第14讲 立方根（暑假预习讲义）新七年级数学新教材浙教版

第14讲 立方根 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 求一个数的立方根 题型2 化简立方根 题型3 与立方根的有关规律探索 题型4 平方根与立方根综合 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 立方根 开立方 · 理解立方根、开立方定义，区分立方根与平方根概念； · 会用符号表示一个数的立方根，掌握立方根性质； · 熟练求整数、简单小数、分数的立方根，会借助计算器计算无理数立方根。 学习重点： · 立方根概念、符号书写、立方根性质； · 有理数立方根的求解。 学习难点： · 负数有立方根、负数没有平方根的本质区别； · =公式的理解与灵活变形； · 被开方数小数点移位和立方根小数点移位规律。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 立方根 【引入】有一个体积为8 cm³的正方体纸盒，它的棱长是多少? 从运算的角度看，就是求什么数的立方等于8？ 1.立方根 一般地，如果一个数的立方等于a,那么这个数叫作a的立方根. a的立方根记为“”,读作“三次根号a”.a叫作被开方数，3是根指数. 求一个数立方根的运算叫作开立方. 2.立方根的性质 正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数。 ；=a； 【即学即练】 求1000的立方根：因为，所以1000的立方根是10. 用式子表示：=10 3.小数点移动规则 一个数扩大为原来的1000倍，它的立方根就扩大为原来的10倍；一个数缩小为原来的它的立方根就缩小为原来的. 知识点02 实数的大小比较与计算 1.平方根与立方根性质的区别 一个正数有两个平方根，记作：±；0的平方根是0；负数没有平方根； 一个数的立方根只有一个，记作： 【易错点】 （1） （√） （2） （×） 2.开方与乘方运算 像求一个数平方、立方的运算叫作乘方运算； 像已知一个数的平方根、立方根的运算叫作开方运算； 乘方运算与开方运算是互逆运算。 题型1 求一个数的立方根 【例1】填空： （1）因为，所以8的立方根是________；因为，所以的立方根是________； （2）的立方根是________，即________； （3）的立方根是________； （4）的立方根是________； （5）________的立方根是0； （6）9的立方根是________． 【详解】解：（1）∵， ∴8的立方根是2； ， 的立方根是； （2）， 的立方根是3，即； （3）∵，∴的立方根是； （4）∵，∴的立方根是； （5）∵，∴0的立方根是0； （6）∵，∴9的立方根是 ． 【例2】求下列各数的立方根： (1)1000； (2)； (3)； (4)0.008． 【详解】（1）解：因为， 所以1000的立方根是10，即． （2）解：因为， 所以的立方根是，即． （3）解：因为， 所以的立方根是，即． （4）解：因为， 所以0.008的立方根是0.2，即． 【方法归纳】 1. 开立方和立方是逆运算，求数的立方根可以想“多少的立方是”； 2. 一个数缩小为原来的，它的立方根就缩小为原来的. 【易错点睛】 1. 1的立方根是1，但0.1的立方根不是0.1，0.001的立方根才是0.1； 2. 9的立方根不是3，27的立方根才是3，9的立方根是无理数（2<<3）. 【变式练习】 1．一个数的立方根等于它本身，且这个数的平方根也等于它本身，则这个数是（   ） A．0 B．1 C．0或1 D．0或 【详解】解：∵立方根等于本身的数为，平方根为本身的数只有0， 故这个数为0. 2．对问题“已知，求的值”，甲、乙两人的说法如下： 甲：的值是；乙：甲考虑的不全面，还有另一个值． 下列对甲、乙说法的判断正确的是（    ） A．甲说得对，符合条件的x的值只有1 B．乙说得对，还有另一个值2 C．乙说得对，还有另一个值 D．两人说得都不对，应有个不同值 【详解】解：设，则原方程变为． ∵一个数的立方根等于它本身的数是、、． ∴分三种情况讨论： ①当时，，解得． ②当时，，解得． ③当时，，解得． ∴的值为、、，共3个不同值． ∴甲、乙两人的说法都不对． 故选：D． 3．下列结论正确的是（    ） A．64的立方根是±4 B．没有立方根 C．－1的立方根为±1 D． 【详解】解：A、的立方根是，不是，所以 A错误； B、 任何实数都有立方根，的立方根是，所以 B错误； C、 的立方根是，不是，所以 C错误； D、 =， = ，∴ = ，故D正确. 【点睛】本题主要考查的是立方根的定义和性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． 4．求下列各数的立方根： (1)； (2)； (3)； (4)． 【详解】（1）解：因为，所以的立方根是； （2）解：因为，所以的立方根是； （3）解：因为， 所以的立方根是； （4）解：因为， 所以的立方根是． 【知识归纳】 1. 立方根等于它本身的数有三个：-1、0、1； 2. 立方根等于它相反数的数有一个：0； 题型2 化简立方根 【例1】求下列各式的值． (1)； (2)； 【详解】（1）解：； （2）解：． 【例2】求下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解：． 【知识归纳】 1. 熟练应用立方根的性质是求立方根计算的关键． 2. 常见性质：；=a；； 3. 被开方数是带分数时要化为假分数。 【变式练习】 1．化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【详解】解：， 故选：A． 2．的立方根是（  ） A．2 B．4 C．2 D．4 【详解】∵，8的立方根是2， ∴的立方根是2． 选A． 3．下列计算，错误的是（    ） A． B． C． D． 【详解】解：A、，原计算错误，符合题意； B、，原计算正确，不符合题意； C、，原计算正确，不符合题意； D、，原计算正确，不符合题意； 故选：A． 4．求下列各式的值： (1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）根据立方根的性质， 可得； （3）∵， ∴； （4）根据立方根的性质， 可得； 题型3 与立方根有关的规律探索 【例1】正整数、分别满足、，则___________． 【详解】解：∵，，，， 又∵，是正整数， ∴，， ∴， 故答案为：． 【例2】观察下表，并用所得的规律解决问题： (1)发现规律：被开方数的小数点向右（或左）移动___________位，其立方根的小数点向右（或左）移动___________位； (2)应用：①已知，则___________； ②已知，则___________； (3)拓展：根据上述探究过程类比研究一个数的平方根．已知：，计算的值． 【详解】（1）解：结合表格内容得，被开方数的小数点向右（或左）移动三位，其立方根的小数点向右（或左）移动一位， 故答案为：三；一； （2）解：根据总结的规律可得：， ， 故答案为：①；②； （3）解：类比可得，被开方数的小数点移动两位，其平方根的小数点移动一位， ，， ． 【例3】观察下列式子： ①；②； ③；④． 根据上述等式反映的规律，回答下列问题： (1)根据上述等式的规律，写出一个类似的等式： ； (2)由等式①②③④所反映的规律，可归纳出一个这样的结论：对于任意两个不相等的有理数a，b，若 ，则反之也成立； (3)根据（2）中的结论，解答问题：若与的值互为相反数，求x的立方根． 【详解】（1）解：依题意，（答案不唯一） （2）解：由等式①②③④所反映的规律，可归纳出一个这样的结论：对于任意两个不相等的有理数a，b，若，则反之也成立； 故答案为：， （3）解：∵与的值互为相反数， ∴， 解得， ∴x的立方根是． 【知识归纳】 1. 立方根的有序性：若0<a<b，则 .本性质是估算立方根近似值及所有立方根规律探索题的基础；2.一个数扩大为原来的1000倍，它的立方根就扩大为原来的10倍；一个数缩小为原来的它的立方根就缩小为原来的.； 2. 互为相反数的立方根仍是互为相反数。 【变式练习】 1．若，则与的数量关系是：_______． 【答案】 【分析】本题考查了立方根的应用，可得，即可求解；会用立方根进行求解是解题的关键． 【详解】解： ， ， 故答案为：． 2．比较大小：_________；________；___________（填“>”“<”或“=”） 【详解】解：（1）∵，， ∴ （2）∵，， ∴ （3）∵，， ∴ 3．若，，，则=_____． 【答案】 【分析】本题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解题的关键．依据被开方数小数向左或向右移动3位时，则对应的立方根的小数点向左或向右移动1位求解即可． 【详解】解：∵ ∴ 故答案为：． 4．据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出准确地说出了答案．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙. (1)你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的问题试一试： ①由，，请你确定是______位数； ②由59319的个位上的数是9，请你确定的个位上的数是______； ③如果划去59319后面的三位319得到59，而，，请你确定的十位上的数是______． (2)已知19683是整数的立方，按照（1）中的方法，请你求出它的立方根； (3)请直接写出______． (4)是我们没有学习过的四次方根，且它的结果也是一个整数，请你根据材料的方法求出结果，并说明理由． 【详解】（1）解：，， 是两位数， 的个位上的数是9，而只有个数是9的数的立方个位才是9， 的个位上的数字是 9 划去59319后面的三位 319 得到数 59，，，， 的十位上的数字是 3， 故答案是：两，9，3； （2）解：，， 是两位数， 的个位上的数是3，而只有个数是7的数的立方个位才是3， 的个位上的数字是 7， 划去19683后面的三位 683得到数 19，，，，的十位上的数字是2， ； （3）解：， ， 故答案为：； （4）解：，， ， 是两位数， 划去279841后面的四位9841得到数 27，，，，的十位上的数字是2， 的个位上的是1，而个数是1、3、7、9的数的四次方个位才是1， 验证可得 5．【阅读理解】我们都知道，是一个无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能完整地写出来，于是有同学用来表示的小数部分，这个方法是因为，所以的整数部分是1，而对于任意一个正实数，用这个数减去它的整数部分，所得的差就是它的小数部分，所以可以用来表示的小数部分． 再比如，我们要估算一个体积为的正方体魔方的棱长： ∵，即， ∴的整数部分为2，小数部分为． 根据上面问题的思路与方法，解决下列问题： (1)的整数部分是____，小数部分是___，的整数部分是___； (2)【类比应用】如果的小数部分为的整数部分为，求的平方根； 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的整数部分是，小数部分是； ∵， ∴， ∴的整数部分是3； （2）解：∵， ∴， ∴的小数部分为； ∵， ∴， ∴的整数部分； ∴， 又0的平方根是0， ∴的平方根是0． 题型4 平方根与立方根的综合 【例1】若，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【详解】解：∵，，均为正数，正数乘方后大小关系与原数一致， 先比较与，将两数同时平方得： ， ， ∵ ， ∴ ， 再比较与，将两数同时立方得： ， ， ∵ ， ∴ ， 综上可得 ． 【例2】若，则的值为（    ） A．1 B． C．7 D． 【详解】解： ∵； ∴ 故选：A. 【例3】下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【详解】解：A、，选项中左边是两个值，而右边仅取正根，显然不等，故等式不成立，不符合题意； B、，故等式不成立，不符合题意； C、，故等式不成立，不符合题意； D、，故等式成立，符合题意； 故选：D． 【易错归纳】——平方根与立方根的综合题最容易造成混淆性质 （1）负数有立方根，但负数没有平方根； （2）如： （3）算术平方根与平方根也容易混淆。譬如“” 【变式练习】 1．的绝对值是______；的立方根是______；的算术平方根是______； 【详解】解：的绝对值是； 的立方根是； ， 的算术平方根是， 故答案为：，，． 2. 已知是5的算术平方根，则的立方根是（   ） A． B． C． D．2 【详解】解：∵x是5的算术平方根， ∴， ∴， 的立方根， ∴的立方根是， 故选：C． 3．已知：且的立方根是它本身，的算术平方根是4，则的平方根为______． 【详解】解：因为且的立方根是它本身，所以． 因为的算术平方根是4，所以，解得． 因此， 所以的平方根为． 故答案为：． 4．计算：． 【详解】解：原式 ． 5．计算：﹣． 【详解】原式= 【点睛】本题考查算术平方根和立方根，解题的关键是先化简再计算，需要注意符号． 6．化简或计算： (1)+ (2) 【详解】（1）解：+ ； （2）解： ． 7．已知x是的立方根，8是的算术平方根，z是的整数部分．求的平方根． 【详解】解：∵x是的立方根， ∴， ∴， ∵8是的算术平方根， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵z是的整数部分， ∴， ∴， ∴的平方根是． 8．已知的立方根是的算术平方根为． (1)分别求的值； (2)求的平方根． 【详解】（1）解：∵的立方根是，的算术平方根为， ∴，， 解得：，， ∵， ∴； （2）当时， ∴， ∴的平方根是． 当时， ∴， ∴的平方根是． 综上所述，的平方根是或． 一、单选题 1．下列各数中，为有理数的是（  ） A． B． (相邻两个3之间2的个数依次增加1) C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了实数的分类．根据实数的分类判断即可. 【详解】解：A. ，2是有理数，符合题意； B. (相邻两个3之间2的个数依次增加1)是无理数，不符合题意； C. 是无理数，不符合题意； D. 是无理数，不符合题意； 故选：A． 2．的立方根是（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】本题考查立方根的概念：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根，即，那么x叫做a的立方根.根据立方根的定义求值，对照选项即可． 【详解】解：∵， ∴的立方根是， 故选：D． 3．已知，，则（   ） A．7.937 B．79.37 C．17.100 D．171.00 【答案】A 【分析】本题考查了与立方根有关的规律探索，结合，则，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 故选：A 4．如图，二阶魔方可看作由8个小立方块构成的正方体结构，已知二阶魔方的体积约为（方块之间的缝隙忽略不计），那么每个小方块的边长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查立方根的应用，根据题意，计算出每一个小正方体的体积，直接开立方即可得到每个小正方体的棱长，读懂题意，掌握正方体体积公式是解决问题的关键． 【详解】解：几何体由个形状大小完全相同的小正方体组成，且该几何体的体积约为， 每一个小正方体的体积为， ∴每个小正方体的棱长为， 故选：B． 5．下列说法正确的是（　　） A．1的平方根与立方根相同 B．实数与数轴上的点一一对应 C．两个无理数的和还是无理数 D．对于实数，若，则 【答案】B 【分析】本题考查了平方根、立方根、实数与数轴、无理数的定义、二次根式的性质，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．根据平方根、立方根、实数与数轴、无理数的定义、二次根式的性质，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、因为，所以1的平方根是，因为，所以1的立方根是1，由于1的平方根与立方根不相同，所以选项A错误； B、实数与数轴上的点一一对应，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，所以选项B正确； C、例如和都是无理数，它们的和为，而0是有理数，所以选项C错误； D、根据二次根式的性质，，当时，；当时，．已知，则，而不是，所以选项D错误． 故选：B． 6．学完实数后，当堂检测环节张老师布置了4道填空题，下面是小明的完成情况： ①的立方根是；②16的平方根是； ③算术平方根等于本身的数0或1；④的平方根是． 若每做对一道题得25分，则该次检测小明应得分（    ） A．25分 B．50分 C．75分 D．100分 【答案】A 【分析】本题考查立方根、平方根和算术平方根的概念．根据立方根、平方根和算术平方根的概念求解即可． 【详解】①的立方根是，故①错误． ②16的平方根是，故②错误． ③算术平方根等于本身的数是0或1，故③正确． ④的平方根是，故④错误． 综上，小明只做对一题，得25分． 故选：A． 7．下列语句中，正确的有（    ） ①的平方根是；②的相反数是；③ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根、平方根、相反数、立方根的概念，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据算术平方根、平方根、相反数、立方根的概念，逐个语句分析判断即可得出答案． 【详解】解：，9的平方根是，故①错误； 的相反数是，故②正确； ，故③错误； ∴综上所述，正确的有1个． 故选：B． 8．下列说法正确的是（     ） A．负数没有立方根； B．是4的算术平方根； C．立方根是它本身的数只有0； D．互为相反数的两个数的立方根也互为相反数 【答案】D 【分析】本题考查了立方根和算术平方根的概念，相反数的定义，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、负数有立方根，且负数的立方根是负数，故该选项不符合题意； B、4的算术平方根是2，不是，故该选项不符合题意； C、立方根是本身的数有0、1、，故该选项不符合题意； D、互为相反数的数的立方根也互为相反数，故该选项符合题意； 故选：D． 9．下列说法中，正确的是（   ） A．的平方根是 B．是9的平方根 C．2是的正立方根 D．的平方根是 【答案】B 【分析】本题考查了平方根、算术平方根、立方根，熟练掌握平方根、算术平方根、立方根的性质是解题关键．根据平方根、算术平方根、立方根的性质逐项判断即可得． 【详解】解：A、，的平方根是，则此项错误，不符合题意； B、9的平方根是，则此项正确，符合题意； C、的立方根是，则此项错误，不符合题意； D、，，则的平方根是，则此项错误，不符合题意； 故选：B． 10．下列各组实数中，相等的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】A 【分析】本题需依据算术平方根、立方根、绝对值的定义，分别计算每组中的两个实数，再判断是否相等，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：A、，，故，符合题意； B、，，故，不符合题意； C、，故，不符合题意； D、，不符合题意； 故选：A． 二、填空题 11．______ ；的立方根是______ ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方根，立方根的计算，根据立方根和平方根的定义，直接计算的值，以及先计算的值再求其立方根即可，解题的关键是掌握平方根和立方根的求解过程． 【详解】解：由； ∵， ∴的立方根是，即的立方根是， 故答案为：，． 12．下列各数：，，，，0，，，0中，无理数有_____个． 【答案】2 【分析】本题主要考查无理数的定义，无理数的三种形式：①含π的数，②开方开不尽的数，③人为构造有规律的无限不循环小数．根据无理数的定义，即可求解． 【详解】解：，， ∵在数，，，，0，，，0中，，是无理数， ∴无理数有2个， 故答案是：2． 13．小雨做了一个棱长为的正方体盒子，小雪说：“我做的正方体盒子体积比你的大．”则小雪做的盒子的棱长为______． 【答案】 【分析】本题考查了立方根的定义，先计算小雨盒子的体积，再求出小雪盒子的体积，然后利用立方根定义解答即可求解，掌握立方根的定义是解题的关键． 【详解】解：由题意得，小雨盒子的体积为， ∴小雪盒子的体积为， ∴小雪盒子的棱长为 ， 故答案为：． 14．若，则的立方根是_________． 【答案】 【分析】本题主要考查了绝对值与平方数的非负性、立方根的定义，熟练掌握“几个非负数的和为0时，每一个非负数都为0”是解题的关键． 利用绝对值和平方数的非负性，得出每一项为0，求出、的值，计算后求其立方根． 【详解】解：∵ ，，且， ∴ ，， ∴ ，， ∴ ，， ∴ ， ∵ ， ∴ 的立方根是， 故答案为：． 15．如果，，那么______． 【答案】                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                  【分析】本题主要考查立方根的性质，通过观察0.0237与23.7的关系，利用立方根的性质求解即可． 【详解】解：由已知条件，，且，根据立方根的性质得： 故答案为：0.2872． 16．4的平方根为，的立方根为，则的值为________． 【答案】或 【分析】此题考查平方根、算术平方根、立方根，解题关键在于掌握平方根、算术平方根、立方根的基本运算，特别注意一个正数的平方根有两个，它们互为相反数．根据平方根、算术平方根、立方根的意义可得，然后分两种情况进行计算即可解答． 【详解】解：∵4的平方根是x，的立方根是y，且， ∴， ∴当时，； 当时，； 综上所述：的值为或． 故答案为：或． 三、解答题 17．计算下列各小题． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查立方根和算术平方根，实数的运算，掌握运算法则是关键． （1）先进行加减运算，再进行开平方运算，即可解答． （2）先根据进行开立方以及开平方运算，再进行加减运算，即可解答． 【详解】（1）解： （2） 18．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)0 【分析】本题考查了乘法的分配律，立方根，乘方的意义等知识，解题的关键是． （1）根据乘法的分配律计算即可； （2）先计算乘方和立方根，然后计算加法即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 19．将下列各数填入相应的横线上． ，，，，，，，， 无理数：_____； 非负整数：_____； 有理数：_____； 正实数：_____． 【答案】见解析 【分析】本题考查了实数的分类，求一个数的算术平方根和立方根，熟练掌握无理数、非负整数、有理数、正实数的定义是解题的关键． 先化简各数，再由无理数、非负整数、有理数、正实数的定义求解． 【详解】解：，，， 无理数：, ； 非负整数：, , , ； 有理数：, , , , , , ； 正实数：, , , , , , ． 20．解方程： (1)； (2) ． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查了利用平方根和立方根解方程，解题的关键是掌握平方根和立方根的定义． （1）利用平方根的定义求解即可； （2）利用立方根的定义求解即可． 【详解】（1）解： 或； （2）解： 21．把一个长、宽、高分别为，，的长方体铁块锻造成一个立方体铁块．锻造成的立方体铁块的棱长是多少厘米？ 【答案】锻造成的立方体铁块的棱长是厘米 【分析】本题考查了立方根的应用，把一个长、宽、高分别为，，的长方体铁块锻造成一个立方体铁块，这个过程体积不发生变化，据此进行列式计算，即可作答． 【详解】解：设锻造成的立方体铁块的棱长是厘米， ∵把一个长、宽、高分别为，，的长方体铁块锻造成一个立方体铁块， ∴， 即， 解得， ∴锻造成的立方体铁块的棱长是厘米． 22．已知的立方根是的算术平方根是3． (1)求的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】此题考查了立方根和平方根的定义，熟练掌握立方根和平方根的求法是关键． （1）根据立方根和算术平方根的定义进行计算即可； （2）先求出代数式的值，再计算平方根即可． 【详解】（1）解：由题意，得， ， 解得：； （2）解：， ∴的平方根是． 23．如图1是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为64． (1)求出这个魔方的棱长； (2)图1中阴影部分是一个正方形，求出阴影部分的面积和边长； (3)把正方形放到数轴上，如图2，使点A与重合，请直接写出点D在数轴上所表示的数． 【答案】(1)这个魔方的棱长为4 (2)阴影部分的边长为，阴影部分的面积为8 (3)点D在数轴上所表示的数为 【分析】本题主要考查实数与数轴、立方根的综合应用，解决此题的关键是能求出每个小正方形的边长． （1）根据立方体的体积公式，直接求棱长即可； （2）根据棱长，求出每个小正方体的棱长，进而可得小正方形的对角线的长，即阴影部分图形的边长，即可得解； （3）用点A表示的数减去边长即可得解． 【详解】（1）解：． 答：这个魔方的棱长为4； （2）解：∵魔方的棱长为4， ∴每个小立方体的棱长为2， 阴影部分面积为：； 则阴影部分的边长为． （3）解：由（2）得， 则D在数轴上表示的数为． 24．跟华罗庚学猜数： 我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求它的立方根．华罗庚脱口而出：39． 华罗庚（1910-1985） 你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的方法试一试： ①∵，，又∵，∴，∴能确定59319的立方根是个两位数． ②59319的个位数是9，又∵，能确定59319的立方根的个位数是9． ③若划去59319后面的三位319得到数59，而，则，可得，由此确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39． (1)现在换一个数19683，按这种方法求立方根，请完成下列填空： ①它的立方根是 位数； ②它的立方根的个位数字是 ； ③19683的立方根是 ． (2)求110592的立方根．（过程可按题目中的步骤写） 【答案】(1)①两；②7；③27 (2)48 【分析】本题考查了立方根及数字常识，解决本题的关键是理解例题，并能根据例题的格式进行运算． （1）仿照例题，进行推理得结论； （2）先判断它们的立方根是几位数，再判断个位、十位上的数字，得结论． 【详解】（1）解：①，， 又， ， 能确定19683的立方根是个两位数． ②∵19683的个位数是3， 又， 能确定19683的立方根的个位数是7， ③如果划去19683后面的三位683得到数19， 而，则，可得， 由此能确定19683的立方根的十位数是2， 因此19683的立方根是27． （2）解：∵，， 又∵， ∴， ∴能确定110592的立方根是个两位数． ∵110592的个位数是2， 又∵， ∴能确定110592的立方根的个位数是8． 若划去110592后面的三位592得到数110， 而， 则， 可得， 由此确定110592的立方根的十位数是4， 因此110592的立方根是48． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第14讲 立方根 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 求一个数的立方根 题型2 化简立方根 题型3 与立方根的有关规律探索 题型4 平方根与立方根综合 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 立方根 开立方 · 理解立方根、开立方定义，区分立方根与平方根概念； · 会用符号表示一个数的立方根，掌握立方根性质； · 熟练求整数、简单小数、分数的立方根，会借助计算器计算无理数立方根。 学习重点： · 立方根概念、符号书写、立方根性质； · 有理数立方根的求解。 学习难点： · 负数有立方根、负数没有平方根的本质区别； · =公式的理解与灵活变形； · 被开方数小数点移位和立方根小数点移位规律。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 立方根 【引入】有一个体积为8 cm³的正方体纸盒，它的棱长是多少? 从运算的角度看，就是求什么数的立方等于8？ 1.立方根 一般地，如果一个数的立方等于a,那么这个数叫作a的立方根. a的立方根记为“”,读作“三次根号a”.a叫作被开方数，3是根指数. 求一个数立方根的运算叫作开立方. 2.立方根的性质 正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数。 ；=a； 求1000的立方根：因为，所以1000的立方根是10. 用式子表示：=10 3.小数点移动规则 一个数扩大为原来的1000倍，它的立方根就扩大为原来的10倍；一个数缩小为原来的它的立方根就缩小为原来的. 知识点02 实数的大小比较与计算 1.平方根与立方根性质的区别 一个正数有两个平方根，记作：±；0的平方根是0；负数没有平方根； 一个数的立方根只有一个，记作： 【易错点】 （1） （√） （2） （×） 2.开方与乘方运算 像求一个数平方、立方的运算叫作乘方运算； 像已知一个数的平方根、立方根的运算叫作开方运算； 乘方运算与开方运算是互逆运算。 题型1 求一个数的立方根 【例1】填空： （1）因为，所以8的立方根是________；因为，所以的立方根是________； （2）的立方根是________，即________； （3）的立方根是________； （4）的立方根是________； （5）________的立方根是0； （6）9的立方根是________． 【例2】求下列各数的立方根： (1)1000； (2)； (3)； (4)0.008． 【方法归纳】 1. 开立方和立方是逆运算，求数的立方根可以想“多少的立方是”； 2. 一个数缩小为原来的，它的立方根就缩小为原来的. 【易错点睛】 1. 1的立方根是1，但0.1的立方根不是0.1，0.001的立方根才是0.1； 2. 9的立方根不是3，27的立方根才是3，9的立方根是无理数（2<<3）. 【变式练习】 1．一个数的立方根等于它本身，且这个数的平方根也等于它本身，则这个数是（   ） A．0 B．1 C．0或1 D．0或 2．对问题“已知，求的值”，甲、乙两人的说法如下： 甲：的值是；乙：甲考虑的不全面，还有另一个值． 下列对甲、乙说法的判断正确的是（    ） A．甲说得对，符合条件的x的值只有1 B．乙说得对，还有另一个值2 C．乙说得对，还有另一个值 D．两人说得都不对，应有个不同值 3．下列结论正确的是（    ） A．64的立方根是±4 B．没有立方根 C．－1的立方根为±1 D． 4．求下列各数的立方根： (1)； (2)； (3)； (4)． 【知识归纳】 1. 立方根等于它本身的数有三个：-1、0、1； 2. 立方根等于它相反数的数有一个：0； 题型2 化简立方根 【例1】求下列各式的值． (1)； (2)； 【例2】求下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 【知识归纳】 1. 熟练应用立方根的性质是求立方根计算的关键． 2. 常见性质：；=a；； 3. 被开方数是带分数时要化为假分数。 【变式练习】 1．化简的结果是（   ） A． B． C． D． 2．的立方根是（  ） A．2 B．4 C．2 D．4 3．下列计算，错误的是（    ） A． B． C． D． 4．求下列各式的值： (1) (2) (3) (4) 题型3 与立方根有关的规律探索 【例1】正整数、分别满足、，则___________． 【例2】观察下表，并用所得的规律解决问题： (1)发现规律：被开方数的小数点向右（或左）移动___________位，其立方根的小数点向右（或左）移动___________位； (2)应用：①已知，则___________； ②已知，则___________； (3)拓展：根据上述探究过程类比研究一个数的平方根．已知：，计算的值． 【例3】观察下列式子： ①；②； ③；④． 根据上述等式反映的规律，回答下列问题： (1)根据上述等式的规律，写出一个类似的等式： ； (2)由等式①②③④所反映的规律，可归纳出一个这样的结论：对于任意两个不相等的有理数a，b，若 ，则反之也成立； (3)根据（2）中的结论，解答问题：若与的值互为相反数，求x的立方根． 【知识归纳】 1. 立方根的有序性：若0<a<b，则 .本性质是估算立方根近似值及所有立方根规律探索题的基础；2.一个数扩大为原来的1000倍，它的立方根就扩大为原来的10倍；一个数缩小为原来的它的立方根就缩小为原来的.； 2. 互为相反数的立方根仍是互为相反数。 【变式练习】 1．若，则与的数量关系是：_______． 2．比较大小：_________；________；___________（填“>”“<”或“=”） 3．若，，，则=_____． 4．据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出准确地说出了答案．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙. (1)你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的问题试一试： ①由，，请你确定是______位数； ②由59319的个位上的数是9，请你确定的个位上的数是______； ③如果划去59319后面的三位319得到59，而，，请你确定的十位上的数是______． (2)已知19683是整数的立方，按照（1）中的方法，请你求出它的立方根； (3)请直接写出______． (4)是我们没有学习过的四次方根，且它的结果也是一个整数，请你根据材料的方法求出结果，并说明理由． 5．【阅读理解】我们都知道，是一个无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能完整地写出来，于是有同学用来表示的小数部分，这个方法是因为，所以的整数部分是1，而对于任意一个正实数，用这个数减去它的整数部分，所得的差就是它的小数部分，所以可以用来表示的小数部分． 再比如，我们要估算一个体积为的正方体魔方的棱长： ∵，即， ∴的整数部分为2，小数部分为． 根据上面问题的思路与方法，解决下列问题： (1)的整数部分是____，小数部分是___，的整数部分是___； (2)【类比应用】如果的小数部分为的整数部分为，求的平方根； 题型4 平方根与立方根的综合 【例1】若，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【例2】若，则的值为（    ） A．1 B． C．7 D． 【例3】下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【易错归纳】——平方根与立方根的综合题最容易造成混淆性质 （1）负数有立方根，但负数没有平方根； （2）如： （3）算术平方根与平方根也容易混淆。譬如“” 【变式练习】 1．的绝对值是______；的立方根是______；的算术平方根是______； 2. 已知是5的算术平方根，则的立方根是（   ） A． B． C． D．2 3．已知：且的立方根是它本身，的算术平方根是4，则的平方根为______． 4．计算：． 5．计算：﹣． 6．化简或计算： (1)+ (2) 7．已知x是的立方根，8是的算术平方根，z是的整数部分．求的平方根． 8．已知的立方根是的算术平方根为． (1)分别求的值； (2)求的平方根． 一、单选题 1．下列各数中，为有理数的是（  ） A． B． (相邻两个3之间2的个数依次增加1) C． D． 2．的立方根是（    ） A．2 B． C．4 D． 3．已知，，则（   ） A．7.937 B．79.37 C．17.100 D．171.00 4．如图，二阶魔方可看作由8个小立方块构成的正方体结构，已知二阶魔方的体积约为（方块之间的缝隙忽略不计），那么每个小方块的边长为（   ） A． B． C． D． 5．下列说法正确的是（　　） A．1的平方根与立方根相同 B．实数与数轴上的点一一对应 C．两个无理数的和还是无理数 D．对于实数，若，则 6．学完实数后，当堂检测环节张老师布置了4道填空题，下面是小明的完成情况： ①的立方根是；②16的平方根是； ③算术平方根等于本身的数0或1；④的平方根是． 若每做对一道题得25分，则该次检测小明应得分（    ） A．25分 B．50分 C．75分 D．100分 7．下列语句中，正确的有（    ） ①的平方根是；②的相反数是；③ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 8．下列说法正确的是（     ） A．负数没有立方根； B．是4的算术平方根； C．立方根是它本身的数只有0； D．互为相反数的两个数的立方根也互为相反数 9．下列说法中，正确的是（   ） A．的平方根是 B．是9的平方根 C．2是的正立方根 D．的平方根是 10．下列各组实数中，相等的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 二、填空题 11．______ ；的立方根是______ ． 12．下列各数：，，，，0，，，0中，无理数有_____个． 13．小雨做了一个棱长为的正方体盒子，小雪说：“我做的正方体盒子体积比你的大．”则小雪做的盒子的棱长为______． 14．若，则的立方根是_________． 15．如果，，那么______． 16．4的平方根为，的立方根为，则的值为________． 三、解答题 17．计算下列各小题． (1)； (2)． 18．计算： (1)； (2)． 19．将下列各数填入相应的横线上． ，，，，，，，， 无理数：_____； 非负整数：_____； 有理数：_____； 正实数：_____． 20．解方程： (1)； (2) ． 21．把一个长、宽、高分别为，，的长方体铁块锻造成一个立方体铁块．锻造成的立方体铁块的棱长是多少厘米？ 22．已知的立方根是的算术平方根是3． (1)求的值； (2)求的平方根． 23．如图1是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为64． (1)求出这个魔方的棱长； (2)图1中阴影部分是一个正方形，求出阴影部分的面积和边长； (3)把正方形放到数轴上，如图2，使点A与重合，请直接写出点D在数轴上所表示的数． 24．跟华罗庚学猜数： 我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求它的立方根．华罗庚脱口而出：39． 华罗庚（1910-1985） 你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的方法试一试： ①∵，，又∵，∴，∴能确定59319的立方根是个两位数． ②59319的个位数是9，又∵，能确定59319的立方根的个位数是9． ③若划去59319后面的三位319得到数59，而，则，可得，由此确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39． (1)现在换一个数19683，按这种方法求立方根，请完成下列填空： ①它的立方根是 位数； ②它的立方根的个位数字是 ； ③19683的立方根是 ． (2)求110592的立方根．（过程可按题目中的步骤写） 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $