2025-2026学年苏科版数学七年级下学期期末培优卷.

**基本信息** 七年级下学期数学期末培优卷，通过科技情境、实际问题及创新题型，考查抽象能力、推理意识与模型观念，体现数学思维与应用价值。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|逆命题、科学记数法、完全平方公式|第2题光的速度（科技情境），第8题新定义运算（创新应用）| |填空题|6/18|整式变形、中心对称、垂直平分线|第14题中心对称求高（空间观念），第15题垂直平分线角度计算（推理意识）| |解答题|8/72|作图、方程组应用、阶梯水费|第21题商场进货（模型意识），第23题阶梯水费计算（数据观念），第24题动点面积（几何直观）|

2025-2026学年七年级下学期数学期末培优卷 一、单选题（每小题3分，共30分） 1．下列各命题的逆命题成立的是（    ） A．直角都相等 B．如果，那么 C．对顶角相等 D．两直线平行，同旁内角互补 【答案】D 【分析】本题考查了写出命题的逆命题，判断命题的真假，先写出各个选项的逆命题，再结合直角的定义、对顶角的定义、有理数的乘方以及平行线的判定与性质逐项分析即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：A、逆命题为：相等的角都是直角，该逆命题不成立，故不符合题意； B、逆命题为：如果，那么，该逆命题不成立，故不符合题意； C、逆命题为：相等的角都是对顶角，该逆命题不成立，故不符合题意； D、逆命题为：同旁内角互补，两直线平行，该逆命题成立，故符合题意； 故选：D． 2．光在真空中的速度约为，太阳光照射到地球上大约需要．地球距离太阳大约有多远？（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接利用有理数的乘法结合科学记数法表示方法得出答案． 【详解】解：由题意可得，地球与太阳的距离大约是：． 故选：B 【点睛】此题主要考查了科学记数法以及有理数乘法，正确掌握运算法则是解题关键． 3．下列式子的变形错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【详解】解：A、，两边同时加得，变形正确． B、等式中，分母不为，两边同乘得，变形正确． C、∵， ∴， ∵， ∴，变形正确． D、当时，，此时 ∴不能推出，变形错误． 4．如图，浮山公园有一块长为，宽为的长方形草坪，计划在草坪中间修两条宽度均为的石子路（两条石子路的任何地方的水平宽度都是），剩余阴影区域种植鲜花，则种植鲜花的面积为（    ）． A．24 B．48 C．56 D．72 【答案】B 【分析】本题考查了生活中平移现象，利用平移可知，阴影区域可看作是长为米，宽为6米的长方形，然后进行计算即可． 【详解】解：由题意可得：种植鲜花的面积为． 故选：B． 5．若多项式 是完全平方式， 则的值为（　　） A．3 B． 或 1 C．3 或 D．7 或 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方公式，熟练运用完全平方公式是解题的关键．根据，题目中的首末两项是和这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去和积的2倍，推出，即可得到的值． 【详解】多项式是关于的完全平方式 或 故选：C． 6．已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了幂的乘方、同底数幂的除法等的逆用，把原式变形为，再整体代入计算即可. 【详解】解：∵，， ∴. 故选：B 7．已知，，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查求代数式的值，将已知等式中的转化为，再利用同底数幂相乘的法则，结合指数相等求解．解题的关键是掌握：同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则． 【详解】解：∵，， 又∵， ∴，即， ∴， 即的值是． 故选：A． 8．定义一种新运算：☆=，若☆=0，且关于的二元一次方程，当取不同值时，方程都有一个公共解，那么公共解为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的求解，解题的关键是根据题意，得到二元一次方程组． 根据题意可得，，即，代入二元一次方程可得，化简可得，根据题意可得，求解即可． 【详解】解：根据题意可得，，即， 将代入二元一次方程可得， 化简可得， 由题意可得，，解得，B选项符合题意． 9．若多项式是由整式与另一个整式相乘得到的，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知得到，将等式左侧展开，比较系数可得关于，的方程组，解方程组即可． 【详解】解：是由整式与另一个整式相乘得到的， ， ， ， 解得：，， 故选：． 【点睛】本题考查了多项式乘以多项式的运用，熟练掌握相关概念是解题的关键． 10．小吉是一个爱好数学的好学生，一天他将三个正方形如图所示相连，然后将数字填入图中的9个顶点处，使得每个正方形顶点上的四个数字的和都等于16，每个正方形顶点上的四个数字的平方和分别记为、、，且．如果将交点处的三个填入的数字分别记作为、、，则的值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】根据题意可得三个正方形上的数字之和为48，而到这个数字之和为36，据此可得，由，，可得，即可解决问题． 【详解】解：∵每个正方形顶点上的四个数字的和都等于16， ∴三个正方形顶点上的数字之和为， 到这个数字之和为， ∵、、都加了两次， ∴， ∴， ∴， ∵， 而， ∵三个正方形交点处的三个数字的平方都加了两次， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 将代入得， ∴， ∴． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11．若恒成立，则______． 【答案】0 【分析】将等式左边按照单项式乘以多项式，再合并同类项，整理后形式和等式右边一致，即可求出a ，b 的值，代入求值即可求出答案． 【详解】解：根据题意可得： ∵等式左边， ∴， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：0 【点睛】本题主要考查的是整式的运算，掌握单项式与多项式的乘法运算，合并同类项即可求出结果，也是解题的关键． 12．若，则____________，____________． 【答案】 2 4 【分析】本题考查了同底数幂的乘法与积的乘方，掌握相应的运算法则是解题的关键． 通过同底数幂的乘法与积的乘方法则化简左边表达式，比较两边指数，建立方程求解即可． 【详解】解： ∵ ， ∴ ， ． 解得 ，． 故答案为：，． 13．已知关于的二元一次方程组的解为，小强因看错了系数，得到的解为，则________． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解．根据题意把代入二元一次方程组可得的值，根据小强看错系数得到解为，由此可得新的方程组，运用加减消元法可求出的值，代入计算即可求解． 【详解】解：把代入二元一次方程组得， ， ∴由得，， ∵小强看错了系数得到， ∴， ∴， ①②得，， 解得，， 把代入②得，， 解得，， ∴， 故答案为：11． 14．如图，与关于点成中心对称，为的高，若，，则_____． 【答案】 【分析】本题考查了中心对称的性质，三角形面积公式，由题意得，，求出即可，熟练掌握中心对称的性质是解题的关键． 【详解】解：∵与关于点成中心对称， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 15．在中，，边的垂直平分线交于点D，边的垂直平分线交于点E，连接，，则的度数为__．（用含的代数式表示） 【答案】或 【分析】先根据线段垂直平分线的性质，得到，，进而得到，再分两种情况：①为钝角；②为锐角进行讨论，利用角的和差关系进行计算即可得出答案． 【详解】解：分两种情况： ①如图所示，当为钝角时，    ∵垂直平分，垂直平分 ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴ ∵ ∴ ②如图所示，当为锐角时，    ∵垂直平分，垂直平分 ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴ ∵ ∴ 故答案为：或． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，线段垂直平分线的性质，灵活运用所学的知识是解题的关键． 16．如图，在锐角中，，，的面积为，为上一动点，将、分别沿、向外翻折，得到，，连接，则面积的最小值为________． 【答案】 【分析】由折叠可得，，，由，得，则，当取最小值时，的面积最小，在中，当为边的高，即时，最小，根据的面积为，，求出，即可求解． 【详解】解：、分别沿、向外翻折，得到，， ，，， ， ， ， 当取最小值时，的面积最小，在中，当为边的高，即时，最小， 的面积为，， ， ， 面积的最小值为， 故答案为：． 三、解答题（每小题9分，共72分） 17．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算，多项式乘以多项式，掌握整式的运算法则是解题的关键． （）根据单项式乘以多项式、多项式乘以多项式的运算法则展开，再合并同类项即可； （）根据多项式乘以多项式的运算法则展开，再合并同类项即可； 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 18．二元一次方程计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， ，得， 解得， 把代入①，得， 解得， ∴方程组的解为； （2）解：原方程组化简为， ，得， 解得， 把代入④，得， 解得， ∴方程组的解为 . 19．若的乘积中不含 与 项，求的值． 【答案】 【分析】多项式乘多项式法则，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，结果中不含一次项和二次项，则说明这两项的系数为，建立关于，的等式，求出后再求代数式值． 【详解】解：原式， ， ∵乘积中不含 与 项， ∴，， 解得：，， ∴． 【点睛】此题考查了多项式乘以多项式，根据不含某一项就是这一项的系数等于列式求解、的值是解题的关键． 20．如图，直角三角形中，，，，，用无刻度的直尺和圆规完成下列作图． (1)作边的中点； (2)作的平分线，交边于点； (3)作点关于直线的对称点； (4)直接写出的长为________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)3 【分析】（1）分别以为圆心，大于的长为半径画弧，作出的中垂线，得到中点即可； （2）以为圆心，任意长为半径画弧，交角的两边于两个点，以这两个点为圆心，大于这两个点所连线段的长为半径画弧，画出的角平分线即可； （3）根据对称的性质，得到，故以为圆心，的长为半径画弧，交于点即可； （4）根据线段中点的定义，线段的和差关系进行求解即可． 【详解】（1）解：如图，点即为所求； （2）如图，即为所求； （3）如图，点即为所求； （4）由作图可知：， ∴． 故答案为：3． 21．某商场从厂家购进了甲、乙两种商品，甲种商品每件的进价比乙种商品每件的进价多20元，购进甲种商品5件与购进乙种商品6件的进价相同． (1)求甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元？ (2)该商场从厂家购进了甲、乙两种商品共80件，所用资金为9000元．甲种商品在进价的基础上提高后标价，又以8折优惠售出；乙商品售出后，每件可获利30元，则甲、乙两种商品全部售出后共可获利多少元？ 【答案】(1)甲种商品每件的进价是120元，乙种商品每件的进价是100元 (2)甲、乙两种商品全部售出后共可获利2100元 【分析】（1）设甲种商品每件的进价是元，乙种商品每件的进价是元，根据题干给出的等量关系列出方程求解，即可求出甲乙的进价， （2）设购进甲种商品件，求出甲乙的购进数量，最后计算总获利即可． 【详解】（1）解：设甲种商品每件的进价是元，乙种商品每件的进价是元， 依题意得， 解得， 答：甲种商品每件的进价是120元，乙种商品每件的进价是100元； （2）解：设购进甲种商品件，则购进乙种商品件， 依题意得， 解得， 则， 甲种商品每件获利为：（元）， 总获利为：（元）， 答：甲、乙两种商品全部售出后共可获利2100元． 22．已知关于x、y的二元一次方程组 (1)用含k的式子表示方程组的解（即用k表示x和y）； (2)若方程组的解满足，求k的取值范围； (3)在（2）的条件下，求k取最小整数时方程组的解． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用加减消元法解二元一次方程组，得到用k表示的x和y即可； （2）把方程组中②代入即可求出k的取值范围； （3）根据（2）中k的范围确定k的整数值，代入（1）中x和y的表达式即可求出此时方程组的解． 【详解】（1）解：已知二元一次方程组 ， 由①②得 ， 解得， 将代入②，得 ， 因此方程组的解为； （2）解：由②可知，代入得 ， 解得； （3）解：的最小整数为， 将代入x和y的表达式得 ，， 因此此时方程组的解为． 23．为鼓励节约用水，居民生活用水采用阶梯收费．水价分三个等级：第一级为月用水量17m3以下（包括17m3）；第二级为月用水量超过17m3但不超过30m3；第三级为月用水量超过30m3（不包括30m3）．下面是某居民收到的一张2025年7月份的生活用水消费明细（不完整）． 居民生活用水消费明细 计费日期2025﹣7﹣1至2025﹣7﹣31 自来水费 污水处理费 用水量/m3 单价/（元/m3） 金额/元 用水量/m3 单价/（元/m3） 金额/元 阶段一：17 2 34 阶段一：17 1 17 阶段二： 2.5 阶段二： 1 本期实付金额（大写） （注：居民生活用水水费=自来水费+污水处理费） 已知该居民6月份和7月份的用水量总和为42m3，且7月份的用水量超过6月份，但不超过6月份的2倍． (1)设该居民7月份的用水量为xm3，求x的取值范围； (2)该居民7月份的生活用水水费最多需要缴纳多少元； (3)若该居民7月份的生活用水水费比6月份多41元，求该居民7月份的用水量． 【答案】(1) (2)89.5元 (3) 【分析】（1 ）设该居民7月份的用水量为，则该居民6月份的用水量为，根据“7月份的用水量超过6月份，但不超过6月份的2倍”，可列出关于x的一元一次不等式组，解之可得出x的取值范围； （2 ）求出当7月份用水量是时的水费即可； （3 ）根据该居民7月份的生活用水水费比6月份多41元，可列出关于x的一元一次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设该居民7月份的用水量为，则该居民6月份的用水量为， 根据题意得：， 解得：． 答：x的取值范围为； （2）解：根据题意得： （元）． 答：该居民7月份的生活用水水费最多需要缴纳89.5元； （3）解：当时，水费差为， 令 解得：，不符合题意，舍去； 当时，， 解得：． 答：该居民7月份的用水量为． 24．如图，在中，，，．动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度运动，到达点时停止．设点运动的时间为秒． (1)点整个运动过程中，共需____秒； (2)当的面积为时，求的值； (3)当的面积大于时，求的取值范围． 【答案】(1) (2)当或时，的面积为 (3)当时，的面积大于 【分析】（1）根据，，可以求出点运动的路程，根据点运动速度即可求出需要的时间； （2）当点在上运动时，，则有，根据三角形的面积公式可得，解方程即可求出的值；当点在上运动时，，则有，根据三角形的面积公式可得，解方程即可求出的值； （3）当点在上运动时，可得，当点在上运动时，可得，解不等式即可求出的取值范围． 【详解】（1）解：在中，，，， ， 点的运动速度为个单位长度每秒， 点整个运动过程中，共需秒； （2）解：当点在上运动时，， 则有， ， 解得：； 当点在上运动时，， 则有， ， 解得：； 综上所述，当或时，的面积为； （3）解：当点在上运动时，， 则有， ， 解得：， 当点在上运动时，， 则有， ， 解得：， 当时，的面积大于． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级下学期数学期末培优卷 一、单选题（每小题3分，共30分） 1．下列各命题的逆命题成立的是（    ） A．直角都相等 B．如果，那么 C．对顶角相等 D．两直线平行，同旁内角互补 2．光在真空中的速度约为，太阳光照射到地球上大约需要．地球距离太阳大约有多远？（    ） A． B． C． D． 3．下列式子的变形错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．如图，浮山公园有一块长为，宽为的长方形草坪，计划在草坪中间修两条宽度均为的石子路（两条石子路的任何地方的水平宽度都是），剩余阴影区域种植鲜花，则种植鲜花的面积为（    ）． A．24 B．48 C．56 D．72 5．若多项式 是完全平方式， 则的值为（　　） A．3 B． 或 1 C．3 或 D．7 或 6．已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．已知，，则的值是（　　） A． B． C． D． 8．定义一种新运算：☆=，若☆=0，且关于的二元一次方程，当取不同值时，方程都有一个公共解，那么公共解为（　　） A． B． C． D． 9．若多项式是由整式与另一个整式相乘得到的，则的值为（    ） A． B． C． D． 10．小吉是一个爱好数学的好学生，一天他将三个正方形如图所示相连，然后将数字填入图中的9个顶点处，使得每个正方形顶点上的四个数字的和都等于16，每个正方形顶点上的四个数字的平方和分别记为、、，且．如果将交点处的三个填入的数字分别记作为、、，则的值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 二、填空题（每小题3分，共18分） 11．若恒成立，则______． 12．若，则____________，____________． 13．已知关于的二元一次方程组的解为，小强因看错了系数，得到的解为，则________． 14．如图，与关于点成中心对称，为的高，若，，则_____． 15．在中，，边的垂直平分线交于点D，边的垂直平分线交于点E，连接，，则的度数为__．（用含的代数式表示） 16．如图，在锐角中，，，的面积为，为上一动点，将、分别沿、向外翻折，得到，，连接，则面积的最小值为________． 三、解答题（每小题9分，共72分） 17．计算： (1)； (2)． 18．二元一次方程计算 (1) (2) 19．若的乘积中不含 与 项，求的值． 20．如图，直角三角形中，，，，，用无刻度的直尺和圆规完成下列作图． (1)作边的中点； (2)作的平分线，交边于点； (3)作点关于直线的对称点； (4)直接写出的长为________． 21．某商场从厂家购进了甲、乙两种商品，甲种商品每件的进价比乙种商品每件的进价多20元，购进甲种商品5件与购进乙种商品6件的进价相同． (1)求甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元？ (2)该商场从厂家购进了甲、乙两种商品共80件，所用资金为9000元．甲种商品在进价的基础上提高后标价，又以8折优惠售出；乙商品售出后，每件可获利30元，则甲、乙两种商品全部售出后共可获利多少元？ 22．已知关于x、y的二元一次方程组 (1)用含k的式子表示方程组的解（即用k表示x和y）； (2)若方程组的解满足，求k的取值范围； (3)在（2）的条件下，求k取最小整数时方程组的解． 23．为鼓励节约用水，居民生活用水采用阶梯收费．水价分三个等级：第一级为月用水量17m3以下（包括17m3）；第二级为月用水量超过17m3但不超过30m3；第三级为月用水量超过30m3（不包括30m3）．下面是某居民收到的一张2025年7月份的生活用水消费明细（不完整）． 居民生活用水消费明细 计费日期2025﹣7﹣1至2025﹣7﹣31 自来水费 污水处理费 用水量/m3 单价/（元/m3） 金额/元 用水量/m3 单价/（元/m3） 金额/元 阶段一：17 2 34 阶段一：17 1 17 阶段二： 2.5 阶段二： 1 本期实付金额（大写） （注：居民生活用水水费=自来水费+污水处理费） 已知该居民6月份和7月份的用水量总和为42m3，且7月份的用水量超过6月份，但不超过6月份的2倍． (1)设该居民7月份的用水量为xm3，求x的取值范围； (2)该居民7月份的生活用水水费最多需要缴纳多少元； (3)若该居民7月份的生活用水水费比6月份多41元，求该居民7月份的用水量． 24．如图，在中，，，．动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度运动，到达点时停止．设点运动的时间为秒． (1)点整个运动过程中，共需____秒； (2)当的面积为时，求的值； (3)当的面积大于时，求的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $