27.1反比例函数的概念 课件 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦反比例函数概念，涵盖定义、三种表达形式及待定系数法求解析式。通过矩形面积、三角形面积等实际问题导入，衔接函数概念旧知，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于结合跨学科实例（如气体压强、密度计）和生活情境（视力表），培养学生用数学眼光观察现实世界。通过定义辨析、待定系数法步骤（一设二代三解四写）强化推理意识，助力学生提升应用能力，也为教师提供系统教学资源。

27.1 反比例函数的概念 学习目标 课时讲解 1 课时流程 2 反比例函数 用待定系数法求反比例函数的解析式 逐点 导讲练 课堂小结 作业提升 知1－讲 感悟新知 知识点 反比例函数 1 1. 反比例函数的概念：一般地，形如y= (k为常数，k≠0)的函数叫作反比例函数，其中x 是自变量，y 是x 的函数. 自变量x 的取值范围是不等于0 的一切实数. 这是反比例函数定义的一部分，不能遗漏 知1－讲 感悟新知 注意 反比例函数y=(k≠ 0)中，k称为比例系数，如y= ，比例系数k= . 知1－讲 感悟新知 2.反比例函数的三种形式 (1)y=；(2)y=kx-1；(3)xy=k.(其中k为常数，k≠0) 特别提醒：形如y=+1，(x+1)y=3，y=(x+1)-1 等的函数都不是反比例函数. 感悟新知 知1－讲 特别提醒 在y= 中，无论变量x，y怎样变化，k 的值始终等于x 与y的乘积. 若k=0，则y= =0恒成立，失去了x，y成反比例的意义，所以k≠0. 知1－练 感悟新知 [母题 教材P65 练习T1]用函数解析式表示下列 问题中变量之间的关系，并指出它们各是什么函数. (1)一个面积为500 m2的矩形花坛,花坛的长y(单位：m)与宽x(单位：m)的关系； (2)一个三角形的面积是8 cm2，它的一边长a(单位：cm)与这条边上的高h(单位：cm)的关系； (3)A，B两地相距1 300 km,一辆汽车从A地到B地,它行驶的平均速度v(单位：km/h)与时间t(单位：h)的关系. 例1 解题秘方：根据“矩形的面积=长×宽，三角形的面积= ×底×高, 路程= 速度× 时间”三个常用关系式列式即可. 知1－练 感悟新知 解：(1)y= ；(2)a= ；(3)v= . 它们都是反比例函数. 知1－练 感悟新知 1-1. 用函数解析式表示下列问题中变量之间的关系： (1)当圆锥的体积是50 cm3 时, 它的高h( 单位：cm)与底面圆的面积S( 单位：cm2) 的关系：______________ ； (2)玲玲把200元全部用来买营养品送给妈妈, 她所能购买营养品的质量y(单位：kg)与价格x( 单位：元/kg) 的关系： ______________. h= y= 知1－练 感悟新知 有下列函数：① y= x-1；② y= ；③ xy=8；④ y= +1；⑤y= ；⑥ y= ；⑦ y=- ；⑧ y= (a≠2，且a为常数).其中，y是x的反比例函数的有___________(填序号). 例2 ①②③⑦⑧ 知1－练 感悟新知 解题秘方：用定义法进行判断，即看所给函数是否符合反比例函数的三种形式. 解：①②③⑦符合反比例函数的定义，④⑤不符合反比例函数的定义，⑥是正比例函数. ⑧中，因为a≠2，且a 为常数，所以a-2 是不等于0 的常数，因此该函数是反比例函数. 知1－练 感悟新知 2-1. 下列函数中，y是x的反比例函数的是( ) A.y= B.y= C.y= D.y= B 感悟新知 知2－讲 知识点 用待定系数法求反比例函数的解析式 2 1. 确定反比例函数解析式的方法是待定系数法，由于在反比例函数y=(k 为常数，k≠0)中只有一个待定系数，因此只需要一对x，y的对应值，即可求出k 的值，从而确定其解析式. 感悟新知 知2－讲 2. 用待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤 感悟新知 知2－讲 3. 反比例关系、反比例函数的区别与联系 (1)如果xy=k(k 为常数，k≠0)，那么x 与y 这两个量成反比例关系，这里的x 和y 既可以是单项式，也可以是多项式. (2)反比例关系、反比例函数的区别与联系如下表所示. 感悟新知 知2－讲 联 系 成反比例关系的两个量中，一个变量不一定是另一个变量的反比例函数，但在反比例函数y=(k 为常数，k≠0)中的两个变量必成反比例关系 区 别 反比例函数中有自变量和函数的区分，而成反比例关系的两个量没有这种区分简记：一设，二代，三解，四写 示例解读 若y+2 与x-5成反比例关系，则y+2=(k为常数，k≠0)，整理，得y=-2，显然，y 不是x的反比例函数． 知2－讲 感悟新知 特别解读 1.用待定系数法求反比例函数的解析式的实质是代入一对对应值，解一元一次方程. 2.当题目中已经明确“y 是x的反比例函数”或“y与x成反比例关系”时，可直接设函数的解析式为y=(k为常数，k≠0). 感悟新知 知2－练 [母题 教材P65 例题]已知y 是x 的反比例函数，当x=3 时，y=6. (1)求出y关于x的函数解析式； (2)当x=-2时，求y的值； (3)当y=4.5时，求x的值. 例3 知2－练 感悟新知 思路导引： 知2－练 感悟新知 解：(1)由题意，设y 关于x 的函数解析式为y=(k≠0). 把x=3，y=6 代入y= (k≠0)，得6=，则k=3×6=18. 所以y 关于x 的函数解析式是y= . (2)把x=-2 代入y= ，得y= =-9. (3)把y=4.5 代入y= ，得4.5= ，解得x=4. 知2－练 感悟新知 3-1. [母题 教材P66 习题T3]已知y与x3成反比例，并且当x=2时，y=-3，则当x=-3时，y=_________ ． 知2－练 感悟新知 3-2. 已知y是x的反比例函数，当x=2时，y=12. (1)求y关于x的函数解析式； 解：设y关于x的函数解析式为y=. 将x=2，y=12代入，得12=，解得k=24， ∴y关于x的函数解析式为y=. 知2－练 感悟新知 (2)当y=-6时，求x的值． 解：当y=-6时，-6=24x，解得x=-4. 反比例函数的概念 反比例函数 定义 表达形式 反比例关系与 反比例函数 求反比例函数 的解析式 课堂小结 题型 利用表格信息求反比例函数解析式 1 已知y是x的函数，下表给出了x与y的一些对应值： 例4 x -3 -1 3 y 1 2 4 -4 -2 -1 - 猜想y是x的正比例函数还是反比例函数，求出这个函数的解析式，并完成上表. 综合应用创新 思路导引： 综合应用创新 解：假设y是x的正比例函数，设函数解析式为y=mx(m≠0)， 把x=-1，y=2 代入y=mx，解得m=-2，所以y=-2x. 把x=3 代入y=-2x，得y=-6≠- ，所以y 不是x 的正比例函数. 假设y 是x 的反比例函数，设函数解析式为y= (k≠0)， 把x=-1，y=2 代入y= ，解得k=-2，所以y=- . 把x=3 代入y=- ，得y=- . 所以y 是x 的反比例函数，函数的解析式为y=- . 补全表格如表所示. 综合应用创新 x -3 -2 -1 - 1 2 3 y 1 2 4 -4 -2 -1 - 另解 因为(-1)×2=-2，3×(- )=-2，所以x y是定值.所以y 是x 的反比例函数，且比例系数为-2, 所以函数的解析式为y=- 综合应用创新 知识储备 解决此类给出表格，判断函数类型的题目，需要熟练掌握所学过的正比例函数、反比例函数的概念.可从已知的几对对应值入手，观察其特征，求出相应的函数解析式，并进行判断验证. 综合应用创新 题型 利用正、反比例关系求函数解析式 2 已知y=y1+y2，其中y1与x成正比例，y2与x+1成反比例，并且当x=1时，y=3，当x=-3时，y=-6. (1)求y关于x的函数解析式； (2)当x=-2时，求y的值. 例5 综合应用创新 30 思路导引： 综合应用创新 解：(1)∵ y1 与x 成正比例，y2 与x+1 成反比例， ∴可设y1=k1x，y2= (k1≠0，k2≠0). ∵ y=y1+y2，∴ y=k1x+ . ∵当x=1 时，y=3，当x=-3 时，y=-6. ∴解得 ∴ y 关于x 的函数解析式为y= x+. (2)当x=-2 时，y= ×(-2)+ =-3-3=-6. 综合应用创新 警示误区 误设同一个k 致错： y1 与x成正比例，y2与x+1 成反比例, 两者的比例系数不一定相同，需分别设为k1，k2，不能统一设为k. 综合应用创新 易错点 忽视反比例函数中比例系数不为零而出错 若函数y=(k2+k)xk2-2k-1是反比例函数，试求(k-3)2027的值. 例6 综合应用创新 错解：由题意得k2-2k-1=-1，解得k=0 或k=2． 当k=0 时，(k-3)2027=(0-3)2027=-32027； 当k=2 时，(k-3)2027=(2-3)2027=-1． 正解：由题意得解得 所以k=2.所以(k-3)2027=(2-3)2027=-1. 综合应用创新 诊误区： 利用反比例函数的定义求字母的值时，一定要注意比例系数k≠0 这一条件，否则易造成错误. 综合应用创新 [新趋势跨学科中考·连云港]某气球内充满了一定质量的气体，在温度不变的条件下，气球内气体的压强p(Pa)是气球体积V(m3)的反比例函数. 当V=1.2 m3 时，p=20 000 Pa.则当V=1.5 m3 时，p=_________Pa． 考法 利用待定系数法求反比例函数解析式 1 例7 16000 中考风向标 试题评析：本题考查了实际问题中反比例函数的解析式的确定及其应用，用待定系数法求出解析式是解题的关键. 中考风向标 解：∵气球内气体的压强p(Pa) 是气球体积V(m3) 的反比例函数，∴设这个反比例函数的解析式为p= . 把V=1.2，p=20000 代入p = ，得20000=， 解得k=24 000， ∴ p= .把V=1.5代入p= ，得p= =16 000. 中考风向标 1. 下面四个关系式中，y 是x 的反比例函数的是( ) A. y=2x+1 B. y=- C. y=2x2+x+1 D. y=- D 综合素养训练 2. 已知函数y=(m+1)xm2-2 是反比例函数，则(m-2)2 026 的值为( ) A. 2 026 B. -2 026 C. 1 D. -1 C 综合素养训练 3.[期中·天津红桥区]已知一个函数满足下表(x为自变量)，则这个函数的解析式为( ) A.y= B.y=- C.y= D.y=- B x -3 -2 -1 1 2 3 y 3 4.5 9 -9 -4.5 -3 综合素养训练 4.[中考·湖南]在一定条件下，乐器中弦振动的频率f 与弦长l 成反比例关系，即f=(k 为常数，k≠0)． 若某乐器的弦长l 为0.9 m，振动频率f 为200 Hz，则k 的值为_______． 180 综合素养训练 5. [母题 教材P66 习题T3]已知y-2 与x+3 成反比例，当x=3 时，y=4. (1)求y 关于x 的函数解析式； 解：∵y-2与x+3成反比例,∴可设y-2= (k≠0). 把x=3，y=4代入，得4-2=,解得k=12, ∴y关于x的函数解析式为y=+2. 综合素养训练 (2)当y=-2 时，求x 的值. 解：将y=-2代入y=+2，得-2=+2，解得x=-6. 综合素养训练 6.[新趋势跨学科中考·台州]如图，在科学课上，同学用自制密度计测量液体的密度. 当密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h(单位：cm)是液体密度ρ(单位：g/cm3)的反比例函数，当密度计悬浮在密度为1 g/cm3 的水中时，h=20 cm． 综合素养训练 (1)求h 关于ρ 的函数解析式； 解：设h关于ρ的函数解析式为h=. 把ρ=1，h=20代入解析式，解得k=20， 所以h关于ρ的函数解析式为h=. 综合素养训练 (2)当密度计悬浮在另一种液体中时，h=25 cm，求该液体的密度ρ． 解：把h=25 代入h=，得25=，解得ρ=0.8. 所以该液体的密度ρ为 0.8 g/cm3. 综合素养训练 7. 情境题 生活应用如图，已知视力表上视力值V 和字母E 的宽度a(mm)之间的关系是我们已经学过的一类函数，经整理，视力表上部分视力值V 和字母E 的宽度a(mm)的对应数据如下表： 位置 视力值V a/mm 第1 行 0.1 70 第5 行 0.25 28 第8 行 0.5 14 第14 行 2.0 3.5 综合素养训练 (1)请你根据表格中的数据求出视力值V 与字母E的宽度a(mm)之间的函数解析式； 解：根据题表数据可知，视力值V随着字母E的宽度a的减小而增大，且视力值V和字母E的宽度a的积为定值，故视力值V和字母E的宽度a成反比例函数关系. 设视力值V和字母E的宽度a之间的函数解析式为V=. 将V=0.1，a=70代入V=，得0.1=，解得k=7. 故视力值V和字母E的宽度a之间的函数解析式为V=7a. 综合素养训练 (2)经过测量，第4 行和第7 行两行首个字母E 的宽度a(mm)的值分别是35 和17.5，求第4 行、第7 行的视力值． 解：将a=35代入V=，得V==0.2； 将a=17.5代入V=，得V==0.4. 因此，第4行、第7行的视力值分别是0.2，0.4. 综合素养训练 $