暑假作业12 反比例函数的图象与性质（预习作业）八年级数学新教材苏科版

**基本信息** 以反比例函数图象、性质、k的几何意义为核心，通过8类题型系统整合易错提醒与面积计算二级结论，形成“概念-性质-应用”的递进逻辑链，培养几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识点梳理|3个核心知识点（含易错提醒）|强调增减性需分象限讨论；总结面积作和/差二级结论|从图象形态（双曲线）到性质（象限、增减性、对称性）再到k的几何意义，构建概念生成与应用拓展链条| |题型突破|8类题型（30+题）|性质判断抓k符号；参数范围结合增减性；面积计算用k几何意义|题型覆盖选择、填空、解答，从基础判断到综合应用，对应知识点考查重点，典例含易错点与综合模型|

完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业12 反比例函数的图象与性质 【知识点1 反比例函数的图象】 反比例函数的图象：反比例函数的图象是 ，它有两个分支，这两个分支分别位于第 象限，或第 象限．由于反比例函数中自变量x≠0，函数y≠0，所以，它的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远不会与坐标轴相交． 【知识点2 反比例函数的性质】 表达式 （k是常数，k≠0） k k＞0 k＜0 大致图象 所在象限 第一、三象限 第二、四象限 增减性 在每个象限内，y随x的 在每个象限内，y随x的 对称性 轴对称图形（对称轴为直线 和 ），中心对称图形（对称中心为 ） 易错提醒：反比例函数的图象不是连续的，因此在谈到反比例函数的增减性时，都是在各自象限内的增减情况．当k＞0时，在每一象限（第一、三象限）内y随x的增大而减小，但不能笼统地说当k＞0时，y随x的增大而减小．同样，当k＜0时，也不能笼统地说y随x的增大而增大． 【知识点3 反比例函数k的几何意义】 1． 反比例函数中k的几何意义 2．解决面积问题常用重要二级结论： 当一次函数与反比例函数结合时，可通过面积作和或作差的形式来求解． （1）如图①，正比例函数与一次函数所围成的三角形面积． S△ABC＝2S△ACO＝|k|； （2）如图②，已知一次函数与反比例函数交于A、B两点，且一次函数与x轴交于点C，则S△AOB＝S△AOC＋S△BOC＝＋＝； （3）如图③，已知反比例函数的图象上的两点，其坐标分别为，，C为AB延长线与x轴的交点，则S△AOB＝S△AOC–S△BOC＝–＝． 【题型1 根据反比例函数解析式判断性质正误】 1．对于反比例函数，下列说法错误的是（　　） A．图象位于第二、四象限 B．图象经过点 C．当时，随的增大而增大 D．当时，随的增大而减小 2．下列关于反比例函数的说法正确的是（   ） A．图象经过第二、四象限 B．随的增大而减小 C．图象与轴有交点 D．点在该函数图象上 3．关于反比例函数下列说法不正确的是 (     ) A．函数图象经过点 B．函数图象关于原点成中心对称 C．函数图象分别位于第一、三象限 D．当时，随的增大而增大 4．已知反比例函数，下列结论正确的是（   ） A．其图象经过点 B．其图象位于第一、第三象限 C．当时，随的增大而减小 D．当时， 5．关于反比例函数，下列说法中错误的是（     ） A．当时，随的增大而减小 B．图象位于第一、三象限 C．点在函数图象上 D．当时， 【题型2 反比例函数的增减性与大小比较】 6．若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 7．已知点在反比例函数的图象上，，则下列结论正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 8．已知点，都在反比例函数（）的图象上，，则当时，有关m，n的取值判断正确的是（     ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 9．已知点在反比例函数的图像上，那么在每个象限内，该函数的值y随x的值增大而________．（填“增大”或“减小”） 10．已知点在反比例函数的图象上，如果，那么的值可能为_____（请写出一个符合条件的值）． 【题型3 根据反比例函数增减性求参数范围】 11．已知反比例函数的图象上有点，，且，则值可能为（     ） A． B． C． D． 12．若点、、都在反比例函数（为常数，）的图象上，且，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 13．若点，在反比例函数的图象上，且，则的取值范围是（　　） A． B． C． D．任意实数 14．已知，两点在双曲线上，当时，．则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 15．在反比例函数中，都随的增大而减小，则的取值可以是（   ） A． B． C． D． 【题型4根据k的几何意义求面积】 16．如图，已知反比例函数的图像经过点，连接.将线段绕点逆时针旋转，当点的对应点落在轴上时，的面积是（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 17．反比例函数的图象如图所示，点是反比例函数图象上一点，过点作轴于点，连接，则的面积是（     ） A．1 B．2 C．5 D．6 18．如图，两点分别在函数和的图像上，线段轴，点在轴上，则的面积为（    ） A．3 B．4 C．6 D．9 19．如图，点A，D分别在函数 的图象上，点B，C在x轴上，点E在线段上时，若，则的面积为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 20．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点在反比例函数的图象上，点在轴上，边交该反比例函数的图象于点，连接，若，则的面积为___________． 【题型5求反比例函数的k】 21．如图，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点，在轴上，若点，，则实数的值为（     ） A． B． C． D． 第21题 第22题 22．如图，已知反比例函数（，）的图像与线段有公共点，其中点B在y轴上，轴，点A是x轴上一点，连接、，若的面积为3，则k的值可能为（     ） A．8 B．7 C．6.5 D．5 23．如图，线段两端点分别在轴负半轴、轴负半轴上，的面积为2，将线段绕平面内一点旋转，点的对应点在反比例函数的图象上，点的对应点在反比例函数的图象上．若点的横坐标是点的横坐标的倍，则的值为（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 第23题 第24题 24．在平面直角坐标系中的位置如图所示，直角顶点在轴上，反比例函数的图象与边交于点，与边交于点，，若的面积为，则的值为_______． 25．如图，点，在反比例函数的图象上，轴，垂足为，，垂足为．若四边形的面积为8，，则的值为________． 【题型6 根据反比例函数图象性质与图象判断新函数的图象性质】 26．小华同学利用计算机软件练习绘制函数的图象，下列图象中可能是函数（为常数）的图象的是（　　）． A． B． C． D． 27．下列图象与函数图象相符的是（    ） A．B．C． D． 28．定义新运算例如：．则函数的图象大致是（   ）． A．B．C． D． 29．函数的图象大致是（    ） A．B．C． D． 30．猜想函数的性质，下面说法不正确的是（ ） A．该函数的函数值不可能为1 B．该函数图象不经过第三象限 C．该函数的图象关于点对称 D．函数值y随x的增大而增大 【题型7 反比例函数与一次函数综合】 31．如图，一次函数（）的图象与反比例函数（，）的图象交于，两点．当时，自变量的取值范围是（     ） A． B．或 C． D．或 32．在同一直角坐标系中，函数和的图象大致是（    ） A．B． C． D． 33．函数，的图象如图所示，下列关于函数的结论：①该函数的图象关于原点成中心对称；②该函数图象与轴没有交点；③当时，随的增大而增大；④当时，．其中正确结论的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 34．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点C和点D，与反比例函数的图象交于点和点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)根据图象直接写出当时x的取值范围； (3)点是反比例函数图象上一点，连接、，求的面积； 35．如图，一次函数和反比例函数分别交于点， ．  (1)求反比例函数和一次函数的函数表达式； (2)连接，求的面积； (3)根据图象直接写出不等式的解集． 【题型8 反比例函数与几何图形综合】 36．如图，四边形是边长为2的正方形，以点为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，反比例函数的图象经过边的中点，则下列结论：①；②；③点的坐标为；④的面积为，其中正确的是（     ） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 37．如图，在平面直角坐标系中，点，点，是轴上方的两个动点，四边形是菱形，函数的图象与对角线交于点（点，不重合），过点作轴于点，连接，．给出下面四个结论：①的面积一定为2；②和的面积一定不相等； ③一定为锐角三角形；④可能为等腰三角形．上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 第37题 第38题 38．如图，点分别在轴、轴的正半轴上，点绕着点顺时针旋转得到点恰好落在反比例函数的图像上，若点，则点的坐标为_________． 39．如图，矩形的顶点与坐标原点重合，点的坐标为，点，分别在坐标轴上，反比例函数的图象与，分别交于点，，且． (1)求反比例函数的解析式． (2)连接，将沿翻折，点的对应点落在轴上，求点的坐标． 40．如图，已知在平行四边形中，点为坐标原点，点，反比例函数的图象经过点． (1)求的值及直线的函数解析式； (2)点为反比例函数图象上任意一点，若，求点的坐标． 1．已知反比例函数，下列各点在该函数图像上的是（    ） A． B． C． D． 2．函数的图像大致是（   ） A． B． C． D． 3．若反比例函数的图象经过点，则该反比例函数的图象分别位于（   ） A．第一、第三象限 B．第一、第四象限 C．第二、第三象限 D．第二、第四象限 4．已知点，在双曲线上；若，则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 5．函数的图像（   ） A．过原点的一条直线 B．位于一、三象限的两支曲线 C．位于二、四象限的两支曲线 D．过点和点的一条直线 6．若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（   ）． A． B． C． D． 7．如图，反比例函数经过矩形的边中点，则矩形面积为________． 8．已知反比例函数的图象经过点，则k的值为________． 9．如图，在中，点A，B分别在反比例函数和的图象上，轴，点C在y轴上，，则_______． 10．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数的图象交于A，B两点，点A，B的横坐标分别为2，，直线交y轴于点C． (1)求k，a的值； (2)过点A作轴于点D，连接，求的面积． 1．函数在平面直角坐标系中的图形可能是（   ） A．B．C． D． 2．已知反比例函数下列结论错误的是（   ） A．在每一个象限内，随着的增大而减小 B．函数图象是双曲线，是轴对称图形 C．当时， D．函数图象不可能与坐标轴相交 3．根据学习函数积累的经验，自主探究表达式为的函数图象与性质，下列说法正确的是（    ） A．函数的图象是的图象平移得到的 B．函数的图象与x轴有一个交点 C．函数的图象与y轴的交点坐标是 D．函数的图象关于原点对称 4．反比例函数和一次函数在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（　　） A． B． C． D． 5．若反比例函数的图象位于第二、四象限，则k的取值可以是（     ） A． B．1 C．2 D．3 6．函数的图象中，在每个象限内，随x的增大而增大，则m可能为（   ） A．1 B．2 C． D．0 7．如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于，两点，轴于点，连接交轴于点，结合图象判断下列结论：①点与点关于原点对称；②点是的中点；③在的图象上任取点和点，如果，那么；④．其中错误结论的个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．如图，在平面直角坐标系中，点A，点B是函数图象上的动点（A，B不重合），点A是的中点，点B是的中点，作垂直x轴于点E，交图象于点G，作垂直y轴于点F，交图象于点H．给出下面四个结论： ①与的面积一定相等； ②连接，，则的面积是面积的2倍； ③连接，，，，则与的面积一定相等； ④连接，，则，不一定平行． 上述结论中，所有正确结论的序号是（     ） A．①② B．①③ C．②③ D．①④ 9．如图，是等腰直角三角形，，双曲线经过点B，过点作x轴的垂线交双曲线于点P，连接，设直线的一次函数解析式为． (1)求点B的坐标以及反比例函数解析式； (2)直接写出不等式的解集； (3)求的面积． 10．如图，矩形的顶点，分别在，轴的正半轴上，点的坐标为，是边的中点，过点的反比例函数的图象与边交于点． (1)求反比例函数的表达式． (2)将矩形折叠，使点与点重合，折痕分别与，轴交于点，，求线段的长． 15 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $ 完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业12 反比例函数的图象与性质 【知识点1 反比例函数的图象】 反比例函数的图象：反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限．由于反比例函数中自变量x≠0，函数y≠0，所以，它的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远不会与坐标轴相交． 【知识点2 反比例函数的性质】 表达式 （k是常数，k≠0） k k＞0 k＜0 大致图象 所在象限 第一、三象限 第二、四象限 增减性 在每个象限内，y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而增大 对称性 轴对称图形（对称轴为直线y＝x和y＝－x），中心对称图形（对称中心为原点） 易错提醒：反比例函数的图象不是连续的，因此在谈到反比例函数的增减性时，都是在各自象限内的增减情况．当k＞0时，在每一象限（第一、三象限）内y随x的增大而减小，但不能笼统地说当k＞0时，y随x的增大而减小．同样，当k＜0时，也不能笼统地说y随x的增大而增大． 【知识点3 反比例函数k的几何意义】 1． 反比例函数中k的几何意义 2．解决面积问题常用重要二级结论： 当一次函数与反比例函数结合时，可通过面积作和或作差的形式来求解． （1）如图①，正比例函数与一次函数所围成的三角形面积． S△ABC＝2S△ACO＝|k|； （2）如图②，已知一次函数与反比例函数交于A、B两点，且一次函数与x轴交于点C，则S△AOB＝S△AOC＋S△BOC＝＋＝； （3）如图③，已知反比例函数的图象上的两点，其坐标分别为，，C为AB延长线与x轴的交点，则S△AOB＝S△AOC–S△BOC＝–＝． 【题型1 根据反比例函数解析式判断性质正误】 1．对于反比例函数，下列说法错误的是（　　） A．图象位于第二、四象限 B．图象经过点 C．当时，随的增大而增大 D．当时，随的增大而减小 【答案】D 【详解】解：∵， ∴反比例函数图象位于第二、第四象限，且在每一象限内，随的增大而增大，故选项正确，选项错误； ∵， ∴图象经过点，故选项正确． 2．下列关于反比例函数的说法正确的是（   ） A．图象经过第二、四象限 B．随的增大而减小 C．图象与轴有交点 D．点在该函数图象上 【答案】D 【详解】解：∵反比例函数中， ∴该函数图象经过第一、三象限，而非第二、四象限，故A选项错误； 反比例函数在每一个象限内随的增大而减小，不连续，并非随的增大而减小．故B选项错误； 在反比例函数中，，且， ∴函数图象与轴、轴均无交点，故C选项错误； 当时，， ∴点在该函数图象上，故D选项正确． 故选：D． 3．关于反比例函数下列说法不正确的是 (     ) A．函数图象经过点 B．函数图象关于原点成中心对称 C．函数图象分别位于第一、三象限 D．当时，随的增大而增大 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，熟练掌握这些知识点是解题关键． 根据反比例函数性质，，图象在第二、四象限，关于原点对称，且在每个象限内随增大而增大，依次对各选项进行判断． 【详解】C3选项A: 当时，，则图象经过点，故A正确，不符合题意； 选项B: 反比例函数图象均关于原点对称，故B正确，不符合题意； 选项C: ，图象在第二、四象限，不在第一、三象限，故C不正确，符合题意； 选项D: ，当时，随增大而增大，故D正确，不符合题意； 故选C． 4．已知反比例函数，下列结论正确的是（   ） A．其图象经过点 B．其图象位于第一、第三象限 C．当时，随的增大而减小 D．当时， 【答案】D 【分析】根据反比例函数的解析式和性质，依次判断每个选项即可得到正确结论． 【详解】解：A、把代入，得，故图象不经过点，A错误； B、反比例函数中，，故图象位于第二、四象限，B错误； C、反比例函数中，，故当时，随的增大而增大，不是减小，C错误； D、当时，图象位于第二象限，即，，即，D正确． 5．关于反比例函数，下列说法中错误的是（     ） A．当时，随的增大而减小 B．图象位于第一、三象限 C．点在函数图象上 D．当时， 【答案】D 【分析】先由解析式得，再结合反比例函数的性质逐一判断选项，找出错误说法即可． 【详解】解：∵ 反比例函数中，， ∴ 函数图象位于第一、三象限，选项B正确； 且在每个象限内，随的增大而减小， ∵ 对应第三象限， ∴ 当时，随的增大而减小，选项A正确； 将代入解析式，得 ，与点的纵坐标一致， ∴ 点 在函数图象上，选项C正确； 当时，， ∵ 时，随的增大而减小， ∴ 当时，， 因此D错误选项． 【题型2 反比例函数的增减性与大小比较】 6．若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据反比例函数的性质得出的图象在一、三象限，在各象限，随的增大而减小，进行判断即可． 【详解】解：∵中，， ∴图象在一、三象限，在各象限，随的增大而减小， ∵，， ∴，， ∴． 7．已知点在反比例函数的图象上，，则下列结论正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的增减性，能够熟练利用增减性比较函数值大小是解题的关键． 根据每个选项的条件，利用反比例函数的增减性逐个判断即可． 【详解】解：∵反比例函数， ∴函数图象在第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小， ， A.若，则，根据增减性得，，故不符合题意； B.若，则，根据增减性得，，即，故符合题意； C.若，则或，根据增减性得，故不符合题意； D.若，则或，根据增减性得或，故不符合题意． 8．已知点，都在反比例函数（）的图象上，，则当时，有关m，n的取值判断正确的是（     ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】B 【分析】根据反比例函数的增减性，结合题干说明同号的条件，分和两种情况推导的大小关系，即可判断选项． 【详解】解：∵点，在上， ∴，， ∴ ， 由题意得，， 因此 ， ∵， ∴可得， 分情况讨论： 当时，可得，即，因此B正确； A只给出，遗漏了的情况，因此A错误； 当时，可得，即，因此D错误； C选项中，可得，不符合题干的条件，因此C错误． 9．已知点在反比例函数的图像上，那么在每个象限内，该函数的值y随x的值增大而________．（填“增大”或“减小”） 【答案】增大 【分析】根据点在反比例函数图象上确定的符号，再结合反比例函数的性质判断随的变化规律． 【详解】解：点在反比例函数的图像上， ， ， ， ， 根据反比例函数的性质，当时，在每个象限内，随的增大而增大． 10．已知点在反比例函数的图象上，如果，那么的值可能为_____（请写出一个符合条件的值）． 【答案】 3（答案不唯一，满足即可） 【分析】根据点的横坐标大小关系和的大小关系，判断反比例函数的增减性，进而得到比例系数的取值范围，即可写出符合条件的的值． 【详解】解：点在反比例函数的图象上， 又，且， 在第一象限内，随的增大而减小， 反比例函数图象经过第一、三象限， 比例系数大于，即， 解得， （答案不唯一）． 【题型3 根据反比例函数增减性求参数范围】 11．已知反比例函数的图象上有点，，且，则值可能为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将两点坐标代入反比例函数解析式，得到关于的表达式，再根据的条件求出的取值范围，最后结合选项判断即可. 【详解】解：∵ 点，都在反比例函数的图象上， ∴ 将坐标代入解析式得：，， ∵ ， ∴  ， 即 ， 故选：A. 12．若点、、都在反比例函数（为常数，）的图象上，且，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据正半轴上两点的纵坐标关系判断函数增减性，再结合点的位置验证的符号即可得到答案． 【详解】解： 点、都在反比例函数（为常数，）的图象上，且，， 当时，随的增大而增大， ， 当时，点在第二象限，，点、在第四象限，，此时满足， 的取值范围是． 13．若点，在反比例函数的图象上，且，则的取值范围是（　　） A． B． C． D．任意实数 【答案】C 【分析】利用反比例函数的性质，时图象在第二、四象限，每个象限内y随x增大而增大，结合两点横坐标的大小关系，分象限讨论求解a的取值范围． 【详解】解：∵反比例函数， ∴函数图象的两个分支分别位于第二、四象限，且每个象限内y随x的增大而增大， ∵，即， 若两点在同一象限，根据y随x增大而增大，可得，与已知矛盾， ∴两点不在同一象限，即点P在第二象限，点Q在第四象限， 可得不等式组，， 解得， 故选：C． 14．已知，两点在双曲线上，当时，．则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定x，y的大小关系判断反比例函数比例系数的符号，进而求解m的取值范围． 【详解】解：对于反比例函数，当时，在每个象限内，随的增大而减小． 时，， ， 解得． 15．在反比例函数中，都随的增大而减小，则的取值可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用反比例函数的性质，先求出的取值范围，再判断各选项即可得到答案． 【详解】∵反比例函数中，随的增大而减小 ∴根据反比例函数性质，可得比例系数 解得 对选项逐一判断： A. ，不符合要求， B. ，不符合要求， C. 时，，原式不是反比例函数，不符合要求， D .，符合要求． 【题型4根据k的几何意义求面积】 16．如图，已知反比例函数的图像经过点，连接.将线段绕点逆时针旋转，当点的对应点落在轴上时，的面积是（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】B 【分析】由旋转的性质可得，作轴于点，利用等腰三角形三线合一的性质得出，再结合反比例函数的几何意义求出，进而得出结果． 【详解】解：由旋转的性质可得， 如图，过点作轴于点， ，， ， 反比例函数的图象经过点， ， ． 17．反比例函数的图象如图所示，点是反比例函数图象上一点，过点作轴于点，连接，则的面积是（     ） A．1 B．2 C．5 D．6 【答案】B 【分析】直接根据值的几何意义，即可得出结果. 【详解】解：∵点是反比例函数图象上一点，轴于点， ∴的面积是. 18．如图，两点分别在函数和的图像上，线段轴，点在轴上，则的面积为（    ） A．3 B．4 C．6 D．9 【答案】A 【详解】解：连接、，线段交y轴于点D， ，， ， ， 由反比例函数中k的几何意义知，，， ． 19．如图，点A，D分别在函数 的图象上，点B，C在x轴上，点E在线段上时，若，则的面积为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】分别过点A，D作轴于点，轴于点，可得四边形是矩形，再根据求解即可． 【详解】解：如图，分别过点A，D作轴于点，轴于点， ∴ ∵， ∴四边形是平行四边形， 又轴，则 ∴四边形是矩形， 同理可得四边形为矩形， ∴ 20．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点在反比例函数的图象上，点在轴上，边交该反比例函数的图象于点，连接，若，则的面积为___________． 【答案】4 【分析】过点作轴于点，利用反比例函数系数的几何意义可知，，则，由此即可求解． 【详解】解：如图，过点作轴于点， ， ， ， 点在反比例函数的图象上， ， ， 四边形是平行四边形， 点到的距离相等， ． 【题型5求反比例函数的k】 21．如图，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点，在轴上，若点，，则实数的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是反比例函数与平行四边形的综合运用，灵活运用平行四边形的性质以及反比例函数的定义是解题的关键．根据平行四边形的对边平行且相等、面积公式求出点的坐标，再根据反比例函数的定义，将点的坐标代入，进而求出实数的值． 【详解】解：如图，过点作轴， 点， ,即， ， ， ， ， ， 将点代入函数得，， 解得：． 故选：． 22．如图，已知反比例函数（，）的图像与线段有公共点，其中点B在y轴上，轴，点A是x轴上一点，连接、，若的面积为3，则k的值可能为（     ） A．8 B．7 C．6.5 D．5 【答案】D 【分析】设（，），根据轴，和的面积为3，得出，再根据反比例函数与线段有交点即可解答； 【详解】解：设（，）， ∵轴， 则点， 则线段长度为， 在中，，整理得：， 设反比例函数与线段交于点， 则，， ∵x最大是a，所以k最大是，也就是， ∴四个选项里只有D选项5满足， ∴k的值可能为5． 23．如图，线段两端点分别在轴负半轴、轴负半轴上，的面积为2，将线段绕平面内一点旋转，点的对应点在反比例函数的图象上，点的对应点在反比例函数的图象上．若点的横坐标是点的横坐标的倍，则的值为（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】根据题意，设点，则，由旋转得到，，，结合图形面积的计算列式求解即可． 【详解】解：将线段绕平面内一点旋转，点的对应点在反比例函数的图象上，点的对应点在反比例函数的图象上，点的横坐标是点的横坐标的倍， ∴设点，则， 如图所示，过点F作轴，过点E作轴交于点D， ∴，， 根据旋转得到，，， ∵的面积为2， ∴， 解得，． 24．在平面直角坐标系中的位置如图所示，直角顶点在轴上，反比例函数的图象与边交于点，与边交于点，，若的面积为，则的值为_______． 【答案】 【分析】设点的坐标，根据线段比例关系表示出点的坐标，利用点在反比例函数图象上建立点横纵坐标的积与的关系，再根据的面积等于与的面积差，列方程求解. 【详解】解：设点的坐标为， 的直角顶点在轴上， 轴，点坐标为 ， ， 点在边上，， ， 点的横坐标为，纵坐标为， 点在反比例函数的图象上 ， ， ， 点在边上，且在反比例函数图象上 点的横坐标为， 点的纵坐标为，即， ， ， ， ， 将代入上式得， ， . 25．如图，点，在反比例函数的图象上，轴，垂足为，，垂足为．若四边形的面积为8，，则的值为________． 【答案】 【分析】设点，可得，，从而得到，再得出轴，可得点，从而得到，然后根据四边形的面积为8，列出方程，即可求解． 【详解】解：设点， 轴， ，， ， ， ， ，轴， 轴， 点， ， ∵四边形的面积为8， ， 解得：． 【题型6 根据反比例函数图象性质与图象判断新函数的图象性质】 26．小华同学利用计算机软件练习绘制函数的图象，下列图象中可能是函数（为常数）的图象的是（　　）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质．根据反比例函数图象的平移变换特点，以及代入特殊点排除错误选项即可得到答案． 【详解】解：令得，故函数过原点，所以排除； 的图象可由反比例函数向右平移个单位，再向上平移个单位得到，经过上述变化可得到选项，不能得到． 27．下列图象与函数图象相符的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分和两种情况讨论，分别得到表达式即可求解． 【详解】解：当时，，图象在第四象限； 当时，，图象在第三象限； ∴与函数图象相符的是： ． 28．定义新运算例如：．则函数的图象大致是（   ）． A．B．C． D． 【答案】B 【分析】本题考查新定义和反比例函数的图象，正确理解题意并结合反比例函数图象与系数的关系是解题关键． 按照题干给的新定义运算法则，对x的符号进行分类讨论，判断每种情况下，反比例函数的图象所在象限即可． 【详解】解：当时，，其图象在第一象限； 当时，，其图象在第二象限． 故选：B． 29．函数的图象大致是（    ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象，函数图象平移规律，熟练掌握反比例函数的图象是解题关键． 根据反比例函数的判断函数的图象经过的象限和增减性，再根据图象平移规律判断即可求解． 【详解】解：， 函数图象经过第二、四象限，且随的增大而增大， 函数的图象为函数的图象向上平移个单位长度． 故选：C． 30．猜想函数的性质，下面说法不正确的是（ ） A．该函数的函数值不可能为1 B．该函数图象不经过第三象限 C．该函数的图象关于点对称 D．函数值y随x的增大而增大 【答案】D 【分析】本题主要考查了函数的图象、反比例函数的图象和性质等内容，由函数解析式可得，所以该函数可以看作向上平移1个单位得到的，进而判断求解即可． 【详解】解：， 该函数可以看作向上平移1个单位得到的， 函数图象如图， 由图象可知其关于对称，故C选项正确； 函数与直线无交点，因此该函数的函数值不可能为1，故A选项正确； 该函数图象不经过第三象限，故B选项正确； 当或时，y随x增大而增大，所以D选项错在没有强调自变量x的范围； 故选D． 【题型7 反比例函数与一次函数综合】 31．如图，一次函数（）的图象与反比例函数（，）的图象交于，两点．当时，自变量的取值范围是（     ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】根据一次函数（）的图象与反比例函数（，）的图象可知，当时，一次函数的图象在反比例函数的图象下方，结合图象即可得到自变量的取值范围． 【详解】解：观察图象可知，当或时，直线在双曲线的下方， 因此，当时，自变量x的取值范围是或， 故选：． 32．在同一直角坐标系中，函数和的图象大致是（    ） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据一次函数的图象排除B、C，再根据一次函数与反比例函数图象分析A、D即可． 【详解】解：∵， ∴一次函数的图象与y轴交于正半轴，B、C错误； A．由一次函数的图象可知，即，反比例函数图象应经过一、三象限，符合选项图象； D．由一次函数的图象可知，即，反比例函数图象应经过二、四象限，不符合选项图象． 33．函数，的图象如图所示，下列关于函数的结论：①该函数的图象关于原点成中心对称；②该函数图象与轴没有交点；③当时，随的增大而增大；④当时，．其中正确结论的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． 根据反比例函数和一次函数的性质，逐一判断即可． 【详解】解：①由于反比例函数和一次函数的图象均关于原点中心对称，则关于原点中心对称，故①正确； ②令，即，则，解得，则函数图象与轴有交点，故②错误； ③当时，随的增大而增大，随的增大而减小，则随的增大而增大，故③正确； ④由②可知，当时，，故，则④正确． 34．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点C和点D，与反比例函数的图象交于点和点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)根据图象直接写出当时x的取值范围； (3)点是反比例函数图象上一点，连接、，求的面积； 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】（1）将点A的坐标代入反比例函数表达式，可求解k的值，由此可求解反比例函数表达式，再将点B的坐标代入反比例函数表达式可求解m的值，再将点A，点B的坐标代入一次函数中，即可求解一次函数的表达式； （2）根据图象求解即可； （3）添加辅助线，过B点作轴，垂足为H；过E点作轴，垂足为F，求解出点E的坐标，再求解出点，由求解面积即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点． ∴把点A的坐标代入反比例函数得：， 解得：， ∴反比例函数的表达式； 把点B的坐标代入反比例函数得：， 解得：， ∴点， 把点A，点B的坐标分别代入一次函数，得： ， 解得：， ∴一次函数的表达式； （2）解：当时，表示函数的图象位于函数的图象上方，不包含交点， ∴由图象可知，或； （3）解：过B点作轴，垂足为H；过E点作轴，垂足为F，如图1， ∵点， ∴，， 把点代入反比例函数中得： ， ∴点， ∴，， 对于一次函数， 当时，得：，解得：， ∴点， ∴， ∴， ∴． 35．如图，一次函数和反比例函数分别交于点， ．  (1)求反比例函数和一次函数的函数表达式； (2)连接，求的面积； (3)根据图象直接写出不等式的解集． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1） 根据题意，运用待定系数法求解即可； （2） 设直线与x轴交于点，令得到，根据代入计算即可； （3）根据函数图象求不等式解集即可． 【详解】（1）解： 点与点 在反比例函数图象上，  ，即反比例函数的解析式为， 当时，，即， 点与点在一次函数图象上， ，  解得：，  一次函数解析式为； （2）解：如图所示，设直线与x轴交于点， ∴当时，，  ，  ； （3）解：由图象可得，当或时，． 【题型8 反比例函数与几何图形综合】 36．如图，四边形是边长为2的正方形，以点为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，反比例函数的图象经过边的中点，则下列结论：①；②；③点的坐标为；④的面积为，其中正确的是（     ） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数和坐标系求点坐标，面积等．利用可以求出和点坐标，进而求出面积． 【详解】①，因为经过点，把点代入函数解得，所以①正确； ②，，无法得出和两角之和是，也无法得出，所以②错误； ③点的坐标为，由①，点的纵坐标为2，横坐标为，所以③正确； ④的面积为，，所以④正确． 37．如图，在平面直角坐标系中，点，点，是轴上方的两个动点，四边形是菱形，函数的图象与对角线交于点（点，不重合），过点作轴于点，连接，．给出下面四个结论： ①的面积一定为2； ②和的面积一定不相等； ③一定为锐角三角形； ④可能为等腰三角形． 上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】B 【分析】利用菱形的对角线的性质，结合反比例函数值的几何意义，证明，举出反例等，逐一判断即可． 【详解】解：设点的坐标为， 、， 点在函数的图象上， ， ， 故①正确； 四边形是菱形， 、， 在和中， ， ， 故②错误； 举反例，当点位于的中点时， 四边形是菱形， ，即， 此时为直角三角形， 故③错误； 当点运动到使得或或的位置时，为等腰三角形， 由于点是动点， 则可能为等腰三角形， 故④正确； 综上所述，正确的有①④． 38．如图，点分别在轴、轴的正半轴上，点绕着点顺时针旋转得到点恰好落在反比例函数的图像上，若点，则点的坐标为_________． 【答案】 【分析】设，如图：过点C作轴于点D，根据旋转的性质可得，，利用同角的余角相等证明，进而证明，进而用含a的代数式表示出点C的坐标，代入反比例函数解析式求出a的值即可． 【详解】解：设，如图：过点C作轴于点D， ∵点B的坐标为， ∴， 设，则， ∵点B绕着点A顺时针旋转得到点C， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴点C的坐标为， ∵点C在反比例函数的图像上， ∴，解得或（不合题意舍去）． ∴点A的坐标为． 39．如图，矩形的顶点与坐标原点重合，点的坐标为，点，分别在坐标轴上，反比例函数的图象与，分别交于点，，且． (1)求反比例函数的解析式． (2)连接，将沿翻折，点的对应点落在轴上，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由矩形与点坐标得到长度，结合算出长，确定点坐标，代入反比例函数求，得到解析式． （2）先由反比例解析式求点坐标，得长度；根据折叠性质得，设，利用勾股定理列方程求解，得到坐标． 【详解】（1）解：，四边形是矩形， ，， ，， ， ． 在上， ， ． （2）解：在上，横坐标为，在上， ， ， 由折叠得：， 设， ， ． 在中，， ∴ ∴， 在左侧，， ， ， ． 40．如图，已知在平行四边形中，点为坐标原点，点，反比例函数的图象经过点． (1)求的值及直线的函数解析式； (2)点为反比例函数图象上任意一点，若，求点的坐标． 【答案】(1)，直线的函数解析式为 (2)点或点 【分析】（1）根据函数的图象经过点，可以求得的值，再根据平行四边形的性质即可求得点的坐标，从而可以求得直线的函数解析式； （2）根据平行四边形的性质可以求得，然后根据列式求解即可． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上， ∴ ∵点， ∴． 又轴， ∴点． 设直线的函数解析式为， ∴，解得， ∴直线的函数解析式为． （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴． 设点的坐标为， ∵， ∴ 解得或， ∴点或点． 1．已知反比例函数，下列各点在该函数图像上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数图像上点的坐标特征，掌握反比例函数图像上点的横纵坐标的积为k是解题的关键． 分别求出各选项点的横纵坐标的积，看是否为16即可解答． 【详解】解：A．点横纵坐标积为，即点不在函数图像上，故该选项不符合题意； B．点横纵坐标积为，即点不在函数图像上，故该选项不符合题意； C．点横纵坐标积为，即点不在函数图像上，故该选项不符合题意； D．点横纵坐标积为，即点在函数图像上，故该选项符合题意． 故选D． 2．函数的图像大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的定义及性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键． 根据函数解析式确定该函数是反比例函数，根据反比例函数的性质即可得答案． 【详解】解：∵函数解析式为， ∴该函数为反比例函数，图像为双曲线， ∵， ∴图像在一、三象限， ∴四个选项中，只有B选项符合题意， 故选：B． 3．若反比例函数的图象经过点，则该反比例函数的图象分别位于（   ） A．第一、第三象限 B．第一、第四象限 C．第二、第三象限 D．第二、第四象限 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的解析式、图象和性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．设反比例函数的解析式，利用待定系数法求出解析式，再根据反比例函数的图象和性质，即可解答． 【详解】解：设反比例函数的解析式为：， 反比例函数的图象经过点， ， 该反比例函数的图象分别位于第二、第四象限， 故选：D． 4．已知点，在双曲线上；若，则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的图像及性质，掌握反比例函数的图像及性质是解题的关键．根据题意可得，反比例函数的图像分布在第二、四象限，即可求解． 【详解】解：的图像分布在第二、四象限，如图所示， 当，从图像可知， 故选：B． 5．函数的图像（   ） A．过原点的一条直线 B．位于一、三象限的两支曲线 C．位于二、四象限的两支曲线 D．过点和点的一条直线 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的图像与性质，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据函数关系式，可确定该函数图像是双曲线可判断A、D选项，再根据的正负确定双曲线所在象限可判断B、C选项． 【详解】解：A、是反比例函数，反比例函数图像不过原点且为双曲线，故该选项错误； B、因为，所以图像是位于二、四象限的双曲线，故该选项错误； C、因为，所以图像是位于二、四象限的双曲线，故该选项正确； D、的图像是双曲线，不是直线，故该选项错误； 故选：C． 6．若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用反比例函数的解析式计算出，，的值，再比较大小即可． 【详解】解：分别将，，代入，得， ，，， ∵， ∴． 7．如图，反比例函数经过矩形的边中点，则矩形面积为________． 【答案】 【分析】设点的坐标为，因为在反比例函数上，根据反比例函数性质可得．因为是矩形边的中点，所以矩形的，．根据矩形面积公式计算面积即可． 【详解】 解：设点的坐标为， ∵在反比例函数上， ∴． ∵是矩形边的中点， ∴，． ∵矩形面积， ∴代入，得． 8．已知反比例函数的图象经过点，则k的值为________． 【答案】 【详解】解：将点代入反比例函数得：， 解得：． 49．如图，在中，点A，B分别在反比例函数和的图象上，轴，点C在y轴上，，则_______． 【答案】 【分析】根据，得出；再分别过点，作轴的垂线，垂足分别为E，F，则，继而可求得的值．解题时要注意：反比例函数的图象在第二象限，这是易错点． 【详解】解：， ． 如图，分别过点A，B作x轴的垂线，垂足分别为E，F， 则， ， ， ∴， ∵反比例函数的图象在第二象限， ． 10．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数的图象交于A，B两点，点A，B的横坐标分别为2，，直线交y轴于点C． (1)求k，a的值； (2)过点A作轴于点D，连接，求的面积． 【答案】(1)， (2)9 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据求解即可． 【详解】（1）解：把点A和点B的横坐标代入，， 得 解得 即，． （2）解：当时，，即． ∴ ． 1．函数在平面直角坐标系中的图形可能是（   ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的性质，由反比例函数解析式可得反比例函数的图象在第二、四象限，即可得解． 【详解】解：∵函数，， ∴反比例函数的图象在第二、四象限， 故选：C． 2．已知反比例函数下列结论错误的是（   ） A．在每一个象限内，随着的增大而减小 B．函数图象是双曲线，是轴对称图形 C．当时， D．函数图象不可能与坐标轴相交 【答案】C 【分析】本题了考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键．根据反比例函数的性质和反比例函数图象上点的坐标特征逐项判断即可． 【详解】解：A．因为反比例函数的图象在第一、三象限内，所以在每个象限内，随的增大而减小，故该选项不符合题意； B．反比例函数的图象是双曲线，是轴对称图形，该选项不符合题意； C．当时，，该选项符合题意； D．因为，都不等于0，所以图象不可能与坐标轴相交，该选项不符合题意． 故选：C． 3．根据学习函数积累的经验，自主探究表达式为的函数图象与性质，下列说法正确的是（    ） A．函数的图象是的图象平移得到的 B．函数的图象与x轴有一个交点 C．函数的图象与y轴的交点坐标是 D．函数的图象关于原点对称 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的图象性质，平移的性质，关于原点对称的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．根据反比例函数的图象性质，则函数的图象是的图象向右平移一个单位长度得到的，结合函数的分母不为0，即，令，则，再根据函数的图象关于原点对称，则函数的图象关于对称，即可作答． 【详解】解：A、函数的图象是的图象向右平移一个单位长度得到的，故该选项是符合题意的； B、函数的分母不为0，即，则函数的图象与x轴没有交点，故该选项是不符合题意的； C、令，则，故函数的图象与y轴的交点坐标是，故该选项是不符合题意的； D、函数的图象关于原点对称，且函数的图象是的图象向右平移一个单位长度得到的，则函数的图象关于对称，故选项是不符合题意的； 故选：A． 4．反比例函数和一次函数在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是一次函数与反比例函数图象综合判断、一次函数的图象、反比例函数图象，解题关键是读懂图象信息． 根据一次函数解析式的特征判断出一次函数与轴交于，再根据两个函数中的值相同即可判断正确答案． 【详解】解：一次函数与轴交于， 而选项、选项中一次函数均与轴交于负半轴， 选项、选项错误； 又两个函数中的值相同， 时，一次函数经过一、二、三象限时，反比例函数经过一、三象限； 时，一次函数经过一、二、四象限时，反比例函数经过二、四象限， 选项错误，选项正确． 故选：． 5．若反比例函数的图象位于第二、四象限，则k的取值可以是（     ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数的性质，根据反比例函数图象所在象限判断比例系数的符号，求出的取值范围后，即可选出符合要求的选项． 【详解】反比例函数的图象位于第二、四象限， ，解得，选项中只有，符合的要求， 故k的取值可以是A项． 6．函数的图象中，在每个象限内，随x的增大而增大，则m可能为（   ） A．1 B．2 C． D．0 【答案】D 【分析】根据函数的图象中，在每个象限内，随x的增大而增大，得到，求解即可； 【详解】解：根据题意，得， 所以， 故符合要求的是0， 故选：D 7．如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于，两点，轴于点，连接交轴于点，结合图象判断下列结论：①点与点关于原点对称；②点是的中点；③在的图象上任取点和点，如果，那么；④．其中错误结论的个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据一次函数与反比例函数的交点问题，反比例函数的性质逐项判断即可求解，掌握反比例函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵直线与双曲线交于，两点， ∴点与点关于原点对称，故①正确； ∵点与点关于原点对称， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴， ∴点是的中点，故②正确； ∵， ∴在每一象限内，随的增大而减小，对任意，不满足，故③错误； ∵轴， ∴， ∵点与点关于原点对称， ∴， ∵点是的中点， ∴，故④正确； ∴错误结论有1个， 故选：A． 8．如图，在平面直角坐标系中，点A，点B是函数图象上的动点（A，B不重合），点A是的中点，点B是的中点，作垂直x轴于点E，交图象于点G，作垂直y轴于点F，交图象于点H．给出下面四个结论： ①与的面积一定相等； ②连接，，则的面积是面积的2倍； ③连接，，，，则与的面积一定相等； ④连接，，则，不一定平行． 上述结论中，所有正确结论的序号是（     ） A．①② B．①③ C．②③ D．①④ 【答案】B 【分析】设点A、点B坐标推出点C、点D、点G、点H坐标，利用图像和坐标得出三角形的面积，分析①②③结论，利用，所在直线的解析式进行切入，假设，分析④结论． 【详解】解：过点A作，过点B作，如图所示： 设点A坐标为，点B坐标为， ∵点A是的中点，点B是的中点， ∴点C坐标为，点D坐标为，点G坐标为，点H坐标为， ∵点A，点B是函数图象上的点， ∴，， 根据图象可知： ， ， ∴，故①正确； ∵ ， ∴， ∵ ， ∴，故②不正确； ∵ ， ∴， ， ∴，故③正确， ∵设所在直线的函数表达式为， 将C，D代入得：， 解得：， 设所在直线的函数表达式为， 将点G坐标为，点H坐标为，代入得：， 解得：， 若，则， 即：， 整理得：， 所以， 因为，，所以等式恒成立， 即，所以④不正确． 9．如图，是等腰直角三角形，，双曲线经过点B，过点作x轴的垂线交双曲线于点P，连接，设直线的一次函数解析式为． (1)求点B的坐标以及反比例函数解析式； (2)直接写出不等式的解集； (3)求的面积． 【答案】(1)， (2) (3)4 【分析】（1）过点B作轴，交x轴于点D，根据等腰直角三角形的性质即可得到，再由待定系数法求解反比例函数表达式； （2）根据函数图象即可求解； （3）根据三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ 如图所示，过点B作轴，交x轴于点D， ∵是等腰直角三角形，， ∴均是等腰直角三角形， ∴， ∴点； ∴将代入，则， ∴反比例函数表达式为； （2）解：由题意得，点的横坐标为， 将代入， ∴， ∴不等式的解集为； （3）解：由（2）知， ∴， ∴的面积． 10．如图，矩形的顶点，分别在，轴的正半轴上，点的坐标为，是边的中点，过点的反比例函数的图象与边交于点． (1)求反比例函数的表达式． (2)将矩形折叠，使点与点重合，折痕分别与，轴交于点，，求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据矩形的性质和点的坐标确定点的坐标，再利用中点坐标公式求出边中点的坐标，将点坐标代入反比例函数解析式求出比例系数，即可得到反比例函数的表达式； （2）先根据点在边上确定其横坐标与点相同，代入反比例函数表达式求出点的纵坐标，得到点坐标，再根据折叠的性质得出折痕垂直平分，即，设的长为，用表示出点坐标和的长度，最后在中利用勾股定理列方程求解，即可得到线段的长． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形，点的坐标为， ∴，点的坐标为， ∵是的中点， ∴点的坐标为，即， 将代入反比例函数，得， 解得， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：∵四边形是矩形，点的坐标为， ∴轴，点的坐标为，， ∵点在边上， ∴点的横坐标为， 将代入，得， ∴点的坐标为， 由折叠的性质可知，折痕垂直平分线段， ∴， 设，则，， 在中， ， ∴， 解得， ∴线段的长为 ． 46 / 46 学科网（北京）股份有限公司 $