第6章《平行四边形》复习题——平行四边形与动点最值问题 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

**基本信息** 聚焦平行四边形与动点最值，以几何变换（对称、平移）和中位线、垂线段最短等定理为核心，构建“模型转化-动态分析-最值求解”的方法体系，强化空间观念与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |选择填空|12题|中位线转化线段、对称找点、三点共线求最值、垂线段最短|平行四边形性质→动点轨迹分析→几何模型（中点、对称）→最值计算| |解答题|6题|坐标系内动态面积、平行四边形存在性、构造辅助线（延长中线、作垂线）|动态问题→函数关系建立→几何性质应用→综合推理求解|

第6章《平行四边形》复习题一一平行四边形与动点最值问题 一、单选题 1.如图，在△ABC中，AB=BC=I0,AC=12,点D,E分别是AB,BC边上的动点，连结DE,F ,M分别是AD,DE的中点，则FM的最小值为() D M A.12 B.10 C.9.6 D.4.8 2.如图，在平行四边形ABCD中，∠BCD=30°，BC=4,CD=3√5，M是AD边的中点，N是 AB边上一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A'MN,连接A'C,则A'C长度的最小值是 () D M B A.3 B.4 C.5 D.6 3.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3,AC=4,平面上有一点P,连接AP,CP,若 CP=2,取AP的中点M,连接BM,则BM的最大值为() A.V13+1 B.5 C.2 D.3√5 4.已知平面直角坐标系中，点A、B在动直线y=mx-3m+4(m为常数且m)上，4B=5, 点C是平面内一点，以点O、A、B、C为顶点的平行四边形面积的最大值是() A.24 B.25 C.26 D.30 5.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=1,点D在AB边上，点E在AB的延长线上， 连接CD,CE,且AD=BE,则下列结论错误的是() A.cD+DE的最小值为5+2 B.CE-DE的最大值为√7-2 C.CD+号AD的最小值为 -+1 D.△CDE周长的最小值为√万+2 6.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=2,AC=2V3,已知点D是AC延长线上任意一点， 以BA,BD为邻边作平行四边形ABDE,连BE,CE,则下列结论错误的是() D E A.△ACE的面积不变 B.若点G与点C关于BD对称，则AG的最大值为6 C.BE的最小值为4 D.△BED的周长的最小值为3√5+4 二、填空题 7.如图，在△ABC中，LBCA=90°，AC=3,BC=4,E为斜边AB边上的一动点，以EA,EC为边作平 行四边形，则线段ED长度的最小值为 B 8.如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的坐标分别为A(-1,0),B(0,2)、C(4,2)、 D(3,O),若P是x轴上的一动点，若点A关于BP的对称点为A,则A'C的最小值为，A'C的 最大值为 9,如图，在四边形ABCD中，AD=3,BC=5,E、F分别是边AB、CD的中点，连接EF,则EF 长的最大值为 E B 10.如图，在Rt△ABC中，LABC=90°，BC=3,AB=6,D是平面内一点，且CD=BC,点M是 AD中点，点P在线段AB上，且PB=1,连接PM,则线段PM的最大值为 A PB 11.如图，在口ABCD中，点E是BC的中点，AB=AE=BE=2V3,点F是AD上的动点， 连接点E与BF的中点G.则EG的最大值是 A D G B E 12.如图，已知△ABC中，AB=AC=6,∠BAC=90°，点D为平面内一点，满足AD=6,分别以 AB,BD为边作平行四边形ABDE,连接CE,则 (1)CE的最小值是 (2)CE的最大值是 4 y 三、解答题(6题) I3.如图，C为线段BD上一动点，分别过点B,D作AB⊥BD,ED⊥BD,连接AC,EC.已知 AB=2,DE =1,BD=4,CD=x. (1)用含x的代数式表示AC+CE的值； (2)探究：当点C满足什么条件时，AC+CE的值最小？最小值是多少？ E 14.如图，在△ABC中，BC=3,将△ABC平移4个单位长度得到△ABC1,点P,Q分别是AB, AC的中点，求P2的最大值和最小值. B 15.如下图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10,AC=8,D,E分别是边AB,AC上的动点，F ,G分别是ED,EC的中点.求FG的最小值. C G E D B 16.如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+2k≠0)与x轴和y轴分别交于点A,B,直线 与y轴交于点D(0,8),Z与2交于点C(3,5),过点C作CE⊥x轴于E. (1)求AC的长； (2)点P是x轴上一动点，过点P作x轴的垂线，分别与直线I,交于点M,N,设点P的 横坐标为t,线段MN的长为m,△CMN的面积为S,请先画出图形，再求S关于t的函数关系 式 (3)在(2)的条件下， ①当0≤1≤5时，m的最大值是 ②当t的值为 时，以M、N、C、E为顶点的四边形为平行四边形，（直接写出答案） 17.(1)如图，口ABCD的对角线AC和BD相交于点O,EF过点O且与边AB、CD分别相交于点 E和点F.求证：OE=OF; (2)若LADB=90,AB=5,AD=3,则四边形ADFE的面积为一，EF的最小值为一· D 0外 6 B 18.如图，在平面直角坐标系x0y中，直线y=3x+3与x轴和y轴分别相交于A,B两点，与直 线y=x相交于点C. (1)△B0C的面积为 (2)P为直线y=3x+3上一点，连接OP,若LAP0=2LAB0,求点P的坐标； (3)M(a,a),N(a+l,a+l)为平面内两点，连接BM,BN,BM+BN是否存在最小值，若存在， 请直接写出最小值；若不存在，请说明理由， y外 备用图 参考答案 一、单选题 1.D 解：过点B作BH⊥AC于H, A D B H C F,M分别是AD,DE的中点， .FM=TAE, 2 当AE取最小值时，FM的值最小， 由垂线段最短可知，当AE⊥BC于点E时，AE的值最小， 在△ABC中，AB=BC=10,AC=12, :.CH=-AC=6, 2 ∴.BH=VBC2-CH2=8, .S4c=)x12x8=48=}BCAE, 1 2 2 .AE=9.6, .∴.FM=4.8, 故选：D, 2.C 解：如图，连接MC;过点M作ME⊥CD,交CD的延长线于点E; C M A ,四边形ABCD为平行四边形， ∴.AD‖BC,AD=BC=4, ,点M为AD的中点，∠BCD=30°， ∴.DM=MA=2,∠MDE=LBCD=30°， .∴.ME=DM=l, :DE=DM2-ME2=22-12=3, ∴CE=CD+DE=4V5, 由勾股定理得：CM2=ME2+CE2, .∴CM=VME2+CE2=V2+(45°=7， 由翻折变换的性质得：MA'=MA=2, 当折线MA'C与线段MC重合时，线段A'C的长度最短， 此时A'C=7-2=5, 故选C. 3.A 解：取AC的中点N,连接MN,BN, .点N为AC中点，AC=4, .AN=4C=2, 2 ,在Rt△ABN中，∠BAN=90°，AB=3, ∴.BN=√AB2+AN2=V32+22=3, 点M为AP中点，点N为AC中点，CP=2, :.MN=-CP-1, 2 ∴.在△BMN中，BM<BN+MN,即BM<V13+1, 当点B、M、N在同一直线上时，BM=BN+MN, 此时BM取最大值3+1， 故选：A. 4.B 解：直线AB:y=mx-3m+4=mx-3+4, ∴.AB过定点M(3,4, ∴.0M=5, 作OH⊥AB于H, ∴.0H≤OM, △AB0的面积的最大值=x5x5=25 2 2, 个y B M 以点0、A、B、C为顶点的平行四边形面积的最大值是25， 故选：B 5.C 解：：∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=1, :AB=2BC=2, :AC=AB2-BC2=3, AD =BE, :AD+DB=BE+DB, :DE =AB=2, 当CD取最小值时，则CD+DE取最小值，当CD⊥AB时，CD取最小值， 此时2ABCD-)ACBC, 21 造*2xcD-是×3×1，解得cD=5 :CD的最小值为 2, :DE+DE的最小值为5+2，故A结论正确，不符合题意： 2 当CE取最大值时，则CE-DE取最大值，当D与B重合时，CE取最大值. 如图1，作CH⊥AB于H, ABCH=ACBC, 2 :)x2CH-)x5x1,解得CH=5 :.BH-BC-CH-1 ’ 2*25 EH=BH+DE= 2’ 在Rt△CEH中，CE=VCH2+EH 3 万， 2 2 :CE的最大值为√万， :CE-DE的最大值为√7-2，故B结论正确，不符合题意； 如图2，以AB为一边作∠PAB=∠BAC=30°，过C作CP⊥AP交AB于D, 六PD=AD,∠ACP=90°-∠PAB-∠BAC=30°， :.CD+LAD=CD+PD, 2 当C,D,P三点共线，且CP⊥AP时，DC+AD取最小值CP, AC=, .AP= 2 CP=VAC2-AP :0C+4D的最小值为)，故C结论错误，符合题意： 如图3，过E作EF CD,过C作CFI‖DE,CF与EF相交于F, 作C关于AB的对称点G,分别连接CG,EG,FG,CG与AB交于H, 则GE=CE,CG=2CH=√5，CG⊥CF,四边形CDEF是平行四边形， :FE=CD CF=DE=2, :CD+CE=FE+GE≥FG, FG=CG2+CF2= V5+22=万， :当G,E,F三点共线时，CD+CE最小值，最小值为√万， △CDE的周长的最小值为√万+2，故D结论正确，不符合题意， B(D) 图1 图2 G图3 6.D 解：过点E作EJ⊥AD于点J,则∠DJE=90°， 平行四边形ABCD, .AB=CD,AB∥CD, ∴.LBAC=LEDJ, ,∠ACB=90°， .'ZACB ZDJE .△ACB≌△DJE(AAS), .'EJ BC=2, 5e-号4CE/-x26x2=25, 1 2 ∴.△ACE的面积不变，故A正确； 如图，作点C关于BD的对称点G,连接AG、BG,则BG=BC=2, D E AG≤AB+BG, .当点A、B、G三点共线时，AG的值最大，如图， G LACB=90°，BC=2,AC=2V5, .AB=AC2+BC:=2)+2=4, .∴.AG=AB+BG=4+2=6, AG的最大值为6，故B正确： .'EJ=BC=2, .点E到直线AD的距离为2，即点E在如图直线1上运动， 延长BC交直线I于点T,至点B,使得B'T=BT,连接B'E、B'A, B B I∥AD,BC⊥AD, ∴.BB'11, ∴点B为点B关于直线1上的对称点， ∴.B'E=BE,B'T=BT, I∥AD,EJ⊥AD,CT⊥AD, .'.CT=EJ=2, ∴.B'T=BT=2+2=4, .BE =B'E 2 B'T=4, ∴.BE的最小值为4，故C正确； ,AE+BE=AE+B'E≥AB', .当点A、E、B'三点共线时，AE+BE取得最小值，最小值即为AB的长， ,B'C=B'T+CT=4+2=6, AB'=VAC2+B'C2=25+62=45, ∴.AE+BE的最小值为43， 又，四边形ABDE是平行四边形， ∴.BD=AE,DE=AB=4, .△BED的周长=BD+BE+DE=AE+BE+DE=AE+BE+4, ∴.当AE+BE取最小值时，△BED的周长最小， ∴△BED的周长的最小值为4√5+4，故D错误； 综上，结论错误的是D, 故选：D, 二、填空题 7.号 解：如图，过点C作CF⊥AB于F, B 在Rt△ABC中，∠BCA=90°，AC=3,BC=4, :S.Hc=)×ACx BC=)×ABxCF, 2 2 CF=12 , :四边形ADCE是平行四边形， ∴.AB∥CD, ·当DE⊥AB时，DE有最小值， 此：CF=DE-号， 故答案有：号 8. 4-√54+V5 解：连接BA',如图： :平行四边形ABCD的坐标分别为A(-1,0)、B(0,2)、C(4,2)、D(3,0), :AB=V042+0B2=V2+22=5,BC=4, :若点A关于BP的对称点为A, :BA'=BA=5, 在△BA/C中，由三角形三边关系可知：BC+BA'≥A'C≥BC-BA', 4+√≥A'C≥4-√5，即A'C的最小值为4-V5,最大值为4+V5. 故答案为：4-√5,4+√5. 9.4 解：连接AC,取AC的中点G,连接EG,FG,如图所示， D E G :E,G分别为边AB,AC的中点， .EG是△ABC的中位线， :.EG=1BC=1x5=2.5 2 同理，FG是△ACD的中位线， 根据三角形三边关系可知：EF≤EG+FG, :当E,G,F三点共线时，EF最大，且最大值为2.5+1.5=4. 10.4 解：如图，延长AB到Q,使PQ=AP,连接CQ,DQ, D M PB AB=6,PB=1, .AP=P2=5,BQ=4, ∴.CQ=VB02+BC2=V32+42=5, ,点M是AD中点， ∴.PM是△AQD的中位线， .PM-7D0, .CD=BC=3, ∴.点D、C、Q三点在一条直线上时，DQ有最大值， .D9的最大值为CD+CQ=3+5=8, ∴线段PM的最大值为)D0=4, 故答案为：4 11.3 解：连接AC,FC, A F 7 G B C :点E是BC的中点，BF的中点为G. ·GE=5CF,BE=CE, :点F是AD上的动点， 当点F运动到点A时，即CF与AC重合，CF最大，则EG最大， AB=AE=BE =23, .LABC=∠AEB=60°，AE=CE=2V5, 4C=ZECA∠AEB30 ∠BAC=180°-∠ABC-∠ECA=90°， :AC=BC2-AB2=6, :EG的最大值是)4C=x6=3. 2 2 12. 6√2-6 6√2+6 解：(1)如图，在BA延长线上截取AF=DE,连接EF,CF, 分 B .口ABDE,AD=6, FB∥DE,DE=AB=6, :四边形ADEF是平行四边形， .EF∥AD,EF=AD=6, :∠BAC=90°，AB=AC=6, ∠FAC=90°，AF=AC=6, △AFC是等腰直角三角形， CF=AF2+AC2=62, CE≥CF-EF, CE≥62-6， :CE的最小值是6√2-6； (2)由(1)得CE≤CF+EF, CE≤6V2+6, :CE的最大值是62+6， 三、解答题 13.(1)解：·AB⊥BD,ED⊥BD, ∴.△ABC,△CDE都是直角三角形， .BD=4,CD=x, ∴BC=4-x, 在RtAABC,RtACDE中， .AC=AB2+BC2=2+(4-x), CE=CD2+DE2=x2+1, .AC+CE=22+(4-x)2+V2+1; (2)解：当A、C、E三点共线时，AC+CE的值最小，最小值为AE的长， 过A作AF⊥DE交ED的延长线于F, D 图1 .AF∥BD, .DF=AB=2, ∴.AE=V32+42=5, .AC+CE的最小值是5. 14. 解：取AC的中点M,AB的中点N,连接PM,MO,NO,PN,如图： A B B ,△ABC是△ABC平移4个单位长度得到的，BC=3 ∴.BC1=BC=3,PN=4 ,点P,Q分别是AB,AC的中点 :Q-8G,=克 3 且PO满足：PN-NQ≤PQ≤PN+Ng 故4-3sP0s4+3 2 阳s号 2 P四的极小值等专弓，最大值等于号 15. 解：如图，连接CD. G D F,G分别是ED,EC的中点， FG是△EDC的中位线， :.FG=CD, 2 :当CD最小时，FG最小. 根据题意可知，当CD⊥AB时，CD最小，即FG最小. 在△ABC中，∠ACB=90°，AB=10,AC=8, 则BC=VAB2-AC2=02-82=6. 当CD1AB时，5r4CBC=4B-CD, 2 即x6x8=x10xCD, 2 解得CD=4.8, :FG的最小值是2.4. 16. 解：(1)，y=kx+2(k≠0过C(3,5), 5=3k+2, 解得：k=1, y=x+2, ,y=x+2交x轴于A点， 令y=0, ∴.x+2=0, x=-2, .A(-2,0), .AC=V-2-3)2+(0-5)2=52; (2),点P是x轴上一动点， 设P(t,0), .h与y轴交于点D(0,8), ∴.设l2y=kx+8且点C(3,5)在上， 5=3k'+8, 解得：k'=-1, .12y=-x+8, 过点P作x轴的垂线，分别与直线4，马交于点M,N, ∴.M(t,t+2),N(t,-t+8), MN=m=t+2-(-t+8)=2t-6, 分两种情况： .C(3,5), ①M、N在C点左侧时即1<3时， h OP E :s=×3-×6-2), ∴.S=(3-t)2=(t-3), ②M、N在C点右侧时即t>3时， 不M B O E PY s=1-321-61, ∴.S=(t-3)2, .综上所述S=(t-3): (3)①由(2)知S=(t-3)2, ∴.当0≤1≤5时，1=0时S有最大值9， 故答案为：9： ②由(2)知MN=m=t+2-(-t+8)=2t-6, .CE1x轴，且C(3,5), CE=5, ,MN⊥x轴， ∴.MN∥CE, 当以M、N、C、E为顶点的四边形为平行四边形时，只需MN=CE即可， ∴.5=2t-6, ∴.21-6=5或2t-6=-5, 解得：1号或 故答案为：我} 17.(1)证明：，ABCD中，OB=OD,AB∥DC, ∴.∠EB0=∠FD0, .B0E=∠D0F, ∴.△BEO≌△DFO(ASA), ∴.OE=OF. (2)解：，∠ADB=90°，AB=5,AD=3, ·BD=VAB2-BD2=4, △48D的面积=号D:BD=6, △BEO≌△DF0, 四边形ADFE的面积=△ABD的面积=6， 当EF⊥AB时，EF的值最小， :△48D的面积=号4D-BD=AB-FE, 3x4=5FE, ∴.EF=2.4, ∴.EF的最小值为2.4. 故答案为：6,2.4. 18.(1)解：当x=0时，y=3, ∴.B0,3), 当y=0时，x=-1, ∴.A-1,0), 3 当3x+3=x时，x=- c》, 5324 1 39 9 故答案为：4 (2)解：如图1，当点P在第二象限时，作PD⊥OB于点D. B P A 图1 LAP0=∠AB0+∠POB,∠AP0=2LAB0, .LAB0=∠P0B. .PO=PB. PD⊥OB, :0D=BD=号0B 令x=0,则y=3,点B的坐标为(0,3)，0B=3. 00- 点D的坐标为0， 、点P的纵坐标为2 、3 令y=2' 则3x+3= 2,=-1 点P的坐标为22 13 当点P在第三象限时，如图2，作OQ=OP交AB于点Q,作PE⊥OB于点E. B -dE 图2 ∴.∠OPQ=∠OQP,LPE0=90°. LAPO 2ZAB0, ∴.∠OQP=2∠ABO.由上可知∠ABO=∠QOB,QO=QB. ,∠A0B=90°， ∴.∠BAO+∠AB0=∠AOQ+∠QOB=90°. ∴.∠BAO=∠AOQ. ∴.Q0=QA. ∴Q0=QA=QB=AB. 2 令y=0,则3x+3=0,x=-1,点A的坐标为(-1,0)，0A=1. 在RtaA0B中，根据勾股定理得AB=VOA2+OB2=√0. 00= 2 ..PO= 2 设点P的坐标为(a,3a+3),则PE=-a,0E=-3a-3. 在Rt△PE0中，根据勾股定理得PE2+OE2=OP2. ∴.(-a)2+(-3a-3)2 √10 2 解得a,=2 1 （不合题意，舍去)，4，：-品 10 1时，3a+3= 9 当a= 10 10 139 点P的坐标为 1010 踪上所选，点P的坐标为引支（品品】 (3)'M(a,a,N(a+l,a+l), M、N在直线y=x上， :MN=√2， 作B点关于y=x对称，对称点为G3,0), 如图，过G点作GH∥MN,连接MG,过点N作NH∥MG, :四边形MGHN是平行四边形， :BM =MG=NH BM+BN=NH+BN≥BH, 连接BG, :BG⊥MN, ·∠BGH=90°， 在Rt BGH中，BG=3√2，GH=√2， ·BH=2V5, :BM+BN的最小值为2√5.