安徽合肥市肥西县肥西宏图中学2025-2026学年高一下学期第二次段考数学试题

**基本信息** 高一年级数学段考卷以复数、向量、立体几何、解三角形为核心，通过基础选择、综合解答题梯度设计，考查空间观念、运算能力与推理意识，适配高一学段知识巩固与能力提升需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|复数相等、向量运算、立体几何公理|基础概念辨析，如第3题考查平面确定公理| |多选题|3/18|复数运算、向量与三角形、立体几何折叠|选项分层，如第11题矩形折叠多结论判断| |填空题|3/15|复数运算、异面直线所成角、向量线性表示|空间想象与符号表达，如第14题异面直线角| |解答题|5/77|复数纯虚数、旋转体表面积体积、向量与三角、立体几何垂直|综合应用，如第21题正三棱柱存在性问题，考查逻辑推理与空间观念|

2025-2026学年度（下）高一年级第二次段考 数 学 试 卷 考试时间：120分钟 试卷分值：150分 第I卷（选择题） 一、单选题（本题共8小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知x，y∈R，且3x＋i＝2＋yi，则x，y的值分别为 【 】 A.1， B．4，1 C．，1 D．1，3 2. 若＝(1，2)，＝(－1，1)，则＝ 【 】 A．(2，－1) B．(2，1) C．(－1，2) D．(－2，－1) 3. 下列说法正确的是 【 】 A.三点确定一个平面 B.一条直线和一个点确定一个平面 C.圆心和圆上两点确定一个平面 D.两条相交直线确定一个平面 4. 已知一个平面图形OABC的直观图是边长为1的正方形O′A′B′C′，如图所示，那么在这个平面图形中AB＝ 【 】 A．3 B．2 C． D．1 5. 已知|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为，则a·b＝ 【 】 A．1 B．2 C．3 D．4 6. 若圆台上、下底面面积分别为π，4π，高为2，则圆台的侧面积为 【 】 A． B． 3π C． D． 7. 已知平面向量a，b满足|a|＝2，|b|＝4，且(a－2b)⊥a，则|a－b|＝ 【 】 A．5 B．4 C．3 D．2 8. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，B＝60°，最大边与最小边之比为(＋1)∶2，则最大角为 【 】 A．45° B．60° C．75° D．90° 二、多选题（每题6分，共18分，错选或多选不得分，少选得部分分） 9. 若复数z＝，则 【 】 A.z的共轭复数＝ B.＝ C.复数z的实部与虚部相等 D.复数z在复平面内对应的点在第四象限 10. 已知△ABC是边长为2的等边三角形，向量a，b满足＝2a，＝2a＋b，则 【 】 A．|b|＝2 B．a·b＝－2 C．(4a＋b)⊥ D．|a－b|＝1 11. 如图，四边形ABCD是矩形，沿对角线BD将△ABD折起到△A′BD，且A′在平面BCD上的射影O恰好在CD上，则下列结论正确的是 【 】 A.A′C⊥BD B．A′D⊥BC C.A′C⊥BC D．A′D⊥A′B 第II卷（非选择题） 三、填空题（每题5分，共15分） 12. ＝__________． 13. 若∠AOB＝120°，直线a∥OA，a与OB为异面直线，则a和OB所成的角的大小为__________． 14. 如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为边AB，BC的中点，连接CE，DF，交于点G.若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则＝________． 四、解答题（共77分） 15. (13分)已知复数z＝a2－a－2＋(a2－3a－4)i(其中i为虚数单位，a∈R). (1)若复数z为纯虚数，求a的值； (2)若复数z>0，求a的值． 16. (15分)在如图所示的直角梯形ABCD内挖去一个扇形，E恰好是梯形的下底边的中点，将所得平面图形绕直线DE旋转一周. (1)说明所得几何体的结构特征； (2)求所得几何体的表面积和体积． 17. (15分)已知向量a＝(3，2)，b＝(－1，2)，c＝(4，1). (1)求满足a＝mb＋nc的实数m，n； (2)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k. 18. (17分)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知b sin (＋A)＝a sin B. (1)求角A的大小； (2)已知a＝6，c＝2.求△ABC的面积． 19. (17分)如图，在正三棱柱ABC­A1B1C1中，AB＝AA1，D为AB的中点． (1)证明：AB⊥平面CC1D； (2)在C1D上是否存在点E，使得平面BCE⊥平面ABC1？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C D D A A B B C 题号 9 10 11 答案 ABD AC BCD 1. 已知x，y∈R，且3x＋i＝2＋yi，则x，y的值分别为(　　) A.1， B．4，1 C．，1 D．1，3 解析：选C .因为x，y∈R，且3x＋i＝2＋yi，则3x＝2，y＝1，解得x＝，y＝1. 2. 若＝(1，2)，＝(－1，1)，则＝(　　) A．(2，－1) B．(2，1) C．(－1，2) D．(－2，－1) 解析：选D.易知＝－＝(－1，1)－(1，2)＝(－2，－1). 3. 下列说法正确的是(　　) A.三点确定一个平面 B.一条直线和一个点确定一个平面 C.圆心和圆上两点确定一个平面 D.两条相交直线确定一个平面 解析：选D.对于A，空间中三个不共线的点确定唯一的平面，故A错误；对于B，一条直线以及直线外一点可以确定一个平面，故B错误；对于C，圆心和不与圆心在同一条直线上的两个点才可以确定一个平面，故C错误；对于D，两条相交直线可以确定一个平面，故D正确． 4. 已知一个平面图形OABC的直观图是边长为1的正方形O′A′B′C′，如图所示，那么在这个平面图形中AB＝(　　) A．3 B．2 C． D．1 解析：选A.如图，由直观图定义知，OA＝O′A′＝1，OB＝2O′B′＝2，所以AB＝＝3. 5. 已知|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为，则a·b＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选A.a·b＝1×2×cos ＝1. 6. 若圆台上、下底面面积分别为π，4π，高为2，则圆台的侧面积为(　　) A． B． 3π C． D． 解析：选B设圆台的上底面半径为r1，下底面半径为r2，因为圆台上、下底面面积分别为π，4π， 所以πr＝π，πr＝4π，解得r1＝1，r2＝2(负值已舍去)， 设圆台母线长为l，由勾股定理得l＝＝， 故圆台的侧面积S＝π(1＋2)＝3π. 7. 已知平面向量a，b满足|a|＝2，|b|＝4，且(a－2b)⊥a，则|a－b|＝(　　) A．5 B．4 C．3 D．2 解析：选B.因为(a－2b)⊥a，所以(a－2b)·a＝0⇒a·b＝|a|2＝2，所以|a－b|＝＝＝＝4. 8. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，B＝60°，最大边与最小边之比为(＋1)∶2，则最大角为(　　) A．45° B．60° C．75° D．90° 解析：选C.设C为最大角，则A为最小角，因为A＋C＝120°，所以＝＝＝ ＝×＋＝，所以＝1，所以tan A＝1.又因为A为锐角，所以A＝45°，C＝75°. 9. 若复数z＝，则(　　) A.z的共轭复数＝ B.＝ C.复数z的实部与虚部相等 D.复数z在复平面内对应的点在第四象限 解析：选ABD. z＝＝＝＝＝－. 对于A，＝＋＝，故A正确； 对于B，＝＝，故B正确； 对于C，z＝－，实部为，虚部为－，故C错误； 对于D，z＝－在复平面对应点的坐标为在第四象限，故D正确． 10. 已知△ABC是边长为2的等边三角形，向量a，b满足＝2a，＝2a＋b，则(　　) A．|b|＝2 B．a·b＝－2 C．(4a＋b)⊥ D．|a－b|＝1 解析：选AC.对于A，由题意可知，b＝(2a＋b)－2a＝－＝，则|b|＝||＝2，故A正确；对于B，a·b＝·＝||||cos 120°＝×2×2×＝－1，故B错误；对于C，(4a＋b)·＝(4a＋b)·b＝4a·b＋b2＝4×(－1)＋22＝0，则(4a＋b)⊥，故C正确；对于D，|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝1－2×(－1)＋4＝7≠1，即|a－b|≠1，故D错误． 11. 如图，四边形ABCD是矩形，沿对角线BD将△ABD折起到△A′BD，且A′在平面BCD上的射影O恰好在CD上，则下列结论正确的是(　　) A.A′C⊥BD B．A′D⊥BC C.A′C⊥BC D．A′D⊥A′B 解析：选BCD.因为四边形ABCD是矩形，且A′在平面BCD上的射影O恰好在CD上，所以A′O⊥平面BCD，又BC⊂平面BCD，所以BC⊥A′O，又BC⊥CD，且CD∩A′O＝O，CD，A′O⊂平面A′CD，所以BC⊥平面A′CD.因为A′D，A′C⊂平面A′CD，所以BC⊥A′D，BC⊥A′C.显然，由矩形ABCD，易知A′B⊥A′D，故B，C，D正确；假设A′C⊥BD，因为A′O⊥平面BCD，BD⊂平面BCD，所以A′O⊥BD.又A′C∩A′O＝A′，A′C，A′O⊂平面A′CD，所以BD⊥平面A′CD，因为CD⊂平面A′CD，所以BD⊥CD，显然不成立，所以假设不成立，故A错误． 12. ＝__________． 解析：易知＝＝＝1－i. 答案：1－i 13. 若∠AOB＝120°，直线a∥OA，a与OB为异面直线，则a和OB所成的角的大小为__________． 解析：因为直线a∥OA，a与OB为异面直线，所以∠AOB的补角即为a与OB所成的角，又∠AOB＝120°，所以a与OB所成的角的大小为60°. 答案：60° 14. 如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为边AB，BC的中点，连接CE，DF，交于点G.若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则＝________． 解析：由题图可设＝x(0<x<1)， 则＝x(＋)＝x(＋) ＝＋x. 因为＝λ＋μ，且与不共线， 所以所以＝. 答案： 15. (13分)已知复数z＝a2－a－2＋(a2－3a－4)i(其中i为虚数单位，a∈R). (1)若复数z为纯虚数，求a的值； (2)若复数z>0，求a的值． 解：(1)由于z为纯虚数， 所以解得a＝2. (2)由于z与0可以比较大小，所以z为实数，且z>0，所以解得a＝4. 16. (15分)在如图所示的直角梯形ABCD内挖去一个扇形，E恰好是梯形的下底边的中点，将所得平面图形绕直线DE旋转一周， (1)说明所得几何体的结构特征； (2)求所得几何体的表面积和体积． 解：(1)根据题意知，将所得平面图形绕直线DE旋转一周后， 所得几何体的上部分是圆锥，下部分是圆柱挖去一个半球体的组合体． (2)该组合体的表面积为S组合体＝S圆锥侧＋S圆柱侧＋S半球 ＝π×4×4＋2π×4×4＋×4π×42 ＝π， 该组合体的体积为V组合体＝V圆锥＋V圆柱－V半球 ＝×π×42×4＋π×42×4－××π×43＝. 17. (15分)已知向量a＝(3，2)，b＝(－1，2)，c＝(4，1). (1)求满足a＝mb＋nc的实数m，n； (2)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k. 解：(1)向量a＝(3，2)，b＝(－1，2)，c＝(4，1)， 若a＝mb＋nc，则 解得 (2)a＋kc＝(3＋4k，2＋k)，2b－a＝(－5，2)， 由(a＋kc)∥(2b－a)，得2(3＋4k)＝－5(2＋k)，解得k＝－. 18. (17分)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知b sin (＋A)＝a sin B. (1)求角A的大小； (2)已知a＝6，c＝2.求△ABC的面积． 解：(1)因为b sin ＝a sin B， 由诱导公式得b cos A＝a sin B， 由正弦定理得sin B cos A＝sin A sin B， 因为sin B≠0， 所以cos A＝sin A， 即tan A＝， 因为A∈(0，π)，所以A＝. (2)在△ABC中，由余弦定理 a2＝b2＋c2－2bc cos A， 得62＝b2＋(2)2－4b×， 整理得b2－2b－24＝0， 由b>0，解得b＝4， 所以△ABC的面积为S△ABC＝bc sin A＝×4×2×＝6. 19. (17分)如图，在正三棱柱ABC­A1B1C1中，AB＝AA1，D为AB的中点． (1)证明：AB⊥平面CC1D； (2)在C1D上是否存在点E，使得平面BCE⊥平面ABC1？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 解：(1)证明：由正三棱柱的定义可知△ABC是等边三角形，因为D为AB的中点，所以CD⊥AB，又CC1⊥平面ABC， AB⊂平面ABC，所以CC1⊥AB. 因为CC1，CD⊂平面CC1D，且CC1∩CD＝C， 所以AB⊥平面CC1D. (2)存在．在△CC1D中，作CE⊥C1D，垂足为E，连接BE. 由(1)知AB⊥平面CC1D， 所以AB⊥CE. 因为AB，C1D⊂平面ABC1， 且AB∩C1D＝D， 所以CE⊥平面ABC1. 因为CE⊂平面BCE， 所以平面BCE⊥平面ABC1. 设AA1＝2，则CC1＝2，CD＝3，故C1D＝. 因为S△CC1D＝CD·CC1＝C1D·CE，所以CE＝，则C1E＝＝，ED＝C1D－C1E＝，所以＝. 故在C1D上存在点E，使得平面BCE⊥平面ABC1，此时＝ 学科网（北京）股份有限公司 $