2025-2026学年北师大版八年级数学下册《第6章平行四边形》单元自主达标测试题

**基本信息** 聚焦平行四边形判定与性质，通过基础辨析、动态探究及综合应用，分层考查几何直观、推理能力与模型意识，适配新授课知识巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/24|平行四边形判定（第1题）、性质（第2题）|基础概念辨析，结合图形直观考查核心判定定理| |填空题|8/24|中位线（第6题）、动态问题（第16题）|设置多解问题（第10题），渗透分类讨论思想| |解答题|9/72|作图与证明（第17题）、梯形中位线拓展（第25题）|综合几何证明与代数计算，如第24题结合勾股定理与面积求解，体现知识迁移能力|

2025-2026学年北师大版八年级数学下册《第6章平行四边形》 单元达标测试题（附答案） 一、单选题（满分24分） 1．如图，下列四组条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 2．如图，在平行四边形中，，，．的周长是（   ） A．16 B．32 C． D．24 3．在四边形中，，，若，则（    ） A． B． C． D． 4．如图，在平行四边形纸片上做随机扎针实验，针头扎在阴影区域内的概率为（   ） A． B． C． D． 5．四边形，均为平行四边形，点，在的延长线上．若，则度数为（   ） A． B． C． D． 6．如图，四边形中，，，，点E，F，G分别是的中点，连接，则的长为（    ） A．5 B．6 C．8 D．10 7．如图，的对角线相交于点O，的平分线与边相交于点F，E是的中点，若，，则的长为（   ） A．1 B． C．2 D． 8．如图，为的对角线，分别以B，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，过这两点的直线分别交，于点E，F，交于点O，连接，．根据以上尺规作图过程，下列结论不一定正确的是（    ） A．点为的对称中心 B．平分 C． D．的周长是周长的一半 二、填空题（满分24分） 9．如图，，若，则_____；图中共有_____个平行四边形． 10．在中，，、的角平分线分别交于、，若，则_____ ． 11．在中，是边上的高，，则的度数为 ____ ． 12．如图，在平行四边形中，，，的平分线交于点，则平行四边形的周长为________． 13．如图，在中，．点H，G分别是边，上的动点，连接，，点E，F分别是，的中点，连接，则的最小值为__________． 14．如图，平行四边形的对角线交于点，过点作，交于点．连接．若，则______． 15．如图，在中，是的中点，是的中点，交于点，若，则的长为____． 16．如图，在四边形中，，动点P从点A开始沿边向点D以的速度运动，动点Q从点C开始沿边以的速度向点B运动，P、Q两点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为，连接，当______时，四边形是平行四边形． 三、解答题（满分72分） 17．（8分）如图，以的顶点为圆心，以的长为半径作弧，再以顶点为圆心，以长为半径作弧，两弧交于点，分别连接，． (1)根据题意直接写出图中相等的线段； (2)求证：四边形是平行四边形； (3)在（2）的条件下，若，，，求四边形的面积． 18．（6分）如图，在四边形中，分别是边的中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，则四边形的周长为_________． 19．（6分）如图，在平行四边形中，点、分别在，上，且． (1)求证：； (2)试判断四边形的形状，并说明理由． 20．（8分）如图，分别以的直角边及斜边为边向外作等边和等边，已知，，垂足为，连接． (1)求证：； (2)若，求四边形的面积． 21．（8分）如图，在四边形中，，分别是，的中点． (1)若，，，，求的长； (2)若，求证：． 22．（8分）已知：四边形是平行四边形，点E是中点，连接，将沿着直线翻折得到，延长交的延长线于点P，延长交于点Q． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，若，在不添加任何辅助线和字母的情况下，请直接写出图中所有与相等的角． 23．（8分）数学中的图形拼接思想是一种重要的几何思维方法，核心在于通过组合、分割、移动图形来解决问题或揭示图形间的关系．如图所示，有两个三角形和，并且，拼接图形使得与重合，得到四边形． (1)【图形探究】：取的中点O，点M在上，连接并延长交于点N．求证：； (2)【知识拓展】：若在平面直角坐标系中，，，．请直接写出以G，H，P，Q为顶点的平行四边形的第四个顶点Q的坐标． 24．（10分）已知在中，点E为边的中点． (1)如图1，若，求证：平分； (2)如图2，点F为延长线上一点，且， ①求证：； ②若，，，求的面积． 25．（10分）【知识回顾】本学期我们研究了三角形的中位线的性质：三角形中位线定理是：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． (1)【方法迁移】梯形是有一组对边平行，另一组对边不平行的四边形，连接梯形两腰的中点，得到的线段叫做梯形的中位线．如图①，就是梯形的中位线，梯形的中位线具有什么性质呢？ 小明思考之后给出了如下的证明思路： 如图②，连接并延长，交的延长线于点G． …… 请写出梯形的中位线和两底、之间的关系，并说明理由． (2)【理解内化】已知梯形的中位线长为，高为，则梯形面积是______； (3)【拓展应用】如图③，直线l为外的任意一条直线，过A、B、C、D分别作直线l的垂线段、、、，请探究线段、、、之间的数量关系并说明理由． 参考答案 1．C 【分析】利用平行四边形的判定逐项分析判断即可． 【详解】解：A． ，，两组对边分别相等的四边形是平行四边形，能判定四边形是平行四边形，不符合题意；     B． ，，两组对边分别平行的四边形是平行四边形，能判定四边形是平行四边形，不符合题意；     C． ，，不能判断四边形是平行四边形，符合题意；     D． ，，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，能判定四边形是平行四边形，不符合题意． 2．C 【分析】根据平行四边形的性质：对边相等，对角线互相平分，分别求出 、、 的长，即可求出 的周长． 【详解】解：∵ 四边形 是平行四边形， ∴，，． ∵，， ∴，． ∴的周长． 3．B 【分析】先证明四边形是平行四边形，再根据平行四边形的对角相等，由此即可得到答案． 【详解】∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴． 4．B 【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部等可能情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率． 【详解】解：如图， ∵四边形是平行四边形， ∴对角线把平行四边形分成面积相等的四部分， 注意到，三角形①与②全等， ∴三角形①与②的面积相等． ∴阴影部分面积等于平行四边形面积的一半． ∴针头扎在阴影区域内的概率为． 5．A 【分析】首先得到，求出，然后利用三角形内角和定理求解． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴ ∴ ∴． 6．A 【分析】连接，勾股定理求出的长，再根据三角形的中位线定理，即可得出结果. 【详解】解：连接， ∵，，， ∴， ∵点E，G分别是的中点， ∴. 7．A 【分析】先证明，然后求出，再根据三角形的中位线定理求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴ ∵的平分线与边相交于点F， ∴ ∴ ∴ ∴， ∵E是的中点， ∴． 8．B 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，尺规作图，菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，掌握菱形的判定与性质是解答本题的关键． 根据作图可知：垂直平分，得到，于是得到点为的对称中心，故A正确；根据线段垂直平分线的性质得到，，分别表示出和的周长，即可得到的周长是周长的一半，故D正确；根据全等三角形的性质得到，根据平行线的性质得到，推出四边形是菱形，得到，根据三角形的面积公式得到，故C正确；由于无法证明，得到不一定平分，故B错误． 【详解】解：根据作图可知：垂直平分， ∴，，， ∴点为的对称中心，故A正确，不符合题意； ∵四边形是平行四边形， ，， ∵的周长 的周长 ∴的周长是周长的一半，故D正确，不符合题意； 在和中， ∴， ， ∵在四边形中，， ， ， ， ， ∴四边形是菱形， ∴， ∴，故C正确，不符合题意； ∵无法证明， ∴不一定平分，故B错误，符合题意 故选：B． 9． 4 3 【分析】此题主要考查平行四边形的判定：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．根据平行四边形的判定找出平行四边形有3个．根据平行四边形的性质，对边相等可得出． 【详解】解：由两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可得图中的平行四边形有、、三个． ∵四边形为平行四边形， ∴． 故答案为：4；3． 10．4或7/7或4 【分析】本题考查角平分线的定义、平行四边形的性质、等腰三角形的性质；分当、相交时和当、不相交时两种情况讨论，分别求解即可． 【详解】解：分两种情况讨论： ①当、相交时，如下图， ∵平分， ∴， ∵四边形为平行四边形，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 同理， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②当、不相交时，如下图， ∵平分， ∴， ∵四边形为平行四边形，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 同理， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：4或7． 11．或 【分析】分两种情况讨论：点在上或点在的延长线上．根据是边上的高，可得，结合，利用直角三角形和等腰三角形的性质求解． 【详解】①当点在上时，如图： ∵是边上的高， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 在中，， ∴， ∴． ②当点在的延长线上时，如图： ∵是边上的高， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵是的外角， ∴． ∴， ∴． 故答案为：或． 12．32 【分析】本题考查了平行四边形的性质、角平分线的定义．由平行四边形的性质可得，，由平行线的性质和角平分线的定义可得，即可求解． 【详解】∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形的周长为：， 故答案为：32． 13． 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，含角的直角三角形，勾股定理； 连接，根据三角形中位线定理可得，可得时，和取最小值，然后求出的最小值即可解决问题． 【详解】解：如图，连接， ∵点E，F分别是，的中点， ∴， ∴当取最小值时，可取得最小值， ∴当时，和取最小值， ∵在中，， ∴， ∴当时，， 此时， ∴， ∴， 即的最小值是， 故答案为：． 14． 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握平行四边形对角线互相平分及对边平行的性质是解题的关键． 先根据平行四边形的性质得到对角线互相平分，再由线段垂直平分线的性质得出，进而得到，然后利用平行四边形对边平行的性质求出，从而求出的度数． 【详解】解：四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴垂直平分 ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ 故答案为： 15．3 【分析】本题主要涉及平行四边形的性质与判定以及三角形中位线定理，取的中点，连接构造中位线，利用中位线性质和平行四边形性质得到新的平行四边形，进而得出线段之间的关系，最后根据已知线段长度求出． 【详解】解：取的中点，连接，如图， 是的中点，是的中点， 是的中位线， 平行于，， ∵四边形是平行四边形， ，平行于， 是的中点， ， 平行于，， ∴四边形是平行四边形， ， ，是的中点， ， ． 故答案为：3． 16．6 【分析】本题考查平行四边形的判定，根据平行四边形的判定方法，得到当时，四边形是平行四边形，列出方程进行求解即可． 【详解】解：由题意，， ∴， ∵， ∴当时，四边形是平行四边形， ∴，解得； 故答案为：6． 17．(1)， (2)证明过程见解析 (3) 【分析】（1）根据作图提示解答即可； （2）根据平行四边形的判定条件判断即可； （3）根据已知条件，证明是直角三角形，计算面积即可； 【详解】（1）解：以的顶点为圆心，以的长为半径作弧，再以顶点为圆心，以长为半径作弧，两弧交于点， ，； （2）证明： ，， 四边形是平行四边形； （3）解：四边形是平行四边形， ， 又，， ， 是直角三角形，， 四边形的面积为． 18．(1)见解析 (2)13 【分析】（1）根据题意可知分别为的中位线，再利用中位线的性质可得，，进而可得四边形是平行四边形； （2）利用中位线定理可知，，再代入计算周长即可． 【详解】（1）证明： 分别是边的中点， 分别为的中位线， ，且， ，且， 四边形是平行四边形； （2）解：由（1）知， 又分别是边的中点， 分别为的中位线， ， 则四边形的周长为． 19．(1)见解析 (2)四边形是平行四边形，见解析 【分析】（1）结合平行四边形性质，利用边角边证明； （2）根据平行四边形的判定和性质证明即可． 【详解】（1）证明： ， ∴，， 在和中， ； （2）在中，，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形． 20．(1)见解析； (2)． 【分析】（）由含角的直角三角形的性质得，再由等边三角形的性质得，，则，由即可得出结论； （）证明四边形是平行四边形，求出三角形的面积，则可得出答案． 【详解】（1）证明：∵中，， ∴， ∵是等边三角形，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵是等边三角形, ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 由（）得：， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 21．(1) (2)见解析 【分析】（1）如图1，取的中点，连接，，可知分别是的中位线，且，在中，由勾股定理可求的长． （2）如图2，取的中点，连接，，可知分别是的中位线，且，在中，由勾股定理得，将，代入即可证明． 【详解】（1）解：如图1，取的中点，连接， ∵，， ∴分别是的中位线 ∴，，， ∴，，， ∴ ∴ 在中，由勾股定理得 ∴的长为． （2）证明：如图2，取的中点，连接， ∵，， ∴分别是的中位线 ∴，，， ∴， ∵ ∴ 在中，由勾股定理得 ∴ ∴． 22．(1)见解析 (2)，，， 【分析】（1）由平行四边形的性质和平行线的性质可得，由折叠的性质可得，由平角的定义可得，则可证明，由线段中点的定义得到，则，据此可证明结论； （2）根据等边对等角得到，由三角形外角的性质得到；则可得到，进而得到，则，，再由平行四边形对角相等可得． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴； 由折叠的性质可得， ∵， ∴， ∴； ∵点E是中点， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）解：由（1）得， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴图中所有与相等的角为，，，． 23．(1)见解析 (2)或或 【分析】（1）证明，即可求证； （2）根据平行四边形的性质，分三种情况解答即可． 【详解】（1）证明：∵，拼接图形使得与重合， ∴， ∵点O为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：设点Q的坐标为， ∵，，， ∴当为对角线时， ，解得：， 此时点Q的坐标为； 当为对角线时， ，解得：， 此时点Q的坐标为； 当为对角线时， ，解得：， 此时点Q的坐标为； 综上所述，点Q的坐标为或或． 24．(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】（1）延长交于点，先证明，再得到垂直平分，然后由等腰三角形的性质以及平行线的性质证明即可； （2）①延长交于点，过点作于点，连接，根据等腰三角形的判定结合等量代换即可证明；②可设，则，则，那么，由题意可得，，则由勾股定理得，列出方程求解得到，则，，再由三角形的中位线定理得到，即可求解平行四边形的面积． 【详解】（1）证明：延长交于点， ∵中，， ∴， ∵点E为边的中点 ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴， ∴平分； （2）证明：①如图，延长交于点，过点作于点，连接， 由（1）得， ∵ ∴ ∴ ∴； ②由（1）得， ∴ ∵平行四边形 ∴ ∵ ∴ 设，则 ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵ ∴ ∴ 解得， ∴， 由（1）知，而， ∴ ∴ ∴的面积． 25．(1)；，理由见解析 (2)30 (3)，理由见解析 【分析】（1）先证和全等，再说明是的中位线．利用三角形中位线定理得出结论； （2）根据梯形的中位线长为，得出梯形两底和的一半等于，再根据梯形面积公式计算即可； （3）连接、相交于O，过点O作于P，过作交、于、，交延长至点，过作交于，利用四边形、、都是平行四边形，以及得出，同理可证，那么是梯形的中位线，是梯形的中位线，再利用梯形的中位线性质得出结论． 【详解】（1）解：；． 证明：连接并延长，交的延长线于点G．如图， ∵， ∴，， ∵就是梯形的中位线， ∴ ∴ ∴，， ∴是的中位线， ∴，，即， ∵ ∴． （2）解：∵梯形的中位线长为， ∴梯形两底和的一半等于， ∴ （3）解：， 证明：连接、相交于O，过点O作于P，如图， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵，，，， ∴， 过作交、于、，交延长至点，过作交于， 则四边形、都是平行四边形， ∴，， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形，， ∴， 又， ∴， ∴， 同理可证， ∴是梯形的中位线，是梯形的中位线， ∴，， ∴． 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