路导引： 知1－练 感悟新知 解：8 点至12 点48 分的时长为h，8 点至14 点的时长为6 h，∴ ≤ t ≤ 6.将t=6 代入v= ，得v=80；将t= 代入v= ，得v=100.∴小汽车行驶速度v 的取值范围为80 ≤ v ≤ 100. 知1－练 感悟新知 ②方方能否在当天11 点30 分前到达B地?请说明理由. 思路导引： 解：方方不能在当天11 点30 分前到达B地. 理由如下： 8点至11点30分的时长为h，将t= 代入v= ，得v= >120，超速. 故方方不能在当天11 点30 分前到达B 地. 知1－练 感悟新知 2-1.某公司将特色农副产品运往邻市市场进行销售，设汽车的行驶时间为t h，平均速度为v km/h(汽车行驶速度不超过110 km/h).根据经验，v，t的部分对应值如表： v/(km/h) 75 80 90 t/h 4.80 4.50 4.00 知1－练 感悟新知 (1)根据表中的数据，求出平均速度v(km/h)关于行驶时间t(h)的反比例函数解析式(不用写自变量t的取值范围). 解：根据表格中的数据，可设v=. ∵当v=90时，t=4，∴k=90×4=360.∴v=. 知1－练 感悟新知 (2)汽车上午6：00出发，能否在当天上午9：00之前到达邻市市场？请说明理由． 解：汽车不能在当天上午9：00之前到达邻市市场. 理由：∵9-6=3(h)，∴当t=3时，v==120>110. ∴汽车不能在当天上午9：00之前到达邻市市场. 知1－练 感悟新知 某商场出售一批进价为2 元/张的贺卡，在市场销售中发现，此贺卡的日销售单价x(单位：元/张)与日销售量y(单位：张)之间有如下关系： 例3 日销售单价x/(元/ 张) 3 4 5 6 日销售量y/ 张 20 15 12 10 知1－练 感悟新知 (1)确定y与x之间的函数解析式； 思路导引： 解：观察表中数据可知每组数据之积均为60， ∴ xy=60，即y= . ∴ y 与x 之间的函数解析式为y= . 知1－练 感悟新知 (2)设销售此贺卡的日销售利润为w元，试求w与x之间的函数解析式.若物价局规定该贺卡售价每张最高不超过10元，请你求出当日销售单价定为每张多少元时，才能获得最大日销售利润. 思路导引： 知1－练 感悟新知 解：w=(x-2)y=(x-2)·=60- . 由题意知2 ≤ x ≤ 10，∴当x=10 时，w有最大值. ∴当日销售单价定为每张10 元时，才能获得最大日销售利润. 知1－练 感悟新知 3-1.[期末·佛山顺德区]某商场销售一批运动鞋，每双进价为120 元.当销售价格进行调整时，销售数量随销售价格产生变化，且二者满足反比例关系，部分数据如下表： 销售价格x/(元/ 双) 250 300 销售数量y/双 24 20 知1－练 感悟新知 (1)求出符合表格数据的解析式. 解：∵x和y成反比例，250×24=6 000，300×20=6 000，∴xy=6 000.∴y关于x的函数解析式是y=. 知1－练 感悟新知 (2)若商场计划每天的销售利润为2 400 元，则销售价格应定为每双多少元？ 解：根据题意，得(x-120)·=2 400，解得x=200. 经检验，x=200是所列方程的解，且符合题意. ∴销售价格应定为每双200元. 知1－练 感悟新知 [期末·杭州上城区]如图27.3-1是某一蓄水池的排水速度v(m3/h)与排完水池中的水所用的时间t(h)之间的函数图象. 例4 解题秘方：由反比例函数图象上已知点的坐标求出比例系数，进而解决问题. 知1－练 感悟新知 (1)请你根据图象提供的信息求出此蓄水池的总蓄水量； (2)写出此函数的解析式； 解：此蓄水池的总蓄水量为4 000×12 =48 000(m3). 解：此函数的解析式为v= . 知1－练 感悟新知 (3)若要8 h排完水池中的水，则该蓄水池的排水速度应该是多少？ 解：当t=8 时，v= =6 000. 因此，若要8 h 排完水池中的水，则该蓄水池的排水速度应该是6 000 m3/h. 知1－练 感悟新知 4-1. 小明要把一篇文章录入电脑，完成录入的时间y(min)与录入文字的速度x(字/min)之间的函数关系图象如图所示． 知1－练 感悟新知 (1)求y 与x之间的反比例函数解析式； 解：设y与x之间的反比例函数解析式为y=. ∵图象过点(140，10)，∴10=，解得k=1 400. ∴y与x之间的反比例函数解析式为y=. 知1－练 感悟新知 (2)小明在8：20 开始录入，完成录入的时间为8：40，求小明每分钟录入的字数. 解：∵小明在8：20开始录入，完成录入的时间为8：40，∴共用20 min，∴当y=20时，20=，解得x=70.∴小明每分钟录入的字数是70. 感悟新知 知2－讲 知识点 建立函数模型解决问题 2 目前为止我们学习了一次函数、二次函数和反比例函数，知道函数是刻画现实世界中变量关系和变化规律的数学模型. 面对不同的实际问题，我们需要根据数据和图象特征选择合适的函数模型，确定函数解析式，利用函数解决问题. 知2－讲 感悟新知 特别解读 建立函数模型解决实际问题的一般步骤： (1)画出散点图，观察点的分布情况，画一条曲线，使其尽可能靠近所有点； (2)建立函数模型； (3)检验模型； (4)求解模型 感悟新知 知2－练 [华师一附中自主招生]综合与实践： 生物生长规律的模型研究. 如图27.3-2，砗磲(chēqú)是地球上 最大的双壳类动物，某海洋研究院对南海的砗磲样本进行分析，得到某砗磲样本年龄x(单位：岁)与平均日生长速率y(单位：μm/ 天)的数据如下表： 例5 x/ 岁 0 5 10 15 20 25 y/(μm/ 天) 26.0 19.0 14.0 9.5 7.0 5.5 感悟新知 知2－练 【模型构建1】如图27.3-3，数学小组A在平面直角坐标系中描出以上表中的值为坐标的点，根据点的分布情况，猜想其函数图象是过(0，26.0)的抛物线，设解析式为y=ax2+bx+26. (1)选取两个点(10，14.0)，(20，7.0)，求 抛物线的解析式，并直接写出该砗磲 样本平均日生长速率最小时的年龄. 知2－练 感悟新知 解题秘方：利用待定系数法求抛物线的解析式即可； 解：将(10，14.0)，(20，7.0)代入y=ax2+bx+26， 得解得 ∴ y= x2- x+26= (x-29)2+ . 故该砗磲样本平均日生长速率最小时的年龄为29 岁. 感悟新知 知2－练 【模型构建2】数学小组B观察表格中的数据，发现后四组数据中x与y的乘积分别为k1=140，k2=142.5，k3=140，k4=137.5，猜想当x≥10时，y与x符合反比例函数关系，设解析式为y=. (2)为减少偏差，取k=，求反比例函数的解析式. 解题秘方：求出平均数，即可得出反比例函数的解析式； 知2－练 感悟新知 解：由题意，得k==140，∴ y= . 感悟新知 知2－练 【模型应用】研究发现，正常情况下砗磲的平均日生长速率总体随年龄增长持续降低. (3)为求该砗磲样本35 岁时的平均日生长速率，请从上述模型中选择其一，说明选择的理由并计算. 解题秘方：根据函数的性质解答即可； 知2－练 感悟新知 解：由模型1 可知，当x ≥ 29 时，y 随x 的增大而增大，不符合砗磲的生长规律，由模型2 可知，当x ≥ 10 时，y 随x 的增大而减小，符合砗磲的生长规律，∴选择模型2. 当x=35 时，y= =4. ∴该砗磲样本35 岁时的平均日生长速率为4 μm/ 天. 感悟新知 知2－练 (4)该砗磲样本35岁时受厄尔尼诺现象(海表温度异常增暖的气候现象)影响，其实际平均日生长速率为4.3 μm/天，请说明该现象对砗磲平均日生长速率的影响. 解题秘方：根据(3)的计算结果和4.3 作比较解答即可. 解：∵ 4<4.3， ∴可推测厄尔尼诺现象会增大砗磲的平均日生长速率. 知2－练 感悟新知 5-1. 综合与实践：如何测量一个空矿泉水瓶的质量? 素材1：如图①是一架自制天平，支点O固定不变，左侧托盘A固定在某处，右侧托盘B在横梁上滑动，在A中放置一个重物，在B中放置一定质量的砝码，移动托盘B可使天平左右平衡， 增加砝码的质量，多次试验， 知2－练 感悟新知 将砝码的质量x(g)与对应的OB长度y(cm)记录下来，并绘制成散点图(如图②). 知2－练 感悟新知 素材2：由于一个空的矿泉水瓶太轻，无法称量，小组进行如下操作，保持素材1的装置不变，在托盘B中放置一个内盛34 g水的矿泉水瓶， 移动托盘B，使得天平左右平衡，测得OB=24 cm. 知2－练 感悟新知 (1)任务1：请在图②中连线，猜想y关于x的函数类型，并求出函数解析式，且任选一对对应值验证. 解：如图所示. 知2－练 感悟新知 猜想y是x的反比例函数; 设y关于x的函数解析式为y=. 把(40,30)代入，得30=，解得k=1 200. ∴y关于x的函数解析式为y=. 把x=80代入y=，得=15，成立. (选择的一对对应值不唯一) 知2－练 感悟新知 (2)任务2：求出一个空矿泉水瓶的质量. 解：当OB=24 cm,即y=24时, =24, 解得x=50.50-34=16(g). ∴一个空矿泉水瓶的质量为16 g. 实际问题与反比例函数 实际问题 构建 利用反比例函数解决实际问题的一般步骤 实际问题的答案 利用反比例函数的图象和性质求解 反比例函数模型 课堂小结 $