第03讲 立体几何大题常考经典模型归类整理（7大重难点题型）讲义-2025-2026 学年高二下学期数学期末必考重难点题型归纳及检测（苏教版选择性必修第二册）

第03讲 立体几何大题常考经典模型归类整理 目录 01 题型归纳目录 2 02 知识点梳理 3 知识点1：立体几何解答题常考模型 3 03 重难点题型 4 题型一：不规则空间几何体综合题型 4 题型二：立体几何开放性与探究性问题 5 题型三：立体几何翻折变换类问题 7 题型四：立体几何空间作图类题型 9 题型五：几何法推导空间关系、构建空间直角坐标系 11 题型六：空间点位坐标求解难点题型 13 题型七：立体几何创新定义类新题型 15 04 过关检测 18 知识点1：立体几何解答题常考模型 立体几何解答题的核心考查模型主要涵盖柱体、锥体、球体、旋转体及各类多面体，围绕这些基础几何体，考题常涉及表面积与体积运算、截面形态分析、几何体组合拼接与相交切割等典型问题。 除几何体模型运算外，空间位置关系的判定与推证是高频必考题型，重点考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行、垂直关系证明。同时，空间角度的量化计算是高考立体几何的核心重难点，主要包含异面直线夹角、线面角与二面角三类核心角度求解问题。 除此之外，空间距离的计算也是解答题的常规考查方向，以点到平面的距离、两平行平面间的距离为主要考法。熟练掌握各类几何体的基础性质、核心规律与通用解题方法，是突破高考立体几何大题、提升解题准确率与速度的关键。 题型一：不规则空间几何体综合题型 例1．（25-26高二下·陕西安康·期中）如图，三棱台中，上、下底面均为正三角形，，，侧棱底面，且． (1)求三棱台的体积； (2)求异面直线与所成角的余弦值； (3)若点在线段上，且与平面所成角的正弦值为，求的长． 例2．（25-26高二下·浙江温州·期中）如图，在正三棱台中，，，点为的重心． (1)求证：． (2)求直线与平面所成角的正弦值． 例3．（24-25高二下·江苏连云港·期末）如图，几何体是圆柱的四分之一部分，其中底面是半径为的扇形，母线长为，是的中点，为的中点，是上的动点（不与、重合），是圆柱的母线． (1)证明：平面； (2)求三棱锥的体积的最大值； (3)求二面角余弦值的取值范围． 变式1．（24-25高二下·江苏宿迁·期中）在三棱台中，，，，，，平面. (1)若平面平面，求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 题型二：立体几何开放性与探究性问题 例4．（25-26高二下·江苏连云港·期中）如图，等边三角形的边长为8，分别为所在边的中点，为线段的中点，现将三角形沿直线折起，使得二面角为直二面角． (1)求线段的长度； (2)求直线与平面所成角的余弦值； (3)棱上是否存在异于端点的点，使得点到平面的距离为．若存在，请指出点的位置；若不存在，请说明理由． 例5．（25-26高二下·江苏扬州·期中）如图，已知四棱锥的底面是直角梯形，，， ，平面，． (1)设钝二面角大小为，求的值； (2)在棱上是否存在一点（不与端点重合），使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值；如不存在，试说明理由； (3)在上，在上，求最小值． 例6．（25-26高二下·福建宁德·期中）如图，在三棱锥中，底面，，，，为棱上的点，. (1)求证：平面； (2)设与底面所成角的正切值为. （i）求面与面所成的二面角的正弦值； （ii）棱上是否存在点，使得点到面的距离为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由. 变式2．（25-26高二上·福建厦门·期末）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形.，且，，为中点. (1)证明：平面； (2)已知线段上存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为，求到直线的距离. 题型三：立体几何翻折变换类问题 例7．（25-26高二上·四川宜宾·期末）如图1，等腰直角的斜边，D为BC的中点，沿BC上的高AD折叠，使得二面角为60°，如图2，M为CD的中点． (1)求三棱锥的体积． (2)求平面MAB和平面DAB所成角的余弦值． 例8．（25-26高二上·全国·期末）如图1，在边长为2的正方形中，为的中点，分别将，沿，所在直线折叠，使，两点重合于点，如图2，在三棱锥中，为的中点. (1)证明：； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 例9．（25-26高二上·湖南长沙·期末）如图1，在中，已知的平分线交的外接圆于点D.         (1)证明：为等边三角形； (2)证明：； (3)如图2，将沿BC折叠，当时，求直线与底面所成角的正弦值. 变式3．（24-25高二上·河北邢台·期中）如图，在矩形中，，取中点，将和分别沿直线，折叠，使，两点重合于点得到三棱锥． (1)当时，求证：； (2)若二面角的平面角为，是否存在上一点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，请求出点的位置；若不存在，请说明理由． 题型四：立体几何空间作图类题型 例10．（23-24高二下·福建漳州·期末）如图，多面体是三棱台和四棱锥的组合体，底面四边形为正方形，，，，平面平面.    (1)证明：平面； (2)若平面与平面的交线为， （i）作出交线（需要写出必要的作图步骤，保留作图痕迹，无需证明）； （ii）求直线与平面所成角的正弦值. 例11．（25-26高二上·四川成都·期中）在斜三棱柱中，为棱的中点. (1)若与交于点，作图并证明：平面； (2)在中，，. ①若平面，，求二面角的余弦值； ②若，，求四面体的外接球的表面积. 例12．（22-23高二上·山东潍坊·期中）已知正四棱锥中，O为底面ABCD的中心，如图所示． (1)作出过点O与平面PAD平行的截面，在答题卡上作出该截面与四棱锥表面的交线，写出简要作图过程及理由； (2)设PD的中点为G，，求AG与平面PAB所成角的正弦值． 变式4．（25-26高二上·江西南昌·阶段检测）如图，已知在正三棱柱中，，三棱柱外接球半径为，且点分别为棱，的中点． (1)求棱AB的长； (2)过点作三棱柱截面，求截面图形的周长； (3)求平面与平面的夹角的余弦值． 题型五：几何法推导空间关系、构建空间直角坐标系 例13．（25-26高二下·江苏淮安·期中）如图，在三棱柱中，所有棱长均为，，． (1)证明：平面平面； (2)求直线与所成角的余弦值； (3)求二面角的正弦值． 例14．（25-26高二下·江苏泰州·期中）如图，平行六面体的底面是菱形，，，且平面.    (1)求的长. (2)当时，求直线与平面所成的角的正弦值的取值范围. (3)当时，已知动点M到点A的距离是它到平面的距离的倍.若动点M的轨迹、平面和平面三者相交于两点P，Q，求. 例15．（25-26高二下·江苏南京·期中）如图，在菱形中，，，为的中点，将沿翻折至，得到四棱锥． (1)证明：面平面； (2)当二面角为120°时，求和平面所成角的正弦值． 变式5．（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）如图1，在平行四边形中，为的中点．将沿折起，连接与，如图2． (1)当三棱锥的体积最大时，求此时线段的长度； (2)当时， （i）设，是否存在实数，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； （ii）求三棱锥的内切球的半径． 题型六：空间点位坐标求解难点题型 例16．（25-26高二下·河南新乡·期中）如图，在四棱锥中，为正三角形，． (1)证明：平面平面； (2)若，且平面与平面的夹角的余弦值为，求的长． 例17．（25-26高二下·湖南郴州·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，，，，为正三角形． (1)求证：平面平面； (2)设点是三棱锥外接球的球心，求该外接球的半径； (3)在第（2）问的条件下，求直线与平面所成角的正弦值． 例18．（25-26高三下·黑龙江绥化·开学考试）如图，三棱台中，侧面四边形为等腰梯形，底面三角形为正三角形，且，设为棱上的点. (1)若为棱的中点，求证； (2)若三棱台两底面间的距离为，且侧面底面，试探究是否存在点，使直线与平面所成角的正弦值为？若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由. 变式6．（25-26高三下·云南怒江·开学考试）如图，在几何体ABCDEF中，平面，，，，，. (1)证明：是等边三角形； (2)求平面ADE与平面BCF所成二面角的正弦值； (3)已知点M在直线AE上，且平面，求的值. 题型七：立体几何创新定义类新题型 例19．（25-26高二下·江苏徐州·期中）在空间直角坐标系中，定义：过点，且方向向量为的直线的点方向式方程为；过点，且法向量为的平面的点法向式方程为将其整理为一般式方程为，其中. (1)已知直线的点方向式方程为，平面的一般式方程为，求直线与平面所成角的正弦值； (2)请利用法向量和投影向量的相关知识证明：点到平面的距离为； (3)已知斜三棱柱中，侧面所在平面经过三点，，侧面所在平面的一般式方程为，侧面所在平面的一般式方程为，求平面与平面夹角的余弦值. 例20．（25-26高二上·上海松江·期中）在空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”．现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为，我们将这种坐标系称为“斜坐标系”．我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜坐标系”下向量的斜坐标：，，分别为“斜坐标系”下三条数轴（轴、轴、轴）正方向的单位向量，若向量，则与有序实数组相对应，称向量的斜坐标为，记作． (1)若，，求的斜坐标； (2)在平行六面体中，，，，如图，以为基底建立“空间斜坐标系”． ①若，求向量的斜坐标； ②若，且，求． 例21．（25-26高二上·四川成都·期中）（1）在平面直角坐标系中，为坐标原点，定义集合，点，对任意的点，求的取值范围； （2）在空间直角坐标系中，定义集合，，点是集合内任意一点． ①求的最小值； ②求点的轨迹形成图形的全面积． 注：若平面的法向量为，点是平面上一定点，则对于平面上任一点，点满足方程：． 变式7．（24-25高二上·福建福州·期中）新定义：已知，.空间向量的叉积.若在空间直角坐标系中，直线的方向向量为，且过点，直线的方向向量为，且过点，则与方向向量的叉积为，与的混合积为.混合积性质：若，则与共面；若，则与异面.已知直线的一个方向向量为，且过点，直线的一个方向向量为，且过点. (1)用混合积性质证明：与是异面直线； (2)若点，求的长的最小值； (3)若为坐标原点，直线，求的坐标. 1．（2025·广东·模拟预测）如图为正四棱台与正四棱锥拼接而成的几何体． (1)证明：平面； (2)若该四棱台的高为2，，，，求二面角的正弦值． 2．（25-26高二下·湖南·期中）如图，已知四棱锥S-ABCD的底面ABCD是直角梯形，，，，平面ABCD，. (1)设钝二面角大小为a，求的值； (2)在棱上是否存在一点（不与端点重合），使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值；如不存在，试说明理由； (3)E点在上，F点在上，G点在上，求的面积取值范围. 3．（25-26高二上·广东广州·期末）如图，两个正方形ABCD，ABEF的边长都是1，平面平面，，，其中，. (1)当时，证明：平面BEM； (2)是否存在实数，使得平面AMN与平面ABN的夹角为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (3)求的最小值. 4．（23-24高二上·江西九江·期末）如图，在中，，于现将沿折叠，使为直二面角如图，是棱的中点，连接、、． (1)证明：平面平面； (2)若，且棱上有一点满足，求二面角的正弦值． 5．（24-25高二上·辽宁·期末）如图，四边形是正方形，四边形是直角梯形且，，，，，，的中点分别为，，. (1)画出过点，，的截面（不必写出证明过程）； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)若是（1）中过点，，的截面上一点，二面角的余弦值为，求满足题意的点轨迹的长度. 6．（25-26高二下·江苏淮安·期中）如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，． (1)证明：平面PAC； (2)已知，点满足平面PEC． （i）求； （ii）求平面PBD与平面PEC的夹角． 7．（2026高二上·浙江温州·专题练习）如图，在三棱柱中，，直线平面，平面平面. (1)求证：； (2)点为中点，求四棱锥的体积； (3)棱上是否存在一点，使二面角的余弦值为?若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 8．（25-26高二上·重庆·开学考试）已知圆心在原点，且与直线相切，它与x轴分别相交于A，B，过点的直线l交圆O于M，N. (1)求弦长MN的最小值，并求此时直线l的方程； (2)当的面积取得最大值时，将圆沿轴折成直二面角，如图，在上半圆上是否存在点，使平面与平面的夹角的正弦值为，若存在，求的长，若不存在，说明理由； (3)在圆上任取一点，过作轴的垂线段，为垂足，当在圆上运动时，线段的中点的轨迹记为曲线，曲线与直线交于，直线与直线相交于，在定直线上，直线与直线相交于，在定直线上，判断直线，的位置关系，并证明. 9．（24-25高二上·重庆·阶段检测）“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼闵可夫斯基所创词汇，它是一种使用几何度量空间的几何用语，定义如下：在平面直角坐标中的任意两点，的曼哈顿距离为.已知在四边形中，，，，且平分，若将沿线段向上折叠，使二面角为直二面角，如图所示，折叠后点在新图形中对应点记为. (1)计算的大小； (2)若所在平面为，设，且，记点的轨迹为曲线. （i）判断是什么曲线，并求出对应的方程； （ii）设为平面上过点且与直线垂直的直线，已知在直线上，在上，求的最小值. 10．（25-26高二上·河南郑州·期末）如图，在棱长为的正四面体（四个面都是正三角形）中，是的中点，是棱上的动点（不与重合）． (1)当是棱的中点时，求直线与夹角的正弦值； (2)当时，求平面与平面夹角的余弦值． 11．（25-26高二上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，侧面是正三角形．侧面底面，是的中点． (1)证明：平面平面． (2)求二面角的余弦值． (3)求点到平面的距离． 12．（25-26高二上·浙江杭州·期末）如图，正方形与梯形所在的平面互相垂直，，，，，为的中点． (1)求证：平面； (2)求二面角的正切值． 13．（25-26高二上·湖南湘潭·期末）如图，在三棱台中，，平面，． (1)证明：平面平面； (2)若，点满足，求平面与平面夹角的余弦值． 14．（25-26高二上·山西运城·期末）如图，已知斜三棱柱，底面为等腰直角三角形，，的中点为，底面. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 15．（25-26高二上·云南保山·期末）如图，在矩形中，，点为边的中点．将沿着翻折，使得平面平面，点为线段上的动点． (1)求证：平面； (2)①当点运动到何处时，线段的长度最短？最短长度是多少？ ②在①的条件下，求二面角的正弦值． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 立体几何大题常考经典模型归类整理 目录 01 题型归纳目录 2 02 知识点梳理 3 知识点1：立体几何解答题常考模型 3 03 重难点题型 4 题型一：不规则空间几何体综合题型 4 题型二：立体几何开放性与探究性问题 11 题型三：立体几何翻折变换类问题 18 题型四：立体几何空间作图类题型 23 题型五：几何法推导空间关系、构建空间直角坐标系 30 题型六：空间点位坐标求解难点题型 37 题型七：立体几何创新定义类新题型 45 04 过关检测 51 知识点1：立体几何解答题常考模型 立体几何解答题的核心考查模型主要涵盖柱体、锥体、球体、旋转体及各类多面体，围绕这些基础几何体，考题常涉及表面积与体积运算、截面形态分析、几何体组合拼接与相交切割等典型问题。 除几何体模型运算外，空间位置关系的判定与推证是高频必考题型，重点考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行、垂直关系证明。同时，空间角度的量化计算是高考立体几何的核心重难点，主要包含异面直线夹角、线面角与二面角三类核心角度求解问题。 除此之外，空间距离的计算也是解答题的常规考查方向，以点到平面的距离、两平行平面间的距离为主要考法。熟练掌握各类几何体的基础性质、核心规律与通用解题方法，是突破高考立体几何大题、提升解题准确率与速度的关键。 题型一：不规则空间几何体综合题型 例1．（25-26高二下·陕西安康·期中）如图，三棱台中，上、下底面均为正三角形，，，侧棱底面，且． (1)求三棱台的体积； (2)求异面直线与所成角的余弦值； (3)若点在线段上，且与平面所成角的正弦值为，求的长． 【解析】（1）由题意可知，，， 因为侧棱底面，且， 故 . （2）因为底面，且为等边三角形， 以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴， 平面内过点且垂直于的直线为轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、， 所以，， ， 所以异面直线与所成角的余弦值为. （3）易知点、、、、， 设，其中， 设平面的法向量为，，， 则，取，则， ， 由题意可得， 整理可得，解得，符合题意， 此时. 例2．（25-26高二下·浙江温州·期中）如图，在正三棱台中，，，点为的重心． (1)求证：． (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【解析】（1）如图，延长交于点，取的中点，连接和， ∵点为的重心，为正三角形， ∴点为的中点，， 又点为的中点，侧面是等腰梯形， ， ，平面，平面， 平面，. （2）法1： 如图，以点为坐标原点建立空间直角坐标系． 则，，． 在梯形中，作交于点，作交于点， 由正三角形的性质可得，，由勾股定理得， 由， 即可得，由勾股定理得． ，， ，，. 设平面的法向量为． 由得，令，则，． ． ， ∴直线与平面所成角的正弦值为． 法2： 如图，过点作交于点，连接． 平面平面， ∴平面平面. 又平面平面，平面，， 平面， 是直线与平面所成角． 在梯形中，作交于点，作交于点， 由正三角形的性质可得，，由勾股定理得， 由， 即可得， 所以，所以． ． 在中，，即直线与平面所成角的正弦值为． 法3： 如图，补形为正三棱锥． 设点到平面的距离为，直线与平面所成角为． ，， 由，，知，， 由勾股定理得，即， ，即直线与平面所成角的正弦值为． 例3．（24-25高二下·江苏连云港·期末）如图，几何体是圆柱的四分之一部分，其中底面是半径为的扇形，母线长为，是的中点，为的中点，是上的动点（不与、重合），是圆柱的母线． (1)证明：平面； (2)求三棱锥的体积的最大值； (3)求二面角余弦值的取值范围． 【解析】（1）由题意可知，，平面， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、，所以， 易知平面的一个法向量为，则，即， 又因为平面，所以平面. （2）不妨设点，其中， 则、、， ，，， 设平面的一个法向量为，则， 取，可得，所以， 所以点到平面的距离为， 因为为是圆柱的一条母线，故平面， 因为平面，故，则， 所以 ， 因为，则，故，所以， 则， 即三棱锥的体积的最大值为. （3）设平面的一个法向量为， ，，则， 取，则， 所以 ， 因为，则，故. 结合图形可知，二面角的平面角为锐角， 因此，二面角余弦值的取值范围为. 变式1．（24-25高二下·江苏宿迁·期中）在三棱台中，，，，，，平面. (1)若平面平面，求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【解析】（1）因为，，所以为的中位线， 故，又，故， 因为平面，平面，所以平面， 因为平面平面，平面，所以 （2）因为，，所以， 因为平面，平面，所以， 故以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 设，则， ， 设平面的一个法向量为， 则， 解得，令，则，故， 设直线与平面所成角为， 则， 直线与平面所成角的正弦值为. 题型二：立体几何开放性与探究性问题 例4．（25-26高二下·江苏连云港·期中）如图，等边三角形的边长为8，分别为所在边的中点，为线段的中点，现将三角形沿直线折起，使得二面角为直二面角． (1)求线段的长度； (2)求直线与平面所成角的余弦值； (3)棱上是否存在异于端点的点，使得点到平面的距离为．若存在，请指出点的位置；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）连接，因为为线段的中点，所以， 由题意知面面，且面面， 又面，所以平面，取边的中点记为，则． 以点为原点，以为轴建立空间直角坐标系， 易知，所以； （2）由（1）可知， 所以，，， 记平面的一个法向量， 所以 ，不妨取，得，即， 记直线与平面所成角为， 则， 考虑到，有，从而， 所以直线与平面所成角的余弦值为． （3）设，其中． ， ， ，记平面的一个法向量为， 则有， 不妨取，解得，即， 则点到平面的距离， 整理得：，即， 解得或（舍去）， 所以当点位于线段的靠近点的三等分点时， 点到平面的距离为． 例5．（25-26高二下·江苏扬州·期中）如图，已知四棱锥的底面是直角梯形，，， ，平面，． (1)设钝二面角大小为，求的值； (2)在棱上是否存在一点（不与端点重合），使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值；如不存在，试说明理由； (3)在上，在上，求最小值． 【解析】（1）以为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的法向量为，则，即， 令，则可得； 令平面的法向量为，则，即， 令，则可得， 所以， 因为二面角为钝二面角，所以. （2）若存在，设，, 则，故，所以， 设与平面所成角为， 所以， 即，所以或（舍去）， 所以存在点，且. （3）设， 则， 这是关于的二次函数，最小值在时取得， 即， 所以当时，，故. 例6．（25-26高二下·福建宁德·期中）如图，在三棱锥中，底面，，，，为棱上的点，. (1)求证：平面； (2)设与底面所成角的正切值为. （i）求面与面所成的二面角的正弦值； （ii）棱上是否存在点，使得点到面的距离为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）因为底面，面，所以， 又为棱上的点，， 取的中点，所以， 又，所以， 又因为，，所以，所以， 所以，所以，所以， 又，平面， 所以平面； （2）（i）因为底面，所以与底面所成角为， 所以在中，， 又，所以， 如图，以为轴，轴，轴，以1为单位长度，建立空间直角坐标系， 则，，，， ，，， 设平面的一个法向量， 由，即，即， 取，可得， 又由（1）可知为平面的一个法向量， 设平面与平面所成的二面角为， 所以， 所以， 又由（1）可知为平面的一个法向量， 设平面与平面所成的二面角为， 所以平面与平面所成的二面角的正弦值为； （ii）假设存在点，使得点到平面的距离为， 设，由（i）可得， 所以， 又由（i）可知平面的一个法向量， 所以点到平面的距离， 所以，所以为的中点， 变式2．（25-26高二上·福建厦门·期末）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形.，且，，为中点. (1)证明：平面； (2)已知线段上存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为，求到直线的距离. 【解析】（1）记中点为，连接，， 则四边形为正方形，且根据勾股定理得， 所以，则，所以. 又，，，平面， 所以平面. 因为平面，所以， 易知，所以， 又因为，，平面， 所以平面. （2）由（1）知平面，且，所以，，两两相互垂直. 以为坐标原点，以，，分别为，，轴建立如图空间直角坐标系， 则，，，，， 设，，则， 则，，， 设平面与平面的法向量分别为和， 则，令，得. ，令，得. 设平面与平面的夹角为，， 则，解得. 因此，， 所以到直线的距离为. 题型三：立体几何翻折变换类问题 例7．（25-26高二上·四川宜宾·期末）如图1，等腰直角的斜边，D为BC的中点，沿BC上的高AD折叠，使得二面角为60°，如图2，M为CD的中点． (1)求三棱锥的体积． (2)求平面MAB和平面DAB所成角的余弦值． 【解析】（1）在图1中的等腰直角中，为的中点，可得， 所以在图2中，可得， 因为，且平面，所以平面， 所以是二面角的平面角，即， 所以为等边三角形，所以. 所以. （2）以为原点，垂直于的直线为轴，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，则， 则， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 所以， 所以平面和平面所成角的余弦值为. 例8．（25-26高二上·全国·期末）如图1，在边长为2的正方形中，为的中点，分别将，沿，所在直线折叠，使，两点重合于点，如图2，在三棱锥中，为的中点. (1)证明：； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【解析】（1）由条件易知，所以， 而平面，所以平面， 又平面，所以； （2）因为，取的中点，连接，则， 过O作的平行线，则， 所以，以O为原点，直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，所以， 即， 设平面的一个法向量为， 则有，令，则， 所以，， 设直线与平面所成角为， 则. 所以直线与平面所成角的正弦值为. 例9．（25-26高二上·湖南长沙·期末）如图1，在中，已知的平分线交的外接圆于点D.         (1)证明：为等边三角形； (2)证明：； (3)如图2，将沿BC折叠，当时，求直线与底面所成角的正弦值. 【解析】（1）因为平分，且， 所以， 所以为等边三角形. （2）方法一：如图，在线段上取点，使得，连接， 因为平分，且， 所以，所以为等边三角形，所以，① 所以，② 又因为，③ 由①②③可知（AAS）， 所以， 所以. 方法二：在中，由余弦定理得： ，解得. 在中，由正弦定理得，即， 解得，则. . 在中，由正弦定理得，又， 所以. （3）以的中点为原点，为轴正方向，为轴正方向，过且与 轴垂直向上方向为轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则. 设，因为， 所以解得 即. 取平面的一个法向量，则点到平面的距离， 所以直线与底面所成角的正弦值为. 变式3．（24-25高二上·河北邢台·期中）如图，在矩形中，，取中点，将和分别沿直线，折叠，使，两点重合于点得到三棱锥． (1)当时，求证：； (2)若二面角的平面角为，是否存在上一点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，请求出点的位置；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）由题可知，，，， 又因为，所以． 所以．即， 且，平面，可得平面， 由平面，所以． （2）存在，理由如下： 因为，，，平面， 所以平面，二面角的平面角为， 如图所示，以为原点，垂直于所在的直线为轴，、方向为和轴． 则，，，， 可得，， 设， 则 平面的一个法向量为， 设直线与平面的夹角， 可得，解得， 故位于中点时，满足条件. 题型四：立体几何空间作图类题型 例10．（23-24高二下·福建漳州·期末）如图，多面体是三棱台和四棱锥的组合体，底面四边形为正方形，，，，平面平面.    (1)证明：平面； (2)若平面与平面的交线为， （i）作出交线（需要写出必要的作图步骤，保留作图痕迹，无需证明）； （ii）求直线与平面所成角的正弦值. 【解析】（1）如图，    在上取点，使，连接，， 因为，所以， 所以，且， 又在正方形中，， 所以，， 又在三棱台中，， 所以，且，所以四边形为平行四边形， 所以， 又平面，平面， 所以平面. （2）（i）延长和交于一点，连接，如图，    则直线即为平面与平面的交线. （ii）由平面平面，平面平面，， 平面， 所以平面，又，所以，，两两垂直， 以为坐标原点，分别以，，为轴，轴，轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， ，，， ， 又因为，，所以在中，， 所以， ， 取直线的方向向量为， 设平面的法向量为， 由得，取， 设直线与平面所成的角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 例11．（25-26高二上·四川成都·期中）在斜三棱柱中，为棱的中点. (1)若与交于点，作图并证明：平面； (2)在中，，. ①若平面，，求二面角的余弦值； ②若，，求四面体的外接球的表面积. 【解析】（1）证明：如图连接， 在中， ，， ， 又平面，平面， 平面； （2）如图，以为坐标原点，CA，CB所在直线分别为轴、轴，过点且垂直于平面的直线为轴建立空间直角坐标系， 则，，，， ①由题意，， 设平面的法向量为， ，， ，取， 设平面的法向量为， ，， ，取， ， 二面角为锐二面角， 二面角的余弦值为； ②设，由题意得， 解得，，， ， 记四面体的外接球球心为点， 则点在平面内的射影点为， 设， 由，得， 解得， 记四面体的外接球半径为， 则， 故四面体的外接球的表面积为. 例12．（22-23高二上·山东潍坊·期中）已知正四棱锥中，O为底面ABCD的中心，如图所示． (1)作出过点O与平面PAD平行的截面，在答题卡上作出该截面与四棱锥表面的交线，写出简要作图过程及理由； (2)设PD的中点为G，，求AG与平面PAB所成角的正弦值． 【解析】（1）如图所示， 取PC中点E，DC的中点F，连接EF，FO，并延长FO交AB于M， 截面EFN交侧棱PB于N，则， 连接AC，O为AC的中点，所以， 又，， 截面EFMN，截面EFMN， 平面PAD，平面PAD，所以平面平面EFMN． 所以平面EFMN为所求截面． （2）不妨设四棱锥的所有棱长均为2，以O为原点，过O点且分别与AB，BC平行的直线为x轴、y轴，OP为z轴，建立如图所示空间直角坐标系（图）． 可得，，，． 则，， ， 设平面PAB的一个法向量为， 则，即，取，则， 设AG与平面PAB所成角为，则， 所以AG与平面PAB所成角的正弦值为． 变式4．（25-26高二上·江西南昌·阶段检测）如图，已知在正三棱柱中，，三棱柱外接球半径为，且点分别为棱，的中点． (1)求棱AB的长； (2)过点作三棱柱截面，求截面图形的周长； (3)求平面与平面的夹角的余弦值． 【解析】（1）如图，三棱柱外接球球心为，三角形外接圆圆心为， 由正三棱柱中，，则，且， 因为三棱柱外接球半径为，则， 因为为正三角形，又底面正的外接圆的半径为， 所以， 又 则， 解得. （2）因为点分别为棱，的中点，可得， 如图所示，延长交于点，连接交于点，四边形为所求截面， 取的中点， 则，所以， 在中，由余弦定理得，所以可得， 所以截面图形的周长为. （3）以点为原点，以所在的直线分别为轴，以过点垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 因为，可得， 则 设平面的法向量为，则， 取，则，所以， 取的中点，因为为等边三角形，可得， 又因为平面，且平面，所以， 因为且平面，所以平面， 又由，可得， 所以平面的一个法向量为， 设两个平面所成角为，则， 所以平面与平面的夹角的余弦值． 题型五：几何法推导空间关系、构建空间直角坐标系 例13．（25-26高二下·江苏淮安·期中）如图，在三棱柱中，所有棱长均为，，． (1)证明：平面平面； (2)求直线与所成角的余弦值； (3)求二面角的正弦值． 【解析】（1）取中点，连接， 在三棱柱中，所有棱长均为，， 都为边长为的等边三角形， ，，， ，，， ，平面，平面， 平面，平面平面. （2）以为坐标原点，正方向为轴正方向，可建立如图空间直角坐标系， 则，，，， ，， ， 直线与所成角的余弦值为. （3）由（2）得：，， 设平面的法向量， 则，令，则，，； 轴，平面的一个法向量， ，， 即二面角的正弦值为. 例14．（25-26高二下·江苏泰州·期中）如图，平行六面体的底面是菱形，，，且平面.    (1)求的长. (2)当时，求直线与平面所成的角的正弦值的取值范围. (3)当时，已知动点M到点A的距离是它到平面的距离的倍.若动点M的轨迹、平面和平面三者相交于两点P，Q，求. 【解析】（1）在平行六面体中，令，令， 由四边形是菱形，得，由， 得，又， 平面，则， 整理得，而，解得， 所以的长为1. （2）当时，由（1）得， ，则，， ，而为平面的法向量， 则直线与平面所成角的正弦值 ， 而，即，则， ，因此， 所以直线与平面所成角的正弦值的取值范围是. （3）当时，（1）得平行六面体为正方体，建立如图所示的空间直角坐标系，    则，平面方程为，平面方程为， 设平面内任意一点，， 则，即，于是平面方程为， 设动点，由动点M到点A的距离是它到平面的距离的倍， 得，整理得点M的轨迹方程为， 由，整理得，设， 则，因此 ， 所以长为. 例15．（25-26高二下·江苏南京·期中）如图，在菱形中，，，为的中点，将沿翻折至，得到四棱锥． (1)证明：面平面； (2)当二面角为120°时，求和平面所成角的正弦值． 【解析】（1）由题意得，为等边三角形， 又为中点，所以，，由翻折性质，翻折至，垂直关系不变，故 ， 又因为，所以平面.又因为平面，所以平面平面. （2）如图，以为原点，，以及垂直于平面的直线为，，轴，建立空间直角坐标系， 由（1）知，，又，所以即为二面角的平面角，即. 则，，，. ，，，设平面的法向量， 则，即，令，则，所以 ， 设直线与平面所成的角为， ， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 变式5．（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）如图1，在平行四边形中，为的中点．将沿折起，连接与，如图2． (1)当三棱锥的体积最大时，求此时线段的长度； (2)当时， （i）设，是否存在实数，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； （ii）求三棱锥的内切球的半径． 【解析】（1）设点到平面的距离为， 则，其中为定值， 要使三棱锥的体积最大时，则点到平面的距离取最大值， 取中点，连接， 由题意得， 则为等边三角形，， 则， 即平面时，点到平面的距离最大， 此时，由平面，则平面平面，连接， 在中， 由余弦定理得， 所以，而，则，故． 由平面平面平面，则平面， 由平面，则，所以； （2）（i）由（1）知，当时，平面平面． 在平面内过作，平面平面平面， 所以平面平面，则． 如图，以点为原点，以所在直线分别为轴， 过点做垂直于平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 故， 由， ， 因为轴垂直平面，故可取平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 所以， 化简可得，解得，或（舍） 故时，存在，使直线与平面所成角的正弦值为； （ii）由（1）可知，为直角三角形，． 则， ， ， 在中，，取中点， 则，且， 所以， 设内切球球心为，内切球半径为， 由等体积法知 其中，， 故， 故当时，三棱锥的内切球的半径为. 题型六：空间点位坐标求解难点题型 例16．（25-26高二下·河南新乡·期中）如图，在四棱锥中，为正三角形，． (1)证明：平面平面； (2)若，且平面与平面的夹角的余弦值为，求的长． 【解析】（1）如图：取的中点，连接. 因为，所以，在中，． 由余弦定理得， 因为为等边三角形，所以， 在中，，则，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面； （2）以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为， 因为， 根据圆心角与圆周角关系可判断点在以点为圆心，半径为2的圆上，所以， 三角形为正三角形，所以. 由（1）可知，平面，所以轴， 所以由题设得， 设，故， 则． 设平面的一个法向量，平面的一个法向量， 则，即， 可取， 记平面与平面的夹角为， 则， 其中 ， 所以， 原式可约分得. 两边平方：，化简得， 解得，，由图可知. 所以，所以，则． 例17．（25-26高二下·湖南郴州·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，，，，为正三角形． (1)求证：平面平面； (2)设点是三棱锥外接球的球心，求该外接球的半径； (3)在第（2）问的条件下，求直线与平面所成角的正弦值． 【解析】（1）证明：设为的中点，连接，，， 在中，. 又，所以为正三角形，所以. 又为正三角形，则，. 又，，所以. 又平面，，所以平面. 因为平面，所以平面平面． （2）由（1）可知，，两两垂直， 故以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图， 则，，，，， 取的中点，则. 在中，外接圆的圆心为的中点，连接，则平面， 设， 则外接球的半径，即， 解得，所以，. 故三棱锥外接球的半径． （3）由（2）得，，， 设平面的法向量为， 则，即，令，则，，则， 设直线与平面所成角为， 则． 直线与平面所成角的正弦值为. 例18．（25-26高三下·黑龙江绥化·开学考试）如图，三棱台中，侧面四边形为等腰梯形，底面三角形为正三角形，且，设为棱上的点. (1)若为棱的中点，求证； (2)若三棱台两底面间的距离为，且侧面底面，试探究是否存在点，使直线与平面所成角的正弦值为？若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由. 【解析】（1）如图：取中点，连接， 因为四边形为等腰梯形，且为中点，所以. 又为正三角形，所以， 平面，所以平面， 又平面，所以. （2）解法1：延长三棱台侧棱交于点，补成三棱锥， 取中点，中点，连接； 侧面为等腰梯形，故； 侧面底面，交线为，平面， 因此平面； 已知两底面距离为，即； 由相似比，得； 底面为正三角形，，则，； 在中，； 在中，； 设点到平面（即平面 ）的距离， 由，即， ，， 代入得：，解得； 设点到平面的距离， 由相似比，得； 设，点到平面的距离，由相似性：，、 得，其中； 作于，则，，， 由余弦定理：， ， 设直线与平面所成角为，则， 代入得：，化简得， 解得或（舍去），即点与重合, 所以存在点，当与点重合时，直线与平面所成角的正弦值为. 解法2：设中点为，连接，则， 又侧面底面，侧面底面侧面， 所以底面， 又底面，所以， 又，所以两两垂直， 故可以为原点，所在的直线分别为轴建立如图空间直角坐标系. 因为三棱台两底面间的距离为，即， 又三角形为正三角形，且， 则，设， 则， 设平面的法向量为， 则， 可取 设直线与平面所成的角为， 则， 由， 所以，故或（因为，故舍去）， 此时与点重合， 所以存在点，当与点重合时，直线与平面所成角的正弦值为. 变式6．（25-26高三下·云南怒江·开学考试）如图，在几何体ABCDEF中，平面，，，，，. (1)证明：是等边三角形； (2)求平面ADE与平面BCF所成二面角的正弦值； (3)已知点M在直线AE上，且平面，求的值. 【解析】（1）证明：因为平面，平面， 所以. 在直角梯形中，，. 同理，. 因为，，所以是等边三角形. （2）记的中点为，在等边三角形中，. 因为平面，平面，所以平面平面. 因为平面平面，所以平面. 以为原点，，所在直线分别为，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，. ，. 设平面的法向量为， 则，即，取，得. 平面的一个法向量为. ， 故平面与平面所成二面角的正弦值为. （3）设，则，. 因为平面，所以， 即，解得. 故的值为. 题型七：立体几何创新定义类新题型 例19．（25-26高二下·江苏徐州·期中）在空间直角坐标系中，定义：过点，且方向向量为的直线的点方向式方程为；过点，且法向量为的平面的点法向式方程为将其整理为一般式方程为，其中. (1)已知直线的点方向式方程为，平面的一般式方程为，求直线与平面所成角的正弦值； (2)请利用法向量和投影向量的相关知识证明：点到平面的距离为； (3)已知斜三棱柱中，侧面所在平面经过三点，，侧面所在平面的一般式方程为，侧面所在平面的一般式方程为，求平面与平面夹角的余弦值. 【解析】（1）由直线的点方向式方程为， 可知直线的一个方向向量坐标为. 由平面的一般式方程为， 可知平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 所以有； （2）由于不全为0， 不妨设，在平面内取一点， 则向量， 取平面的一个法向量， 所以点到平面的距离为： ． 同理可证和时，． （3）因平面经过三点，， 可得，， 设侧面所在平面的法向量为 则，令，解得，，可得， 由平面的一般式方程， 可知平面的一个法向量为， 设平面与平面的交线的方向向量为， 则，令，则，，可得， 侧面所在平面的一般式方程为， 可知平面的一个法向量为， 由，，则，， 解得，即， 故平面与平面夹角的余弦值为： ． 例20．（25-26高二上·上海松江·期中）在空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”．现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为，我们将这种坐标系称为“斜坐标系”．我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜坐标系”下向量的斜坐标：，，分别为“斜坐标系”下三条数轴（轴、轴、轴）正方向的单位向量，若向量，则与有序实数组相对应，称向量的斜坐标为，记作． (1)若，，求的斜坐标； (2)在平行六面体中，，，，如图，以为基底建立“空间斜坐标系”． ①若，求向量的斜坐标； ②若，且，求． 【解析】（1）， 的斜坐标为． （2）设分别为与同方向的单位向量， 则，， ① ； ②由题， 由，知， 由， ， ，解得， 则． 例21．（25-26高二上·四川成都·期中）（1）在平面直角坐标系中，为坐标原点，定义集合，点，对任意的点，求的取值范围； （2）在空间直角坐标系中，定义集合，，点是集合内任意一点． ①求的最小值； ②求点的轨迹形成图形的全面积． 注：若平面的法向量为，点是平面上一定点，则对于平面上任一点，点满足方程：． 【解析】（1）将替换成，原方程不变，于是点M形成的轨迹关于y轴对称， 不妨令，， 若，则，即，点M的轨迹是一条线段； 若，则，即，点M的轨迹是另一条线段； 再利用图象关于y轴对称，最终点M形成的轨迹图形如下： 由得，即, 则点M形成的轨迹图形关于点成中心对称图形且该图形为菱形， 由图及对称性可知，最短距离是点Q到直线的距离； 而最大距离是点Q到的距离，， 所以的取值范围为； （2）①先证明柯西不等式： 设，，由于， 于是，当且仅当时，等号成立， 于是令，，则， 所以，当且仅当取等号，所以的最小值为； ②将x替换成，原方程不变，于是点N形成的轨迹关于平面对称， 将y替换成，原方程不变，于是点N形成的轨迹关于平面对称， 将z替换成，原方程不变，于是点N形成的轨迹关于平面对称， 于是点N形成的轨迹关于点成中心对称图形， 去绝对值后可以得到8个平面的方程， 当时，为, 与三个平面围城三角形，顶点为， 则为正三角形，边长，其面积为 ， 则最终点的轨迹形成图形的全面积为. 变式7．（24-25高二上·福建福州·期中）新定义：已知，.空间向量的叉积.若在空间直角坐标系中，直线的方向向量为，且过点，直线的方向向量为，且过点，则与方向向量的叉积为，与的混合积为.混合积性质：若，则与共面；若，则与异面.已知直线的一个方向向量为，且过点，直线的一个方向向量为，且过点. (1)用混合积性质证明：与是异面直线； (2)若点，求的长的最小值； (3)若为坐标原点，直线，求的坐标. 【解析】（1）由题意得， 因为， 所以， 故与是异面直线. （2）设与都垂直的向量， 由，可取， 则的长的最小值为. （3）由题意可设， ， 则， 由（2）得共线，则，解得， 故. 1．（2025·广东·模拟预测）如图为正四棱台与正四棱锥拼接而成的几何体． (1)证明：平面； (2)若该四棱台的高为2，，，，求二面角的正弦值． 【解析】（1）记与的交点为O，由平面，平面， 可知，         而，，平面，平面， 故平面． 由题易得平面与平面为同一平面，故平面． （2）显然，                 以O为坐标原点，的方向为x轴正方向，的方向为y轴正方向，的方向为z轴正方向，建立空间直角坐标系，                     则，，，， 则，，，                         记平面与平面的法向量分别为，， 则，即， 令，则， 所以取，                 又，即， 令，则， 所以取，                 记二面角的平面角为，则，                 可知， 所以二面角的正弦值为． 2．（25-26高二下·湖南·期中）如图，已知四棱锥S-ABCD的底面ABCD是直角梯形，，，，平面ABCD，. (1)设钝二面角大小为a，求的值； (2)在棱上是否存在一点（不与端点重合），使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值；如不存在，试说明理由； (3)E点在上，F点在上，G点在上，求的面积取值范围. 【解析】（1）以为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的法向量为，则，即， 令，则可得； 令平面的法向量为，则，即， 令，则可得， 所以， 因为二面角为钝二面角，所以，则， 所以； （2）若存在，设，, 则，故，所以， 设与平面所成角为， 所以， 即，所以或（舍去）， 所以存在点，且. （3）因为E点在上，F点在上，G点在上，所以 设， 则， 到的距离为， 所以的面积为 ， 对固定的，关于在上二次函数， 可以趋近一条直线，所以面积无最小值， 当时，面积取得最大值， 故. 3．（25-26高二上·广东广州·期末）如图，两个正方形ABCD，ABEF的边长都是1，平面平面，，，其中，. (1)当时，证明：平面BEM； (2)是否存在实数，使得平面AMN与平面ABN的夹角为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (3)求的最小值. 【解析】（1）当时，，则为的中点， 连接，在正方形ABCD中，， 因为平面平面，平面平面，平面，， 所以平面，又平面，所以， 因为平面BEM， 所以平面BEM. （2）以为原点，以所在直线轴建立空间直角坐标系， 则， 所以，，， 则， 即，，， 设平面AMN的一个法向量为， 则，取，得， 易得平面ABN的一个法向量为， 因为平面AMN与平面ABN的夹角为， 所以，解得， 所以存在实数，使得平面AMN与平面ABN的夹角为. （3）由（2）知， ，，，， 则， 所以， 函数（看作关于的二次函数）开口向上，对称轴为， 则时，函数取得最小值为， 此时函数（看作关于的二次函数）开口向上，对称轴为， 则时，函数取得最小值为， 所以的最小值为. 4．（23-24高二上·江西九江·期末）如图，在中，，于现将沿折叠，使为直二面角如图，是棱的中点，连接、、． (1)证明：平面平面； (2)若，且棱上有一点满足，求二面角的正弦值． 【解析】（1）证明：在图中，，是的中点，， 而，，故为二面角的平面角， 又为直二面角，， 而平面，故平面， 而平面，，且，平面， 因此平面，又平面，平面平面. （2）以、、所在的直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 因，所以，那么， 设平面的法向量， 由且，得，取，则， 设平面的一个法向量，， 则，即，令，则，所以， 于是， 所以二面角的正弦值为． 5．（24-25高二上·辽宁·期末）如图，四边形是正方形，四边形是直角梯形且，，，，，，的中点分别为，，. (1)画出过点，，的截面（不必写出证明过程）； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)若是（1）中过点，，的截面上一点，二面角的余弦值为，求满足题意的点轨迹的长度. 【解析】（1）取中点，连接，则五边形为过，，的截面， 理由，因为，，的中点分别为，，. 所以，又平面，平面， 所以平面，平面， 又，且平面，所以平面平面， 由平面平面，所以，又的中点. 所以为的中点，同理可得为的中点. （2）由（1）可知直线与平面所成的角即为直线与平面所成的角， 由题意可得，，平面， 所以平面，所以为直线与平面所成的角， 由，，可得，又， 所以，又，所以， 所以，所以直线与平面所成角的正弦值为； （3）以为坐标原点，为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则， 所以， 设平面的法向量为， 则，令，则，， 所以平面的一个法向量为， 又平面，所以平面的一个法向量为， 又因为二面角的余弦值为， 所以， 所以，两边平方得， 所以，解得或（舍去）， 当时，，当，， 所以满足题意的点轨迹的长度为. 6．（25-26高二下·江苏淮安·期中）如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，． (1)证明：平面PAC； (2)已知，点满足平面PEC． （i）求； （ii）求平面PBD与平面PEC的夹角． 【解析】（1）因为ABCD为菱形，所以， 设AC，BD交于点，则， 又因为，所以， 因为，AC，平面PAC， 所以BD平面PAC； （2）（i）取PC中点，则且，由知， 所以，即四点共面， 因为平面PEC，平面OBEF，平面平面， 所以， 因此OFEB是平行四边形，故，即； （ii）由（1）可知，BD平面PAC，因为平面ABCD，所以平面平面PAC， 因为平面平面，所以在平面PAC内作Oz垂直于AC，如图， 以为原点，建立空间直角坐标系， 由题意可知，，，， 因为，且，所以，， 因此，，， ，， 由此可知，设平面PBD的一个法向量， 则，也即， 令，得， 设平面PEC的一个法向量， 则，也即， 令，得， 所以， 所以平面PBD与平面PEC的夹角为. 7．（2026高二上·浙江温州·专题练习）如图，在三棱柱中，，直线平面，平面平面. (1)求证：； (2)点为中点，求四棱锥的体积； (3)棱上是否存在一点，使二面角的余弦值为?若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【解析】（1） 过点作，垂足为， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又因为平面，所以， 又因为平面，平面，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以. （2）由（1）知平面，则平面， 所以点到平面的距离， 又点为中点，所以点到平面的距离为. 又，所以 （3） 过点作，由，，得，， 由（1）知平面，平面，则，即直线，，两两垂直， 以点为原点，直线，，分别为，，轴建立空间直角坐标系， 由，得，，，，，， 假设在棱上存在一点，使二面角的余弦值为， 令，，则，， 设平面的一个法向量，则，令，得，显然平面的一个法向量， 依题意，，解得，即， 8．（25-26高二上·重庆·开学考试）已知圆心在原点，且与直线相切，它与x轴分别相交于A，B，过点的直线l交圆O于M，N. (1)求弦长MN的最小值，并求此时直线l的方程； (2)当的面积取得最大值时，将圆沿轴折成直二面角，如图，在上半圆上是否存在点，使平面与平面的夹角的正弦值为，若存在，求的长，若不存在，说明理由； (3)在圆上任取一点，过作轴的垂线段，为垂足，当在圆上运动时，线段的中点的轨迹记为曲线，曲线与直线交于，直线与直线相交于，在定直线上，直线与直线相交于，在定直线上，判断直线，的位置关系，并证明. 【解析】（1）由题意得圆的半径，则圆O的方程为， 当直线l的斜率为0时，此时， 当直线l的斜率不为0，设，即， 则圆心到直线的距离， 又，当且仅当时等号成立， 此时直线l的方程为， 所以弦长MN的最小值为，直线l的方程为. （2）易知直线l的斜率不为0，设，即， 由（1），，， 又，化简得， 令，则，所以， 又，故最大时，由对勾函数的单调性可得，故此时， 建立空间直角坐标系，如图，则，，， 所以，， 设平面BMN的法向量为， 则，即，取，则， 设，其中， 则，， 设平面ONQ的法向量为， 则，即，取， 易得， 所以， 解得，所以，则. （3）法一：设，，，联立， 化简得， ，所以，， 所以， 设，，联立， 得， 又，代入得， 即点T在定直线上， 设线段的中点为，则， 因为在圆上，则有 ， 联立，化简得， 设，，则，， 所以，同理，S在定直线上，所以与重合. 法二： ，过定点， 所以，，，联立得：； ，过定点， 所以，，，联立得：； 所以与重合. 9．（24-25高二上·重庆·阶段检测）“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼闵可夫斯基所创词汇，它是一种使用几何度量空间的几何用语，定义如下：在平面直角坐标中的任意两点，的曼哈顿距离为.已知在四边形中，，，，且平分，若将沿线段向上折叠，使二面角为直二面角，如图所示，折叠后点在新图形中对应点记为. (1)计算的大小； (2)若所在平面为，设，且，记点的轨迹为曲线. （i）判断是什么曲线，并求出对应的方程； （ii）设为平面上过点且与直线垂直的直线，已知在直线上，在上，求的最小值. 【解析】（1） 在中，平分，， 则，设，则， 由勾股定理，，解得，即，则， 在中，，， 在中，由余弦定理，，即， 又因二面角为直二面角，且平面平面，，故有平面， 因平面，故，则， 在中，由余弦定理，， 因，故得； （2）（i）曲线是椭圆. 由（1）已得，如图1，不妨取的中点为，以为轴， 为轴，过点作的平行线为轴建立空间直角坐标系. 则点，， 设，，， 由（1）可知， 从而， 化简可得：，即为的方程. （ii）将立体几何平面化，只需研究平面上的几何关系. 不妨将（i）中椭圆所在坐标系逆时针旋转得到图2， 在新坐标系下椭圆方程为，直线的方程为， 引理：点与直线上一动点的最小曼哈顿距离为. 证明：如图3，当，即时， 由于， 当点在点处取得等号成立，即， 同理可以得出时的最小曼哈顿距离，综上得证. 设点. 由引理可知： ， 其中， 则当时，， 故的最小值为. 10．（25-26高二上·河南郑州·期末）如图，在棱长为的正四面体（四个面都是正三角形）中，是的中点，是棱上的动点（不与重合）． (1)当是棱的中点时，求直线与夹角的正弦值； (2)当时，求平面与平面夹角的余弦值． 【解析】（1）由题意得，故以为原点，,所在直线分别为轴、轴， 以垂直于且垂足为的直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系， 因为正四面体棱长为2，则， 所以，，，， 易得点在底面的投影为等边三角形的中心，则， 则，即， 因为是棱的中点，所以，即， 所以，， 所以 故直线与夹角的正弦值为. （2）由题意得，设，，， 则，解得， 设平面的法向量为， 因为，， 所以，所以， 令，则，所以， 设平面的法向量为， 因为，， 所以， 令，则，，所以， 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值. 11．（25-26高二上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，侧面是正三角形．侧面底面，是的中点． (1)证明：平面平面． (2)求二面角的余弦值． (3)求点到平面的距离． 【解析】（1）已知底面是正方形，所以， 又因为平面平面，且平面底面， 底面，所以平面. 因为平面，所以. 又因为是正三角形，是的中点，所以. 因为，且平面，所以平面， 又因为平面，所以平面平面. （2） 以为坐标原点，分别以所在直线为轴，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系. 已知底面边长为4，是正三角形， 所以： 因为是的中点，故，所以 ， 设平面的法向量为 ， 所以 ，即 ， 令，，即， 又因为平面的一个法向量为， 设二面角的平面角为，则， 又因为所成角为锐角，所以二面角的余弦值为. （3）， 设平面的法向量为，则，即， 令，则，即， 又因为，所以点到平面的距离为. 12．（25-26高二上·浙江杭州·期末）如图，正方形与梯形所在的平面互相垂直，，，，，为的中点． (1)求证：平面； (2)求二面角的正切值． 【解析】（1）正方形中，. 因为平面，平面，所以平面. 梯形中，. 因为平面，平面，所以平面. 又，平面，，所以平面平面. 又平面，所以平面. （2）正方形中，， 因为正方形与梯形所在的平面互相垂直，平面平面， 所以平面. 又平面，所以. 又，所以，，两两垂直， 所以以为原点，以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 因为为的中点，所以. 则，. 设平面的法向量为, 则，即，令，则，，所以. 因为平面，即为平面的一个法向量. 又二面角为锐二面角吗，设锐二面角的平面角为， 则， 所以，， 所以二面角的正切值为. 13．（25-26高二上·湖南湘潭·期末）如图，在三棱台中，，平面，． (1)证明：平面平面； (2)若，点满足，求平面与平面夹角的余弦值． 【解析】（1）因为平面平面，所以， 又平面平面， 所以平面， 又平面，所以； 易得是直角梯形，且，则， 则，于是， 又因，又平面，故平面， 因为平面，所以平面平面． （2）以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系， 由题意得，， 则， 设，则，， 因为，则， 即，解得， 于是， 设平面的一个法向量为， 则，即，； 由（1）知平面的一个法向量可取为． 记平面与平面的夹角为， 则． 14．（25-26高二上·山西运城·期末）如图，已知斜三棱柱，底面为等腰直角三角形，，的中点为，底面. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【解析】（1）因为平面，又平面，所以， 因为底面为等腰直角三角形，，所以， 又，平面， 所以平面， 又平面，所以， 因为，所以侧面为菱形，所以 又，平面，所以平面． （2）取的中点，连接，则，所以面， 以为坐标原点，所在直线分别为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，，所以 ， 则，所以，， 由（1）可知平面， 所以平面的一个法向量， 所以， 所以直线与平面所成角正弦值． 15．（25-26高二上·云南保山·期末）如图，在矩形中，，点为边的中点．将沿着翻折，使得平面平面，点为线段上的动点． (1)求证：平面； (2)①当点运动到何处时，线段的长度最短？最短长度是多少？ ②在①的条件下，求二面角的正弦值． 【解析】（1）证明：因为矩形，，点为边的中点， 所以， 所以，即， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面， 所以， 又，平面， 所以平面. （2）①因为，所以以E为原点，为x，y轴正方向， 过E作垂直平面为z轴正方向建系，如图所示， 取AE中点F，连接，因为， 所以，且， 则， 所以， 因为点为线段上，所以设， 则， 则， 所以当时，有最小值，此时点P为CD的中点. ②由①得，又， 所以， 设平面PBE的法向量为， 则，令，则，所以， 又平面，所以即为平面的法向量， 所以， 则， 所以二面角的正弦值为    2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $