第44讲 空间向量及其运算 讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦空间向量及其运算高考核心考点，涵盖线性运算、共线共面向量定理、数量积及长度夹角计算，按概念-定理-运算律-应用题型逻辑架构知识体系。通过基础回顾梳理考点，题型精讲指导方法，课时精练强化训练，助力学生系统构建空间向量解题框架。 资料采用分题型突破策略，如共线共面问题结合充要条件构建判断模型，数量积计算融合定义法与坐标法培养数学思维。设置基础回顾、例题精讲、课时精练三层教学环节，配合分层练习，保障复习效果，提升学生空间向量应用能力，为教师把控复习节奏提供清晰框架。

第44讲 空间向量及其运算 题型一 空间向量的线性运算 3 题型二 共线、共面向量定理的应用 6 题型三 求空间向量的数量积 8 题型四 利用数量积求长度与夹角 10 课时精练 12 【基础回顾】 1．空间向量的有关概念 名称 定义 空间向量 在空间中，具有大小和方向的量 相等向量 方向相同且模相等的向量 相反向量 方向相反且模相等的向量 共线向量(或平行向量) 表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量 共面向量 平行于同一个平面的向量 2．空间向量的有关定理 (1)共线向量定理：对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb． (2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb． (3)空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc，{a，b，c}叫做空间的一个基底． 3．空间向量的数量积及运算律 (1)数量积 非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． (2)空间向量的坐标表示及其应用 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)． 向量表示 坐标表示 向量加减 a±b (a1±b1，a2±b2，a3±b3) 共线 a＝λb(b≠0，λ∈R) a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3 数量积 a·b a1b1＋a2b2＋a3b3 垂直 a·b＝0(a≠0，b≠0) a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 模 |a| 夹角余弦值 cos〈a，b〉＝ (a≠0，b≠0) cos〈a，b〉＝ (3)空间向量数量积的运算律 ①(λa)·b＝λ(a·b)；②a·b＝b·a(交换律)；③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律)． 4．投影向量 (1)向量a在向量b上的投影 先将向量a与向量b平移到同一平面α内，如图1，向量c称为向量a在向量b上的投影向量． (2)向量a在直线l上的投影 如图2，向量c称为向量a在直线l上的投影向量． (3)向量a在平面β上的投影 如图3，分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到向量，则向量(a′)称为向量a在平面β上的投影向量． 【必备知识】 1．在空间中，A，B，C三点共线的充要条件是：＝x＋y(其中x＋y＝1)，O为空间任意一点． 2．在空间中，P，A，B，C四点共面的充要条件是：＝x＋y＋z(其中x＋y＋z＝1)，O为空间任意一点． 3．在利用＝x＋y证明MN∥平面ABC时，必须说明点M或点N不在平面ABC内． 4．空间向量的数量积不满足结合律，即(a·b)·c＝a·(b·c)不一定成立． 题型一 空间向量的线性运算 空间向量线性运算中的三个关键点 【例题精讲】 1．如图所示，在三棱柱中，M为的中点，若，则可表示为（   ） A． B． C． D． 2．如图，分别是四面体的棱的中点，且，记，则（    ） A． B． C． D． 3．如图，在三棱锥中，设，，，若，，则（   ） A． B． C． D． 4．已知在三棱锥中，，点在线段上，且，点为线段的中点，则（    ） A． B． C． D． 5．如图，在三棱台中，，，，，，分别为，的中点，则（   ） A． B． C． D． 6．在四面体中，设，，，为的中点，则（   ） A． B． C． D． 7．在正四棱锥中，E为的中点，则（   ） A． B． C． D． 8．（多选）如图，在棱长为2的正四面体ABCD中，E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则（    ） A． B． C． D． 9．（多选）如图，在长方体中，下列各式运算结果为的是（　　）    A． B． C． D． 10．（多选）如图，空间四边形中，，分别是边，上的点，且，，点是线段的中点，则以下向量表示正确的是（    ） A． B． C． D． 题型二 共线、共面向量定理的应用 1．对空间任一点O，＝x＋y，若x＋y＝1，则点P，A，B共线． 2．证明空间四点P，M，A，B共面的方法 (1)＝x＋y． (2)对空间任一点O，＝＋x＋y． (3)对空间任一点O，＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)． (4)∥(或∥或∥)． 【例题精讲】 1．如图，在四面体中，为棱的中点，点，分别满足，，则（   ） A． B． C． D． 2．若向量，，且，则的值是（     ） A． B．5 C．3 D． 3．已知正三棱锥的底面边长为，侧棱长为1．O为底面内一点，且，，则（   ） A．0 B． C． D． 4．若构成空间的一组基底，则（    ） A．，，不共面 B．，，不共面 C．，，不共面 D．，，不共面 5．已知四棱柱是平行六面体，空间中一点平面，实数满足，则实数（    ） A． B． C． D． 6．已知为空间中四点，任意三点不共线，O为平面ABC外一点，且 ，若四点共面，则的最小值为（    ） A． B． C．9 D．4 7．已知A，B，C，D四点是平面四边形的四个顶点，O是平面ABCD外一点.若，则（    ） A． B． C． D．1 8．（多选）以下能确定空间中四点 共面的条件是（   ） A． B． C． D． 9．（多选）关于空间向量、、，下列说法正确的是（    ） A．若与共线，与共线，则与共线 B．若存在实数、，使得，则、、共面 C．若是空间的一个基底，且，则四点共面 D．若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 10．（多选）已知三点不共线，为平面外一点，下列条件中能确定四点共面的是（    ） A． B． C． D． 题型三 求空间向量的数量积 空间向量数量积的计算方法 (1)定义法：设向量a，b的夹角为θ，则a·b＝|a||b|cosθ． (2)坐标法：设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2． 【例题精讲】 1．已知正方体的棱长为，若，，，则（    ） A．0 B．2 C．1 D．4 2．已知正四面体，棱长，为空间中一点，，求的最大值是（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 3．在正三棱柱中，，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 4．三棱锥的所有棱长都为分别是的中点，则（　　） A．-1 B．1 C．-2 D．2 5．如图，正四面体的棱长为4，平面，为垂足，，延长交于点，则（   ） A．12 B． C．16 D． 6．如图，在正三棱柱中，，，则（   ） A． B． C．0 D．1 7．已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于1，点分别是的中点，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 8．（多选）若、是两条互相垂直的异面直线，、、、是四个不同的点，满足、，、，且，，，则（   ） A．直线与是异面直线 B． C．若，则 D．若为的中点，则 9．（多选）已知等腰，，取，中点，，将沿翻折至，使得为正三角形，若底面，则下列说法正确的是（   ） A．四棱锥存在外接球 B． C． D．四棱锥的体积为 10．（多选）如图，点，分别是棱长为1的正四面体的边和的中点，点在线段上，且.则（   ）    A． B． C． D．向量在方向上的投影数量为 题型四 利用数量积求长度与夹角 (1)运用公式|a|2＝a·a，可使线段长度(即两点间距离)的计算问题转化为向量数量积的计算问题． (2)设非零向量a，b所成的角为θ，则cosθ＝，进而可求两向量的夹角． 【例题精讲】 1．如图，在直三棱柱中， ，，则向量与的夹角的余弦值是（　　） A． B． C． D． 2．线段在平面内，，且，则两点间的距离为（   ） A．5 B． C． D． 3．如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为6，，，则的长为（   ）    A． B． C． D． 4．如图，二面角的大小为，棱l上有两点A，B，线段和分别在面和内，且，.若，，则的长为（   ） A．10 B．8 C．6 D． 5．如图，在平行六面体中，，，则（    ） A．1 B．3 C． D． 6．已知二面角的平面角为，，，，，，，若，则CD长为（   ） A．4 B． C．2 D． 7．已知四面体中，，，，，空间一点M满足，若四点共面，则（   ） A． B． C． D． 8．（多选） 如图，平行六面体的底面是边长为1的菱形，且，平面，则（     ）    A．直线与直线所成角为 B．平面 平面 C． D．平行六面体的体积为 9．（多选）在平行六面体中，，，，分别为棱，的中点，则（    ） A． B．平面 C． D．直线与所成角的余弦值为 课时精练 一、单选题 1．如图，在梯形中，，点O为空间内任意一点，设，则向量可用表示为（    ） A． B． C． D． 2．四面体中，，，，且，，则等于（    ） A． B． C． D． 3．如图，在三棱柱中，，，，点为棱的中点，点为棱的中点，点在棱上．若，则线段的长度为（     ） A． B．1 C． D．2 4．已知点、、不共线，为平面外一点，下列能够确定、、、四点共面的是（    ） A． B． C． D． 5．如图所示，四面体所有棱长均为4，则（   ） A． B． C． D． 6．在四面体中，，平面且平面，给出下列三个结论： ①若，则； ②若，则； ③若，则． 其中所有正确结论的序号是（   ） A．③ B．①③ C．①② D．①②③ 7．在底面边长为2的正三棱柱中，D，E分别是和的中点，若，则该三棱柱外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 8．如图，的二面角的棱上有两点，直线分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于．已知，则的长为（   ） A． B．7 C． D．9 二、多选题 9．（多选）已知平行六面体中，，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．二面角的正弦值为 D．该平行六面体的体积为 10．（多选）如图，平行六面体的底面是菱形，以顶点为端点的三条棱长都等于1，且它们彼此的夹角都是，为与的交点，则（    ） A． B． C．四点共面 D． 11．（多选）已知正四面体的棱长为2，点分别为的中点，则（   ） A． B．直线与所成角的余弦值为 C． D．该正四面体的内切球体积为 三、填空题 12．已知空间中的三个单位向量，，满足两两夹角是，则__________． 13．为空间任意一点，若，若A，B，C，P四点共面，则实数等于_______. 14．如图所示，为平行六面体（六个面均为平行四边形的棱柱），点E、F分别在棱、上，满足，（为实数）．若平面截所得截面是一个五边形，则的取值范围是________． 四、解答题 15．如图所示，如图，三棱锥各棱长均为1，侧棱上的，，满足，线段上的点满足平面，点在上，且与端点不重合，． (1)求证：平面平面； (2)求证：； (3)若，求的值． 16．如图，已知为空间的9个点，且，，，，，，， 求证： (1)四点共面，四点共面； (2)； (3). 17．如图，在空间平移到，连接对应顶点．设，，，是的中点，是的中点，用基底表示向量. 18．如图，已知平行四边形ABCD，从平面ABCD外一点O引向量，，，． (1)求证：四点E，F，G，H共面； (2)求证：平面ABCD∥平面EFGH． 19．如图1，在矩形ABCD中，于于，将沿AC翻折至，使得，连接，如图2． (1)求三棱锥的体积； (2)求直线与直线AC所成角的余弦值． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 第44讲 空间向量及其运算 题型一 空间向量的线性运算 3 题型二 共线、共面向量定理的应用 9 题型三 求空间向量的数量积 14 题型四 利用数量积求长度与夹角 21 课时精练 30 【基础回顾】 1．空间向量的有关概念 名称 定义 空间向量 在空间中，具有大小和方向的量 相等向量 方向相同且模相等的向量 相反向量 方向相反且模相等的向量 共线向量(或平行向量) 表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量 共面向量 平行于同一个平面的向量 2．空间向量的有关定理 (1)共线向量定理：对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb． (2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb． (3)空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc，{a，b，c}叫做空间的一个基底． 3．空间向量的数量积及运算律 (1)数量积 非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． (2)空间向量的坐标表示及其应用 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)． 向量表示 坐标表示 向量加减 a±b (a1±b1，a2±b2，a3±b3) 共线 a＝λb(b≠0，λ∈R) a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3 数量积 a·b a1b1＋a2b2＋a3b3 垂直 a·b＝0(a≠0，b≠0) a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 模 |a| 夹角余弦值 cos〈a，b〉＝ (a≠0，b≠0) cos〈a，b〉＝ (3)空间向量数量积的运算律 ①(λa)·b＝λ(a·b)；②a·b＝b·a(交换律)；③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律)． 4．投影向量 (1)向量a在向量b上的投影 先将向量a与向量b平移到同一平面α内，如图1，向量c称为向量a在向量b上的投影向量． (2)向量a在直线l上的投影 如图2，向量c称为向量a在直线l上的投影向量． (3)向量a在平面β上的投影 如图3，分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到向量，则向量(a′)称为向量a在平面β上的投影向量． 【必备知识】 1．在空间中，A，B，C三点共线的充要条件是：＝x＋y(其中x＋y＝1)，O为空间任意一点． 2．在空间中，P，A，B，C四点共面的充要条件是：＝x＋y＋z(其中x＋y＋z＝1)，O为空间任意一点． 3．在利用＝x＋y证明MN∥平面ABC时，必须说明点M或点N不在平面ABC内． 4．空间向量的数量积不满足结合律，即(a·b)·c＝a·(b·c)不一定成立． 题型一 空间向量的线性运算 空间向量线性运算中的三个关键点 【例题精讲】 1．如图所示，在三棱柱中，M为的中点，若，则可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】取AC的中点N，连接BN，MN，如图所示， ∵M为的中点，，， ， ． 2．如图，分别是四面体的棱的中点，且，记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为 又因为分别是棱的中点，所以. 3．如图，在三棱锥中，设，，，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将所求向量转化为以为起点的向量，利用向量的运算规则进行计算即可得出答案. 【详解】连接，由向量的加减和数乘运算规则可知 . 故选：D. 4．已知在三棱锥中，，点在线段上，且，点为线段的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量的线性运算计算可得到结果. 【详解】因为点为线段的中点，所以 因此 故选：B. 5．如图，在三棱台中，，，，，，分别为，的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量基本定理结合图形求解即可. 【详解】. 因为，，，， 所以 . 故选：A. 6．在四面体中，设，，，为的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量的线性运算即可求解 . 【详解】由已知， . 故选：A 7．在正四棱锥中，E为的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行四边形法则即可求解. 【详解】. 故选：D 8．（多选）如图，在棱长为2的正四面体ABCD中，E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】利用向量的线性运算与数量积定义逐项分析即可. 【详解】对于,由题意得，错误； 对于,，正确； 对于,，正确； 对于,，错误. 故选： 9．（多选）如图，在长方体中，下列各式运算结果为的是（　　）    A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据空间向量的线性运算，结合图形即可求解. 【详解】A：，故A符合题意；    B：，故B符合题意；    C：，故C符合题意；    D：，故D不符合题意；    故选：ABC. 10．（多选）如图，空间四边形中，，分别是边，上的点，且，，点是线段的中点，则以下向量表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】利用空间向量的基底表示向量，再结合空间向量线性运算，逐一对各项计算判断即可得出结果. 【详解】空间四边形中，，，点是线段的中点， ， ，所以选项D正确； 对于选项A，，所以选项A错误； 对于选项B，，所以选项B错误； 对于选项C，，所以选项C正确， 故选：CD. 题型二 共线、共面向量定理的应用 1．对空间任一点O，＝x＋y，若x＋y＝1，则点P，A，B共线． 2．证明空间四点P，M，A，B共面的方法 (1)＝x＋y． (2)对空间任一点O，＝＋x＋y． (3)对空间任一点O，＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)． (4)∥(或∥或∥)． 【例题精讲】 1．如图，在四面体中，为棱的中点，点，分别满足，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定的几何体，利用空间向量的基底表示，再利用向量线性运算求解作答. 【详解】在四面体中，是的中点，则， 因为，所以，所以， 又，所以，所以， 所以. 故选：A. 2．若向量，，且，则的值是（     ） A． B．5 C．3 D． 【答案】B 【分析】由条件结合空间向量共线定理可得，列方程求，由此可得结论. 【详解】因为，所以存在实数，使得， 又，， 所以，，， 解得，，， 因此. 3．已知正三棱锥的底面边长为，侧棱长为1．O为底面内一点，且，，则（   ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量共面的推论求出，再根据数量积的定义及运算律计算可得. 【详解】根据空间向量共面定理：若点在平面内，且， 则系数和满足，解得： , 已知正三棱锥侧棱长，底面边长, 在中，，故，得, 同理在中，，故，得, 展开： 因此结果为. 4．若构成空间的一组基底，则（    ） A．，，不共面 B．，，不共面 C．，，不共面 D．，，不共面 【答案】A 【分析】根据空间向量基本定理逐项判断即可． 【详解】对于A，假设，，共面，则存在不全为零的实数，使， 即，则共面与构成空间的一组基底矛盾， 因此，，不共面，故A正确； 对于B，因为，所以，，共面，故B不正确； 对于C，因为，所以，，共面，故C不正确； 对于D，因为，所以，，共面，故D不正确； 故选：A． 5．已知四棱柱是平行六面体，空间中一点平面，实数满足，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为四点共面， 所以，解得. 6．已知为空间中四点，任意三点不共线，O为平面ABC外一点，且 ，若四点共面，则的最小值为（    ） A． B． C．9 D．4 【答案】A 【详解】因为四点共面，则有， 由共面条件可得，，即， 所以， 当且仅当，即，即时，等号成立. 故选A. 7．已知A，B，C，D四点是平面四边形的四个顶点，O是平面ABCD外一点.若，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】根据给定条件可得，再利用共面向量定理的推论求解. 【详解】由，得， 则，显然，否则， 点共面，矛盾，因此， 由共面向量定理的推论，得，所以. 故选：D 8．（多选）以下能确定空间中四点 共面的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用共面向量定理及推论判断AB；利用两条直线共面的条件判断CD. 【详解】对于A，由，得向量共面，而它们有公共起点，因此四点共面，A是； 对于B，在中，，因此四点共面，B是； 对于C，存在互相垂直的两条异面直线，它们的方向向量垂直，由不能确定四点共面，C不是； 对于D，由，得直线与平行或重合，因此四点共面，D是. 故选：ABD 9．（多选）关于空间向量、、，下列说法正确的是（    ） A．若与共线，与共线，则与共线 B．若存在实数、，使得，则、、共面 C．若是空间的一个基底，且，则四点共面 D．若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 【答案】BCD 【分析】利用任意向量都与共线来判断A，利用共面定理来判断B，利用空间四点共面定理来判断C，利用空间基底来判断D. 【详解】当时，任意的，都与共线，但与不一定共线，故A错误； 若存在实数、，使得，根据这个式子可判断、、共面，故B正确； 由，满足，则四点共面，故C正确； 若是空间的一个基底，则不共面，假设共面， 则， 因为不共面，所以，此时方程组无解，故假设不成立， 所以不共面， 即也是空间的一个基底，故D正确； 故选：BCD 10．（多选）已知三点不共线，为平面外一点，下列条件中能确定四点共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】空间向量基本定理及推论判断即可. 【详解】因为，结合平面向量的基本定理可知四点共面，所以A选项正确； 由空间向量基本定理可知，若四点共面，则需满足存在实数，使得，且，显然B选项不正确，C选项正确； 化简，可得， 满足四点不共面，D选项不正确． 故选：AC 题型三 求空间向量的数量积 空间向量数量积的计算方法 (1)定义法：设向量a，b的夹角为θ，则a·b＝|a||b|cosθ． (2)坐标法：设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2． 【例题精讲】 1．已知正方体的棱长为，若，，，则（    ） A．0 B．2 C．1 D．4 【答案】C 【分析】利用正方体中棱向量两两垂直、模长为的性质，先展开点积，再根据垂直向量点积为，向量自身点积为模长平方，代入计算即可快速得到结果． 【详解】    由题意，正方体棱长为1，所以两两垂直且， 所以， 因为、、，所以，，， 又，代入得． 2．已知正四面体，棱长，为空间中一点，，求的最大值是（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】D 【详解】记的中点为，因为正四面体，棱长， 所以，所以， 又因为，所以是以为球心，为半径的球面上的点，所以 所以， 所以， 所以的最大值是. 3．在正三棱柱中，，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】A 【分析】借助空间向量线性运算与数量积公式，结合正三棱柱性质计算即可得. 【详解】 . 4．三棱锥的所有棱长都为分别是的中点，则（　　） A．-1 B．1 C．-2 D．2 【答案】A 【分析】三棱锥中，由题意可得任意两条棱的夹角为60°，又分别是的中点，再根据数量积的定义求解． 【详解】 分别是的中点，且，即， 又三棱锥的所有棱长都为，任意两条棱的夹角为60°， ， 故选：A. 5．如图，正四面体的棱长为4，平面，为垂足，，延长交于点，则（   ） A．12 B． C．16 D． 【答案】B 【分析】由平面可得，再结合空间向量的线性运算、数量积的定义及运算律求解即可. 【详解】由平面，平面，得， 由题可知， . 故选：B 6．如图，在正三棱柱中，，，则（   ） A． B． C．0 D．1 【答案】B 【分析】根据空间向量数量积运算求得正确答案. 【详解】依题意可知, . 故选：B 7．已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于1，点分别是的中点，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意得两两成角，模都为1，以这三个向量为基底，进行向量数量积运算即可求解． 【详解】根据题意为正四面体，两两成角， 所以， 所以， 所以 ． 故选：B． 8．（多选）若、是两条互相垂直的异面直线，、、、是四个不同的点，满足、，、，且，，，则（   ） A．直线与是异面直线 B． C．若，则 D．若为的中点，则 【答案】AD 【分析】利用反证法可判断A选项；利用空间向量数量积的运算性质可判断BC选项；证明出，利用直角三角形的几何性质可判断D选项. 【详解】如下图所示： 对于A选项，若、共面，则、、、四点共面，即直线、共线， 即直线、共面，这与题设条件矛盾，故直线与是异面直线，A对； 对于B选项，由题意可知，，， 所以 ，B错； 对于C选项，， 所以 ，故，C错； 对于D选项，由题意可知，， 又因为，、平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为为的中点，所以，同理可证，故，D对. 9．（多选）已知等腰，，取，中点，，将沿翻折至，使得为正三角形，若底面，则下列说法正确的是（   ） A．四棱锥存在外接球 B． C． D．四棱锥的体积为 【答案】ABD 【分析】根据折叠前后的线段关系，线面垂直的性质，为正三角形，结合勾股定理可得，从而可判断四棱锥是否存在外接球，即可判断A；利用四边形内的角度关系，结合余弦定理与可得线段的值，即可判断B；根据空间向量数量积的运算性质计算的值，即可判断C；求解四边形的面积，计算四棱锥的体积，即可判断D. 【详解】由题意可知，， 因为为正三角形，， 所以， 又底面，所以， 则，故四棱锥的外接球球心为，故A正确； 由于，则， 所以在平面中，，则①， 在中，由余弦定理得：②， 在中，由余弦定理得：③， 由①②③可得 又，所以，，故B正确； 由③可得，则为锐角，所以， 所以， 因为， 则 ，故C错误； 由可得， 则四边形的面积 故四棱锥的体积为，故D正确. 故选：ABD. 10．（多选）如图，点，分别是棱长为1的正四面体的边和的中点，点在线段上，且.则（   ）    A． B． C． D．向量在方向上的投影数量为 【答案】AC 【分析】根据题意，利用空间向量线性运算，可判断A正确；利用空间向量数量积的运算性质与运算，可判断B错误，C正确；根据投影的定义及计算公式，可判断D错误. 【详解】对于A：由，可得， 则，所以A正确； 对于B，由 ，所以，所以B错误； 对于C，，所以C正确； 对于D，向量在方向上的投影数量为，所以D错误； 故选：AC. 题型四 利用数量积求长度与夹角 (1)运用公式|a|2＝a·a，可使线段长度(即两点间距离)的计算问题转化为向量数量积的计算问题． (2)设非零向量a，b所成的角为θ，则cosθ＝，进而可求两向量的夹角． 【例题精讲】 1．如图，在直三棱柱中， ，，则向量与的夹角的余弦值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用直棱柱的结构特征及空间向量数量积求解. 【详解】在直三棱柱中，平面，平面，平面， 则，由，，得，则， 由，得E为的中点，则， 由，得，则， 因此＝， 所以向量与的夹角的余弦值是. 2．线段在平面内，，且，则两点间的距离为（   ） A．5 B． C． D． 【答案】D 【分析】由得，，即得，又，再由，利用数量积的运算即可求解. 【详解】由，，，得，， 得到，又所以， ， ，∴. 3．如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为6，，，则的长为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由空间向量的线性运算及数量积运算求解． 【详解】由题意可得， 以顶点为端点的三条棱长均为6，, ,得 ， ， 则： . 故选：C 4．如图，二面角的大小为，棱l上有两点A，B，线段和分别在面和内，且，.若，，则的长为（   ） A．10 B．8 C．6 D． 【答案】A 【分析】由图得，再根据向量数量积的运算律和定义代入数据即可得到答案. 【详解】由题意得， 所以． 因为，二面角的大小为， 所以，． 因为， 所以， 所以. 故选：A. 5．如图，在平行六面体中，，，则（    ） A．1 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】由空间向量平行六面体法则可得，利用空间向量数量积的运算性质可求得的值. 【详解】由题意可知：，， 则， 因为， 则 ， 所以. 故选：C. 6．已知二面角的平面角为，，，，，，，若，则CD长为（   ） A．4 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】根据式子，根据空间向量数量积的运算律即可求出的长． 【详解】如图； 因为，，所以， 因为二面角的余弦值是， 所以， 即， 所以 ， 所以，即的长为2． 故选：C． 7．已知四面体中，，，，，空间一点M满足，若四点共面，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由空间向量的和差整理得到与的关系式，由四点共面求得系数的值，然后由向量的数量关系求得，代入即可求得结果. 【详解】由，得， 所以． 由四点共面，知，解得． 又，， ∵， ∴ ． 故选：B． 8．（多选） 如图，平行六面体的底面是边长为1的菱形，且，平面，则（     ）    A．直线与直线所成角为 B．平面 平面 C． D．平行六面体的体积为 【答案】BCD 【分析】根据题意，可得平面，则，可判断A；根据面面平行的判断定理判断B；根据，则解得，进而求得，判断C；过点作于点，则平面，故为平行六面体的高，求体积判断D. 【详解】连接，∵底面是边长为1的菱形，， 平面平面，， 平面，平面， 平面， ，A错误； ，四边形为平行四边形， ，又平面，平面， 平面，同理可知平面， 又平面， 平面平面B正确； 平面平面， ， 则 ， 即 ， 又， 设的长度为，故，解得，负值舍去， 又， 故   ， C正确； ， 又 ， 故，故， 过点作于点，则， 平面平面，， 平面为相交直线， 平面，故为平行六面体的高， 菱形的面积为， 则平行六面体的体积为D正确． 9．（多选）在平行六面体中，，，，分别为棱，的中点，则（    ） A． B．平面 C． D．直线与所成角的余弦值为 【答案】BD 【分析】对A：利用平行六面体性质结合平行四边形定义及其性质可得，又与相交，可得与为异面直线；对B：借助菱形性质可得，再利用三角形全等可得，由等腰三角形三线合一可得，即可利用线面垂直判定定理得到平面；对C：求出、及后，利用余弦定理计算即可得；对D：由，，可得即为所求，求出、、后，利用余弦定理计算即可得. 【详解】对于A：平行六面体中，， 又为棱的中点，所以与相交，故与为异面直线，A错误.    对于B：连接、，交于点，连接、， 因为，则四边形为菱形，故，点为中点. 又，，所以，故. 又点为中点，所以， 又，，平面，故平面，故B正确. 对于C：由，， 得、、均为等边三角形，故. 在等腰中，， 在等腰中，， 在中，， 在中，，则，C错误. 对于D：连接，，因为，分别为棱，的中点，所以， 又，则直线与所成角即为直线与所成角，即为. ， ，， 在中，，D正确. 课时精练 一、单选题 1．如图，在梯形中，，点O为空间内任意一点，设，则向量可用表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】在梯形中，， 所以， 所以. 2．四面体中，，，，且，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】依题意，由，得， 由，得， 所以. 3．如图，在三棱柱中，，，，点为棱的中点，点为棱的中点，点在棱上．若，则线段的长度为（     ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】设，利用空间向量加减、数乘的几何意义，结合三棱柱中各线段的位置关系用表示出，由可知，即可求出，进而得出线段的长度. 【详解】由题意，因为点为棱的中点， 所以， 又因为点为棱的中点，点在棱上， 设， 所以， 因为，，， 所以，，， 因为， 所以， 所以， 所以，解得， 因为，所以. 4．已知点、、不共线，为平面外一点，下列能够确定、、、四点共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由空间向量共面的推论，判断是否成立即可. 【详解】对于A：根据给定线性关系式有，A错误； 对于B：根据给定线性关系式有，B错误； 对于C：根据给定线性关系式有，C错误； 对于D：根据给定线性关系式有，D正确. 5．如图所示，四面体所有棱长均为4，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量的线性运算及数量积求解即可. 【详解】由题意知，为等边三角形，所以. 所以 . 6．在四面体中，，平面且平面，给出下列三个结论： ①若，则； ②若，则； ③若，则． 其中所有正确结论的序号是（   ） A．③ B．①③ C．①② D．①②③ 【答案】B 【分析】建系，根据向量内积以及向量模的计算公式进行计算验证即可. 【详解】将设为原点，平面为平面，由平面， 得 ， ， ， . 因为，所以 ，推出， ①因为，所以 ，推出， 因此， ， ， 三者相等，①正确. ②因为，所以， 化简得​，但不一定有 . 举反例：取 ，满足和， 计算得 ， ，②错误. ③因为，，推出. ， ， 则 . 故，③正确. 综上，正确结论为①③. 7．在底面边长为2的正三棱柱中，D，E分别是和的中点，若，则该三棱柱外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的线性运算求出，然后根据向量夹角的余弦公式求出的值，进而根据正弦定理求出三棱柱外接球的半径，从而求出表面积. 【详解】设侧棱长为，则 ， 由，得（负值舍去）． 底面三角形外接圆半径为， 设外接球半径为，则，所以外接球的表面积为． 故选：D． 8．如图，的二面角的棱上有两点，直线分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于．已知，则的长为（   ） A． B．7 C． D．9 【答案】C 【分析】根据式子，即可求出的长为. 【详解】因为，所以， 因为二面角为，所以，即， 所以 ， 所以，即的长为. 故选：C. 二、多选题 9．（多选）已知平行六面体中，，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．二面角的正弦值为 D．该平行六面体的体积为 【答案】BC 【分析】由即可判断A；由即可判断B；取AD中点O，连接得到是二面角的一个平面角，再计算即可求解二面角的正弦值；求出即可由正弦定理和柱体体积公式计算求解判断D. 【详解】由题可得， 因为 所以不垂直，A错误； 因为，所以， 所以即，B正确； 取AD中点O，连接，则由题意易知， 所以是二面角的一个平面角， 因为， 则， ， 所以， 所以二面角的正弦值为，C正确. 因为四面体为正四面体，故顶点在底面的投影落在直线上， 因为， ， 所以，所以， 所以该平行六面体的体积为，D错误. 10．（多选）如图，平行六面体的底面是菱形，以顶点为端点的三条棱长都等于1，且它们彼此的夹角都是，为与的交点，则（    ） A． B． C．四点共面 D． 【答案】ABD 【分析】利用空间向量的加法法则结合模的性质判断A，利用空间向量的加法法则并结合题意判断B，根据异面直线的性质得到四点不共面判断C，利用空间向量的减法法则和数量积的运算律判断D即可. 【详解】选项A，在平行六面体中，可得， ，故A正确； 选项B，，故B正确； 选项C，由，平面可知，平面， 从而为异面直线，四点不共面，故C错误； 选项D，由于，可得 ，故D正确． 11．（多选）已知正四面体的棱长为2，点分别为的中点，则（   ） A． B．直线与所成角的余弦值为 C． D．该正四面体的内切球体积为 【答案】ABD 【分析】取的中点，利用线面垂直的判定性质判断A；利用定义法求出异面直线夹角余弦判断B；利用空间向量数量积运算律计算判断C；利用体积法求出内切球的半径，进而求出球的体积判断D. 【详解】对于A中，因为点分别为的中点，所以， 取的中点，分别连接， 因为，所以， 又因为且平面，所以平面， 因为平面，所以， 又因为，所以，所以A正确； 对于B，取的中点，连接，因为为的中点，所以， 所以异面直线与所成角，即为直线与所成角所成的角， 因为正四面体的棱长为，可得， 在中，可得， 所以异面直线与所成角的余弦值为，所以B正确； 对于 C，设向量，则，且， 则， 因为，， 所以， 所以C错误； 对于D，设正四面体的底面正的中心为，连接， 在等边中，可得， 在直角中，可得， 即正四面体的高为， 所以正四面体的体积为， 又由正四面体的表面积为， 设正四面体的内切球的半径为， 根据等体积法，可得，即，解得， 所以内切球的体积为，所以D正确. 三、填空题 12．已知空间中的三个单位向量，，满足两两夹角是，则__________． 【答案】 【分析】由题意得，，两两之间夹角都是，展开后利用数量积的定义直接运算再开方即可得解. 【详解】由题意得单位向量，，且两两之间夹角为， 所以， ， 所以. 13．为空间任意一点，若，若A，B，C，P四点共面，则实数等于_______. 【答案】/ 【分析】借助空间向量线性运算及四点共面条件计算即可得. 【详解】由，则， 则， 由A，B，C，P四点共面，则，解得. 14．如图所示，为平行六面体（六个面均为平行四边形的棱柱），点E、F分别在棱、上，满足，（为实数）．若平面截所得截面是一个五边形，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】设平面与直线的交点为，由题意可得点在线段的延长线上，进而根据面面平行、线面平行的性质得到，，可得四边形为平行四边形，进而结合空间向量的线性运算可得，进而求解即可. 【详解】设平面与直线的交点为， 由于平面截所得截面是一个五边形， 则点在线段的延长线上， 在平行六面体中，平面平面， 因为平面，所以平面， 又平面，平面平面，则，同理可得， 所以四边形为平行四边形， 则， ， 由于点在线段的延长线上，则，即， 又点F在棱上，则，且时，点F与点重合，此时截面为四边形，不满足题意， 因此，则的取值范围是. 四、解答题 15．如图所示，如图，三棱锥各棱长均为1，侧棱上的，，满足，线段上的点满足平面，点在上，且与端点不重合，． (1)求证：平面平面； (2)求证：； (3)若，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）利用线面平行的判定定理得到平面，再结合面面平行的判定定理求解即可. （2）利用面面平行的性质定理求解即可. （3）结合题意与空间向量的线性运算得到，最后利用空间向量基本定理建立方程，求解参数即可. 【详解】（1）平面平面， 平面，平面平面， 而平面平面， 平面平面． （2）由（1）知平面平面， 又平面平面，平面平面，. （3）如图，作出符合题意的图形， ，点是的中点， ，，点是的中点，． ，且三棱锥各棱长均为1， ，． 点在上且与端点不重合，，解得． ，， 又， 而， 由（2）知，， ，使得， 即， 由空间向量基本定理可得，解得. 16．如图，已知为空间的9个点，且，，，，，，， 求证： (1)四点共面，四点共面； (2)； (3). 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）由得到，，共面，进而得到四点共面；同理可证四点共面. （2）根据空间向量的线性运算得到，进而得到向量平行. （3）根据空间向量的线性运算即可. 【详解】（1）因为，，所以，，共面， 所以四点共面． 因为，，所以，，共面， 所以四点共面． （2） ， 所以. （3）. 17．如图，在空间平移到，连接对应顶点．设，，，是的中点，是的中点，用基底表示向量. 【答案】， 【分析】利用空间向量的加法运算及数乘运算求解即可． 【详解】如图，由已知得是三棱柱，所以各侧面均为平行四边形， 因为是的中点， 所以， 因为是的中点， 所以． 18．如图，已知平行四边形ABCD，从平面ABCD外一点O引向量，，，． (1)求证：四点E，F，G，H共面； (2)求证：平面ABCD∥平面EFGH． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据向量的线性运算可得,由空间向量,可判断向量共面,进而可得点共面. （2）根据向量共线可得直线与直线平行,进而可证明线面平行,进而可证明面面平行. 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴， ∵ ， ∴E，F，G，H共面 （2）证明：∵，∴， 又平面EFGH，平面EFGH， ∴∥平面EFGH． ∵，∴， 又平面EFGH，平面EFGH， ∴∥平面EFGH． 又，平面ABCD. 所以，平面ABCD∥平面EFGH． 19．如图1，在矩形ABCD中，于于，将沿AC翻折至，使得，连接，如图2． (1)求三棱锥的体积； (2)求直线与直线AC所成角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)作辅助线画出底面的高，利用已知条件算出底面积和高即可求出体积； (2)先算出和的比，利用向量线性关系求出和、，再利用向量数量积公式求出夹角余弦值. 【详解】（1）解：过点作交于点，如图所示， 由知，且， 又因为且，所以平面， 过点作交延长线于点，所以， 又因为，故平面，即为三棱锥的高， 由题知，，则，，， 所以； （2）解：因为，，解得，所以， 同理可得，所以，， 由图知， 两边平方得：，所以， 又因为， 所以. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $