第12讲 平方根（暑假预习讲义）新七年级数学新教材浙教版

第12讲 平方根 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 求一个数的平方根 题型2 求一个数的算术平方根 题型3 平方根的性质 题型4 平方根的简单应用 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 算术平方根 平方根 1.  理解平方根、算术平方根定义，掌握平方与开平方互为逆运算；会用符号表示平方根、算术平方根，熟记非负数平方根性质。 2.能熟练求非负数的平方根与算术平方根；会区分平方根和算术平方根；能利用平方根性质简单求值、化简。 3.体会互逆运算思想，培养严谨数学习惯，提升数感与运算能力。 学习重点： 正确求一个非负数的平方根与算术平方根； 学习难点： 区分平方根和算术平方根的区别与联系。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 平方根 【引入】一张正方形桌面的面积为1.44 m2，它的边长为多少？ 1.平方根 一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫作a的平方根，也称为二次方根。a叫作被开方数。 2. 基本事实 一个正数有正负两个平方根，它们互为相反数； 零的平方根是零； 负数没有平方根； 正数a的两个平方根可以用符号“±”表示。其中，“+”表示a的正平方根，即a的算术平方根；“－”表示a的负平方根，读作“负根号a”。 3. 开平方 求一个数的平方根的运算叫作开平方。 知识点02 算术平方根 1. 算术平方根 正数的正平方根成为算术平方根。a的算术平方根记为“”，读作“根号a” 2. 算术平方根的双重非负性 3. 平方根的性质 =a(a0),=a(a0) 题型1 求一个数的平方根 【例1】求下列各数的平方根： (1)81； (2)； (3)． 【例2】回答下列问题： (1)12是144的平方根吗？ (2)169的负的平方根是哪个数？ (3)是0.9的平方根吗？ (4)哪个数的平方根只有一个？ 【易错提醒】 可以说12是144的平方根，但不能说144的平方根就是12. 【变式练习】 1．求下列各数的平方根： (1)225； (2)1600； (3)； (4)0.0144． 2．判断下列说法是否正确，并说明理由． (1)1是1的平方根． (2)1的平方根是1． (3)的平方根是． (4)的平方根是． 3．（1）一个正数的平方等于196，求这个数． （2）一个负数的平方等于，求这个数． （3）一个数的平方等于1.44，求这个数． 题型2 求一个数的算术平方根 【例1】求下列各数的算术平方根： (1)36； (2)； (3)； (4)； (5)． 【例2】化简下列各式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【例3】的平方根是______． 【例4】的值等于（   ） A．5 B． C． D． 【例5】求下列各式的值． (1) (2) (3) 【易错归纳】 1. ，所以.即：=a(a0) 2. .即： a(a<0) 3. 的平方根4的平方根； 4. 在求算术平方根时，被开方数如果是带分数要先化为假分数；注意： 5. 一个数扩大为原来的100倍，它的算术平方根就扩大为原来的10倍；一个数缩小为原来的它的算术平方根就缩小为原来的。 【变式练习】 1．的算术平方根等于（     ） A．4 B． C． D．2 2．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．81的算术平方根是_______． 4. 求下列各数的算术平方根和平方根： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 5．求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型3 平方根的性质 【例1】下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【例2】下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【例3】已知与互为相反数，则的平方根是________． 【知识点归纳】 1. 2. =a (a0) 3.=a (a0) 【变式练习】 1．计算：________． 2．化简：______． 3．的算术平方根是________；的平方根是________． 4．如果等式成立，那么应满足的条件是_____． 5．若，则的平方根________． 6．求下列各式的值． (1)； (2)． 7．（1）化简：________；________；________；________； （2）根据（1）的计算结果，化简，． 8．已知一个正数的平方根是和，求和的值． 题型4 平方根的应用 【例1】解下列方程 (1)； (2)； (3)； (4)． 【例2】一个正方形鱼池的边长是，另一个正方形鱼池的面积比它大．求较大鱼池的边长． 【例3】“欲穷千里目，更上一层楼”，说的是登得高看得远．如图，若观测点的高度为，观测者能看到的最远距离为，则，其中是地球半径，通常取．小红站在海边的一块岩石上，眼睛离海平面的高度为，他观测到远处一艘船刚露出海平面，求此时的值． 【知识归纳】 一个正数有两个平方根，但在实际应用中，因为速度、距离不能为负数，所以算术平方根应用更为广泛。 【变式练习】 1．学校小会议室的面积为，小亮数了一下地面铺的正方形地板砖，正好是50块．求每块地板砖的边长． 2．嘉淇计划用一张如图所示的面积为的正方形纸片沿边的方向裁一个长方形． (1)求这个正方形纸片的边长． (2)若根据实际需要，长方形的长与宽之比为，且面积为，问能否裁出这样的长方形？判断并说明理由． 3．综合与实践 课题 洛阳市景点卡片及封皮制作 图示、数据及计算 图示 相关数据及说明 正方形卡片的面积为，长方形封皮的长与宽的比为，面积为． 计算结果 …… 【任务驱动】某数学兴趣小组制做了精美的洛阳市景点卡片，并为每一张卡片制作了一个特色包装封皮． 【实践操作】小组成员制作正方形卡片，小组成员制作长方形包装封皮． 【解决问题】请你通过计算，判断正方形卡片能否直接装进长方形封皮中． 4．在驾车行驶过程中，若司机发现前方道路有异常，从踩下刹车到汽车最终停止，汽车行驶的距离叫制动距离．小智收集的实验数据：制动距离（单位：）与行驶速度（单位：）满足关系式．某天王叔叔开车在公路上行驶时，突然发现前方有异常情况，立即采取了刹车措施．经测量，王叔叔的刹车制动距离为．已知该段公路最高限速为，请你判断王叔叔是否超速，并说明理由． 【知识归纳】 5=5× 一、单选题 1．9的平方根是（　　） A． B． C． D． 2．下列各数没有平方根的是（    ） A． B．0 C．7 D．16 3．的平方根是（   ） A．4 B． C． D． 4．下面计算正确的是（    ） A． B． C． D． 5．计算的结果为（    ） A．4 B．2 C．8 D． 6．下列说法： ①；②，③4是16的平方根；④的算术平方根是，⑤的平方根是．其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．若，则的值是（    ） A．0 B．1 C． D．2 8．一个正方体的表面积为，则这个正方体的边长为（   ） A．10 B．6 C． D． 9．伞兵在高空跳离飞机往下降落，在打开降落伞前，下降的高度（米）与下降的时间（秒）的关系可以近似地表示为（不计空气阻力），一个伞兵在打开降落伞前的一段时间内下降了980米，这段时间大约有（   ）（精确到1秒） A．14秒 B．16秒 C．13秒 D．15秒 10．嘉淇发现，，根据嘉淇的发现解决问题：已知，，则的值是（    ） A．4.5 B．14.23 C．45 D．142.3 二、填空题 11．5的平方根是______． 12．的平方根为__________． 13．的绝对值是_____，的算术平方根是____，的平方根是___ 14．若，为有理数且，则的平方根为_____． 15．若是的一个平方根，则的另一个平方根为______． 16．若，，则______，______． 三、解答题 17．求下列各数的平方根及算术平方根： (1)； (2)； (3)； (4)． 18．若，求的平方根． 19．（1）已知一个正数的两个不相等的平方根与，求这个正数的值； （2）已知的平方根是，的算术平方根是4，求的平方根． 20．根据下表所提供的信息解答问题． 4 5 16 25 (1) 的平方根是_____． (2)物体自由下落的高度（单位：）与下落时间（单位：）之间的关系是．现有一个物体从高的建筑物上自由下落，则该物体到达地面需要多长时间？（请结合表中数据精确到） 21．阅读与思考，请先完成第（1）小题，再仿照完成第（2）小题的解答过程． (1)如图1是2个面积为1的小正方形，对所给图形进行分割，拼成如图2面积为2的大正方形，求大正方形的边长． (2)如图3是由5个面积为1的小正方形拼成的图形，按图中方式裁剪，可以拼成一个如图4的大正方形，求大正方形的边长． 22．阅读下列解题过程：；；；…… (1)计算：_______；_______； (2)按照你所发现的规律，猜想：____（为正整数）； (3)计算：． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12讲 平方根 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 求一个数的平方根 题型2 求一个数的算术平方根 题型3 平方根的性质 题型4 平方根的简单应用 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 算术平方根 平方根 1.  理解平方根、算术平方根定义，掌握平方与开平方互为逆运算；会用符号表示平方根、算术平方根，熟记非负数平方根性质。 2.能熟练求非负数的平方根与算术平方根；会区分平方根和算术平方根；能利用平方根性质简单求值、化简。 3.体会互逆运算思想，培养严谨数学习惯，提升数感与运算能力。 学习重点： 正确求一个非负数的平方根与算术平方根； 学习难点： 区分平方根和算术平方根的区别与联系。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 平方根 【引入】一张正方形桌面的面积为1.44 m2，它的边长为多少？ 1.平方根 一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫作a的平方根，也称为二次方根。a叫作被开方数。 2. 基本事实 一个正数有正负两个平方根，它们互为相反数； 零的平方根是零； 负数没有平方根； 正数a的两个平方根可以用符号“±”表示。其中，“+”表示a的正平方根，即a的算术平方根；“－”表示a的负平方根，读作“负根号a”。 3. 开平方 求一个数的平方根的运算叫作开平方。 知识点02 算术平方根 1. 算术平方根 正数的正平方根成为算术平方根。a的算术平方根记为“”，读作“根号a” 2. 算术平方根的双重非负性 3. 平方根的性质 =a(a0),=a(a0) 题型1 求一个数的平方根 【例1】求下列各数的平方根： (1)81； (2)； (3)． 【详解】（1）解：∵ ∴81的平方根是； （2）解：∵ ∴的平方根是； （3）解：∵ ∴的平方根是； 【例2】回答下列问题： (1)12是144的平方根吗？ (2)169的负的平方根是哪个数？ (3)是0.9的平方根吗？ (4)哪个数的平方根只有一个？ 【详解】（1）解：因为 所以144的平方根是， 所以12是144的平方根； （2）解：因为 所以169的平方根是， 所以169的负的平方根是； （3）解：因为 所以0.09的平方根是， 所以不是0.9的平方根； （4）解：因为 0的平方根是0， 所以0的平方根只有一个是0． 【易错提醒】 可以说12是144的平方根，但不能说144的平方根就是12. 【变式练习】 1．求下列各数的平方根： (1)225； (2)1600； (3)； (4)0.0144． 【详解】（1）解：， 的平方根是； （2）解：， 的平方根是； （3）解：， 的平方根是； （4）解：， 的平方根是． 2．判断下列说法是否正确，并说明理由． (1)1是1的平方根． (2)1的平方根是1． (3)的平方根是． (4)的平方根是． 【详解】（1）解：1是1的平方根，正确； （2）解：1的平方根是，原说法错误； （3）解：的平方根是，原说法错误； （4）解：没有平方根，原说法错误． 3．（1）一个正数的平方等于196，求这个数． （2）一个负数的平方等于，求这个数． （3）一个数的平方等于1.44，求这个数． 【详解】解：（1）一个正数的平方等于196 ； （2）一个负数的平方等于 ； （3）一个数的平方等于1.44 ． 题型2 求一个数的算术平方根 【例1】9．求下列各数的算术平方根： (1)36； (2)； (3)； (4)； (5)． 【详解】（1）解：∵， ∴=6 ∴36的算术平方根为6； （2）∵ ∴=0.4 ∴的算术平方根为； （3）∵ ∴= ∴的算术平方根为； （4）∵ ∴= ∴的算术平方根为； （5） ∵， ∴= ∴的算术平方根为； 【例2】化简下列各式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴， （3）解：∵， ∴； （4）解：． 【例3】的平方根是______． 【详解】解：∵， 又∵2的平方根是 ∴的平方根为． 【例4】的值等于（   ） A．5 B． C． D． 【详解】解：∵， 又∵算术平方根的结果为非负数， ∴=． 故选：D． 【例5】求下列各式的值． (1) (2) (3) 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： 【易错归纳】 1. ，所以.即：=a(a0) 2. .即： a(a<0) 3. 的平方根4的平方根； 4. 在求算术平方根时，被开方数如果是带分数要先化为假分数；注意： 5. 一个数扩大为原来的100倍，它的算术平方根就扩大为原来的10倍；一个数缩小为原来的它的算术平方根就缩小为原来的。 【变式练习】 1．的算术平方根等于（     ） A．4 B． C． D．2 【详解】解：，， ∴的算术平方根等于2． 2．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【详解】解：∵算术平方根的定义为非负数的正的平方根，即的结果为非负， ∴对于选项A，是16的算术平方根，结果为4，而非，A错误，不符合题意； ∵，∴B错误，不符合题意； ∵表示的相反数，，∴，C错误， 不符合题意； ∵，∴D正确，符合题意． 故选：D． 3．81的算术平方根是_______． 【详解】解：81的算术平方根是9． 4. 求下列各数的算术平方根和平方根： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【详解】（1）解：算术平方根：；平方根：； （2）解：算术平方根：；平方根：； （3）解：算术平方根：；平方根：； （4）解：算术平方根：；平方根：； （5）解：算术平方根：；平方根：； （6）解：算术平方根：；平方根：． 5．求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 题型3 平方根的性质 【例1】下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【详解】解：A、∵，， ∴， 故该选项说法正确，符合题意； B、∵， ，， ∴，故该选项说法错误，不符合题意； C、∵ 表示9的算术平方根， ∴ ，故该选项说法错误，不符合题意； D、∵ 负数没有平方根（在实数范围内）， ∴ 无意义，故该选项说法错误，不符合题意； 故选：A． 【例2】下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【详解】解：A、，符合题意； B、表示的平方根，结果为，原式错误，不符合题意； C、，不符合题意； D、，，，不符合题意； 故选： A． 【例3】已知与互为相反数，则的平方根是________． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴的平方根是， 故答案为：． 【知识点归纳】 1. 2. =a (a0) 3.=a (a0) 【变式练习】 1．计算：________． 【详解】原式． 2．化简：______． 【详解】解：， 3．的算术平方根是________；的平方根是________． 【详解】解：的算术平方根是，的平方根是 故答案为：，． 4．如果等式成立，那么应满足的条件是_____． 【详解】解：由算术平方根的定义可知，．等式即，根据绝对值的性质，当且仅当时，成立．因此，应满足的条件是． 5．若，则的平方根________． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， 6．求下列各式的值． (1)； (2)． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 7．（1）化简：________；________；________；________； （2）根据（1）的计算结果，化简，． 【详解】（1）； ； ； ； （2）根据（1）的计算结果可得；． 8．已知一个正数的平方根是和，求和的值． 【详解】解：根据题意可得：， 解得：， ∴． 题型4 平方根的应用 【例1】解下列方程 (1)； (2)； (3)； (4)． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴； （3）解：∵ ∴， ∵， ∴， （4）解： ∵， ∴． 【例2】一个正方形鱼池的边长是，另一个正方形鱼池的面积比它大．求较大鱼池的边长． 【详解】解：一个正方形鱼池的边长是，其面积为， 另一个正方形鱼池的面积比它大， 另一个正方形鱼池的面积为， 较大的鱼池的边长． 答：较大鱼池的边长为． 【例3】“欲穷千里目，更上一层楼”，说的是登得高看得远．如图，若观测点的高度为，观测者能看到的最远距离为，则，其中是地球半径，通常取．小红站在海边的一块岩石上，眼睛离海平面的高度为，他观测到远处一艘船刚露出海平面，求此时的值． 【详解】解：根据题意得，，，， ∴， 答：此时的值为． 【知识归纳】 一个正数有两个平方根，但在实际应用中，因为速度、距离不能为负数，所以算术平方根应用更为广泛。 【变式练习】 1．学校小会议室的面积为，小亮数了一下地面铺的正方形地板砖，正好是50块．求每块地板砖的边长． 【详解】解：面积为，正好用了50块正方形地板砖， 每块地板砖的面积为：， 每块地板砖的边长为米． 2．嘉淇计划用一张如图所示的面积为的正方形纸片沿边的方向裁一个长方形． (1)求这个正方形纸片的边长． (2)若根据实际需要，长方形的长与宽之比为，且面积为，问能否裁出这样的长方形？判断并说明理由． 【详解】（1）解：正方形纸片的面积为， 正方形纸片的边长是； （2）不能裁出这样的长方形； 理由：设长方形纸片的长为，宽为，则， 解得， 则， 所以沿此正方形纸片的边的方向裁一个长方形，不能使裁出的长方形纸片的长与宽之比为，且面积为． 3．综合与实践 课题 洛阳市景点卡片及封皮制作 图示、数据及计算 图示 相关数据及说明 正方形卡片的面积为，长方形封皮的长与宽的比为，面积为． 计算结果 …… 【任务驱动】某数学兴趣小组制做了精美的洛阳市景点卡片，并为每一张卡片制作了一个特色包装封皮． 【实践操作】小组成员制作正方形卡片，小组成员制作长方形包装封皮． 【解决问题】请你通过计算，判断正方形卡片能否直接装进长方形封皮中． 【详解】解：设长方形封皮的宽为，则长为， 根据题意可列方程， 解得， ， ， 正方形卡片的面积为， 正方形卡片的边长为， ， 故正方形卡片不能直接装进长方形封皮中． 4．在驾车行驶过程中，若司机发现前方道路有异常，从踩下刹车到汽车最终停止，汽车行驶的距离叫制动距离．小智收集的实验数据：制动距离（单位：）与行驶速度（单位：）满足关系式．某天王叔叔开车在公路上行驶时，突然发现前方有异常情况，立即采取了刹车措施．经测量，王叔叔的刹车制动距离为．已知该段公路最高限速为，请你判断王叔叔是否超速，并说明理由． 【详解】解：王叔叔没有超速．理由如下： 将代入，得． ， ， 是正数， ． ， 王叔叔没有超速． 【知识归纳】 5=5× 一、单选题 1．9的平方根是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵， ∴9的平方根是． 2．下列各数没有平方根的是（    ） A． B．0 C．7 D．16 【答案】A 【分析】根据平方根的定义，负数没有平方根，非负数（0和正数）才有平方根，据此解答即可． 【详解】解：∵负数没有平方根， ∴四个选项中只有没有平方根． 3．的平方根是（   ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平方根和算术平方根的概念．熟练掌握概念是解题关键； 先计算16的算术平方根，再求该结果的平方根． 【详解】∵， 又 ∵ 4的平方根是， ∴的平方根是． 故选：C． 4．下面计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查指数运算和平方根的概念，需注意负号与指数的优先级差异以及算术平方根的定义．根据有理数的乘方运算法则和算术平方根定义逐一计算可得． 【详解】解：A、，此选项错误； B、，此选项错误； C、，此选项正确； D、，此选项错误； 故选：C． 5．计算的结果为（    ） A．4 B．2 C．8 D． 【答案】A 【分析】本题考查算术平方根；先计算平方，再取算术平方根． 【详解】解：∵， ∴． 故选：A． 6．下列说法： ①；②，③4是16的平方根；④的算术平方根是，⑤的平方根是．其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查平方根和算术平方根的概念，掌握平方根和算术平方根的概念是解题的关键．根据定义逐项判断即可． 【详解】解：① ∵ ， ∴ ， 故此说法错误； ② ∵ ，且， ∴ ， 故此说法错误； ③ ∵ ， ∴ 4是16的一个平方根， 故此说法正确； ④ ∵ ，且是5的算术平方根， ∴此说法正确； ⑤ ∵ ，负数在实数范围内无平方根， ∴此说法错误； 综上，正确个数为2个． 故选：B． 7．若，则的值是（    ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查非负数的性质，根据平方根和平方的和为零，则每个部分均为零，从而求出 和 的值，再代入计算即可． 【详解】解：因为，且 ，， 所以 且 ， ，即 ， ，即 ， ， ． 故选B． 8．一个正方体的表面积为，则这个正方体的边长为（   ） A．10 B．6 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了算术平方根，几何体的表面积，正确计算是解题的关键．正方体的表面积由6个相同的正方形面组成，已知表面积，可通过除以6再开平方求边长． 【详解】解：设正方体的边长为 ， ∵表面积公式为 ， ∴， ∴ （）． 故选：D． 9．伞兵在高空跳离飞机往下降落，在打开降落伞前，下降的高度（米）与下降的时间（秒）的关系可以近似地表示为（不计空气阻力），一个伞兵在打开降落伞前的一段时间内下降了980米，这段时间大约有（   ）（精确到1秒） A．14秒 B．16秒 C．13秒 D．15秒 【答案】A 【分析】本题考查算术平方根的实际应用，解题的关键是掌握算术平方根的定义； 将已知下降高度代入给定公式，通过求解算术平方根得到下降时间，再精确到1秒即可选出答案． 【详解】解：根据题意得，， 解得（负值已舍）， ∴， 故选：A． 10．嘉淇发现，，根据嘉淇的发现解决问题：已知，，则的值是（    ） A．4.5 B．14.23 C．45 D．142.3 【答案】A 【分析】本题考查算术平方根，根据算术平方根的性质即可求得答案． 【详解】解：∵， ∴， 故选：A． 二、填空题 11．5的平方根是______． 【答案】± 【分析】根据平方根的定义，正数有两个互为相反数的平方根，据此求解5的平方根. 【详解】因为，所以的平方根是． 12．的平方根为__________． 【答案】 【分析】先根据有理数乘方的运算法则计算的结果，再根据平方根的定义求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∵， ∴的平方根为，即的平方根为． 13．的绝对值是_____，的算术平方根是____，的平方根是___ 【答案】 / /0.5 【分析】根据绝对值的性质、算术平方根的定义、平方根的定义分别计算即可． 【详解】解：的绝对值是； ，算术平方根是； ，4的平方根是， 故答案为：，，． 14．若，为有理数且，则的平方根为_____． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根及平方根的定义，根据算术平方根的定义得到被开方数为非负数，即可确定的值，再求的值，进而确定的平方根．掌握算术平方根及平方根的定义是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵的平方根为， ∴的平方根为． 故答案为：． 15．若是的一个平方根，则的另一个平方根为______． 【答案】 【分析】本题考查了平方根，一个正数的平方根互为相反数，在一个平方根的前面加上负号就是另一个平方根．根据一个正数的平方根互为相反数，由一个平方根可得另一个平方根． 【解答】解：是的一个平方根，则的另一个平方根为， 故答案为． 16．若，，则______，______． 【答案】 【分析】本题主要考查了算术平方根的概念，解题的关键是理解算术平方根每向左（或右）移动一位，则被开方数向相同的方向移动两位，反之被开方数每移动两位，则算术平方根向相同的方向移动一位．被开方数是把的小数点向左移动2位后得到的，则的值是把的值小数点向左移动1位；62400是把小数点向右移动4位，则是将的值向右移动2位得到． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，． 故答案为：；． 三、解答题 17．求下列各数的平方根及算术平方根： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)平方根为，算术平方根为； (2)平方根为，算术平方根为； (3)平方根为，算术平方根为 (4)平方根为，算术平方根为100 【分析】本题考查了平方根，算术平方根，熟练掌握平方根，算术平方根的性质是解题关键． （1）根据平方根，算术平方根的性质，即可求解； （2）根据平方根，算术平方根的性质，即可求解； （3）根据平方根，算术平方根的性质，即可求解； （4）根据平方根，算术平方根的性质，即可求解． 【详解】（1）解：的平方根为，算术平方根为； （2）解：的平方根为，算术平方根为； （3）解：的平方根为，算术平方根为； （4）解：的平方根为，算术平方根为100． 18．若，求的平方根． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．根据非负数的性质列出方程求出a、b的值，代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得，， ∴， ∵的平方根是， ∴的平方根是． 19．（1）已知一个正数的两个不相等的平方根与，求这个正数的值； （2）已知的平方根是，的算术平方根是4，求的平方根． 【答案】（1）；（2）． 【分析】本题主要考查了平方根的概念，根据平方根求原数． （1）一个正数的两个平方根互为相反数，据此可得，解方程求出平方根，即可求出这个数； （2）根据平方根的定义得到，，据此求出a、b的值，进而求出的值，最后根据平方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵一个正数的两个不相等的平方根与， ∴， 解得：， ∴； （2）解：∵的平方根是，的算术平方根是4， ∴，， 解得：，， ∴， ∴的平方根为． 20．根据下表所提供的信息解答问题． 4 5 16 25 (1) 的平方根是_____． (2)物体自由下落的高度（单位：）与下落时间（单位：）之间的关系是．现有一个物体从高的建筑物上自由下落，则该物体到达地面需要多长时间？（请结合表中数据精确到） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平方根及算术平方根的应用，熟练掌握算术平方根及平方根的意义是解题的关键． （1）根据平方根的意义结合表格求解即可； （2）先求出时间t，再根据算术平方根的意义结合表格求解即可． 【详解】（1）解：由表格可知，， 的平方根是， 故答案为：． （2）解：由题意知，， ， 该物体到达地面需要． 21．阅读与思考，请先完成第（1）小题，再仿照完成第（2）小题的解答过程． (1)如图1是2个面积为1的小正方形，对所给图形进行分割，拼成如图2面积为2的大正方形，求大正方形的边长． (2)如图3是由5个面积为1的小正方形拼成的图形，按图中方式裁剪，可以拼成一个如图4的大正方形，求大正方形的边长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了算术平方根的实际应用，熟练掌握图形的拆补是解题的关键． （1）拼成的正方形面积等于原2个小正方形的面积；进一步求边长即可； （2）仿照（1）中的方法剪拼，根据大正方形的面积求边长即可． 【详解】（1）解：设大正方形的边长为，由于拼成的大正方形的面积为2，则 由边长的实际意义，得． 答：该大正方形的边长是； （2）解：设大正方形的边长为，由于拼成的大正方形的面积为5，则 由边长的实际意义，得， 答：该大正方形的边长是． 22．阅读下列解题过程：；；；…… (1)计算：_______；_______； (2)按照你所发现的规律，猜想：____（为正整数）； (3)计算：． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题主要考查了实数的运算，数式规律探究，发现数字运算的规律并熟练应用是解题的关键． （1）利用算术平方根的意义解答即可； （2）利用式子的规律解答即可； （3）利用上面的规律将每个算术平方根化简，再利用分数的乘法的法则运算即可． 【详解】（1）解：； ， 故答案为：；； （2）解：依据上述运算的规律可得：， 故答案为：； （3）解： ． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $