第13讲 从有理数到实数（暑假预习讲义）新七年级数学新教材浙教版

第13讲 从有理数到实数 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 无理数的概念 题型2 实数的分类 题型3 无理数近似值的估算 题型4 实数的大小比较 题型5 实数的计算 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 有理数 无理数 实数 1. 理解无理数定义，能区分有理数、无理数，掌握实数分类； 2. 知道实数与数轴上的点一一对应； 3. 会在数轴表示简单无理数（\(\sqrt2、\sqrt3\)），能比较实数大小； 4. 掌握实数相反数、绝对值、倒数的求法，有理数运算法则在实数范围内仍适用。 学习重点： 1. 无理数识别、实数分类； 2. 实数和数轴一一对应； 3. 实数的相反数、绝对值、大小比较。 学习难点： · 理解无限不循环小数是无理数，区分无限循环与无限不循环； · 含根号无理数估算大小。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 实数的概念和分类 【引入】如图3-2,依次连结2×2方格四条边的中点A,B, C,D,得到一个阴影正方形。设每一方格的边长为1个单位长度， 讨论下面的问题： (1)阴影正方形的面积是多少? (2)阴影正方形的边长是多少?应怎样表示? (3)阴影正方形的边长介于哪两个相邻整数之间? 1. 无理数 无限不循环小数叫作无理数。 图中阴影正方形的边长为，因为，所以它肯定不是整数。 通过夹逼法可以得到下表： 如此下去，可以得到=1.414213562373095048801688724209698078569…, 它既不是有限小数，也不是无限循环小数(不能化为分数)。 2. 常见无理数 =3.141592 653 589 793 238462 643 383 279 502 884 197 169 3……… =1.732050 807 568 877 293527 446 341505 872 3669…… 任意写一个无限不循环小数，如1.010010001…（两个“1”之间依次多一个“0”），它也是无理数。 3.实数的概念 有理数和无理数统称实数。 4.有理数的分类 知识点02 实数的大小比较与计算 1. 实数与数轴上的点 数轴上的点与实数一一对应。 2. 实数的大小比较 （1）在数轴上表示两个数，右边的数总比左边的数大。 （2）若，则 （3）比平方法：若，则 （4）比差法：若，则； 3. 实数的相反数 实数 a 的相反数是 a . 如： （ ）=. 4. 绝对值 一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 例：因为 ， 所以，||= （）= （负数的绝对值等于它的相反数） 5. 加减乘除运算法则 有理数的运算法则及运算律同样适用于实数. 3可以省略“”，写成“3”. 例：3+2=（3+2）=5 （乘法分配律） 易错题：+ （不属于乘法分配律） 6. 实数的乘方、开方运算 因为 3 的平方是 ，所以 是 的算术平方根，记作：； 因为 是 3 的算术平方根，所以 =3； 归纳： (a0)，=a (a0) ； 题型1 无理数的识别 【例1】下列各数中，无理数是（     ） A． B． C． D．0 【例2】已知实数，，（相邻两个1之间0的个数逐次加1），0.23，，其中无理数有______个． 【易错提醒】 （1）能写成（m、n都是整数）的分数一定是有理数，不是无理数。但 不属于有理数，属于无理数。 （2）带根号的数不一定是无理数；如： （3）小数不一定是有理数。如：（相邻两个1之间0的个数逐次加1） 【变式练习】 1．下列实数中，无理数是（     ） A． B． C． D． 2．在下列各数0.101001000100001、0、、、3.14、、中，无理数的个数是（     ） A．4 B．3 C．2 D．1 3．写出一个比3大的正无理数__________． 4．在，，，（每两个之间的个数依次增加），，中，无理数的个数有______个． 题型2 实数的分类 【例1】把下列各数填入相应的大括号内： ，，，0.5，，3.14159265，，1.3030030003…（两个3之间依次增加一个0）． 有理数：｛                                ｝； 无理数：｛                                ｝； 整数：｛                                  ｝； 负实数：｛                                ｝． 【知识归纳】 1. 3表示3与的乘积，还是个无理数； 2. 负实数包括负有理数和负无理数； 3. 无意义既不是有理数也不是无理数。 【变式练习】 1．在实数：，，，，，，中整数有________，分数有________，无理数有________． 2．把下列各数写入相应的括号中：、、、、、（两个1之间依次增加一个7）． (1)正实数：{ }； (2)负实数：{ }； (3)有理数：{ }； (4)无理数：{ }． 3．把下列各数的序号填在相应的大括号内：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦⑧；⑨（每两个2之间依次增加1个0）； 整数{                     } 分数{                     } 有理数{                     } 无理数{                     } 题型3 无理数大小的估算 【例1】阅读材料：材料一：对于一个正无理数N，总能找到唯一的整数k，使得．我们称k为N整数部分，为N的小数部分．例如：，所以的整数部分是1，小数部分是． 材料二（线性插值法）：估算无理数的近似值，我们可以利用“夹逼法”和“线性插值”．例如，估算（结果精确到0.01）： 1.夹逼定位整数部分：先找到两个相邻整数13、14，使，所以，即的整数部分13． 2.线性插值确定小数部分：的小数部分可近似用180在区间内线性比例表示．即的小数部分，（精确到0.01） 因此． 利用材料一 (1)基础应用：直接写出的整数部分是______，小数部分是______； (2)综合求值：已知，其中a为整数，且，求的值； (3)利用材料二近似估算：估算的近似值，结果精确到0.01，并写出估算过程． 【变式练习】 1．若n为正整数，且满足，则n=_____． 2．对于无理数，因为，所以的整数部分是1，小数部分是．请仿照上面的方法解答下列问题： (1)的整数部分是__________，小数部分是__________； (2)已知是的整数部分，是的小数部分，求的值． 3．阅读下列材料： ∵ ，即：； ∴ 的整数部分为1，小数部分为． 请根据材料提示，进行解答： (1)的整数部分是________，小数部分是_________； (2)若，其中：a是整数，．求的值． 题型4 实数的大小比较 【例1】将下列各数近似地表示在数轴上，并把它们按从小到大的顺序排列，用“”号连接． ，，， 【例2】比较大小：________（填“”“”“”）． 【例3】比较大小：______． 【知识归纳】——实数的大小比较 （1）利用数轴比较大小：数轴上右边的数总大于左边的数； （2）比差法：若，则； （3）平方法：若，则 【变式练习】 1．下列选项中，可以用点表示的是（    ） A． B． C． D． 2．与数轴上的点一一对应的是（   ） A．整数 B．有理数 C．无理数 D．实数 3．如图，是硬币圆周上一点，硬币与数轴上数所对应的点紧靠着（与数所对应的点重合）．假设硬币的直径为个单位长度，若将硬币按如图所示的方向滚动（无滑动）一圈，点恰好与数轴上点重合，则点对应的实数是（   ） A． B． C． D． 4．如图，数轴上点表示的数可能是（    ） A． B． C． D． 5．比较大小：____2（填“”“”或“”）． 6．已知七个实数，，4，，，0，其中五个数已在数轴上分别用点、、、、表示． (1)点表示数______，点表示数______，点表示数_____，点表示数______； (2)用圆规在数轴上准确地表示数（提示：注意观察正方形的面积）； (3)将上面7个数分别填入相应括号的横线上． 整数：{ …}； 分数：{ …}； 无理数：{ …}． 7．小云的作业中有一道题目如下： 请画出数轴并把实数，π，，－4，，在数轴上表示出来，再把这6个数用“＜”连接． (1)下图是小云画的数轴和标出来的4个无理数，你认为表示的是点________． (2)请你帮助小云完成剩下的任务． 题型5 实数的计算 【例1】如图，已知点A表示的数为，点A向右平移3个单位长度到达点B． (1)点B表示的数为 ； (2)在数轴上还有C，D两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数，求的平方根． 【例2】）实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如下图所示． (1)用“”“”或“”填空：b_____0，_____0，_____0； (2)化简：． 【例3】（1）计算：． （2）求式中的值：． 【知识归纳】 1. 实数 a 的相反数是 a . 2. 一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 【变式练习】 1．计算：（   ） A．4 B． C． D． 3．计算的结果是（    ） A． B． C． D．2 3．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 4．计算： ________． 5．计算：______． 6．阅读理解：因为，即，所以的整数部分为2，小数部分为．请解答下列问题： (1)如果的整数部分为，小数部分为，求的值； (2)已知：，其中是整数，且，求的相反数． 7．已知的平方根是，的立方根是3，m是的算术平方根． (1)填空：______，______，______； (2)求的平方根； (3)若m的整数部分是x，小数部分是y，求的值． 8．如图，将面积分别为3和2的两个正方形放在数轴上，使每个正方形的一个顶点和原点O重合，一条边恰好落在数轴上，另一个顶点分别为数轴上的点A和点B． (1)点A表示的数为________；点B表示的数为________，线段的长度为________； (2)一只蚂蚁从点B沿数轴向左爬了3个单位长度到达点C，则点C表示的数________； (3)求的值． 一、单选题 1．与最接近的整数是（    ） A． B． C． D． 2．下列各数中最小的数是（） A．1 B． C． D．0 3．下列四个数中，比小的数是（    ） A． B．0 C． D． 4．下列四个数中，无理数是（    ） A． B． C． D． 5．下列四个实数中，比大的无理数是（    ） A． B．0 C． D． 6．如图，数轴上点A表示的数是，点A与点B到原点的距离相等，则点B表示的数是（     ） A． B．0 C． D．25 7．在，0，，，3.14，，，0.202002000…实数中，无理数有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 8．已知，则实数m的范围是（     ） A． B． C． D． 9．估计的值应在（     ） A．到之间 B．到之间 C．到之间 D．到之间 10．下列各数中，绝对值最大的是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 11．的相反数是______，的绝对值是______． 12．比大小：___________3（填“”、“”或“”）． 13．的整数部分为________． 14．比较大小：____（填“”或“或”）． 15．若为正整数，且满足，则________． 16．如图，面积为7的正方形的顶点A在数轴上，且点A表示的数为1，以A为圆心，长为半径画弧，交于A右侧数轴于点E，则点E所表示的数为___________． 三、解答题 17．如图，在数轴上近似地表示下列各数，并用“<”把这些数连接起来． ，，，， ∴______<______<______<______<______． 18．把下列各数分别填到相应的横线上（只填编号即可）． ，，，，，，（每两个之间多一个），，． 属于整数的有：________________________； 属于有理数的有：________________________； 属于无理数的有：________________________． 19．某小区有一个的长方形场地，且长和宽之比为3：2． (1)求这个长方形场地的长和宽分别是多少m？ (2)小区准备把这个长方形场地用实木棚栏围起来．小区原有可以围成的正方形场地的实木栅栏未使用，那么这些实木栅栏是否够用？并说明理由．（参考数据：） 20．大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，但是由于，所以的整数部分为1，将减去其整数部分1，差就是小数部分，为． (1)的整数部分是______，小数部分是_______． (2)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值． 21．“作差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法，即 例如：比较与6的大小． 解： ，即， (1)直接写出的整数部分 (2)请根据上述方法解答以下问题：比较与的大小． 22．课堂上，老师出了一道题：比较与的大小．小明的解法如下： 解：． ， ． 我们把这种比较大小的方法称为作差法．请仿照上述方法，比较下列各组数的大小： (1)和； (2)和 23．观察图形，每个小正方形的边长为1． (1)则图中阴影部分的面积是 ，边长是 ． (2)已知阴影正方形的边长为x，且，若a和b是相邻的两个整数，那么 ， ． (3)若设图中阴影正方形的边长为x，请在下面的数轴上准确地作出数x所表示的点，若还有一个点B与它的距离为1，则这个点B在数轴上所表示的数为 ．      24．如图，将面积分别为10和5的正方形纸片放在数轴上，使正方形的一条边恰好落在数轴上，一个顶点与原点重合，其另一个顶点分别在数轴上的点A和点B处． (1)点A表示的数为_______；点B表示的数为_______． (2)请你阅读以下材料，并完成作答： ， ， 的整数部分为2，小数部分为． 根据以上材料可得点B所表示的数的整数部分为_______，小数部分为_______． (3)小星想用面积为10的正方形纸片裁出一块面积为6的长方形纸片，且它的长与宽的比为，他能裁出来吗？请帮他判断并说明理由．（参考数据：，．） 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第13讲 从有理数到实数 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 无理数的概念 题型2 实数的分类 题型3 无理数近似值的估算 题型4 实数的大小比较 题型5 实数的计算 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 有理数 无理数 实数 1. 理解无理数定义，能区分有理数、无理数，掌握实数分类； 2. 知道实数与数轴上的点一一对应； 3. 会在数轴表示简单无理数（\(\sqrt2、\sqrt3\)），能比较实数大小； 4. 掌握实数相反数、绝对值、倒数的求法，有理数运算法则在实数范围内仍适用。 学习重点： 1. 无理数识别、实数分类； 2. 实数和数轴一一对应； 3. 实数的相反数、绝对值、大小比较。 学习难点： · 理解无限不循环小数是无理数，区分无限循环与无限不循环； · 含根号无理数估算大小。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 实数的概念和分类 【引入】如图3-2,依次连结2×2方格四条边的中点A,B, C,D,得到一个阴影正方形。设每一方格的边长为1个单位长度， 讨论下面的问题： (1)阴影正方形的面积是多少? (2)阴影正方形的边长是多少?应怎样表示? (3)阴影正方形的边长介于哪两个相邻整数之间? 1. 无理数 无限不循环小数叫作无理数。 图中阴影正方形的边长为，因为，所以它肯定不是整数。 通过夹逼法可以得到下表： 如此下去，可以得到=1.414213562373095048801688724209698078569…, 它既不是有限小数，也不是无限循环小数(不能化为分数)。 2. 常见无理数 =3.141592 653 589 793 238462 643 383 279 502 884 197 169 3……… =1.732050 807 568 877 293527 446 341505 872 3669…… 任意写一个无限不循环小数，如1.010010001…（两个“1”之间依次多一个“0”），它也是无理数。 3.实数的概念 有理数和无理数统称实数。 4.有理数的分类 知识点02 实数的大小比较与计算 1. 实数与数轴上的点 数轴上的点与实数一一对应。 2. 实数的大小比较 （1）在数轴上表示两个数，右边的数总比左边的数大。 （2）若，则 （3）比平方法：若，则 （4）比差法：若，则； 3. 实数的相反数 实数 a 的相反数是 a . 如： （ ）=. 4. 绝对值 一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 例：因为 ， 所以，||= （）= （负数的绝对值等于它的相反数） 5. 加减乘除运算法则 有理数的运算法则及运算律同样适用于实数. 3可以省略“”，写成“3”. 例：3+2=（3+2）=5 （乘法分配律） 易错题：+ （不属于乘法分配律） 6. 实数的乘方、开方运算 因为 3 的平方是 ，所以 是 的算术平方根，记作：； 因为 是 3 的算术平方根，所以 =3； 归纳： (a0)，=a (a0) ； 题型1 无理数的识别 【例1】下列各数中，无理数是（     ） A． B． C． D．0 【详解】解：选项A、是整数，不符合题意； 选项B、是无限不循环小数，是无理数，符合题意； 选项C、是分数，不符合题意； 选项D、是整数，不符合题意． 【例2】已知实数，，（相邻两个1之间0的个数逐次加1），0.23，，其中无理数有______个． 【详解】解：，是整数，属于有理数；，是有限小数，属于有理数；其中无理数为（相邻两个之间的个数逐次加），，共个． 【易错提醒】 （1）能写成（m、n都是整数）的分数一定是有理数，不是无理数。但 不属于有理数，属于无理数。 （2）带根号的数不一定是无理数；如： （3）小数不一定是有理数。如：（相邻两个1之间0的个数逐次加1） 【变式练习】 1．下列实数中，无理数是（     ） A． B． C． D． 【详解】解：A. 是整数，属于有理数，本选项不符合题意； B. 是有限小数，属于有理数，本选项不符合题意； C. 是无限不循环小数，是无理数，本选项符合题意； D. 是分数，属于有理数，本选项不符合题意． 2．在下列各数0.101001000100001、0、、、3.14、、中，无理数的个数是（     ） A．4 B．3 C．2 D．1 【详解】解：是有限小数，是有理数； 是整数，是有理数； 中是无限不循环小数，因此是无理数； 是分数，是有理数； 是有限小数，是有理数； 是分数，是有理数； 开方开不尽，是无限不循环小数，因此是无理数； 综上所述，无理数共有个． 3．写出一个比3大的正无理数__________． 【详解】解：是正无理数，且，满足题意要求． 4．在，，，（每两个之间的个数依次增加），，中，无理数的个数有______个． 【详解】解：是整数，属于有理数； 是分数，属于有理数； ，是整数，属于有理数； （每两个之间的个数依次增加）是无限不循环小数，是无理数； 是无限不循环小数，是无理数； 是开方开不尽的数，是无理数； 无理数有个． 题型2 实数的分类 【例1】把下列各数填入相应的大括号内： ，，，0.5，，3.14159265，，1.3030030003…（两个3之间依次增加一个0）． 有理数：｛                                ｝； 无理数：｛                                ｝； 整数：｛                                  ｝； 负实数：｛                                ｝． 【详解】解：有理数：； 无理数：； 整数： 负实数：． 【知识归纳】 1. 3表示3与的乘积，还是个无理数； 2. 负实数包括负有理数和负无理数； 3. 无意义既不是有理数也不是无理数。 【变式练习】 1．在实数：，，，，，，中整数有________，分数有________，无理数有________． 【详解】解：， 整数是正整数、零、负整数的统称， 整数有：，，； 分数包括有限小数与无限循环小数， 分数有：，； 无理数是无限不循环小数， 无理数有：，. 2．把下列各数写入相应的括号中：、、、、、（两个1之间依次增加一个7）． (1)正实数：{ }； (2)负实数：{ }； (3)有理数：{ }； (4)无理数：{ }． 【详解】（1）正实数：{，，，（两个1之间依次增加一个7）}； （2）负实数：{，}； （3） 有理数：{，，}； （4）无理数：{，，（两个1之间依次增加一个7）}． 3．把下列各数的序号填在相应的大括号内：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦⑧；⑨（每两个2之间依次增加1个0）； 整数{                     } 分数{                     } 有理数{                     } 无理数{                     } 【详解】解：，， 整数：{①}， 分数：{③⑤⑥⑧}， 有理数：{①③⑤⑥⑧}， 无理数：{②④⑦⑨}． 题型3 无理数大小的估算 【例1】阅读材料：材料一：对于一个正无理数N，总能找到唯一的整数k，使得．我们称k为N整数部分，为N的小数部分．例如：，所以的整数部分是1，小数部分是． 材料二（线性插值法）：估算无理数的近似值，我们可以利用“夹逼法”和“线性插值”．例如，估算（结果精确到0.01）： 1.夹逼定位整数部分：先找到两个相邻整数13、14，使，所以，即的整数部分13． 2.线性插值确定小数部分：的小数部分可近似用180在区间内线性比例表示．即的小数部分，（精确到0.01） 因此． 利用材料一 (1)基础应用：直接写出的整数部分是______，小数部分是______； (2)综合求值：已知，其中a为整数，且，求的值； (3)利用材料二近似估算：估算的近似值，结果精确到0.01，并写出估算过程． 【详解】（1）解:∵，， 又∵， ∴， ∴的整数部分为，小数部分为． （2）解:∵，， 又∵， ∴， ∴， ∴的整数部分， 又∵， ∴， ∴． （3）解:∵，， 又∵， ∴， ∴的整数部分为， 又∵的小数部分， ∴的小数部分， ∴． 【变式练习】 1．若n为正整数，且满足，则n=_____． 【详解】解：∵， ∴， ∵为正整数，且满足， ∴． 2．对于无理数，因为，所以的整数部分是1，小数部分是．请仿照上面的方法解答下列问题： (1)的整数部分是__________，小数部分是__________； (2)已知是的整数部分，是的小数部分，求的值． 【详解】（1）解：根据题意可得， ， 则的整数部分是：，小数部分是； （2）解：， 即， ， 的整数部分为11，小数部分为， 即． ． 3．阅读下列材料： ∵ ，即：； ∴ 的整数部分为1，小数部分为． 请根据材料提示，进行解答： (1)的整数部分是________，小数部分是_________； (2)若，其中：a是整数，．求的值． 【详解】（1）解：∵，即； ∴的整数部分是3，小数部分是； （2）解：∵，即； ∴ 故的整数部分是15，小数部分是； 故； 故． 题型4 实数的大小比较 【例1】将下列各数近似地表示在数轴上，并把它们按从小到大的顺序排列，用“”号连接． ，，， 【详解】解：∵，，， ∴， 在数轴上表示各数如图： 由数轴可知：． 【例2】比较大小：________（填“”“”“”）． 【详解】解：两个分数分母均为，且均为正数，因此只需比较分子大小. ， ． 【例3】比较大小：______． 【详解】解：①， ∴． ∴-． 【知识归纳】——实数的大小比较 （1）利用数轴比较大小：数轴上右边的数总大于左边的数； （2）比差法：若，则； （3）平方法：若，则 【变式练习】 1．下列选项中，可以用点表示的是（    ） A． B． C． D． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴点表示在和之间，如图： ， 故选：A． 2．与数轴上的点一一对应的是（   ） A．整数 B．有理数 C．无理数 D．实数 【详解】解：根据题意，得数轴上的点与实数是一一对应的． 故选：D． 3．如图，是硬币圆周上一点，硬币与数轴上数所对应的点紧靠着（与数所对应的点重合）．假设硬币的直径为个单位长度，若将硬币按如图所示的方向滚动（无滑动）一圈，点恰好与数轴上点重合，则点对应的实数是（   ） A． B． C． D． 【详解】解：∵硬币的直径为个单位长度， ∴硬币的周长为个单位长度， ∵ 与数所对应的点重合， ∴点对应的实数是，即， 故选：． 4．如图，数轴上点表示的数可能是（    ） A． B． C． D． 【详解】解：如图，设M点表示的数为x，则， ∵，，， ∴符合x取值范围的数为，， 又∵M点更靠近， ∴点M表示的数可能是． 5．比较大小：____2（填“”“”或“”）． 【详解】解：，， 且，， 又， . 6．已知七个实数，，4，，，0，其中五个数已在数轴上分别用点、、、、表示． (1)点表示数______，点表示数______，点表示数_____，点表示数______； (2)用圆规在数轴上准确地表示数（提示：注意观察正方形的面积）； (3)将上面7个数分别填入相应括号的横线上． 整数：{ …}； 分数：{ …}； 无理数：{ …}． 【详解】（1）解：根据A、B、C、D在数轴上的位置可知，点A表示数0，点B表示数，点C表示数，点D表示数， 故答案为：0，，，； （2）解：如图所示： ； （3）解：整数：{4，0，…}； 分数：{，…}； 无理数：{，…}． 7．小云的作业中有一道题目如下： 请画出数轴并把实数，π，，－4，，在数轴上表示出来，再把这6个数用“＜”连接． (1)下图是小云画的数轴和标出来的4个无理数，你认为表示的是点________． (2)请你帮助小云完成剩下的任务． 【答案】(1)C (2)见解析 【分析】本题考查了实数与数轴的对应关系及实数的大小比较，掌握估算无理数的取值范围，结合数轴上点的位置和实数大小比较规则是解题的关键． （1）先估算​的取值范围，再确定它在数轴上的对应点； （2）先化简绝对值、估算无理数的近似值，再根据实数大小比较规则，将个数按从小到大的顺序连接． 【详解】（1）解： 因此在数轴上位于和之间，对应点． （2）解：将个实数在数轴上表示出来如图所示． 由图可知，． 题型5 实数的计算 【例1】如图，已知点A表示的数为，点A向右平移3个单位长度到达点B． (1)点B表示的数为 ； (2)在数轴上还有C，D两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数，求的平方根． 【详解】（1）解：设点B表示的数为x， ∵点A表示的数为，， ， ∴点B表示的数是， 故答案为：； （2）解：∵与互为相反数， ∴， ， ∴，， 解得：，， ∴ ， ∴的平方根是． 【例2】）实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如下图所示． (1)用“”“”或“”填空：b_____0，_____0，_____0； (2)化简：． 【详解】（1）解：由数轴知：，且， 则， ∴，， 故答案为：；；； （2）解：∵，， ． 【例3】（1）计算：． （2）求式中的值：． 【答案】（1）；（2）或． 【分析】本题主要考查了实数混合运算，利用平方根解方程，解题的关键是熟练掌握相关的定义和运算法则． （1）根据算术平方根定义，乘方运算法则，绝对值意义进行求解即可； （2）利用平方根的定义求解即可． 【详解】解：（1） ； （2）， 开平方得：， 解得：或． 【知识归纳】 1. 实数 a 的相反数是 a . 2. 一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 【变式练习】 1．计算：（   ） A．4 B． C． D． 【详解】解：． 3．计算的结果是（    ） A． B． C． D．2 【详解】解：∵ ∴ 则 ∴原式． 3．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【详解】解：A、，正确，符合题意； B、，原计算错误，故不符合题意； C、，原计算错误，故不符合题意； D、与，不能合并，原计算错误，故不符合题意； 故选：A． 4．计算： ________． 【详解】解：． 5．计算：______． 【详解】解：． 6．阅读理解：因为，即，所以的整数部分为2，小数部分为．请解答下列问题： (1)如果的整数部分为，小数部分为，求的值； (2)已知：，其中是整数，且，求的相反数． 【详解】（1）解：∵，即， ∴，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴，， ∴， ∴的相反数是． 7．已知的平方根是，的立方根是3，m是的算术平方根． (1)填空：______，______，______； (2)求的平方根； (3)若m的整数部分是x，小数部分是y，求的值． 【详解】（1）解：的平方根是， ， 解得； 的立方根是， ， ， 解得； 是的算术平方根， ， ． （2）解：， 的平方根为． （3）解：由（1）得， ， ， 的整数部分，小数部分， ． 8．如图，将面积分别为3和2的两个正方形放在数轴上，使每个正方形的一个顶点和原点O重合，一条边恰好落在数轴上，另一个顶点分别为数轴上的点A和点B． (1)点A表示的数为________；点B表示的数为________，线段的长度为________； (2)一只蚂蚁从点B沿数轴向左爬了3个单位长度到达点C，则点C表示的数________； (3)求的值． 【详解】（1）解：由题意得，点A到原点的距离等于面积为3的正方形边长，即为，点B到原点的距离等于面积为2的正方形边长，即为， 又∵点A在原点左侧，点B在原点右侧， ∴点A表示的数为，点B表示的数为， ∴； （2）解：由题意得，； （3）解：∵， ∴ ． 一、单选题 1．与最接近的整数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：，， 又， 即， ，，且 ， 更接近，选项符合题意． 2．下列各数中最小的数是（） A．1 B． C． D．0 【答案】B 【分析】根据实数的大小比较法则进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即最小的数是． 3．下列四个数中，比小的数是（    ） A． B．0 C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴， ∴比小的数是． 4．下列四个数中，无理数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：是开方开不尽的数，是无限不循环小数，∴是无理数． 是有限小数，属于有理数； ，是整数，属于有理数； 是分数，属于有理数． 因此只有A选项是无理数． 5．下列四个实数中，比大的无理数是（    ） A． B．0 C． D． 【答案】C 【详解】解：选项A．是分数，属于有理数，不符合要求，排除； 选项B．是整数，属于有理数，不符合要求，排除； 选项C．是无限不循环小数，属于无理数，且，满足所有条件； 选项D．是无理数，但，不满足要求，排除． 6．如图，数轴上点A表示的数是，点A与点B到原点的距离相等，则点B表示的数是（     ） A． B．0 C． D．25 【答案】C 【详解】解：点A、B到原点距离相等，则两数互为相反数， 而 的相反数是， ∴点B表示的数是. 7．在，0，，，3.14，，，0.202002000…实数中，无理数有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【分析】根据无理数定义（无限不循环小数是无理数），逐个判断给定实数，统计无理数个数得到结果，常见无理数包括含π的数、开方开不尽的数、无限不循环小数三类． 【详解】∵是分数，0是整数，3.14是有限小数，是整数，以上都属于有理数； 又∵中π是无限不循环小数， ∴是无理数， ∵开平方开不尽，是无限不循环小数， ∴是无理数， ∵开立方开不尽， ∴是无理数， ∵0.202002000…是无限不循环小数， ∴是无理数， 是分数、0是整数、3.14是有限小数、是整数，这些都是有理数， ∴无理数共有4个． 8．已知，则实数m的范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先确定的取值范围，再求出的取值范围，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 即； 则， ∴， 即． 9．估计的值应在（     ） A．到之间 B．到之间 C．到之间 D．到之间 【答案】D 【分析】先估算的取值范围，再利用不等式性质得到的范围，即可确定结果． 【详解】解：， ，即， ，即， 的值在到之间． 10．下列各数中，绝对值最大的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出每个选项中数的绝对值，再比较绝对值的大小，即可得到答案． 【详解】解：先计算各数的绝对值：，，， ∵ ∴ 绝对值最大的是． 二、填空题 11．的相反数是______，的绝对值是______． 【答案】 【详解】解：的相反数为. ， ，则 ． 12．比大小：___________3（填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】比较两个正实数的大小，可采用平方法，将两数分别平方后，比较平方结果的大小，平方结果更大的原数更大，据此即可求解. 【详解】解：，，且，， 又， . 13．的整数部分为________． 【答案】6 【分析】先确定介于哪两个连续整数之间，即可得到它的整数部分． 【详解】解：∵， ∴，即， 因此的整数部分为6． 14．比较大小：____（填“”或“或”）． 【答案】< 【分析】本题考查负数的大小比较，解题思路为先求出两个负数的绝对值，比较绝对值的大小，再根据“两个负数比较大小，绝对值大的数反而小”得到结果． 【详解】解：∵ ，，， ． 15．若为正整数，且满足，则________． 【答案】 【分析】先估算无理数的取值范围，再得到的取值范围，结合为正整数和已知不等式即可求出的值． 【详解】解：，， ， ∴ ， ∴ ， 为正整数，且满足 ， ． 16．如图，面积为7的正方形的顶点A在数轴上，且点A表示的数为1，以A为圆心，长为半径画弧，交于A右侧数轴于点E，则点E所表示的数为___________． 【答案】/ 【分析】根据题意得出，结合数轴即可求解． 【详解】解：正方形的面积为， 正方形的边长为， 则由题意可知， 点表示的数为， 点所表示的数为． 三、解答题 17．如图，在数轴上近似地表示下列各数，并用“<”把这些数连接起来． ，，，， ∴______<______<______<______<______． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查算术平方根和数轴，在数轴上右边的点所表示的数比左边的点所表示的数大． 【详解】，， ∴ 18．把下列各数分别填到相应的横线上（只填编号即可）． ，，，，，，（每两个之间多一个），，． 属于整数的有：________________________； 属于有理数的有：________________________； 属于无理数的有：________________________． 【答案】；； 【分析】本题考查了实数的分类，解题的关键是掌握实数的分类，实数是有理数和无理数的统称，有理数是整数和分数的统称，无限不循环小数叫做无理数．根据整数、有理数、无理数的定义逐个数进行判断即可． 【详解】解：是无限循环小数，故不是整数，是有理数； ，是整数，也是有理数； 是有限小数，是有理数， 是无限不循环小数，所以也是无限不循环小数，故是无理数； ，是整数，也是有理数； 是整数，也是有理数； （每两个之间多一个）是无限不循环小数，故是无理数； 是分数，故是有理数； 是开方开不尽的数，是无限不循环小数，故是无理数． 综上，属于整数的有：； 属于有理数的有：； 属于无理数的有：． 故答案为：；；． 19．某小区有一个的长方形场地，且长和宽之比为3：2． (1)求这个长方形场地的长和宽分别是多少m？ (2)小区准备把这个长方形场地用实木棚栏围起来．小区原有可以围成的正方形场地的实木栅栏未使用，那么这些实木栅栏是否够用？并说明理由．（参考数据：） 【答案】(1)这个长方形场地的长为，宽为 (2)这些实木栅栏够用，理由见解析 【分析】本题主要考查了算术平方根，正方形和长方形的面积、周长，根据题意设出合适未知数，依据相等关系列出方程，是解题的关键． （1）设这个长方形场地宽为，则长为，根据面积为，列式进行计算即可得到答案； （2）先求出正方形的边长，再求出正方形、长方形的周长，进行比较即可得到答案． 【详解】（1）解：设这个长方形场地宽为，则长为， 由题意有：， 解得：， 表示长度， ， ， ， 答：这个长方形场地的长为，宽为； （2）解：正方形棚栏的面积为， 正方形棚栏的边长为：， 正方形棚栏的周长为：， 这个长方形场地的周长为：， ， ， 这些实木棚栏够用． 20．大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，但是由于，所以的整数部分为1，将减去其整数部分1，差就是小数部分，为． (1)的整数部分是______，小数部分是_______． (2)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值． 【答案】(1)4； (2)1 【分析】本题考查了无理数的估算，理解题意是解题的关键． （1）先估算的大小，即可得出答案； （2）估算无理数、的大小，确定a、b的值，再代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴的整数部分是4，小数部分是； 故答案为：4；； （2）解：∵， ∴的小数部分为， 即， ∵， ∴的整数部分为3， 即， ∴． 21．“作差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法，即 例如：比较与6的大小． 解： ，即， (1)直接写出的整数部分 (2)请根据上述方法解答以下问题：比较与的大小． 【答案】(1)5 (2) 【分析】本题考查了无理数的大小估算、实数的大小比较，熟练掌握无理数的估算是解题的关键． （1）根据无理数的估算得出，即可求解； （2）作差可得，根据无理数的估算得出，则有，即可得出结论． 【详解】（1）解：， ， 的整数部分为5． （2）解：， ， ， ， ． 22．课堂上，老师出了一道题：比较与的大小．小明的解法如下： 解：． ， ． 我们把这种比较大小的方法称为作差法．请仿照上述方法，比较下列各组数的大小： (1)和； (2)和 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了实数大小的比较，熟练掌握实数大小的比较方法，是解题的关键． （1）先求出，然后根据，即可得出答案； （2）先求出，然后根据即可得出答案． 【详解】（1）解： ． ， ， ． （2）解： ． ， ， ， ． 23．观察图形，每个小正方形的边长为1． (1)则图中阴影部分的面积是 ，边长是 ． (2)已知阴影正方形的边长为x，且，若a和b是相邻的两个整数，那么 ， ． (3)若设图中阴影正方形的边长为x，请在下面的数轴上准确地作出数x所表示的点，若还有一个点B与它的距离为1，则这个点B在数轴上所表示的数为 ．      【答案】(1)10， (2)， (3)图见解析， 【分析】（1）先利用大正方形的面积减去四个小直角三角形的面积即可计算得出阴影部分的面积，再计算其算术平方根即可得出阴影部分的边长； （2）利用无理数的估算得出，即可求得a、b的值； （3）由题意知，阴影部分的边长是边长为3和1的直角三角形的斜边长，作边长为3和1的直角三角形，再以原点为圆心，斜边长为半径画弧交数轴的正半轴于点A，由于斜边长为，则A点表示的数为，然后把加上或减去1得到B点表示的数． 【详解】（1）解：∵图中阴影部分的面积为， 所以图中阴影部分的边长为； 故答案为：10；； （2）解：∵， ∴， ∵，且a和b是相邻的两个整数， ∴； 故答案为：3，4； （3）解：如图，点A为所作， B点表示的数为或． 【点睛】本题考查了算术平方根的应用，无理数的估算，实数与数轴．解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 24．如图，将面积分别为10和5的正方形纸片放在数轴上，使正方形的一条边恰好落在数轴上，一个顶点与原点重合，其另一个顶点分别在数轴上的点A和点B处． (1)点A表示的数为_______；点B表示的数为_______． (2)请你阅读以下材料，并完成作答： ， ， 的整数部分为2，小数部分为． 根据以上材料可得点B所表示的数的整数部分为_______，小数部分为_______． (3)小星想用面积为10的正方形纸片裁出一块面积为6的长方形纸片，且它的长与宽的比为，他能裁出来吗？请帮他判断并说明理由．（参考数据：，．） 【答案】(1)， (2)2， (3)他不能裁出来，理由见详解 【分析】本题考查了无理数的估算，实数与数轴，算术平方根的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据面积分别为10和5的正方形纸片，得边长为，再运用数形结合思想，即可作答． （2）模仿题干过程，则，即的整数部分为2，小数部分为，即可作答． （3）先列式，则，则长方形纸片的长为，根据，，故，进行作答即可． 【详解】（1）解：∵将面积分别为10和5的正方形纸片放在数轴上，使正方形的一条边恰好落在数轴上，一个顶点与原点重合，其另一个顶点分别在数轴上的点A和点B处． 则面积分别为10和5的正方形纸片的边长为． ∴ ∴点A表示的数为；点B表示的数为， 故答案为：，； （2）解：由（1）得点B表示的数为， 依题意，， ， 的整数部分为2，小数部分为． ∴点B所表示的数的整数部分为2，小数部分为； 故答案为：2，； （3）解：他不能裁出来，理由如下： 依题意，设长方形纸片的长为， ∵一块面积为6的长方形纸片，且它的长与宽的比为， ∴宽为，， 则， ∴（负值已舍去） 则长方形纸片的长为， ∵， ∴， 依题意，面积为10的正方形纸片的边长为，且 ∵ 即， ∴他不能裁出来． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $