第1章 4 第1课时 正方形的性质（PDF部分书稿）-【鸿鹄志·名师测控】2026-2027学年九年级上册数学（北师大版·新教材 贵州专版）

4 第 ·新知导学 ◆♪◆预习新知 ▣新知梳理 正方形具有平行四边形所有的性质外， 还具有特殊性质： 正方形的四个角都是 正方形的四条边 正方形的对角线 ☑例题引路 【例1】如图，正方形ABCD的对角线交 于点O,E是线段OD上一点，连接CE, 过点B作BF⊥CE于点F,交OC于点 G.若OB=√2，BF是∠DBC的平分 线，求OE的长. 【方法点拨】先利用正方形的性质和勾 股定理求出BC的长，再由BF平分 ∠EBC及BF⊥CE,证得BE=BC.进 而求出OE的长。 【学生解答】 易错典例 【例2】如图，在正方形ABCD中，AB=2, E为边BC的中点，P为正方形边上一点， 且PB=AE,则PE的长为 D B 【易错剖析】注意正方形有对称性，需要 分点P在AD或CD上进行讨论. 【学生解答】 正方形的性质与判定 1课时 正方形的性质 口基础过关 ●●●逐点击破 知识点正方形的性质 1.(黔西南期末)下列性质中，正方形具有而矩形不一定具 有的性质是 ( A.对角线互相垂直 B.对角线互相平分 C.对角线相等 D.四个角都是直角 2.如图，在正方形ABCD中，对角线AC,BD交于点O,则 ∠ABD的度数为 ) A.30° B.45° C.60 D.90° (第2题图) (第3题图) (第5题图)（第6题图） 3.如图，在正方形ABCD外侧作等边△CDE,则∠DEA 的度数是 ( A.159 B.22.5° C.209 D.10° 4.在正方形ABCD中，对角线AC的长为2cm,那么正方 形ABCD的面积为 cm2. 5.如图，点E在正方形ABCD的边BC的延长线上，连接 BD,DE.若BE=BD,AB=1,则CE的长为 6.(教材P18随堂练习T1变式)如图，在正方形ABCD 中，E为对角线BD上一点，连接AE,CE.若∠BCE= 70°，则∠EAD的度数为 7.(2025·陕西中考)如图，在正方形ABCD中，点E,F分 别在边BC,CD上，且∠BAE=∠DAF.求证：CE=CF. 第一章特殊平行四边形11 口能力提升 ~>>整合运用 8.(六盘水期中)如图，在平面直角坐标系中， 正方形OABC的顶点O,B的坐标分别是 (0,0),(4,0),则顶点C的坐标是( A.(2,-2√2) B.(2√2，-2√2) C.(2,-2) D.(2√2，-2) 9.如图，四边形ABCD为正方形，△ADE为等 边三角形，EF⊥AB于点F.若AD=4,则 EF的长为 (第9题图) (第10题图) 10.(贵阳花溪区模拟)小红在一张菱形纸片中 剪掉一个正方形，做成班刊刊头（如图所 示).若菱形ABCD的面积为120cm,正方 形AECF的面积为50cm,则这张菱形纸 片的边长为cm. 11.(教材P22习题T8(2)变式)如图，已知四 边形ABCD为正方形，点E在BD的延长 线上，连接EA,EC (1)求证：△EAB≌△ECB; (2)若∠AEC=45°，求证：DC=DE. 12数学九年级全-册(BS) 12.(2025一2026·遵义期未)如图，已知四边 形ABCD是正方形，点E,F分别在AD,DC 上，BE与AF相交于点G,且BE=AF. (1)求证：BE⊥AF; (2)如果正方形ABCD的边长为5，AE=2, 点H为BF的中点，连接GH.求GH 的长. ·思维拓展 ♪>♪强化素养 13.如图，在正方形ABCD中，点E4 D 在AB边上，BE=4√2，M是对 角线BD上一点（∠EMB是锐 B 角)，连接ME,ME=5,过点M作MN EM交BC于点N,过点N作NH⊥BD于 点H. (1)MN的长为 ； (2)△HMN的面积为参考答案 第一章特殊平行四边形 1 认识特殊的平行四边形 新知梳理 ①邻边直角邻边直角②相等互相平分两四 例题引路 【例1】D【例2】证明：：四边形ABCD是正方形，AD=CD,∠B=90°，∴.∠ADC=∠B= 90°，∠A=∠BCD=180°-∠B=90°..∠DCF=90°=∠A.又：∠EDF=90°，.∠ADC ∠EDC=∠EDF-∠EDC,即∠ADE=∠CDF.∴.△ADE≌△CDF(ASA).∴.DE=DF. 基础过关 1.C2.(1)有一组邻边(2)正方3.D4.128°5.证明：：四边形ABCD是矩形，∴.AB= CD,AB∥CD.∴.∠C=180°-∠B=90°=∠B.:∠BAE=∠CDF,∴.△ABE≌△DCF (ASA). 弥能力提升 6.D7.A8.(4,3)9.证明：四边形ABCD是菱形，.AB=CD.又AB=AD,.AD= 帐 CD..∠DAC=∠DCA.AE=CF,∴.AE+EF=CF+EF,即AF=CE..△ADF≌△CDE (SAS).∴∠ADF=∠CDE.10.解：(1)：四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC.∠DAE= ∠AEB.:EA平分∠BED,∴∠AEB=∠AED.∴∠DAE=∠AED..DE=AD=10.(2) :四边形ABCD是矩形，.CD=AB=6,BC=AD=10,AB∥CD.∴.∠C=180°-∠B= 90°.∴.CE=DE-CD=8..BE=BC-CE=2. 思维拓展 11.解：(1)如答图①所示 封 答图① (2)能，拼成的矩形如答图②所示（答案不唯一），拼成的菱形如答图③所示. 答图② 答图③ 验 2菱形的性质与判定 第1课时菱形的性质 新知梳理 ①相等垂直②一半 例题引路 【例1】解：(1)：四边形ABCD是菱形，.OA=号AC=4,AC⊥BD.∠AOB=90,在 Rt△AOB中，AB=√OA十OB=2√5.∴菱形ABCD的周长是4X2√5=8√5.(2)：四边 形ABCD是菱形，BD=20B=4.∴SAn=子AC·BD=16. 【例2】6或2√3 基础过关 1.B2.B3.84.155.解：(1).四边形ABCD是菱形，OA=4,OB=3,.AC=2OA 1 8,BD=2OB=6.S麦形Am=2AC·BD=24.(2):四边形ABCD是菱形，AC⊥BD, ∴∠AOB=90..AB=√OA+OB=5.:CE⊥AB,∴S菱形AD=AB·CE=24..CE= 24 55 能力提升 6.B7,18,登9.(1证明：四边形ABCD为菱形，AD/BC.ACLBD..DE BD,. ∴DE∥AC.∴四边形ACED为平行四边形.(2)解：：四边形ABCD为菱形，∴OD=号BD= 2 4,:四边形ACED为平行四边形，∴.DE=AC=6.:DE⊥BD,∴∠ODE=90°.∴.OE= √OD+DE=2√I3.10.(1)证明：连接BD.:四边形ABCD是菱形，∴.BD⊥AC.E, F分别是边AB,AD的中点，EF是△ABD的中位线..EF∥BD.∴.EF⊥AC(2)解： ∠DAC=30°，四边形ABCD是菱形，∴.∠DAB=60°，AD=AB.·△ABD是等边三角 形.BD=AB=2.:E,F分别是边AB,AD的中点EF=BD=1. 思维拓展 11.3【点拨】连接BD.易证△ADE≌△BDF,即可推出AE=BF,列出方程即可解题. 第2课时菱形的判定 新知梳理 ②相等③垂直 例题引路 【例1】证明：四边形ABCD是平行四边形，.AD=BC,AD∥BC.DE=BF,.AD一DE= BC一BF,即AE=CF.又.AE∥CF,∴.四边形AECF是平行四边形.AC⊥EF,∴.四边形 AECF是菱形. 【例2】D 基础过关 1.B2.AD∥BC(答案不唯一)3.C4.70°5.(1)证明：，四边形ABCD是平行四边 形，∴.AB∥CD.∴∠BAC=∠DCA.:AC平分∠DAB,∴.∠DAC=∠BAC.∴∠DAC= ∠DCA.AD=CD.∴□ABCD是菱形.(2)解：：四边形ABCD是菱形，.AO=CO= 合AC=2,B0=D0=BD=1,AC1BDAB=VOA+0B-后.：Sum=合AC: BD=AB·DE,DE=4YE 5 能力提升 6.B7.D8.(1)证明：四边形AECF是菱形，.OA=OC,OE=OF,AC⊥EF..BE= DF,.BE+OE=DF+OF,即OB=OD..四边形ABCD是平行四边形.又：AC⊥EF,即 AC⊥BD,∴.四边形ABCD是菱形.(2)解：由(1)知四边形ABCD是菱形，.∠ADB= 号∠ADC-合∠ABC=30,AD=AB=6E.:AELAD.∠EAD=90.DE=2AE.在 Rt△AED中，AE+AD=DE,即AE+(6V3)2=(2AE)2,AE=6.∴.菱形AECF的周 长为4AE=24. 思维拓展 9.解：(1)四边形ABCD是菱形.理由如下：由题意，得AB∥CD,AD∥BC,.四边形ABCD 是平行四边形.过点A分别作CD,BC边上的高AE,AF,:两张矩形纸条的宽都为1cm, ∴AE=AF.:SaAD=CD·AE=BC·AF,∴.CD=BC..四边形ABCD是菱形.(2)由 (1),得AE=AF=1cm.:AD∥BC,∴∠ABF=∠BAD=30°.AB=2AF=2cm.:四边 形ABCD是菱形，∴.BC=AB=2cm.∴.重叠部分的面积为BC·AF=2cm. 3矩形的性质与判定 第1课时矩形的性质 新知梳理 ①直角相等②一半 例题引路 【例】(1)证明：：四边形ABCD是矩形，.AC=BD,BC∥AD.:CE∥BD,∴.四边形DECB是 平行四边形.∴.BD=CE.∴.AC=CE.(2)解：：四边形ABCD是矩形，∠ADC=∠CDE= 90,G0-号AC,D0号BD,AC=BD,D0=C0-号AC.在R△EDC中，DE=9,CD= 12CE=DB+CD=15.AC=CE=15.0=0=号△c0D的周长为C0 DO+CD=27. 56 基础过关 1.A2.A3.C4.证明：：四边形ABCD是矩形，AB=CD,∠B=∠C=90°.BE= CF,∴BE十EF=CF+EF,即BF=CE.在△ABF和△DCE中，AB=DC,∠B=∠C,BF= CE,∴.△ABF≌△DCE(SAS)..AF=DE.5.C6.50° 能力提升 7.C8.5.59.810.(1)证明：：DE=OC,CE=OD,.四边形OCED是平行四边形. 四边形ABCD为矩形，.OC=OD..四边形OCED为菱形.(2)解：四边形ABCD为矩 形∠ABC=90,0A=号AC=6.:AF垂直平分线段OB,AB=0A=6.BC= √AC-AB=6√. 思维拓展 11.解：四边形ACBD是矩形，.∠DAC=90°，AD∥BC.∴.∠EAF=180°-∠DAC=90 :在R△AEF巾，G是EF的中点AG=FG=号ER.∠GAF=∠R:EF=2AB. .AB=AG.∴∠ABG=∠AGB=∠F+∠GAF=2∠F.:AD∥BC,∴∠F=∠CBF ∴∠ABG=2∠CBF.∴.∠ABC=3∠CBF..∠CBF是∠ABC的一个三等分角. 第2课时矩形的判定 新知梳理 ②直角③相等 例题引路 【例1J证明：AB=AC,AD是△ABC的中线.ADLRC,∠CAD=∠BAC∠ADC= 90.:AN平分∠CAM,∠CAN=号∠CAM.∠DAE=∠CAD+∠CAN=号（∠BAC+ ∠CAM=Z×180=90.CE/AD∴∠AEC=180-∠DAE=90.∠ADC=∠DAE= ∠AEC=90°..四边形ADCE是矩形.【例2】②④ 基础过关 1.A2.有三个角是直角的四边形是矩形3.证明：：四边形ABHD是平行四边形，AB= DH,AD=BH,AD∥BH..AD∥HC.BC=BH+HC=2AD,.AD=HC..四边形AHCD 是平行四边形.：AB=AC,.AC=DH.四边形AHCD是矩形.4.A5.12 能力提升 6.B7.108.答案不唯一，如：(1)解：①(2)证明：·四边形ABCD为平行四边形，∴.AB∥ DC,AB=DC.∴.∠A十∠D=180°.在△ABM和△DCM中，AB=DC,∠1=∠2，BM=CM, .△ABM≌△DCM(SAS)..∠A=∠D=90°..□ABCD为矩形. 思维拓展 9.(1)证明：：AF⊥DE,∴∠AFD=∠AFE=90°.：点D,E分别是AB,AC的中点，∴.AD= BD.在△ADF和△BDG中，DF=DG,∠ADF=∠BDG,AD=BD,.△ADF≌△BDG(SAS). ∴.AF=BG,∠AFD=∠G=90°.同理可得：△CHE≌△AFE(SAS),∴.CH=AF,∠AFE= ∠H=90°.∴.BG=CH.:∠G十∠H=180°，∴.BG∥CH..四边形BCHG为平行四边形. :∠H=90°，.四边形BCHG为矩形.(2)解：由(1)可知，△ADF≌△BDG,△CHE≌ △AFE,.S△Ac=SE形HG.·点D,E分别是AB,AC的中点，.DE是△ABC的中位线. .BC=2DE=12.由(1)可知，BG=AF=5,.S矩形xHc=BC·BG=12X5=60..S△Ac= S矩形HG=60. 4正方形的性质与判定 第1课时正方形的性质 新知梳理 直角相等相等且互相垂直平分 例题引路 【例1】解：：四边形ABCD是正方形，.AC⊥BD,OC=OB=√2.∴∠COB=90°.∴.BC= √OB+OC=2.:BF⊥CE,.∠BFC=∠BFE=90°.：BF平分∠DBC,.∠CBF= ∠EBF..∠BCE=∠BEC,.BE=BC=2..OE=BE-OB=2-√2.【例22或√2 57 基础过关 1.A2.B3.A4.25√2-16.20°7.证明：：四边形ABCD是正方形，.AB=BC= DC=AD,∠B=∠D.在△ABE和△ADF中，∠B=∠D,AB=AD,∠BAE=∠DAF, ∴.△ABE≌△ADF(ASA)..BE=DF..BC-BE=DC-DF,即CE=CF 能力提升 8.C9.210.1311.证明：(1)四边形ABCD为正方形，.AB=CB,∠ABE=∠CBE= AB-CB. 45°.在△EAB和△ECB中，∠ABE=∠CBE,.△EAB2△ECB(SAS).(2),·四边形 BE-BE, ABCD为正方形，∴.∠BDC=45°.△EAB≌△ECB,∠AEC=45°，.∠CED=∠AED= 7∠AEC=22.5.∠DCE=∠BDC-∠CED=22.5,·∠CED=∠DCE.DC=DE 12.(1)证明：：四边形ABCD是正方形，且BE=AF,∴BA=AD,∠BAE=∠D=90. .△BAE≌△ADF(HL)...∠ABE=∠DAF..∠ABE+∠BAG=∠DAF+∠BAG= ∠BAD=90°.∴∠AGB=90°.∴.BE⊥AF.(2)解：由(1)知△BAE≌△ADF,∴.DF=AE= 2..正方形ABCD的边长为5，.CF=DC-DF=5-2=3..BF=BC十CF2=34. :BE⊥AF,点H为BF的中点，GH=号BF=号V 思维拓展 13.(1)5(2)6【点拨】(1)过点M作MP⊥BC于点P,MQ⊥AB于点Q,证明△NMP≌ △EMQ即可得解.(2)过点E作EF⊥BM于点F,证明△EFM≌△MHN,得EF=MH,再 求出EF,HN的长即可得解. 第2课时正方形的判定 新知梳理 ①相等②互相垂直③直角④相等 例题引路 【例1】证明：四边形ABCD是平行四边形，.AD∥BC.,DF⊥BC,.DF⊥AD.BE⊥ AD,∴.BE∥DF..四边形BEDF是平行四边形.：BE=DE,∴.四边形BEDF是菱形. :BE⊥AD,∠BED=90°.∴四边形BEDF是正方形.【例2】C 基础过关 1.A2.①②（或①③）3.C4.(1)证明：DE∥AB,DF∥AC,.四边形AFDE是平行 四边形.：AD平分∠BAC,∴∠FAD=∠EAD.DE∥AB,∴∠EDA=∠FAD.∴∠EDA= ∠EAD.AE=DE..四边形AFDE是菱形.：∠BAC=90°，.四边形AFDE是正方形. (2)解：四边形AFDE是正方形，AD=3√2，.AF=DF=DE=AE=3..四边形AFDE 的面积为3×3=9. 能力提升 5.D6.22.5°7.证明：(1)四边形ABCD为正方形，.AB⊥BC,∠B=90°.EF⊥AB EG⊥BC,∴.∠BFE=90°，∠BGE=90°.又.∠B=90°，.四边形BFEG是矩形.(2)·正方 形ABCD的周长是40cm,∴.AB=10cm.:四边形ABCD为正方形，∴∠BAC=45°. .∠AEF=90°一∠BAC=45°.，△AEF为等腰直角三角形.，.AF=EF..AF=5cm,AB= 10cm,.BF=AB-AF=5cm..EF=BF=5cm..四边形BFEG是正方形. 思维拓展 8.(1)证明：过点E作EM⊥BC于点M,EN⊥CD于点N,∴.∠EMC=∠ENC=∠END= 90°.：四边形ABCD是正方形，∴.∠BCD=90°，∠BCA=∠DCA,∴.∠MEN=360° ∠EMC-∠ENC-∠BCD=90°，EM=EN.∴.∠FEM+∠FEN=90°.：EF⊥DE, .∠DEF=90°..∠DEN+∠FEN=90°.，.∠FEM=∠DEN..△FEM≌△DEN (ASA)..FE=DE..矩形DEFG是正方形.(2)解：CE十CG的长是定值.由(1)知矩形 DEFG是正方形，.DE=DG,∠EDC十∠CDG=90°.：四边形ABCD是正方形，∴.AD= CD=AB=4VE,∠ADE+∠EDC=90°，.∠ADE=∠CDG.∴.△ADE≌△CDG(SAS). .AE=CG.∴CE+CG=CE+AE=AC=√AD+CD=8,是定值. 58 专题一中点四边形问题【回归教材·通性通法】 L.(1)证明：连接BD.E,H分别是AB,DA的中点，.EH是△ABD的中位线..EH= 号BD,EH/BD,同理，FG=号BD,FG/BD.EH=FG,EH∥FG.四边形EFGH是 平行四边形.(2)正方形(3)106(4)AC=BD(5)证明：连接AC,BD交于点O.:E, F分别是AB,BC的中点，EF是△ABC的中位线.EF∥AC,EF=号AC.同理，得HG/ ACHG=专ACEF∥HG,EF=HG.四边形EFCH是平行四边形.：AB=AD,BC= CD,,AC是线段BD的垂直平分线..AC⊥BD.E,H分别为AB,AD的中点，.EH是 △ABD的中位线.∴EH∥BD.EF∥AC,.EF⊥EH,即∠HEF=9O°.∴.四边形EFGH 是矩形.【变式题]C【拓展练】织 大单元整合练特殊四边形的折叠问题【落实课标】 1.B2.75°3.A4.(1)证明：四边形ABCD是矩形，AB=CD,∠B=∠D=90°.由 折叠的性质，得∠F=∠D=∠B=90°，CF=CD=AB..∠AEB=∠CEF,.△ABE≌ △CFE(AAS).(2)证明：：△ABE≌△CFE,∴AE=CE.∴△AEC是等腰三角形.(3)解：设 CE=AE=x..四边形ABCD是矩形，.BC=AD=8..BE=BC-CE=8-x.在Rt△ABE 中，BE十AB=AE,即(8-x)2十4=x2,解得x=5..AE=5.5.(1)证明：由折叠的性质 知∠EAB=∠PAB,∠FAD=∠PAD,∴.2（∠PAB+∠PAD)=180°，即∠BAD=∠PAB+ ∠PAD=90°.同理可得∠ADC=∠ABC=90°，∴.四边形ABCD是矩形.(2)解：连接AC.由 折叠的性质知AE=AP=AF,AF=令EF,同理可得CG=2GH.:四边形EFGH是菱 形，.EF=GH,EF∥GH..AF=CG,AF∥CG..四边形ACGF是平行四边形..FG= AC.:四边形ABCD是矩形，∴BC=AD=√6，∠ABC=90°..AC=√AB+BC=3. .FG=3,即菱形纸片EFGH的边长为3. 专题二与正方形有关的三种常考模型 1.解：两条路等长，它们的位置关系是互相垂直，理由如下：四边形ABCD是正方形， ∴.BA=AD=CD,∠BAE=∠D=90°.'AE=DF,∴.△BAE≌△ADF(SAS).∴.BE=AF, ∠ABE=∠DAF.:∠BAE=∠BAO+∠DAF=90°，∴.∠BAO+∠ABE=90°.∴.∠AOB= 180°-（∠BAO十∠ABE)=90°.∴AF⊥BE..AF与BE等长，且互相垂直，【变式题1】4 【变式题23√22.(1)证明：在AB上截取AM=CE,连接ME.:四边形ABCD是正方形， .∴.AB=BC,∠ABC=∠BCD=90°..∴.∠BAE+∠AEB=90°.AM=CE,∴.AB-AM=BC-CE 即BM=BE.∴.△BEM是等腰直角三角形.∴.∠BME=45°.∴.∠AME=180°-∠BME= 135°.EF⊥AE,.∠AEF=90°.∠AEB+∠CEF=90°.∴∠BAE=∠CEF.,∠DCG=180° ∠BCD=90°，CF平分∠DCG,∴.∠DCF=∠GCF=45°.∴.∠ECF=∠BCD+∠DCF=135°. ∠AME=∠ECF=135°..△AME≌△ECF(ASA)..AE=EF.(2)解：仍然成立.理由如 下：延长BA至点H,使AH=CE,连接HE.四边形ABCD是正方形，∴∠B=90°，AB= BC,AD∥BC..BH=BE,∠HAD=90°，∠DAE=∠AEB.·△BEH是等腰直角三角形. ·∠H=45.:CF平分∠DCE,·∠ECF=号∠DCE=45.∠H=∠ECR.:∠AEF= 90°，∴.∠HAD+∠DAE=∠AEF+∠AEB..∠HAE=∠CEF.∴.△AEH≌△EFC(ASA). AE=EF.3.解：(1)：四边形ABCD为正方形，∴∠B=∠ADF=90°，AB=AD. ∴∠ADG=90°=∠B.DG=BE,∴.△ADG≌△ABE(SAS).∴∠DAG=∠BAE,AE=AG. ∴∠FAG=∠FAD+∠GAD=∠FAD+∠BAE=90°-∠EAF=45°，即∠EAF=∠FAG. AF=AF,△AFG≌△AFE(SAS).∴.EF=FG.∴.EF=DF+DG=DF+BE,即EF= BE+DF.(2)DF=EF+BE.证明如下：在CD上截取GD=BE,连接AG.同(1)可证△AEB≌ △AGD,∴.EB=DG,AE=AG,∠EAB=∠GAD.又.∠BAG+∠GAD=90°，∴.∠EAG= ∠EAB十∠BAG=∠GAD十∠BAG=90°.·.∠FAG=∠EAG-∠EAF=45°...∠EAF= ∠GAF..AF=AF,.△EAF≌△GAF(SAS)..EF=FG..FD=FG+DG,.DF=EF+BE. 专题三特殊平行四边形中的定值、最值问题【通性通法·贵州热点】 1.5【变式题1】2.4【变式题2】解：(1)，四边形ABCD是菱形，.AO=CO,AC⊥BD, B0=2BD=8,在R△AB0中，A0=VAB-B0=6.·AC=2A0=12.S#D 59 号AC·BD=96.(2)GE+GF的值不发生变化.理由如下：连接AG.由题意，得S△m 号S#m=Sa十Sam,即号X96=合×10GE+合×10GF,GE+GF=96.GE+ GF的值不发生变化.2.B3.(1)证明：四边形ABCD是菱形，∴.AD∥BC,∠BAC 合∠BAD=60.∠B=180-∠BAD=60.∴△ABC为等边三角形，AB=BC=AC △AEF为等边三角形，∴AE=AF,∠EAF=60..∠BAC-∠EAC=∠EAF-∠EAC, 即∠BAE=∠CAF.∴.△ABE≌△ACF(SAS)..BE=CF.(2)解：四边形AECF的面积不 发生变化.：△ABE2△ACF,∴.S△E=SAXF.∴.S四边形AF=S△r十SAACF=S△r十S△AE S△C.由(1)知△ABC为等边三角形，过点A作AH⊥BC于点H,易得AH=2V5,.SAAx 号×4X2B=4.∴Sa8m=5s=4.4395g6万73万835 【变式题】6√39.6.510.2十2w/1311.√5 问题解决活动：作内嵌于正方形的正八边形 【观察判断】①③【回顾反思48【解决问题】解：菱形ABCD的内接矩形EFGH的三 种草图如图所示。 D(H) r(G) 【拓展探究】解：(1)(2)如图所示 图① 图② 第一章章末复习 思维导图 相等垂直平分相等互相垂直相等一半直角相等且互相平分一半直角 相等直角直角相等相等且互相垂直平分相等互相垂直直角相等 考点整合 1.C2.C3.C4.(1)证明：E为对角线AC的中点，BE⊥AC,∴.BE垂直平分AC ∴.AB=BC.,四边形ABCD是平行四边形，.□ABCD是菱形.(2)解：：BE=EF,∴∠EBF= ∠EFB..CF=CE,,.∠CEF=∠CFE.,.∠BCE=∠CEF+∠CFE=2∠CFE=2∠EBF :∠BEC=90°，∴∠BCE+∠EBC=3∠EBC=90°.∴∠CBE=30°，∠BCA=60°.∴.∠ACB= ∠ACD=60°.∴.∠DCF=6O°..∠BCE=∠DCF.:BC=DC,CE=CF,∴.△BCE≌ △DCF(SAS).∴.∠DFC=∠BEC=90°，∠CBE=∠CDF=30°.∴.CD=2CF=8.∴.DF= CD-CF=45.∴△DCF的面积为2CF,DF=号×4X45=8.5.C6,A 7.(1)选择①，证明：，AD∥BC,AB∥CD,∴.四边形ABCD是平行四边形.：∠ABC=90°， ∴四边形ABCD是矩形.选择②，证明：：AD∥BC,AD=BC,四边形ABCD是平行四边形. :∠ABC=90°，∴四边形ABCD是矩形.(2)解：：四边形ABCD是矩形，∠ABC=90。 :AB=3,AC=5,.BC=√AC-AB=4.∴.四边形ABCD的面积为AB·BC=3×4=12. 8.AB=AC(答案不唯一)9.510.(1)证明：，四边形ABCD是正方形，.AD=BC,AD∥ BC.∠ADE=∠CBF.又：DE=BF,.△ADE≌△CBF(SAS).(2)解：连接AC,交BD 于点O.:四边形ABCD是正方形，.BD⊥AC,OA=OC=OB=OD=号BD=5.:DE= BF,∴.OD-DE=OB-BF,即OE=OF..四边形AECF是平行四边形.又BD⊥AC, ∴.四边形AECF是菱形，EF=2OF.:四边形AECF的周长为4AF=4√34，∴.AF=√34. 在Rt△AOF中，OF=√AF-OA=3.∴.EF=2OF=6. 聚焦课标 11.解：(1)DE∥BC,EF∥DC,.四边形DCFE是平行四边形.∴.EF=CD=3,CF=DE. 60