安徽省广德中学2025-2026学年高一下学期6月月考数学试题

数学试卷 一、单选题 1设2=品 则的虚部是() A B.- C. D.-0 2.己知向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示，用基底{a,b}表示c,则() A.c=2a-3b B.c=-2a-3b C.c=3a-2b D.c=-3a+2b 3.由斜二测画法得到的一个水平放置的三角形的直观图是等腰三角形，底角为30°，腰长为2，如图，那么它在原 平面图形中，顶点B到x轴的距离是() A A.2√2 B.2 c.√2 D. 2 4.设ā，6为单位向量，ā在6上的投影向量为}五，则3ā-=() A.5 B.22 c.5 D.8 5.购买手办盲盒是当下青年人的潮流之一，国产动漫手办越来越受欢迎若某种手办盲盒产品共有三种玩偶，任意一 种玩偶出现的概率相等，则购买3个盲盒能集齐3种玩偶的概率为() A司 B.9 C. D. 6.设m,n是两条不同的直线，a,B是两个不同的平面，下列说法正确的是（) A.若m/a,n//a,则m/m B.若a⊥B,mca,则m⊥B C.若anB=m,nca,n⊥m,则n⊥BD.若m⊥a,ml/n,ncB,则a⊥B 7.已知一灯罩呈圆台结构，上、下底皆挖空，上底半径为10cm,下底半径为18cm,母线长为17cm,侧面计划选 用丝绸材质布料制作，若不计制作布料的浪费，则制作两个这样的灯罩需要的丝绸材质布料面积为() A.476ncm2 B.564πcm2 C.800πcm2 D.952πcm2 第1页共4页 8.已知平面向量a,b,满足：回-1=4，且瓜-)·-)=-3，则呢·d+)的最小值为(） A是 B c.- D.-2 二、多选题 9.已知随机事件A、B发生的概率分别为P4=,P(B)=子，则() A若A与B互斥，则PAU副=贵 B.若A与B相互独立，则PAU)=是 C若AsB,则PAUB)=路 D.若PaB)=是，则事件万与B相互独立 10.已知复数z,z2,下列说法不一定成立的是（) A.若=，则z=z B.若z2+z22>0，则z12>-222 C.3-2s+ D.z-iz=z+iz 11.如图，点P是棱长为2的正方体ABCD-AB,CD,表面上的一个动点，则下列结论正确的是() A Di B A.当P在线段BC上运动时，DP⊥A,C B.当P在平面BCCB,上运动时，三棱锥P-AA,D的体积为定值4 C.当P在线段AC上运动时，DP与AC所成角的取值范围是 ππ 32 D.使直线AP与平面ABCD所成的角为45的点P~的轨迹长度为π+4V2 三、填空题 12.一组数据6,4，a,8,6,10,12的平均数为7，则该组数据的上四分位数为 13.图1为四门通天铜雕，有着“四方迎客、通达天下”的美好寓意如图2，某学习小组为测量其高度，在和它底部 O位于同一水平高度的共线三点A,B,C处测得铜雕项端P处的仰角分别为，买及且AB=BC=20m,则四门通 643 天的高度为m, 图1 图2 14.正三棱台高为1，上下底边长分别为3和6，所有项点在同一球面上，则球的表面积为 第2页共4页 四、解答题 15.某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市"知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为 样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[40,50)，[50,60)，，[90,100]， 得到如图所示的频率分布直方图、 频事/组距 0.025 0.020 0.015 0.010 0.005 405060708090100分数 (1)求频率分布直方图中a的值：(2)试估计样本成绩的众数和平均数： (3)已知落在[50,60)的平均成绩是54，方差是7，落在[60,70)的平均成绩为63，方差是4，求两组成绩合并后 的总平均数和总方差。 16.如图所示，正六棱柱ABCDEF-AB,CD,EF的底面边长为1，高为V. F D (I)证明：平面ADF/平面ABC:(2)求平面ADF与平面ABC间的距离. 17在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,三角形面积为S,若D为AC边上一点，满足AB⊥BD,BD=2, 且a2=-2 -S+abcosC. 3 0)求角B:②求2+月的取值范围， 第3页共4页 18.己知△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知c(2+cosB)=V3 bsinC,且AB=3,BC=I,BE是∠ABC 平分线，BE交AC于E. ()求BE的长 (2)延长BE至点D,使得BE=DE,连接AD,求CosLCAD. (3)若P是∠ABC平分线BE所在直线上一点，且满足PE=mPA+nPC(m,nER),若1≤n≤2，求PI的取值范围. 19.如图①，在等腰直角△ABC中，∠C=90°，AC=2,M,N分别是边AC,AB上的动点，将△AMN沿MN折 起到如图②aPMN的位置，连接PB,PC,且平面PMN⊥平面ABC. (M)C 图① 图② 图③ (1)当M.,N分别是边AC,AB的中点时： ①求证：平面PMC⊥平面PMN;②求二面角M-PN-C的正切值 (2)若点M与点C重合，如图③，设∠AMN=0,求三棱锥P-MNB体积的最大值. 第4页共4页广德中学2025级高一年级六月月考 数学试卷 命题人：孙东 审题人：蔡鹏 一、单选题 1.设z=1-2 则z的虚部是() A吉 B.吉 C.i D.-gi 【解1z=岛=高=a5=-号-5败-后专所以些部【谷关】A -i 2.已知向量，，c在正方形网格中的位置如图所示，用基底{a,b}表示c,则() A.c=2a-36 B.c=-2a-3b C.c=3a-26 D.c=-3a+2b 【详解】如图，建立平面直角坐标系，设正方形网格的边长为1，=AB,b=BC,c=CD, ↑y 则A(1,0),B(2,1),C(0,4),D(7,1),所以=(1,1)，b=(-2,3),c=(7,-3), ml-2n=7, m=3, 设向量c=十b,则c=a+nb=(0-21,m十3m)=(7,-3),所以 解得 m十+3n=-3, =-2, 所以c=3M-2b.故选：C. 3.由斜二测画法得到的一个水平放置的三角形的直观图是等腰三角形，底角为30°，腰长为2，如图，那么它在原 平面图形中，顶点B到x轴的距离是() y B A主 A.2√2 B.2 c.√2 D.② 2 B 【详解】 O'M 过8作y的平行线交于点，则号知∠BM=4行，由3弦定理可知HA-B,则-万. sin45°sin30° 由斜二测画法知：在原平面图形中，顶点B到x轴的距离是2BM=2√2.故选：A 4设ā，6为单位向量，ā在五上的投影向量为五，则ā-=() A.√5 B.2√2 C.5 D.8 【详解】由题意可得 65-于.且个价-1，则a6- 所以3ā-=3a-b)-9-6ā6+=5-2+1=25故选：B 5购买手办盲盒是当下青年人的潮流之一，国产动漫手办越来越受欢迎若某种手办盲盒产品共有三种玩偶，任意 一种玩偶出现的概率相等，则购买3个盲盒能集齐3种玩偶的概率为() A. B.9 c.月 D. 【详解】总情况数：每个盲盒有3种可能，3个盲盒的总情况数为27种， 符合条件的情况数：要集齐三种玩偶，需在3个盲盒中包含所有3种玩偶， 共有6种情况，则购买3个盲盒能集齐3种玩偶的概率为号=号故选：C 6.设m,n是两条不同的直线，，B是两个不同的平面，下列说法正确的是（) A.若m/a,n/a,则m/m B.若a⊥B,mca,则⊥B C.若anB=,nca,n⊥，则nLBD.若m⊥a,m/,ncB,则a⊥B 【详解】平行于同一平面的两条直线可能平行、相交或异面，故A错误； 当两个平面垂直时，一个平面内的直线只有垂直于交线才垂直于另一个平面，故B错误： a∩B=,nc&,nL,但n不一定垂直于平面B内的其他直线，故n不一定垂直于B,故C错误.若⊥，m/ /m,则nLa,又ncB,可得a⊥B,故D正确；故选：D. 7.己知一灯罩呈圆台结构，上、下底皆挖空，上底半径为10cm,下底半径为18cm,母线长为17cm,侧面计划选 用丝绸材质布料制作，若不计制作布料的浪费，则制作两个这样的灯罩需要的丝绸材质布料面积为() A.476πcm2 B.564πcm2 C.800πcm2 D.952πcm2 【详解】由题意可知制作这样两个灯罩需要的丝绸材质布料面积为2×π×(10+18)×17=952πcm2.故选：D. 8.已知平面向量a,b,满足：同-b=4,且石-·石-=-3，则忙：石+)的最小值为() A黄 B司 c-1 D.- 【解答】令CA=元，CB=五，C五=元，AB的中点为O,如图所示： a-=4,.CA-CB=BA=4,0为AB的中点，HA+HB=2HO,CA+CB=2C0 则a-)-6-)=A丽=丽+®'-(a-H]=H0-8A=-3, “H0=1,因此c·(a+=Cm(CA+cB=2cc0=(c+cO)-(Cm-co]=ci+co)-≥-2当 且仅当c丽+c0=O时，上式不等式可取等号，此时，a+取得最小值-子故选D. 二、多选题 9.己知随机事件A、B发生的概率分别为P(A)=子P(B)=号则() A若A与B互斥，则PAu8)-是 B若A与B相互独立，则PAUB)=8 C若A∈R,则PAUB)=是 D.若P8)=是则事件万与B相互独立 【解析】解：对于A项，因为A与B互斥，所以PAUB)=PA+PB)-+号点故A正确，对于B项，因为A与B相 互独立，所以PAB)=PAPB)=×号= 所以，PAUB)=PA+PB)-PAB)=+号-立-岩放B正确： 对于G项，因为A∈8，所以，PAU)-P8)-号≠吕赦C错误 对于D项，由PA-京可得PM=1-PA-是所以，PP(B)-星x号是=PAB,所以，事件A与B相互独 立故D正确.故选：ABD. 10.已知复数二，52，下列说法不一定成立的是() A.若=，则子=子 B.若z1+z22>0,则z12>-z22 C.5-≤+2 D.-i=+iz 【详解】对于A,设=1+2i,3=2+i,显然=2，但=-3+4i≠子=3+4i,故A错： 对于B,当z1=2十i,z2=2-i,虚数之间不能比较大小，故B错： 对于C,根据复数的几何意义可知，复数二1在复平面内对应向量OZ,复数2对应向量OZ,,复数加减法对应向 量加减法，故与-和5+分别为OZ,和OZ,为邻边构成平行四边形的两条对角线的长度，所以 5-≤+，故C对 对于D,-i=l-=2!a+i这1+i=√，故D正确故选：AB 11.如图，点P是棱长为2的正方体ABCD-AB,C,D,表面上的一个动点，则下列结论正确的是() D A B P D以- B A.当P在线段BC:上运动时，DP⊥A,C B.当P在平面BCC,B,上运动时，三棱锥P-AAD的体积为定值4 C.当P在线段AC上运动时，DP与AC所成角的取值范围是 ππ 3’2 D.使直线AP与平面ABCD所成的角为45的点P的轨迹长度为π+4√2 【详解】对于A,如图所示，连接AC,DP, ,ABCD为平行四边形，BD⊥AC,又AA⊥平面ABCD,BDC平面ABCD,∴.AA⊥BD, AC⌒AA=A,AC,AAC平面AAC,.BD⊥平面AAC,ACC平面AAC,∴.BD⊥AC, 同理可证BC1⊥AC,:BD⌒BC1=B,BD,BC1C平面BDC1,∴.AC⊥平面BDC1, :DPC平面BDC1,AC⊥DP,故A正确： D C A B D B 对于B,当P在平面BCC1B,上运动时，P点到平面AA1DD的距离为2， S.AD= 2×2-=2，所以408e0×2-号故B带误 1 对于C,如图所示，取AC中点H,连接DH,DA,DC,易知△ACD为等边三角形，故DH⊥AC. D A B D C P B 当P在线段AC上运动时，因为AC//A,C1,所以∠DPH或其补角为异面直线DP与A,C1所成角. 当P与H重合时，异面直线D,P与AC,所成角为 当P与H不重合时，因为an∠DPH=DH=y6 0<HP≤√2， HP HP 所以∠DPH≥V5,所以∠DPH≥号，所以异面直线DP与4G所成角的范国为 32 故C正确： 对于D,如图所示， D A B E B 当直线AP与平面ABCD所成的角为45°时，因为∠B,AB=45°，所以P不可能在四边形B,BCC1内(B,除外)： 同理P不可能在四边形CCDD,内(D除外)，P在平面ABB,A与平面ADDA的运动轨迹为线段AB,和AD, 且AB,=AD,=2√2；当P在平面AB,CD时，作PE⊥平面ABCD,垂足为E,连接AE, 因为∠PAE=45°，所以AE=EP=2=AP,所以P在四边形AB,C,D上的轨迹是以A为圆心，以2为半径的 圆的耳所以P点的轨迹长度为：4W2+子×2m×2=4反+π，放D正确.故选：ACD 三、填空题 12.一组数据6,4，，8,6,10,12的平均数为7，则该组数据的上四分位数为 【详解】由题意可得：号(6+4+a+8+6+10+12)=7,解得a=3,将数据按升序排列可得：3,4,6,6,8， 10,12.因为7×75%=5.25，所以第75百分位数为第6位数10. 13图1为四门通天铜雕，有着“四方迎客、通达天下”的美好寓意.如图2，某学习小组为测量其高度，在和它底部 O位于同一水平高度的共线三点A,B,C处测得铜雕顶端P处的仰角分别为，兀兀，且AB=BC=20m,则四门通 643 天的高度为 1m. 图1 图2 【详解】设0P=h,则OA=3h,0B=,0C=3h,在△4B0中，由余弦定理得c0s∠AB0=40+-3r_400-2 3 2X20Xh 40h 400+2-1R400+22 在△BCO中，由余弦定理得cos∠OBC 3 3,因为∠ABO十∠OBC=元， 2×20×h 40h 所以400-2400+22 3 40h =0，即80-4=0，解得h=106,所以四门通天的高度为106m 40h 14.正三棱台高为1，上下底边长分别为3和6，所有顶点在同一球面上，则球的表面积为 【详解】上底面边长a=3,其外接圆半径r1,则m0-2r1是=2，T-号a 3 =号a=9×3=v5, 下底面边长b=6,其外接圆半径r2,则。0=2r是=2r2:n=号b=9×6=23 3 3 设球心到上底面的距离为d,球的半径为R,因为棱台高为1，所以球心到下底面的距离为1-d, 根据球心到上下底面顶点距离相等，则有：R2=r+d2=r?+(1-)2,代入r1=V3,T2=2V3, 得到(3)2+d2=(23)2+(1-d)23+d2=12+1-2d+d2,解得3=13-2d,2d=10,d=5, 将d=5代入R2=r?+d2,得到R2=(3)2+52=3+25=28,则球的表面积为S=4πR2=4π×28=112π. 四、解答题 15.某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为 样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[40,50)，[50,60)，，[90,100] 得到如图所示的频率分布直方图。 频率/组距 e 0.025 0.020 0.015 0.010 0.005 0405060708090100分数 (1)求频率分布直方图中a的值；(2)试估计样本成绩的众数和平均数： (3)已知落在50,60)的平均成绩是54，方差是7，落在60,70)的平均成绩为63，方差是4，求两组成绩合并 后的总平均数和总方差 【小问1详解】各组小矩形的面积之和为1，∴.(0.005+0.010+0.020+a+0.025+0.010)×10=1, .a=0.030 【小问2详解】由频率分布直方图可知：众数为75， 平均数为x=45×0.05+55×0.1+65×0.2+75×0.3+85×0.25+95×0.1=74, 故估计样本成绩的众数为75，平均数为74. 【小问3详解】由图可知，成绩在[50,60)的人数为100×0.1=10，成绩在[60,70)的人数为100×0.2=20， 故两组成绩合并后的总平均数为10x54+20x63=60, 10+20 总方差为， 1[10×(54-60)2+10×7+20x(63-60)°+20×4=23. 10+20L 16.如图所示，正六棱柱ABCDEF-ABC1DER的底面边长为1，高为√5， F A B B (1)证明：平面ADI/平面ABC;(2)求平面ADI与平面ABC间的距离. 【解析】(1)在正六棱柱ABCDEF-ABCDE中，因为底面为正六边形，所以AD/BC, 因为AD丈平面ABC,BCC平面ABC,所以AD/I平面ABC 因为CD/IA耳，CD=AR,所以四边形CDRA为平行四边形，所以DR/IAC, 因为DE文平面ABC,ACC平面ABC,所以D?I/平面ABC,又AD∩DF=D,所以平面ADEI平面ABC (2)平面ADF与平面ABC间的距离等价于点A到平面ABC的距离，设为d. 连接4C,则四面体44BC的体积r-ScAA-行S4cd 1 3 因%-9e4含1m径5-京4=aB+好-2,4C=ac4-6. 32 3 所以cos∠ABC= +2-(61,从面m∠ABC-压 2×1×2 4 4 所w子公华-平，所似写西则干面4所与平预人x自的E哭 5 F E B 17.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,三角形面积为S,若D为AC边上一点，满足 AB LBD,BD=2,且G=23 -S+abcosC. 3 ④)求角8；2求2+的取值范围 AD CD 【详解11)a-25s+ubcoc,t-5 abimC+bosc,即a=-56nC+beosc. 3 3 3 由r毯定理得，smA:aA咖C1BC,ae+9- -sin Bsin C+sin Bcos C, 3 .cos B sin C=- 2 sin Bsin血C，:sinC≠0，tamB=-V3,由0<B<元，得B=2亚 3 3 2π (2)由(1)知，B= 2,因为AB⊥BD,所以∠ABD=,，二DBC=亚 6, 在△BCD中，由正弦定理得 DC BD in∠DBCsinc,即Dc= 2sin 6 1 sinC sinC 在Rt△ABD中，AD=BD=2 1 0+c?,+ -sin A+sin C 1 sinA sinA 、ABC三2亚，A+C=3 sin A sinC 2 1 AD CD sinc=sincsinc-sin coc-cinCs-sinC 所以2+的取值范围为 3 AD CD D 18.己知△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,己知c(2+cosB)=V③bsinC,且AB=3,BC=1,BE是∠ABC 平分线，BE交AC于E. (I)求BE的长. (2)延长BE至点D,使得BE=DE,连接AD,求cos∠CAD. (3)若P是LABC平分线BE所在直线上一点，且满足PB=mPA+nPCm,n∈R),若1≤n≤2，求PB的取值范围. 解：(I)已知AB=3,BC=1,由c(2+cosB)=√3 bsinC, 根据正弦定理，品。品品c=2R,R为△ABC外接圆半径， 可得sinC(2+cosB)=V3 sinBsinC,因为sinC≠O,C∈(O,m), 所以2+cosB=√3simB,即√3sinB-cosB=2,V3simB-cosB=2simB-g=2,所以sin(B-石=1， 因B∈0π，所以B=受因为BE是LABC平分线，所以LABE=∠CBE=骨 由SABc=SLADE+S△BcE,根据三角形面积公式S=zacsinB, 可得号×3x1×sm号=×3×BE×sim号+号×1×BB×sm导即时×3×1x受=×BE×受×(g+),解得 BE=是 (2在△ABD中，AB=3,BD=多由余弦定理AD2=AB2+BD2-2AB·BD·c0 sABD,LABD=写 可得AD2=9+?-2×3x号×号子则AD1= 2 在△ABC中，由余弦定理AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cOS∠ABC, 可得AC2=9+1-2×3×1×(-=13,14C=VTB,所以AE=VT3. 在△A5D中，AE-是VD,AD-,DE-景 由余弦定理得cos∠EAD=2W,即cOS∠CAD=2N 13 13 (3设P丽=tB丽，则P丽=tB丽=tA丽+C团)=A丽+C丽=P丽-PA+tP丽-PG,(t-P丽=PA+ 等PG.则t≠山…P店=PA+P氏，~P呢=mA+P, (m=4t- 3t n=4t- 1n<21K<2,解得≤t≤4~B-景PeI层3引. I9.如图①，在等腰直角△ABC中，∠C=90°，AC=2,M,N分别是边AC,AB上的动点，将△AMN沿MN 折起到如图②△PMN的位置，连接PB,PC,且平面PMN⊥平面ABC. 图① 图② (M)C 图③ (1)当M,N分别是边AC,AB的中点时： ①求证：平面PMC⊥平面PMW②求二面角M-PN-C的正切值 (2)若点M与点C重合，如图③，设∠AN=日，求三棱锥P-NB体积的最大值 【详解】(1)①：M,N分别是边AC,AB的中点，.N//BC, :在等腰直角△ABC,∠C=90°，则AC⊥MN,即CM⊥N,因平面PN⊥平面ABC,平面PMN∩平面 ABC=MN,CMC平面ABC,.CM⊥平面PMW,:CMc平面PMC,.平面PMC⊥平面PMW: -B ②取PN的中点E,连接ME,CE,由①可知CM⊥平面PMN,PNc平面PMW,则CM⊥PN, 由M是边AC的中点，AC=2,PM=CM=1,:PM=MW,B为PN中点，B⊥PNMB=PN=5 ,CMOME=M,CM,MEc平面CME,.PN⊥平面CME,因CEc平面CME,∴.PN⊥CE, ∴∠CEM为二面角M-PN-C的平面角，CM⊥平面PMN,MEc平面PMW,.CM⊥ME, 在RLACME中， tam∠CEM=CM、1 =√2 MB√2 所以二面角M-PN-C的正切值为V2 2 (2)过P点作PH⊥MN,垂足为H,则PH=2sinO, :,平面PMN⊥平面BMN,平面PMN∩平面BMN=MW,PHc平面PMN,.PH⊥平面BMN, A -H (M)C MN 2 2 在AAMN中，由正弦定理， sin 则N= sin 4 sine+cose .S.BMN= .pc.mn) inoPHsinco0 2cose 3 sine+cose 令1-sin0+cos0-im0+49e[o,、eV,则smcs0 t2-1 2 珍如青子-0-中令1子则至藏1在同华调港，当-时队心的员大位 t2-1 为V② 3