暑假作业10 一次函数的应用与综合（1个知识点+6个题型+创新题型）-【暑假分层作业】2025年八年级数学暑假培优练（人教版）

限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业10 一次函数的应用与综合 【知识点 一次函数的应用】 判断等量关系为一次函数的情况 （1）函数图象是直线（或直线的一部分）； （2）用表格呈现数据时：当自变量的变化值均匀时，函数的变化值也是均匀的，而且当自变量的变化值为1时，函数的变化值就是自变量的系数； （3）用语言呈现数据时：当自变量每变化1个单位时，因变量就相应变化个单位 常见类型 （1）最优方案或方案选择问题：常通过比价函数值的大小关系确定方案； （2）利润最大或费用最少问题：通过函数增减性确定最值. 注意：根据实际情况确定变量的取值范围 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 【题型1 一次函数的应用与行程问题】 1．甲、乙两人赛跑，两人所跑的路程y（米）与所用的时间x（分）的函数关系如图所示，给出下列说法： ①比赛全程1500米． ②2分时，甲，乙相距300米． ③比赛结果是乙比甲领先50秒到达终点． ④3分40秒时，乙追上甲，其中正确的个数有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 2．已知甲，乙两地相距480km，一辆出租车从甲地出发往返于甲乙两地，一辆货车沿同一条公路从乙地前往甲地，两车同时出发，货车途经服务区时，停下来装完货物后，发现此时与出租车相距120km，货车改变速度 继续出发后与出租车相遇．出租车到达乙地后立即按原路返回，结果比货车早15分钟到达甲地．如图是两车距各自出发地的距离y（km）与货车行驶时间x（h）之间的函数图象，则下列说法错误的是（　　） A．a＝120 B．点F的坐标为（8，0） C．出租车从乙地返回甲地的速度为128km/h D．出租车返回的过程中，货车出发或都与出租车相距12km 3．甲骑电动车，乙骑自行车从深圳湾公园门口出发沿同一路线匀速游玩，设乙行驶的时间为x（h），甲、乙两人距出发点的路程S甲、S乙关于x的函数图象如图①所示，甲、乙两人之间的路程差y关于x的函数图象如图②所示，请你解决以下问题： （1）甲的速度是 　 km/h，乙的速度是 　 km/h； （2）对比图①、图②可知：a＝ 　 ，b＝ 　 ； （3）乙出发多少时间，甲、乙两人路程差为7.5km？ 4．一条笔直的公路上依次有A、B、C三地，甲车从A地出发，沿公路经B地行驶到C地，甲车出发1小时后乙车从C地出发，沿公路行驶到B地．甲、乙两车匀速行驶，乙车比甲车早小时到达目的地，乙车到达目的地后原地休息．甲、乙两车之间的距离y（km）与甲车行驶时间x（h）的函数关系如图所示，请结合图象信息，解答下列问题： （1）A、C两地的距离为 　 km，甲车行驶速度为 　 　 km/h，乙车行驶速度为 　 　 km/h； （2）求图中线段FG所在直线的函数解析式； （3）直接写出乙车出发多少小时，乙车与B地的距离是甲车与B地距离的2倍． 5．在A、B两地之间有服务区C，甲车由A地驶往服务区C，乙车由B地驶往A地，两车同时出发，匀速行驶．如图是甲、乙两车分别距离服务区C的路程y1、y2（单位：千米）与乙车行驶时间x（单位：小时）之间的函数图象，结合图象信息，解答下列问题： （1）甲车的速度是 　 千米/时； （2）求图象中线段DF的函数解析式； （3）当两车距服务区C的路程之和是360千米时，直接写出此时乙车的行驶时间． 【题型2 一次函数的应用与费用最少问题】 6．鲜花饼是一款以云南特有的食用玫瑰花入料的酥饼，是具有云南特色的云南经典点心代表，鲜花饼在云南当地烘焙品牌店均有销售．每年4月，鲜花饼的上市早已成为当地人民的共同期待，排着长队等待购买新鲜上市的鲜花饼在当地早已司空见惯，某经销商准备从一鲜花饼加工厂购进甲、乙两种鲜花饼进行销售，加工厂的厂长为了答谢经销商，对甲种鲜花饼的出售价格根据购买量给予优惠，对乙种鲜花饼按80元/千克的价格出售，设经销商购进甲种鲜花饼x千克，付款y元，y与x之间的函数关系如图所示． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）若经销商计划一次性购进甲、乙两种鲜花饼共150千克，其中甲种鲜花饼多于50千克且不超过80千克，如何分配甲、乙两种鲜花饼的购进量，才能使经销商付款总金额w最少？ 7．“阅读陪伴成长，书香润泽人生”，某中学为营造书香校园，计划购进甲、乙两种规格的书柜放置新购置的图书．调查发现，若购买甲种书柜3个，乙种书柜4个，共需要资金1500元；若购买甲种书柜4个，乙种书柜3个，共需资金1440元． （1）甲、乙两种书柜每个的价格分别是多少元？ （2）若该校计划购进这两种规格的书柜共30个（两种规格的书柜都必须购买），其中购买乙种书柜的数量不少于购买甲种书柜的数量，请问：甲乙两种书柜各购进多少个时，花费资金最少，最少资金是多少元？ 8．中华优秀文化源远流长，她是中华文明的智慧结晶．《周髀算经》是我国古代较为普及的算书，许多问题浅显有趣．某书店的《孙子算经》的单价是《周髀算经》单价的，用600元购买《孙子算经》比购买《周髀算经》多买5本． （1）两种图书的单价分别是多少元？ （2）某校图书室计划购买这两种图书共100本，且购买的《周髀算经》的数量不少于《孙子算经》数量的一半．由于购买量大，该书店打折优惠，两种图书均按8折出售，两种图书分别购买多少本时费用最少？最少费用多少？说明你的理由． 9．我市某游乐场在暑假期间推出学生个人门票优惠活动，各类门票价格如下表： 票价种类 （A）夜场票 （B）日通票 （C）节假日通票 单价（元） 80 120 150 某慈善单位欲购买三种类型的门票共100张奖励品学兼优的留守学生，设购买A种票x张，B种票张数是A种票的3倍还多7张，C种票y张，根据以上信息解答下列问题： （1）直接写出x与y之间的函数关系式； （2）设购票总费用为W元，求W（元）与x（张）之间的函数关系式； （3）为方便学生游玩，计划购买学生的夜场票不低于20张，且节假日通票至少购买5张，有哪几种购票方案？哪种方案费用最少？ 10．受天气影响，一水果种植专业户有大量成熟水果无法出售．“一方有难，八方支援”，某水果经销商主动从该种植专业户购进甲，乙两种水果进行销售．专业户为了感谢经销商的援助，对甲种水果的出售价格根据购买量给予优惠，对乙种水果按25元/千克的价格出售．设经销商购进甲种水果x千克，付款y元，y与x之间的函数关系如图所示． （1）直接写出当0≤x≤50和x＞50时，y与x之间的函数关系式； （2）若经销商计划一次性购进甲，乙两种水果共100千克，且甲种水果不少于40千克，但又不超过60千克． ①如何分配甲，乙两种水果的购进量，才能使经销商付款总金额w（元）最少？ ②若甲，乙两种水果的销售价格分别为41元/千克和36元/千克．若销售完100千克水果后；甲种水果的获利大于乙种水果的获利，求甲种水果购进量x的取值范围． 【题型3 一次函数的应用与利润最大问题】 11．某书店计划同时购进A，B两类图书，已知购进3本A类图书和4本B类图书共需288元；购进6本A类图书和2本B类图书共需306元． （1）A，B两类图书每本的进价各是多少元？ （2）该书店计划恰好用4500元全部购进这两类图书，设购进A类图书x本，B类图书y本． ①求y关于x的关系式． ②进货时，A类图书的购进数量不少于60本，已知A类图书每本的售价为38元，B类图书每本的售价为50元．若书店全部售完可获利w元，求w关于x的关系式，并说明应该如何进货才能使书店所获利润最大？最大利润为多少元？ 12．根据需要，某厂要制作如图所示的A，B两种塑料盒（单位：cm）共80个，购进某种塑料板材100张． 每张这样的塑料板材有两种裁剪方法： 甲：裁成4块10×10的小正方形板； 乙：裁成8块10×5的小长方形板． 先将x张（x＜100）这种板材都按甲方法裁成小正方形板，用于制作80个A，B两种塑料盒的正方形的面，每个A种塑料盒需要6块正方形的面，每个B种塑料盒需要2块正方形的面和4块长方形的面，设制作A种塑料盒y个． （1）按甲方法裁成小正方形板 　 　 块（用含x的式子表示），按甲方法裁成小正方形板（6y+　 　 ）块（用含y的式子表示），求y与x的函数关系式； （2）若把剩下的板材都按乙方法裁成小长方形板，恰好做成了A，B两种塑料盒各40个，已知每张板材的进价是4元，将其按甲方法裁剪还需要1元，按乙方法裁剪还需要3元，其他成本忽略不计．A种塑料盒的销售单价定为m元（m≥8），B种塑料盒的销售单价定为元，但不低于7元．m定为多少时，这批塑料盒的销售利润最大，并求出最大利润． 13．某企业生产A、B两种型号的产品共500件，销往甲、乙两个地区．在两地销售可获得的利润情况如表： A型产品（元/件） B型产品（元/件） 甲地区销售可获得的利润 180 130 乙地区销售可获得的利润 160 120 若该企业计划将生产的A型产品全在乙地区销售，B型产品全在甲地区销售，这样可获得利润7.1万元． （1）求A、B两种型号产品各生产了多少件？ （2）若销往甲地区x件A型产品，余下的所有产品销往乙地区，写出销售这500件产品可获得的利润y（元）与x之间的函数表达式，并求利润的最大值． 14．茶为国饮，茶文化是中国传统文化的重要组成部分，这也带动了茶艺、茶具、茶服等相关文化的延伸及产业的发展，在“春季茶叶节”期间，某茶具店老板购进了A、B两种不同的茶具．若购进A种茶具1套和B种茶具2套，需要250元：若购进A种茶具3套和B种茶具4套则需要600元．且已知销售一套A种茶具，可获利30元，销售一套B种茶具可获利20元． （1）A、B两种茶具每套进价分别为多少元？ （2）由于茶具畅销，老板决定再次购进A、B两种茶具共80套，茶具工厂对两种类型的茶具进行了价格调整，A种茶具的进价比第一次购进时提高了8%，B种茶具的进价按第一次购进时进价的八折；如果茶具店老板此次用于购进A、B两种茶具的总费用不超过6240元，则如何进货可使再次购进的茶具获得最大的利润？最大的利润是多少？ 15．某商场购进A，B两种商品共150件进行销售，其中A商品的件数不超过B商品件数的2倍，不少于B商品件数的一半，A，B两种商品的进价、售价如表： A B 进价（元/件） 120 110 售价（元/件） 170 155 请利用所学知识解决下列问题： （1）设商场购进A商品的件数为x件，购进A，B两种商品全部售出后获得利润为y元，求y与x之间的函数关系式及x的取值范围： （2）在（1）的条件下，商场购进A商品多少件时，商场获得利润最大？最大利润是多少元？ （3）在（1）的条件下，商场决定在销售活动中每售出一件A商品，就从一件A商品的利润中拿出m元（5＜m≤8）捐给慈善基金，则商场购进A商品多少件时，可获得最大利润？ 【题型4 一次函数的应用与分段计费问题】 16．某公司每月生产甲、乙两种型号的果汁共20万瓶，且所有果汁当月全部卖出，其中成本、售价如表： 甲 乙 成本 12元/瓶 4元/瓶 售价 18元/瓶 6元/瓶 （1）设甲种型号的果汁有x万瓶，公司所获利润为W元，如果该公司四月份投入成本不超过216万元，应该怎样安排甲、乙两种型号果汁的产量，可使该月公司所获利润最大？并求出最大利润． （2）“五一”黄金周期间，为扩大销量，该公司对乙种型号果汁进行优惠，优惠方案如下： 方案一：购买乙种型号果汁一律打9折； 方案二：购买168元会员卡后，乙种型号果汁一律8折． 某超市到该公司购买乙种型号果汁，请帮该超市设计出合适的购买方案． 17．某校开展爱心义卖活动，同学们决定将销售获得的利润捐献给福利院．初二某班的同学们准备制作A、B两款挂件来进行销售．已知制作3个A款挂件、5个B款挂件所需成本为46元，制作5个A款挂件、10个B款挂件所需成本为85元．已知A、B两款挂件的售价如下表： 手工制品 A款挂件 B款挂件 售价（元/个） 12 8 （1）求制作一个A款挂件、一个B款挂件所需的成本分别为多少元？ （2）若该班级共有40名学生．计划每位同学制作2个A款挂件或3个B款挂件，制作的总成本不超过590元，且制作B款挂件的数量不少于A款挂件的2倍．设安排m人制作A款挂件，销售的总利润为w元．请写出w（元）与m（人）之间的函数表达式，求出自变量的取值范围，并说明如何安排，使得总利润最大，最大利润是多少？ 18．某快递公司因业务拓展，需要招聘快递员，提供了如下两种日工资方案： 方案一：每日底薪50元，每完成一单业务再提成3元； 方案二：每日底薪80元，前30单无提成，超过30单的部分，每完成一单提成5元． 设快递员每日完成的业务量为n单（n为正整数），方案一、二中日工资分别为y1，y2（单位：元）． （1）分别写出y1，y2关于n的函数解析式； （2）据统计，若某快递员平均每天的业务量约为50单，仅从日工资收入的角度考虑，他应该选择哪种日工资方案？说明理由； （3）设某快递员平均每日完成的业务量为n单，从日工资收入的角度考虑，他应该选择哪种日工资方案？试画出日工资收入函数大致图象并直接写出你的选择方案． 19．某城市为了节约用水，采用分段收费标准，若某户居民每月应交水费y（元）与用水量x（吨）之间关系的图象如图所示，根据图形回答： （1）该市自来水收费时，每户使用不超过5吨时，每吨收费 　 　 元；超过5吨时，每吨收费 　 　 元； （2）求该户居民每月应交水费y（元）与用水量x（吨）之间的关系式； （3）若某户居民某月交水费17元该户居民用水多少吨？ 20．当排球和足球纳入中招考试体育加试后，这两种球的销量逐步提升．某体育用品商店看准时机，第一次购入30个排球和70个足球共花费4550元．第二次购入60个排球和40个足球共花费4100元．商店将排球和足球以50元/个和70元/个的价格出售，前两次进货很快销售一空． （1）求每个排球和足球的进价． （2）该商店准备第三次购入排球和足球共200个，根据市场需求，排球的购买个数不少于40个且不超过100个．购买时生产厂家对排球进行了优惠，规定购买排球不超过50个时保持原价，超过50个时超过的部分打八折．设第三次进货销售完的总利润为W元（利润＝销售额﹣成本），其中购进排球x个． ①求W与x的函数关系式． ②商店为了回馈顾客，开展促销活动．将其中的m（m为正整数）个排球按30元/个，3m个足球按50元/个进行销售．若第三次进货销售完后，获得的最大利润不能低于3000元，求m的最大值． 【题型5 一次函数的应用与含参问题】 21．武汉某文化公司向市场投放A型和B型商品共200件进行试销，A型商品成本价140元/件，B型商品成本价120元/件，要求两种商品的总成本价不超过26400元，已知A型商品的售价为200元/件，B型商品的售价为170元/件，全部售出且获得的利润不低于10800元．设该公司投放A型商品x件，销售这批商品的利润为y元． （1）求y与x之间的函数解析式，并求出x的取值范围； （2）要使这批商品的利润最大，该公司应该向市场投放多少件A型商品？最大利润是多少？ （3）该公司决定在试销活动中每售出一件A型商品，就从一件A型商品的利润中捐献慈善资金a（a＞0）元，当该公司售完这200件商品并捐献资金后获得的最大收益为10960元时，求a的值． 22．红星美凯龙某商店销售12台A型和5台B型空调的利润为1950元，销售8台A型和10台B型电脑的利润为2300元． （1）求每台A型空调和B型空调的销售利润； （2）该商店计划一次购进两种型号的空调共100台，其中B型空调的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型空调x台，这100台空调的销售总利润为y元，求该商店购进A型、B型空调各多少台，销售总利润最大为多少元？ （3）实际进货时，厂家对A型空调出厂价下调m（50＜m＜100）元，且限定商店最多购进A型空调70台，若商店保持同种空调的售价不变，请你根据以上信息及（2）中条件，设计出使这100台空调销售总利润最大的进货方案． 23．某体育用品商场采购员要到厂家批发购买篮球和排球共100个，篮球个数不少于排球个数，付款总额不得超过11200元，已知篮球和排球的厂家批发价分别是每个120元和每个100元，商场零售价分别是每个150元和每个120元．设该商场采购x个篮球． （1）求该商场的采购费用y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围； （2）该商场把这100个球全部以零售价售出，求商场能获得的最大利润； （3）受原材料和工艺调整等因素影响，采购员实际采购时，篮球批发价上调了3m（m＞0）元/个，同时排球批发价下调了2m元/个．该体育用品商场决定不调整商场零售价，发现将100个球全部卖出获得的最低利润是2300元，求m的值． 24．2024年4月30日17时46分，神舟十七号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，载人飞行任务取得圆满成功．航模店看准商机，在模型厂购进“神舟”和“天宫”模型出售，已知“天宫”模型的利润30元/个，“神舟”模型的利润18元/个．该店计划购进这两种模型共200个，其中购进“天宫”模型数量不超过“神舟”模型的2倍，设购买“神舟”模型x个，销售这批模型的利润为w元． （1）求w与x的函数关系式，并写出x的取值范围； （2）当购进这两种模型各多少个时，销售这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？ （3）实际进货时，厂家对“神舟”模型出厂价下调m元（5≤m≤15），且限定航模店最多购“神舟”模型80台，若航模店保持同种模型的售价不变，求出这200个模型利润最大时的x的值． 25．为了迎接“十•一”小长假的购物高峰．某运动品牌专卖店准备购进甲，乙两种运动鞋．其中甲、乙两种运动鞋的进价和售价如下表： 种类 运动鞋价格 甲 乙 进价（元/双） m m﹣20 售价（元/双） 160 120 已知：用3000元购进甲种运动鞋的数量与用2400元购进乙种运动鞋的数量相同． （1）求m的值； （2）要使购进的甲、乙两种运动鞋共200双的总利润（利润＝售价﹣进价）不少于10800元，且不超过11100元，问该专卖店有几种进货方案？ （3）在（2）的条件下，专卖店准备对甲种运动鞋进行优惠促销活动，决定对甲种运动鞋每双优惠a（10＜a＜35）元出售，乙种运动鞋价格不变．那么该专卖店要获得最大利润应如何进货？ 【题型6 一次函数与几何综合题】 26．如图，在平面直角坐标系中，直线y1＝x+1与x轴、y轴分别交A、B两点，与直线相交于点C（3，m）． （1）求m和b的值； （2）若直线与x轴相交于点D，动点P从点D开始，以每秒2个单位的速度向x轴负方向运动，设点P的运动时间为t秒． ①点A的坐标为 　 　 ，点D的坐标为 　 　 ； ②若点P在线段DA上，且△ACP的面积为10时，求t的值； ③直接写出t为何值时，△ACP为等腰三角形． 27．如图，在平面直角坐标系中，直线m：y＝﹣x+b与直线n：y＝ax+8（a≠0）交于点A（﹣1，5），直线m、n分别与x轴交于点B、C． （1）求点B、C的坐标； （2）若线段AC上存在一点P，使得S△CBP，求点P的坐标； （3）在（2）的条件下，在平面直角坐标系中找一点Q，使得以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点Q的坐标． 28．如图，直线l：y＝kx+b是由直线y＝﹣x经过平移并且经过点D（2，10）而得，它与x轴和y轴的交点分别为A、B，若C（10，0），点E（0，n）为y轴上的动点． （1）求直线l的解析式及∠ABO的度数； （2）若∠ECO＝∠ADC，求点E的坐标； （3）若点O关于直线CE的对称点F，连接CF，直接写出线段CF与直线l有交点时，n的取值范围． 29．如图1，函数 与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称． （1）求直线BC的函数解析式； （2）设点M是x轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线AB于点P，交直线BC于点Q． ①若PQ的长为4，求点M的坐标； ②如图2，连接BM，在点M的运动过程中是否存在点P，使∠BMP＝∠BAC，若存在，请求出点P坐标；若不存在，请说明理由． 30．如图1，已知直线l与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点B（0，3），以A为直角顶点在第一象限内作等腰Rt△ABC，其中上∠BAC＝90°，AB＝AC． （1）求直线l的解析式和点C的坐标； （2）如图2，点M是BC的中点，点P是直线l上一动点，连接PM、PC，求PM+PC的最小值，并求出当PM+PC取最小值时点P的坐标； （3）在（2）的条件下，当PM+PC取最小值时，在直线PM上是否存在一点Q，使？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 31．如图1，已知直线y＝kx+6与y轴交于点A，与x轴交于点B（3，0），直线y＝﹣x以每秒1个单位长度的速度沿y轴正方向平移，平移时交线段OA于点D，交线段OB于点C，当点C与点B重合时结束运动． （1）求k的值； （2）若直线CD的函数关系式为y＝﹣x+1，P是直线CD上一点，当S△ADP＝S△AOB时，求点P的坐标； （3）如图2，在直线y＝﹣x运动过程中，过点D作DE⊥y轴交AB于点E，连接CE，设运动时间为t（s）．当CE＝CD时，求t的值． 32．如图所示，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边AB＝5，边OA＝4，直线l：y＝2x+b与矩形OABC的边OC和AB都有交点，交点分别是点D与点E． （1）请用含b的代数式分别表示点D和点E的坐标：D 　　 ，E 　　 ； （2）当四边形ADCE为平行四边形时，求b的值； （3）若要使在平面内存在点F，使以点C、D、E、F这四点为顶点的四边形为菱形，是否存在满足条件的b的值？若存在，求出b的值；若不存在，请说明理由． 33．如图，直线y＝kx﹣4k（k≠0）与坐标轴分别交于点A，B，过点A、B作直线AB，以OA为边在y轴的右侧作四边形AOBC，S△AOB＝8． （1）求点A，B的坐标； （2）如图，点D是x轴上一动点，点E在AD的右侧，∠ADE＝90°，AD＝DE； ①如图1，问点E是否在定直线上，若是，求该直线的解析式；若不是，请说明理由； ②如图2，点D是线段OB的中点，另一动点H在直线BE上，且∠HAC＝∠BAD，请直接写出点H的坐标． 34．阅读理解： 【新定义】对于线段MN和点Q，定义：若QM＝QN，则称点Q为线段MN的“等距点”；特别地，若∠MQN＝90°，则称点Q是线段MN的“完美等距点”． 【解决问题】如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（6，0），点P（m，n）是直线yx上一动点． （1）已知4个点：B（3，﹣3）、C（3，﹣2）、D（﹣3，﹣3）、，以上这四个点中 　 　 是线段OA的“等距点”，　 　 是线段OA的“完美等距点”（填写大写字母）． （2）若点P在第三象限，且OP＝2，点H在y轴上，且H是线段AP的“等距点”，求点H的坐标； （3）当m＞0，是否存在这样的点N，使点N是线段OA的“等距点”且为线段OP的“完美等距点”，请直接写出所有这样的点P的坐标 　 　 ． 35．根据前面已经学过的“距离”我们知道：点到直线的“距离”是直线外一点和直线上各点连接的所有线段中最短的线段（即垂线段）的长度．类似的我们给出两个图形G1、G2的“距离”定义：如果点P为图形G1上的任意一点，点Q为图形G2上的任意一点，且P、Q两点的“距离”有最小值，那么称这个最小值为图形G1，G2的“距离”，记为d（G1，G2）特别地，当图形G1，G2有公共点时，图形G1，G2的“距离”d（G1，G2）＝0． （1）如图1，在平面直角坐标系中，菱形OABC的∠AOC＝60°，点B、C在第一象限，若A（5，0），D（﹣3，0），E（0，4），则d（D，菱形OABC）＝　 　 ，d（E，菱形OABC）＝　 　 ； （2）如图2，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（0，2），B（﹣2，0），C（2，0），将一次函数y＝kx+6的图象记为L． ①若d（L，△ABC）＝0，求k的取值范围； ②若k＞0，且，则k的值为 　 　 ； （3）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P（4n，6﹣4n）为平面内一点，令d（A，P）＝d1，d（B，P）＝d2，d（C，P）＝d3，比较d1，d2，d3的大小关系 　 （直接写出结果）． 36．【阅读理解】 定义：在同一平面内，有不在同一条直线上的三点M，N，P，连接PM，PN，设 线段PM，PN的夹角为α，，则我们把（α，w）称为∠MPN的“度比坐标”，把 称为∠NPM的“度比坐标”． 【迁移应用】 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+4与x轴相交于点A，与y轴相交于点B． （1）求点A的坐标，并写出∠AOB的“度比坐标”（用含k的代数式表示）； （2）C，D为直线AB上的动点（点C在点D左侧），且∠COD的“度比坐标”为（90°，1）． ⅰ）若，求CD的长； ⅱ）在ⅰ）的条件下，平面内是否存在点E，使得∠DOE的“度比坐标”与∠OCB的“度比坐标”相等？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 37．在平面直角坐标系xOy中，对于任意两个图形T和图形W，给出如下定义：M，N分别为图形T和图形W上任意一点，将M，N两点间距离的最小值称为图形T和图形W之间的“关联距离”，记作d（T，W）．如图，已知△ABC，其中A（﹣2，3），B（﹣2，﹣1），C（1，3），D，E为三角形外两点．例如，点A与x轴之间的“关联距离”d（A，x轴）＝3，线段AB与y轴之间的“关联距离”d（AB，y轴）＝2． （1）求点A与直线BC之间的“关联距离”d（A，直线BC）； （2）若D（3，1），E（5，1），将线段DE向左平移n个单位，当线段DE与△ABC之间的“关联距离”d（DE，△ABC）＝0时，求n的最小值； （3）若D（m，﹣2），E（m+2，﹣4），当﹣2≤m≤3时，对于每一个m，都满足线段DE与一次函数y＝kx﹣2k（k是常数，k≠0）的图象之间的“关联距离”d（DE，直线y＝kx﹣2k）＞0，求k的取值范围． 38．在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x0，y0），给出如下定义：若存在实数x1，x2，y1，y2使得x0﹣x1＝x1﹣x2且y0﹣y1＝y1﹣y2，则称点P为以点（x1，y1）和（x2，y2）为端点的线段的等差点． （1）若线段m的两个端点坐标分别为（1，2）和（3，﹣2），则下列点是线段m等差点的有 　 　 ；（填写序号即可） ①P1（﹣1，6）； ②P2（2，0）； ③P3（4，﹣4）； ④P₄（5，﹣6）． （2）点A，B都在直线y＝﹣x上，已知点A的横坐标为﹣2，M（t，0），N（t+1，1）． ①如图1，当t＝﹣1时，线段AB的等差点在线段MN上，求满足条件的点B的坐标； ②如图2，点B横坐标为2，以AB为对角线构造正方形ACBD，在正方形ACBD的边上（包括顶点）任取两点连接的线段中，若线段MN上存在其中某条线段的等差点，直接写出t的取值范围 　 　 ． 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业10 一次函数的应用与综合 【知识点 一次函数的应用】 判断等量关系为一次函数的情况 （1）函数图象是直线（或直线的一部分）； （2）用表格呈现数据时：当自变量的变化值均匀时，函数的变化值也是均匀的，而且当自变量的变化值为1时，函数的变化值就是自变量的系数； （3）用语言呈现数据时：当自变量每变化1个单位时，因变量就相应变化个单位 常见类型 （1）最优方案或方案选择问题：常通过比价函数值的大小关系确定方案； （2）利润最大或费用最少问题：通过函数增减性确定最值. 注意：根据实际情况确定变量的取值范围 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 【题型1 一次函数的应用与行程问题】 1．甲、乙两人赛跑，两人所跑的路程y（米）与所用的时间x（分）的函数关系如图所示，给出下列说法： ①比赛全程1500米． ②2分时，甲，乙相距300米． ③比赛结果是乙比甲领先50秒到达终点． ④3分40秒时，乙追上甲，其中正确的个数有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】①由函数图象可以得； ②根据图象列式计算即可得出结论； ③由函数图象可以得； ④求出两分钟后，乙图象表示的函数，即可求解． 【解答】解：①由函数图象可得比赛全程1500米，故①正确； ②甲的速度300米/分， ∴2分时甲、乙相距为300×2﹣300＝300米，故②正确； ③由函数图象可以得；乙比甲领先0.5×60＝30秒到达终点，故③错误； ④设两分钟后，y乙＝kx+b，将（2，300），（4.5，1500）代入y乙＝kx+b，由题意可得：， 解得：， ∴y乙＝480x﹣660， 设甲的函数解析式，y甲＝kx，将（5，1500），代入y＝kx，得1500＝5k， 解得k＝300， ∴y甲＝300x， 联立， 解得x， 所以可列y＝300x，即乙追上甲用分钟＝3分钟40秒，故④正确． 故选：C． 2．已知甲，乙两地相距480km，一辆出租车从甲地出发往返于甲乙两地，一辆货车沿同一条公路从乙地前往甲地，两车同时出发，货车途经服务区时，停下来装完货物后，发现此时与出租车相距120km，货车改变速度 继续出发后与出租车相遇．出租车到达乙地后立即按原路返回，结果比货车早15分钟到达甲地．如图是两车距各自出发地的距离y（km）与货车行驶时间x（h）之间的函数图象，则下列说法错误的是（　　） A．a＝120 B．点F的坐标为（8，0） C．出租车从乙地返回甲地的速度为128km/h D．出租车返回的过程中，货车出发或都与出租车相距12km 【分析】由图象知，C（4，480），设直线OC的解析式为：y＝kx，则直线OC的解析式为y＝120x，进而求得：a＝120；由于停下来装完货物后，发现此时与出租车相距120km，货车行驶时间为小时，此时出租车距离乙地为240（km），可得B（2，120），而租车的速度为120km/h，相遇时，货车的速度为120120＝60（km/h），则可设直线BG的解析式为y＝60x+b，所以直线BG的解析式为y＝60x（2＜x＜8），可得G（8，480），F（8，0），出租车和货车第二次相遇前，相距12km时，分两种情况求解即可． 【解答】解：由图象知，C（4，480）， 设直线OC的解析式为：y＝kx， 把C（4，480）代入得，480＝4k， 解得k＝120， 则直线OC的解析式为y＝120x， ∴把（1，a）代入y＝120x， 解得：a＝120，故A正确； 由于停下来装完货物后，发现此时与出租车相距120km，货车行驶时间为小时， ∵a＝120（km）， ∴货车卸货时与乙地相距120km， ∴出租车距离乙地为120+120＝240（km）， ∴出租车距离甲地为480﹣240＝240（km）， 把y＝240代入y＝120x得240＝120x 解得：x＝2， ∴货车装完货物时，x＝2，则B（2，120） 根据货车继续出发h后与出租车相遇， 可得（出租车的速度+货车的速度）＝120， 根据直线OC的解析式为y＝120x（0＜x＜4）， 可得出租车的速度为120km/h ∴相遇时，货车的速度为120120＝60（km/h）， 故可设直线BG的解析式为y＝60x+b， 将B（2，120）代入y＝60x+b， 可得120＝120+b， ：解得b＝0， ∴直线BG的解析式为y＝60x（2＜x＜8）， 故货车装完货物后驶往甲地的过程中，距其出发地的距离y（km）与行驶时间x（h）之间的函数关系式为y＝60x， 把y＝480代入y＝60x， 可得：480＝60x， 解得x＝8， ∴G（8，480）， ∴F（8，0），故B正确； 根据出租车到达乙地后立即按原路返回经过比货车早15分钟到达甲地， 可得EF， ∴E（，0）， ∴出租车返回后的速度为：480÷（4）＝128km/h，故C正确； 设在出租车返回的行驶过程中，货车出发t小时，与出租车相距12km， 此时货车距离乙地为60t km，出租车距离乙地为128（t﹣4）＝（128t﹣512）km， ①出租车和货车第二次相遇前，相距12km时， 可得60t1﹣（128t1﹣512）＝12， 解得t1； ②出租车和货车第二次相遇后，相距12km时， 可得（128t2﹣512）﹣60t2＝12， 解得t2； 故在出租车返回的行驶过程中，货车出发h或h与出租车相距12km，故D错误， 故答案选：D． 3．甲骑电动车，乙骑自行车从深圳湾公园门口出发沿同一路线匀速游玩，设乙行驶的时间为x（h），甲、乙两人距出发点的路程S甲、S乙关于x的函数图象如图①所示，甲、乙两人之间的路程差y关于x的函数图象如图②所示，请你解决以下问题： （1）甲的速度是 　25　 km/h，乙的速度是 　10　 km/h； （2）对比图①、图②可知：a＝ 　10　 ，b＝ 　1.5　 ； （3）乙出发多少时间，甲、乙两人路程差为7.5km？ 【分析】（1）根据题意和函数图象中的数据可以求得甲乙的速度； （2）根据题意和图象中的数据，可以分别得到a、b的值； （3）由图象可知甲乙相距7.5km有两种情况，然后分别计算两种情况下乙出发的时间即可解答本题． 【解答】解：（1）由图可得， 甲的速度为：25÷（1.5﹣0.5）＝25÷1＝25（km/h），乙的速度为：25÷2.5＝10（km/h）， 故答案为：25，10； （2）由图可得， a＝25×（1.5﹣0.5）﹣10×1.5＝10， b＝1.5， 故答案为：10；1.5； （3）由题意可得， 前0.5h，乙行驶的路程为：10×0.5＝5＜7.5， 则甲、乙两人路程差为7.5km是在甲乙相遇之后， 设乙出发xh时，甲、乙两人路程差为7.5km， 25（x﹣0.5）﹣10x＝7.5， 解得，x， 25﹣10x＝7.5，得x； 即乙出发或时，甲、乙两人路程差为7.5km． 4．一条笔直的公路上依次有A、B、C三地，甲车从A地出发，沿公路经B地行驶到C地，甲车出发1小时后乙车从C地出发，沿公路行驶到B地．甲、乙两车匀速行驶，乙车比甲车早小时到达目的地，乙车到达目的地后原地休息．甲、乙两车之间的距离y（km）与甲车行驶时间x（h）的函数关系如图所示，请结合图象信息，解答下列问题： （1）A、C两地的距离为 　420　 km，甲车行驶速度为 　100　 km/h，乙车行驶速度为 　60　 km/h； （2）求图中线段FG所在直线的函数解析式； （3）直接写出乙车出发多少小时，乙车与B地的距离是甲车与B地距离的2倍． 【分析】（1）根据图象得出距离，再根据速度＝路程÷时间求解； （2）先根据速度求出G的坐标，再根待定系数法求解； （3）分类讨论，再根据“乙车与B地的距离是甲车与B地距离的2倍．”列方程求解． 【解答】解：（1）由图象得：AC＝420km，BC＝180km，甲车从A到C用了4.2小时，乙车从C到B用了3小时， ∴甲的速度为：420÷4.2＝100（km/h），乙车的速度为：180÷3＝60（km/h）， 故答案为：420，100，60； （2）设甲经过t小时与乙车相遇，则100t+60（t﹣1）＝420， 解得：t＝3，∴F（3，0）， ∴G的坐标为（4，160）， 设FG的解析式为：y＝kx+b， 则， 解得：， ∴FG的解析式为：y＝160x﹣480（0≤x≤4）； （3）设乙车出发a小时，乙车与B地的距离是甲车与B地距离的2倍， 当a＜2.4时，180﹣60a＝2[420﹣180﹣100（a+1）]， 解得：a， 当2.4≤a≤3时，180﹣60a＝2[100（a+1）﹣（420﹣180）]， 解得：a， 所以乙车出发或小时，乙车与B地的距离是甲车与B地距离的2倍． 5．在A、B两地之间有服务区C，甲车由A地驶往服务区C，乙车由B地驶往A地，两车同时出发，匀速行驶．如图是甲、乙两车分别距离服务区C的路程y1、y2（单位：千米）与乙车行驶时间x（单位：小时）之间的函数图象，结合图象信息，解答下列问题： （1）甲车的速度是 　70　 千米/时； （2）求图象中线段DF的函数解析式； （3）当两车距服务区C的路程之和是360千米时，直接写出此时乙车的行驶时间． 【分析】（1）根据函数图象，结合路程除以速度，即可求解； （2）先求得乙车的速度，进而得出F（9，420），待定系数求得解析式，即可求解； （3）分别求得各段解析式，根据题意，列出一元一次方程，解方程，即可求解． 【解答】解：（1）由图象可知，甲车的平均速度为70（千米/小时）， 故答案为：70； （2）由图象可知，乙车的速度为60（千米/小时）， ∴乙车从C地到达A地所用时间为7（小时）， ∴乙车从B地到A地所用时间为2+7＝9（小时）， ∴F（9，420）， 设DF所在直线的函数解析式为y＝kx+b（k≠0）， 把D（2，0）和F（9，420）代入解析式得： ， 解得， ∴DF所在直线的函数解析式为y2＝60x﹣120； （3）依题意得：y1＝﹣70x+420（0≤x≤2）， y2， 设乙车的行驶x小时后，两车距服务区C的路程之和是360千米， ①甲乙未相遇时， 则﹣70x+420﹣60x+120＝360， 解得x； ②当乙车经过服务区C， ﹣70x+420+60x﹣120＝360， 解得x＝﹣6（舍）； ③当甲乙相遇后， 60x﹣120＝360， 解得x＝8． 综上所述，当乙车小时或8小时时两车距服务区C的路程之和是360千米． 【题型2 一次函数的应用与费用最少问题】 6．鲜花饼是一款以云南特有的食用玫瑰花入料的酥饼，是具有云南特色的云南经典点心代表，鲜花饼在云南当地烘焙品牌店均有销售．每年4月，鲜花饼的上市早已成为当地人民的共同期待，排着长队等待购买新鲜上市的鲜花饼在当地早已司空见惯，某经销商准备从一鲜花饼加工厂购进甲、乙两种鲜花饼进行销售，加工厂的厂长为了答谢经销商，对甲种鲜花饼的出售价格根据购买量给予优惠，对乙种鲜花饼按80元/千克的价格出售，设经销商购进甲种鲜花饼x千克，付款y元，y与x之间的函数关系如图所示． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）若经销商计划一次性购进甲、乙两种鲜花饼共150千克，其中甲种鲜花饼多于50千克且不超过80千克，如何分配甲、乙两种鲜花饼的购进量，才能使经销商付款总金额w最少？ 【分析】（1）由图可知函数关系式是分段函数，用待定系数法求解即可； （2）购进甲种鲜花饼x千克，则购进乙种鲜花饼（150﹣x）千克，根据实际意义可以确定函数解析式，再利用函数性质即可求出答案． 【解答】解：（1）当0≤x≤50时， 设y＝k1x， 将（50，4500）代入，得50k1＝4500， 解得k1＝90， 所以当0≤x≤50时，y＝90x． 当x＞50时， 设y＝k2x+b， 将（50，4500），（90，7300）代入， 得， 解得， 所以当x＞50时， y＝70x+1000， 所以y与x之间的函数关系式为； （2）∵甲种鲜花饼多于50千克且不超过80千克， ∴w＝70x+1000+80（150﹣x）＝﹣10x+13000， ∵﹣10＜0， ∴w随x的增大而减小， ∵50＜x≤80， ∴当x＝80时，w最小，最小值为﹣10×80+13000＝12200， ∴甲种鲜花饼的购进量是80千克、乙种鲜花饼的购进量是150﹣80＝70千克，才能使经销商付款总金额w最少， 答：当甲种鲜花饼的购进量是80千克、乙种鲜花饼的购进量是70千克，才能使经销商付款总金额w最少． 7．“阅读陪伴成长，书香润泽人生”，某中学为营造书香校园，计划购进甲、乙两种规格的书柜放置新购置的图书．调查发现，若购买甲种书柜3个，乙种书柜4个，共需要资金1500元；若购买甲种书柜4个，乙种书柜3个，共需资金1440元． （1）甲、乙两种书柜每个的价格分别是多少元？ （2）若该校计划购进这两种规格的书柜共30个（两种规格的书柜都必须购买），其中购买乙种书柜的数量不少于购买甲种书柜的数量，请问：甲乙两种书柜各购进多少个时，花费资金最少，最少资金是多少元？ 【分析】（1）依据题意，设甲种书柜每个的价格分别是x元，乙种书柜每个的价格分别是y元，则，则，从而可以判断得解； （2）依据题意，设购买甲种书柜m个，则购买乙种书柜（30﹣m）个，则，从而0＜m≤15，故此时花费资金＝180m+240（30﹣m）＝﹣60m+7200，且﹣60＜0，进而可以判断得解． 【解答】解：（1）由题意，设甲种书柜每个的价格分别是x元，乙种书柜每个的价格分别是y元， ∴． ∴． 答：甲种书柜每个的价格分别是180元，乙种书柜每个的价格分别是240元． （2）由题意，设购买甲种书柜m个，则购买乙种书柜（30﹣m）个， ∴． ∴0＜m≤15． 又∵此时花费资金＝180m+240（30﹣m）＝﹣60m+7200，且﹣60＜0， ∴当m＝15时，花费资金最小，最小值为：﹣60×15+7200＝6300（元）． 答：甲乙两种书柜各购进15个、15个时，花费资金最少，最少资金是6300元． 8．中华优秀文化源远流长，她是中华文明的智慧结晶．《周髀算经》是我国古代较为普及的算书，许多问题浅显有趣．某书店的《孙子算经》的单价是《周髀算经》单价的，用600元购买《孙子算经》比购买《周髀算经》多买5本． （1）两种图书的单价分别是多少元？ （2）某校图书室计划购买这两种图书共100本，且购买的《周髀算经》的数量不少于《孙子算经》数量的一半．由于购买量大，该书店打折优惠，两种图书均按8折出售，两种图书分别购买多少本时费用最少？最少费用多少？说明你的理由． 【分析】（1）根据题意和题目中的数据，可以列出相应的分式方程，然后求解即可； （2）根据题意，可以得到购买《周髀算经》的数量与总费用的函数关系式，然后根据一次函数的性质，即可得到总费用的最小值． 【解答】解：（1）设《周髀算经》单价为x元，则《孙子算经》的单价是x元， 由题意可得：5， 解得x＝30， 经检验，x＝30是原分式方程的解， ∴x＝24， 答：《周髀算经》单价为30元，《孙子算经》的单价是24元； （2）设购买《周髀算经》a本，则购买《孙子算经》为（100﹣a）本，总费用为w元， 由题意可得；w＝30a×0.8+24（100﹣a）×0.8＝4.8a+1920， ∴w随a的增大而增大， ∵购买的《周髀算经》的数量不少于《孙子算经》数量的一半， ∴a（100﹣a）， 解得a≥33， ∵a为正整数， ∴当a＝34时，w取得最小值，此时w＝2083.2，100﹣a＝66， 答：当购买《周髀算经》34本，购买《孙子算经》66本时费用最少，最少费用是2083.2元． 9．我市某游乐场在暑假期间推出学生个人门票优惠活动，各类门票价格如下表： 票价种类 （A）夜场票 （B）日通票 （C）节假日通票 单价（元） 80 120 150 某慈善单位欲购买三种类型的门票共100张奖励品学兼优的留守学生，设购买A种票x张，B种票张数是A种票的3倍还多7张，C种票y张，根据以上信息解答下列问题： （1）直接写出x与y之间的函数关系式； （2）设购票总费用为W元，求W（元）与x（张）之间的函数关系式； （3）为方便学生游玩，计划购买学生的夜场票不低于20张，且节假日通票至少购买5张，有哪几种购票方案？哪种方案费用最少？ 【分析】（1）根据总票数为100得到x+3x+7+y＝100，然后用x表示y即可； （2）利用表中数据把三种票的费用加起来得到w＝80x+120（3x+7）+150（93﹣4x），然后整理即可； （3）根据题意得到不等式组，再解不等式组且确定不等式组的整数解为20、21、22，于是得到共有3种购票方案，然后根据一次函数的性质求w的最小值． 【解答】解：（1）根据题意， x+3x+7+y＝100， 所以y＝93﹣4x； （2）W＝80x+120（3x+7）+150（93﹣4x）＝﹣160x+14790； （3）依题意得， 解得20≤x≤22， 因为整数x为20、21、22， 所以共有3种购票方案（A、20，B、67，C、13；A、21，B、70，C、9；A、22，B、73，C、5）； 而W＝﹣160x+14790， 因为k＝﹣160＜0， 所以y随x的增大而减小， 所以当x＝22时，y最小＝22×（﹣160）+14790＝11270， 即当A种票为22张，B种票73张，C种票为5张时费用最少，最少费用为11270元． 10．受天气影响，一水果种植专业户有大量成熟水果无法出售．“一方有难，八方支援”，某水果经销商主动从该种植专业户购进甲，乙两种水果进行销售．专业户为了感谢经销商的援助，对甲种水果的出售价格根据购买量给予优惠，对乙种水果按25元/千克的价格出售．设经销商购进甲种水果x千克，付款y元，y与x之间的函数关系如图所示． （1）直接写出当0≤x≤50和x＞50时，y与x之间的函数关系式； （2）若经销商计划一次性购进甲，乙两种水果共100千克，且甲种水果不少于40千克，但又不超过60千克． ①如何分配甲，乙两种水果的购进量，才能使经销商付款总金额w（元）最少？ ②若甲，乙两种水果的销售价格分别为41元/千克和36元/千克．若销售完100千克水果后；甲种水果的获利大于乙种水果的获利，求甲种水果购进量x的取值范围． 【分析】（1）由图已知y与x的函数关系式是分段函数，待定系数法求解析式即可； （2）①设购进甲种水果为x千克，则购进乙种水果 （100﹣x）千克，根据实际意义可以确定x的范围，结合付款总金额w（元）与两种水果的购进量之间的函数关系可以分类讨论最少费用； ②根据题意分为40≤x≤50和50＜x≤60两种情况列不等式解题即可． 【解答】解：（1）当0≤x≤50时，设y＝mx， 根据题意得50m＝1500， 解得m＝30， ∴y＝30x； 当x＞50时，设y＝kx+b， 根据题意得， 解得 ， ∴y＝24x+300， ∴y， （2）①设购进甲种水果为x千克，则购进乙种水果（100﹣x）千克 ∴40≤x≤60， 当40≤x≤50时， w1＝30x+25（100﹣x）＝5x+2500， 当x＝40时．w小＝2700元； 当50＜x≤60时， w2＝24x+300+25（100﹣x）＝﹣x+2800， 当x＝60时，w小＝2740元， ∵2740＞2700 ∴当x＝40时，总费用最少，最少总费用为2700元此时乙种水果100﹣40＝60（千克）， 答：购进甲种水果为40千克，购进乙种水果60千克，才能使经销商付款总金额w （元）最少． ②当40≤x≤50时，（41﹣30）x＞（36﹣25）（100﹣x）， 解得x＞50，不符合题意； 当50＜x≤60时，41x﹣（24x+300）＞（36﹣25）（100﹣x），解得：x＞50， ∴甲种水果购进量的取值范围为：50＜x≤60． 【题型3 一次函数的应用与利润最大问题】 11．某书店计划同时购进A，B两类图书，已知购进3本A类图书和4本B类图书共需288元；购进6本A类图书和2本B类图书共需306元． （1）A，B两类图书每本的进价各是多少元？ （2）该书店计划恰好用4500元全部购进这两类图书，设购进A类图书x本，B类图书y本． ①求y关于x的关系式． ②进货时，A类图书的购进数量不少于60本，已知A类图书每本的售价为38元，B类图书每本的售价为50元．若书店全部售完可获利w元，求w关于x的关系式，并说明应该如何进货才能使书店所获利润最大？最大利润为多少元？ 【分析】（1）设A类图书每本a元，B类图书每本b元，根据题意建立二元一次方程组求解． （2）①根据用4500元全部购进两类图书可求出函数关系式． ②先求w与x的函数关系式，再根据函数性质求最值． 【解答】解：（1）设A类图书每本a元，B类图书每本b元，由题意得： ， 解：． 答：A类图书36元/本，B类图书45元/本． （2）①∵用4500元全部购进两类图书， ∴36x+45y＝4500， ∴， ②由题意得：w＝（38﹣36）x+（50﹣45）y ＝﹣2x+500， ∵x≥60，， ∴60≤x≤125． ∵﹣2＜0， ∴w随x的增大而减小， ∴当x＝60时，w最大＝﹣2×60+500＝380（元）， （本）． ∴当购进A类图书60本，B类图书52本可获得最大利润380元． 12．根据需要，某厂要制作如图所示的A，B两种塑料盒（单位：cm）共80个，购进某种塑料板材100张． 每张这样的塑料板材有两种裁剪方法： 甲：裁成4块10×10的小正方形板； 乙：裁成8块10×5的小长方形板． 先将x张（x＜100）这种板材都按甲方法裁成小正方形板，用于制作80个A，B两种塑料盒的正方形的面，每个A种塑料盒需要6块正方形的面，每个B种塑料盒需要2块正方形的面和4块长方形的面，设制作A种塑料盒y个． （1）按甲方法裁成小正方形板 　4x　 块（用含x的式子表示），按甲方法裁成小正方形板（6y+　160﹣2y　 ）块（用含y的式子表示），求y与x的函数关系式； （2）若把剩下的板材都按乙方法裁成小长方形板，恰好做成了A，B两种塑料盒各40个，已知每张板材的进价是4元，将其按甲方法裁剪还需要1元，按乙方法裁剪还需要3元，其他成本忽略不计．A种塑料盒的销售单价定为m元（m≥8），B种塑料盒的销售单价定为元，但不低于7元．m定为多少时，这批塑料盒的销售利润最大，并求出最大利润． 【分析】（1）根据将x张（x＜100）这种板材都按甲方法裁成小正方形板，得甲方法裁成小正方形板4x块；由制作A种塑料盒y个，知制作B种塑料盒（80﹣y）个，故按甲方法裁成小正方形板[6y+2（80﹣y）]＝（6y+160﹣2y）块，可知4x＝6y+160﹣2y，从而y＝x﹣40； （2）根据B种塑料盒的销售单价定为元，但不低于7元，m≥8，可得8≤m≤12，求出y＝40时x＝80，即可知总成本为80×（4+1）+（100﹣80）（4+3）＝540（元），销售利润为w＝40m+40 540＝20m﹣20，再根据一次函数性质可得答案． 【解答】解：（1）∵将x张（x＜100）这种板材都按甲方法裁成小正方形板， ∴甲方法裁成小正方形板4x块； ∵制作A种塑料盒y个， ∴制作B种塑料盒（80﹣y）个， ∴按甲方法裁成小正方形板[6y+2（80﹣y）]＝（6y+160﹣2y）块， 根据题意得：4x＝6y+160﹣2y， ∴y＝x﹣40； 故答案为：4x，160﹣2y； （2）∵B种塑料盒的销售单价定为元，但不低于7元，m≥8， ∴， 解得8≤m≤12， 在y＝x﹣40中，令y＝40得x＝80， ∴做成A种塑料盒40个，需用80张塑料板材按甲方法裁剪， ∴总成本为80×（4+1）+（100﹣80）（4+3）＝540（元）， ∴销售利润为w＝40m+40 540＝20m﹣20， ∵20＞0， ∴w随m的增大而增大， ∴当m＝12时，w的值最大，最大值为20×12﹣20＝220（元）， 答：m定为12时，这批塑料盒的销售利润最大，最大利润是220元． 13．某企业生产A、B两种型号的产品共500件，销往甲、乙两个地区．在两地销售可获得的利润情况如表： A型产品（元/件） B型产品（元/件） 甲地区销售可获得的利润 180 130 乙地区销售可获得的利润 160 120 若该企业计划将生产的A型产品全在乙地区销售，B型产品全在甲地区销售，这样可获得利润7.1万元． （1）求A、B两种型号产品各生产了多少件？ （2）若销往甲地区x件A型产品，余下的所有产品销往乙地区，写出销售这500件产品可获得的利润y（元）与x之间的函数表达式，并求利润的最大值． 【分析】（1）根据该企业计划将生产的A型产品全在乙地区销售，B型产品全在甲地区销售，这样可获得利润7.1万元，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可； （2）根据（1）中的结果和题意，可以写出y与x的函数关系式，然后根据一次函数的性质，可以求得最大利润． 【解答】解：（1）设A种型号产品生产了a件，B种型号产品生产了b件， 由题意可得：， 解得， 答：A种型号产品生产了200件，B种型号产品生产了300件； （2）由题意可得， y＝180x+160（200﹣x）+300×120＝20x+68000， ∴y随x的增大而增大， ∵0≤x≤200， ∴当x＝200时，y取得最大值，此时y＝72000， 答：销售这500件产品可获得的利润y（元）与x之间的函数表达式是y＝20x+68000，利润的最大值为72000元． 14．茶为国饮，茶文化是中国传统文化的重要组成部分，这也带动了茶艺、茶具、茶服等相关文化的延伸及产业的发展，在“春季茶叶节”期间，某茶具店老板购进了A、B两种不同的茶具．若购进A种茶具1套和B种茶具2套，需要250元：若购进A种茶具3套和B种茶具4套则需要600元．且已知销售一套A种茶具，可获利30元，销售一套B种茶具可获利20元． （1）A、B两种茶具每套进价分别为多少元？ （2）由于茶具畅销，老板决定再次购进A、B两种茶具共80套，茶具工厂对两种类型的茶具进行了价格调整，A种茶具的进价比第一次购进时提高了8%，B种茶具的进价按第一次购进时进价的八折；如果茶具店老板此次用于购进A、B两种茶具的总费用不超过6240元，则如何进货可使再次购进的茶具获得最大的利润？最大的利润是多少？ 【分析】（1）设A种茶具每套进价a元，B种茶具每套进价b元，根据题意列方程组并求解即可； （2）计算再次购进A、B两种茶具时，A种茶具和B种茶具每套的价格，根据“A种茶具每套进价×购进A种茶具的套数+B种茶具每套进价×购进B种茶具的套数≤6240”列关于x的一元一次不等式并求解，设获得的利润为W元，根据“获得的利润＝每套A种茶具的利润×购进A种茶具的套数+每套B种茶具的利润×购进B种茶具的套数”写出W关于x的关系式，根据该关系式的增减性和x的取值范围，确定当x为何值时W的值最大，求出其最大值此时（80﹣x）的值即可． 【解答】解：（1）设A种茶具每套进价a元，B种茶具每套进价b元． 根据题意，得， 解得， ∴A种茶具每套进价100元，B种茶具每套进价75元． （2）再次购进A、B两种茶具时，A种茶具每套进价为100×（1+8%）＝108（元），B种茶具每套进价为75×0.8＝60（元）． 设购进A种茶具x套，则购进B种茶具（80﹣x）套． 根据题意，得108x+60（80﹣x）≤6240， 解得x≤30； 设获得的利润为W元，则W＝30x+20（80﹣x）＝10x+1600， ∵10＞0， ∴W随x的增大而增大， ∵x≤30， ∴当x＝30时，W的值最大，W最大＝10×30+1600＝1900，此时购进B种茶具80﹣30＝50（套）， 购进A种茶具30套、B种茶具50套获得最大的利润，最大的利润是1900元． 15．某商场购进A，B两种商品共150件进行销售，其中A商品的件数不超过B商品件数的2倍，不少于B商品件数的一半，A，B两种商品的进价、售价如表： A B 进价（元/件） 120 110 售价（元/件） 170 155 请利用所学知识解决下列问题： （1）设商场购进A商品的件数为x件，购进A，B两种商品全部售出后获得利润为y元，求y与x之间的函数关系式及x的取值范围： （2）在（1）的条件下，商场购进A商品多少件时，商场获得利润最大？最大利润是多少元？ （3）在（1）的条件下，商场决定在销售活动中每售出一件A商品，就从一件A商品的利润中拿出m元（5＜m≤8）捐给慈善基金，则商场购进A商品多少件时，可获得最大利润？ 【分析】（1）依题意得，y＝（170﹣120）x+（155﹣110）（150﹣x）＝5x+6750，则y与x之间的函数关系式是y＝5x+6750，依题意得，，计算求解，然后作答即可； （2）由一次函数的增减性求解作答即可； （3）设A，B商品全部售出后获得利润为w元，则w＝5x+6750﹣mx＝（5﹣m）x+6750，由5＜m≤8，可得5﹣m＜0，则w随x的增大而减小，然后作答即可． 【解答】解：（1）依题意得，y＝（170﹣120）x+（155﹣110）（150﹣x）＝5x+6750， ∴y与x之间的函数关系式是y＝5x+6750； 依题意得， 解得，50≤x≤100， ∴x的取值范围50≤x≤100； （2）y＝5x+6750， ∵5＞0， ∴当x＝100时，y取最大值，为7250， ∴商场购进A商品100件时，商场获得利润最大，最大利润是7250元； （3）设A，B商品全部售出后获得利润为w元，则w＝5x+6750﹣mx＝（5﹣m）x+6750， ∵5＜m≤8， ∴5﹣m＜0， ∴w随x的增大而减小， ∴当x＝50时，w取最大值， ∴商场购进A商品50件时，可获得最大利润． 【题型4 一次函数的应用与分段计费问题】 16．某公司每月生产甲、乙两种型号的果汁共20万瓶，且所有果汁当月全部卖出，其中成本、售价如表： 甲 乙 成本 12元/瓶 4元/瓶 售价 18元/瓶 6元/瓶 （1）设甲种型号的果汁有x万瓶，公司所获利润为W元，如果该公司四月份投入成本不超过216万元，应该怎样安排甲、乙两种型号果汁的产量，可使该月公司所获利润最大？并求出最大利润． （2）“五一”黄金周期间，为扩大销量，该公司对乙种型号果汁进行优惠，优惠方案如下： 方案一：购买乙种型号果汁一律打9折； 方案二：购买168元会员卡后，乙种型号果汁一律8折． 某超市到该公司购买乙种型号果汁，请帮该超市设计出合适的购买方案． 【分析】（1）根据该公司四月份投入成本不超过216万元，可列出关于x的一元一次不等式，解之可得出x的取值范围，利用总利润＝每瓶甲种型号的果汁的销售利润×生产甲种型号的果汁的数量+每瓶乙种型号的果汁的销售利润×生产乙种型号的果汁的数量，可找出W关于x的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题； （2）设该超市到该公司购买乙种型号果汁y瓶，则选择方案一所需费用为5.4x元；选择方案二所需费用为（168+4.8x）元，分5.4y＜168+4.8y，5.4y＝168+4.8y及5.4y＞168+4.8y三种情况，可求出y的取值范围或y的值，进而可得出结论． 【解答】解：（1）∵该公司每月生产甲、乙两种型号的果汁共20万瓶，且甲种型号的果汁生产了x万瓶， ∴乙种型号的果汁生产了（20﹣x）万瓶． 根据题意得：12x+4（20﹣x）≤216， 解得：x≤17． ∵公司所获利润为W元， ∴W＝（18﹣12）x+（6﹣4）（20﹣x）， ∴W＝4x+40， ∵4＞0， ∴W随x的增大而增大， ∴当x＝17时，W取得最大值，最大值为4×17+40＝108，此时20﹣x＝20﹣17＝3． 答：当甲种型号的果汁生产了17万瓶，乙种型号的果汁生产了3万瓶时，该月公司所获利润最大，最大利润为108万元； （2）设该超市到该公司购买乙种型号果汁y瓶，则选择方案一所需费用为6×0.9y＝5.4y元；选择方案二所需费用为168+6×0.8y＝（168+4.8y）元． 若5.4y＜168+4.8y，则y＜280， ∴当0＜y＜280时，选择方案一购买更合算； 若5.4y＝168+4.8y，则y＝280， ∴当y＝280时，选择两优惠方案所需费用相同； 若5.4y＞168+4.8y，则y＞280， ∴当y＞280时，选择方案二购买更合算． 答：当0＜y＜280时，选择方案一购买更合算；当y＝280时，选择两优惠方案所需费用相同；当y＞280时，选择方案二购买更合算． 17．某校开展爱心义卖活动，同学们决定将销售获得的利润捐献给福利院．初二某班的同学们准备制作A、B两款挂件来进行销售．已知制作3个A款挂件、5个B款挂件所需成本为46元，制作5个A款挂件、10个B款挂件所需成本为85元．已知A、B两款挂件的售价如下表： 手工制品 A款挂件 B款挂件 售价（元/个） 12 8 （1）求制作一个A款挂件、一个B款挂件所需的成本分别为多少元？ （2）若该班级共有40名学生．计划每位同学制作2个A款挂件或3个B款挂件，制作的总成本不超过590元，且制作B款挂件的数量不少于A款挂件的2倍．设安排m人制作A款挂件，销售的总利润为w元．请写出w（元）与m（人）之间的函数表达式，求出自变量的取值范围，并说明如何安排，使得总利润最大，最大利润是多少？ 【分析】（1）根据制作3个A款挂件、5个B款挂件所需成本为46元，制作5个A款挂件、10个B款挂件所需成本为85元，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可； （2）根据表格中的数据和（1）中的结果，可以写出w（元）与m（人）之间的函数表达式，再根据制作的总成本不超过590元，且制作B款挂件的数量不少于A款挂件的2倍，可以列出相应的不等式组，从而可以求出自变量的取值范围，再根据一次函数的性质，可以求得w的最大值． 【解答】解：（1）设制作一个A款挂件的成本为x元，制作一个B款挂件的成本为y元， 由题意可得：， 解得， 答：制作一个A款挂件的成本为7元，制作一个B款挂件的成本为5元； （2）设安排m人制作A款挂件，则安排（40﹣m）人制作B款挂件， 由题意可得：w＝（12﹣7）×2m+（8﹣5）×3（40﹣m）＝m+360， ∴w随m的增大而增大， ∵制作的总成本不超过590元，且制作B款挂件的数量不少于A款挂件的2倍， ∴， 解得10≤m≤17， ∵m为整数， ∴10≤m≤17且m为正整数， ∴当m＝17时，w取得最大值，此时w＝377，40﹣m＝23， 答：w（元）与m（人）之间的函数表达式是w＝m+360（10≤m≤17且m为正整数），当安排17人制作A款挂件，23人制作B款挂件时，总利润最大，最大利润为377元． 18．某快递公司因业务拓展，需要招聘快递员，提供了如下两种日工资方案： 方案一：每日底薪50元，每完成一单业务再提成3元； 方案二：每日底薪80元，前30单无提成，超过30单的部分，每完成一单提成5元． 设快递员每日完成的业务量为n单（n为正整数），方案一、二中日工资分别为y1，y2（单位：元）． （1）分别写出y1，y2关于n的函数解析式； （2）据统计，若某快递员平均每天的业务量约为50单，仅从日工资收入的角度考虑，他应该选择哪种日工资方案？说明理由； （3）设某快递员平均每日完成的业务量为n单，从日工资收入的角度考虑，他应该选择哪种日工资方案？试画出日工资收入函数大致图象并直接写出你的选择方案． 【分析】（1）分别根据两个具体方案解答即可； （2）当n＝50时，分别计算y1，y2的值并比较大小即可； （3）先计算两函数图象的交点坐标，再根据函数关系式画出对应的函数图象，再图象比较y1，y2的大小即可． 【解答】解：（1）y1＝3n+50， 当0≤n≤30时，y2＝80， 当n＞30时，y2＝80+5（n﹣30）＝5n﹣70， ∴y1关于n的函数解析式y1＝3n+50（n为正整数），y2关于n的函数解析式y2． （2）他应该选择方案一．理由如下： 当x＝50时，y1＝3×50+50＝200，y2＝5×50﹣70＝180， ∵y1＞y2， ∴仅从日工资收入的角度考虑，他应该选择方案一． （3）当时，解得， 当，解得， ∴两函数图象的交点坐标为（10，80），（60，230）， 则两函数的图象如图所示： 根据图象，当0≤n＜10或n＞60时，y1＜y2， 当n＝10或n＝60时，y1＝y2， 当10＜n＜60时，y1＞y2， ∴当0≤n＜10或n＞60时，他应该选择方案二；当n＝10或n＝60时，两个方案的日工资相同，任选其一即可；当10＜n＜60时，他应该选择方案一． 19．某城市为了节约用水，采用分段收费标准，若某户居民每月应交水费y（元）与用水量x（吨）之间关系的图象如图所示，根据图形回答： （1）该市自来水收费时，每户使用不超过5吨时，每吨收费 　2　 元；超过5吨时，每吨收费 　3.5　 元； （2）求该户居民每月应交水费y（元）与用水量x（吨）之间的关系式； （3）若某户居民某月交水费17元该户居民用水多少吨？ 【分析】（1）分两种情况，用水费除以用水量即可得每吨收费； （2）分两种情况，用待定系数法求出函数关系式即可； （3）令y＝17算出x的值即可． 【解答】解：（1）∵10÷5＝2（元/吨）， ∴不超过5吨时，每吨收费2元， ∵（20.5﹣10）÷3＝3.5（元/吨）， ∴超过5吨时，每吨收费3.5元， 故答案为：2，3.5； （2）当0≤x≤5时，设y＝mx（m≠0）， 把x＝5，y＝10代入得，5m＝10， 解得m＝2， ∴y＝2x； 当x＞5时，设y＝kx+b， 把（5，10），（8，20.5）代入解析式得， ， 解得， ∴y＝3.5x﹣7.5， 综上所述，y与x之间的关系式为y； （3）∵17＞10， ∴用水量超过5吨， 在y＝3.5x﹣7.5中，令y＝17得：3.5x﹣7.5＝17， 解得：x＝7， 答：该户居民用水7吨． 20．当排球和足球纳入中招考试体育加试后，这两种球的销量逐步提升．某体育用品商店看准时机，第一次购入30个排球和70个足球共花费4550元．第二次购入60个排球和40个足球共花费4100元．商店将排球和足球以50元/个和70元/个的价格出售，前两次进货很快销售一空． （1）求每个排球和足球的进价． （2）该商店准备第三次购入排球和足球共200个，根据市场需求，排球的购买个数不少于40个且不超过100个．购买时生产厂家对排球进行了优惠，规定购买排球不超过50个时保持原价，超过50个时超过的部分打八折．设第三次进货销售完的总利润为W元（利润＝销售额﹣成本），其中购进排球x个． ①求W与x的函数关系式． ②商店为了回馈顾客，开展促销活动．将其中的m（m为正整数）个排球按30元/个，3m个足球按50元/个进行销售．若第三次进货销售完后，获得的最大利润不能低于3000元，求m的最大值． 【分析】（1）设排球的进价为每个a元，足球的进价为每个b元，根据第一次购入30个排球和70个足球共花费4550元．第二次购入60个排球和40个足球共花费4100元得：，即可解得答案； （2）①当40≤x≤50时，W＝（50﹣35）x+（70﹣50）（200﹣x）＝﹣5x+4000，当50＜x≤100时，W＝50x﹣[35×50+35×0.8×（x﹣50）]+（70﹣50）（200﹣x）＝2x+3650． ②当40≤x≤50时，W＝（50﹣35）（x﹣m）+（30﹣35）m+（70﹣50）（200﹣x﹣3m）+（50﹣50）×3m＝﹣5x+4000﹣80m，可得﹣80m+3800≥3000，m≤10； 当50＜x≤100时，W＝[50（x﹣m）+30m]﹣[35×50+35×0.8（x﹣50）]+（70﹣50）（200﹣x﹣3m）+（50﹣50）×3m＝2x+3650﹣80m，有﹣80m+3850≥3000，m≤10.625，故m的最大值为10． 【解答】解：（1）设排球的进价为每个a元，足球的进价为每个b元， 根据题意得：， 解方程组得：， 答：排球的进价为每个35元，足球的进价为每个50元； （2）①当40≤x≤50时，W＝（50﹣35）x+（70﹣50）（200﹣x）＝﹣5x+4000， 当50＜x≤100时，W＝50x﹣[35×50+35×0.8×（x﹣50）]+（70﹣50）（200﹣x）＝2x+3650； ∴W； ②当40≤x≤50时， 根据题意得：W＝（50﹣35）（x﹣m）+（30﹣35）m+（70﹣50）（200﹣x﹣3m）+（50﹣50）×3m＝﹣5x+4000﹣80m， ∵﹣5＜0， ∴W随x的增大而减小， ∴当x＝40时，W的值最大，最大值为﹣80m+3800， ∴﹣80m+3800≥3000， 解不等式得：m≤10； 当50＜x≤100时，W＝[50（x﹣m）+30m]﹣[35×50+35×0.8（x﹣50）]+（70﹣50）（200﹣x﹣3m）+（50﹣50）×3m＝2x+3650﹣80m， ∵2＞0， ∴W随x的增大而增大， ∴当x＝100时，W的值最大，最大值为3850﹣80m， ∴﹣80m+3850≥3000， 解不等式得：m≤10.625， ∵m是正整数， ∴m的最大值为10． 答：m的最大值为10． 【题型5 一次函数的应用与含参问题】 21．武汉某文化公司向市场投放A型和B型商品共200件进行试销，A型商品成本价140元/件，B型商品成本价120元/件，要求两种商品的总成本价不超过26400元，已知A型商品的售价为200元/件，B型商品的售价为170元/件，全部售出且获得的利润不低于10800元．设该公司投放A型商品x件，销售这批商品的利润为y元． （1）求y与x之间的函数解析式，并求出x的取值范围； （2）要使这批商品的利润最大，该公司应该向市场投放多少件A型商品？最大利润是多少？ （3）该公司决定在试销活动中每售出一件A型商品，就从一件A型商品的利润中捐献慈善资金a（a＞0）元，当该公司售完这200件商品并捐献资金后获得的最大收益为10960元时，求a的值． 【分析】（1）根据题意即可得出y与x之间的函数关系式，根据两种商品的总成本价不超过26400元，全部售出且获得的利润不低于10800元，列不等式组可得x的范围； （2）根据一次函数的性质解答即可； （3）根据题意得y＝10x+10000﹣ax＝（10﹣a）x+10000，再根据一次函数的性质解答即可． 【解答】解：（1）根据题意得，y＝（200﹣140）x+（170﹣120）×（200﹣x）， 即y＝10x+10000， ∵两种商品的总成本价不超过26400元，全部售出且获得的利润不低于10800元， ∴， 解得80≤x≤120， 答：y与x之间的函数解析式为y＝10x+10000，x的取值范围是80≤x≤120； （2）由（1）可知：y＝10x+10000（80≤x≤120）， ∵10＞0， ∴y随x的增大而增大， 当x＝120时，y＝10×120+10000＝11200， 答：该公司应该向市场投放120件A型商品，最大利润为11200元； （3）根据题意可知一共捐出ax元， ∴y＝10x+10000﹣ax＝（10﹣a）x+10000， 当10﹣a＜0时， y＝（10﹣a）x+10000的最大值小于10000，不符合最大收益为10960元， ∴这种情况不存在； 当10﹣a＞0时， x＝120，y取最大值， ∴120（10﹣a）+10000＝10960， ∴a＝2， 答：a的值为2． 22．红星美凯龙某商店销售12台A型和5台B型空调的利润为1950元，销售8台A型和10台B型电脑的利润为2300元． （1）求每台A型空调和B型空调的销售利润； （2）该商店计划一次购进两种型号的空调共100台，其中B型空调的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型空调x台，这100台空调的销售总利润为y元，求该商店购进A型、B型空调各多少台，销售总利润最大为多少元？ （3）实际进货时，厂家对A型空调出厂价下调m（50＜m＜100）元，且限定商店最多购进A型空调70台，若商店保持同种空调的售价不变，请你根据以上信息及（2）中条件，设计出使这100台空调销售总利润最大的进货方案． 【分析】（1）依据题意，设每台A型空调的销售利润是n元，每台B型空调的销售利润是t元，然后根据利润1950元和2300元列出方程组，然后求解即可； （2）依据题意，设购进A型空调x台，这100台空调的销售总利润为y元．根据总利润等于两种电脑的利润之和列式整理即可得解；根据B型空调的进货量不超过A型空调的2倍列不等式求出t的取值范围，然后根据一次函数的增减性求出利润的最大值即可． （3）依据题意得，y＝（100+m）x+150（100﹣x），即y＝（m﹣50）x+15000，当50＜m＜100时，m﹣50＞0，y随x的增大而增大，结合33x≤70进而可以判断得解． 【解答】解：（1）由题意，设每台A型空调的销售利润是n元，每台B型空调的销售利润是t元， ∴． ∴． 答：每台A型空调的销售利润是100元，每台B型空调的销售利润是150元． （2）由题意，购进A型空调x台，这100台空调的销售总利润为y元， ∴y＝100x+150（100﹣x）， 即y＝﹣50x+15000， ∵100﹣x≤2x， ∴x33， ∵y＝﹣50x+15000， ∴y随x的增大而减小， ∵x为正整数， ∴当x＝34时，y取最大值，则100﹣x＝66， 答：商店购进34台A型空调和66台B型空调，才能使销售总利润最大． （3）由题意得，y＝（100+m）x+150（100﹣x），即y＝（m﹣50）x+15000， 又33x≤70， ∴当50＜m＜100时，m﹣50＞0，y随x的增大而增大， ∴当x＝70时，y取得最大值． ∴商店购进70台A型空调和30台B型空调的销售利润最大． 23．某体育用品商场采购员要到厂家批发购买篮球和排球共100个，篮球个数不少于排球个数，付款总额不得超过11200元，已知篮球和排球的厂家批发价分别是每个120元和每个100元，商场零售价分别是每个150元和每个120元．设该商场采购x个篮球． （1）求该商场的采购费用y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围； （2）该商场把这100个球全部以零售价售出，求商场能获得的最大利润； （3）受原材料和工艺调整等因素影响，采购员实际采购时，篮球批发价上调了3m（m＞0）元/个，同时排球批发价下调了2m元/个．该体育用品商场决定不调整商场零售价，发现将100个球全部卖出获得的最低利润是2300元，求m的值． 【分析】（1）根据单价乘以数量等于总价，表示出购买篮球和排球的总价，然后将其相加就是总共所需要的费用； （2）设总利润为W，求出W与x的关系式，运用一次函数的增减性和自变量的取值范围确定何时获得最大利润； （3）根据100个球全部卖出获得的最低利润是2300元分情况讨论得出结果，最终确定出m的值． 【解答】解：（1）根据题意得，y＝120x+100（100﹣x）＝20x+10000； ，解得50≤x≤60， ∴y＝20x+10000（50≤x≤60）； 答：采购费用y与x的函数关系式为y＝20x+10000（50≤x≤60）； （2）设总利润为W，根据题意得：W＝（150﹣120）x+（120﹣100）（100﹣x）＝10x+2000 ∵k＝10＞0，∴W随x的最大的增大， ∴x＝60时，W最大＝600+2000＝2600元， 答：商场把这100个球全部以零售价售出，能获得的最大利润为2600元； （3）由题意得： W＝（150﹣120﹣3m）x+（120﹣100+2m）（100﹣x）＝（10﹣5m）x+200m+2000， ①当10﹣5m＞0时，即m＜2时，W随x的增大而增大， 又∵50≤x≤60， ∴当x＝50时，W最小＝2300， 即：（10﹣5m）×50+200m+2000＝2300， 解得：m＝4＞2舍去， ②当10﹣5m＜0时，即m＞2时，W随x的增大而减小， 又∵50≤x≤60， ∴当x＝60时，W最小＝2300， 即：（10﹣5m）×60+200m+2000＝2300， 解得：m＝3， 综上所述，将100个球全部卖出获得的最低利润是2300元，m的值为3元． 24．2024年4月30日17时46分，神舟十七号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，载人飞行任务取得圆满成功．航模店看准商机，在模型厂购进“神舟”和“天宫”模型出售，已知“天宫”模型的利润30元/个，“神舟”模型的利润18元/个．该店计划购进这两种模型共200个，其中购进“天宫”模型数量不超过“神舟”模型的2倍，设购买“神舟”模型x个，销售这批模型的利润为w元． （1）求w与x的函数关系式，并写出x的取值范围； （2）当购进这两种模型各多少个时，销售这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？ （3）实际进货时，厂家对“神舟”模型出厂价下调m元（5≤m≤15），且限定航模店最多购“神舟”模型80台，若航模店保持同种模型的售价不变，求出这200个模型利润最大时的x的值． 【分析】（1）根据总利润＝每个“神舟”模型的利润×购买“神舟”模型的数量+每个“天宫”模型的利润×购买“天宫”模型的数量写出w与x的函数关系式，根据购进“天宫”模型的数量≤2ד神舟”模型的数量列关于x的一元一次不等式并求解即可； （2）根据w与x的函数关系式的增减性和x的了值范围，确定当x为何值w值最大，求出其最大值及200﹣x的值即可； （3）根据总利润＝（每个“神舟”模型的利润+m）×购买“神舟”模型的数量+每个“天宫”模型的利润×购买“天宫”模型的数量写出w与x的函数关系式，根据m的取值范围讨论该函数的增减性，由x的取值范围确定利润最大时的x的值即可． 【解答】解：（1）购买“天宫”模型（200﹣x）个， 根据题意，得w＝30（200﹣x）+18x＝﹣12x+6000， 200﹣x≤2x， 解得x， ∵x为非负整数， ∴67≤x≤200且x为整数， ∴w与x的函数关系式为w＝﹣12x+6000（67≤x≤200且x为整数）． （2）∵﹣12＜0， ∴w随x的减小而增大， ∵67≤x≤200且x为整数， ∴当x＝67时，w值最大，w最大＝﹣12×67+6000＝5196，200﹣67＝133（个）， ∴购进“神舟”模型67个、“天宫”模型133个时，销售这批模型可以获得最大利润，最大利润是5196元． （3）根据题意，得w＝30（200﹣x）+（18+m）x＝（m﹣12）x+6000（67≤x≤80且x为整数）． ①当5≤m＜12时，m﹣12＜0，w随x的减小而增大， ∵67≤x≤80且x为整数， ∴当x＝67时，w值最大； ②当m＝12时，w＝6000； ③当12＜m≤15时，m﹣12＞0，w随x的增大而增大， ∵67≤x≤80且x为整数， ∴当x＝80时，w值最大． 综上，当5≤m＜12时，利润最大时的x的值为67；当m＝12时，利润恒为6000元，67≤x≤80且x为整数；当12＜m≤15时，利润最大时的x的值为80． 25．为了迎接“十•一”小长假的购物高峰．某运动品牌专卖店准备购进甲，乙两种运动鞋．其中甲、乙两种运动鞋的进价和售价如下表： 种类 运动鞋价格 甲 乙 进价（元/双） m m﹣20 售价（元/双） 160 120 已知：用3000元购进甲种运动鞋的数量与用2400元购进乙种运动鞋的数量相同． （1）求m的值； （2）要使购进的甲、乙两种运动鞋共200双的总利润（利润＝售价﹣进价）不少于10800元，且不超过11100元，问该专卖店有几种进货方案？ （3）在（2）的条件下，专卖店准备对甲种运动鞋进行优惠促销活动，决定对甲种运动鞋每双优惠a（10＜a＜35）元出售，乙种运动鞋价格不变．那么该专卖店要获得最大利润应如何进货？ 【分析】（1）用总价除以单价表示出购进鞋的数量，根据两种鞋的数量相等列出方程求解即可； （2）设购进甲种运动鞋x双，表示出乙种运动鞋（200﹣x）双，然后根据总利润列出一元一次不等式，求出不等式组的解集后，再根据鞋的双数是正整数解答； （3）设总利润为W，根据总利润等于两种鞋的利润之和列式整理，然后根据一次函数的增减性分情况讨论求解即可． 【解答】解：（1）依题意得，， 解得m＝100， 经检验，m＝100是原分式方程的解， 所以，m＝100； （2）由（1）得：甲的进价为100元/双，乙的进价为80元/双，甲运动鞋的利润为160﹣100＝60（元/双），乙运动鞋的利润为120﹣80＝40（元/双）， 设购进甲种运动鞋x双，则乙种运动鞋（200﹣x）双， 根据题意得，， 解不等式①得，x≥140， 解不等式②得，x≤155， 所以，不等式组的解集是140≤x≤155， ∵x是正整数，155﹣140+1＝16， ∴共有16种方案； （3）设总利润为W，则W＝（60﹣a）x+40（200﹣x）＝（20﹣a）x+8000， ①当a＝20时，20﹣a＝0，W＝8000；所有方案获利都一样； ②当10＜a＜20时，20﹣a＞0，W随x的增大而增大， 所以，当x＝155时，W最大值＝11100﹣155a，即进货方式为：甲种运动鞋155双，乙种运动鞋45双； ③当20＜a＜35时，20﹣a＜0，W随x的增大而减小， 所以，当x＝140时，W最大值＝10800﹣140a，即进货方式为：甲种运动鞋140双，乙种运动鞋60双． 【题型6 一次函数与几何综合题】 26．如图，在平面直角坐标系中，直线y1＝x+1与x轴、y轴分别交A、B两点，与直线相交于点C（3，m）． （1）求m和b的值； （2）若直线与x轴相交于点D，动点P从点D开始，以每秒2个单位的速度向x轴负方向运动，设点P的运动时间为t秒． ①点A的坐标为 　（﹣1，0）　 ，点D的坐标为 　（15，0）　 ； ②若点P在线段DA上，且△ACP的面积为10时，求t的值； ③直接写出t为何值时，△ACP为等腰三角形． 【分析】（1）将点C（3，m）代入y1＝x+1，求出m的值，再代入中求出即可； （2）①把b＝5代入直线解析式，即可求得； ②利用面积公式列出方程进行求解即可； ③分三种情况：当AC＝CP时，如图1，当AC＝AP时，如图2，当AP＝PC时，如图3，分别求t的值即可． 【解答】解：（1）在平面直角坐标系中，直线y1＝x+1与x轴、y轴分别交A、B两点， 当x＝0时，y1＝1；当y1＝0时，x＝﹣1， ∴A（﹣1，0），B（0，1）， 在平面直角坐标系中，直线y1＝x+1与直线相交于点C（3，m），把点C的坐标代入y1＝x+1得： ∴m＝3+1＝4， ∴C（3，4）， 把点C（3，4）代入直线得： 3+b＝4， 解得b＝5； （2）①∵直线与x轴相交于点D， 由（1）得b＝5， ∴5＝0， 解得x＝15， ∴点D的坐标为（15，0）， 由（1）得点A的坐标为（﹣1，0）， 故答案为：（﹣1，0）；（15，0）； ②过点C作CE⊥AD于点E，即△ACP的高，如图1， ∵C（3，4），CE⊥AD， ∴CE＝4， ∵△ACP的面积为10， ∵A（﹣1，0），D（15，0）， ∴OA＝1，OD＝15， AD＝OA+OD＝16， 设PD＝2t，则AP＝16﹣2t， AP•CE4×（16﹣2t）＝10， 解得t； ③△ACP为等腰三角形有三种情况： 过C作CE⊥AP于E，如图2， 则CE＝4，OE＝3， ∴AE＝OA+OE＝4， ∴AC4， 第一种情况：当AC＝PC时，AP＝2AE＝8， PD＝AD﹣AP＝8， 此时t＝4； 第二种情况：当AP＝AC时，P1和P2分别在A点两侧，如图3， 则AP1＝AP2＝AC＝4， DP1＝16﹣4， DP2＝16+4， ∴t＝8﹣2或t＝8+2； 第三种情况：当PC＝PA时，如图4， 设EP＝m，则PC， ∵PA＝m+4， ∴m+4， 解得m＝0， ∴P与E重合，AP＝4， ∴PD＝12， ∴t＝6； 综上所述，△ACP为等腰三角形时，t的值为4或8﹣2或8+2或6． 27．如图，在平面直角坐标系中，直线m：y＝﹣x+b与直线n：y＝ax+8（a≠0）交于点A（﹣1，5），直线m、n分别与x轴交于点B、C． （1）求点B、C的坐标； （2）若线段AC上存在一点P，使得S△CBP，求点P的坐标； （3）在（2）的条件下，在平面直角坐标系中找一点Q，使得以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点Q的坐标． 【分析】（1）待定系数法求出直线m和直线n的函数解析式，即可求得点C坐标； （2）设点P（p，3p+8），根据△CBP的面积列方程，求解即可； （3）根据平行四边形的性质以及平移的性质求解即可． 【解答】解：（1）将点A（﹣1，5）代入直线 m：y＝﹣x+b，得1+b＝5， 解得：b＝4， ∴直线m：y＝﹣x+4； 将点A（﹣1，5）代入直线n：y＝ax+8得﹣a+8＝5， 解得a＝3， ∴直线n：y＝3x+8， 当y＝﹣x+4＝0时，x＝4， ∴点B坐标为（4，0）， 当y＝3x+8＝0时，x， ∴点C坐标为（，0）； （2）解：S△CBP， ∵点P在线段AC上，如图所示： 设点P（p，3p+8） S△CBP（3p+8）， ∴p＝﹣2， ∴点P的坐标为（﹣2，2）； （3）解：∵A（﹣1，5），B（4，0），P（﹣2，2）， 设点Q（m，n），以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形， 则①AB，AP为平行四边形的边时， 此时AB∥PQ，且AB＝PQ， 则，点Q（3，﹣3）， ②AP，PB为平行四边形的边时， 此时AP∥BQ，且AP＝BQ， 则点Q（5，3）， ③AB，PB为平行四边形的边时， 此时AB∥PQ，且AB＝PQ， 则点Q（﹣7，7）， 综上，以点4、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，点Q的坐标为（3，﹣3）、（5，3）、（﹣7，7）． 28．如图，直线l：y＝kx+b是由直线y＝﹣x经过平移并且经过点D（2，10）而得，它与x轴和y轴的交点分别为A、B，若C（10，0），点E（0，n）为y轴上的动点． （1）求直线l的解析式及∠ABO的度数； （2）若∠ECO＝∠ADC，求点E的坐标； （3）若点O关于直线CE的对称点F，连接CF，直接写出线段CF与直线l有交点时，n的取值范围． 【分析】（1）根据平移的性质得出y＝﹣x+b，将点D代入确定函数解析式；再由函数与坐标轴的交点确定AO＝BO＝12，即可得出角度； （2）过点C作CH⊥AB，在点C左侧取一点G，使得CG＝DH，过点G作GM⊥x轴，使得MG＝CH，连接CM，交y轴于点E，过点D作DI⊥y轴，根据全等三角形的判定和性质得出△CGM≌△CHD（SAS），∠MCG＝∠CDH，然后利用勾股定理及各线段的长度确定点M的坐标为，利用待定系数法得出直线CM的解析式为，即可确定点E的坐标，再由对称即可确定另一个点的坐标； （3）当点O关于直线CE的对称点F恰好落在AB上时，根据轴对称图形的性质得出OC＝CF＝10，设点F（x，﹣x+12），得出CF2＝（10﹣x）2+（﹣x+12）2＝102，确定点F，得出中点H，再由待定系数法确定直线CH的解析式，结合图形即可求解． 【解答】解：（1）∵直线l：y＝kx+b是由直线y＝﹣x经过平移并且经过点D（2，10）而得， ∴y＝﹣x+b， 将点D的坐标代入直线l的解析式得： 10＝﹣2+b， 解得：b＝12， ∴y＝﹣x+12， 直线l：y＝﹣x+12与x轴和y轴的交点分别为A、B， 当x＝0时，得y＝12； 当y＝0时，得：﹣x+12＝0， 解得：x＝12， ∴A（12，0），B（0，12）， ∴AO＝BO＝12， ∵∠AOB＝90°， ∴∠ABO＝∠BAO＝45°； （2）过点C作CH⊥AB，在点C左侧取一点G，使得CG＝DH，过点G作GM⊥x轴，使得MG＝CH，连接CM，交y轴于点E，过点D作DI⊥y轴，如图1， ∴∠MGC＝∠CHD＝90°， 在△CGM和△DHC中， ， ∴△CGM≌△DHC（SAS）， ∴∠MCG＝∠CDH， 由（1）得AO＝BO＝12，∠ABO＝∠BAO＝45°， ∵C（10，0）， ∴AC＝2，CH＝AH， ∴，， ∵D（2，10）， ∴BI＝DI＝2， ∴， ∴， ∴点M的坐标为， 设直线CM的解析式为y＝mx+n，将点C，点M的坐标分别代入得： ， 解得， ∴， 当x＝0时，， ∴， 关于点O的对称点也符合题意， 综上所述，点E的坐标为或； （3）当n≥5或n≤﹣30时，线段CF与直线l有交点．理由如下： 如图2，当点E在y轴正半轴时，点O关于直线CE的对称点F恰好落在AB上时，如图2： ∴OC＝CF＝10， 设点F（x，﹣x+12）， ∵C（10，0）， ∴CF2＝（10﹣x）2+（﹣x+12）2＝102， 解得：x＝4或x＝18（不合题意，舍去）， ∴点F（4，8）， ∴中点H（2，4）， 设直线CH的解析式为y＝ax+c，将点C，点H的坐标分别代入得： ， 解得， ∴， 当x＝0时，y＝5， ∴n＝5， ∴当n≥5时，线段CF与直线l有交点； 如图3，当点E在y轴负半轴时，点O关于直线CE的对称点F恰好落在AB上时，如图2： ∴OC＝CF＝10， 设点F（x，﹣x+12）， ∵C（10，0）， ∴CF2＝（10﹣x）2+（﹣x+12）2＝102， 解得：x＝4（不合题意，舍去）或x＝18， ∴点F（18，﹣6）， ∴中点H（9，﹣3）， 设直线CH的解析式为y＝ax+c，将点C，点H的坐标分别代入得： ， 解得：， ∴y＝3x﹣30， 当x＝0时，y＝﹣30， ∴n＝5， ∴当n≤﹣30时，线段CF与直线l有交点； 综上所述，当n≥5或n≤﹣30时，线段CF与直线l有交点． 29．如图1，函数 与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称． （1）求直线BC的函数解析式； （2）设点M是x轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线AB于点P，交直线BC于点Q． ①若PQ的长为4，求点M的坐标； ②如图2，连接BM，在点M的运动过程中是否存在点P，使∠BMP＝∠BAC，若存在，请求出点P坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）先确定出点B坐标和点A坐标，进而求出点C坐标，最后用待定系数法求出直线解析式； （2）①用三角形面积公式即可得出结论； ②分点M在y轴左侧和右侧，由对称得出∠BAC＝∠ACB，∠BMP+∠BMC＝90°可得当∠MBC＝90°时，利用勾股定理建立方程即可求解． 【解答】解：（1）对于， 当x＝0时，y＝3， 当y＝0时，， 解得：x＝﹣6， ∴点B（0，3），A（﹣6，0）， ∵点C与点A关于y轴对称， ∴点C（6，0）， 设直线BC的解析式为y＝kx+b（k≠0）， ∴， 解得：， ∴直线BC的解析式为； （2）①设M（m，0），则点P（m，m+3），Q（m，m+3）， ∴PQ＝|m+3﹣（m+3）|＝4， 解得：m＝±4， ∴点M的坐标为（4，0）或（﹣4，0）； ②如图2，当点M在y轴的左侧时， ∵点C与点A关于y轴对称， ∴AB＝BC， ∴∠BAC＝∠BCA， ∵∠BMP＝∠BAC， ∴∠BMP＝∠BCA， ∵∠BMP+∠BMC＝90°， ∴∠BCA+∠BMC＝90°， ∴∠MBC＝180°﹣（∠BMC+∠BCA）＝90°， ∴BM2+BC2＝MC2， 设M（x，0），则， ∴BM2＝OM2+OB2＝x2+9，MC2＝（6﹣x）2，BC2＝OC2+OB2＝62+32＝45， ∴x2+9+45＝（6﹣x）2， 解得：， ∴， 当点M在y轴的右侧时， 同理可得， 综上所述，点P的坐标为或． 30．如图1，已知直线l与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点B（0，3），以A为直角顶点在第一象限内作等腰Rt△ABC，其中上∠BAC＝90°，AB＝AC． （1）求直线l的解析式和点C的坐标； （2）如图2，点M是BC的中点，点P是直线l上一动点，连接PM、PC，求PM+PC的最小值，并求出当PM+PC取最小值时点P的坐标； （3）在（2）的条件下，当PM+PC取最小值时，在直线PM上是否存在一点Q，使？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）用待定系数法即可求得直线l的解析式，过点C作CD⊥x轴，利用AAS证明△AOB≌△CDA，结合其性质可得点C的坐标； （2）根据中点坐标公式可得M（2，2），延长CA至E，使得CA＝AE，即点A为CE的中点，可知E（﹣2，﹣1），AB垂直平分CE，连接PE，则PE＝PC，得PM+PC＝PM+PE≥EM，当点P在直线EM上时取等号，由勾股定理求得EM＝5，利用待定系数法得直线EM的解析式为，当点P在直线EM上时，即直线EM与直线AB相交，联立方程组即可求得此时点P的坐标为； （3）根据题意得，过点A作AF⊥x轴交直线PM于F，可知，分情况：当点Q在点F右侧时，当点Q在点P、点F之间时，当点Q在点P左侧时，结合三角形的面积公式即可求解． 【解答】解：（1）已知直线l与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点B（0，3）， ∴OB＝3，OA＝1， 设直线l的解析式为y＝mx+n，将点A，点B的坐标分别代入得： ， 解得：， ∴y＝﹣3x+3， 如图1，过点C作CD⊥x轴，则∠AOB＝∠CDA＝∠BAC＝90°， ∴∠BAO+∠CAD＝∠CAD+∠ACD＝90°， ∴∠BAO＝∠ACD， 在△AOB和△CDA中， ， ∴△AOB≌△CDA（AAS）， ∴AD＝OB＝3，OA＝CD＝1， ∴OD＝4， 则点C的坐标为（4，1）； （2）由（1）可知，A（1，0），B（0，3），C（4，1）， ∵点M是BC的中点， ∴M，即M（2，2）， 延长CA至E，使得CA＝AE，即点A为CE的中点，如图2， ∴点E的坐标为（2×1﹣4，2×0﹣1），即E（﹣2，﹣1）， ∵∠BAC＝90°， ∴AB垂直平分CE， 连接PE，则PE＝PC， ∴PM+PC＝PM+PE≥EM，当点P在直线EM上时取等号， 由勾股定理可得：， 设直线EM的解析式为y＝m1x+n1，将点E，点M的坐标分别代入得： ， 解得：， ∴直线EM的解析式为， 当点P在直线EM上时，即直线EM与直线AB相交， 联立得， 解得：， 即此时点P的坐标为， 综上所述，PM+PC的最小值为5，此时点P的坐标为； （3）在直线PM上存在一点Q，使；点Q的坐标为或（﹣2，﹣1）；理由如下： 存在，理由如下： ∵， ∴， 过点A作AF⊥x轴交直线PM于F， 此时x＝1，则，即， ∴，则， 如图3，当点Q在点F右侧时，， ∴， 解得：， 当时，， 即此时点Q的坐标为； 当点Q在点P、点F之间时，，不符合题意； 当点Q在点P左侧时，， ∴， 解得：xQ＝﹣2， 当xQ＝﹣2时，， 即此时点Q的坐标为（﹣2，﹣1）； 综上所述，在直线PM上存在一点Q，使；点Q的坐标为或（﹣2，﹣1）． 31．如图1，已知直线y＝kx+6与y轴交于点A，与x轴交于点B（3，0），直线y＝﹣x以每秒1个单位长度的速度沿y轴正方向平移，平移时交线段OA于点D，交线段OB于点C，当点C与点B重合时结束运动． （1）求k的值； （2）若直线CD的函数关系式为y＝﹣x+1，P是直线CD上一点，当S△ADP＝S△AOB时，求点P的坐标； （3）如图2，在直线y＝﹣x运动过程中，过点D作DE⊥y轴交AB于点E，连接CE，设运动时间为t（s）．当CE＝CD时，求t的值． 【分析】（1）把点B（3，0）代入y＝kx+6即可求出k的值； （2）求出AD＝5，OA＝6，OB＝3，设点P（x，﹣x+1）．根据S△ADP＝S△AOB得到，求出，即可得到点P的坐标； （3）连接BD，根据得到AD＝2DE，当CE＝CD时，作CF⊥DE于点F，则DF＝EF，求出直线y＝﹣x+t，得到D（0，t），则AD＝6﹣t，F（t，t），得到DE＝2DF＝2t，则6﹣t＝2×2t，解得． 【解答】解：（1）∵直线y＝kx+6与x轴交于点B（3，0）， ∴3k+6＝0，解得k＝﹣2， 即k的值为﹣2． （2）由（1）知直线AB的函数关系式为y＝﹣2x+6， 当x＝0，y＝6， ∴点A（0，6）． ∵直线CD的函数关系式y＝﹣x+1， 当x＝0，y＝1， 当y＝0，0＝﹣x+1，解得x＝1， ∴点C（1，0），点D（0，1）． ∵点A（0，6），点B（3，0）， ∴AD＝5，OA＝6，OB＝3， 设点P（x，﹣x+1）． ∵S△ADP＝S△AOB， ∴， ∴， 当时，， 当时，， ∴点或． （3）如图，连接BD． ∵， ∴3AD＝（AD+OD）DE＝6DE， ∴AD＝2DE， 当CE＝CD时，作CF⊥DE于点F，则DF＝EF， 设直线CD的解析式为y＝﹣x+n． ∵C（t，0）， ∴﹣t+n＝0，解得n＝t， ∴y＝﹣x+t， ∴D（0，t）， ∴AD＝6﹣t，F（t，t）， ∴DE＝2DF＝2t， ∴6﹣t＝2×2t，解得， 即t的值为． 32．如图所示，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边AB＝5，边OA＝4，直线l：y＝2x+b与矩形OABC的边OC和AB都有交点，交点分别是点D与点E． （1）请用含b的代数式分别表示点D和点E的坐标：D 　（b，0）　 ，E 　（，4）　 ； （2）当四边形ADCE为平行四边形时，求b的值； （3）若要使在平面内存在点F，使以点C、D、E、F这四点为顶点的四边形为菱形，是否存在满足条件的b的值？若存在，求出b的值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）直线l：y＝2x+b，令y＝0，则xb，当y＝4时，x，即可求解； （2）四边形ADCE为平行四边形时，AE＝CD，即可求解； （3）分当DE是菱形的边、DE是菱形的对角线两种情况，分别求解即可． 【解答】解：（1）AB＝5，边OA＝4，则点A、B、C的坐标分别为：（0，4）、（5，4）、（5，0）， 直线l：y＝2x+b，令y＝0，则xb，当y＝4时，x， 故点D、E的坐标分别为：（b，0）、（，4）； 故答案为：（b，0）；（，4）； （2）由（1）知点D、E的坐标分别为：（b，0）、（，4）； 点A、C的坐标分别为：（0，4）、（5，0）； 则AE，CD＝5b， 四边形ADCE为平行四边形时，则AE＝CD，即5b， 解得：b＝﹣3； （3）①当DE是菱形的边时， 点F对应的点为：F′或F″， 在菱形DEF′C中，DE＝DC，即（b）2+（4﹣0）2＝（5b）2， 解得：b＝﹣10±4， 当b＝﹣10﹣4时，点E（7，4）不在AB边上，故该b值舍去， 故b＝﹣10+4； 当四边形F′′DEC为菱形时； 同理可得：b＝﹣2； ②当DE是菱形的对角线时， 则CD＝CE，即（5b）2＝（5）2+42，解得：b＝0， 综上：b＝﹣10+4或0或﹣2． 33．如图，直线y＝kx﹣4k（k≠0）与坐标轴分别交于点A，B，过点A、B作直线AB，以OA为边在y轴的右侧作四边形AOBC，S△AOB＝8． （1）求点A，B的坐标； （2）如图，点D是x轴上一动点，点E在AD的右侧，∠ADE＝90°，AD＝DE； ①如图1，问点E是否在定直线上，若是，求该直线的解析式；若不是，请说明理由； ②如图2，点D是线段OB的中点，另一动点H在直线BE上，且∠HAC＝∠BAD，请直接写出点H的坐标． 【分析】（1）分别将x＝0，y＝0代入y＝kx﹣4k（k≠0）求解，再根据S△AOB＝8，即可求解； （2）①过点E作EF⊥x轴，通过证明△AOD≌△DFE，得到BF＝EF，即可求解； ②连接AE，可得点H与点E重合，作点M关于直线AC的对称点N，可得N点坐标，求得直线AN的解析式，即可求解． 【解答】解：（1）分别将x＝0，y＝0代入y＝kx﹣4k（k≠0）， 得y＝﹣4k，x＝4， 即A（0，﹣4k），B（4，0）， ∴OA＝﹣4k，OB＝4， ∵， ∴k＝﹣1， 即A（0，4），B（4，0）． 答：A（0，4），B（4，0）． （2）①点E是在定直线上． 过点E作EF⊥x轴，如图， 由题意可得：∠AOD＝∠DFE＝∠ADE＝90°， ∴∠ADO+∠EDF＝∠ADO+∠OAD＝90°， ∴∠OAD＝∠EDF， ∴△AOD≌△DFE（AAS）， ∴DF＝OA＝4，EF＝OD， ∴BF＝DF﹣DB＝OA﹣DB＝OB﹣DB＝OD， ∴EF＝BF， 设E（x，y），则D（y，0），F（x，0）， 由题意可得：OF＝OD+DF＝OD+OA， 即y＝x﹣4， ∴点E在定直线y＝x﹣4上． ②连接AE，由题意可得△ADE为等腰直角三角形，∠DAE＝45°， ∵四边形OACB为正方形， ∴∠BAC＝∠DAE＝45°， ∴∠EAC＝∠BAD，此时点H与点E重合， 由①可得E（6，2）， ∴H（6，2）， 设直线AE为y＝kx+b，将E（6，2）、A（0，4）代入， 得， 解得， ∴直线AE为， 当x＝4时，， ∴， 作点M关于直线AC的对称点N， ∴， 此时∠NAC＝∠EAC＝∠BAD， ∴点H为直线AN与BE的交点， ∴直线AN为， 联立， 解得， ∴H（12，8）． 综上，点H坐标为（12，8）或（6，2）． 34．阅读理解： 【新定义】对于线段MN和点Q，定义：若QM＝QN，则称点Q为线段MN的“等距点”；特别地，若∠MQN＝90°，则称点Q是线段MN的“完美等距点”． 【解决问题】如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（6，0），点P（m，n）是直线yx上一动点． （1）已知4个点：B（3，﹣3）、C（3，﹣2）、D（﹣3，﹣3）、，以上这四个点中 　B、C、E　 是线段OA的“等距点”，　B　 是线段OA的“完美等距点”（填写大写字母）． （2）若点P在第三象限，且OP＝2，点H在y轴上，且H是线段AP的“等距点”，求点H的坐标； （3）当m＞0，是否存在这样的点N，使点N是线段OA的“等距点”且为线段OP的“完美等距点”，请直接写出所有这样的点P的坐标 　（4，2）或（12，6）　 ． 【分析】（1）依据两点之间的距离公式分别计算各点到O，A的距离，根据等距点和完美等距点做出判断； （2）设出H点的坐标，根据等距点的定义，利用两点之间的距离公式列出方程可得结论； （3）假定存在，设出N点的坐标，根据等距点的定义，利用两点之间的距离公式列出方程可得结论． 【解答】解：（1）∵OB3，AB3， ∴OB＝AB． ∴B是线段OA的“等距点”， ∵OC，AC， ∴OC＝AC． ∴C是线段OA的“等距点”， ∵OD3，AD3， ∴OD≠AD． ∴D不是线段OA的“等距点”， ∵OE，AE， ∴OE＝AE． ∴E是线段OA的“等距点”， ∵OA＝6， ∴OB2+AB2＝OA2，OC2+AC2≠OA2，OD2+AD2≠OA2，OE2+AE2≠OA2， ∴B是线段OA的“完美等距点”． 故答案为：B，C，E；B； （2）∵P（m，n）在yx上， ∴nm． ∴OP2． ∴m＝±4． ∵点P在第三象限， ∴P（﹣4，﹣2）． 设H的坐标为（0，t）， ∴PH． ∵AH，AH＝HP， ∴． 解得：t＝4． ∴点H的坐标为（0，4）； （3）存在． 理由：∵点N是线段OA的“等距点”，点A的坐标为（6，0）， ∴ON＝AN， ∴设N点的坐标为（3，b）， ∵P（m，m）， ∴ON，PN． ∵点N线段OP的“完美等距点”， ∴ON＝PN． ∴． 解得：bm﹣6． ∵N为线段OP的“完美等距点”， ∴ON⊥PN． ∴△OPN为等腰直角三角形． ∴OPON． ∵OP，ON． ∴•． 解得：m＝4或m＝12． 当m＝4时，nm＝2． 当m＝12时，nm＝6． ∴P点的坐标为（4，2）或（12，6）． 故答案为：（4，2）或（12，6）． 35．根据前面已经学过的“距离”我们知道：点到直线的“距离”是直线外一点和直线上各点连接的所有线段中最短的线段（即垂线段）的长度．类似的我们给出两个图形G1、G2的“距离”定义：如果点P为图形G1上的任意一点，点Q为图形G2上的任意一点，且P、Q两点的“距离”有最小值，那么称这个最小值为图形G1，G2的“距离”，记为d（G1，G2）特别地，当图形G1，G2有公共点时，图形G1，G2的“距离”d（G1，G2）＝0． （1）如图1，在平面直角坐标系中，菱形OABC的∠AOC＝60°，点B、C在第一象限，若A（5，0），D（﹣3，0），E（0，4），则d（D，菱形OABC）＝　3　 ，d（E，菱形OABC）＝　2　 ； （2）如图2，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（0，2），B（﹣2，0），C（2，0），将一次函数y＝kx+6的图象记为L． ①若d（L，△ABC）＝0，求k的取值范围； ②若k＞0，且，则k的值为 　　 ； （3）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P（4n，6﹣4n）为平面内一点，令d（A，P）＝d1，d（B，P）＝d2，d（C，P）＝d3，比较d1，d2，d3的大小关系 　d1＝d3＜d2　 （直接写出结果）． 【分析】（1）过E作EH⊥OC于H，由D（﹣3，0），可得d（D，菱形OABC）＝OD＝3，而E（0，4），∠AOC＝60°，有，故d（E，菱形OABC）＝EH＝2； （2）①当图象L经过点B时，知﹣2k+6＝0，k＝3，当图象L经过点C时，2k+6＝0，得k＝﹣3，由一次函数的图象和性质可知，d（L，△ABC）＝0，则k的取值范围为k≥3或k≤﹣3； ②如图，设图象L与y轴交于D，与x轴交于F，作AE⊥L于点E，y＝kx+6中，令x＝0，得（0，6），根据，知，故∠DAE＝30°，从而∠DFO＝30°，即得 ，用待定系数法可得； （3）令x＝4n，y＝6﹣4n，可得P（4n，6﹣4n）在直线y＝﹣x+6上，设直线y＝﹣x+6与x轴交于点E，与y轴交于点D，然后根据勾股定理计算即可． 【解答】解：（1）过E作EH⊥OC于H，如图1： ∵D（﹣3，0），E（0，4）， ∴OD＝3，OE＝4， 由题意知，d（D，菱形OABC）＝OD＝3， ∵∠AOC＝60°， ∴∠EOH＝30°， ∴， ∴d（E，菱形OABC）＝EH＝2， 故答案为：3，2； （2）①图象L经过点B或点C时，图象L与△ABC只有一个交点，符合d（L，△ABC）＝0， 当图象L经过点B时， 将B（﹣2，0）代入y＝kx+6，得﹣2k+6＝0， 解得k＝3， 当图象L经过点C时， 将C（2，0）代入y＝kx+6，得2k+6＝0， 解得k＝﹣3， 由一次函数的图象和性质可知，当k＞3或k＜﹣3时，图象L与△ABC有两个交点，满足d（L，△ABC）＝0， ∴k的取值范围为k≥3或k≤﹣3； ②如图2，设图象L与y轴交于D，与x轴交于F，作AE⊥L于点E． y＝kx+6中，令 x＝0，得 y＝6， ∴D（0，6）， ∴AD＝OD﹣OA＝6﹣2＝4， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴∠DAE＝30°， ∴∠ADE＝60°， ∴∠DFO＝30°， ∴， ∴， 将 代入 y＝kx+6，得 ， 解得； 故答案为：； （3）d1＝d3＜d2．理由如下： ∵点P（4n，6﹣4n）为平面内一点， 令x＝4n，y＝6﹣4n，则y＝﹣x+6， ∴点P（4n，6﹣4n）在直线y＝﹣x+6上， 设直线y＝﹣x+6与x轴交于点E，与y轴交于点D，如图3， 当x＝0时，y＝6； 当y＝0时，﹣x+6＝0， 解得x＝6， ∴OD＝OE＝6，∠ODE＝∠OED＝45° 又∵OA＝OC＝OB＝2， ∴AD＝CE＝4 ∴当AP⊥DE时，距离最小，这时AP＝DPAD＝2， ∴d1＝2， 同理得到d3＝2，d2＝4， ∴d1＝d2＜d3， 故答案为：d1＝d3＜d2． 36．【阅读理解】 定义：在同一平面内，有不在同一条直线上的三点M，N，P，连接PM，PN，设 线段PM，PN的夹角为α，，则我们把（α，w）称为∠MPN的“度比坐标”，把 称为∠NPM的“度比坐标”． 【迁移应用】 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+4与x轴相交于点A，与y轴相交于点B． （1）求点A的坐标，并写出∠AOB的“度比坐标”（用含k的代数式表示）； （2）C，D为直线AB上的动点（点C在点D左侧），且∠COD的“度比坐标”为（90°，1）． ⅰ）若，求CD的长； ⅱ）在ⅰ）的条件下，平面内是否存在点E，使得∠DOE的“度比坐标”与∠OCB的“度比坐标”相等？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）由y＝kx+4得：A（，0），B（0，4），得4，故∠AOB的“度比坐标”为（90°，）． （2）①由得直线解析式为yx+4．过C作CM⊥x轴，过D作DN⊥x轴．由一线三垂直得△DON≌△OCM，得MC＝ON＝m，OM＝DNm+4．得C（m﹣4，m）．代入直线得m，故D（，），C（，），再利用勾股定理计算即可． ②先计算出∠OCB的“度比坐标”，从而求得∠DOE的“度比坐标”，从而得到∠EOD＝45°，所以OE⊥CD或OE∥CD，分情况讨论，先求出OE的直线解析式，再根据两点之间距离公式求出点E坐标；再根据三角形全等求出另一个E点坐标即可． 【解答】解：（1）由y＝kx+4得：A（，0），B（0，4）， ∴4， ∴∠AOB的“度比坐标”为（90°，）． （2）①∵， ∴直线解析式为yx+4． 过C作CM⊥x轴，过D作DN⊥x轴． 设D（m，m+4）． ∵∠COD＝90°， ∴∠COM+∠DON＝90°， ∵∠COM+∠MCO＝90°， ∴∠DON＝∠MCO， 在△DON和△OCM中， ， ∴△DON≌△OCM（AAS）， ∴MC＝ON＝m， OM＝DNm+4． ∴C（m﹣4，m）． 代入直线yx+4得： m（m﹣4）+4， ∴m， ∴D（，），C（，）， ∴CD． ②由①知，OC，BC，∠OCB＝45°， ∴∠OCB的“度比坐标”为（45°，）， ∵∠DOE的“度比坐标”与∠OCB的“度比坐标”相等， ∴∠DOE＝45°，OE＝BC， ∴OE⊥CD或OE∥CD， 当OE⊥CD时，如图： ∴F为CD中点， ∴F（，）， ∴直线OF的解析式为：y＝﹣2x， 设E（t，﹣2t）， ∴t2+4t2， ∴t（正值已舍）， ∴E（，）； 当OE∥CD时，如图： ∴OE⊥OE′， ∴∠EOG+∠E′OH＝90°， ∴∠EOG＝∠E′， 在△EOG和△OE′H中， ， ∴△EOG≌△OE′H（AAS）， ∴OH＝GE，E′H＝OG， ∴E′（，）； 综上所述，E（，）或（，）． 37．在平面直角坐标系xOy中，对于任意两个图形T和图形W，给出如下定义：M，N分别为图形T和图形W上任意一点，将M，N两点间距离的最小值称为图形T和图形W之间的“关联距离”，记作d（T，W）．如图，已知△ABC，其中A（﹣2，3），B（﹣2，﹣1），C（1，3），D，E为三角形外两点．例如，点A与x轴之间的“关联距离”d（A，x轴）＝3，线段AB与y轴之间的“关联距离”d（AB，y轴）＝2． （1）求点A与直线BC之间的“关联距离”d（A，直线BC）； （2）若D（3，1），E（5，1），将线段DE向左平移n个单位，当线段DE与△ABC之间的“关联距离”d（DE，△ABC）＝0时，求n的最小值； （3）若D（m，﹣2），E（m+2，﹣4），当﹣2≤m≤3时，对于每一个m，都满足线段DE与一次函数y＝kx﹣2k（k是常数，k≠0）的图象之间的“关联距离”d（DE，直线y＝kx﹣2k）＞0，求k的取值范围． 【分析】（1）过点A作AD⊥BC于点D，根据A（﹣2，3），B（﹣2，﹣1），C（1，3），得出AC，AB，BC，根据等积法求出AD，即可得出答案； （2）求出直线BC的解析式，把y＝1代入求出x，根据线段DE与△ABC之间的“关联距离”d（DE，△ABC）＝0，求出n即可； （3）根据D（m，﹣2），E（m+2，﹣4），得出当﹣2≤m≤3时，线段DE在线段D1E1和D2E2之间，根据y＝kx﹣2k＝k（x﹣2），得出直线y＝kx﹣2k过定点（2，0），画出图形，根据d（DE，直线y＝kx﹣2k）＞0，得出结果即可． 【解答】解：（1）过点A作AD⊥BC于点D，如图所示： ∵A（﹣2，3），B（﹣2，﹣1），C（1，3）， ∴AC＝1﹣（﹣2）＝3，AB＝3﹣（﹣1）＝4，BC5，∠BAC＝90°， ∵S△ABCAC•ABBC•AD， ∴AD， ∵垂线段最短， ∴d（A，直线BC）； （2）∵D（3，1），E（5，1）， ∴DE在直线y＝1上， 设直线BC的解析式为：y＝kx+b（k≠0）， 把B（﹣2，﹣1），C（1，3）代入得： ， 解得：， ∴直线BC的解析式为：yx， 把y＝1代入yx，得：1x， 解得：x， ∵线段DE与△ABC之间的“关联距离”d（DE，△ABC）＝0， ∴线段DE向左平移的距离为：n＝3﹣（）＝3， ∴n的最小值为3； （3）∵D（m，﹣2），E（m+2，﹣4）， ∴当m＝﹣2时，D1（﹣2，﹣2），E1（0，一4）， 当m＝3时，D2（3，﹣2），E2（5，﹣4）， ∴当﹣2≤m≤3时，线段DE在线段D1E1和D2E2之间，y＝kx﹣2k＝k（x﹣2）， ∴直线y＝kx﹣2k过定点（2，0），如图所示： 把D1（﹣2，﹣2）代入y＝kx﹣2k得： ﹣2＝﹣2k﹣2k， 解得：k， 把E2（5，﹣4）代入y＝kx﹣2k得： ﹣4＝5k﹣2k， 解得：k， 根据图可知，当k且k≠0时， d（DE，直线y＝kx﹣2k）＞0． 38．在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x0，y0），给出如下定义：若存在实数x1，x2，y1，y2使得x0﹣x1＝x1﹣x2且y0﹣y1＝y1﹣y2，则称点P为以点（x1，y1）和（x2，y2）为端点的线段的等差点． （1）若线段m的两个端点坐标分别为（1，2）和（3，﹣2），则下列点是线段m等差点的有 　①④　 ；（填写序号即可） ①P1（﹣1，6）； ②P2（2，0）； ③P3（4，﹣4）； ④P₄（5，﹣6）． （2）点A，B都在直线y＝﹣x上，已知点A的横坐标为﹣2，M（t，0），N（t+1，1）． ①如图1，当t＝﹣1时，线段AB的等差点在线段MN上，求满足条件的点B的坐标； ②如图2，点B横坐标为2，以AB为对角线构造正方形ACBD，在正方形ACBD的边上（包括顶点）任取两点连接的线段中，若线段MN上存在其中某条线段的等差点，直接写出t的取值范围 　﹣7≤t≤﹣2或1≤t≤6　 ． 【分析】（1）m的两个端点坐标分别为（1，2）和（3，﹣2），根据定义计算检验即可； （2）①根据解析式得A（﹣2，2），当t＝﹣1时，M（﹣1，0），N（0，1），待定系数法确定直线MN解析式为y＝x+1，联立y＝﹣x，求解交点即等差点坐标为（﹣0.5，0.5）；设点B（a，﹣a），根据定义即可求解； ②如图，点B的横坐标为2，可知A（﹣2，2），B（2，﹣2），C（﹣2，﹣2），D（2，2），且M（t，0），N（t+1，1）分别在x 轴、直线y＝1上，如图，正方形上两点（2，2），（﹣2，1.75）的一个等差点为（﹣6，1），点N（t+1，1）位于N1（﹣6，1）时，t取最小值，t＝﹣7；正方形上两点（﹣2，2），（2，1）的一个等差点为（6，0），点M（t，0）位于 M4（6，0）时，t取最大值，t＝6；任取两点连接的线段的等差点不可能出现在正方形内部，故t≤﹣2或t≥1，所以﹣7≤t≤﹣2或1≤t≤6． 【解答】解：（1）m的两个端点坐标分别为（1，2）和（3，﹣2） ①P1（﹣1，6）：∵﹣1﹣1＝1﹣3，6﹣2＝2﹣（﹣2）， ∴P1（﹣1，6）是等差点； ②P2（2，0）：∵2﹣1≠1﹣3，且2﹣3≠3﹣1， ∴P2（2，0）不是等差点； ③P3（4，﹣4）：∵4﹣1≠1﹣3，且4﹣3≠3﹣1， ∴P3（4，﹣4）不是等差点； ④P4（5，﹣6）：∵5﹣3＝3﹣1，且﹣6﹣（﹣2）＝（﹣2）﹣2， ∴P4（5，﹣6）是等差点． 故答案为：①④． （2）①∵点A直线y＝﹣x上，横坐标为﹣2， ∴A（﹣2，2）， 当t＝﹣1 时，M（﹣1，0），N（0，1）， 设直线MN解析式为y＝kx+b（k≠0）， 则， 解得， ∴直线MN解析式为y＝x+1， 联立， 解得， ∴交点即等差点坐标为（﹣0.5，0.5）； 设点B（a，﹣a）， 则﹣0.5﹣a＝a﹣（﹣2）或﹣0.5﹣（﹣2）＝（﹣2）﹣a， 解得a＝﹣1.25或a＝﹣1.75， ∴B（﹣1.25，1.25）或（﹣3.5，3.5）； ②如图，点B横坐标为2，以AB为对角线构造正方形ACBD， 可知A（﹣2，2），B（2，﹣2），C（﹣2，﹣2），D（2，2），且M（t，0），N（t+1，1）分别在x轴、直线y＝1上， 根据等差点定义知，正方形上两点（2，2），（﹣2，1.5）的一个等差点为（﹣6，1）， ∴点N（t+1，1）位于 N1（﹣6，1）时，t取最小值， ∴t+1＝﹣6， 即t＝﹣7； 正方形上两点 （﹣2，2），（2，1）的一个等差点为（6，0）， ∴点M（t，0）位于 M4（6，0）时，t取最大值， 即t＝6； ∵正方形ACBD的边上（包括顶点）任取两点连接的线段的等差点不可能出现在正方形内部， ∴t≤﹣2或t+1≥2， 即t≤﹣2或t≥1， 综上，﹣7≤t≤﹣2或1≤t≤6． 故答案为：﹣7≤t≤﹣2或1≤t≤6． 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $$