暑假作业08 因式分解（巩固培优）八年级数学新教材苏科版

**基本信息** 本专项以“概念-方法-应用”为主线，系统构建因式分解知识体系，提炼“提公因式-公式法-十字相乘-分组分解”阶梯式方法，强化运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念理解|5题|辨析因式分解与整式乘法互逆关系|从定义出发，建立概念认知基础| |基本方法|25题|提公因式“系数最大公约+字母最低次幂”，公式法“特征识别（平方差两项/完全平方三项）”|按“先提后套”步骤，形成基础技能链| |拓展方法|10题|十字相乘“拆常数凑一次项”，分组分解“提公因式/套公式分组”|针对复杂多项式，构建进阶方法体系| |应用实践|15题|代数式求值、整除证明等模型应用|联结知识与问题解决，发展模型意识|

完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业08 因式分解 【知识点1 因式分解的概念】 1.多项式的因式： 一般地,如果一个多项式可以表示成若干个 的 ,那么其中的每个 都叫作这个多项式的 。 2.因式分解：把一个多项式表示成 形式,这样的变形叫作多项式的因式分解.因式分解也可称为 . 3.因式分解与整式乘法的关系：互逆的两种变形 例如：（因式分解）；（整式乘法） 【知识点2 因式分解的两种基本方法与步骤】 1.提公因式法： 当多项式的各项含有 时,可以采用 的方法把公因式提到括号外,把多项式写成 与另一个 的 的形式,这种分解因式的方法叫作提公因式法. 公式： 步骤： ①找各项相同因式（公因式）：系数取 、相同字母取最 次幂； ②提取公因式，剩余部分放括号。 例： 2.公式法： 逆向使用 、 等乘法公式进行因式分解的方法叫作公式法。 （1）平方差公式 特点：两项、平方、符号一正一负 例： （2）完全平方公式 特点：三项，首尾平方，中间是首尾底数乘积的 2 倍 例： 3.因式分解的方法步骤和目标： 方法步骤： （1）先 ； （2）再 ； （3）检查检查每个因式是否可以继续分解。 目标： 必须把每一个因式都分解到不能再分解为止. 【知识点3 因式分解的方法拓展】 1. 十字相乘法（二次三项式 ） 口诀：拆常数，凑一次项 例：，拆 二次项系数不为 1：，十字拆凑 例： 2. 分组分解法（四项及以上） 分组原则：分组后能提公因式 / 套公式 例： 5. 添拆项法（拓展，高次 / 难分解多项式） 拆开中间项，再分组分解，多用于竞赛 【知识点4 因式分解的主要作用】 1.因式分解用于简便计算： 例如： 2.因式分解用于化简分式： 例如： 3.因式分解用于代数式求值： 例如：已知 ，求 4.因式分解用于解一些方程： 例如：（九上学习） 5.因式分解用于证明整除或判断代数式的符号： 例如：求证： 能被 2 整除 ，连续两个整数必有偶数，乘积是 2 的倍数。 【题型1 根据因式分解概念判断是否是因式分解】 1．下列式子从左到右的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 2．下列从左到右的变形，是因式分解的是（     ） A． B． C． D． 3．下列式子从左到右的变形是因式分解的是（     ） A． B． C． D． 4．下列各式中从左到右的变形，是因式分解的是（     ） A． B． C． D． 5．下列等式从左到右的变形，属于正确的因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【题型2 根据因式分解的结果求参数的值】 6．若将多项式因式分解得，则的值为（   ） A． B． C． D． 7．若多项式可分解为，则的值为（   ） A． B．1 C．7 D． 8．如果多项式分解因式的结果是，那么，的值分别是（   ） A．3， B．，3 C．， D．1， 9．把关于的多项式分解因式，得，则，的值分别是（   ） A．2，3 B．， C．，3 D．2， 10．若因式分解的结果为，则“”是（    ） A． B． C． D． 【题型3 找多项式的公因式】 11．多项式各项的公因式是（   ） A． B． C． D． 12．多项式中各项的公因式是（   ） A． B． C． D． 13．多项式中，各项的最大公因式是（　　） A． B． C． D． 14．把多项式分解因式时，应提取的公因式是______． 15．把分解因式时，应提取的公因式是________． 【题型4提公因式法因式分解】 16．因式分解 (1) (2) 17．用提公因式法将下列各式因式分解： (1)； (2)． 18．因式分解 (1)； (2)． 19．把下列各式因式分解： (1)； (2)． 20．分解因式： (1)； (2)． 【题型5 运用公式法因式分解】 21．分解因式：_______． 22．因式分解：_________． 23．分解因式：_____________． 24．因式分解：________． 25．分解因式的结果是____________． 【题型6 综合运用提公因式与公式因式分解】 26．将下列各式分解因式． (1) (2) 27．分解因式： (1)； (2)． 28．将下列各式分解因式： (1) (2) 29．因式分解： (1)； (2)； 30．因式分解： (1)； (2)． 【题型7 利用因式分解求代数式的值】 31．若，，则______． 32．如果，，那么_________． 33．，则的值为______． 34．已知，则______． 35．已知，，则代数式________． 【题型8 因式分解的综合拓展运用】 36．小逸同学对多项式进行分解因式，采用的方法如下：．这种分解因式的方法叫作分组分解法． (1)请结合小逸同学的方法分解因式：． (2)已知，，是的三边长，且满足，请判断的形状并说明理由． 37．对于多项式“”我们可以进行如下分解： 方法一： ． 方法二： ． 参考示例中的方法回答下列问题： (1)有五张卡片，卡片①为正方形，边长为，卡片②为长方形，长为，宽为，卡片③为长方形，长为，宽为，卡片④为长方形，长为，宽为，卡片⑤为长方形，长为，若卡片①②③④的面积之和等于卡片⑤的面积，求卡片⑤的宽． (2)分解因式：； (3)若都是正整数，且，求的值． 38．初中数学中，在图形与几何领域有推理或证明的内容，在数与代数领域也有推理或证明的内容．例如，在课本中第109页出现了这样一道题： 证明：三个连续自然数中，前两个数乘积与后两个数乘积的和一定为偶数． 小明给出了如下解答过程： 证明：设、、(为自然数) ① ② 且能被2整除， 能被2整除． 三个连续自然数中，前两个数乘积与后两个数乘积的和一定为偶数． 观察小明的证明过程，然后解答下列问题： (1)在上面的过程中，从第①处到第②处的变形是属于 （填写“整式的乘法”或“因式分解”）； (2)已知，且是奇数．求证：能被2整除． 39．[阅读材料]：因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则原式． 再将“A”还原，原式． 上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法． [问题解决]： (1)因式分解：； (2)证明：若n为正整数，则代数式的值一定是某个整数的平方． 40．【阅读与思考】 阅读下面的材料，并解决问题． 我们知道借助因式分解可以解决整除问题．嘉琪认为，若n为正整数，那么一定能被24整除．她的证明过程如下： 证明：． ∵n为正整数， ∴一定能被3整除． ∵8能被8整除， ∴一定能被3×8整除，即一定能被24整除． 【问题解决】 (1)若n为正整数，下列各数，一定能整除的是（     ）． A．8    B．10    C．14    D．17 (2)应用：已知n是正整数，参照材料中的方法，证明：能被24整除． (3)拓展：已知n是正整数能被36整除，请直接写出n的最小值 ． 1．下列由左到右的变形，属于因式分解的是（     ） A． B． C． D． 2．已知，则a的值为（    ） A．1 B．3 C． D． 3．多项式中，各项的最大公因式是（    ） A． B． C． D． 4．下列不能用平方差公式分解因式的是（    ） A． B． C． D． 5．因式分解：_________． 6．因式分解：________． 7．分解因式：________． 8．若实数，满足，，则的值是________． 9．在有理数范围内分解因式： (1) (2) 10．阅读与思考 下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 数学方法 换元法是数学中重要的解题方法，通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决．换元的实质是转化，关键是构造元和设元． 例：把因式分解 方法一：整体换元 解：把“”看成一个整体，令． 原式 方法二：均值换元 解：把“”看成一个整体，令． 原式 任务： (1)例题中两种方法对多项式因式分解的结果均不彻底，其因式分解的正确结果为____________． (2)请从上述两种方法选择一种你喜欢的方法将多项式因式分解，并说明你选择这种方法的理由． 1．下列式子从左到右的变形中，属于因式分解的是（  ） A． B． C． D． 2．在因式分解关于的多项式时，其中一个正确的因式为，另一个正确因式为，则=（　　） A． B． C． D． 3．已知多项式与一个单项式的和能因式分解，则这个单项式不可能是（     ） A． B． C． D． 4．在多项式①；②；③；④，能用完全平方公式因式分解的有（   ） A．①② B．②③ C．①④ D．②④ 5．分解因式：______． 6．因式分解：___________． 7．已知，，则代数式的值为______ 8．因式分解： (1) (2) 9．我们已经学过多项式因式分解的方法有提公因式法和公式法，其实因式分解的方法还有分组分解法、拆项法等． ①分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫做分组分解法： 例如：． ②拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫做拆项法．例如：． (1)仿照以上方法，按照要求因式分解： ①分组分解法：_________ ②拆项法（写出计算过程）： (2)应用：若，求a、b、c的值． 10．数形结合是解决数学问题的一种重要思想方法，借助此方法可将抽象的数学知识变得直观且具有可操作性，从而帮助我们解决问题．初中数学中有一些代数恒等式可以用一些卡片拼成的图形面积来解释．某同学在学习的过程中动手剪了如图①所示的正方形与长方形卡片若干张． (1)他用1张1号、1张2号和2张3号卡片拼出一个新的图形（如图②）．根据这个图形的面积关系写出一个你所熟悉的乘法公式，这个乘法公式是________． (2)如果要拼成一个长为，宽为的大长方形，那么需要2号卡片______张，3号卡片______张； (3)当他拼成如图③所示的长方形时，根据6张小卡片的面积和等于大长方形的面积可以把多项式分解因式，其结果是________． (4)请你依照该同学的方法，画出拼图并利用拼图将分解因式． 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业08 因式分解 【知识点1 因式分解的概念】 1.多项式的因式： 一般地,如果一个多项式可以表示成若干个整式的乘积,那么其中的每个整式都叫作这个多项式的因式。 2.因式分解：把一个多项式表示成几个整式的乘积形式,这样的变形叫作多项式的因式分解.因式分解也可称为分解因式 . 3.因式分解与整式乘法的关系：互逆的两种变形 例如：（因式分解）；（整式乘法） 【知识点2 因式分解的两种基本方法与步骤】 1.提公因式法： 当多项式的各项含有公因式时,可以采用添括号的方法把公因式提到括号外,把多项式写成公因式与另一个多项式的积的形式,这种分解因式的方法叫作提公因式法. 公式：； 步骤： ①找各项相同因式（公因式）：系数取最大公约数、相同字母取最低次幂； ②提取公因式，剩余部分放括号。 例： 2.公式法： 逆向使用平方差公式、完全平方公式等乘法公式进行因式分解的方法叫作公式法。 （1）平方差公式 特点：两项、平方、符号一正一负 例： （2）完全平方公式 特点：三项，首尾平方，中间是首尾底数乘积的 2 倍 例： 3.因式分解的方法步骤和目标： 方法步骤： （1）先提公因式； （2）再运用公式； （3）检查检查每个因式是否可以继续分解。 目标： 必须把每一个因式都分解到不能再分解为止. 【知识点3 因式分解的方法拓展】 1. 十字相乘法（二次三项式 ） 口诀：拆常数，凑一次项 例：，拆 二次项系数不为 1：，十字拆凑 例： 2. 分组分解法（四项及以上） 分组原则：分组后能提公因式 / 套公式 例： 5. 添拆项法（拓展，高次 / 难分解多项式） 拆开中间项，再分组分解，多用于竞赛 【知识点4 因式分解的主要作用】 1.因式分解用于简便计算： 例如： 2.因式分解用于化简分式： 例如： 3.因式分解用于代数式求值： 例如：已知 ，求 4.因式分解用于解一些方程： 例如：（九上学习） 5.因式分解用于证明整除或判断代数式的符号： 例如：求证： 能被 2 整除 ，连续两个整数必有偶数，乘积是 2 的倍数。 【题型1 根据因式分解概念判断是否是因式分解】 1．下列式子从左到右的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据因式分解是将多项式化为几个整式的积的形式，且变形需正确，据此对各选项逐一判断即可． 【详解】解：A选项，式子左边是整式的积，右边是多项式，是整式乘法，不是因式分解； B选项，变形错误，，不是正确的因式分解； C选项，式子右边是和的形式，不是几个整式的积的形式，不是因式分解； D选项，式子左边是多项式，右边是整式的积的形式，且变形正确，属于因式分解． 2．下列从左到右的变形，是因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、，左边是多项式，右边是两个整式的乘积，符合因式分解的定义，本选项符合题意； B、 是整式乘法，是从积到多项式的变形，不属于因式分解，本选项不符合题意； C、 ，等式右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，本选项不符合题意； D、是整式乘法，不属于因式分解，本选项不符合题意； 3．下列式子从左到右的变形是因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据因式分解的定义，因式分解是把一个多项式转化为几个整式乘积的形式，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：A、它是整式乘法运算，结果是多项式和的形式，不是几个整式乘积，故式子从左到右的变形不是因式分解； B、等式右边是和的形式，不是整式乘积，故式子从左到右的变形不是因式分解； C、原式左边是单项式，不是多项式，故式子从左到右的变形不是因式分解； D、将多项式转化为两个整式乘积的形式，符合因式分解定义，故式子从左到右的变形是因式分解． 4．下列各式中从左到右的变形，是因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据因式分解的定义，因式分解是将多项式化为几个整式的乘积的形式，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：A、原式变形左边是整式乘法，结果是多项式，不是几个整式乘积的形式，不符合要求； B、左边是多项式，右边是两个整式的乘积，且变形正确，符合因式分解的定义； C、，右边中不是整式，不符合要求； D、，原式变形错误，不符合要求． 5．下列等式从左到右的变形，属于正确的因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A选项右边不是整式的积的形式，不是因式分解，不符合要求； B选项右边未化为几个整式的积的形式，不是因式分解，不符合要求； C选项是将整式乘积化为多项式，属于整式乘法，不是因式分解，不符合要求； D选项将多项式化为两个整式的乘积，变形正确，符合因式分解定义. 【题型2 根据因式分解的结果求参数的值】 6．若将多项式因式分解得，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先展开因式分解后的多项式，利用多项式相等时对应项系数相等求出和的值，再计算． 【详解】解： ， ， ，解得， ． 7．若多项式可分解为，则的值为（   ） A． B．1 C．7 D． 【答案】B 【分析】将分解后的因式展开，对比原多项式对应项的系数，即可求出的值． 【详解】解： ∵ 多项式可分解为 ∴将展开结果与对比，对应项系数相等，可得． 8．如果多项式分解因式的结果是，那么，的值分别是（   ） A．3， B．，3 C．， D．1， 【答案】C 【分析】对于二次项系数为1的二次三项式，因式分解满足，根据对应系数相等即可求出的值． 【详解】解：∵多项式分解因式的结果是， ∴根据因式分解的规律可得， ，， 计算得 ，． 9．把关于的多项式分解因式，得，则，的值分别是（   ） A．2，3 B．， C．，3 D．2， 【答案】B 【分析】计算，与的对应项系数相等，即可得，的值． 【详解】解：根据题意可得， ∴，． 10．若因式分解的结果为，则“”是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平方差公式计算，对比原式即可求出的值． 【详解】解：， ∵， ∴， 等式两边同时消去，得， ∴． 【题型3 找多项式的公因式】 11．多项式各项的公因式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求系数的最大公约数，再找相同字母的最低次幂，二者相乘得到公因式即可解题． 【详解】解：多项式各项的公因式是． 12．多项式中各项的公因式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】按照确定公因式的方法，先求各项系数的最大公约数，再找相同字母的最低次幂，将两者相乘即可得到公因式． 【详解】解：∵多项式的两项为和， ①系数部分，5和10的最大公约数是5， ②字母部分，两项都含字母和，的最低次幂是，的最低次幂是， ∴公因式为． 13．多项式中，各项的最大公因式是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据最大公因式的定义，先求各项系数的最大公约数，再确定各项共有的字母的最低次幂，即可得到结果． 【详解】解：多项式的各项系数为，其绝对值的最大公约数是， 各项都含有的字母为，只出现在第二项，因此公因式不含， 的最低次幂是，的最低次幂是， ∴ 该多项式各项的最大公因式为． 14．把多项式分解因式时，应提取的公因式是______． 【答案】 【详解】解：把多项式分解因式时，应提取的公因式为． 15．把分解因式时，应提取的公因式是________． 【答案】 【分析】本题主要考查整式的运算，提取公因式，掌握提取公因式的计算方法是关键． 找出多项式中各项系数的最大公约数和字母部分的最小指数，确定公因式． 【详解】解：多项式中， 各项系数为，最大公约数为2， 字母部分，x的最小指数为1，y的最小指数为2，z的最小指数为1， ∴公因式为， 故答案为：． 【题型4提公因式法因式分解】 16．因式分解 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）提公因式即可分解因式； （2）先处理符号问题得到，再提公因式，结合整式运算即可解答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 17．用提公因式法将下列各式因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据提公因式法因式分解的步骤，逐步化简求解即可； （2）根据提公因式法因式分解的步骤，逐步化简求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．因式分解 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 19．把下列各式因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 20．分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：； （2）解： ． 【题型5 运用公式法因式分解】 21．分解因式：_______． 【答案】 【分析】原式为两个整式的平方差，符合平方差公式的特征，可利用平方差公式进行因式分解． 【详解】解： ． 22．因式分解：_________． 【答案】 【详解】解：． 23．分解因式：_____________． 【答案】 【详解】解：． 24．因式分解：________． 【答案】 【分析】观察原式，可将化为，原式符合平方差公式的形式，可利用平方差公式进行因式分解． 【详解】解：． 25．分解因式的结果是____________． 【答案】 【详解】解：． 【题型6 综合运用提公因式与公式因式分解】 26．将下列各式分解因式． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先提公因式，然后利用完全平方公式分解因式； （2）先提公因式，然后利用平方差公式分解因式． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 27．分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2） ． 28．将下列各式分解因式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： （2）解： 29．因式分解： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用提取公因式法和平方差公式进行因式分解即可； （2）利用多项式乘多项式法则计算，再利用完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 30．因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先提公因式，再利用完全平方公式进行因式分解． （2）先将原式整理为平方差的形式，再利用平方差公式因式分解，最后提取公因式得到结果． 【详解】（1） 解： ． （2）解： ． 【题型7 利用因式分解求代数式的值】 31．若，，则______． 【答案】 【分析】先对所求多项式因式分解，再将已知条件整体代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴． 32．如果，，那么_________． 【答案】4 【详解】解：根据平方差公式，得，将，代入上式，得：， ∴． 33．，则的值为______． 【答案】 【分析】对所求多项式因式分解后，将已知条件整体代入计算即可得到结果． 【详解】解： 将代入上式得， 原式． 34．已知，则______． 【答案】9 【分析】利用平方差公式对原式分解变形，再代入已知条件化简整理，即可得到结果． 【详解】解： ， 将代入得， ∴原式． 35．已知，，则代数式________． 【答案】 【分析】先对所求代数式进行因式分解，再将已知，代入计算即可． 【详解】解： 将，代入得，原式 ． 【题型8 因式分解的综合拓展运用】 36．小逸同学对多项式进行分解因式，采用的方法如下：．这种分解因式的方法叫作分组分解法． (1)请结合小逸同学的方法分解因式：． (2)已知，，是的三边长，且满足，请判断的形状并说明理由． 【答案】(1) (2)为等腰三角形，见解析 【分析】（1）利用分组分解法进行因式分解即可； （2）将等式左边进行因式分解 ，推出，即可得出结论. 【详解】（1）解：． （2）解：为等腰三角形． 理由：． ，，是的三边长， ， ，即， 为等腰三角形． 37．对于多项式“”我们可以进行如下分解： 方法一： ． 方法二： ． 参考示例中的方法回答下列问题： (1)有五张卡片，卡片①为正方形，边长为，卡片②为长方形，长为，宽为，卡片③为长方形，长为，宽为，卡片④为长方形，长为，宽为，卡片⑤为长方形，长为，若卡片①②③④的面积之和等于卡片⑤的面积，求卡片⑤的宽． (2)分解因式：； (3)若都是正整数，且，求的值． 【答案】(1) (2) (3)8 【分析】（1）先计算出①②③④的面积之和为，再除以即可解答； （2）直接运用分组法因式分解即可； （3）结合（2）的结果可得 ，再列方程组求出m、n的值，最后求的值即可． 【详解】（1）解：由已知得卡片①②③④的面积之和为 因为卡片①②③④的面积之和等于卡片⑤的面积，且卡片⑤的长为， 所以卡片⑤的宽为． （2）解： ． （3）解：∵，， ∴ ． ∵为正整数，且， ∴， ∴即， ∴． 38．初中数学中，在图形与几何领域有推理或证明的内容，在数与代数领域也有推理或证明的内容．例如，在课本中第109页出现了这样一道题： 证明：三个连续自然数中，前两个数乘积与后两个数乘积的和一定为偶数． 小明给出了如下解答过程： 证明：设、、(为自然数) ① ② 且能被2整除， 能被2整除． 三个连续自然数中，前两个数乘积与后两个数乘积的和一定为偶数． 观察小明的证明过程，然后解答下列问题： (1)在上面的过程中，从第①处到第②处的变形是属于 （填写“整式的乘法”或“因式分解”）； (2)已知，且是奇数．求证：能被2整除． 【答案】(1)因式分解 (2)见解析 【分析】（1）根据因式分解的定义解答； （2）设（为自然数）再展开，然后提出公因式判断即可． 【详解】（1）解：因式分解； （2）证明：设（为自然数） ∵ 且能被整除 ∴能被整除. 39．[阅读材料]：因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则原式． 再将“A”还原，原式． 上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法． [问题解决]： (1)因式分解：； (2)证明：若n为正整数，则代数式的值一定是某个整数的平方． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）设 ，则原式可化为，利用完全平方公式因式分解为，再将B还原后，最后再利用完全平方公式即可； （2）先计算，再利用完全平方公式即可． 【详解】（1）解：令， 则 ； （2）解： ， ∵n为正整数， ∴是正整数． ∴， 即代数式的值一定是某个整数的平方． 40．【阅读与思考】 阅读下面的材料，并解决问题． 我们知道借助因式分解可以解决整除问题．嘉琪认为，若n为正整数，那么一定能被24整除．她的证明过程如下： 证明：． ∵n为正整数， ∴一定能被3整除． ∵8能被8整除， ∴一定能被3×8整除，即一定能被24整除． 【问题解决】 (1)若n为正整数，下列各数，一定能整除的是（     ）． A．8    B．10    C．14    D．17 (2)应用：已知n是正整数，参照材料中的方法，证明：能被24整除． (3)拓展：已知n是正整数能被36整除，请直接写出n的最小值 ． 【答案】(1)C (2)见解析 (3)2 【分析】（1）对因式分解，确定其因数，得到符合要求的选项； （2）利用平方差公式分解原式，化简后根据正整数的性质证明原式含因数24即可； （3）根据整除要求推导得到满足的条件，计算得到的最小值. 【详解】（1） 解：， 为正整数， 是整数， 一定能被14整除； （2）证明： ； 是正整数，和是连续正整数， 能被2整除， 能被整除， 能被24整除； （3）解：由（2）得， 能被36整除， 是整数，即能被3整除， 是正整数，和是连续正整数， 当时，，不能被3整除， 当时，，能被3整除， 的最小值为2. 1．下列由左到右的变形，属于因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：选项A，是整式乘法运算，结果是和的形式，不属于因式分解； 选项B，，变形错误，不属于因式分解； 选项C，的结果不是整式乘积的形式，不属于因式分解； 选项D，，将多项式化为两个整式的乘积，符合因式分解的定义． 2．已知，则a的值为（    ） A．1 B．3 C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴． 3．多项式中，各项的最大公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了多项式的最大公因式． 根据最大公因式的定义，先确定各项系数的最大公约数，再确定各项都含有的字母的最低次幂，结合选项判断即可． 【详解】解：∵多项式各项系数6、12、的绝对值的最大公约数是3，各项都含有的字母为a、b，a的最低次幂是2，b的最低次幂是1， ∴该多项式的最大公因式可以为， 故选：B 4．下列不能用平方差公式分解因式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】平方差公式分解因式要求多项式可化为两个平方项作差，即形如，据此判断各选项即可． 【详解】解：A、，两项符号相同，无法写成两个平方项作差的形式，因此不能用平方差公式分解因式，符合题意； B、符合的形式，可以用平方差公式分解因式，不符合题意； C、，符合的形式，可以用平方差公式分解因式，不符合题意； D、 ，符合的形式，可以用平方差公式分解因式，不符合题意． 5．因式分解：_________． 【答案】 【详解】解：． 6．因式分解：________． 【答案】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式进行因式分解． 【详解】解： ． 7．分解因式：________． 【答案】 【详解】解：． 8．若实数，满足，，则的值是________． 【答案】5 【详解】解：， 解得． 9．在有理数范围内分解因式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 10．阅读与思考 下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 数学方法 换元法是数学中重要的解题方法，通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决．换元的实质是转化，关键是构造元和设元． 例：把因式分解 方法一：整体换元 解：把“”看成一个整体，令． 原式 方法二：均值换元 解：把“”看成一个整体，令． 原式 任务： (1)例题中两种方法对多项式因式分解的结果均不彻底，其因式分解的正确结果为____________． (2)请从上述两种方法选择一种你喜欢的方法将多项式因式分解，并说明你选择这种方法的理由． 【答案】(1) (2)若选择整体换元法，因式分解结果为，理由：该方法思路直接，易于理解掌握；若选择均值换元法，因式分解结果也为，理由：该方法计算更简便，运算量更小． 【分析】（1）将继续用完全平方公式进行分解，即可求解； （2）选择整体换元法：把“”看成一个整体，令，由（1）同理进行因式分解，即可求解；选择均值换元法： 把“”看成一个整体，令，进一步可求解． 【详解】（1）解：把“”看成一个整体，令． 原式 ． （2）解：选择整体换元法：把“”看成一个整体，令． ； 该方法思路直接，易于理解掌握； 选择均值换元法： ∵， ∴把“”看成一个整体，令． 原式 ， 该方法计算更简便，运算量更小． 1．下列式子从左到右的变形中，属于因式分解的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据因式分解的定义判断，因式分解是将一个多项式化为几个整式乘积的形式，据此逐一分析选项即可. 【详解】解：∵ 因式分解的定义是把一个多项式化为几个整式乘积的形式， A选项中 右边不是整式，变形后不是整式乘积，不属于因式分解， B选项中 左边是多项式，右边是两个整式的乘积，符合因式分解定义，属于因式分解， C选项中 是单项式，不是多项式，不属于因式分解， D选项中 变形是从整式乘积化为多项式和的形式，属于整式乘法，不属于因式分解， ∴ 答案选B. 2．在因式分解关于的多项式时，其中一个正确的因式为，另一个正确因式为，则=（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解及整式乘法的应用，根据因式分解的结果，将多项式展开后比较系数，求出和的值，再代入代数式计算即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵多项式的因式为和， ∴， ∴，， ∴， 故选：． 3．已知多项式与一个单项式的和能因式分解，则这个单项式不可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：对选项A：和为 ，可以因式分解，故A不符合要求； 对选项B：和为，可以因式分解，故B不符合要求； 对选项C：和为，可以因式分解，故C不符合要求； 对选项D：和为，整理得，无法在整式范围内分解为多个整式的乘积，因此该多项式不能因式分解，故D符合要求． 4．在多项式①；②；③；④，能用完全平方公式因式分解的有（   ） A．①② B．②③ C．①④ D．②④ 【答案】C 【分析】本题根据完全平方公式的结构特征，逐一判断四个多项式是否符合结构，即可得出结果． 【详解】解：① ， 故①可以用完全平方公式因式分解． ② ，不符合完全平方公式结构，故②不能用完全平方公式因式分解． ③ ，不符合完全平方公式的结构特征，故③不能用完全平方公式因式分解． ④，故④可以用完全平方公式因式分解． 综上，能用完全平方公式因式分解的是①④． 5．分解因式：______． 【答案】 【详解】解：． 6．因式分解：___________． 【答案】 【分析】本题考查运用公式法因式分解，熟练掌握平方差公式是解题关键． 原式符合平方差的结构形式，先利用平方差公式分解，再对可分解的多项式继续分解即可． 【详解】解： 7．已知，，则代数式的值为______ 【答案】/ 【分析】根据已知得出，再将代数式因式分解，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ ∴ ∴ 8．因式分解： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 9．我们已经学过多项式因式分解的方法有提公因式法和公式法，其实因式分解的方法还有分组分解法、拆项法等． ①分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫做分组分解法： 例如：． ②拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫做拆项法．例如：． (1)仿照以上方法，按照要求因式分解： ①分组分解法：_________ ②拆项法（写出计算过程）： (2)应用：若，求a、b、c的值． 【答案】(1)①，；② (2) 【分析】 （1）①先将原式变形为，前3项用完全平方公式进行因式分解，再用平方差公式因式分解即可； ②将常数项变为，前三项用完全平方公式进行因式分解，再用平方差公式因式分解即可； （2）将原式变形为 ，分组分解为，再利用非负数的性质即可求出，，． 【详解】（1）解：① ； ② ； （2）解：由得： ， 即， ∴ ， ∴． 10．数形结合是解决数学问题的一种重要思想方法，借助此方法可将抽象的数学知识变得直观且具有可操作性，从而帮助我们解决问题．初中数学中有一些代数恒等式可以用一些卡片拼成的图形面积来解释．某同学在学习的过程中动手剪了如图①所示的正方形与长方形卡片若干张． (1)他用1张1号、1张2号和2张3号卡片拼出一个新的图形（如图②）．根据这个图形的面积关系写出一个你所熟悉的乘法公式，这个乘法公式是________． (2)如果要拼成一个长为，宽为的大长方形，那么需要2号卡片______张，3号卡片______张； (3)当他拼成如图③所示的长方形时，根据6张小卡片的面积和等于大长方形的面积可以把多项式分解因式，其结果是________． (4)请你依照该同学的方法，画出拼图并利用拼图将分解因式． 【答案】(1) (2)4张，5张 (3) (4)图见解析， 【分析】（1）等积法作答即可； （2）求出多项式乘以多项式的积，即可得出结果； （3）等积法作答即可； （4）按要求画图后，即可得出结果. 【详解】（1）解：由题意，这个乘法公式是； （2）解：， 故需要2号卡片4张，3号卡片5张； （3）解：由图可知，； （4）解：由题意，画图如下： 由图可知：. 2 / 25 学科网（北京）股份有限公司 $