第6章 微专题13 平行四边形中的最值问题-【宝典训练】2025-2026学年八年级下册数学高效课堂（北师大版·新教材）

数学·八年级下册（北师大版） 微专题13 平行四边形中的最值问题 类型1一个动点，求两条线段的和，作一个对称点 类型2两个动点，求几条线段的和，作两个对称点 例1如图所示，四边形OABC为正方形，边长为例2如图，∠AOB=30°，点M,N分别在边OA, 6,点A,C分别在x轴，y轴的正半轴上，点D在OB上，且OM=3,ON=5,点P,Q分别在边 OA上，且D的坐标为(2,0)，P是OB上的一动OB,OA上，则MP+PQ十QN的最小值是 点，则PD+PA和的最小值是 类型3两个动点，求两条线段的和，作一个对称点，结合垂线段最短 例3(2023春·厦门期中)如图，在□ABCD中，AB=2,BC=4,∠D=60°，点P,Q分别是AC和BC 上的动点，在点P和点Q运动的过程中，求PB十PQ的最小值. ●>138。 第六章平行四边形 类型4两个动点，主从联动，找动点轨迹，根据 类型5两个动点，求一条线段的最小值，利用等 垂线段最短 量代换，根据垂线段最短 例4如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A例5如图，在菱形ABCD中，∠B=45°，E,F分 (1,0),点C是y轴上的动点，线段CA绕着点C别是边CD,BC上的动点，连接AE,EF,G,H分 逆时针旋转90°至线段CB,连接BO,则BO的最别为AE,EF的中点，连接GH.若GH的最小值 小值是 为3，则BC= 类型6两个动点，求两条线段的和，作一个对称点 例6如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC=60°，AB=BC=4,E,F分别是边BC和对角线BD上 的动点，且BE=DF,求AE十AF的最小值. ●>139,四边形ABCD是平行四边形， ∴.AB∥CD ∴.∠ABC+∠BCD=180°， ·∠EBC+∠ECB=Z∠ABC+∠BCD=9O, ∠BEC=90. (2)解：，四边形ABCD是平行四边形， .AD∥BC,CD=AB=2, ∴.∠EBC=∠AEB, BE平分∠ABC,∠EBC=∠ABE, ∴.∠AEB=∠ABE,∴.AB=AE=2, 同理可证DE=DC=2, ∴.AD=DE+AE=4, .CABCD=2X(4+2)=12. 【举一反三】(1)证明：四边形ABCD是平行四边形， ∴.AD∥BC,.∠ADE=∠DEC, 又，DE平分∠ADC, .∠ADE=∠EDC, .∠DEC=∠EDC,.CD=CE. (2)解：.四边形ABCD是平行四边形，∠C=108° .AD∥BC,AB=CD,∠BAD=∠C=108°， .∠B+∠C=180°， ∠B=180°-108°=72°， .BE=CE,CE=CD,AB=CD, ..AB=BE, ∠BAE=∠BEA=号X(180°-72)=54， ∴.∠DAE=∠BAD-∠BAE=108°-54°=54° 例2(1)证明：由折叠的性质可知，∠AEB=∠AEF,BE =EF, E是BC边的中点，BE=CE, .EF=CE,∴.∠EFC=∠ECF, :∠AEB+∠AEF+∠CEF=18O°， ∠EFC+∠ECF+∠CEF=180°， .2∠AEF=2∠EFC,∴.∠AEF=∠EFC, .CF∥AE. (2)解：由题意可知，AE为对称轴，点B,F为对应点， 如答图，连接BF交AE于点G, 由折叠的性质可知，AE垂直 平分BF, ·∠BGA=∠BGE,点G为 BF的中点， E是BC边的中点， H 答图 EG为△BCF的中位线， EG-CF, 设EG=x,则CF=2x, ,AE=AB=9,BC=12, AG-AE-EG-9-x,BE-BC-6, 在Rt△AGB中，BG=AB2-AG, 在Rt△EGB中，BG=BE-EG, .92一(9一x)2=62一x,解得x=2, .CF=4. 【举一反三】(1)证明：点C与点A重合，折痕为EF, ∴.∠AEF=∠CEF,AE=EC, :四边形ABCD为平行四边形， ∴.AD∥BC,.∠AFE=∠CEF ∠AEF=∠AFE,.AE=AF,∴AF=EC, 又.AF∥EC, 23 参考苔 四边形AFCE是平行四边形， (2)解：如答图，作AG⊥ BE于点G, 则∠AGB = ∠AGE =90°， D 点D的落点为点D,折 痕为EF, GE ..D'F=DF, 答图 ,四边形ABCD为平行四边形，AD=BC, 又，AF=EC,∴.AD-AF=BC-EC,即DF=BE, :在Rt△AGB中，∠AGB=90°，∠B=45°，AB= 6/2, ..AG=GB=6, ,四边形AFCE为平行四边形，.AE∥FC, .∠AEB=∠FCE=60°， :在Rt△AGE中，∠AGE=90°，∠AEB=60°， GE-AG-2/3,BE-BG+GE-6+2/, .D'F=6+2/3. 微专题13平行四边形中的最值问题 例1210 例234 例3解：如答图，取BC的中点G,连接AG. :AB=BG=2,∠ABG=∠D=60°， ∴△ABG是等边三角形， .AG=GC=2,∠AGB= ∠BAG=60°， ∴.∠GAC=∠GCA=30°， ∴∠BAC=90°，作点B关 D 于AC的对称点F,连接 CF,作FE⊥BC于点E, P ,CF=CB,∠CBF=60°， B GEQ ∴.△BCF是等边三角形， 答图 .PB=PF,..PB+PQ=FP+PQ>FE, 则EF的长即为PB十PQ的最小值（垂线段最短）， EF=x4=2g, BP+PQ的最小值为2/3. 例4 例56/2 例6解：如答图，在BC的下方作∠CBT=30°，截取BT,使得 BT=AD,连接ET,AT 四边形ABCD是平行四边形，且AB=BC=4,∠ABC =60°， ∴.∠ADC=∠ABC=60°，∠ADF= 2∠ADC=30, .AD=BT,∠ADF= ∠TBE=30°，DF=BE, D ∴.△ADF≌△TBE (SAS),.'.AF=ET, :∠ABT=∠ABC+ ∠CBT=60°+30°=BE 90°，AB=AD=BT=4, ∴AT=AB+BT= 答图 /4+4=42,∴.AE+ AF=AE+ET, :AE+ET≥AT,.AE+AF≥4/2， .AE+AF的最小值为4/2.