2025-2026学年沪教版五四制八年级数学下册期末提分卷

**基本信息** 沪教版五四制八年级数学期末提分卷，聚焦函数、几何与实际应用，通过王大爷散步图像、体育器材采购等情境，考查抽象能力、几何直观与模型意识，体现数学眼光、思维与语言的综合运用。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|函数自变量取值、几何角度计算、反比例函数性质|结合物理支撑架垂直情境考查几何角度，体现跨学科联系| |填空题|6/18|一次函数交点象限、图形平移、矩形折叠|动态平移与函数参数范围结合，层次分明| |解答题|8/72|反比例函数综合、平行四边形证明、应用题、折叠探究|体育器材采购题考查模型意识，折叠探究题（正方形到平行四边形）梯度提升，契合中考命题趋势|

2025一2026学年沪教版五四制八年级数学下册期末提分卷 一、单选题（本大题共10小题.每小题3分.共计30分） 1.函数y=r+3+x+2°中，自变量x的取值范围是() A.x≥3且x≠-2 B.x≥3且x≠0 C.x2-3且x≠-2 D.x2-3且x≠0且x≠-2 2.王大爷饭后出去散步，从家出发，走20min到离家900m的公园，在公园休息了10min后， 用l5min返回家中.下面各图中，表示王大爷离家距离y(单位：m)与离家时间x(单位： min)之间的关系正确的是() y/m ym 900 900 20 40 60x/min 204060xmim y/m ym 900 900 D 3050衣min 2030 45 /min 3.如图是物理学中的一幅示意图，其中支撑架AD与AB互相垂直，且∠ABC=70°， BC⊥CD,CE∥AD,则∠DCE的度数是() E A.100° B.110 C.120° D.130° 4.已知点A(x,y),B(x,y,为反比例函数y=图象上的两个不同的点，，>0，则 24的值为(） x2-X1 A.0 B.正数 C.负数 D.非负数 试卷第1页，共3页 5.在同一平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b(a≠0)与y=x+n(m≠0)的图象如图所 示，则下列结论错误的是() -4-3-212 y-mxin -3 y-ax+b B.方程组 y-ax=b x=-3 A.由图象可知b<n 的解为 y-mx=n y=2 C.方程ax+b=-2的解为x=0 D.当x>-3时，ax+b>mx+n 6.如图，点P为平行四边形ABCD内任意一点，连接PA、PB、PC、PD,如果将aPAB. △PBC、△PDC、△PDA的面积分别记为S、S2、S、S4,那么以下结论正确的是() A.S=Sa B.S+S2=S3+S C.S,+S,=S2+S4 D.S+S=S2+S3 了.如图，点4，D分别在函数上<0>0的图象上，点B,C在x轴上 点E在线段BC上时，若AD∥BC,则ADE的面积为() A.2 B.3 C.4 D.6 8.如图，把一个含有45°角的三角尺ABC放在平面直角坐标系中，若点A的坐标是(-2,4) ,点B的坐标是(2，-2)，则点C的坐标是() 试卷第1页，共3页 A.(5,7) B.(8,4 C.(4,6) D.（4,8 9.已知x为实数，设d=Vx2+6x+25-√2-2x+5,则d的最大值是() A.2√2 B.2√5 C.5 D.6 10.如图，在矩形ABCD中，∠BEC=45°，EG⊥BC,且AE=3,DE=2,则EG的长为 () G A.5 B.5.5 C.6 D.45 二、填空题（本大题共6小题.每小题3分.共计18分） 11.如图，直线y=-2x+4与直线y=x+b的交点在第四象限，则b的取值范围是 v=x+b v=-2x+4 12.关于x的函数y=-x+b,当x≤1时，y>2,则b的值可以为 13.如图，在平面直角坐标系中，ABC的顶点B,C在y轴上，且AB=AC,点A,B的 坐标分别为(-2，-1)，(0，-4).若将ABC依次沿x轴方向，y轴方向平移，使点A与点C重 合，则点B的对应点的坐标为 试卷第1页，共3页 B 14.如图，M为ABC的边BC的中点，AB=6,AC=9,BD⊥AD于点D,连接DM.若 AD为∠BAC的平分线，则MD的长为 D M 15.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=-x-1的图象与反比例函数y=化≠0)的图 《 象在第二象限内交于点A,与x轴交于点B,点C坐标为(0,3)，连接AC,BC,若 AC=BC,则ABC的面积为 16.如图，在矩形ABCD中，AD=2,AB=5,点O为边AB上一点，且A0=1,点E在 边CD上.将矩形ABCD沿OE折叠，若线段OC'恰好经过点D,则线段OE的长是 0 B 三、解答题（本大题共8小题.每题9分.共计72分） 17.按要求解答下列各题： (1)在平面直角坐标系中，己知点P(m-2,3m+6)在x轴上，求点P的坐标. (2)己知点P(m-2,3m+6)到坐标轴的距离相等，求点P的坐标. 试卷第1页，共3页 18.己知图中的曲线是反比例函数y=m-(m为常数)图象的一支. VA O B ()这个反比例函数图象的另一支在第 象限，常数m的取值范围是 (2)若该函数的图象任取一点A,过A点作x轴的垂线，垂足为B,当△OAB的面积为4时， 求反比例函数的解析式 19.己知：如图，在ABC中，D,E分别是边AB,AC的中点，连接DE.AF∥BC, 且Mr-9C,连接DF. B (I)求证：四边形AFDE是平行四边形； (2)如果AB=AC,∠BAC=60°，求证：AD⊥EF. 20.某中学计划采购甲、乙两种型号的体育器材，己知甲型器材的单价比乙型器材的单价少 40元，用4800元购买甲型器材的数量和用6000元购买乙型器材的数量相同 (1)求甲、乙两种型号的体育器材的单价分别是多少元？ (2)该学校计划采购甲、乙两种型号的体育器材共30台，且甲型器材的购买数量不超过乙型 器材的购买数量的2倍，购买甲型器材多少台时采购费用最少？最少采购费用是多少元？ 21.如图，在平面直角坐标系中，已知点Aa,0)、B(b,0)和C(0,3),（a+1)2+b-4=0, 将线段AB平移到CD的位置 40 B 备用图 试卷第1页，共3页 (1)求点D的坐标； (2)点P为y轴正半轴上一动点，连接PD,PB. ①当点P在线段OC上时，求证：∠DPB=∠PDC+∠PBA: 当SPm=S边c时，求点P的坐标，此时∠DPB、∠PDC和∠PBA有何数量关系 直接写出它们的关系，不需证明. 22.如图，在平面直角坐标系x0y中，一次函数y=:+b与反比例函数y=m(x>0)的图象 交于点A1,6),B(n,2). (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2②)将直线AB向下平移a个单位长度后与x轴、y轴分别交于E,F两点，当EF=AB时， 求a的值； (3)若点P在y轴上，当△PAB的周长最小时，求点P的坐标. 23,如图1，在平面直角坐标系中，直线y=2x+6与x轴交于点A,与y轴交于点B,点C 在y轴上，点D在x轴正半轴上，且OA=OD,点E(-1,m)是直线CD与线段AB的交点. VA B A 图1 图2 (①)求直线CD的解析式： 试卷第1页，共3页 1 (2)若F为直线AB上一动点，连接FC,FD,当SADF=SADE时，求点F的坐标； 2 (3)如图2，连接AC,在直线AC上是否存在动点M,使得∠CDM+∠ABC=∠BCE,若存 在，请直接写出点M的坐标，若不存在.请说明理由. 24.【问题情境】 已知在四边形ABCD中，E为边AD上一点（不与点A,D重合），连接BE,将△ABE沿BE 折叠得到△FBE,点A的对应点为点F. E D E E 1111111 B 图① 图② 图③ 【问题解决】 (I)如图①，若四边形ABCD是正方形，点F落在对角线BD上，连接AF并延长交CD于点G ·求LDGA的度数； 【拓展变式】 (2)如图②，若四边形ABCD是矩形，点F恰好落在AB的垂直平分线MN上，MN与BE交 于点O.求证：F0=2M0; (3)如图③，若四边形ABCD是平行四边形，BC=2AB=8,∠ABC=60°，点F落在线段BC 上，点P为AB边上一点，连接DP,PF,DF,求DF的值. 试卷第1页，共3页 2025-2026学年沪教版五四制八年级数学下册期末提分卷 1、 单选题(本大题共10小题.每小题3分.共计30分) 1．函数中，自变量的取值范围是（    ） A．且 B．且 0 C．且 D．且 0且 【答案】D 【分析】本题考查函数自变量的取值范围，需同时考虑分式、根式和零指数幂的条件. 根据函数表达式，分式的分母不为零，平方根的被开方数非负，零指数幂的底数不为零，综合可得自变量取值范围. 【详解】解：∵ 函数 有意义， ∴ 需满足： (1) 平方根被开方数非负：，即 ； (2) 分式分母不为零：； (3) 零次幂底数不为零：，即 . 综上， 且 且 . 故选：D. 2．王大爷饭后出去散步，从家出发，走到离家的公园，在公园休息了后，用返回家中．下面各图中，表示王大爷离家距离y（单位：m）与离家时间x（单位：）之间的关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意将王大爷的运动过程分为三个阶段：去公园、在公园休息、回家，分别分析各阶段离家距离随时间的变化情况，确定关键的时间节点和图像走势即可． 【详解】解：王大爷从家出发走到离家的公园， 第一阶段图像为从上升到的线段； ∵在公园休息了， ∴第二阶段离家距离不变，时间从持续到，图像为平行于轴的线段； ∵用返回家中， ∴第三阶段离家距离从减小到，时间从持续到，图像为下降的线段； 观察各选项，只有D选项符合上述特征． 3．如图是物理学中的一幅示意图，其中支撑架与互相垂直，且，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由多边形内角和求出，再结合平行线的性质即可得出结果． 【详解】解：由题意可得：，， ∵， ∴， ∵， ∴． 4．已知点，为反比例函数图象上的两个不同的点，，则的值为（ ） A．0 B．正数 C．负数 D．非负数 【答案】C 【分析】利用反比例函数解析式得到，的表达式，代入所求分式化简，再根据已知判断化简结果的符号即可． 【详解】∵点，在反比例函数的图象上， ∴，， ∴， ∴ ∵， ∴，即原式的值为负数． 5．在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则下列结论错误的是（     ） A．由图象可知 B．方程组的解为 C．方程的解为 D．当时， 【答案】D 【分析】先观察直线与轴交点的位置在直线与轴交点的上方，得，可判断；再根据两条直线的交点可得方程组的解即可判断选项，然后根据直线与轴交点的坐标可判断；最后根据当时，直线在直线的下方，可判断． 【详解】解：、因为直线与轴交点的位置在直线与轴交点的上方， 所以，该选项正确，不符合题意； 、因为直线与直线的交点坐标是， 所以方程组的解为，该选项正确，不符合题意； 、因为直线与轴交点的坐标是， 所以方程的解为，该选项正确，不符合题意； 、由图象可知，当时，，该选项错误，符合题意． 6．如图，点P为平行四边形内任意一点，连接，如果将．、、的面积分别记为、、、，那么以下结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行四边形的对边相等可得，设点P到的距离分别为，平行四边形边，边上的高分别为，然后利用三角形的面积公式列式整理即可得出结论． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， 设点P到的距离分别为，平行四边形边，边上的高分别为， 则， ∴ ∵， ∴ 同理可得，， ∵， ∴． 7．如图，点A，D分别在函数 的图象上，点B，C在x轴上，点E在线段上时，若，则的面积为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】分别过点A，D作轴于点，轴于点，可得四边形是矩形，再根据求解即可． 【详解】解：如图，分别过点A，D作轴于点，轴于点， ∴ ∵， ∴四边形是平行四边形， 又轴，则 ∴四边形是矩形， 同理可得四边形为矩形， ∴ 8．如图，把一个含有角的三角尺放在平面直角坐标系中，若点A的坐标是，点B的坐标是，则点C的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点A作关于y轴平行的直线l，作交直线l于点E，作交直线l于点D，证明，得到，分别求出点C的横、纵坐标即可． 【详解】解：如图，过点A作关于y轴平行的直线l，作交直线l于点E，作交直线l于点D， 可知， ∵点A的坐标是，点B的坐标是， ∴点D的坐标是，， ∴， ∵把一个含有角的三角尺放在平面直角坐标系中， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，即， ∴点C的坐标是． 9．已知x为实数，设，则d的最大值是（   ） A． B． C．5 D．6 【答案】B 【分析】通过配方将二次根式转化为平面直角坐标系中动点到两定点的距离差的绝对值，利用三角形三边关系得到差的最大值为两定点间的距离，再用两点间距离公式计算即可得到结果． 【详解】解：首先对根号内的式子配方： ， 设在平面直角坐标系中，点，，，则． 根据三角形三边关系，可得，当且仅当在延长线与轴交点时，等号成立． 计算的长度： ． 的最大值为． 10．如图，在矩形中，，，且，，则的长为（     ） A．5 B．5.5 C．6 D． 【答案】C 【分析】构造正方形，作交于点，连接，证明，求得，，证明，则，设，则，则，，在中，利用勾股定理列式计算即可求解． 【详解】解；∵矩形，， ∴四边形和都是矩形， ∴，， 如图，延长到点，使，延长到点，使，则， ∵，矩形， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， 作交于点，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴，， 在中，由勾股定理得，即， 整理得， 解得，（舍去）， 则的长为6． 二、填空题(本大题共6小题.每小题3分.共计18分) 11．如图，直线与直线的交点在第四象限，则的取值范围是____________． 【答案】 【分析】先根据两直线相交的问题解方程组得到交点坐标为，再根据第四象限点的坐标特征得到，然后解不等式组即可． 【详解】解：解方程组得， ∴直线与直线的交点坐标为， ∵直线与直线的交点在第四象限， ∴， 解得：． 12．关于x的函数，当时，，则b的值可以为________． 【答案】4（答案不唯一） 【分析】当时，，结合图象可知：随着的减小而增大，要当时，，即要，即可找到b可以取的值． 【详解】解：当时，， 结合图象可知：随着的减小而增大， ∴当时，要使，则， ∴， ∴b的值可以为4（答案不唯一）． 13．如图，在平面直角坐标系中，的顶点，在轴上，且，点，的坐标分别为，．若将依次沿轴方向，轴方向平移，使点与点重合，则点的对应点的坐标为______． 【答案】 【分析】因为且B、C在y轴上，所以点A在的垂直平分线上，据此可求点C的坐标．由点A平移到点C，计算横坐标、纵坐标的变化量，得到平移规则．将点B的坐标按照该平移规则进行坐标变换，得到对应点坐标． 【详解】因为，都在轴上， 所以点在的垂直平分线上，中点的纵坐标与点的纵坐标相等． 设， 已知，， ， 解得，即． 平移后点与点重合， 平移规律为：横坐标加（向右平移2个单位），纵坐标加（向上平移3个单位）． 原，按规律平移得：横坐标，纵坐标， 因此对应点坐标为． 14．如图，为的边的中点，，，于点，连接．若为的平分线，则的长为____________． 【答案】 【分析】延长交于点，根据角平分线+垂直模型容易证明，进而得到，，根据三角形中位线定理得到，代入计算即可． 【详解】解：如图，延长交于点． 为的平分线，， ∴，， 又∵， ∴， ，， ∵， ∴ 为的中点，为的中点， ． 15．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象在第二象限内交于点A，与x轴交于点B，点C坐标为，连接，，若，则的面积为__________． 【答案】 【分析】根据和勾股定理列方程是解题的关键．求出点B的坐标为，设点A坐标为，根据得到，解方程并进一步即可得到点A坐标为，过点A作轴，结合图形，利用即可求解． 【详解】解：当时，， 解得， ∴点B的坐标为， ∵点C坐标为， ∴， 设点A坐标为， ∴ ∵， ∴， ∴， 解得（不合题意，舍去） ∴， ∴点A坐标为， 过点A作轴，如图所示： ∴， ∵点C坐标为，点B的坐标为， ∴， ∴ ∴ 16．如图，在矩形中，，，点O为边上一点，且，点E在边上．将矩形沿折叠，若线段恰好经过点D，则线段的长是________． 【答案】 【分析】根据矩形的性质得到，，，，可知，根据勾股定理得到，根据折叠的性质得到，，，，则，，可知即D为中点，延长交于N，证明，得到，，设，则，根据等角对等边得到，求出，过点作于点，则四边形为矩形，可知，，则，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵矩形中， ∴，，，， ∴， ∵， ∴ 在中， 由折叠的性质可知，，，，， ∴，， ∴，即D为中点， 延长交于N， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， 设， ∴， ∴，即， ∵， ∴， 即， 解得：， 过点作于点， 则四边形为矩形 ∴， ∵， ∴ 在中，． 三、解答题(本大题共8小题.每题9分.共计72分) 17．按要求解答下列各题： (1)在平面直角坐标系中，已知点在轴上，求点的坐标． (2)已知点到坐标轴的距离相等，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据题意得到，求出，然后求解即可； （2）根据题意得到，求出或，然后分情况求解即可． 【详解】（1）解：∵点在轴上， ∴ ∴ ∴ ∴点的坐标为； （2）解：∵点到坐标轴的距离相等 ∴ 解得或 当时，， ∴点的坐标为； 当时，， ∴点的坐标为． 综上所述，点的坐标为或． 18．已知图中的曲线是反比例函数(为常数)图象的一支． (1)这个反比例函数图象的另一支在第______象限，常数的取值范围是______． (2)若该函数的图象任取一点，过点作轴的垂线，垂足为，当的面积为时，求反比例函数的解析式． 【答案】(1)三， (2) 【分析】（1）根据反比例函数的性质可求得反比例函数的图象分布在第一、第三象限，所以即可求解； （2）设点，根据三角形的面积列方程即可求出反比例函数解析式． 【详解】（1）解：由图可知：这个反比例函数图象的另一支在第三象限， 这个反比例函数的图象分布在第一、第三象限， ， 解得； （2）解：设点， 轴， 点的坐标为， ， ， ，  反比例函数的解析式为． 19．已知：如图，在中，，分别是边，的中点，连接．，且，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)如果，，求证：． 【答案】(1)证明：∵，分别是边，的中点， ∴是的中位线， ∴，． ∵，． ∴，． ∴四边形是平行四边形． (2)∵，． ∴是等边三角形． ∴． 由，分别是边，的中点，得． ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形． ∴． 【分析】（1）根据中位线的性质得出，，然后结合题意及平行四边形的判定即可证明； （2）根据题意得出是等边三角形，再由中位线的性质确定，结合菱形的判定和性质即可证明 【详解】（1）略 （2）略 20．某中学计划采购甲、乙两种型号的体育器材，已知甲型器材的单价比乙型器材的单价少40元，用4800元购买甲型器材的数量和用6000元购买乙型器材的数量相同． (1)求甲、乙两种型号的体育器材的单价分别是多少元? (2)该学校计划采购甲、乙两种型号的体育器材共30台，且甲型器材的购买数量不超过乙型器材的购买数量的2倍，购买甲型器材多少台时采购费用最少?最少采购费用是多少元? 【答案】(1) 甲型号体育器材单价为160元，乙型号体育器材单价为200元． (2) 购买甲型器材20台时采购费用最少，最少采购费用是5200元． 【分析】（1）设甲型器材单价为未知数，因为甲型单价比乙型少40元，所以可以用含该未知数的式子表示乙型单价，如果用4800元买甲型的数量和6000元买乙型的数量相同，可根据数量相同的等量关系列分式方程求解； （2）设购买甲型器材的数量为未知数，因为总采购量为30台，所以可以用含该未知数的式子表示乙型器材的购买数量，根据“甲型数量不超过乙型数量的2倍”的条件，列不等式求出未知数的取值范围，设总采购费用为函数，结合甲、乙的单价，列出总费用关于甲型购买数量的一次函数，根据一次函数的单调性，在取值范围内求出费用最小值． 【详解】（1）解：设甲型器材单价为元，则乙型器材单价为元， ， 解得， 经检验，当时，， ∴是原方程的解， ∴乙型单价为元， 答：甲型号体育器材单价为元，乙型号体育器材单价为元． （2）设购买甲型器材台，总采购费用为元，则乙型器材购买台， ， 解得（为非负整数）， ， ∵， ∴随增大而减小， ∴当时，最小， ， 答：购买甲型器材20台时采购费用最少，最少采购费用是5200元． 21．如图，在平面直角坐标系中，已知点、和， ，将线段平移到的位置． (1)求点的坐标； (2)点为轴正半轴上一动点，连接，． ①当点在线段上时，求证：； ②当时，求点的坐标，此时、和有何数量关系？请直接写出它们的关系，不需证明． 【答案】(1) (2)①证明：如图，作， 由平移的性质得：， ， ∴，． ∵， ∴． ②点的坐标为， 【分析】（1）由平方和算术平方根的非负性可求得，的值，即可求出点，的坐标，再根据平移的性质即可求得点的坐标； （2）①作，则，可得 ，，根据即可求证；②设点的坐标为，，则，分两种情况讨论：当点在线段上时，，求出点的值，不符合题意，舍去；当点在线段的延长线上时，，求出点的值，即可得出点的坐标；过点作，则，可得，，根据，即可得出结论． 【详解】（1）解∵， ∴，． ，． ，． ∴． 由平移的性质得：，， ， ． （2）解：①略 ②∵， ∴． 设点的坐标为， 当点在线段上时，即， 则， 解得， ∵， ∴此种情况不成立． 如图，当点在线段的延长线上时，即， 则， 解得， ． 此时，． 如图，过点作， ∵， ， ∴，． ∵， ∴． 22．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点，． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)将直线向下平移a个单位长度后与x轴、y轴分别交于E，F两点，当时，求a的值； (3)若点P在y轴上，当的周长最小时，求点P的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)点P的坐标为 【分析】（1）根据已知条件列方程求得，得到反比例函数的表达式为，求得，解方程组即可得到结论； （2）将直线向下平移个单位长度后得直线的解析式为，得到，根据勾股定理即可得到结论． （3）如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于，则此时，的周长最小，根据轴对称的性质得到，得到直线的解析式为，当时，，于是得到点的坐标为； 【详解】（1）解：∵一次函数与反比例函数的图象交于点，， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为， ∴， ∴， ∴， 将，代入一次函数，得， 解得， ∴一次函数的解析式为． （2）解：∵将直线向下平移a个单位长度后与x轴、y轴分别交于E，F两点， ∴直线的解析式为， ∴，． 如图（1），过点A向x轴作垂线，过点B向y轴作垂线，两垂线交于点Q． ∵点，， ∴，， ∴． ∵， ∴， 解得：或． （3）解：如图（2），作点A关于y轴的对称点G，连接交y轴于点P，此时，的周长最小． ∵点， ∴． 设直线的解析式为 ， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为． 当时，， ∴点P的坐标为． 23．如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点在轴上，点在轴正半轴上，且．点是直线与线段的交点． (1)求直线的解析式； (2)若为直线上一动点，连接，，当时，求点的坐标； (3)如图2，连接，在直线上是否存在动点，使得，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在．请说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)存在，或 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的交点，割补法求三角形的面积，熟练掌握待定系数法，并运用数形结合是解题的关键． （1）根据题意易得，，从而可求出，由于点是直线与线段的交点，则，根据待定系数法求解即可； （2）根据题意可求得，设，根据割补法求三角形的面积即可求解； （3）根据待定系数法求出的解析式为，从而推得，，为等腰直角三角形，由推得，连接交于点，作关于的对称角，交于点，通过角度计算得此时，为所求，通过计算直线和直线的交点即可求出点的坐标，利用中点公式即可求解． 【详解】（1）解：令得，，解得，则， 令得，，则， ∵， ∴， ∵点是直线与线段的交点， ∴， ∴， 将，代入得， ，解得， 则直线的解析式为； （2）解：由（1）可知，直线的解析式为， 令得，，则， ∵，，， ∴， ∴， 设， 当在直线下方时，连接，如图， 当时， ， 则，解得，则， 当时，同理可得（舍去）， 当在直线上方时，连接，如图， 当时， ， 则，解得，即， 当时，同理可得，（舍去）； 综上所述，点的坐标为，； （3）解：存在， 由（2）可知，，， 将其代入得， ，解得， 则的解析式为， ∴，，为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 连接交于点，作关于的对称角，交于点， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即点，为所求， 设的解析式为 将，代入得， ，解得， 则的解析式为， 则，解得， 即， ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴, 综上，点的坐标为，． 24．【问题情境】 已知在四边形中，E为边上一点（不与点A，D重合），连接，将沿折叠得到，点A的对应点为点F． 【问题解决】 (1)如图①，若四边形是正方形，点F落在对角线上，连接并延长交于点G．求的度数； 【拓展变式】 (2)如图②，若四边形是矩形，点F恰好落在的垂直平分线上，与交于点O．求证：； (3)如图③，若四边形是平行四边形，，点F落在线段上，点P为边上一点，连接，求的值． 【答案】(1) (2)证明：∵四边形是矩形，垂直平分线段， ， 由折叠的性质可知：，， 取的中点H，连接， ， 是等边三角形， ， ， ， 又 ， ， ， ， ； (3) 【分析】（1）利用正方形性质，以及轴对称性质推出，再结合平行线性质求解，即可解题； （2）根据矩形性质，以及垂直平分线性质推出，由折叠的性质得到，取的中点H，连接，证明是等边三角形，结合等边三角形性质，等腰三角形性质，以及直角三角形性质求解，即可解题； （3）连接，由折叠的性质可知：，推出，为等边三角形，进而证明四边形是菱形，结合平行四边形性质证明四边形是平行四边形，推出，再利用勾股定理计算求解，即可解题． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ， 由折叠的性质可知：， ， ； （2）略 （3）解：连接， ， 由折叠的性质可知：，， 四边形是平行四边形， ， ， 由折叠的性质可知：， ， ，为等边三角形， ， ， ， ∴四边形是菱形， ， 在平行四边形中，， ， ∴四边形是平行四边形， ， ， ． . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $