精品解析：吉林省松原市宁江区实验高级中学2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题

宁江区实验高级中学 高一年级下学期期末考试数学试卷 考试时间：120分钟 分值：150分 一､单选题 1. 在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则z在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 某电视台在因特网上就观众对其某一节目的喜爱程度进行调查，参加调查的一共有2000人，其中各种态度对应的人数如表所示： 最喜爱 喜爱 一般 不喜欢 480 720 640 160 电视台为了了解观众的具体想法和意见，打算从中抽选出100人进行更为详细的调查，为此要进行按比例分层抽样，那么在分层抽样时，每类人中应抽选出的人数分别为（ ） A. 24，36，32，8 B. 48，72，64，16 C. 20，40，30，10 D. 25，25，25，25 4. 已知向量是两个单位向量，在上的投影向量为，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知m，n为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 6. 在中，已知，是边上一点，如图，，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 在三棱锥中，已知平面，，.若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 郑国渠是秦王嬴政命郑国修建的著名水利工程，先人用智慧和勤劳修筑了一道道坚固的堤坝.如图是一道堤坝的示意图，堤坝斜面与底面的交线记为，点分别在堤坝斜面与地面上，过点分别作直线的垂线，垂足分别为，若，二面角的大小为，则（ ） A. 3 B. C. D. 6 二､多选题 9. 下列关于复数的四个命题，其中为真命题的是（ ） A. B. 的虚部为 C. z是方程的一个根 D. 为纯虚数 10. 为了检测员工的技术水平，某企业组织职工技能大赛，在装配钳工比赛中，6位选手的得分分别为：（单位：分），则这组样本数据的（ ） A. 极差为4 B. 平均数为7 C. 分位数为7.5 D. 方差为5 11. 在平行六面体中，，，为与的交点，若，则下列正确的是（ ） A. B. C. 异面直线与所成角为 D. 平行六面体的体积为 三､填空题 12. 已知正四棱台的上下底面分别是边长为2和4的正方形，侧棱长为2，则该正四棱台的体积为________． 13. 如图，在菱形中，为上靠近于C的三等分点，则的值是__________. 14. 如图，正方体的棱长为2，点分别为棱的中点，点为线段上的一个动点，给出下列四个结论: ①三棱锥的体积为定值; ②存在点，使平面； ③存在点，使平面平面; ④设直线FG与平面所成角为，则的最大值为. 其中所有正确结论的序号为____________________. 四､解答题 15. 如图，在长方体中，，点是棱的中点. （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离. 16. 已知的内角所对的边分别为，且 （1）求角A； （2）若的周长为，且，求的面积. 17. 某地举办了“防电信诈骗”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中的值及样本成绩的第80百分位数；求样本平均数； （2）已知落在区间的样本平均成绩是57，标准差是7，落在区间的样本平均成绩为66，标准差是4，求两组样本成绩合并后的平均数和方差. 18. 在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，为的中点，二面角为直二面角. （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值； 19. 如图，在四棱锥中，底面，四面体的体积为，的面积为 （1）求点到平面的距离； （2）若，平面平面，证明：平面； （3）在的条件下，在棱上是否存在一点，使平面与平面夹角为，若存在，求的长.若不存在，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宁江区实验高级中学 高一年级下学期期末考试数学试卷 考试时间：120分钟 分值：150分 一､单选题 1. 在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间点的坐标规律即可得解. 【详解】根据“关于谁对称谁不变”的原则可知： 点关于平面对称点的坐标为. 故选：B 2. 已知复数，则z在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】求出，即得解. 【详解】解：由题意可得， 则z在复平面内对应的点为，位于第四象限． 故选：D 3. 某电视台在因特网上就观众对其某一节目的喜爱程度进行调查，参加调查的一共有2000人，其中各种态度对应的人数如表所示： 最喜爱 喜爱 一般 不喜欢 480 720 640 160 电视台为了了解观众的具体想法和意见，打算从中抽选出100人进行更为详细的调查，为此要进行按比例分层抽样，那么在分层抽样时，每类人中应抽选出的人数分别为（ ） A. 24，36，32，8 B. 48，72，64，16 C. 20，40，30，10 D. 25，25，25，25 【答案】A 【解析】 【分析】按比例抽取，即可求解. 【详解】最喜爱组应抽取人，喜爱组应抽取人， 一般组应抽取人，不喜欢组应抽取， 故选：A 4. 已知向量是两个单位向量，在上的投影向量为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意知，由投影向量公式解得，然后由向量的数量积公式求得结果. 【详解】由题意可知，且， ∴， ∴. 故选：D. 5. 已知m，n为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间中线线，线面，面面的位置关系，逐项分析判断其正误即可. 【详解】对于A，若，，，则或异面或相交，故A错误； 对于B，若，，则或，故B错误； 对于C，因为，记，，则， 又，则，又，所以，故C正确； 对于D，如图所示，，，，但，故D错误. 故选：C. 6. 在中，已知，是边上一点，如图，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】在中用余弦定理，求出，之后在中，用正弦定理计算的长度. 【详解】在中，,所以,. 在中, ，，由余弦定理可得， 代入数值：,整理得，解得(舍去负根)； 在中，,根据正弦定理：代入数值：. 故答案为：C 7. 在三棱锥中，已知平面，，.若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将三棱锥补成长方体，计算出长方体的体对角线长，即为该三棱锥外接球的直径，再结合球体表面积公式可得结果. 【详解】因为，，所以，故， 又因为平面，，将三棱锥补成长方体，如下图所示： 所以三棱锥的外接球直径即为长方体的体对角线长， 设三棱锥的外接球半径为， 则，故， 因此该球的表面积为. 故选：D. 8. 郑国渠是秦王嬴政命郑国修建的著名水利工程，先人用智慧和勤劳修筑了一道道坚固的堤坝.如图是一道堤坝的示意图，堤坝斜面与底面的交线记为，点分别在堤坝斜面与地面上，过点分别作直线的垂线，垂足分别为，若，二面角的大小为，则（ ） A. 3 B. C. D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量加法的三角形法则得到，再利用向量模长平方的性质将展开，结合向量数量积公式计算，最后求出. 【详解】由题意可知：，，， 因为， 则 ， 所以． 故选：D. 二､多选题 9. 下列关于复数的四个命题，其中为真命题的是（ ） A. B. 的虚部为 C. z是方程的一个根 D. 为纯虚数 【答案】AD 【解析】 【分析】利用复数除法运算得，求模判断A，求虚部判断B，代入方程计算判断C，求判断D. 【详解】因为， 则，z的虚部为，为纯虚数，故AD正确，B错误， 又因为， 所以不是方程的一个根，故C错误. 故选：AD. 10. 为了检测员工的技术水平，某企业组织职工技能大赛，在装配钳工比赛中，6位选手的得分分别为：（单位：分），则这组样本数据的（ ） A. 极差为4 B. 平均数为7 C. 分位数为7.5 D. 方差为5 【答案】AB 【解析】 【分析】通过排序样本数据，依次计算极差、平均数、分位数、方差，逐一验证各选项的正误. 【详解】将位选手的得分排序为. 选项A： 极差为最大值与最小值的差，即，该说法正确. 选项B： 得分总和为，平均数为，该说法正确. 选项C： 分位数的位置为，对应排序后第个数，并非，该说法错误. 选项D： 各得分与平均数的差的平方和为， 所以方差为，并非，该说法错误. 故选：AB 11. 在平行六面体中，，，为与的交点，若，则下列正确的是（ ） A. B. C. 异面直线与所成角为 D. 平行六面体的体积为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据向量的线性运算法则，计算即可判断A的正误；根据向量的线性运算法则，可得，，根据数量积公式，化简计算，即可判断B的正误；由题意，所以与所成角即为与所成角，即为所求，由条件可得为等边三角形，即可判断C的正误；根据夹角公式，先求出与所成角，进而可求出到平面ABCD的距离d，根据面积公式，可求出底面菱形ABCD的面积S，代入体积公式，即可判断D的正误. 【详解】选项A：，故A错误； 选项B：， ， 所以 ， 所以，即，故B正确； 选项C：因为平行六面体， 所以，则与所成角即为与所成角，即为所求. 因为，， 所以为等边三角形，则， 所以异面直线与所成角为，故C正确； 选项D：， 由可知，在平面的射影在上. 设与成角为，到平面ABCD的距离为d， 则， 所以， 所以到平面ABCD的距离， 又底面菱形ABCD的面积， 所以平行六面体的体积，故D正确. 故选：BCD 三､填空题 12. 已知正四棱台的上下底面分别是边长为2和4的正方形，侧棱长为2，则该正四棱台的体积为________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据正四棱台的概念可知四边形为等腰梯形，进而可得四棱台的高，即可求得体积. 【详解】如图所示， 由正四棱台可知且，，，四边形为等腰梯形， 取上底下底的中心平面，过作，垂足为，， 且，，， 所以， 所以， 故答案为： 13. 如图，在菱形中，为上靠近于C的三等分点，则的值是__________. 【答案】 【解析】 【分析】用表示出，然后根据向量数量积的运算性质求解可得. 【详解】因为为上靠近于C的三等分点，所以， 所以， 又，所以， 所以. 故答案为： 14. 如图，正方体的棱长为2，点分别为棱的中点，点为线段上的一个动点，给出下列四个结论: ①三棱锥的体积为定值; ②存在点，使平面； ③存在点，使平面平面; ④设直线FG与平面所成角为，则的最大值为. 其中所有正确结论的序号为____________________. 【答案】①②④ 【解析】 【分析】对于①选项，利用等体积法判断；对于②、③、④三个选项可以建立空间直角坐标系，利用空间向量求解 【详解】易得平面平面，所以到平面的距离为定值， 又为定值，所以三棱锥即三棱锥的体积为定值，故①正确． 对于②, 如图所示, 以为坐标原点, 为轴, 为轴, 为轴,，建立空间直角坐标系, 则， ， 所以， 设，则， 所以，， 因为平面， 所以， 解得，当为线段上靠近的四等分点时，平面，故②正确. 对于③，设平面的法向量为， 则，取，得， 所以平面的一个法向量， 设平面的法向量为， 则，取，得， 所以平面的法向量为， 因为平面平面，所以， 设，即， 解得，又因为，不合题意， 线段上不存在点，使平面，故③错误． 对于④，平面的法向量为， 则， 因为， 所以， 所以的最大值为．故④正确． 故答案为：①②④． 【点睛】思路点睛：空间几何常常通过建立空间直角坐标系，利用空间向量的夹角公式求解空间面面，线面，线线的位置关系，以及求解空间角的有关问题. 四､解答题 15. 如图，在长方体中，，点是棱的中点. （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离. 【答案】（1） 连接与交于点O，连接． 则O为的中点，又点E是棱的中点，所以， 又平面，平面， 所以平面． （2）. 【解析】 【分析】（1）连接AC与BD交于点O，连接OE，由证明出线面平行； （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，则得到点面距离. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以DA，DC，所在的直线分别为x，y，z轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 由题得，，则，，，， 则，，， 设平面的法向量为， 则，得， 令，得平面的一个法向量为， 则点到平面的距离为. 16. 已知的内角所对的边分别为，且 （1）求角A； （2）若的周长为，且，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理边化角得，根据两角和的正弦公式、诱导公式，可得，根据角A的范围，即可得答案. （2）根据题意，可得，根据余弦定理，可得的值，代入面积公式，即可得答案. 【小问1详解】 由正弦定理边化角得， 所以， 因为，所以， 所以，又， 所以. 【小问2详解】 因为周长为，且，所以， 由余弦定理得， 所以，解得， 所以的面积. 17. 某地举办了“防电信诈骗”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中的值及样本成绩的第80百分位数；求样本平均数； （2）已知落在区间的样本平均成绩是57，标准差是7，落在区间的样本平均成绩为66，标准差是4，求两组样本成绩合并后的平均数和方差. 【答案】（1），第80百分位数为，样本平均数为74； （2），. 【解析】 【分析】（1）由频率之和为1即可求a，先依次求出前4组和前5组频率之和得到样本成绩的第80百分位数所在区间即可计算求解，由频率分布直方图的平均数计算公式直接计算即可求平均数； （2）先依次求出两区间的样本个数、样本平均成绩、方差，再由总体平均数公式和总体方差公式即可计算两组样本成绩合并后的平均数和方差. 【小问1详解】 由题意， 所以前4组频率之和， 前5组频率之和， 所以样本成绩的第80百分位数在区间内，且为， 样本平均数为； 【小问2详解】 由题可得落在区间的样本个数为，样本平均成绩是，方差是， 落在区间的样本个数为，样本平均成绩是，方差是， 所以两组样本成绩合并后的平均数为， 两组样本成绩合并后的方差为. 18. 在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，为的中点，二面角为直二面角. （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值； 【答案】（1） 因为，O为CD的中点， 所以． 又因为平面平面ABCD，平面平面，平面PCD， 所以平面ABCD． 因为，，，所以． 取的中点，连接，则， 以点O为坐标原点，OD，OE，OP所在直线分别为x，y，z轴，如图建立空间直角坐标系， 则，，，，，． ，， 因为， 所以． （2）. 【解析】 【分析】（1）证明出，平面ABCD，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，计算出，得到垂直关系； （2）求出平面的法向量，利用线面角求解公式得到答案； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，， 设平面PAB的一个法向量为， 则，即， 解得，令，则，则． 设直线PC与平面PAB所成的角为， 又， 则， 所以直线PC与平面PAB所成的角的正弦值为． 19. 如图，在四棱锥中，底面，四面体的体积为，的面积为 （1）求点到平面的距离； （2）若，平面平面，证明：平面； （3）在的条件下，在棱上是否存在一点，使平面与平面夹角为，若存在，求的长.若不存在，说明理由. 【答案】（1） （2） 取中点，连接，由，得， 由平面平面，平面平面，平面， 得平面，即，则由平面，平面，得， 又底面，底面，则， 而，， 因此平面. （3）存在， 【解析】 【分析】(1)应用等体积法计算，结合线面平行得出点到平面距离； (2)由平面平面性质定理得出，再应用线面垂直判定定理证明； (3)应用空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，再应用面面角余弦公式计算求参. 【小问1详解】 设点A到平面PBC的距离为h，由四面体的体积为，的面积为， 得解得而，，，则平面， 所以点到平面的距离为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 存在，. 由(2)知，又，， 而的面积为，，则，，， 由，得，以A为原点，直线，，分别为轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 故，，， 设，其中， 故， 所以， 设平面的法向量为， 则，取，则， ， 得， 设平面的法向量为， 则，取， 得， 则，由平面与平面夹角为， 得，解得，即为的中点，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $