第3章 图形的相似 综合评价-【鸿鹄志·名师测控】2026-2027学年九年级上册数学（北师大版·新教材 贵州专版）

第三章综合评价 ( (时间：120分钟满分：150分) 州 一、选择题（每小题3分，共36分.每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只 有一个选项正确) 1.下列各组长度的线段中，是成比例线段的是 ( A.2,3,5,6 B.1,2,3,5 C.1,3,3,7 D.2,3,4,6 新 2.如图，l1∥12∥13， AB 5 BC 3,DF=24,则EF的长为 ( A.8 B.9 C.12 D.15 A D/ B 弥 B 部 (第2题图) (第3题图) (第6题图) 3.如图，已知△ABC△DCA,∠B=33°，∠D=117°，则∠BAD的度数是 ( A.1509 B.147° C.135° D.120° 4.两个相似三角形一组对应中线的长分别是2cm和5cm,其中较小三角 形的周长是10cm,则较大三角形的周长为 製 A.15 cm B.18 cm C.20 cm D.25 cm 封 5.在如图所示的三个矩形中，相似的是 h ! 4.5 4.5 ① ② ③ 芸 A.②③ B.①② C.①③ D.都不相似 6.黄金分割是汉字结构最基本的规律.如图，汉字“十”端庄稳重、舒展美观. 横竖笔画交点C恰好是线段AB的黄金分割点(AC<BC).若AB= 2cm,则BC的长为 线 A.(W5-1)cm B.(√5+1)cm C.(3-√5)cm D.(√5-2)cm 7.如图，添加下列条件后，仍不能判定△AOB∽△DOC的是 批 A.OA·CD=AB·OD B8器-8咒 C./A=/D D.∠B=∠C 5 D (第7题图) (第8题图) (第9题图) 8.如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，且OD=2AD.若BC=6, 则EF的长为 A.2 B.3 C.4 D.5 19 9.如图，∠ABC=∠E,S△ABc:S四边形BDc=1:2.若CB=√2，则DE的长为 A.√6 B.2√2 C.3√2 D.6 10.凸透镜成像的原理如图所示，AD∥l∥BC.若蜡烛(AH)到焦点(F1)的 距离与焦点(F1)到凸透镜的中心线DB的距离之比为2：5，蜡烛的高 度为6cm,则放大的实像(CG)的高度为 ) A.12 cm B.13 cm C.14 cm D.15 cm A G B F (第10题图) (第11题图) 11.如图，在△ABC中，以点C为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC,BC 于点E,F,再分别以E.F为圆心，大于EF的长为半径画孤，两孤相交 于点N,作射线CN交AB于点D,过点D作BC的平行线交AC于点 M.若BC=3,AC=2.5,则DM的长是 A.i B号 c n吉 12.如图，在矩形ABCD中，M是AD边的中点，BM⊥AC,垂足为N,连接 - DN.给出下列结论：①CN=2AN:②△AMN∽△CAB:®P= ④AY=2.其中正确的个数有 S△MAN A.1 B.2 C.3 D.4 V R B D (第12题图) (第14题图) (第15题图) (第16题图) 二、填空题（每小题4分，共16分） 1&已为知”-子则中品的值是 14.如图，请添加一个条件，使△ABC与△ADE相似，这个条件可以是 15.如图，在平面直角坐标系中，△AOB和△COD是以点O为位似中心的位似 图形，A,B两点的坐标分别为(-3,4.5)，（一6,3），点A的对应点C的坐标 是(1，-1.5)，则点D的坐标是 16.如图，在△ABC中，AC=5,BC=4,∠C=60°，D,F分别是线段BC, AC上的点（不与端点重合），∠ADF=60°，则线段CF长的最大值为 20 三、解答题（本大题共9题，共98分.解答应写出必要的文字说明、证明过程 或演算步骤) 17.(本题满分12分) (1)已知线段a,b,c,d是成比例线段，其中a=4,b=5,c=10,求线段d 的长； (2已知号-号求号去的值 2x-y 18.(本题满分10分)如图，在边长为1的正方形网格中，△ABC的顶点均 在格点上，O为平面直角坐标系的原点.已知点A1的坐标为(0,3)， △ABC三个顶点的坐标分别为A(0,1),B(2,2),C(3,1) (1)若点A1是点A以原点O为位似中心的对应点，画出△ABC以原点 O为位似中心的位似图形△A1BC1,并写出点B,C的对应点B1,C 的坐标； (2)△A,B,C1与△ABC的周长比为 19.(本题满分10分)如图，在菱形ABCD中，E是BC边上一点，连接AE, DE,∠AED=∠B. (1)求证：△ABE△DEA; (2)若AE=4,AB=6,求△ABE与△DEA的面积比. 21 20.(本题满分10分)如图，AD,BC相交于点E,AB∥CD∥EF,点B,F,D 在同一条直线上，AB=10,CD=15. 1)求票的值： (2)求EF的长. 21.(本题满分10分)如图，在△ABC中，∠A=2∠B. (1)利用尺规作图，过点A作一条射线AD,使其交BC于点D,且使 △ABCp△DAC(不写作法，保留作图痕迹)； (2)若CD=4,BD=5,求AC的长. 22.(本题满分10分)安顺白塔又叫望城塔，位于安顺新大十字的西秀山上， 始建于元泰定三年(1326年)，是安顺三大元代建筑之一.小聪来游玩白 塔后，很想知道白塔的高度，于是他用所学的知识进行测量求解，测量 方法如下，如图所示，先在点A处放一平面镜，小聪站在距点A1m 的点B处，恰好在平面镜中看到塔的顶部点M,再将平面镜沿NA方向 移动3.6m至点D处（即AD=3.6m),小聪站在距点D1.6m的点E 处，恰好再次在平面镜中看到塔的顶部点M,已知小聪眼睛到地面的距 离CB=FE=1.7m,请根据题中提供的相关信息，求白塔的高度MN (平面镜大小忽略不计). ED BA 22 23.(本题满分12分)如图，已知点C,D在线段AB上，且△PCD是等边三 角形，△ACP△PDB. (1)求∠A与∠B的度数和； (2)求证：CD=AC·DB; (3)若CD=2,∠A=30°，求△PAB的面积. D B 24.(本题满分12分)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm,BC= 8cm,动点P从点B开始沿BC边向点C运动，速度为2cm/s,动点Q 从点C开始沿CA边向点A运动，速度为1cm/s.如果P,Q两点同时运 动，一点运动到终点，另一点随之停止.设运动时间为ts (1)用含t的代数式表示CP=,CQ= (2)是否存在时间t,使得S△cQ=5cm,若存在，请求出时间t:若不存 在，请说明理由； (3)当t为何值时，△PCQ与△ABC相似. B —23- 25.（本题满分12分)【问题背景】如图，正方形ABCD的边长为8，E是边 BC的中点，点P在射线AD上，过点P作PF⊥AE于点F,连接PE. 【初步探究】 (1)求证：△PFA∽△ABE. (2)若点P在AD边上运动，且S五边形mcEr=44,直接写出△PFA与 △ABE的相似比. 【拓展提升】 (3)当点P在射线AD上运动时，PA=x,是否存在实数x,使得以点P, F,E为顶点的三角形与△ABE相似？若存在，请求出x的值；若不 存在，请说明理由。 D B EC 备用图 -24AB=15,BD=OA=8,∴.CD=OC-OD=6.在Rt△BCD中，BC=√/BD+CD=√/8+6= 1.AB∥OC,即BM∥CN,.当BM=CN时，四边形MNCB为平行四边形.，BM=15 t,CV=2t,.15-t=2t,解得t=5.此时CV=5×2=10..BC=CN,.四边形MNCB是菱 形.∴.当t=5时，四边形MNCB为菱形， 第三章综合评价 1.D2.B3.B4.D5.A6.A7.A8C9.A10.D11.A12.C13.3 7 14∠B=∠D答案不唯-）15，(2，-1)16号 17.解：(1)a,b,c,d是成比例线段， 号=分a=4,6=5=10-d=2)号=y=3,原式= +6工=7工=-7.18.解：1)如图，△ABG即为所求.牛 2x-3x -x 点B,C 的坐标分别为B1(6,6),C(9,3).(2)3:119.(1)证明：四边形ABCD是菱形，.BC∥AD. ∴∠AEB=∠DAE.:∠B=∠AED,.△ABED△DEA.(2)解：：四边形ABCD是菱形， 六AD=AB=6,hI)知△AE△DBA.誉=(5)=（台）=青20解：1 :AB/CD∠A=∠CDE,∠ABE=∠C△ABE△DE8器-部-沿=号又 :CD∥ER,∴-8-号.(2)：CD∥ER,∠BEF=∠C又：∠EBF=∠CBD, △n△D器既票=号器=号需=号EF=台CD=6 21.解：(1)如图，射线AD即为所求 (2:△AB△DAC瓷-：BD= 5,CD=4BC=CD+BD-4+5=94C-是AC=36.∴AC=6.2.解：根据题意. 得∠BAC=∠NAM,∠AC=∠ANM,:△AMNO△ACB.器-器即=4 1 “∠EDF=∠NDM,∠DEF=∠DNM,△MNDO△FED,.-B,即 2AN-3ANAN=6=年MN=102m答：白塔的商度 1.6 1 1.6 MN为10.2m.23.(1)解：：△PCD是等边三角形，.∠PDC=60°.△ACP∽△PDB, ∠A=∠BPD.:∠PDC=∠BPD+∠B=60°，∠A十∠B=60°.(2)证明：△ACP∽ △PDBS品AC·BD=PC:PD,:△PCD是等边三角形，PC=PD=CD .PC·PD=CD..CD=AC·DB.(3)解：过点P作PE⊥CD于点E,则∠PEC=90° :△PCD是等边三角形，CD=PC=PD=2,CE=CD=1.∴PE=√PC-CE= :∠ACP=180°-∠PCD=120°，∠A=30°，.∠APC=180°-∠A-∠ACP=30. ∠APC=∠AAC=PC=2.:AACP△PDB品-品：号=品BD-2, ∴AB=AC+CD+BD=6∴Su=号AB·PE=号×6XB=3反.24.解：1(8-2Dcm tcm(2):Saa=5cm,2(8-2)X1=5.整理，得F-41+5=0.4=(-4)2-4X1× 5=16-20=-4<0,.方程无实数根.∴.不存在时间t,使得S△Q=5cm.(3)当△PCQ∽ △BCA时，则瓷-器：8g=专，解得1=号.当△PCQ∽△ACB时.则张-品， 8 :8。=言解得1器综上所述，当：的值为号：或号：时，△PCQ与△AC相似， 25.解：(1)在正方形ABCD中，AD∥BC,∠B=90°，.∠PAF=∠AEB..PF⊥AE, 91 ∠PFA=90,∠PFA=∠B△PFAO△ABE.(2)△PFA与△ABE的相似比为号 (3)存在.①若△EFP∽△ABE,则∠PEF=∠EAB,∴.PE∥AB.AD∥BC,∴.四边形 ABEP为平行四边形.：E是边BC的中点∴EB=号BC=4,PA=EB=4x=4.@若 △PFB△ABE.则∠PEF=∠AEB,-嚣：∠PAP=∠AEB∠PEF=∠PAR, ∴PE=PA.:PFLAE,EF=AE.:AE=VAB+BE=4厅，EF=号AE=2厅， 5PE-2,PE=10,心PA=0,即=0.综卫所述，满足条件的x的值为4或0 4√5 阶段综合评价（二）[期中] 1.C2.B3.A4.C5.D6.A7.A8.A9.D10.B11.D12.C13.DE∥BC(答案 不唯一)14.315.x1=一2，x2=一616.117.解：(1)原方程可变形为x(x一3)一(2x一6)= 0,-3)x-2)=0.x-3=0,或x-2=0.1=3=2.(2:号-台-台≠0设 号=号号=0.=k6=5=6k“4-装=兰.18.解：1)咖 6k 6k 图，△ABC和△A1BC为所作.(2)如图，△A2B2C2为所作. B 4 o 6-5-4-3-2-1123456x B4 19.解：(1)根据题意，得△=(2m)-4(m十m)≥0，解得m≤0.(2)根据题意，得十x2= -2m,x1x=m2+m.xi十x=(x1十x2)2-2xx2=12,.(-2m)2-2(m2十m)=12,即 m2-m-6=0.解得m1=-2,2=3.m≤0，.m的值为-2.20.解：(1)正确正确 (2)我选择嘉嘉的思路：证明：四边形ABCD是菱形，∴.AB=CD,AB∥CD.:FA=EC, .BF=DE.∴四边形BFDE是平行四边形.：BE⊥CD,∠BED=90°，∴四边形BFDE是 矩形.（答案不唯一，选一个思路即可）21.(1)证明：：CD是斜边AB上的高，∴∠ADC= ∠BDC=90°，∠A+∠ACD=90°.：∠ACB=90°，.∠ACD+∠BCD=90°，∴∠A= ∠BCD..△ACD△CBD.(2)解：：BD=2,AB=8,∴.AD=AB-BD=8-2=6. △ACn△CBD,8品品罗CD=12.CD=2E.∴Sa=合AB CD=8√5.22.(1)证明：：四边形ABCD是矩形，.AB∥CD,CD=AB=4,∠B=90°. :BE=DF=兰AB-BE=CD-D,即AE=CF=号.∴四边形AECF是平行四边形. 在R△BCE巾，CE=√BE+BC-号.∴CE=AE.四边形AECF是菱形.(2)解：连接 AC.在R△ABC中，AC=√AB+BC=25.:S影F=号AC,EF=AE·BC,∴EF= 2AE,BC=5.23.解：（任务1）设从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均 AC 增长率为x,根据题意，得3(1十x)2=5.07.解得x1=0.3=30%,x2=一2.3（不符合题意， 舍去).答：从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为30%.（任务2）设 下调后每辆汽车的售价为y万元.根据题意，得(y一15(3+2×1）=86.解得1=21， =23.此次销售尽量让利于顾客，·y=21.答：下调后每辆汽车的售价为21万元. 24.(1)证明：：四边形ABCD是正方形，∴∠A=∠B=90°.∠APQ十∠AQP=90,,PE PC,∴∠CPE=90°..∠APQ+∠BPC=90°，.∠AQP=∠BPC.∴.△APQ∽△BCP (2)解：Saw:Sm=1:16,△APQ0△BCP,六8=C=子设BP=则AP 4-,=子，解得r=3.AQ=是.（3)解：当点P运动到边AB的中点时，△PCQ 4 AQ- △BCP,理由如下：P是AB的中点∴AP=BP=号AB=2.:△APQ△BCP,÷ 92 C即9是AQ=1.∴PQ=AP+AQ=后，PC=BP+C=2后.器 2 B瓷-9.又：∠CpQ=∠B=90,∴△PcQn△CP. 25.解：(1)①补全证明过程如下： Sa的形N=S话N十SAN=S5N十SAoN=Sa意r=子S元D.即正方形 A'B'C'O绕点O无论怎样旋转，两个正方形重叠部分的面积总等于一个正方形面积的四分 之一.②9(2)如答图，构造正方形DEFG,点B为正方形对角线的交点，则 DF=BG=2BD=40.∴S=号DF=号×40X40=80.:∠ABC 90,.ABLBC.由1).得San=子S元=子×800=20.(3)AD 1 答图 CD=√2BD.理由如下：如答图，：四边形DEFG是正方形，∴.BE=BD,∠BEA=∠BDC= 45°，DF⊥EG,∠EBD=90°.∴.∠ABE十∠ABD=90°..∠ABC=90°，∴.∠CBD十 ∠ABD=90°..∠ABE=∠CBD...△ABE≌△CBD..AE=CD...DE=AD+AE= AD+CD.在Rt△DBE中，BD+BE=DE,.2BD=(AD+CD)2.∴.AD+CD=√2BD. 第四章综合评价 1.D2.A3.A4.A5.B6.D7.C8.D9.A10.C11.D12.C13.灯光 14.圆锥15.S4<S2<S116.6或7或817.解：(1)如图所示 (2)主视图正确，左视图、俯视图错误：左视图改为 ,俯视图改为☐☐.18.解：(1)圆 维(2)圆锥体的表面积为号×10×元X13十xX5=65元十25元=90x(cm).19.解：1)乙 1.6x (2)设大树的高度为xm.依题意，得：22解得x=9.6.答：大树的高度为9.6m 20.解：(1)上面的长方体的长为6mm,宽为2mm,高为6mm,下面的长方体的长为10mm, 宽为9mm,高为2mm.(2)这个立体图形的体积为6×2×6+10×9×2=252(mm3). 21.解：(1)如图所示. 主视图 左视图 (2)222.解：(1)16√2(2)过点E作EF⊥AB于点F.易得四边形DEFB是矩形，∴.EF BD=16区，DE=BR,:物高与影长的比是1：2小票=合AF=合EF=8万m .DE=BF=AB-AF=(16-8√2)m.答：落在乙楼上的影子DE的长为(16-8√2)m. 23.解：(1)补全图形如图所示」 主视图 左视图俯视图 (2)①这个鲁班锁的体积为2×6×3-2×2=56.②这个鲁班锁的表面积为5m2×6= 30m2.24.解：(1)圆柱(2)2×π× 20 十π×20×40=1000π.(3)如图 圆 桌在地板上的投影是面积为0.81πm的圆，.πDE=0.81π，.DE=0.9m,BC∥DE AABC△ADE0器：aD-89AD= 年m,答：吊灯距地面的高度为 9 4m. 25.解：(1)如图所示. (2)D(3)由题意，得CD∥EF∥AB, 93