第15讲 实数的运算（暑假预习讲义）新七年级数学新教材浙教版

第15讲 实数的运算 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 实数的运算顺序 题型2 实数的近似运算 题型3 实数运算的实际应用 题型4 新定义、新题型 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 实数运算 · 掌握：实数和有理数运算法则、运算律完全一致，实数可进行加、减、乘、除、乘方、开方运算； · 会用近似数、四舍五入，能借助计算器进行无理数近似计算； · 熟练化简含平方根、立方根的混合算式，区分准确值与近似值。 学习重点： · 实数四则混合运算（含开平方、开立方）； · 运算律（交换律、结合律、分配律）在实数范围内适用； · 按精确度取近似值，计算器实数运算。 学习难点： 混合运算顺序：先乘方开方→再乘除→最后加减，有括号先括号； 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 实数运算 【回顾】我们学过哪些运算？运算法则？运算律？ 加减乘除、乘方、开方六种运算及各自的运算法则； 运算律有加法的交换律、结合律；乘法的交换律、结合律、分配律。 1. 实数的运算顺序 先乘方和开方，再算乘除，最后算加减。有括号先算括号里的运算。 2. 正确使用运算律 3. 近似运算 我们同样可以用计算器进行实数的运算。近似计算时按题目的要求将 用计算器算得的结果取近似值。 常用近似值：，，…… 【易错点】 （1）（解法没有交换律） （2）（要正确使用加法结合律） （3）（乘方、开方不能乱用分配律） （4），（开方时乱用小数点移动规律） 知识点02 实际应用 常见的应用模型： 1.利用面积、体积公式计算 2.钟摆周期计算 3.自由落体时间计算 4.刹车距离计算 5.等高跳望距离计算 题型1 实数混合运算 【例1】计算 (1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【例2】计算： (1)； (2)． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【方法归纳】 1. 运算顺序：先乘方和开方，再算乘除，最后算加减。有括号先算括号里的运算。 2. ， ， 【变式练习】 1．计算： (1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 2．计算： (1)； (2)． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 3．计算：． 【详解】解： ． 4．计算：． 【详解】解： ． 题型2 近似运算 【例1】计算（结果保留小数点后两位）： (1)； (2)． 【详解】（1）解：； （2）解：． 【例2】用计算器求下列各式的近似值（精确到0.01）： (1) (2) 【详解】（1）解： ≈×2.236+1.260-3.142 ≈-0.76； （2）解： ≈3.317×1.414×2.449 ≈11.49． 【知识归纳】 1. 按计算器计算； 2. 对计算结果取近似值 【变式练习】 1．用计算器计算下面各题： (1)（精确到0.01）； (2)（精确到十分位）． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型3 实数运算的实际应用 【例1】学校有一个面积为60平方米，长宽比为的长方形菜地．同学们准备在菜地四周安装围栏，已知每米围栏的材料费用为35元． (1)请计算菜地的长和宽分别是多少米； (2)同学们计划申请1000元的预算用于购买围栏材料，请通过估算判断预算是否足够，并说明理由． 【详解】（1）解：设长方形菜地的长和宽分别是米，米， 由题意得到：， ∴（舍去负值）， 答：菜地的长和宽分别是米，米； （2）预算不足，理由如下： ∵长方形菜地的周长（米）， ∴围栏的材料总费用为（元）， ∵， ∴预算不足． 【例2】在驾车行驶过程中，若司机发现前方道路有异常，从踩下刹车到汽车最终停止，汽车行驶的距离叫制动距离．小智收集的实验数据：制动距离（单位：）与行驶速度（单位：）满足关系式．某天王叔叔开车在公路上行驶时，突然发现前方有异常情况，立即采取了刹车措施．经测量，王叔叔的刹车制动距离为．已知该段公路最高限速为，请你判断王叔叔是否超速，并说明理由． 【详解】解：王叔叔没有超速．理由如下： 将代入，得． ， ， 是正数， ． ， 王叔叔没有超速． 【例3】小明同学每次回家进入电梯时，总能看见物业在电梯内张贴的提示“高空抛物，害人害己，严禁高空抛物”，为进一步研究高空抛物的危害，小明请教了物理老师，得知高空抛物下落的时间（单位：秒）和高度（单位：米）近似满足公式，其中为重力加速度，米/平方秒．物体落地时产生的动能物体质量重力加速度高度，动能的单位名称为焦耳，例如：一个1千克重的花盆从30米高空坠落到地面产生的动能为：焦耳． (1)一个物品从80米的高楼坠落到地面需要几秒？ (2)一个0.5 千克的物品坠落到地面产生了200焦耳的动能，请推算该物品坠落到地面用了几秒？（结果精确到0.1 秒，） 【详解】（1）解：把米代入得：，即， 解得：（负值舍去）， 答：一个物品从80米的高楼坠落到地面大约需要4秒； （2）解：由题意得：， 解得， 把代入得：，即， 解得（负值舍去）， ∴秒， 答：该物品坠落地面用了大约2.8秒． 【方法归纳】 一个正数有两个平方根，但在实际用中常常只取其正平方根，负平方根舍去。 【变式练习】 1．一块长方形空地面积为1500平方米，其长宽之比为． (1)求这块长方形空地的周长； (2)如图，在空地内修建“T字型”走道后，将空地分割成两个花坛，花坛1为正方形，花坛2为长方形，其长宽之比为．花坛1的边长与花坛2的长相等，花坛的总面积为1200平方米．请问宽度为2.5米的农药喷洒车能不能在走道上正常通行？（参考数据：） 【详解】（1）解：设长方形空地的长为，则宽为， 由题意得：，即， ∴（负值已舍去）， ∴， ∴这块长方形空地的周长为米； （2）设花坛2的宽为，则长为，正方形花坛1的边长为， 由题意得：，， 解得：（负值已舍去）， ∴花坛2的宽为米，正方形花坛1的边长为， ∵， ∴宽度为米的农药喷洒车不能在走道上正常通行． 2．小悦和小涵利用当地一座高楼探究小球的下落时间和下落高度之间的关系． 实验一：小悦从80米高处释放小球，记录小球下落时间； 实验二：小涵从20米高处释放小球，记录小球下落时间． 已知一个物体从高处自由下落时，下落高度h（米）和下落时间t（秒）可以用公式来表示． (1)请利用公式，求的值． (2)实验后，小涵对小悦说：“我记录的时间刚好是你记录的时间的一半．”小悦说：“你一定是记录错了．”两位同学谁的说法正确？请通过计算说明理由． 【详解】（1）解：当米时， ， 答：小悦从80米高处释放小球，小球下落时间； （2）解：小涵说得对．理由：由（1）得， 当0米时，， 即小涵从20米高处释放小球，小球下落时间， ∵， ∴， 所以小涵说得对． 3．“欲穷千里目，更上一层楼”，说的是登得高看得远．如图，若观测点的高度为，观测者能看到的最远距离为，则，其中是地球半径，通常取． (1)小晨站在海边的一块岩石上，眼睛离海平面的高度h为，他观测到远处一艘船刚露出海平面，求此时的值； (2)小哲说“泰山海拔约为，泰山顶部到海边的距离约，天气晴朗时站在泰山之巅（人的身高忽略不计）可以看到大海”请判断其结论是否正确，并说明理由． 【详解】（1）解：由可得： ； 答：此时d的值为． （2）说法错误，理由如下： 站在泰山之巅，人的身高可以忽略不计，此时， ， ， ， ， ∴天气晴朗时站在泰山之巅看不到大海． 4．在平整的路面上，汽车紧急刹车后仍将滑行米，一般有经验公式，其中表示刹车前汽车的速度（单位：千米/时）．一次行驶中汽车紧急刹车后滑行的距离米，若该路段限速100千米/时，判断该汽车刹车前有没有超速，并说明理由． 【详解】解：当时，，即 解得：（负值舍去） ∵ ∴汽车刹车前没有超速． 5. 王师傅有一个体积为的铁块原料，王师傅想要将这个铁块熔化并重新锻造成新的形状． (1)若将原料重新锻造成一个底面为正方形、高为的长方体，求长方体底面正方形的边长． (2)王师傅现将原料锻造成三个大小相同的正方体铁块，制作完成后剩下的余料体积为，求制作成的每一个小正方体铁块的棱长． 【详解】（1）解：设长方体底面正方形的边长为， 依题意，得：， 解得：或（负值不符合题意，舍去）， 答：长方体底面正方形的边长为； （2）解：设每一个小正方体铁块的棱长为， 依题意，得：， 解得：， 答：每一个小正方体铁块的棱长为． 题型4 新定义、新题型 【例1】有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的x为时，输出的y的值是（   ） A. B. C. D. 【解析】第次计算得：，而是有理数， 第次计算得：，而是有理数， 第次计算得：，是无理数. 故选：D． 【例2】对于实数a，b，定义运算：“*”，运算规则为． (1)计算：； (2)填空： （填“”“”或“”）； (3)我们知道：实数的加法运算和乘法运算满足交换律，那么，由（2）的计算结果，你认为这种运算“*”是否满足交换律？若满足，请说明理由． 【详解】（1）解：； （2）解：由运算规则得， ， ， 故， 故答案为：＝； （3）解：满足 理由如下： ∵对于实数， ， ∴这种运算“”满足交换律 【例3】阅读下列材料： 通过探究知道：…，它是个无限不循环小数，也叫无理数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，又例如：，即，的整数部分是2，小数部分是 (1)的整数部分是______． (2)已知，其中x是一个整数，，求的值． 【详解】（1）∵，即， ∴的整数部分为1， 故答案为：1； （2）， ， ， ， ， ， ， 【方法归纳】 新定义、新题型关键是要先读懂定义、读懂题型，按要求进行计算。 【变式练习】 1.按如图所示的程序计算，输入x是（　　）时，始终无法输出y． A.无理数 B.0 C.1 D.0或1 【解析】当x=0时，因为0的算术平方根为0，0的立方根为0，所以输入x是0时，始终无法输出y； 当x=1时，因为1的算术平方根为1，1的立方根为1，所以输入x是1时，始终无法输出y. 故选：D． 2. 用※定义一种新运算：对于任意实数和，规定※，如：1※2=12-4×2=-7．则※(-2)的结果是（    ） A.9 B.11 C.13 D.15 【解析】由题意得：※(-2)=()2-4×(-2)=3+8=11． 故选：B． 3. 对任意两个实数a，b定义两种运算：，，并且定义运算顺序仍然是先做括号内的，例如，，． 那么等于（      ） A. B.3 C.6 D. 【解析】∵，，∴，， ∴，. 故选：A. 4．阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来．将这个数减去其整数部分，得到的差就是小数部分，因为的整数部分是1，于是用来表示的小数部分．又例如： ，即， 的整数部分是2，小数部分为． （参考性质：①不等式的两边都加上同一个数，所得的不等式仍成立； ②不等式的两边都乘同一个正数，所得的不等式仍成立） 根据上述材料，回答下列问题： (1)的整数部分是_____，小数部分是_____； (2)也是夹在相邻两个整数之间的，可以表示为，求的值； (3)已知，其中是整数，且，求的值． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的整数部分是4，小数部分是， 故答案为：4；； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴的整数部分：， ∵， ∴小数部分：， ∴． 一、单选题 1．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了平方根、立方根及绝对值的值，解题的关键是掌握以上运算法则． 分别计算平方根、立方根及绝对值的值，再合并结果． 【详解】 ． 故选：A． 2．已知实数a，b满足关系式，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平方和绝对值的非负性以及求一个数的平方．根据非负数的性质，每个非负数都必须为0，从而求出和的值，然后计算的次方即可． 【详解】解：由题意得，， 解得，， ∴， 故选：C． 3．设实数a，b，若的结果是有理数，则（   ） A．a为有理数，b为有理数 B．的结果必为有理数 C．a为无理数，b为有理数 D．的结果可能为无理数 【答案】D 【分析】本题考查了实数的运算，熟练掌握实数的运算法则是解答本题的关键．根据实数的运算法则，逐项进行判断分析即可． 【详解】解：A、当时，，是无理数，是无理数，故A错误； B、当时，，那么，结果是无理数，所以B错误； C、当时，，是无理数，是无理数，故选项C错误； D、当时，，那么，结果可能是无理数，所以选项正确，D正确． 故选：D． 4．下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平方根、立方根和绝对值的概念．根据算术平方根的非负性、立方根的性质以及平方运算规则，逐一判断各选项． 【详解】解：A．，故原计算错误； B． ，故原计算错误； C．，，则，故原计算错误； D．，故原计算正确， 故选：D． 5．若有理数a，b满足，则的平方根是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了实数的混合运算． 由于a和b是有理数，而是无理数，则方程中无理部分与有理部分必须分别为零，从而求出a和b的值，再计算的平方根即可． 【详解】解：∵a、b为有理数，为无理数，且， ∴，， 解得，， ∴， ∴的平方根为． 故选：C． 6．下列运算中， 正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根、立方根、实数的运算 ，根据算术平方根、立方根、实数的运算法则逐项判断即可得出答案． 【详解】解：A、，故原选项计算错误，不符合题意； B、，故原选项计算错误，不符合题意； C、，故原选项计算正确，符合题意； D、，故原选项计算错误，不符合题意； 故选：C． 7．计算的值是（   ）． A．8 B．10 C．12 D．16 【答案】C 【分析】本题主要考查了立方根，乘方运算，有理数的混合运算等知识点，先进行立方根，乘方，去绝对值运算，再进行乘法运算，最后加减运算即可得解，熟练掌握其运算法则并能灵活运用是解决此题的关键． 【详解】解： ， 故选：C． 8．有理数a、b在数轴上对应的位置如图所示，化简：（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查数轴，实数的混合运算，立方根，算术平方根，绝对值，熟练根据数轴得出相关式子或字母的正负是解题的关键．先利用数轴得出，，，再利用立方根，算术平方根，绝对值进行化简求值即可． 【详解】解：由图可知，，， ∴， 故选：B． 9．若的整数部分是，小数部分是，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查与无理数的整数部分有关的计算，实数的运算，夹逼法求出的值，再代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴； 故选B． 10．若实数满足，则（   ） A．都是有理数 B．都是无理数 C．的结果必定为无理数 D．的结果可能为有理数 【答案】D 【分析】本题考查了实数的运算，熟练掌握实数的运算法则是解答本题的关键．通过反例验证选项，利用实数的运算性质判断． 【详解】解：∵（无理数）， ∴ 若a和b都是有理数，则应为有理数，矛盾，故 A 错误； 取（有理数），则（无理数），a和b不都是无理数，故 B 错误； 取（无理数），则（有理数），故 C 错误； ∴可能为有理数，故 D 正确． 故选：D． 二、填空题 11．______． 【答案】1 【分析】本题主要考查了实数的运算，先计算算术平方根和立方根，再计算加法即可得到答案． 【详解】解： ， 故答案为：1． 12．计算______． 【答案】0 【详解】解：． 13．计算：________． 【答案】12 【分析】本题主要考查算术平方根，实数的运算；先计算出算术平方根和三次方，再根据实数的运算法则进行计算即可． 【详解】解：， 故答案为：12． 14．______． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的运算，先计算算术平方根和化简绝对值，再计算加减法即可得到答案． 【详解】解： ， 故答案为：． 15．计算：____________． 【答案】 【分析】本题考查了平方根、立方根和绝对值的运算，掌握先分别计算平方根、立方根、绝对值，再进行加减运算是解题的关键． 先计算平方根、立方根和绝对值，再进行实数加减运算． 【详解】解：，，， 所以原式 ． 故答案为：． 16．若实数x、y满足，则_____． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的性质，绝对值的性质，加减法运算，掌握相关知识是解决问题的关键．根据二次根式和绝对值的非负性可知，三式相加得零，则三个式子的值分别都为零，据此解答即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ， ． 故答案为：． 三、解答题 17．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，实数的混合运算． （1）根据有理数的加减运算法则计算即可； （2）先计算乘方、绝对值、算术平方根，再计算加减即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先根据立方根、算术平方根、绝对值的性质计算，再合并即可． 【详解】解：原式 ． 19．计算： 【答案】 【详解】解： ． 20．如图，已知每个小正方形的边长为1，阴影部分是一个正方形． (1)求图中阴影正方形的面积和边长的值． (2)若阴影正方形的边长的整数部分为，小数部分为，求的值． 【答案】(1)阴影面积，边长 (2) 【分析】本题主要考查算术平方根的应用，熟练掌握算术平方根是解题的关键； （1）根据割补法可进行求解阴影部分的面积，然后根据算术平方根可进行求解； （2）由题意易得，则有，然后代入进行求解即可． 【详解】（1）解：由图可知：， ∴该正方形的边长为； （2）解：由（1）可知该正方形的边长为， ∵， ∴， ∴． 21．数学张老师在课堂上提出一个问题：通过探究知道：…，它是个无限不循环小数，也叫无理数，它的整数部分是1，那么有谁能说出它的小数部分是多少，小明举手回答：它的小数部分我们无法全部写出来，但可以用来表示它的小数部分，张老师夸奖小明真聪明，肯定了他的说法．现请你根据小明的说法解答： (1)的整数部分是________． (2)a为的小数部分，b为的整数部分，求的值． (3)已知，为的整数部分，y为的小数部分，求的值 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了无理数的估算，实数的运算，熟知无理数的估算方法是解题的关键． （1）根据无理数的估算方法求出的取值范围即可得到答案； （2）根据无理数的估算方法求出和的取值范围，进而确定a、b的值，再代值计算即可； （3）估算出的取值范围，进而确定x、y的值，再代值计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的整数部分为3； （2）解：∵， ∴， ∴的整数部分为2，小数部分为，的整数部分为1， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴的整数部分为9，小数部分为， ∴， ∴ ． 22. 某地气象资料表明：当地雷雨持续的时间（）可以用公式：来估计，其中d（km）是雷雨区域的直径．（参考数据：，，，） (1)如果雷雨区域的直径为，那么这场雷雨大约能持续多长时间？（结果精确到） (2)如果一场雷雨持续了，那么这场雷雨区域的直径大约是多少？（结果精确到） 【答案】(1)这场雷雨大约能持续 (2)这场雷雨区域的直径大约是 【分析】本题考查了算术平方根，立方根的应用； （1）根据，其中是雷雨区域的直径，开平方的意义，可得答案； （2）根据，其中是雷雨区域的直径，开立方的意义，可得答案． 【详解】（1）解：当时，则， 因此； 答：这场雷雨大约能持续. （2）当时，由可得（） 答：这场雷雨区域的直径大约是 23．座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其计算公式为，其中T表示周期（单位：s），l表示摆长（单位：m）．假如一台座钟的摆长为0.2m．（取3，） (1)求摆针摆动的周期． (2)如果座钟每摆动一个来回发出一次滴答声，那么在6分钟内，该座钟大约发出了多少次滴答声？ 【答案】(1) (2)该座钟大约发出了420次滴答声 【分析】（1）将数据代入函数关系式，进行计算即可； （2）用总时间除以一个周期的时间进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，； （2）（次）． 答：该座钟大约发出了420次滴答声． 【点睛】本题考查求实数运算的实际应用．属于基础题型，正确的计算，是解题的关键． 24．虹胜广场要建一个占地面积4000平方米的花园，现有两种方案：一种是建正方形花园，一种是建圆形花园，如果你是设计者，你能估算出两种花园的围墙有多长吗（误差小于1米）？如果你是投资者，你会选择哪种方案，为什么？ 【答案】圆形广场围墙米，正方形广场围墙米，选择圆形广场的建设方案，理由见详解 【分析】分别计算出圆形花园和正方形花园所需围墙的长度，比较即可作答． 【详解】当为圆形时，设圆的半径为，则有：， 即：（负值舍去）， 则此时花园的围墙为：（米）； 当广场为正方形时，设正方形边长为，则有：， 即：（负值舍去）， 则此时花园的围墙为：（米）； ∵， ∴建造成圆形时，广场的围墙会更短， 则建造成本更低， ∴作为投资商，会选择建圆形花园． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第15讲 实数的运算 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 实数的运算顺序 题型2 实数的近似运算 题型3 实数运算的实际应用 题型4 新定义、新题型 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 实数运算 · 掌握：实数和有理数运算法则、运算律完全一致，实数可进行加、减、乘、除、乘方、开方运算； · 会用近似数、四舍五入，能借助计算器进行无理数近似计算； · 熟练化简含平方根、立方根的混合算式，区分准确值与近似值。 学习重点： · 实数四则混合运算（含开平方、开立方）； · 运算律（交换律、结合律、分配律）在实数范围内适用； · 按精确度取近似值，计算器实数运算。 学习难点： 混合运算顺序：先乘方开方→再乘除→最后加减，有括号先括号； 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 实数运算 【回顾】我们学过哪些运算？运算法则？运算律？ 1. 实数的运算顺序 先乘方和开方，再算乘除，最后算加减。有括号先算括号里的运算。 2. 正确使用运算律 3. 近似运算 我们同样可以用计算器进行实数的运算。近似计算时按题目的要求将 用计算器算得的结果取近似值。 常用近似值：，，…… 【易错点】 （1）（解法没有交换律） （2）（要正确使用加法结合律） （3）（乘方、开方不能乱用分配律） （4），（开方时乱用小数点移动规律） 知识点02 实际应用 常见的应用模型： 1.利用面积、体积公式计算 2.钟摆周期计算 3.自由落体时间计算 4.刹车距离计算 5.登高跳望距离计算 题型1 实数混合运算 【例1】计算 (1) (2) 【例2】计算： (1)； (2)． 【方法归纳】 1. 运算顺序：先乘方和开方，再算乘除，最后算加减。有括号先算括号里的运算。 2. ， ， 【变式练习】 1．计算： (1) (2) 2．计算： (1)； (2)． 3．计算：． 4．计算：． 题型2 近似运算 【例1】计算（结果保留小数点后两位）： (1)； (2)． 【例2】用计算器求下列各式的近似值（精确到0.01）： (1) (2) 【知识归纳】 1. 按计算器计算； 2. 对计算结果取近似值 【变式练习】 1．用计算器计算下面各题： (1)（精确到0.01）； (2)（精确到十分位）． 题型3 实数运算的实际应用 【例1】学校有一个面积为60平方米，长宽比为的长方形菜地．同学们准备在菜地四周安装围栏，已知每米围栏的材料费用为35元． (1)请计算菜地的长和宽分别是多少米； (2)同学们计划申请1000元的预算用于购买围栏材料，请通过估算判断预算是否足够，并说明理由． 【例2】在驾车行驶过程中，若司机发现前方道路有异常，从踩下刹车到汽车最终停止，汽车行驶的距离叫制动距离．小智收集的实验数据：制动距离（单位：）与行驶速度（单位：）满足关系式．某天王叔叔开车在公路上行驶时，突然发现前方有异常情况，立即采取了刹车措施．经测量，王叔叔的刹车制动距离为．已知该段公路最高限速为，请你判断王叔叔是否超速，并说明理由． 【例3】小明同学每次回家进入电梯时，总能看见物业在电梯内张贴的提示“高空抛物，害人害己，严禁高空抛物”，为进一步研究高空抛物的危害，小明请教了物理老师，得知高空抛物下落的时间（单位：秒）和高度（单位：米）近似满足公式，其中为重力加速度，米/平方秒．物体落地时产生的动能物体质量重力加速度高度，动能的单位名称为焦耳，例如：一个1千克重的花盆从30米高空坠落到地面产生的动能为：焦耳． (1)一个物品从80米的高楼坠落到地面需要几秒？ (2)一个0.5 千克的物品坠落到地面产生了200焦耳的动能，请推算该物品坠落到地面用了几秒？（结果精确到0.1 秒，） 【方法归纳】 一个正数有两个平方根，但在实际用中常常只取其正平方根，负平方根舍去。 【变式练习】 1．一块长方形空地面积为1500平方米，其长宽之比为． (1)求这块长方形空地的周长； (2)如图，在空地内修建“T字型”走道后，将空地分割成两个花坛，花坛1为正方形，花坛2为长方形，其长宽之比为．花坛1的边长与花坛2的长相等，花坛的总面积为1200平方米．请问宽度为2.5米的农药喷洒车能不能在走道上正常通行？（参考数据：） 2．小悦和小涵利用当地一座高楼探究小球的下落时间和下落高度之间的关系． 实验一：小悦从80米高处释放小球，记录小球下落时间； 实验二：小涵从20米高处释放小球，记录小球下落时间． 已知一个物体从高处自由下落时，下落高度h（米）和下落时间t（秒）可以用公式来表示． (1)请利用公式，求的值． (2)实验后，小涵对小悦说：“我记录的时间刚好是你记录的时间的一半．”小悦说：“你一定是记录错了．”两位同学谁的说法正确？请通过计算说明理由． 3．“欲穷千里目，更上一层楼”，说的是登得高看得远．如图，若观测点的高度为，观测者能看到的最远距离为，则，其中是地球半径，通常取． (1)小晨站在海边的一块岩石上，眼睛离海平面的高度h为，他观测到远处一艘船刚露出海平面，求此时的值； (2)小哲说“泰山海拔约为，泰山顶部到海边的距离约，天气晴朗时站在泰山之巅（人的身高忽略不计）可以看到大海”请判断其结论是否正确，并说明理由． 4．在平整的路面上，汽车紧急刹车后仍将滑行米，一般有经验公式，其中表示刹车前汽车的速度（单位：千米/时）．一次行驶中汽车紧急刹车后滑行的距离米，若该路段限速100千米/时，判断该汽车刹车前有没有超速，并说明理由． 5. 王师傅有一个体积为的铁块原料，王师傅想要将这个铁块熔化并重新锻造成新的形状． (1)若将原料重新锻造成一个底面为正方形、高为的长方体，求长方体底面正方形的边长． (2)王师傅现将原料锻造成三个大小相同的正方体铁块，制作完成后剩下的余料体积为，求制作成的每一个小正方体铁块的棱长． 题型4 新定义、新题型 【例1】有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的x为时，输出的y的值是（   ） A. B. C. D. 【例2】对于实数a，b，定义运算：“*”，运算规则为． (1)计算：； (2)填空： （填“”“”或“”）； (3)我们知道：实数的加法运算和乘法运算满足交换律，那么，由（2）的计算结果，你认为这种运算“*”是否满足交换律？若满足，请说明理由． 【例3】阅读下列材料： 通过探究知道：…，它是个无限不循环小数，也叫无理数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，又例如：，即，的整数部分是2，小数部分是 (1)的整数部分是______． (2)已知，其中x是一个整数，，求的值． 【方法归纳】 新定义、新题型关键是要先读懂定义、读懂题型，按要求进行计算。 【变式练习】 1.按如图所示的程序计算，输入x是（　　）时，始终无法输出y． A.无理数 B.0 C.1 D.0或1 2. 用※定义一种新运算：对于任意实数和，规定※，如：1※2=12-4×2=-7．则※(-2)的结果是（    ） A.9 B.11 C.13 D.15 3. 对任意两个实数a，b定义两种运算：，，并且定义运算顺序仍然是先做括号内的，例如，，． 那么等于（      ） A. B.3 C.6 D. 4．阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来．将这个数减去其整数部分，得到的差就是小数部分，因为的整数部分是1，于是用来表示的小数部分．又例如： ，即， 的整数部分是2，小数部分为． （参考性质：①不等式的两边都加上同一个数，所得的不等式仍成立； ②不等式的两边都乘同一个正数，所得的不等式仍成立） 根据上述材料，回答下列问题： (1)的整数部分是_____，小数部分是_____； (2)也是夹在相邻两个整数之间的，可以表示为，求的值； (3)已知，其中是整数，且，求的值． 一、单选题 1．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 2．已知实数a，b满足关系式，则的值是（    ） A． B． C． D． 3．设实数a，b，若的结果是有理数，则（   ） A．a为有理数，b为有理数 B．的结果必为有理数 C．a为无理数，b为有理数 D．的结果可能为无理数 4．下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 5．若有理数a，b满足，则的平方根是（   ） A． B． C． D． 6．下列运算中， 正确的是（   ） A． B． C． D． 7．计算的值是（   ）． A．8 B．10 C．12 D．16 8．有理数a、b在数轴上对应的位置如图所示，化简：（   ） A． B． C． D． 9．若的整数部分是，小数部分是，则为（   ） A． B． C． D． 10．若实数满足，则（   ） A．都是有理数 B．都是无理数 C．的结果必定为无理数 D．的结果可能为有理数 二、填空题 11．______． 12．计算______． 13．计算：________． 14．______． 15．计算：____________． 16．若实数x、y满足，则_____． 三、解答题 17．计算： (1)； (2)． 18．计算：． 19．计算： 20．如图，已知每个小正方形的边长为1，阴影部分是一个正方形． (1)求图中阴影正方形的面积和边长的值． (2)若阴影正方形的边长的整数部分为，小数部分为，求的值． 21．数学张老师在课堂上提出一个问题：通过探究知道：…，它是个无限不循环小数，也叫无理数，它的整数部分是1，那么有谁能说出它的小数部分是多少，小明举手回答：它的小数部分我们无法全部写出来，但可以用来表示它的小数部分，张老师夸奖小明真聪明，肯定了他的说法．现请你根据小明的说法解答： (1)的整数部分是________． (2)a为的小数部分，b为的整数部分，求的值． (3)已知，为的整数部分，y为的小数部分，求的值 22. 某地气象资料表明：当地雷雨持续的时间（）可以用公式：来估计，其中d（km）是雷雨区域的直径．（参考数据：，，，） (1)如果雷雨区域的直径为，那么这场雷雨大约能持续多长时间？（结果精确到） (2)如果一场雷雨持续了，那么这场雷雨区域的直径大约是多少？（结果精确到） 23．座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其计算公式为，其中T表示周期（单位：s），l表示摆长（单位：m）．假如一台座钟的摆长为0.2m．（取3，） (1)求摆针摆动的周期． (2)如果座钟每摆动一个来回发出一次滴答声，那么在6分钟内，该座钟大约发出了多少次滴答声？ 24．虹胜广场要建一个占地面积4000平方米的花园，现有两种方案：一种是建正方形花园，一种是建圆形花园，如果你是设计者，你能估算出两种花园的围墙有多长吗（误差小于1米）？如果你是投资者，你会选择哪种方案，为什么？ 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $