第1章 2 第1课时 菱形的性质（PDF部分书稿）-【鸿鹄志·名师测控】2026-2027学年九年级上册数学（北师大版·新教材 贵州专版）

参考答案 第一章特殊平行四边形 1 认识特殊的平行四边形 新知梳理 ①邻边直角邻边直角②相等互相平分两四 例题引路 【例1】D【例2】证明：：四边形ABCD是正方形，AD=CD,∠B=90°，∴.∠ADC=∠B= 90°，∠A=∠BCD=180°-∠B=90°..∠DCF=90°=∠A.又：∠EDF=90°，.∠ADC ∠EDC=∠EDF-∠EDC,即∠ADE=∠CDF.∴.△ADE≌△CDF(ASA).∴.DE=DF. 基础过关 1.C2.(1)有一组邻边(2)正方3.D4.128°5.证明：：四边形ABCD是矩形，∴.AB= CD,AB∥CD.∴.∠C=180°-∠B=90°=∠B.:∠BAE=∠CDF,∴.△ABE≌△DCF (ASA). 弥能力提升 6.D7.A8.(4,3)9.证明：四边形ABCD是菱形，.AB=CD.又AB=AD,.AD= 帐 CD..∠DAC=∠DCA.AE=CF,∴.AE+EF=CF+EF,即AF=CE..△ADF≌△CDE (SAS).∴∠ADF=∠CDE.10.解：(1)：四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC.∠DAE= ∠AEB.:EA平分∠BED,∴∠AEB=∠AED.∴∠DAE=∠AED..DE=AD=10.(2) :四边形ABCD是矩形，.CD=AB=6,BC=AD=10,AB∥CD.∴.∠C=180°-∠B= 90°.∴.CE=DE-CD=8..BE=BC-CE=2. 思维拓展 11.解：(1)如答图①所示 封 答图① (2)能，拼成的矩形如答图②所示（答案不唯一），拼成的菱形如答图③所示. 答图② 答图③ 验 2菱形的性质与判定 第1课时菱形的性质 新知梳理 ①相等垂直②一半 例题引路 【例1】解：(1)：四边形ABCD是菱形，.OA=号AC=4,AC⊥BD.∠AOB=90,在 Rt△AOB中，AB=√OA十OB=2√5.∴菱形ABCD的周长是4X2√5=8√5.(2)：四边 形ABCD是菱形，BD=20B=4.∴SAn=子AC·BD=16. 【例2】6或2√3 基础过关 1.B2.B3.84.155.解：(1).四边形ABCD是菱形，OA=4,OB=3,.AC=2OA 1 8,BD=2OB=6.S麦形Am=2AC·BD=24.(2):四边形ABCD是菱形，AC⊥BD, ∴∠AOB=90..AB=√OA+OB=5.:CE⊥AB,∴S菱形AD=AB·CE=24..CE= 24 55 能力提升 6.B7,18,登9.(1证明：四边形ABCD为菱形，AD/BC.ACLBD..DE BD,. ∴DE∥AC.∴四边形ACED为平行四边形.(2)解：：四边形ABCD为菱形，∴OD=号BD= 2 4,:四边形ACED为平行四边形，∴.DE=AC=6.:DE⊥BD,∴∠ODE=90°.∴.OE= √OD+DE=2√I3.10.(1)证明：连接BD.:四边形ABCD是菱形，∴.BD⊥AC.E, F分别是边AB,AD的中点，EF是△ABD的中位线..EF∥BD.∴.EF⊥AC(2)解： ∠DAC=30°，四边形ABCD是菱形，∴.∠DAB=60°，AD=AB.·△ABD是等边三角 形.BD=AB=2.:E,F分别是边AB,AD的中点EF=BD=1. 思维拓展 11.3【点拨】连接BD.易证△ADE≌△BDF,即可推出AE=BF,列出方程即可解题. 第2课时菱形的判定 新知梳理 ②相等③垂直 例题引路 【例1】证明：四边形ABCD是平行四边形，.AD=BC,AD∥BC.DE=BF,.AD一DE= BC一BF,即AE=CF.又.AE∥CF,∴.四边形AECF是平行四边形.AC⊥EF,∴.四边形 AECF是菱形. 【例2】D 基础过关 1.B2.AD∥BC(答案不唯一)3.C4.70°5.(1)证明：，四边形ABCD是平行四边 形，∴.AB∥CD.∴∠BAC=∠DCA.:AC平分∠DAB,∴.∠DAC=∠BAC.∴∠DAC= ∠DCA.AD=CD.∴□ABCD是菱形.(2)解：：四边形ABCD是菱形，.AO=CO= 合AC=2,B0=D0=BD=1,AC1BDAB=VOA+0B-后.：Sum=合AC: BD=AB·DE,DE=4YE 5 能力提升 6.B7.D8.(1)证明：四边形AECF是菱形，.OA=OC,OE=OF,AC⊥EF..BE= DF,.BE+OE=DF+OF,即OB=OD..四边形ABCD是平行四边形.又：AC⊥EF,即 AC⊥BD,∴.四边形ABCD是菱形.(2)解：由(1)知四边形ABCD是菱形，.∠ADB= 号∠ADC-合∠ABC=30,AD=AB=6E.:AELAD.∠EAD=90.DE=2AE.在 Rt△AED中，AE+AD=DE,即AE+(6V3)2=(2AE)2,AE=6.∴.菱形AECF的周 长为4AE=24. 思维拓展 9.解：(1)四边形ABCD是菱形.理由如下：由题意，得AB∥CD,AD∥BC,.四边形ABCD 是平行四边形.过点A分别作CD,BC边上的高AE,AF,:两张矩形纸条的宽都为1cm, ∴AE=AF.:SaAD=CD·AE=BC·AF,∴.CD=BC..四边形ABCD是菱形.(2)由 (1),得AE=AF=1cm.:AD∥BC,∴∠ABF=∠BAD=30°.AB=2AF=2cm.:四边 形ABCD是菱形，∴.BC=AB=2cm.∴.重叠部分的面积为BC·AF=2cm. 3矩形的性质与判定 第1课时矩形的性质 新知梳理 ①直角相等②一半 例题引路 【例】(1)证明：：四边形ABCD是矩形，.AC=BD,BC∥AD.:CE∥BD,∴.四边形DECB是 平行四边形.∴.BD=CE.∴.AC=CE.(2)解：：四边形ABCD是矩形，∠ADC=∠CDE= 90,G0-号AC,D0号BD,AC=BD,D0=C0-号AC.在R△EDC中，DE=9,CD= 12CE=DB+CD=15.AC=CE=15.0=0=号△c0D的周长为C0 DO+CD=27. 56 基础过关 1.A2.A3.C4.证明：：四边形ABCD是矩形，AB=CD,∠B=∠C=90°.BE= CF,∴BE十EF=CF+EF,即BF=CE.在△ABF和△DCE中，AB=DC,∠B=∠C,BF= CE,∴.△ABF≌△DCE(SAS)..AF=DE.5.C6.50° 能力提升 7.C8.5.59.810.(1)证明：：DE=OC,CE=OD,.四边形OCED是平行四边形. 四边形ABCD为矩形，.OC=OD..四边形OCED为菱形.(2)解：四边形ABCD为矩 形∠ABC=90,0A=号AC=6.:AF垂直平分线段OB,AB=0A=6.BC= √AC-AB=6√. 思维拓展 11.解：四边形ACBD是矩形，.∠DAC=90°，AD∥BC.∴.∠EAF=180°-∠DAC=90 :在R△AEF巾，G是EF的中点AG=FG=号ER.∠GAF=∠R:EF=2AB. .AB=AG.∴∠ABG=∠AGB=∠F+∠GAF=2∠F.:AD∥BC,∴∠F=∠CBF ∴∠ABG=2∠CBF.∴.∠ABC=3∠CBF..∠CBF是∠ABC的一个三等分角. 第2课时矩形的判定 新知梳理 ②直角③相等 例题引路 【例1J证明：AB=AC,AD是△ABC的中线.ADLRC,∠CAD=∠BAC∠ADC= 90.:AN平分∠CAM,∠CAN=号∠CAM.∠DAE=∠CAD+∠CAN=号（∠BAC+ ∠CAM=Z×180=90.CE/AD∴∠AEC=180-∠DAE=90.∠ADC=∠DAE= ∠AEC=90°..四边形ADCE是矩形.【例2】②④ 基础过关 1.A2.有三个角是直角的四边形是矩形3.证明：：四边形ABHD是平行四边形，AB= DH,AD=BH,AD∥BH..AD∥HC.BC=BH+HC=2AD,.AD=HC..四边形AHCD 是平行四边形.：AB=AC,.AC=DH.四边形AHCD是矩形.4.A5.12 能力提升 6.B7.108.答案不唯一，如：(1)解：①(2)证明：·四边形ABCD为平行四边形，∴.AB∥ DC,AB=DC.∴.∠A十∠D=180°.在△ABM和△DCM中，AB=DC,∠1=∠2，BM=CM, .△ABM≌△DCM(SAS)..∠A=∠D=90°..□ABCD为矩形. 思维拓展 9.(1)证明：：AF⊥DE,∴∠AFD=∠AFE=90°.：点D,E分别是AB,AC的中点，∴.AD= BD.在△ADF和△BDG中，DF=DG,∠ADF=∠BDG,AD=BD,.△ADF≌△BDG(SAS). ∴.AF=BG,∠AFD=∠G=90°.同理可得：△CHE≌△AFE(SAS),∴.CH=AF,∠AFE= ∠H=90°.∴.BG=CH.:∠G十∠H=180°，∴.BG∥CH..四边形BCHG为平行四边形. :∠H=90°，.四边形BCHG为矩形.(2)解：由(1)可知，△ADF≌△BDG,△CHE≌ △AFE,.S△Ac=SE形HG.·点D,E分别是AB,AC的中点，.DE是△ABC的中位线. .BC=2DE=12.由(1)可知，BG=AF=5,.S矩形xHc=BC·BG=12X5=60..S△Ac= S矩形HG=60. 4正方形的性质与判定 第1课时正方形的性质 新知梳理 直角相等相等且互相垂直平分 例题引路 【例1】解：：四边形ABCD是正方形，.AC⊥BD,OC=OB=√2.∴∠COB=90°.∴.BC= √OB+OC=2.:BF⊥CE,.∠BFC=∠BFE=90°.：BF平分∠DBC,.∠CBF= ∠EBF..∠BCE=∠BEC,.BE=BC=2..OE=BE-OB=2-√2.【例22或√2 572 第 新知导学 ◆◆·预习新知 新知梳理 ①菱形具有平行四边形所有的性质外， 还具有特殊性质： 菱形的四条边 菱形的对角线互相 ②菱形的面积=底X高=两条对角线 长的乘积的 ☑例题引路 【例1】（教材P9习题T2变式）如图，菱 形ABCD的两条对角线AC,BD相交 于点O.已知AC=8,OB=2. (1)求菱形ABCD的周长； (2)求菱形ABCD的面积 【方法点拨】(1)根据菱形的对角线互相 垂直平分，将菱形中求线段长问题转化 到直角三角形中利用勾股定理求解 (2)根据SDAC·BD求解。 【学生解答】 趔易错典例 【例2】有一个角是60°的菱形，它的一条 对角线长为6，则这个菱形的边长是 【易错剖析】题千中“一条对角线长为6”， 这条对角线可能是长对角线也可能是短 对角线.无图时，结合草图分析更直观 【学生解答】 菱形的性质与判定 1课时菱形的性质 基础过关 ◆逐点击破 知识点1菱形的性质 1.如图，在菱形ABCD中，AB=3,∠A=60°，则对角线 BD的长为 A.1 B.3 C.3√3 D.2 AA60° (第1题图) (第2题图) (第3题图) 2.(贵阳期中)如图，在菱形ABCD中，E,F分别是AB, AC的中点.若EF=2,则菱形ABCD的周长是() A.12 B.16 C.20 D.24 3.文化传承情境化小兰在参观渭河流域史前彩陶文化展 后，深受震撼，美术课上尝试以现代手法重构菱形纹这 一古老纹样，画了一幅油画（如图）.已知菱形ABCD的 边长为5，AC=6,则BD的长为 知识点2菱形的面积 4.(2025·云南中考)已知四边形ABCD是菱形，对角线 AC,BD相交于点O.若AC=6,BD=5,则菱形ABCD 的面积是 5.(教材P9习题T5变式)如图，菱形ABCD的对角线相 交于点O,CE⊥AB于点E.已知OA=4,OB=3. (1)求菱形ABCD的面积； (2)求CE的长. 第一章特殊平行四边形3 口能力提升 ~>>整合运用 6.(2025·毕节七星关区模拟)如图，在菱形 ABCD中，对角线AC与BD交于点O, OE⊥AB,垂足为E.若∠ADC=140°，则 ∠AOE的大小为 A.75° B.70° C.55 D.509 (第6题图) (第7题图) 7.(2025·福建中考)如图，菱形ABCD的对角 线相交于点O,EF过点O且与边AB,CD 分别相交于点E,F.若OA=2,OD=1,则 △AOE与△DOF的面积之和为 8.传统文化情境化(2025一2026·黔西南期 末)中国结，象征着中华民族的历史文化与精 神.小明家有一中国结挂饰，他想求两对边的 距离，利用所学知识抽象出如图所示的菱形 ABCD,测得BO=3,CO=4,直线EF⊥AB交 两对边于点E,F,则EF的长为 9.如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于 点O,过点D作DE⊥BD,交BC的延长线 于点E,连接OE (1)求证：四边形ACED为平行四边形； 4数学九年级全一册(BS) (2)若AC=6,BD=8,求OE的长. 10.如图，在菱形ABCD中，E,F分别是边 AB,AD的中点，连接EF,交对角线AC于 点G. (1)求证：EFI AC: (2)若∠DAC=30°，AB=2,求EF的长. 【思维拓展 ♪◆·强化素养 11.如图，在菱形ABCD中， AB=18cm,∠A=60°， 点E以2cm/s的速度 沿AB边由点A向点B匀速运动，同时点 F以4cm/s的速度沿CB边由点C向点B 运动，点F到达点B时，两点同时停止运 动.设运动时间为ts,当△DEF为等边三 角形时，t的值为