27.2反比例函数的图象和性质 课件 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦反比例函数的图象画法、性质及k的几何意义，从一次函数过渡，通过“列表-描点-连线”步骤结合实例（如画y=5/x和y=-5/x图象），搭建从具体操作到抽象性质的学习支架。 其亮点是以实例驱动，通过画图培养几何直观（数学眼光），性质分析强化推理意识（数学思维），k的几何意义及模型应用（如双k模型）发展模型意识（数学语言）。多样例题和练习助学生提升探究能力，为教师提供系统教学资源。

27.2反比例函数的图象和性质 学习目标 课时讲解 1 课时流程 2 反比例函数图象的画法 反比例函数的图象和性质 反比例函数y=(k ≠ 0)中k 的几何意义 逐点 导讲练 课堂小结 作业提升 步骤 方法 列表 一般情况下，取三对或三对以上互为相反数的数，作为自变量的值，并计算对应的函数值，列出表格 方法 以表格中各对对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出各点 连线 按照自变量从小到大的顺序，分象限用平滑的曲线顺次连接各点，并向两端延伸 知1－讲 感悟新知 知识点 反比例函数图象的画法 1 1. 用描点法画反比例函数的图象 不能用折线 知1－讲 感悟新知 2. 反比例函数图象的特点 如图27.2-1 所示. 知1－讲 感悟新知 (1)反比例函数y= (k 为常数，k≠0)的图象是双曲线. (2)反比例函数图象的两支分别位于第一、第三象限或第二、第四象限． (3)双曲线的两支都无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交． (4)双曲线是轴对称图形，对称轴是直线y=x 和直线y=-x. 感悟新知 知1－讲 特别提醒 画实际问题中的反比例函数的图象时，要考虑自变量取值范围的限制，一般地，实际问题的图象是反比例函数图象在第一象限内的一支或其中一部分. 知1－练 感悟新知 在同一平面直角坐标系中画出反比例函数y= 和y=- 的图象. 例1 解题秘方：紧扣画图象的步骤“一列、二描、三连”作图. 由于函数y= 与y=- 的比例系数互为相反数，故x 取同一个值时，两函数的函数值互为相反数. 知1－练 感悟新知 解：列表： x … -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 … y= … -1 - - - -5 5 1 … y=- … 1 5 -5 - - - -1 … 知1－练 感悟新知 描点、连线得到如图27.2-2 所示的图象. 知1－练 感悟新知 1-1.(1)在同一平面直角坐标系中画出反比例函数y=与y=-的图象． 知1－练 感悟新知 解：(1)①列表： x … -6 -5 -4 -3 -2 -1 y= … -1 -1.2 -1.5 -2 -3 -6 y=- … 1 1.2 1.5 2 3 6 x 1 2 3 4 5 6 … y= 6 3 2 1.5 1.2 1 … y=- -6 -3 -2 -1.5 -1.2 -1 … 知1－练 感悟新知 ②描点，③连线.图象如图所示. 知1－练 感悟新知 (2)观察每一个函数的图象是不是轴对称或中心对称图形？如果是，请指出对称轴、对称中心． 函数y=和函数y=-的图象都是轴对称图形，其中直线y=x和直线y=-x是它们的对称轴，且这两个函数的图象也都是中心对称图形，原点是它们的对称中心. 知1－练 感悟新知 (3)两个函数的图象之间是否存在轴对称关系？若存在，指出相应的对称轴． 两个函数的图象之间存在轴对称关系，有四条对称轴，分别是x轴，y轴，直线y=x，直线y=－x. 感悟新知 知2－讲 知识点 反比例函数的图象和性质 2 反比例函数的性质主要是指它的图象的位置和函数值的 增减情况，如下表所示. 特别提醒 在描述反比例函数的增减性时，必须指明“在每一个象限内”. 因为当k ＞ 0(k ＜ 0) 时，整个函数不是y 随x的增大而减小(增大)，而是在每一个象限内，y 随x的增大而减小(增大). 感悟新知 知2－讲 反比例函数 y=(k≠0) y=(k≠0) k>0 k<0 图象 图象位置 第一、第三象限 第二、第四象限 感悟新知 知2－讲 增减性 在每一个象限内，y 随x的增大而减小 在每一个象限内，y 随x 的增大而增大 对称性 反比例函数的图象既是中心对称图形又是轴对称图形，对称中心是原点O，对称轴是直线y=x 和直线y=-x 感悟新知 知2－练 [母题中考· 济南教材P73 习题T4(2)]已知点A(-4，y1)，B(-2，y2)，C(3，y3)都在反比例函数y= (k<0)的图象上，则y1，y2，y3 的大小关系为( ) A. y3<y2<y1 B. y1<y3<y2 C. y3<y1<y2 D. y2<y3<y1 例2 解题秘方：紧扣“反比例函数的增减性及不同象限的函数值的关系”比较函数值的大小. 知2－练 感悟新知 解：∵ k<0，∴函数图象的两个分支分别在第二、第四象限，且在每一个象限内，y 随x 的增大而增大. ∵点A(-4，y1)，B(-2，y2)，C(3，y3)， ∴点A，B在第二象限内，点C在第四象限内. ∴ y1>0，y2>0，y3<0. 又∵ -4<-2，∴ y1<y2. ∴ y3<y1<y2． 答案：C 知2－练 感悟新知 2-1.[期末·台州玉环市]反比例函数y=的图象经过点M(1，2)，若反比例函数y=的图象上有三点A1 (-4，y1)，A2 (- ，y2)，A3 (，y3)，则y1，y2，y3的大小关系是 ( ) A.y1<y2<y3 B.y2<y1<y3 C.y3<y2<y1 D.y3<y1<y2 B 感悟新知 知2－练 已知反比例函数y= (m≠0)的图象过点(-3，-12)，且反比例函数y= 的图象位于第二、第四象限. (1)求m的值； (2)对于y= ，当x﹥ 2 时，求y的取值范围. 例3 感悟新知 知2－练 思路导引： 知2－练 感悟新知 解：(1)把点(-3，-12)的坐标代入y= ， 得-12=，∴m=±6.∵反比例函数y=的图象位于第二、第四象限，∴m<0.∴m=-6. (2)由m=-6 知反比例函数y= 的解析式为y=- . ∴当x=2 时，y=-3.∵函数y=- 的图象在第四象限内，y 随x 的增大而增大，∴当x>2 时，-3<y<0. 知2－练 感悟新知 3-1.[中考· 河北] 在反比例函数y=中，若2<y<4，则( ) A.<x<1 B. 1<x<2 C. 2<x<4 D. 4<x<8 3-2.[中考·镇江]已知点A(-1，y1)，B(a，y2)在反比例函数y=的图象上，若y2>y1，则a 的取值范围是( ) A. a<-1 或a>0 B. -1<a<0 C. a>0 D. a<-1 B A 感悟新知 知2－讲 知识点 反比例函数的图象和性质 3 1.k 的几何意义 感悟新知 知2－讲 与两坐标轴围成的矩形的面积 与坐标轴围成的三角形的面积 图示 条件 如图，过双曲线y=(k≠0)上任意一点P(x，y)作x 轴，y 轴的垂线PM，PN，分别交x 轴，y 轴于点M，N 如图，过双曲线y=(k≠0)上任意一点E(x，y) 作EF垂直于x 轴，垂足为F，连接EO 感悟新知 知2－讲 结论 S 矩形PMON=|k| S △ EOF= 推导 过程 ∵ y=(k≠0)，∴ xy=k. ∴ S 矩形PMON= PM·PN=|y|·|x|=|xy|=|k| ∵ y=(k≠0)，∴ xy=k. ∴ S △ EOF=FE·OF= |y|·|x|=|xy|= 感悟新知 知2－讲 2. 常用模型(拓展点) 感悟新知 知2－讲 特别提醒 1. 在利用反比例函数y=(k≠0)中k的几何意义确定k的值时，不仅要注意矩形或三角形面积的大小，还要注意函数图象的位置. 2. 因为在y=(k≠0)中，k有正、负之分，所以在利用k求矩形或三角形的面积时，都要加上绝对值符号. 感悟新知 知2－讲 拓宽视野 如图27.2-3所示. 对于反比例函数y=(k≠0),|k|越大，图象离坐标轴越远.比例系数k的几何意义 感悟新知 知2－练 如图27.2-4，A，B两点在双曲线y= 6x(x>0)上，分别过A，B两点向坐标轴作垂线，已知S阴影=2，则S1+S2= ________. 例4 8 知2－练 感悟新知 解题秘方：根据比例系数k 的几何意义得到S1+S阴影=S2+ S阴影=6，然后即可计算出S1+S2. 解：根据题意，得S1+S阴影=S2+S阴影=6， 因为S阴影=2， 所以S1=S2=4. 所以S1+S2=8. 知2－练 感悟新知 4-1. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=(x>0)的图象经过矩形OABC的边AB 的中点D，且点A，C分别在x轴、y轴的正半轴上，则矩形OABC的面积为_________. 8 感悟新知 知2－练 如图27.2-5，点A是反比例函数y= (k≠0，x>0)图象上的一点，过点A作AB⊥ x轴于点B，点P是y轴上任意一点，连接PA，PB. 若△ABP的面积等于3，则k的值为________ ． 例5 6 感悟新知 知2－练 思路导引： 知2－练 感悟新知 解：连接OA，如图27.2-5 所示. 易知S △ AOB=S △ ABP. ∵ S △ ABP=3，S △ AOB= |k|， ∴|k|=3，解得k=±6. 又∵反比例函数图象的一支位于第一象限， ∴ k>0．∴ k=6． 知2－练 感悟新知 5-1. 如图，点A是反比例函数y=(k≠0，x>0)图象上的一点， 过点A 作AC ⊥ x轴，垂足为点C，延长AC至点B，使BC=2AC，点D是y轴上任意一点，连接AD，BD，若△ABD的面积是6，则k=________． 4 反比例函数的图象和性质 反比例函数的图象和性质 比例系数k的正负决定图象的位置 k 的绝对值与几何图形面积的关系 两个变量的变化规律 课堂小结 题型 利用反比例函数图象的对称性求面积 1 如图27.2-6，边长为4 的正方形ABCD的对称中心是坐标原点O，AB ∥ x 轴，BC∥ y 轴， 反比例函数y=与y=- 的图象均与 正方形ABCD 的边相交，则图中阴影 部分的面积是( ) A. 2 B. 4 C. 8 D. 6 例6 综合应用创新 思路导引： 综合应用创新 解：由两个函数的解析式可知，两个函数的图象关于x 轴对称.∵ 正方形ABCD 的对称中心是坐标原点O，AB ∥ x 轴，BC ∥ y 轴，∴易知四个小正方形全等，且每个小正方形的面积= ×4×4=4.由题易得阴影部分的面积等于两个小正方形的面积之和.∴阴影部分的面积=4×2=8． 答案：C 综合应用创新 解法提醒 反比例函数y=的图象关于原点中心对称，反比例函数y=和y=-的图象关于坐标轴成轴对称，中心在原点且边与坐标轴平行的正方形的2条对称轴是坐标轴，结合以上性质将阴影部分转化为规则图形. 综合应用创新 题型 利用双反比例函数的图象求图形的面积 2 [一题多解]如图27.2-7，点A是反比例函数y=(x>0)的图象上任意一点，AB∥ x轴交反比例函 数y=- (x<0)的图象于点B，以AB为边 作ABCD，其中C，D在x轴上，则 S ABCD=___________. 例7 5 综合应用创新 43 解题秘方：当反比例函数图象中的几何图形的面积无法直接求出时，可将其转化为与比例系数k 相关的矩形或直角三角形的面积，通过面积的和或差进行计算. 综合应用创新 解：如图27.2-7，连接OA，OB，设AB交y 轴于点E. ∵AB∥ x 轴，∴AB⊥ y 轴.∵点A是反比例函数y=(x>0)的图象上的点，∴ S△OAE= ×2=1. ∵点B是反比例函数y=- (x<0)的图象上的点， ∴ S△OBE= ×3= . ∴ S△OAB=1+ = . ∵四边形ABCD为平行四边形，∴ S ABCD=2S△OAB=5. 综合应用创新 另解 过点B作BM⊥x轴于点M,过点A作AN⊥x轴于点N. ∵ AB∥ CD， ∴ ABCD与矩形ABMN同底等高， ∴ S ▱ABCD=S矩形ABMN=2+3=5. 综合应用创新 模型解读：双k 模型 初始图形 衍生图形 初始图形 衍生图形 图示 结论 S 矩形ABCD=|k1-k2| S △ AOB=|k1-k2| S △ AOB=|k1-k2| S 矩形ABCD=|k1|+|k2| S △ ABC=S △ AOB= (|k1|+|k2|) 综合应用创新 题型 利用比例系数k的几何意义求最值 3 [新考法对称求最值法中考·临沂]如图27.2-8，在平面直角坐标系中，反比例函数y= (x>0)的图象与边长是6 的正方形OABC的两边AB，BC分别交于M，N 两点，△OMN的面积为10.若动点P在x 轴上， 则PM+PN的最小值是( ) A. 6 B. 10 C. 2 D. 2 例8 综合应用创新 48 解题秘方：紧扣反比例函数的比例系数k 的几何意义，利用轴对称图形的性质、勾股定理、正方形的性质解决最小值问题，正确构造“两点一线”型最小值的基本图形是解题的关键. 综合应用创新 解：由题知k>0，∵正方形OABC的边长是6， ∴点M的横坐标和点N的纵坐标都为6，∠B=90°. ∴M(6，)，N(，6).∴BN=6- ，BM=6- . ∵△OMN的面积为10，∴ 6×6- - - ×(6 - )2=10 . ∴ k=24(负值已舍去). ∴M(6，4)，N(4，6). ∴AM=4，CN=4. ∴BN=2. 综合应用创新 如图27.2-8，作M关于x轴的对称点M′，连接NM′交x轴于P′，连接P′M，则NM′=P′M+P′N，即NM′的长为PM+PN的最小值. ∵AM′=AM=4，∴BM′=10.又∵BN=2， ∴NM′= = =2 . ∴PM+PN的最小值是2 . 答案：C 综合应用创新 思路点拨 由正方形OABC的边长是6，得到点M 的横坐标和点N的纵坐标都为6，则M(6，)，N(，6)，根据面积关系列方程求出k，可得到M(6，4)，N(4，6)，作M关于x轴的对称点M′，连接NM′交x轴于P′，连接P′M，则NM′的长为PM+PN 的最小值，根据勾股定理即可得到结论. 综合应用创新 题型 反比例函数与一次函数的综合 4 [母题 教材P73 习题T6]在同一平面直角坐标系中，一次函数y=kx+k与反比例函数y=(k≠0)的图象可能是图27.2-9中的( ) 例9 类型1 反比例函数、一次函数图象共存问题 综合应用创新 53 解题秘方：解同一平面直角坐标系中两个函数图象共存问题，通常有两种解题方法：第一，分类讨论法：按系数的正负进行讨论；第二，排除法：先假定选项中某一个函数图象正确，然后判断另一个函数图象是否正确. 综合应用创新 解：方法一(分类讨论法)：分两种情况： 当k>0时，一次函数y=kx+k 的图象经过第一、二、三象限，反比例函数y=的图象在第一、第三象限；当k<0 时，一次函数y=kx+k 的图象经过第二、三、四象限，反比例函数y= 的图象在第二、第四象限，∴一次函数y=kx+k 与反比例函数y= (k≠0)的图象可能是A. 综合应用创新 方法二(排除法)：在A，B中，由反比例函数y= 的图象可知k>0，那么一次函数y=kx+k的图象应该经过第一、二、三象限，A正确，B错误；在C，D中，由反比例函数y= 的图象可知k<0，那么一次函数y=kx+k 的图象应该经过第二、三、四象限，C错误，D错误． 答案：A 综合应用创新 方法点拨 判断反比例函数与一次函数图象共存的方法： 若两个函数图象在同一平面直角坐标系中,则它们的解析式中相同字母的取值相同. 要判断这两个函数图象在同一平面直角坐标系中的大致位置，可以分k>0 和k<0两种情况讨论, 由k 的符号确定图象位置;也可由一个函数的图象在平面直角坐标系中的位置, 确定字母系数的取值范围, 再判断另一个函数的象是否正确(或由这两个函数图象的位置,推导出字母系数的取值范围是否一致). 综合应用创新 [中考·遂宁]如图27.2-10，反比例函数y=的图象与一次函数y=x+b的图象交于点A(1，4)，B(-4，n). (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)求△OAB的面积； (3)直接写出当一次函数值大于反比例 函数值时自变量x的取值范围. 例10 类型2 反比例函数、一次函数图象的交点问题 综合应用创新 58 思路导引： 综合应用创新 解：(1)把点A(1，4)的坐标分别代入反比例函数y= ，一次函数y=x+b，得=4，1+b=4，解得k=4，b=3.∴反比例函数的解析式是y= ，一次函数的解析式是y=x+3. 综合应用创新 (2)在y=中，当x=-4 时，y=-1，∴B(-4，-1). 如图27.2-10，设直线AB与x 轴交于点C. 对于y=x+3，当y=0 时，x+3=0， 解得x=-3，∴C(-3，0). ∴ S△OAB=S△AOC+S△BOC= ×3×4+×3×1= . (3)x>1 或-4<x<0. 综合应用创新 方法点拨 求边不在坐标轴上的三角形的面积的方法： 一般可采用割补法将其转化为一边在坐标轴上的两个三角形的面积的和或差来求解.因为当三角形的一边在坐标轴上时，这边的长易求，这边上的高则为不在坐标轴上的顶点的横坐标或纵坐标的绝对值，所以求面积的实质就是求点的坐标. 综合应用创新 技巧点拨 一次函数图象在反比例函数图象上方时，x的取值范围就是使一次函数的函数值大于反比例函数的函数值的自变量x的取值范围. 综合应用创新 易错点 忽略讨论已知两点所在的象限情况而致错 [母题 教材P71 练习T3]已知点A(m，y1)，B(m+1，y2)都在反比例函数y=-的图象上，则下列结论一定正确的是( ) A. y1>y2 B. y1<y2 C. 当m<0时，y1<y2 D. 当m<-1时，y1<y2 例11 综合应用创新 错解：B 正解：对于反比例函数y=- 的图象，在每一个象限内，y 随x的增大而增大，且第二象限的函数值大于第四象限的函数值.∵m<m+1，∴当m<m+1<0，即m<-1 时，y1<y2； 当0<m<m+1，即m>0 时，y1<y2；当m<0<m+1，即-1<m<0 时，y1>y2.综上，只有选项D正确. 答案：D 综合应用创新 诊误区： 本题易错在忽略了A，B 两点可能在同一象限内，可能在不同象限内两种情况，需分情况讨论m 的取值范围, 解题时一定要考虑全面． 综合应用创新 $