第6章《平行四边形》复习题——平行四边形与图形变换- 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

**基本信息** 聚焦平行四边形与图形变换（平移、旋转、翻折）的综合应用，通过坐标计算、角度推理、面积关系等题型构建知识逻辑链，培养几何直观与空间观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |平移变换|3题（单选1、4，填空10）|坐标平移求周长、平移距离与面积计算|平行四边形对边平行性质与平移性质结合| |旋转变换|3题（单选3、5，填空9）|旋转后坐标确定、中点连线取值范围|旋转不变性与平行四边形对称性关联| |翻折变换|3题（单选2、6，填空8）|折叠后角度计算、折叠点位置关系|轴对称性质与平行四边形内角关系推导| |综合应用|6题（解答13-18）|网格作图、动态平移与平行四边形判定|图形变换与几何直观、推理能力综合考查|

第6章《平行四边形》复习题一一平行四边形与图形变换 一、单选题 1.如图，在平面直角坐标系中，线段AB的两个端点坐标依次为A0,4),B(-3,0),将线段AB向 右平移12个单位，再向上平移5个单位，得到对应线段CD,则四边形ABDC的周长为() B A.34 B.35 C.36 D.37 2.如图，将平行四边形ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点A处，若∠1=L2=50°，则 LA的度数为() G A.130° B.120° C.105° D.100 3.如图，在平面直角坐标系中，风车图案的中心为正方形，四片叶片为全等的平行四边形， 其中一片叶片上的点A,C的坐标分别为1,0)，(0,4)，将风车绕点0顺时针旋转，每次旋转90°， 则经过第2026次旋转后，点D的坐标为() A.（-3,1 B.（-1,-3) C.-3,-1 D.(1,3 4.如图，含30°角的三角板△ABC的直角边靠在直尺上平移得到aA'B'C'.已知AB=8, ∠C=30°，平移距离为12，则四边形ACC'A'的面积是() A B A.96 B.965 C.192 D.160w5 5.如图，在Rt△ABC中，LC=90°，AC=8,BC=6,将△ABC绕点B旋转得到△DBE,分别取 AD、BC的中点P、Q,则PQ的取值范围是() D C O B A.2<PQ<8B.2≤PQ≤8 C.1<PQ<9 D.1≤PQ≤9 6.如图，将口ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在C处，若∠1=54，L2=40°，则∠C为() C A D B A.100° B.105° C.106 D.110° 二、填空题 7.如图，在坐标平面内，口0ABC的边OA在x轴的正半轴上，A,C两点的坐标分别为 (2,0)1,2),点B在第一象限，将直线y=-2x沿y轴向上平移m(m>0)个单位.若平移后的直 线与边AB有交点，则m的取值范围是 8.在平行四边形ABCD中，点E,F在BC边上，把△ABE沿直线AE折叠，△CDF沿直线DF折 叠，使点B,C落在对角线AC上的点G处，若LAGD=I10°，则∠B的度数为 9.如图，在△OAB和△BCD中，OA=OB=3,CB=CD=1,∠AOB=∠BCD=90,连接AD,取AD 的中点E,连接OE,将△BCD绕点B按顺时针方向旋转，当点O,C,B在同一直线上时，OE 的长为 10.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=4,将Rt△ABC沿BC向右平移得到△DEF,若四边形 ACFD的面积等于8，则平移的距离等于 A D B人 E C 11.如图，AC,BD是相交的两条线段，O分别为它们的中点.当BD绕点O旋转时，连接AB ,BC,CD,DA所得到的四边形ABCD始终为形(BD与AC不重合). D B 12.同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动.在平行四边形纸片ABCD中， 已知AB=10,AD=4V10,口ABCD的面积为120.点E为BC边上任意一点，将△ABE沿AE折叠， 点B的对应点为B.改变E点的位置，将aABE沿AE折叠，连接B'C,当△BCB/为直角三角形 时，则B'C的长是 4 三、解答题 13.如图，在每个小正方形边长为1的方格纸中，△ABC的顶点都在方格纸格点上.将△ABC向 左平移2格，再向上平移4格 (1)请用无刻度的直尺在图中画出平移后的△A'B'C'; (2)利用网格及无刻度的直尺在图中画出△ABC的高BD; (3)图中能使S△Pc=S△ABc的格点P的个数是.（点P异于点A). 14.在平面直角坐标系中，直线：y=x+b分别交x轴，y轴于A,C两点，直线：y=-x+4分 别交x轴，y轴于8，D两点，4与4相交于点3 4 (1)求a和b的值； (2)如图1，动点K在I上且在第二象限，连接KB,动点M,N在Z上，MN=2√2，连接CM, KN,当S△KBE=S图边形cOBE时，求点K的坐标和CM+MN+KN的最小值； (3)如图2，在(2)的条件下，连接BC,将点K沿射线EB方向平移V2k(k>0)个单位，平移 后的点K记为K,过点C作∠ECB的角平分线交线段EB于点H,在平移中，直线BC上存在点 F,使得以K,A,H,F为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出符合条件的点F的坐标. M H E B A B\主 图1 图2 15.如图，BD是口ABCD的对角线，将边AB沿BE折叠，使A点落在BD上的点G处，将边CD沿 DF折叠，使点C落在BD上的点H处 求证：四边形BEDF是平行四边形. D 16.在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC,AD=AE. (I)如图①，当点D在△ABC内部时，求证：BD=CE. (2)将△ADE绕点A旋转，当点D落在线段BE上时，若BD=√2AD. ①如图②，连接CD,若AB=VI0,求线段CD的长； ②如图③，M,N分别为BC,DE的中点，连接MW,判断线段AD与MW的关系并说明理由. M 图① 图② 图③ 17.数学综合实践课上，同学们以“等腰三角形的旋转”为主题，开展如下探究活动： A D D 图1 图2 图3 【操作探究】 (1)如图1，△ABC为等边三角形，将△ABC绕点A旋转180°，得到△ADE,连接BE,F是BE的中 点，连接AF,图1中AF与DE的数量关系是_；图1中90°的角有个. 【迁移探究】 (2)如图2，将等边△ABC绕点A逆时针旋转30°，得到△ADE,连接BE,F是BE的中点，连接 AF,探究AF与DE的数量关系，并说明理由. 【拓展应用】 (3)如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,BC=√6，将△ABC绕点A逆时针旋转，得到△ ADE,连接BE,F是BE的中点，连接AF,在旋转过程中，当LEBC=I5°时，求线段AF的长. 18.已知：△ABC和△DEC均为等腰三角形，∠ACB=∠DCE,AC=BC,DC=EC,连接BD,取 DE,BD,AB的中点分别为G,F,H,连接FG,GH,HF D G D F D H A 图1 图2 图3 【特例感知】 (1)如图1，当点D在AC边上，点E在BC边上时，则aFGH是三角形； 【类比探究】 (2)把△DCE绕点C在平面内旋转得到图2，判断。FGH的形状是否改变？请说明理由； 【拓展应用】 (3)如图3，在(2)的条件下，当∠ACB=LDCE=90°时. ①判断△FGH的形状，并说明理由； ②把△DCE绕点C在平面内任意旋转，若DE=5√2，AB=9√2，直接写出△FGH面积的最大值与 最小值. 参考答案 一、单选题 1.C 解：A0,4,B(-3,0, ∴.0A=4,0B=3, ∴.AB=V0A2+0B2=V42+32=5, 过点D作DE⊥x轴于点E, ,将线段AB向右平移12个单位，再向上平移5个单位，得到对应线段CD, ∴.DE=5,BE=12, ∴.BD=√DE2+BE2=V52+122=13, ,线段AB平移后得到线段CD, ∴.AB∥CD,AB=CD, ∴.四边形ABCD是平行四边形， ∴.四边形ABCD的周长=2(AB+BD)=2(5+13=36. 故选：C y A D B O 2.C 解：，平行四边形ABCD中，AD∥BC, ∴.LADB=∠DBG. 由折叠可得∠ADB=∠BDG. ∴.∠DBG=∠BDG. 又.∠1=∠BDG+∠DBG=50°， LADB=∠BDG=25°. 又.∠2=50°， ∴.△ABD中，∠A=180°-∠2-∠ADB=105°. .∠A=∠A=105°. 故选：C. 3.B 解：风车图案的中心为正方形， .∴.∠AOB=90°，OA=OB=1, 如图所示，作DE⊥BC于点E, D3 D为 ∴.∠DEC=∠A0B=90°， ,风车图案的四片叶片为全等的平行四边形， .AD‖BC,AB=CD, ∴.DE=0A=1, ∴.△AOB≌△EC(HL), ∴OB=EC=1, ∴.0E=0C-CE=4-1=3, .OE|AD,OA‖DE,∠AOB=90°， .四边形AOED是矩形，则AD=OE=3, .D(1,3, .每次旋转90°， 旋转第一次时，点A对应点为F,点D对应点为D,则D(-1,3), 旋转第二次时，点F对应点为G,点D对应点为D2,则D,-1,-3), 旋转第三次时，点G对应点为B,点D对应点为D,则D,(-3,1), 旋转第四次时，点B对应点为A,点D对应点为D,则D(1,3), .2026÷4=506……2, .经过第2026次旋转后，点D的坐标为(-1，-3). 4.B 解：在RIAABC中，AB=8,∠C=30°， :AC=16 :BC=AC2-AB2=83 由平移的性质可知： AC=A'C,AC‖A'C 四边形ACC'A'为平行四边形， :平移距离为12， AA'=12, ·S四边形4cc4=12×8V3=96V5, 故选：B. 5.D 解：取AB的中点F,连接FP,FQ, 0 A ”旋转， ∴AB=BD, 根据勾股定理得：AB=BD=VAC2+BC2=10, P、Q分别是AD、BC的中点， F0-4C=4,PBD=5, 当P、F、Q三点共线时，PO取到最大值和最小值， ∴.PQ的最小值为FP-FQ=5-4=1,PQ的最大值为FP+FQ=5+4=9, 再根据三角形的三边关系，可得取值范围是1≤PQ≤9. 故选：D. 6.C 解：四边形ABCD是平行四边形，∠2=40°， ∴.AD∥BC, ∴.∠CBC'=L2=40°. 根据折叠的性质得∠CBD=∠C8D-号∠CC=20, 在△ABC中，∠1=54°，∠CBD=20°， .∠C=180°-∠1-∠CBD=180°-20°-54°=106°. 二、填空题 7.4≤m≤8 解：设平移后的直线解析式为y=-2x+m. 口0ABC,A2,0)、C(1,2)、0(0,0), ∴.BC=0A=2,B(3,2). 当直线过A(2,0)时，-4+m=0, 解得：m=4, 当直线过B(3,2)时，-6+m=2, 解得：m=8, ,平移后的直线与边AB有交点， .4≤m≤8， 故答案为：4≤m≤8. 8.75 解：，四边形ABCD是平行四边形，且△ABE沿直线AE折叠，△CDF沿直线DF折叠， ∴.AB=AG=CD=GD,AB∥CD,BC∥AD, ∴.∠GAD=∠GDA=180°-∠AGD180°-110 =35°， 2 2 ∠BAC=∠DCA=∠DGC=180°-∠AGD=180°-110°=70°， ∴.∠BAD=∠BAC+∠GAD=70°+35°=105°， .∠B=180°-∠BAD=180°-105°=75°， 故答案为：75 9.√2或2√2 解：①当点C在线段OB上时，如图所示，分别延长BD,AO,交于点F, - D B .0A=0B=3,CB=CD=1,∠AOB=∠BCD=90, ∴.∠BAO=∠AB0=∠CBD=45,OA⊥OB, 由勾股定理得：AB=VOA2+OB2=3√2，BD=VCD2+BC2=√2， ∠ABF=90°， ∴.△ABF为等腰直角三角形， ∴.0A=0F,AB=BF=3V2, ∴.DF=BF-BD=22, 点E为AD的中点， .OE=1DF=2; ②当点C在线段OB的延长线上时，如图所示，分别延长BD,AO,交于点F, F D .0A=OB=3,CB=CD=1,∠AOB=∠BCD=90, .∠BAO=∠ABO=∠CBD=45°，OA⊥OB, 由勾股定理得：AB=VOA2+OB2=3V2,BD=VCD2+BC2=√2， ∴.∠ABF=∠ABO+∠CBD=∠ABO+∠OBF=90, ∴.△ABF为等腰直角三角形， ∴.0A=0F,AB=BF=3√2， .'DF=BF+BD=42, ,点E为AD的中点， 0E=DF=25: 综上，0E的长为√2或22， 故答案为：√2或22. 10.2 解：平移， .AC=DF,AC∥DF, ∴.四边形ACFD为平行四边形， .AD∥CF, .∠B=90°，AB=4, AB⊥BF, ∴.四边形ACFD的面积=CF·AB=4CF=8, ∴.CF=2,即平移距离为2； 故答案为：2 11.平行四边 12.210或4或410 解：①当LBCB'=90°时，延长CB交AD于点F, F D B E ,四边形ABCD是平行四边形， ∴.AD∥BC,AB=CD=10,BC=AD=4V10, ∴.∠DFC=∠BCB'=90°， ∴.CF⊥AD, ∴.S。4BcD=ADCF=120, .AD=410, ∴.CF=310, ∴.DF=VCD2-CF2=V10, ∴.AF=AD-DF=3V10, 折叠， .AB'=AB=10, 在R△AB'F中，B'F=√AB2-AF2=0, .∴.B'C=CF-B'F=2V10; 如图，当C,E重合时，记BE,AD的交点为F, B .当CF⊥AD时，AF=CF=3V10, .LACF=∠CAF=45°，而AD∥BC, .∠ACB=45°， 当C,E重合时，∠BCB'=90°， 由折叠可得：B'C=BC=AD=4VI0; ②当LBB'C=90°时，如图，设BB'与AE交于点N,作AM⊥BC, D M E ∴.SGABCD=BC·AM=120, .AM=3V10, .BM=AB2-AM2=10, 折叠， ∴.BE=B'E,BB'⊥AE,BB=2BN, ∴∠B'BC=∠BB'E, ,∠BB'E+LCB'E=LB'BC+∠BCB'=90°， .∠BCB'=LCB'E, ∴.B'E=CE, .'BE=CE=-BC=210, 2 .∴.ME=BE-BM=V10=BM, .AM垂直平分BE, .AE=AB=10, :S=号BEAM=}AEBN, 2 ∴.2V10×3V10=10BN, ∴BN=6, ∴.BB=12, ∴.B'C=√BC2-BB2=4; 综上：B'C的长是210或4或4√10. 三、解答题(6题) 13.(1)解：如图，△A'B'C'即为所求； (2)解：如图，线段BD即为所求； (PA B(P2) P GT B (3)解：如图，点P的个数为4. 故答案为：4. 14.(1)解：：点E位于☑上， 4 8 .a=- ，+4= 3 3, :点E位于4上， 骨 b=2, 8 a=3,b=2. (2)解：连接oE,c102,得》，40. 41 SI边形COBE=SACOE+SABOE=)×2×1 ×4× 8_20 2 32 33 1 设K02a+2，由4-4,01， 1 32*8x/ 6S,能=S,e-S做E)X8×83 解得a=-2,则K(-2,), 设M(m,4-m), :MN=2√2，则N(m+2,2-m),取点P(2,0),连接NP,如图所示， -xp=xM-xc =m yN-yp yM-yc=2-m, .NPII CM且NP=CM, 过点P作关于马的对称点Q(4,2), .CM+MN+KN=PN+KN+MN =ON+KN+MN 2 KO+MN,KO=+62=37, 当且仅当K,N,Q三点共线时，原式取最小值√37+2√2. D B (3)解：K(-2,1, ·x6>-2, xc-x4=x8-xc=4.yc-yA=yc-y8 =2, ∠CAB=∠CBA, 过点C作LECB的角平分线交线段EB于点H, ,CH平分∠BCE, ∠ECH=∠BCH=2∠BCE ZBCE ZBAC +ZABC .∠ECH=∠CAB=LCBA=∠HCB, CH∥AB, H(2,2), 又将点K沿射线EB方向平移，I2:y=-x+4, ·KK EB, ..KK:y=-x+b, 将(-2,1)代入，得2+b=1,解得b=-1, KK:y=-x-1, 1 14 同理可求得：8C:y=2x+2,-=6m4=2,MH:y=3+ , 设k->-2,F,+2, ①当KH为对角线时：有AH IIK F,AH=K,F,AK,I‖HF,AK,=HF, k=4 可列方程组 +2-(-=2 f-k=6 ∴.F(10,-3),K(4,-5); ②当KF为对角线时：有AK,IFH,AK,=FH,AF‖KH,AF=K,H, k-（-4=2-f 可列方程组 1-小e# F(-2,3),K(0,-1: ③当KA为对角线时：有AF‖KH,AF=KH,AHI‖KF,AH=KF, f-(-4)=k-2 可列方程组 k=-16 +2=-1-2解得扩=22 1 2 F(-22,13),K,-16,15(舍). 综上点F坐标为(10，-3)或(-2,3). 15.证明：，四边形ABCD是平行四边形， ∴.AD∥CB,AB∥CD, ∴.LABD=LCDB, 由折叠得∠DBE=∠ABE=<ABD,∠BDF=∠CDF-CDB, ∴.∠DBE=∠BDF, .BE∥DF, ED∥FB, ∴四边形BEDF是平行四边形. 16.(1)证明：，∠BAC=∠DAE=90°， ∴.∠BAD=LCAE, AB AC,AD=AE, .△ABD≌aACE(SAS), ∴BD=CE; (2)解：①同(1)，证明△ABD≌aACE(SAS), ∴.BD=CE,LAEC=LADB, ,∠DAE=90°，AD=AE, ∴.DE=2AD,∠ADE=LAED=45°， ∴.∠AEC=LADB=180°-∠ADE=135°， .∴.∠CED=LAEC-LAED=90°， BD=√2AD, ∴.BD=DE=CE=V√2AD, 在Rt△DCE中，CD=V2DE=2AD,LEDC=∠ECD=45°， .∴.∠ADC=∠ADE+∠EDC=90°， 在RtAADC中，AC=AB=V10,CD2+AD2=AC2, (2AD2+AD2=(10, 解得AD=√2，则CD=2AD=2√2； ②连接CD,取CD中点F,连接MF、EF, M 图③ ,M,N分别为BC,DE的中点， MF为ABDC的中位线，NE=DE, MF=BD=DE=NE,MF∥BD,即MF∥NE, 2 2 四边形MNEF为平行四边形， .∴.N EF,MN=EF, 由①知DE=CE,CD=2AD,∠ADC=∠DEC=90°， 点F是CD的中点， .EF-CD-AD,EFICD, ∴.LADC=LEFC=90°， ∴.AD∥EF, ∴.四边形ADFE是平行四边形， ∴.AD=EF, ∴.AD=MN,AD∥MN. 17. 解：(1)，△ABC为等边三角形，将△ABC绕点A旋转180°，得到△ADE, ∴BA=AD,且点B、A、D在同一条直线上， .F是BE的中点，则AF是△BDE的中位线， Ar=-DE.且AF∥DE, ,AE=AB,则∠BAE=∠ABE, 又∠EAD=60°，∠BAE+∠ABE=∠EAD ∴.∠AEB=LABE=30°， .∴.∠BED=∠BAE+∠AED=30°+60°=90°，∠EBC=∠ABE+∠ABC=30°+60°=90°， 由AF∥DE∥BC知，∠AFE=∠BED=90°，∠AFB=180°-∠AFE=90°， .图1中90°的角有4个. 故答案为：AF=DE;4. (2)DE=√2AF,理由如下： 如图所示： A E B- D :等边△ABC绕点A逆时针旋转30°，得到△ADE, ∠BAC=60°，∠CAE=30°，AB=AC=AE=DE, LBAE=∠BAC+∠CAE=90°， ∠ABE=∠AEB=45°， F为BE中点，AB=AE,则AF⊥BE, △ABF是等腰直角三角形， :AB=2AF, .DE=√2AF; (3)如图所示： ,∠BAC=90°，则AB2+AC2=BC2 AB=AC,BC=6, .2AB2=BC2=(N6)=6,则AB=5, ∠ABF=∠ABC-∠EBC=45°-15°=30°，∠AFB=90°， ∴AF=4B=x5- 2 2 2 F的长为3 2 18. 解：(1)，AC=BC,DC=EC, ∴.AC-DC=BC-EC,即AD=BE, ,DE,BD,AB的中点分别为G,F,H, GF=号8E,FH=54D, ∴.GF=FH, ∴.aFGH是等腰三角形 故答案为：等腰 (2)△FGH的形状不改变，理由如下： 如图，连接BE,AD, ∠ACB=LDCE, ∴.∠ACD+LBCD=LBCE+LBCD, .∴.LACD=LBCE, AC=BC 在△ACD和△BCE中， ∠ACD=∠BCE, CD=CE .△ACD≌△BCE, .'AD =BE, DE,BD,AB的中点分别为G,F,H, :FH=AD,GF=IBE, .'.GF=FH ∴.aFGH是等腰三角形 (3)①△FGH是等腰直角三角形，理由如下： 如图，连接BE,AD,延长AD,交GF于N,交BC于M,交BE于P, 由(2)知△ACD≌△BCE,GF=FH, ∴.∠CAD=LCBE, .∠AMC=∠BMP, ∴.∠APB=LACB=90°， DE,BD,AB的中点分别为G,F,H, ∴.GF∥BE,HF∥AP, ∴.∠ANG=∠APE=∠APB=90°， .∠HFG=LANG=90°， ∴.△FGH是等腰直角三角形. ②如图，连接AD, D ,DE=52,AB=92,LACB=∠DCE=90°，AC=BC,DC=EC, ∴.2AC2=AB2=162,2CD2=DE2=50, 解得：AC=9(负值舍去)，CD=5(负值舍去)， ∴.AC-CD≤AD≤AC+CD,即4≤AD≤14， ∴.AD的最小值为4，最大值为14， HF-AD HF的最小值为2，最大值为7， FGH置积的摄大值为×7x7-号，最小值为分2x2=2.