第1章 1 认识特殊的平行四边形（PDF部分书稿）-【鸿鹄志·名师测控】2026-2027学年九年级上册数学（北师大版·新教材 贵州专版）

第 新知导学 ··◆预习新知 ▣新知梳理 ①有一组 相等的平行四边形 叫作菱形；有一个角是 的平 行四边形叫作矩形；有一组 相等，并且有一个角是 的平 行四边形叫作正方形 ②菱形、矩形、正方形具有一般平行四 边形的所有性质，即对角 对角线 ,且它们都是轴 对称图形，菱形、矩形都有 条 对称轴，正方形有 条对称轴. ☑例题引路 【例1】如图，在□ABCD中，AB=AD 下列说法错误的是 A.∠A=∠C B.AB=BC C.□ABCD是菱形 D.□ABCD没有对称轴 【学生解答】 【例2】如图，在正方形ABCD中，AD CD,∠B=90°，点E在边AB上，点F 在边BC的延长线上，且∠EDF=90°. 求证：DE=DF. 【方法点拨】在正方形ABCD中，易得 ∠ADC=∠B=∠A=∠DCF=90°，结 合∠EDF=90°，可得∠ADE=∠CDF. 又AD=CD,可证△ADE≌△CDF,从 而得DE=DF. 【学生解答】 章特殊平行四边形 认识特殊的平行四边形 【基础过关 ●●●逐点击破 知识点1特殊的平行四边形的概念 1.已知四边形ABCD是平行四边形，若∠A=90°，则四边 形ABCD是 A.梯形 B.菱形 C.矩形 D.正方形 2.如图，在☐ABCD中，AB<BC,将线段AB沿BC向右 平移得到线段EF. (1)若EF=CE,则四边形CEFD是菱形，即 相等的平行四边形是菱形； (2)若EF=CE,且AD⊥CD,则四边形CEFD是 形 C 手柄 D (第2题图) (第4题图) 知识点2特殊的平行四边形的共性 3.下列图形是中心对称图形但不一定是轴对称图形的是 ( ) A.正方形 B.矩形 C.菱形 D.平行四边形 4.千斤顶情境化汽车常备的一种千斤顶的示意图如图所 示，其基本形状是一个菱形ABCD,AB=BC,中间通过 螺杆连接，转动手柄可改变∠BCD的大小（菱形的边长 不变).当∠BAC=26时，∠ADC的度数为 5.如图，在矩形ABCD中，∠B=90°，点E,F在边BC上，连 接AE,DF,∠BAE=∠CDF.求证：△ABE≌△DCF. 第一章特殊平行四边形1 口能力提升 ~>>整合运用 6.如图，在正方形ABCD中，AB=BC,∠B= 90°，点E在AD的延长线上，连接CE.若 BC=3,CE=5,则DE的长为 A.2 B.3 C.34 D.4 7.如图，在菱形ABCD中，AB=BC,P是BD 上一点，PE⊥AB于点E,且PE=4,则点P 到BC的距离为 A.4 B.6 C.8 D.10 以 O (第7题图) (第8题图) 8.如图，在矩形ABCD中，∠D=90°.若A(4,1), B(0,1),C(0,3),则点D的坐标为 9.(教材P4习题T2变式)如图，在菱形ABCD 中，AB=AD,E,F是对角线AC上两点，AE= CF,连接DE,DF.求证：∠ADF=∠CDE 10.如图，在矩形ABCD中，∠B=90°，AD=10, AB=6,E为BC上一点，EA平分∠BED. (1)求DE的长； 2数学九年级全-册(BS) (2)求BE的长 ☑ 【思维拓展 ~◆，强化素养 11.动手操作新趋势（教材P4习题T4变式）有 4张如图①所示的全等的直角三角形纸片. 小明用这4张直角三角形纸片拼成了如图 ②所示的弦图，易知该弦图是一个正方形. 图① 图② (1)请用这4张直角三角形纸片拼一个不 同于图②的正方形，画出示意图. (2)你能用这4张直角三角形纸片拼一个 矩形或菱形吗？若能，请画出示意图.参考答案 第一章特殊平行四边形 1 认识特殊的平行四边形 新知梳理 ①邻边直角邻边直角②相等互相平分两四 例题引路 【例1】D【例2】证明：：四边形ABCD是正方形，AD=CD,∠B=90°，∴.∠ADC=∠B= 90°，∠A=∠BCD=180°-∠B=90°..∠DCF=90°=∠A.又：∠EDF=90°，.∠ADC ∠EDC=∠EDF-∠EDC,即∠ADE=∠CDF.∴.△ADE≌△CDF(ASA).∴.DE=DF. 基础过关 1.C2.(1)有一组邻边(2)正方3.D4.128°5.证明：：四边形ABCD是矩形，∴.AB= CD,AB∥CD.∴.∠C=180°-∠B=90°=∠B.:∠BAE=∠CDF,∴.△ABE≌△DCF (ASA). 弥能力提升 6.D7.A8.(4,3)9.证明：四边形ABCD是菱形，.AB=CD.又AB=AD,.AD= 帐 CD..∠DAC=∠DCA.AE=CF,∴.AE+EF=CF+EF,即AF=CE..△ADF≌△CDE (SAS).∴∠ADF=∠CDE.10.解：(1)：四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC.∠DAE= ∠AEB.:EA平分∠BED,∴∠AEB=∠AED.∴∠DAE=∠AED..DE=AD=10.(2) :四边形ABCD是矩形，.CD=AB=6,BC=AD=10,AB∥CD.∴.∠C=180°-∠B= 90°.∴.CE=DE-CD=8..BE=BC-CE=2. 思维拓展 11.解：(1)如答图①所示 封 答图① (2)能，拼成的矩形如答图②所示（答案不唯一），拼成的菱形如答图③所示. 答图② 答图③ 验 2菱形的性质与判定 第1课时菱形的性质 新知梳理 ①相等垂直②一半 例题引路 【例1】解：(1)：四边形ABCD是菱形，.OA=号AC=4,AC⊥BD.∠AOB=90,在 Rt△AOB中，AB=√OA十OB=2√5.∴菱形ABCD的周长是4X2√5=8√5.(2)：四边 形ABCD是菱形，BD=20B=4.∴SAn=子AC·BD=16. 【例2】6或2√3 基础过关 1.B2.B3.84.155.解：(1).四边形ABCD是菱形，OA=4,OB=3,.AC=2OA 1 8,BD=2OB=6.S麦形Am=2AC·BD=24.(2):四边形ABCD是菱形，AC⊥BD, ∴∠AOB=90..AB=√OA+OB=5.:CE⊥AB,∴S菱形AD=AB·CE=24..CE= 24 55 能力提升 6.B7,18,登9.(1证明：四边形ABCD为菱形，AD/BC.ACLBD..DE BD,. ∴DE∥AC.∴四边形ACED为平行四边形.(2)解：：四边形ABCD为菱形，∴OD=号BD= 2 4,:四边形ACED为平行四边形，∴.DE=AC=6.:DE⊥BD,∴∠ODE=90°.∴.OE= √OD+DE=2√I3.10.(1)证明：连接BD.:四边形ABCD是菱形，∴.BD⊥AC.E, F分别是边AB,AD的中点，EF是△ABD的中位线..EF∥BD.∴.EF⊥AC(2)解： ∠DAC=30°，四边形ABCD是菱形，∴.∠DAB=60°，AD=AB.·△ABD是等边三角 形.BD=AB=2.:E,F分别是边AB,AD的中点EF=BD=1. 思维拓展 11.3【点拨】连接BD.易证△ADE≌△BDF,即可推出AE=BF,列出方程即可解题. 第2课时菱形的判定 新知梳理 ②相等③垂直 例题引路 【例1】证明：四边形ABCD是平行四边形，.AD=BC,AD∥BC.DE=BF,.AD一DE= BC一BF,即AE=CF.又.AE∥CF,∴.四边形AECF是平行四边形.AC⊥EF,∴.四边形 AECF是菱形. 【例2】D 基础过关 1.B2.AD∥BC(答案不唯一)3.C4.70°5.(1)证明：，四边形ABCD是平行四边 形，∴.AB∥CD.∴∠BAC=∠DCA.:AC平分∠DAB,∴.∠DAC=∠BAC.∴∠DAC= ∠DCA.AD=CD.∴□ABCD是菱形.(2)解：：四边形ABCD是菱形，.AO=CO= 合AC=2,B0=D0=BD=1,AC1BDAB=VOA+0B-后.：Sum=合AC: BD=AB·DE,DE=4YE 5 能力提升 6.B7.D8.(1)证明：四边形AECF是菱形，.OA=OC,OE=OF,AC⊥EF..BE= DF,.BE+OE=DF+OF,即OB=OD..四边形ABCD是平行四边形.又：AC⊥EF,即 AC⊥BD,∴.四边形ABCD是菱形.(2)解：由(1)知四边形ABCD是菱形，.∠ADB= 号∠ADC-合∠ABC=30,AD=AB=6E.:AELAD.∠EAD=90.DE=2AE.在 Rt△AED中，AE+AD=DE,即AE+(6V3)2=(2AE)2,AE=6.∴.菱形AECF的周 长为4AE=24. 思维拓展 9.解：(1)四边形ABCD是菱形.理由如下：由题意，得AB∥CD,AD∥BC,.四边形ABCD 是平行四边形.过点A分别作CD,BC边上的高AE,AF,:两张矩形纸条的宽都为1cm, ∴AE=AF.:SaAD=CD·AE=BC·AF,∴.CD=BC..四边形ABCD是菱形.(2)由 (1),得AE=AF=1cm.:AD∥BC,∴∠ABF=∠BAD=30°.AB=2AF=2cm.:四边 形ABCD是菱形，∴.BC=AB=2cm.∴.重叠部分的面积为BC·AF=2cm. 3矩形的性质与判定 第1课时矩形的性质 新知梳理 ①直角相等②一半 例题引路 【例】(1)证明：：四边形ABCD是矩形，.AC=BD,BC∥AD.:CE∥BD,∴.四边形DECB是 平行四边形.∴.BD=CE.∴.AC=CE.(2)解：：四边形ABCD是矩形，∠ADC=∠CDE= 90,G0-号AC,D0号BD,AC=BD,D0=C0-号AC.在R△EDC中，DE=9,CD= 12CE=DB+CD=15.AC=CE=15.0=0=号△c0D的周长为C0 DO+CD=27. 56 基础过关 1.A2.A3.C4.证明：：四边形ABCD是矩形，AB=CD,∠B=∠C=90°.BE= CF,∴BE十EF=CF+EF,即BF=CE.在△ABF和△DCE中，AB=DC,∠B=∠C,BF= CE,∴.△ABF≌△DCE(SAS)..AF=DE.5.C6.50° 能力提升 7.C8.5.59.810.(1)证明：：DE=OC,CE=OD,.四边形OCED是平行四边形. 四边形ABCD为矩形，.OC=OD..四边形OCED为菱形.(2)解：四边形ABCD为矩 形∠ABC=90,0A=号AC=6.:AF垂直平分线段OB,AB=0A=6.BC= √AC-AB=6√. 思维拓展 11.解：四边形ACBD是矩形，.∠DAC=90°，AD∥BC.∴.∠EAF=180°-∠DAC=90 :在R△AEF巾，G是EF的中点AG=FG=号ER.∠GAF=∠R:EF=2AB. .AB=AG.∴∠ABG=∠AGB=∠F+∠GAF=2∠F.:AD∥BC,∴∠F=∠CBF ∴∠ABG=2∠CBF.∴.∠ABC=3∠CBF..∠CBF是∠ABC的一个三等分角. 第2课时矩形的判定 新知梳理 ②直角③相等 例题引路 【例1J证明：AB=AC,AD是△ABC的中线.ADLRC,∠CAD=∠BAC∠ADC= 90.:AN平分∠CAM,∠CAN=号∠CAM.∠DAE=∠CAD+∠CAN=号（∠BAC+ ∠CAM=Z×180=90.CE/AD∴∠AEC=180-∠DAE=90.∠ADC=∠DAE= ∠AEC=90°..四边形ADCE是矩形.【例2】②④ 基础过关 1.A2.有三个角是直角的四边形是矩形3.证明：：四边形ABHD是平行四边形，AB= DH,AD=BH,AD∥BH..AD∥HC.BC=BH+HC=2AD,.AD=HC..四边形AHCD 是平行四边形.：AB=AC,.AC=DH.四边形AHCD是矩形.4.A5.12 能力提升 6.B7.108.答案不唯一，如：(1)解：①(2)证明：·四边形ABCD为平行四边形，∴.AB∥ DC,AB=DC.∴.∠A十∠D=180°.在△ABM和△DCM中，AB=DC,∠1=∠2，BM=CM, .△ABM≌△DCM(SAS)..∠A=∠D=90°..□ABCD为矩形. 思维拓展 9.(1)证明：：AF⊥DE,∴∠AFD=∠AFE=90°.：点D,E分别是AB,AC的中点，∴.AD= BD.在△ADF和△BDG中，DF=DG,∠ADF=∠BDG,AD=BD,.△ADF≌△BDG(SAS). ∴.AF=BG,∠AFD=∠G=90°.同理可得：△CHE≌△AFE(SAS),∴.CH=AF,∠AFE= ∠H=90°.∴.BG=CH.:∠G十∠H=180°，∴.BG∥CH..四边形BCHG为平行四边形. :∠H=90°，.四边形BCHG为矩形.(2)解：由(1)可知，△ADF≌△BDG,△CHE≌ △AFE,.S△Ac=SE形HG.·点D,E分别是AB,AC的中点，.DE是△ABC的中位线. .BC=2DE=12.由(1)可知，BG=AF=5,.S矩形xHc=BC·BG=12X5=60..S△Ac= S矩形HG=60. 4正方形的性质与判定 第1课时正方形的性质 新知梳理 直角相等相等且互相垂直平分 例题引路 【例1】解：：四边形ABCD是正方形，.AC⊥BD,OC=OB=√2.∴∠COB=90°.∴.BC= √OB+OC=2.:BF⊥CE,.∠BFC=∠BFE=90°.：BF平分∠DBC,.∠CBF= ∠EBF..∠BCE=∠BEC,.BE=BC=2..OE=BE-OB=2-√2.【例22或√2 57