第1章 特殊平行四边形 综合评价-【鸿鹄志·名师测控】2026-2027学年九年级上册数学（北师大版·新教材 贵州专版）

第一章综合评价 (时间：120分钟满分：150分) 一、选择题（每小题3分，共36分.每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只 州 有一个选项正确) 1.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AD=DB,CD=5,则AB的长为 北 A.10 B.8 C.6 D.5 D (第1题图) (第3题图) (第4题图) 2.菱形、矩形和正方形都具有的性质是 A.四个角相等 B.对角线相等 部 C.对角线互相垂直 D.对角线互相平分 3.我国古代有“不以规矩，不能成方圆”的说法，人们把“规矩”当作几何名词， “规”是圆，“矩”是方，所以初中以后就把长方形改为比较专业的名称“矩 形”.木艺活动课上，小明用四根细木条搭成如图所示的一个四边形，现要 判断这个四边形是否为矩形，下列测量方案正确的是 ) A.测量是否有三个角是直角 B.测量对角线是否相等 苹 C.测量两组对边是否分别相等 D.测量对角线是否互相垂直 4.如图，矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,∠AOD=120°，AB=2, 封 则AC的长为 ( A.23 B.4 C.4√3 D.8 5.如图，将一张矩形纸片对折，然后沿着图中的虚线剪下，得到①②两部分， 将①展开后得到的平面图形是 芸 A.三角形 B.不规则的四边形 C.菱形 D.一般平行四边形 D 线 (第5题图) (第6题图) (第7题图) 6.如图，P为正方形ABCD内一点，连接PA,PB,PC,PD,∠PBC= ∠PCB=60°，则图中的等腰三角形（含等边三角形）共有 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 7.如图，在菱形ABCD中，∠ABC=80°，BA=BE,则∠BAE等于 ( A.70 B.40° C.759 D.30 5 8.如图，AC,BD是四边形ABCD的对角线，E,F分别是AD,BC的中点， M,N分别是AC,BD的中点.若AB=CD,AB⊥CD,则四边形EMFN 的形状是 ( A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形 图① 图② (第8题图) (第9题图) (第10题图) 9.图①是油纸伞展开后的剖面图，图②是油纸伞收起后的剖面图.已知B, E分别为AC和AF的中点，四边形ABDE是边长为4的菱形，且∠CAF= 120°，D为撑杆AM上可移动的点.当伞从展开状态到收起状态的过程中，点 D移动的距离是 A.2 B.4 C.6 D.8 10.如图，在矩形COED中，点D的坐标是(1,3)，则CE的长是 A.3 B.2√2 C.w10 D.4 11.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,AB=5,以A为圆心，以适当的长为 半径作圆弧，分别交AB,AD于点M,N,分别以M,N为圆心，以大于 号MN的长为半径作圆弧，两弧相交于点G:作射线AG交BC于点E,作 EF∥AB交AD于点F.若AE=6,则四边形ABEF的面积等于( ) A.48 B.24 C.30 D.15 ) E (第11题图)（第12题图）（第13题图） (第14题图) 12.如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AD=2,E,F分别是AB,AD的中点，DE, BF相交于点G,连接BD,CG,有下列结论：①∠BGD=120°；②BG+DG= CG;③△BDF≌△CGB;④S△BD=√5.其中正确的结论有 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 二、填空题（每小题4分，共16分） 13.如图，在矩形ABCD中，AC与BD交于点O,请添加一个条件： ,使四边形ABCD是正方形 14.如图，正方形ABCD的对角线BD是菱形BEFD的一边，且点C在BE 上，连接BF,则∠FBC的度数是 15.“方胜”是我国古代的一种首饰，它是由两个正方形的重叠相连而成，寓 意同心吉祥.如图，将边长为4cm的正方形ABCD沿对角线AC方向平 移1cm得到正方形AB'C'D',形成一个“方胜”图案，则点C和点A'之 间的距离为 cm. (第15题图) (第16题图) 16.如图，在矩形ABCD中，AB=5,BC=12,E是边AD上的一个动点，将 △ABE沿BE折叠得到△FBE,连接DF,则线段DF长的最小值为 2 三、解答题（本大题共9题，共98分.解答应写出必要的文字说明、证明过程 或演算步骤) 17.(本题满分12分) (1)如图，在Rt△ABC中，DC是斜边AB上的中线，EF过点C且平行 于AB.若∠BCF=35°，求∠ACD的度数. (2)如图，在矩形ABCD中，AC与BD交于点O,AB=6,BC=8.求 △BOC与△DOC的周长之差. 18.(本题满分10分)如图，在矩形ABCD中，点M在DC上，AM=AB,且 BN⊥AM,垂足为N. (1)求证：△ABN≌△MAD; (2)若AD=6,AN=8,求MN的长 19.(本题满分10分)【阅读材料】 老师的问题： 小明的作法： 已知：如图，矩形ABCD. (1)以A为圆心，AB长为半径画 求作：正方形ABEF,使点E,F分 弧，交AD于点F; 别在BC,AD上. (2)以B为圆心，AB长为半径画 D 弧，交BC于点E; (3)连接EF. B 0 【解答问题】 请你根据材料中的信息，证明四边形ABEF是正方形. 20.(本题满分10分)如图，在正方形ABCD中，点E是BC上的一点，点F 是CD延长线上的一点，且BE=DF,连接AE,AF,EF (1)求证：△ABE≌△ADF; (2)若AE=5,请求出EF的长. 21.(本题满分10分)如图，在四边形ABCD中，对角线AC,BD相交于点 O,AO=CO,BO=DO,且∠ABC=90°. (1)求证：四边形ABCD是矩形； (2)若∠ACB=30°，求∠AOB的度数. B 22.(本题满分10分)如图，在四边形ABCD中，AB∥DC,AB=AD,对角线 AC,BD交于点O.有下列条件：①AD∥BC,②AB=CD. (1)请从以上①②中任选1个作为条件，求证：四边形ABCD是菱形： (2)在(1)的条件下，若菱形ABCD的面积为24，BD=6,求菱形ABCD 的边长. 4 23.(本题满分12分)将正方形ABCD和菱形EFGH按照如图所示摆放， 顶点D与顶点H重合，菱形EFGH的对角线HF经过点B,点E,G分 别在AB,BC上 (1)求证：△ADE≌△CDG; (2)若AE=BE=2,求BF的长. D(H) 24.(本题满分12分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，过点C的直线 MN∥AB,D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC,交直线MN于点E, 垂足为F,连接CD,BE. (1)求证：CE=AD. (2)当D是AB的中点时，四边形CDBE是什么特殊四边形？说明 理由。 (3)在满足(2)的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形CDBE是 正方形？请说明你的理由， -5 25.(本题满分12分)如图①，已知点E是正方形ABCD内一点，连接BE,将 线段BE绕点B按顺时针方向旋转90°得到BF,连接AE,CF. 【问题发现】 (1)如图①，线段AE与CF的数量关系是 ,线段AE与CF的 位置关系是 【问题探究】 (2)如图②，点E为正方形ABCD外一点，将BE绕点B按顺时针方向 旋转90°得到BF,连接AE,CF,探究线段AE与CF的数量及位置 关系，并说明理由 【拓展延伸】 (3)如图③，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC,点D为△ABC外 点，且∠BDC=45°，点O为AC的中点，连接OD,BD,CD.若OD= 13,BD=7√2，求CD的长. 女红乌 图① 图② 图③ -6综合评价答案 第一章综合评价 1.A2.D3.A4.B5.C6.D7.A8.D9.B10.C11.B12.C13.AB=BC (答案不唯一)14.22.5°15.(4√2-1)16.817.解：(1)：AB∥EF,∠B=∠BCF= 35°.DC是斜边AB上的中线，.DC=DB..∠DCB=∠B=35°.∠ACB=90°， ∠ACD=90°-35°=55°.(2)：四边形ABCD为矩形，.CD=AB=6,OB=OD.∴.C△c CAx=(OB+OC+BC)-(OD+OC+CD)=BC-CD=2.∴.△BOC与△DOC的周长之差为 2.18.(1)证明：在矩形ABCD中，∠D=90°，DC∥AB,∴.∠BAN=∠AMD.·BN⊥AM, ∠BNA=90°.∴∠BNA=∠D.又：AB=AM,∴.△ABN≌△MAD(AAS).(2)解： :△ABN≌△MAD,∴.MD=AN=8.在Rt△MAD中，AD=6,.MA=√/MD+AD √/8+62=10.∴.MN=AM-AN=10-8=2.19.证明：：四边形ABCD是矩形，.∠A= 90°，AD∥BC.由作图知，AB=AF=BE,.AF=BE,AF∥BE..四边形ABEF是矩形. :AB=AF,.四边形ABEF是正方形.20.解：(1)：四边形ABCD是正方形，∴.AB= AD,∠ABC=∠ADC=90°.∴.∠ADF=90°.又BE=DF,∴.△ABE≌△ADF(SAS). (2):△ABE≌△ADF,AF=AE=5,∠BAE=∠DAF.:四边形ABCD是正方形， .∠BAD=90°，即∠BAE+∠EAD=90°.∴.∠DAF+∠EAD=90°，即∠EAF=90°.∴.EF= √/AE+AF=√⑤+5=5√2.21.(1)证明：AO=CO,BO=DO,∴.四边形ABCD是平 行四边形..∠ABC=90°，.四边形ABCD是矩形.(2)解：·∠ABC=90°，∠ACB=30°， ∠BAC=60.,在矩形ABCD中，OA=OB,∴.△OAB是等边三角形..∠AOB=60°. 22.解：(1)选择②AB=CD.证明：AB∥CD,AB=CD,.四边形ABCD是平行四边形. :AB=AD,四边形ABCD是菱形，（答案不唯一）(2)：Sm=号BD·AC=24,且 BD=6,∴号×6AC=24.AC=8.0A=0C=合AC=4,0B=0D=号BD=3.AB= √OA十OB=√4+3=5.∴菱形ABCD的边长是5.23.(1)证明：：四边形ABCD是 正方形，四边形EFGH是菱形，.∠A=∠C=90°，AD=CD,ED=GD.∴.Rt△ADE≌ Rt△CDG,即△ADE≌△CDG.(2)解：过点E作EQ⊥DF于点Q,则∠EQB=90°.：四边 形ABCD是正方形.∠A=∠ABC=90,AD=AB=AE+BE=4,∠EBQ-号∠ABC 45°..∠QEB=90°-∠EBQ=45°=∠EBQ..EQ=BQ..BE=2,.EQ+BQ=BE,即 2EQ=2,∴EQ=BQ=√2（负值已舍去）.在Rt△DAE中，DE=√AD+AE=2√5.：四 边形EFGH是菱形，.EF=DE=2√5.QF=√EF-EQ=3√2.∴.BF=QF-BQ= 2√2.24.(1)证明：：DE⊥BC,∠DFB=90°.∠ACB=90°，∴∠ACB=∠DFB.∴.AC∥ DE.:MN∥AB,即CE∥AD,∴.四边形ADEC是平行四边形.∴.CE=AD.(2)四边形 CDBE是菱形.理由如下：D为AB的中点，.AD=BD.CE=AD,.BD=CE.BD∥ CE,∴四边形CDBE是平行四边形.：∠ACB=9O,D为AB中点，.CD=号AB=BD. .四边形CDBE是菱形.(3)当△ABC是等腰直角三角形时，四边形CDBE是正方形.理由 如下：：△ABC是等腰直角三角形，D为AB的中点，∴CD⊥AB.∴∠CDB=90.又由(2) 知，四边形CDBE是菱形，.四边形CDBE是正方形.25.解：(1)AE=CFAE⊥CF (2)AE=CF,AE⊥CF.理由如下：：四边形ABCD是正方形，.AB=BC,∠ABC=90°.由 旋转的性质，得BE=BF,∠EBF=90°，.∠ABE=∠CBF=90°十∠CBE..△ABE≌ △CBF.∴AE=CF,∠E=∠F.设AE与CF相交于点H,BE与CF相交于点G,如图②. :∠EGF=∠E+∠EHG=∠F+∠EBF,∴.∠EHG=∠EBF=90°，∴AE⊥CF,.AE= CF,AE⊥CF.(3)过点B作BE⊥BD,交DC的延长线于点E.连接AE,取CE的中点H,连 接OH,如图③.点O为AC的中点，∴.OH=号AE,OH∥AE.:∠BDC=45°，BE⊥BD, .∠BED=45°=∠BDC..BE=BD=7WE.∴.DE=W√BD+BE=14,:BE⊥BD, ∠ABC=90°，.∠ABE=∠CBD=90°-∠CBE.在△ABE和△CBD中，：BE=BD, ∠ABE=∠CBD,AB=CB,.△ABE≌△CBD..AE=CD=2OH,∠AEB=∠BDC=45 .CE=DE-CD=14-2OH,∠AED=∠AEB十∠BED=90°.H为CE的中点，∴.HC= -88 2CE=7-OH,HD=CD+CH=7+OH.“∠AED=0,OH/AE∠OHD=90.在 Rt△OHD中，OD=OH+HD,∴.132=OH+(7+OH)2.∴.OH=5,或OH=-12(不合 题意，舍去)..CD=AE=2OH=10. G\H 图② 图③ 第二章综合评价 1.C2.B3.B4.D5.A6.C7.C8.A9.D10.D11.D12.A13.x2-2x=0 (答案不唯-）14.n≥-115.x=2,或x=-216.号 17.解：(1)移项，得x十6x= 2.配方，得十6x十（号）=2+（受），即(x十3)炉=11.两边开平方，得x十3=±，即 x十3=√I,或x+3=-√..x=-3+√I,x=-3-√/1T.(2):关于x的方程(a-3) x2-ia+8+(a十2).x十5=0是一元二次方程，a2-5a十8=2，且a-3≠0，解得a1=2,a2=3 (舍去).∴.a=2.18.解：(1)小敏错误的原因是方程两边都除以(x一3)，导致方程失根；小霞 错误的原因是去括号时，括号中的第二项未变号.(2)正确的解答过程如下：原方程可变形为 3(x-3)-(x-3)2=0,(x-3)(3-x十3)=0.x-3=0,或3-x十3=0.x1=3,x2=6. 19.解：(1)(18-2x)m(2)根据题意，得x(18-2x)=36.解得x1=3,x2=6.当x=3时，18 2x=18-2×3=12>10,不符合题意，舍去：当x=6时，18-2.x=18-2×6=6<10,符合题 意..BC=6m.20.解：(1)，△=b2-4ac=[-(k十1)]2-4×1×(2k-2)=(k-3)2≥0， 心方程有两个实数根.(2)由(1)知4=(k-3),x=二[-+1)门=3) 2 十1±k一3》，即x=k-1,=2.:方程有一个根小于2，k-1<2,解得<3. 2 21.解：(1)3x2十4x十1=0是“凤凰方程”.理由如下：：a=3,b=4,c=1,∴.a-b十c=3-4十 1=0..3x2十4x十1=0是“凤凰方程”.(2).x2十m.x一5=0是关于x的“凤凰方程”，a=1, b=m,c=-5,.1-m十(-5)=0，解得m=-4.22.解：(1)当AB=AD时，四边形ABCD 是菱形，即方程r-mx十受-子=0有两个相等的实数根4=（一m)2一4（受-宁） 0,解得m=m2=1.∴.当m=1时，四边形ABCD是菱形.(2)由根与系数的关系，得十= m=-子a-3》(-8》=-3(十)十9=5m受-号-8m十9= 7 5m,解得m=6,23.解：（任务1）设10,11两个月“贵州千户苗寨三日游”旅行活动报名 人数的月均增长率为.根据题意，得1000(1十r)2=1440.解得n=0.2=20%,r2=-2.2 (不符合题意，舍去).答：10,11两个月“贵州千户苗寨三日游”旅行活动报名人数的月均增 长家为20%.（任务2）设下调后每人的团费为x元.根据题意，得x(40+090） 40000.解得x1=800,x2=500.:x≥700，∴.x=800.答：下调后每人的团费为800元. 24.解：(1)24(2)x2+16x-5=x2+16x+82-69=(x+8)2-69.:(x+8)≥0，.(x十 8)-69≥-69.∴.当x=-8时，x2+16x-5有最小值，最小值为-69.(3)S>S2.理由如下： 由题意，得S=(3a十2)(2a十5)=6a2十19a十10，S2=5a(a十5)=5a十25a,.S1-S2= 6a2十19a十10-5a2-25a=a2-6a十10=(a-3)2十1..(a-3)2≥0，∴.(a-3)2十1>0. S一S2>0..S>S2,25.解：(1)在直角三角形ABC中，根据勾股定理，得BC+ AC=AB.·()十=（台十AD）·整理，得AD十aAD=.对于形如x十ax= 的方程中一个正根是线段AD的长.(2)2x+10√61-5(3)：x2+2x-4=0,.x2+ 2x=4.方法一：如答图①，作直角三角形ABC,其中∠C=90°，AC=2,BC=1,在斜边AB上 截取BD=BC.在Rt△ABC中，AB=√AC+BC=√A+I=√5..AD=AB-BD=5 1..该方程的其中一个正根为AD的长，即为√5一1.方法二：如答图②，用4个长都是x十 -89 2,宽都是x的矩形拼成大的正方形.x2十2x=4,x(x十2)=4.∴.一个矩形的面积是4. .(2x十2)2=4×4十22=20.∴.(x十1)2=5..该方程的一个正根为5-1. 1” x+2 +2 2 x+2 x 答图① 答图② 阶段综合评价（一） 1.B2.C3.B4.A5.A6.A7.C8.A9.A10.D11.B12.D13.-214.24 15=1空-15161.51n.解：1原方程可变形为一3》+x一3=0 2 3)(x十1)=0.x-3=0,或x十1=0.x1=3,x2=-1.(2):x1=-1是关于x的方程x2十 mx一5=0的一个根，设另一个根为x2,.x1x2=-5,解得x2=5,该方程的另一个根是5. 18.解：(1)三(2)移项，得2x2十4x=8.两边都除以2，得x2十2x=4.配方，得x2十2x十12 =4十12，即(x十1)2=5.两边开平方，得x+1=士5，∴x1=-1十√5，x2=-1-√5. 19.(1)证明：四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD,OA=OC..∠EAO=∠FCO.又 :∠AOE=∠COF,∴.△AEO≌△CFO(ASA).(2)解：添加EF⊥AC.理由如下：由(1)知， △AEO≌△CFO,.OE=OF.又OA=OC,.四边形AECF是平行四边形.又.EF⊥AC, .四边形AECF是菱形.20.(1)证明：，△=[-(m-3)]-4×1×(-m)=m2-2m十 9=(m一1)2十8>0，方程有两个不相等的实数根，(2)解：方程的两实数根为x1,x2, x1十x2=m-3,1x2=-m.xf十x号-x1x2=7,.(x1十x2)2-3x1x2=7,∴(m-3)2- 3×(一m)=7,解得m1=1,m2=2.即m的值是1或2.21.(1)证明：四边形ABCD是正 方形，△EBC是等边三角形，∴·.BA=BC=CD=BE=CE,∠ABC=∠BCD=90°，∠EBC= AB=DC. ∠ECB=60°.，.∠ABE=∠DCE=30°.在△ABE和△DCE中，∠ABE=∠DCE, BE=CE, ∴△ABE2△DCE(SAS.(2)解：BA=BE,∠ABE=30,∠BAE=号×(180 ∠ABE)=75.:在正方形ABCD中，∠BAD=90°，∴∠EAD=∠BAD-∠BAE=90° 75°=15°.同理，∠ADE=15°，.∠AED=180°-∠EAD-∠ADE=180°-15-15°=150. 22.解：(1)设该款火腿销售量的月平均增长率为x.由题意，得150(1十x)=216.解得x1= 0.2=20%,x2=一2.2（不合题意，舍去）.答：该款火腿销售量的月平均增长率为20%. (2)设该款火腿的实际售价为y元/kg.由题意，得(y-120)[200一2(y-160门=9800.整理， 得y2-380y十36100=0.解得M=y2=190.答：该款火腿的实际售价应定为190元/kg. 23.(1)证明：·CE平分∠ACB,.∠ACE=∠ECB..MN∥BC,.∠ECB=∠OEC .∠ACE=∠OEC.∴.OE=OC.同理可得OC=OF,∴.OE=OF.(2)解：CE,CF分别平分 ∠ACB和∠ACD,·∠ACE=∠ACB,∠ACF=专∠ACD.∠ACE+∠ACF= ∠BCD=号×180=90.&EF=VCE+CF=2+5=13.由(1)，得0C=0E- 2 OR,OC-号EF=65.(3)解：当0在AC的中点时，四边形ABCF是矩形.理由如下：当 O为AC中点时，则OA=OC.由(1)可知，OC=OE=OF,.OA=OC=OE=OF..四边形 AECF为平行四边形，AC=EF..四边形AECF为矩形.24.解：(1)113(2)a十十4b- 8a+11=a2-8a+16+B+46+4-9=(a-4)2+(b+2)2-9..(a-4)≥0，(b+2)≥0，∴.a2+6 十4b-8a+11=(a-4)2+(b+2)2-9≥-9..代数式a2+b2+4b-8a十11的最小值 为-9.(3Sasm=SD十Sam=号BD.0A+号BD·0C=号BDOA+OC)=号BD: AC设BD=x,则AC=12-xSam=x12-）=-(x-12)=-7[(x 62-36]=-7（x-6P+18.”-号（x-6≤0，Ssww=-7（x-6P+18≤18. .四边形ABCD面积的最大值为18.25.解：(1)(2,8)(17,0)(2)当t=7时，四边形 AONM是矩形.(3)在运动过程中，四边形MNCB能为菱形.由题意可知OA=8,AB=15. 如图，川 过点B作BD⊥OC于点D,易得四边形AODB是矩形，.OD= M Cx 90