第2章 3 一元二次方程的根与系数的关系&4 一元二次方程的应用（随堂反馈）-【鸿鹄志·名师测控】2026-2027学年九年级上册数学（北师大版·新教材 贵州专版）

3一元二次方程的根与系数的关系 1.若x1,x2是一元二次方程x2一x一2=0的两个根，则x1x2的值是 A.-2 B.-1 C.3 D.-3 2.一元二次方程2x2一4x一1=0的两个实数根的和是 ( A.-2 B司 c D.2 3.已知实数x1,x2满足x1十x2=9,x1x2=20,则以x1,x2为根的一元二次方程是 A.x2-9x十20=0 B.x2+9x+20=0 C.x2+9x-20=0 D.x2-9x-20=0 4.已知x=1是关于x的一元二次方程2x2十x一4=0的一个根，则方程的另一个根是 ,n 的值是 5.根据一元二次方程根与系数的关系，求下列方程的两根x1,x2的和与积： (1)9x2-2=0; (2)2x2+6x+3=0; (3)3x2十5=4x2-x. 6.已知关于x的一元二次方程x2一2(m一1)x十m2=0有两个实数根x1,x2. (1)求实数m的取值范围； (2)若x1x2十x1十x2一1=0，求m的值. ·14· 4一元二次方程的应用 第1课时行程、几何图形及动点问题 1.把小圆形场地的半径增加5得到大圆形场地，场地面积扩大了一倍.若设小圆形场地的半径 为xm,则可列方程为 A.2πx=π(x+5) B.x=2(x+5) C.2πx2=π(x+5)2 D.x2=2(x十5)2 2.汽车在公路上行驶，它行驶的路程s(m)和时间t(s)之间的关系式为s=3t+18t.则行驶120m 需要的时间为 A.10s C.4s D.3s 3.王师傅计划用长32m的木质栅栏，靠一面墙围一个矩形菜园（墙的长度为18m),要求围成的 菜园面积为120m,求这个矩形菜园垂直于墙的边长. 4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm,BC=4cm.动点P从点C出发，沿CB方向以 1cm/s的速度向点B运动，同时动点Q从点A出发，沿AC方向以2cm/s的速度向点C运动， 其中一点停止运动时，另一点也随之停止.当△PCQ的面积是△ABC面积的时，求点P的运 动时间， CPB ·15· 第2课时平均变化率及营销问题 1.为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每盒零售价由16元降 为9元.设平均每次降价的百分率是x,根据题意，下列方程正确的是 A.16(1-2x)=9 B.9(1+2x)=16 C.16(1-x)2=9 D.9(1+x)2=16 2.某商店以每件25元的价格购进一批商品，当每件商品的售价为a元时，可卖出(400一10a)件. 若商店计划盈利500元，则可列方程为 ,a的值为 3.某商场响应国家消费品以旧换新的号召，开展了家电惠民补贴活动，4月份投入资金20万元， 6月份投入资金24.2万元.现假定每月投入资金的增长率相同，求该商场投入资金的月平均增 长率 4.商场销售某种商品，进价为200元/件，售价为250元/件，平均每天售出30件.经调查发现，当 商品售价每降低1元时，平均每天可多售出2件 (1)当商品售价降价5元时，每天销售量可达到 件，每天盈利 元； (2)为使销售这种商品每天盈利达到2100元，而且尽可能让顾客得到实惠，每件商品应降价多 少元？ ·16·新趋势题型拉分练（四）综合实践探究试题 1.解：(1)1.6十0.9=2.5(m),∴点A的坐标为(3,2.5).由题意，得A(3,2.5)为上边缘抛物 线的顶点，.设上边缘抛物线的表达式为y=a(x-3)2十2.5.将H(0,1.6)代入，得1.6= 9a十2.5，解得a=-0.1.上边缘抛物线的表达式为y=-0.1(x-3)2十2.5.(2)设下边缘 抛物线是由上边缘抛物线向左平移bm得到的，则下边缘抛物线的表达式为y=一0.1(x一 3+b)2十2.5.将H(0,1.6)代入，得-0.1(-3十b)2十2.5=1.6，解得b=6,b=0(舍去). .b=6.∴.下边缘抛物线的表达式为y=-0.1(x十3)2+2.5.当y=0时，-0.1(x十3)2+ 2.5=0,解得x1=2,x2=一8（舍去）.∴点B的坐标为(2,0).(3)洒水车行驶时喷出的水能 浇灌到整个绿化带.理由如下：：DE=2.2m,OD=2.8m,.OD>OB,OE=OD十DE= 5m.EF=2m,点F的坐标为(5,2).在y=-0.1(x-3)2十2.5中，当x=5时，y= -0.1×(5-3)2十2.5=2.1.：2.1>2，.洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带. 2.解：I)①△AB△ACC.证明如下：△ABC△ABC铝=S,∠BAC= ∠aC.0-A'.∠BAC-∠BAC=∠rAC-∠BAC.甲∠BA-∠CAC .△ABB'△ACC.②：∠BAC=90°，AB=3,BC=5,.AC=WJBC-AB=4. :△ABBO△ACC82-是=是.(2连接AC:四边形ABCD为正方形，AD cD,∠AC=90,∠CAD=45AC=VADCD=EAD.∴S=E.:AE=EF. ∠AEF=0,∠EAF=5,AF=VAEF=EAE÷茫=E÷%-能 :∠EAF=∠CAD=45°，∴·∠EAF-∠CAE=∠CAD-∠CAE,即∠CAF=∠DAE, ÷ACAP△DAE是是-E 随堂反馈答案 第一章特殊平行四边形 1认识特殊的平行四边形 1.C2.D3.B4.正方5.(4，-2)6.55°7.证明：.四边形ABCD是正方形，.AB= CD,AD=BC,AB∥CD,∠BCD=∠BAD=90°..∠ABC=180°-∠BCD=90°=∠BCD. .'AB=AD,.AB=BC=CD.CE=DF,∴.BC+CE=CD+DF,即BE=CF..△ABE≌ △BCF(SAS).∴.AE=BF. 2菱形的性质与判定 第1课时菱形的性质 1.C2.D3.A4.A5.D6.号 7.证明：四边形ABCD是菱形，.CB=CD, ∠ABC=∠ADC.:∠ABC+∠CBE=180°，∠ADC+∠CDF=180°，.∠CBE=∠CDF. CB=CD 在△CBE和△CDF中，∠CBE=∠CDF,.△CBE≌△CDF(SAS)..CE=CF. BE=DF, 第2课时菱形的判定 1.A2.C3.AC⊥EF(答案不唯一)4.证明：△ABC与△ABD关于AB所在直线对 称，CE=DE,BC=BD,∠ABC=∠ABD.:CE∥BD,∴·∠CEB=∠ABD.∴∠CEB= ∠ABC..BC=CE..BC=CE=DE=BD.∴四边形BCED是菱形.5.证明：：四边形 ABCD是菱形，.AC⊥BD,AB=CD,AB∥CD.∠ABD=∠CDB.:AE∥CF,∴.∠AEF= ∠CFE.∴.180°-∠AEF=180°-∠CFE,即∠AEB=∠CFD..△ABE≌△CDF(AAS). .AE=CF..四边形AECF是平行四边形.：AC⊥BD,∴.四边形AECF是菱形. 3矩形的性质与判定 第1课时矩形的性质 1.B2.C3.C4.20°5，证明：.四边形ABCD是矩形，.AC=BD,AC=2OA,BD= 2OB.AC=2AB,.AB=OA=OB..△AOB是等边三角形.6.解：O是BD的中点， -106 E是边AB的中点，∴.OE是△ABD的中位线.∴AD=2OE=6.四边形ABCD是矩形， ∠A=∠BCD=90.BD=VABAD=10.:0是BD的中点0C=号BD=5. 第2课时矩形的判定 L.D2.D3.∠A=90°（答案不唯一）4.证明：：∠1=2∠2，∠1=∠2+∠OBC,∠2= ∠OBC..OB=OC.:AD∥BC,∴∠2=∠OAD,∠ODA=∠OBC.∴.∠OAD=∠ODA. ∴.OA=OD.:OA=OC,OB=OD,AC=BD..四边形ABCD是平行四边形.又，AC BD,.四边形ABCD是矩形.5.证明：(1)，AB∥CD,FC=AB,∴.四边形ABCF是平行 四边形.∠BCD=90°，.四边形ABCF是矩形.(2)四边形ABCF是矩形，.∠AFC= 90°..∠AFD=180°-∠AFC=90°.∠DAF=90°-∠D,∠CGF=90°-∠ECD.DE= CE,∠D=∠ECD..∠DAF=∠CGF,'∠EGA=∠CGF,∴∠DAF=∠EGA,∴AE= EG. 4正方形的性质与判定 第1课时正方形的性质 1.A2.A3.(-2,2)4.22.5°5.2√56.(1)证明：四边形ABCD是正方形，.AB= AB=CB, CB,∠ABD=∠CBD.在△ABE和△CBE中，∠ABE=∠CBE,·△ABE≌ BE=BE, △CBE(SAS).(2)解：：四边形ABCD是正方形，∴∠BAD=90°，∠ADB=45°.：DE= DA,∠DAE=∠DEA·∠DAE=（I80-∠ADB)=6.5.÷∠BAE=∠BAD- ∠DAE=22.5°. 第2课时正方形的判定 1.A2.A3.CD=CE(答案不唯一)4.证明：四边形BEDF是菱形，.OB=OD,OE= OF,BD1ER.:AE=CP=之EF,OE+AE=OF+CF,即OA=OC,AC=2ER.四边形 ABCD是平行四边形.，BD⊥AC,.四边形ABCD是菱形.：BD=2EF,∴AC=BD.四 边形ABCD是正方形.5.解：四边形OECF是正方形.理由如下：：四边形ABCD是正方 形，.AD=AB,∠BDC=∠DBC=45°，∠BCD=90°.：OF⊥DC,OE⊥BC,∴.∠OFD= ∠OFC=∠OEB=∠OEC=90..四边形OECF是矩形.：AO⊥BD,∴.DO=BO ∴.△ODF≌△OBE(AAS)..OF=OE.∴.四边形OECF是正方形. 第二章一元二次方程 1认识一元二次方程 第1课时一元二次方程 1.D2.A3.一14.解：(1)移项，得一元二次方程的一般形式为2x十3x一1=0.它的二 次项系数为2，一次项系数为3，常数项为-1，(2)去括号，得3x十3x-2x-2=2x2十x.移 项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式为x2一2=0.它的二次项系数为1，一次项系 数为0，常数项为-2.5.解：(1)设这两个数中较小的数为x,根据题意，得x(x十2)=120， 化为一般形式为x2十2x一120=0.(2)设充电桩区域的宽度为xm,根据题意，得(130一 x)(80-x)=5000.化成一般形式为x2一210x十5400=0. 第2课时一元二次方程的解及其估算 1.C2.C3.-24.25.解：(1)-1334-0.010.363.33.4(2)矩形铁 片的长约为3.3m. 2一元二次方程的解法 第1课时用配方法求解简单的一元二次方程 1,B2.C3.A4.35.-356.解：(1)整理，得x2=16.两边开平方，得x=士4.∴x1= 4,x2=一4.(2)整理，得(x一1)2=9.两边开平方，得x-1=士3，即x一1=3，或x-1=一3. 六n=40=-2.（3混方，得1+8x十（受）=8十（号），即(x十4=24.两边开平方 得x十4=士2√6，即x十4=2√6，或x十4=-2√6.∴.x1=-4十2√6，x2=-4-2√6.(4)移 107 项，得x-3x=-2配方，得r-3x+(受)=-2+（受），即（一受）=子两边开平 方，得x一=士，即x一是-=，或x一==2=1 第2课时用配方法求解较复杂的一元二次方程 1.D2.B31子1是±999-1+ -1-4.解：1)两 边都除以2.得父+言一子配方，得+兰（付）=合+（宁）即(+）广=品两 边f平方，得x十}=士子，即x十}=子，或x十}=-是=分=-1(2)移 项，得2x2-6x=7.两边都乘2，得2-12x=14.配方，得x2-12x十62=14+6，即(x 6)2=50.两边开平方，得x-6=±5√2，即x-6=52,或x-6=-5√2.∴.x1=6十5√2，= 6-5厄.(8)移项，得-5x-2x=-1.两边同除以-5，得r+号=号配方，得+号x (）=吉+（行）即(+号)=云两边开平方，得x+日=±，即x+号-，或 上十号=怎=甘=15（④整理，得-16r=-12两边都除以 5 5 5 得x2-4x=-3.配方，得x2-4.x十22=-3十2，即(x-2)2=1.两边开平方，得x-2=士1， 即x-2=1,或x-2=-1..m=3,2=1. 第3课时用公式法求解一元二次方程 1.A2.B3.A4.5二35二355.解：1)这里a=1,6=-1,c=-3. 2 4ac=(-1)-4X1×(-3》=13>0,“x=二（-)法压=1生压，即=1中，压， 2×1 x,=1-压.(2)这里a=4,b=-8,c=1.:6-4ac=(-8)-4×4×1=48>0,x= 2 =（-8)去⑧=告5，即=2士5，，=2,5.(3)将原方程化为一般形式，得2 2×4 2 x十2=0.这里a=2,b=-1,c=2.,62-4ac=(-1)2-4×2×2=-15<0,.方程没有实 数根.（④）将原方程化为一般形式，得号x-厄x十1=0.这里a=号，6=区，c=1.6 4ac=(-②：-4X2×1=0,x=-《二②±0-E,即==反 2× 第4课时用因式分解法求解一元二次方程 1.C2.B3.x十2一3=0x1=-5,x2=14.(1)直接开平方(2)配方(3)公式 (4)因式分解5.解：(1)原方程可变形为2x(x十5)=0.x=0,或x十5=0.∴x1=0,x2=-5. (2②原方程可变形为(2x十3)1-)=0.2x十3=0，或1-x=0,=-号4=1 (3)原方程可变形为x(x-5)十8(x-5)=0..(x-5)(x十8)=0..x-5=0,或x十8=0. .x1=5,x2=-8.(4)原方程可变形为(x-1)2-2(x-1)=0..(x-1)(x-1-2)=0,即 (x-1)(x-3)=0.x-1=0,或x-3=0..x1=1,x2=3. 3一元二次方程的根与系数的关系 1.A2.D3.A4.-225.解：(1)这里a=9,b=0,c=-2.:A=b2-4ac=0-4×9× （一2)=72>0，方程有两个实数根十x=0,=一号.（2)这里a=2,6=6=3, :4=∥-4ac=6-4X2X3=12>0,心方程有两个实数根.1十=-名=-3，。 号.(3)将原方程化为一般形式，得2-上一5=0这里a=1,6=-1c=-5.4=公-4ac (-1)2-4×1×(-5)=21>0,.方程有两个实数根..x1十x2=1,x1x2=-5,6.解： 1)由题意，得△=[-2(m-1]-4m≥0，解得m≤分.(2)由根与系数的关系，得十 -108 x2=2(m-1),xx2=m.x1x2十x1十x2-1=0,.m2十2(m-1)-1=0,解得m1=-3, 1 m:=1.“m≤2m=-3. 4一元二次方程的应用 第1课时行程、几何图形及动点问题 1.C2.C3.解：设这个矩形菜园垂直于墙的边长为xm.根据题意，得x(32一2x)=120, 解得x1=6,x2=10.当x=6时，32-2x=20>18,不合题意，舍去；当x=10时，32-2x= 12<18,符合题意，.x=10.答：这个矩形菜园垂直于墙的边长为10m,4.解：设点P的运 动时间为ts(0<t<4),则CP=tcm,AQ=2tcm,.CQ=AC-AQ=(8-2t)cm.当S△Q= 子5r时，2CP.CQ=子×2BC,AC71(8-2)=子×号×4×8，解得1=6=2. 答：点P的运动时间为2s. 第2课时平均变化率及营销问题 1.C2.(a-25)(400-10a)=50030或353.解：设该商场投入资金的月平均增长率为 x.根据题意，得20(1十x)2=24.2,解得x1=0.1=10%,x2=一2.1（不合题意，舍去）.答：该 商场投入资金的月平均增长率为10%，4.解：(1)401800(2)设每件商品应降价x 元.根据题意，得(250-x-200)(30十2x)=2100,解得x1=20,x2=15..尽可能让顾客得 到实惠，∴.x=20.答：每件商品应降价20元. 第三章图形的相似 1相似多边形 第1课时成比例线段与相似多边形 1C2B3②国4解：线段a,6,d成比创号=后即号-=号d=216m 5.解：(1)四边形ABCD∽四边形A'B'C'D',.∠A'=∠A=102°，∠B=∠B=90. .∠D=360°-∠A'-∠B-∠C=48°.(2)：四边形ABCD∽四边形A'B'CD', ∴0-瓷-品∴号=C-9品c=12.cD=15. 第2课时等比性质 1.A2B3A4105解：“0=瓷=瓷=言∴”CC=宁 AB+BC+AC1 :△ABC的周长为90cm,∴AB'+BC+AC'=90cmAB+BC+AC=子(AB'+ BC'+A'C)=30cm.·△ABC的周长为30cm6.解：6S=4=a+b, 2a 26 2c .btetczatatb-2(atbio-k...k-1. 2a十2b+2c 2(a+b十c) 2探索三角形相似的条件 第1课时利用两角判定三角形相似 1.B2.AB/DE(答案不唯-）3.号4证明：∠BDE+∠C=180,∠BDE+∠ADE 180°，∠ADE=∠C.:∠A=∠A,∴.△ADE∽△ACB.5.(1)证明：AB平分∠CAD, ∴.∠CAB=∠BAD.'∠ABC=∠D=90°，∴.△ABCp△ADB.(2)解：△ABC△ADB, 部船即品9AB=25cm 第2课时利用两边及夹角判定三角形相似 1.C2.D3.24.解：△ABC∽△A'B'C.理由如下：AB=2,BC=3,A'B=12,B'C'= 18指-合=日器=晨=日0-器.：∠B=∠H=5,△AC☑ △ABC.S解：AC-2AE.AB-2D能-2：∠BAD-∠CAE∠BMD+ ∠CAD=∠CAE+∠CAD,即∠BAC=∠DAR△BACD△DAE瓷-8=2∴DE= 1.5cm. 109 第3课时利用三边判定三角形相似 1A2A324解：8-S-骺△ABC△ADE÷∠BAC=∠DAE=6 ∠BAD=20°，∠DAC=∠BAC-∠BAD=40°.5.解：△ABC∽△DEF.理由如下：由 图可知AB=2,EF=2.由勾股定理，得AC=√22十4=2√5，BC=√22十2=2√2，DF= -而E=-E品-振-架-是原倍-29-a 2 ÷品提祭△ABCn△DE 第4课时黄金分割 1.B2.B3.5-1 2 4.(15十11V)5.解：根据题意，得C≈0.618，BC=20cm ..AC≈32.36cm...AB=AC+BC≈52.4cm.答：整体作品的高AB约为52.4cm. 3相似三角形判定定理的证明 第1课时平行线分线段成比例 1C2.B3令4.解：DE/BC,DF∥AC,四边形DECF是平行四边形.∴CF=DE= 2mDF/AC8票-0即-号BF=4m5解：1A/6/提 AD=3DE=6A=45∴記=音度=(2h∥6器-是 DE' 0成E号E-婴 BE 第2课时相似三角形判定定理的证明 1.D2.D3.证明：四边形ABCD是平行四边形，.∠A=∠C.∠EDB=∠A, EDB=∠C∠DBF=∠CBD,∴△BDFn△BCD,∴BC-B部，即BD'=BC· 4.(1)证明：：CD,BE分别是AB,AC边上的高，·∠ADC=∠AEB=90°.，∠A=∠A, 六△ACD△ABE.(2)解：相似，理由如下：△ACD△ABE,AP=C.:P-AE AE=AB··AC=AB ∠A=∠A,.△AED∽△ABC 4相似三角形的性质 第1课时相似三角形中的对应线段之比 1.A2.C3.D4.645.解：∠AED=∠B,∠EAD=∠BAC,.△ADE△ACB. AF平分∠BAC怨-是即号FG=2 第2课时相似三角形的周长与面积之比 1.A2.B3.B4.85.406.4:57.(1)证明：.四边形ABCD是平行四边形，.AD∥ BC..∠ADF=∠EBF,∠DAF=∠BEF..△AFDC∽△EFB.(2)解：四边形ABCD是 平行四边形，.AD=BC.BE:CE=3:1,.BE:BC=3:4.∴.BE:AD=3:4. :AAF△EFB, AD BE ）=9Sam=5s=32am. 5图形的位似 第1课时位似图形及其性质与画法 1.D2.B3.B4.95.解：如图，△A'B'C‘即为所求.☐ 110 第2课时平面直角坐标系中的位似变化 1.C2.D3.C4.125.解：如图所示，矩形A'B'C'D'和矩形A"B"C"D"即为所求.点A' 的坐标为(-4，-2)或(4,2). yc" D 2345 第四章投影与视图 1投影 第1课时投影与中心投影 1.D2.D3.C4.解：(1)(2)如图所示. 5.解： ∠MC-∠MOp-90,∠AMC=∠OMD,△MAC△M0P.÷-8s,即2OY 8.MA=5m.同理，由△NBD∽△NOP,可求得NB=1,5m.晓明的身影变短了，变短 91 了5-1.5=3.5(m) 第2课时平行投影与正投影 1.B2.D3.B425,25.解1)如图， 2 连接AC,过点D作 7777777777777777 77 DF∥AC,交直线BC于点F,线段EF即为DE的投影.(2)：AC∥DF,∴.∠ACB= ∠DFE.:∠ABC=∠DEF=90,△ABCD△DEE.E=FF:AB=7m,BC=4五 7 4 EF=8m,心DE=8DE=14m 2视图 第1课时几何体的三视图 1.B2.B3.A4.B5.解：主视图正确，左视图、俯视图错误.正确画法如图所示. 主视图 左视图 俯视图 6.解：如图所示. 主视图 左视图 俯视图 第2课时由视图确定几何体 1.C2.D3.C4.D5.86.解：根据三视图可得该几何体是一个正六棱柱.表面积为 6×号×2X5X2+6×2×6=72+123(cm2). 第五章二次函数 1认识二次函数 1.D2.C3D4y=r+8x二次5.解：)根据题意，得m一m=0… 解得m=0. m-1≠0， 111