河北省石家庄市第二十八中学2025--2026学年中考数学模拟试卷

**基本信息** 2026年石家庄二十八中中考数学模拟卷，以足球比赛、共享单车等真实情境为载体，通过“和定双交函数”“半隅三角形”等新定义问题，分层考查代数、几何、统计核心知识，适配中考三轮冲刺能力提升需求。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择题|8|正负数意义、幂运算、统计量性质等|结合凹透镜光学、压强计算等跨学科情境，考查数学眼光| |填空题|5|平方差公式、一元二次方程根、解直角三角形等|融入扫雷游戏概率计算，体现数据意识与应用能力| |解答题|7|函数综合、几何变换、统计分析等|设计马拉松行程函数模型、半隅三角形证明等综合题，发展推理能力与创新思维|

2026年河北省石家庄市第二十八中学中考数学模拟试卷 考生须知： 1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上． 2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号． 3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效． 一．选择题（共8小题） 1．在足球比赛中，规定赢球记为“+”，输球记为“﹣”．如果一支球队赢了3场球记作“+3”，那么“﹣5”可表示为（　　） A．赢了5场球 B．输了5场球 C．平局5场 D．净胜球为5 2．下列各平面图形绕轴旋转一周后，得到的立体图形为圆柱的是（　　） A． B． C． D． 3．下列运算错误的是（　　） A．b3 + b3 ＝ 2b3 B．（b3）2 ＝ b6 C．b3 • b3 ＝ b6 D．b9 ÷ b3 ＝ b3 4．眼镜是利用了凹透镜能使光发散的特点达到矫正视力的目的．如图，平行于主光轴MN的光线AB和CD经过凹透镜的折射后，折射光线BE，DF的反向延长线交于主光轴MN上一点P．若∠EPF＝10°，∠CDF＝160°，则是∠ABE的度数是（　　） A．130° B．140° C．150° D．160° 5．在数学史演讲比赛中，小明对七位评委老师给自己打出的分数进行了分析，并制作了如下表格： 平均数 众数 中位数 方差 8.3 9 8.6 0.1 如果每个评委打分都高0.2分，那么表格中的数据一定不会发生变化的是（　　） A．中位数 B．众数 C．平均数 D．方差 6．如图，正六边形ABCDEF的边长为4，中心为点O，以点O为圆心，以AB长为半径作圆心角为120°的扇形，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 7．某共享单车公司2025年用3000万元购置了一批共享单车投入市场运营，在2026年计划用2500万元继续购入该款共享单车，由于市场供需关系变化，这两年该款共享单车的单价产生变化．设2025年的单价为m万元，若m满足，则下列说法正确的是（　　） A．该款共享单车2026年比2025年涨价25%，多购入30辆单车 B．该款共享单车2026年比2025年涨价25%，少购入30辆单车 C．该款共享单车2026年比2025年降价25%，多购入30辆单车 D．该款共享单车2026年比2025年降价25%，少购入30辆单车 8．某校科技小组进行野外考察，利用铺垫木板的方式通过了一片烂泥湿地，当人和木板对湿地的压力一定时，人和木板对地面的压强P（Pa）与木板面积S（m2）满足反比例函数关系，它的图象如图所示，当压强P（Pa）是2400Pa时，木板面积为（　　） A．0.125m2 B．0.25m2 C．0.5m2 D．1m2 二．填空题（共5小题） 9．已知a+3b ＝ 5，a2﹣9b2 ＝ 20，则a﹣3b ＝． 10．请写出一个关于x的一元二次方程，使该方程有两个相等的实数根，这个方程可以是． 11．某学习小组计划测量学校教学楼的高度，如图，教学楼前有一个花坛，小明在花坛前方的点D处，用测角仪测得教学楼顶部B的仰角为22°，再到花坛后方的点C处，用测角仪测得教学楼顶部B的仰角为30°，已知花坛的宽CD＝13.1m，则教学楼AB的高度约为　 　 m（点A，C，D在同一直线上，测角仪的高度忽略不计，结果精确到1m，参考数据）． 12．在一个9×9的扫雷雷区中，随机埋藏了10颗地雷，每个方格最多1颗地雷，已翻开的安全方格无雷．有以下规则： ①玩家翻开方格①，显示数字3，与它相邻的8个方格记为A区域，A区域内共有3颗地雷； ②玩家翻开方格②，显示数字2，与它相邻的8个方格记为B区域，A、B两个区域有1个方格互相重叠，B区域内一共有2颗地雷； ③A、B区域之外的所有未翻开方格统一记为C区域． 若在A、B、C三个区域中随机点击一格，踩到地雷概率最大的是区域　 　 （填A，B，C即可）． 13．已知，在平行四边形ABCD中，∠B＝60°，AB＝6，BC＝8，点E为BC中点，将△CDE沿DE翻折，点C落在平行四边形ABCD内点F处，连接DF并延长交AB于点G，则DG的长为 　 　 ． 三．解答题（共7小题） 14．计算：． 15．先化简：，再从﹣2≤a≤3的范围中选择一个合适的整数代入求值． 16．某银行为了解客户等候时长，从甲、乙两个网点各随机抽取20名客户，调查了他们办理业务的排队时间（单位：分钟），随后进行整理、分析（时间用x表示，并分为四组：A．45＜x≤60，B．30＜x≤45，C．15＜x≤30，D．0＜x≤15），下面给出了部分信息： 甲网点20名客户排队时间为：6，10，15，18，25，26，28，30，31，31，31，32，35，36，38，40，46，51，54，55． 乙网点20名客户排队时间在B组中的数据是：32，35，36，31，32，40，42，38． 在扇形统计图中，A组数据所对圆心角度数为90°． 甲、乙两网点抽取客户排队时间统计表 甲网点 乙网点 平均数 31.9 31.9 众数 a 32 中位数 31 b 乙网点抽取客户排队时间扇形统计图 （1）填空a＝　 　 ，b＝　 　 ，m＝　 　 ； （2）根据以上数据，你认为甲、乙两个网点哪个网点办理业务更快捷？请说明理由（写出一条即可）； （3）若一周内，在甲网点办理业务的客户为700名，在乙网点办理业务的客户为960名，根据以上信息，估计这周内在两个网点办理业务排队时间不超过30分钟的客户共有多少名？ 17．4月19日，2026北京亦庄半程马拉松暨人形机器人半程马拉松举行，上演了一场“人机大战”，如图1，102支赛队和1.2万名跑者同场参赛，全程为21公里，小明和机器人“逍遥”一起参赛，因赛前临时检修，机器人“逍遥”比小明晚出发了0.4小时，追上小明后休息了一段时间，继续以相同的速度跑步，他们离出发点的路程s（km）关于时间t（h）的变化情况如图2所示． （1）分别求出机器人“逍遥”和小明跑步的速度． （2）求图2中线段BC所在直线的函数表达式． （3）当机器人“逍遥”第二次追上小明时，他们距离终点的路程是多少？ 18．在矩形ABCD中，连接AC． （1）如图，请用尺规在边AD上求作一点P，连接PC，使PD+PC＝AD；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，连接PB，交AC于点Q，若AB＝4，AD＝8，求AQ的长． 19．2026年世界乱象丛生，战火纷飞，祖国和平安定，稳如泰山．我们约定：在同一平面直角坐标系中，若关于x的两个函数的图象有两个交点，且这两个交点的横坐标之和为非零常数t，则称这两个函数为关于t的“和定双交函数”，t为和定系数，两个交点之间的距离L为这两个函数的“双交值”． 请根据该约定解答下列问题： （1）判断下列说法是否正确，对的在横线上打“√”，错的打“×”． ①一次函数y＝2025x+2024和函数y＝x2﹣2x+3为关于t＝2026的“和定双交函数”．　 　 ②一次函数y＝x+1和函数为“和定双交函数”，“双交值”．　 　 ③一次函数y＝ax+b（a≠0，a，b为常数）与反比例函数（c为非零常数）为关于t＝3的“和定双交函数”，则一次函数y＝ax+b（a≠0，a，b为常数）过定点（﹣3，0）．　 　 （2）如图所示，若函数y＝kx（k＞0）与函数为关于t＝﹣2k的“和定双交函数”，两个交点分别为A，B，点D的坐标为（0，6），若DO平分∠ADB，连接AD，BD，试确定（BD﹣OB）（DA+OA）的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． （3）设m，n为正整数，且m≠3，关于x的一次函数y＝2x+3与二次函数和都互为“和定双交函数”，其“双交值”分别为L1，L2．若L1≥L2，则一切实数t恒成立，试求m，n的值． 20．定义：平行四边形一组邻边的两个中点与不在这组邻边上的顶点顺次连接所得的三角形如果是直角三角形，则称这个三角形为这个平行四边形的“半隅三角形”． （1）如图1，在矩形ABCD中，E、F分别是AD、DC的中点，若BC＝8，，求证：△BEF是矩形ABCD的半隅三角形． （2）如图2，△CEF是▱ABCD的半隅三角形，∠CFE＝90°，对角线AC交EF于点G．若AG＝1，FG＝2，求AE的长． （3）如图3，在Rt△ABC中，，以△ABC为半隅三角形的平行四边形的一组邻边记为a，b（a＞b），请直接写出的值． 2026年河北省石家庄市第二十八中学中考数学模拟试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 1．在足球比赛中，规定赢球记为“+”，输球记为“﹣”．如果一支球队赢了3场球记作“+3”，那么“﹣5”可表示为（　　） A．赢了5场球 B．输了5场球 C．平局5场 D．净胜球为5 【分析】本题考查正负数在实际情景中的应用．根据题目中给定的正负数表示规则，判断“﹣5”的含义．解题切入点就是依据所给的“赢球记为‘+’，输球记为‘﹣’”这一规则来分析． 【解答】已知赢球记为“+”，输球记为“﹣”，那么“﹣5”表示输了5场球．A选项赢了5场球应记为“+5”，错误；B选项输了5场球，正确；C选项平局在本题规则中未提及，错误；D选项净胜球在本题规则中未提及，错误．所以答案是B． 【点评】本题考查正负数的实际意义这一基础知识点，关键是理解题目中规定的正负表示规则，注意与实际情景的对应． 2．下列各平面图形绕轴旋转一周后，得到的立体图形为圆柱的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据面动成体可知长方形绕其一条边旋转一周所得的立体图形是圆柱即可得到答案． 【解答】解：长方形绕其一条边旋转一周所得的立体图形是圆柱， ∴得到的立体图形为圆柱的是B， B符合题意，其他选项不符合题意， 故选：B． 【点评】本题考查了点、线、面、体，熟悉常见图形的旋转得到立体图形是解题的关键． 3．下列运算错误的是（　　） A．b3 + b3 ＝ 2b3 B．（b3）2 ＝ b6 C．b3 • b3 ＝ b6 D．b9 ÷ b3 ＝ b3 【分析】本题考查同底数幂的相关运算规则．需要分别根据合并同类项、幂的乘方、同底数幂的乘法和除法的运算法则来逐一判断选项． 【解答】A选项，b3+b3 ＝ 2b3，根据合并同类项法则，同类项系数相加，字母和指数不变，正确；B选项，（b3）2 ＝ b3×2 ＝ b6，根据幂的乘方法则，底数不变，指数相乘，正确；C选项，b3•b3 ＝ b3+3 ＝ b6，根据同底数幂的乘法法则，底数不变，指数相加，正确；D选项，b9÷b3 ＝ b9﹣3 ＝ b6，而不是b3，错误．所以答案是D． 【点评】本题考查同底数幂的运算这一基础知识点，关键是要牢记各种运算的法则，注意计算时指数的变化． 4．眼镜是利用了凹透镜能使光发散的特点达到矫正视力的目的．如图，平行于主光轴MN的光线AB和CD经过凹透镜的折射后，折射光线BE，DF的反向延长线交于主光轴MN上一点P．若∠EPF＝10°，∠CDF＝160°，则是∠ABE的度数是（　　） A．130° B．140° C．150° D．160° 【分析】先由邻补角互补求解∠CDP，然后根据平行线的性质以及角的和差求解∠EPN，再根据平行线的性质以及邻补角互补求解即可． 【解答】解：∵∠CDF＝160°， ∴∠CDP＝180°﹣160°＝20°， ∵MN∥CD， ∴∠NPF＝∠CDP＝20°（两直线平行，内错角相等）， ∴∠EPN＝∠EPF+∠NPF＝10°+20°＝30°， ∵MN∥AB， ∴∠ABP＝∠EPN＝30°（两直线平行，内错角相等）， ∴∠ABE＝180°﹣∠ABP＝180°﹣30°＝150°， 故选：C． 【点评】本题考查了平行线的性质，关键是平行线性质的熟练掌握． 5．在数学史演讲比赛中，小明对七位评委老师给自己打出的分数进行了分析，并制作了如下表格： 平均数 众数 中位数 方差 8.3 9 8.6 0.1 如果每个评委打分都高0.2分，那么表格中的数据一定不会发生变化的是（　　） A．中位数 B．众数 C．平均数 D．方差 【分析】根据方差的意义求解即可． 【解答】解：由题意可得：这组数据的平均数、众数、中位数均会增加0.2， 又∵方差是衡量数据波动幅度的统计量，所有数据同时加上同一个数，数据间的差值不变，波动幅度不变， ∴方差不会发生变化． 故选：D． 【点评】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的意义． 6．如图，正六边形ABCDEF的边长为4，中心为点O，以点O为圆心，以AB长为半径作圆心角为120°的扇形，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据S阴影＝S扇形﹣S五边形AGOHF，求出结果即可． 【解答】解：连接OA、OE、OF，过点O作OM⊥AF于点M，如图所示： ∵六边形ABCDEF为正六边形， ∴OA＝OE＝OF，∠BAF＝120°， ∴△OAF和△OEF为等边三角形，∠AOE＝60°+60°＝120°， ∴∠OEF＝∠OAF＝60°， ∵OM⊥AF， ∴AM＝FMAF＝2， ∴OM2， ∴S△OAFAF×OM4×24， ∵∠BAF＝120°， ∴∠OAG＝120°﹣60°＝60°， ∴∠OAG＝∠OEH， ∴∠GOA+∠AOH＝∠AOH+∠EOH＝120°， ∴∠GOA＝∠EOH， ∴△GOA≌△HOE（ASA）， ∴S△GOA＝S△HOE， ∴S△GOA+S四边形AOHF＝S△HOE+S四边形AOHF， ∴S五边形AGOHF＝S四边形AOEF＝8， ∴S阴影＝S扇形﹣S五边形AGOHF 8 8， 故选：D． 【点评】本题主要考查了正六边形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，扇形面积计算，三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握正六边形的性质． 7．某共享单车公司2025年用3000万元购置了一批共享单车投入市场运营，在2026年计划用2500万元继续购入该款共享单车，由于市场供需关系变化，这两年该款共享单车的单价产生变化．设2025年的单价为m万元，若m满足，则下列说法正确的是（　　） A．该款共享单车2026年比2025年涨价25%，多购入30辆单车 B．该款共享单车2026年比2025年涨价25%，少购入30辆单车 C．该款共享单车2026年比2025年降价25%，多购入30辆单车 D．该款共享单车2026年比2025年降价25%，少购入30辆单车 【分析】本题考查由实际问题抽象出分式方程以及对分式方程的理解．解题的关键是理解分式方程中各项的含义，通过方程判断单价的变化以及车辆购置数量的变化情况． 【解答】方程中，表示2025年购置车辆的数量，表示2026年按新单价购置车辆的数量．因为（1﹣25%）m表示2026年单价是2025年单价的75%，所以2026年比2025年降价25%；又因为，所以2026年比2025年多购入30辆单车．A选项涨价25%错误；B选项涨价25%且少购入30辆错误；C选项正确；D选项少购入30辆错误．所以答案是C． 【点评】本题考查分式方程在实际问题中的应用，关键是理解分式方程中各部分代表的实际意义，注意分析单价和数量的变化． 8．某校科技小组进行野外考察，利用铺垫木板的方式通过了一片烂泥湿地，当人和木板对湿地的压力一定时，人和木板对地面的压强P（Pa）与木板面积S（m2）满足反比例函数关系，它的图象如图所示，当压强P（Pa）是2400Pa时，木板面积为（　　） A．0.125m2 B．0.25m2 C．0.5m2 D．1m2 【分析】先设反比例函数关系式为，然后代入已知点求出比例系数k，再将压强值代入关系式，算出对应的木板面积． 【解答】解：人和木板对地面的压强P（Pa）与木板面积S（m2）满足反比例函数关系，则： 设该反比例函数的关系式为，将（0.3，2000）代入， 可得k＝2000×0.3＝600， 则反比例函数的关系式为， 当P＝2400，． 故选：B． 【点评】本题考查反比例函数的应用，正确进行计算是解题关键． 二．填空题（共5小题） 9．已知a+3b ＝ 5，a2﹣9b2 ＝ 20，则a﹣3b ＝． 【分析】本题考查代数式求值以及平方差公式的应用．解题的关键是利用平方差公式a2﹣b2 ＝ （a+b）（a﹣b）对a2﹣9b2进行变形，再结合已知条件求解． 【解答】因为a2﹣9b2 ＝ （a+3b）（a﹣3b），已知a+3b ＝ 5，a2﹣9b2 ＝ 20，所以20 ＝ 5×（a﹣3b），则a﹣3b ＝ 20÷5 ＝ 4． 【点评】本题考查代数式求值，关键是掌握平方差公式并能灵活运用来解决问题，注意对已知条件的合理运用． 10．请写出一个关于x的一元二次方程，使该方程有两个相等的实数根，这个方程可以是． 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式．对于一元二次方程ax2+bx+c ＝ 0（a≠0），当判别式Δ ＝ b2﹣4ac ＝ 0时，方程有两个相等的实数根．解题时可根据此性质构造方程． 【解答】例如x2﹣2x+1 ＝ 0，在这个方程中，a ＝ 1，b ＝﹣2，c ＝ 1，判别式Δ ＝ （﹣2）2﹣4×1×1 ＝ 4﹣4 ＝ 0，所以该方程有两个相等的实数根．答案不唯一． 【点评】本题考查根的判别式这一知识点，关键是理解判别式与方程根的个数的关系，能根据要求构造合适的方程． 11．某学习小组计划测量学校教学楼的高度，如图，教学楼前有一个花坛，小明在花坛前方的点D处，用测角仪测得教学楼顶部B的仰角为22°，再到花坛后方的点C处，用测角仪测得教学楼顶部B的仰角为30°，已知花坛的宽CD＝13.1m，则教学楼AB的高度约为　17　 m（点A，C，D在同一直线上，测角仪的高度忽略不计，结果精确到1m，参考数据）． 【分析】在Rt△ABD中，得出，在Rt△ABC中，得出，根据CD＝AD﹣AC建立方程，解方程，即可求解． 【解答】解：∵在Rt△ABD中，， ∴， ∵在Rt△ABC中，， ∴， ∵CD＝AD﹣AC， ∴， 解得AB≈17， ∴教学楼AB的高度约为17m， 故答案为：17． 【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握其相关知识点是解题的关键． 12．在一个9×9的扫雷雷区中，随机埋藏了10颗地雷，每个方格最多1颗地雷，已翻开的安全方格无雷．有以下规则： ①玩家翻开方格①，显示数字3，与它相邻的8个方格记为A区域，A区域内共有3颗地雷； ②玩家翻开方格②，显示数字2，与它相邻的8个方格记为B区域，A、B两个区域有1个方格互相重叠，B区域内一共有2颗地雷； ③A、B区域之外的所有未翻开方格统一记为C区域． 若在A、B、C三个区域中随机点击一格，踩到地雷概率最大的是区域A （填A，B，C即可）． 【分析】分别计算A，B，C三个区域的方格总数和地雷数，利用概率公式求出在各区域点击一格踩到地雷的概率，比较大小即可得出结果． 【解答】解：①玩家翻开方格①，显示数字3，与它相邻的8个方格记为A区域，A区域内共有3颗地雷； ②玩家翻开方格②，显示数字2，与它相邻的8个方格记为B区域，A、B两个区域有1个方格互相重叠，B区域内一共有2颗地雷； ③A、B区域之外的所有未翻开方格统一记为C区域． 雷区总方格数为9×9＝81个，地雷总数为10颗， A区域方格数为8个，地雷数为3颗， 则在A区域随机点击一格，踩到地雷的概率， B区域方格数为8个，地雷数为2颗，则在B区域随机点击一格，踩到地雷的概率， A，B两个区域重叠1个方格， 则A，B区域覆盖的未翻开方格总数为8+8﹣1＝15个， 已翻开的方格和②共2个，且无雷， 所以C区域的方格数为81﹣15﹣2＝64个， 设A，B重叠的方格内地雷数为x（x为0或1）， 则A，B区域内的地雷总数为3+2﹣x，即4颗或5颗， 所以C区域的地雷数为10﹣4＝6颗或10﹣5＝5颗， 则在C区域随机点击一格，踩到地雷的概率或， 因为，，且， 所以P（A）最大， 故答案为：A． 【点评】本题考查几何概率，正确进行江苏省解题关键． 13．已知，在平行四边形ABCD中，∠B＝60°，AB＝6，BC＝8，点E为BC中点，将△CDE沿DE翻折，点C落在平行四边形ABCD内点F处，连接DF并延长交AB于点G，则DG的长为 　9.5　 ． 【分析】延长DE交AB的延长线于点H，过点D作DK⊥AB，交BA的延长线于点K，设BG＝a，则AG＝6﹣a，证明△HBE和△DCE全等得BH＝CD＝6，则HG＝a+6，证明∠H＝GDH得DG＝HG＝a+6，由AD∥BC得∠KAD＝∠ABC＝60°，在Rt△ADK中，由含有30°角的直角三角形的性质及勾股定理得AK＝4，DK，则GK＝10﹣a，然后在Rt△GDK中，由勾股定理得a＝3.5，据此可得DG的长． 【解答】解：延长DE交AB的延长线于点H，过点D作DK⊥AB，交BA的延长线于点K，如图所示： ∴∠K＝90°， ∵四边形ABCD是平行四边形，且AB＝6，BC＝8， ∴CD＝AB＝6，AD＝BC＝8，AB∥CD，AD∥BC， 设BG＝a，则AG＝AB﹣BG＝6﹣a， ∵点E为BC中点， ∴BE＝CE， ∵AB∥CD， ∴∠H＝∠CDE，∠HBE＝∠DCE， 在△HBE和△DCE中， ， ∴BH＝CD＝6， ∴HG＝BG+BH＝a+6， 由翻折的性质得：∠CDE＝∠FDE， 又∵∠H＝∠CDE，DF的延长交AB于点G， ∴∠H＝GDH， ∴DG＝HG＝a+6， ∵AD∥BC，∠ABC＝60°， ∴∠KAD＝∠ABC＝60°， 在△ADK中，∠K＝90°，∠KAD＝60°，AD＝8， ∴∠ADK＝90°﹣∠KAD＝30°， ∴AKAD＝4， 由勾股定理得：DK， ∴GK＝AG+AK＝6﹣a+4＝10﹣a， 在△GDK中，∠K＝90°， 由勾股定理得：DG2＝GK2+DK2， ∴， 解得：a＝3.5， ∴DG＝a+6＝9.5． 故答案为：9.5． 【点评】此题主要考查了图形的翻折变换及其性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，含有30°角的直角三角形的性质，勾股定理，理解图形的翻折变换及其性质，平行四边形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，灵活利用含有30°角的直角三角形的性质及勾股定理进行计算是解决问题的关键． 三．解答题（共7小题） 14．计算：． 【分析】本题考查实数的运算．需要分别计算零指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值以及负整数指数幂，然后再进行加减运算． 【解答】1．计算零指数幂：因为任何非零数的0次幂都为1，所以（2026﹣π）0＝1．2．计算绝对值：因为，所以．3．计算特殊角的三角函数值：，则．4．计算负整数指数幂：．5．进行加减运算：． 【点评】本题考查实数运算的基础知识点，关键是准确掌握零指数幂、绝对值、特殊角三角函数值、负整数指数幂的运算法则，计算时要细心． 15．先化简：，再从﹣2≤a≤3的范围中选择一个合适的整数代入求值． 【分析】本题考查分式的化简求值．先对括号内的式子进行通分计算，再将除法转化为乘法进行化简，最后代入合适的值求值．需要注意分母不能为0． 【解答】1．化简式子：﹣对括号内通分：．﹣对除法转化为乘法并化简：．2．确定取值：因为分母不能为0，即a+2≠0，a≠0，a﹣2≠0，所以a≠﹣2，a≠0，a≠2．在﹣2≤a≤3中取a＝1．3．代入求值：当a＝1时，． 【点评】本题考查分式化简求值的基础知识点，关键是掌握分式运算法则，同时注意代入值时要使分式有意义． 16．某银行为了解客户等候时长，从甲、乙两个网点各随机抽取20名客户，调查了他们办理业务的排队时间（单位：分钟），随后进行整理、分析（时间用x表示，并分为四组：A．45＜x≤60，B．30＜x≤45，C．15＜x≤30，D．0＜x≤15），下面给出了部分信息： 甲网点20名客户排队时间为：6，10，15，18，25，26，28，30，31，31，31，32，35，36，38，40，46，51，54，55． 乙网点20名客户排队时间在B组中的数据是：32，35，36，31，32，40，42，38． 在扇形统计图中，A组数据所对圆心角度数为90°． 甲、乙两网点抽取客户排队时间统计表 甲网点 乙网点 平均数 31.9 31.9 众数 a 32 中位数 31 b 乙网点抽取客户排队时间扇形统计图 （1）填空a＝　31　 ，b＝　33.5　 ，m＝　20　 ； （2）根据以上数据，你认为甲、乙两个网点哪个网点办理业务更快捷？请说明理由（写出一条即可）； （3）若一周内，在甲网点办理业务的客户为700名，在乙网点办理业务的客户为960名，根据以上信息，估计这周内在两个网点办理业务排队时间不超过30分钟的客户共有多少名？ 【分析】（1）根据众数的定义作答即可；先根据乙网点B组的数据个数，求出其占比，再根据A组数据在扇形统计图中的圆心角度数求出其占比，即可求出m；先将乙网点B组的数据从小到大依次排列，将根据四个组的占比确定中位数的位置即可求解； （2）比较两个网点的众数、中位数即可判断； （3）先分别求出两个网点办理业务排队时间不超过30分钟的客户的人数，再二者相加即可作答． 【解答】解：（1）甲网点20名客户排队时间中，数据出现次数最多的为：31，即a＝31， 乙网点B组的数据个数为8个，则其占比为：8÷20＝40%， ∵A组数据所对圆心角度数为90°， ∴A组数据占比为：90°÷360°＝25%， ∴m%＝100%﹣25%﹣15%﹣40%＝20%，即m＝20， 乙网点D组的数据从小到大排列为：31，32，32，35，36，38，40，42． 根据占比可知：乙网点D组的数据个数为：15%×20＝3（个），乙网点C组的数据个数为：20%×20＝4（个），乙网点A组的数据个数为：25%×20＝5（个）， 乙网点的20个数据依次排列：D组3个数、C组4个数、31，32，32，35，36，38，40，42、A组5个数， 根据中位数定义可得：b＝32， 故答案为：31，32，20； （2）甲网点办理业务更快捷，理由：在平均等待时间相同的情况下，甲网点等待时间中的中位数比乙网点相应的数据小，说明一半的客户排队时间比乙网点短； （3）若一周内，在甲网点办理业务的客户为700名，在乙网点办理业务的客户为960名， 甲网点办理业务排队时间不超过30分钟的客户的人数：（人）， 乙网点办理业务排队时间不超过30分钟的客户的人数：（人）， 则两个网点办理业务排队时间不超过30分钟的客户共有：280+336＝616（人）． 【点评】题目的易错点在第三小问，错误做法：将甲乙两个网点的样本合并求出其排队等待不超过30分钟的客户的占比，再乘以到两个网点办理业务的总人数．此类题目必须先分别求出两个样本各自的占比，再乘以各自对应的总体，再相加． 17．4月19日，2026北京亦庄半程马拉松暨人形机器人半程马拉松举行，上演了一场“人机大战”，如图1，102支赛队和1.2万名跑者同场参赛，全程为21公里，小明和机器人“逍遥”一起参赛，因赛前临时检修，机器人“逍遥”比小明晚出发了0.4小时，追上小明后休息了一段时间，继续以相同的速度跑步，他们离出发点的路程s（km）关于时间t（h）的变化情况如图2所示． （1）分别求出机器人“逍遥”和小明跑步的速度． （2）求图2中线段BC所在直线的函数表达式． （3）当机器人“逍遥”第二次追上小明时，他们距离终点的路程是多少？ 【分析】（1）结合函数图象先求出小明的速度，据此得到机器人的跑步时间，根据速度＝路程÷时间求解即可； （2）先求出B点坐标，再用待定系数法求解即可； （3）用待定系数法求出小明的函数解析式s＝10t，再联立两函数解析式，求出交点坐标，即可求解． 【解答】解：（1）小明的速度：21÷2.1＝10（km/h）， 机器人“逍遥”的速度：12÷10＝1.2（h），1.2﹣0.4＝0.8（h）， 12÷0.8＝15（km/h）； （2）（21﹣12）÷15＝0.6（h），2﹣0.6＝1.4（h）， ∴B（1.4，12）， 设BC线段的函数表达式为s＝kt+b（k≠0）， 由题意可得： 得， 解得k＝15，b＝﹣9， ∴s＝15t﹣9； （3）设小明的函数解析式为s＝k1t（k1≠0）， 把点D（2.1，21）代入s＝k1t（k1≠0），得k1＝10， ∴s＝10t， 联立得， 解得t＝1.8，s＝18， ∴离终点的路程为21﹣18＝3（km）． 【点评】本题考查一次函数的性质，正确进行计算是解题关键． 18．在矩形ABCD中，连接AC． （1）如图，请用尺规在边AD上求作一点P，连接PC，使PD+PC＝AD；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，连接PB，交AC于点Q，若AB＝4，AD＝8，求AQ的长． 【分析】（1）作线段AC的垂直平分线，交AD于点P，点P即为所求； （2）由（1）得PA＝PC，PD+PC＝AD，由矩形的性质并结合勾股定理可得，设PA＝PC＝x，则PD＝8﹣x，求出x＝5，再证明△APQ∽△CBQ，由相似三角形的性质计算即可得出结果． 【解答】解：（1）如图，点P即为所作； （2）由（1）得PA＝PC，PD+PC＝AD， ∵四边形ABCD是矩形， ∴CD＝AB＝4，∠ADC＝90°， ∵AD＝8， ∴， 设PA＝PC＝x， ∴PD＝8﹣x， ∴x2＝（8﹣x）2+42， 解得x＝5， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∴△APQ∽△CBQ， ∴， 又， ∴， 解得． 【点评】本题考查作图，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 19．2026年世界乱象丛生，战火纷飞，祖国和平安定，稳如泰山．我们约定：在同一平面直角坐标系中，若关于x的两个函数的图象有两个交点，且这两个交点的横坐标之和为非零常数t，则称这两个函数为关于t的“和定双交函数”，t为和定系数，两个交点之间的距离L为这两个函数的“双交值”． 请根据该约定解答下列问题： （1）判断下列说法是否正确，对的在横线上打“√”，错的打“×”． ①一次函数y＝2025x+2024和函数y＝x2﹣2x+3为关于t＝2026的“和定双交函数”．　×　 ②一次函数y＝x+1和函数为“和定双交函数”，“双交值”．　√　 ③一次函数y＝ax+b（a≠0，a，b为常数）与反比例函数（c为非零常数）为关于t＝3的“和定双交函数”，则一次函数y＝ax+b（a≠0，a，b为常数）过定点（﹣3，0）．　×　 （2）如图所示，若函数y＝kx（k＞0）与函数为关于t＝﹣2k的“和定双交函数”，两个交点分别为A，B，点D的坐标为（0，6），若DO平分∠ADB，连接AD，BD，试确定（BD﹣OB）（DA+OA）的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． （3）设m，n为正整数，且m≠3，关于x的一次函数y＝2x+3与二次函数和都互为“和定双交函数”，其“双交值”分别为L1，L2．若L1≥L2，则一切实数t恒成立，试求m，n的值． 【分析】（1）①根据定义，整理，得x2﹣2027x﹣2021＝0，利用根与系数关系定理，计算判断即可； ②根据定义，整理，得x2+x﹣2＝0，利用根与系数关系定理，两点间距离公式，计算判断即可； ③根据定义，整理，得ax2+bx+c＝0，利用根与系数关系定理，计算判断即可； （2）过点O作OE⊥AD于点E，OF⊥BD于点F，得到，过点B作BH⊥OD于点H，过点A作AG⊥OD于点G，利用三角形相似的判定和性质，根与系数关系定理，化简求解即可． （3）根据定义，根与系数关系定理，完全平方公式的变形，实数的非负性，求解即可． 【解答】解：（1）①根据题意，得：x2﹣2x+3＝2025x+2024， 整理，得：x2﹣2027x﹣2021＝0， 设两个函数的交点为（x1，y1），（x2，y2），则x1，x2是方程x2﹣2027x﹣2021＝0的两个根， ∴x1+x22027， ∴t＝2027， 故一次函数和函数为关于t＝2027的“和定双交函数”， 故答案为：×； ②根据题意，得：x+1， 整理，得：x2+x﹣2＝0， 解得：x1＝﹣2，x2＝1， ∴y1＝﹣1，y2＝2， 设两个函数的交点为M（x1，y1），N（x2，y2）， ∴M（﹣2，﹣1），N（1，2）， ∴x1+x2＝﹣2+1＝﹣1， 故一次函数y＝x+1和函数是关于t＝﹣1为“和定双交函数”， 且“双交值”L3， 故答案为：√； ③根据题意，得：ax+b， 整理，得：ax2+bx+c＝0， 设两个函数的交点为P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1，x2是方程ax2+bx+c＝0的两个根， ∴x1+x2， 根据题意，得一次函数y＝ax+b（a≠0，a，b为常数）与反比例函数 （c为非零常数）为关于t＝3的“和定双交函数”， ∴， ∴b＝﹣3a， 故一次函数y＝ax+b变形为y＝ax﹣3a＝a（x﹣3）， 当x＝3时，得：y＝0， ∴一次函数y＝ax+b过定点（3，0）， 故答案为：×； （2）（BD﹣OB）（DA+OA）的值是定值；理由如下： 根据题意，得：sx+3＝kx， 整理，得：x2+2（k﹣s）x﹣6＝0， 设两个函数的交点为A（x1，y1），B（x2，y2），则x1，x2是方程x2+2（k﹣s）x﹣6＝0的两个根， ∴x1+x22（s﹣k），x1•x2＝﹣6， 根据题意，得一次函数y＝kx与函数为关于t＝﹣2k的“和定双交函数”， ∴﹣2k＝2s﹣2k， ∴s＝0， 故变形为， 如图1，DO平分∠ADB，过点O作OE⊥AD于点E，OF⊥BD于点F， ∴EO＝FO， ∴， ∴， 如图2，过点B作BH⊥OD于点H，过点A作AG⊥OD于点G， 由点D的坐标为（0，6）， ∴DG＝6﹣y1，BH＝x2，AG＝﹣x1， ∴BH∥AG， ∴△BOH∽△AOG， ∴， ∴， ∴（BD﹣OB）（DA+OA） ＝﹣6×（﹣6） ＝36， 综上所述，（BD﹣OB）（DA+OA）的值是否为定值，定值为36； （3）关于x的一次函数y＝2x+3与二次函数 互为“和定双交函数”， 根据题意，得2x+3＝x2+（5﹣mt+2）x﹣5mt+3， 整理，得x2+（5﹣mt）x﹣5mt＝0， 设方程的两个根为x1，x2， ∴x1+x2＝mt﹣5，x1x2＝﹣5mt， L1 ， 关于x的一次函数y＝2x+3与 为“和定双交函数”， 根据题意，得2x+3＝﹣x2+（3t﹣n+2）x+3nt+3， 整理，得x2﹣（3t﹣n）x﹣3nt＝0， 设方程的两个根为x3，x4， ∴x3+x4＝3t﹣n，x3x4＝﹣3nt， L2 ， 由L1≥L2对一切实数t恒成立， 故对一切实数t恒成立， 故m2t2+10mt+25≥9t2+6nt+n2对一切实数t恒成立， 整理，得（m2﹣9）t2+（10m﹣6n）t+25﹣n2≥0对一切实数t恒成立， ∴m2﹣9＞0且Δ＝（10m﹣6n）2﹣4（m2﹣9）（25﹣n2）≤0， 由于m，n为正整数，且m≠3， ∴m＞3， ∴100m2﹣120mn+36n2﹣100m2+4m2n2+900﹣36n2≤0， ∴4m2n2﹣120mn+900≤0， ∴m2n2﹣30mn+225≤0， ∴（mn﹣15）2≤0， ∵（mn﹣15）2≥0， ∴mn＝15， 由于m，n为正整数，且m＞3， ∴m＝15或m＝5， ∴n＝1或n＝3， 综上所述，m＝15，n＝1或m＝5，n＝3． 【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查了根与系数的关系，两点间的距离公式，相似三角形的判定与性质，完全平方公式，实数的非负性质，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． 20．定义：平行四边形一组邻边的两个中点与不在这组邻边上的顶点顺次连接所得的三角形如果是直角三角形，则称这个三角形为这个平行四边形的“半隅三角形”． （1）如图1，在矩形ABCD中，E、F分别是AD、DC的中点，若BC＝8，，求证：△BEF是矩形ABCD的半隅三角形． （2）如图2，△CEF是▱ABCD的半隅三角形，∠CFE＝90°，对角线AC交EF于点G．若AG＝1，FG＝2，求AE的长． （3）如图3，在Rt△ABC中，，以△ABC为半隅三角形的平行四边形的一组邻边记为a，b（a＞b），请直接写出的值． 【分析】（1）首先根据已知条件证明△DEF△ABE，然后利用相似三角形的性质可知∠BEF＝90°，根据半隅三角形的定义可知△BEF是矩形ABCD的半隅三角形； （2）观察图形结构，并结合已知条件，尝试通过构造全等和相似三角形求解．首先向两边延长EF，分别交CB的延长线于点M，CD的延长线于点N；然后利用全等和相似可得AG，FG与相关的数量关系，继而利用勾股定理求解即可； （3）结合已知条件，当△ABC为半隅三角形时，另外一个中点是B还是C并不确定，因此需要分两种情况进行讨论． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，， ∴，AD＝BC＝8，∠A＝∠D＝90°， ∵E、F分别是AD、DC的中点， ∴AE＝DE＝4，． ∴，， ∴， 在△DEF和△ABE中， ， ∴△DEF∽△ABE， ∴∠DEF＝∠ABE． ∵∠ABE+∠AEB＝90°， ∵∠DEF+∠AEB＝90°， ∴BEF＝180°﹣90°＝90°，即△BEF是直角三角形， ∴△BEF是矩形ABCD的半隅三角形； （2）解：如图，向两边延长EF，分别交CB的延长线于点M，CD的延长线于点N， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD＝BC，AB＝CD，AB∥CD，AD∥BC， ∴∠AFE＝∠M， ∵△CEF是▱ABCD的半隅三角形，∠CFE＝90°， ∴AE＝BE，AF＝FD， 在△AEF和△BEM中， ， ∴△AEF≌△BEM（AAS）， ∴AF＝BM，FE＝EM， ∴， ∴． 同理可得FE＝FN，． ∴FE＝FN＝EM． ∵AD∥BC， ∴△AGF∽△CGM， ∴， ∵AG＝1，FG＝2， ∴CG＝3，GM＝6， ∴FM＝FG+GM＝8， ∴． ∵∠CFE＝90°， ∴， ∴， ∴； （3）解：的值为或.分两种情况： ①如图，过点C作CG⊥AD于点G，过点B作BH⊥DF，交DF的延长线于点H， ∵△ABC是▱CDFE的半隅三角形，∠BAC＝90°， ∴，AF＝ADDFECa． ∵EF∥CD， ∴∠BFH＝∠D． ∵∠BHF＝∠CGD＝90°， ∴△BHF∽△CGD， ∴， 设BH＝x，HF＝y，则CG＝2x，GD＝2y， ∵∠BAC＝90°， ∴∠GAC+∠BAH＝90°， ∵∠GAC+∠ACG＝90°， ∴∠BAH＝∠ACG． ∵∠BHA＝∠CGA＝90°， ∴△BHA∽△AGC， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，HA＝2CG＝4x， ∴AF＝HA﹣HF＝4x﹣y，． ∵AF＝AD， ∴， ∴， ∴，b＝CDy， ∴； ②如图3，过点C作CG⊥AD于点G，过点B作BH⊥DF，交FD的延长线于点H， ∵△ABC是▱BDFE的半隅三角形，∠BAC＝90°， ∴，， ∵EF∥CD， ∴∠F＝∠HDB． ∵∠CGF＝∠BHD＝90°， ∴△CGF∽△BHD， ∴， 设CG＝x，GF＝y，则BH＝2x，HD＝2y， 同①中的方法可证△BHA∽△AGC． 又∵， ∴， ∴， ∴． ∴AF＝AG+GF＝x+y，AD＝AH﹣HD＝2x﹣2y． ∵AF＝AD， ∴x+y＝2x﹣2y， ∴x＝3y， ∴a＝FD＝8y，， ∴； 综上，的值为或． 【点评】本题以四边形为背景考查了新定义题型，对于新定义型问题，一定要抓住理解定义的关键，即它存在的前提条件是什么，它的根本特征是什么；在解题时，注意把新定义和已经学过的知识联系起来，转化后再去求解． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/6/12 14:44:18；用户：刘亚；邮箱：13473813351；学号：39630194 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $