暑假作业09 一次函数图像及其性质（10题型83题)（巩固培优）八年级数学新教材人教版

**基本信息** 以“定义-方法-图像-变换-应用”为主线，系统整合12个核心知识点与10类典型题型，通过83题实现从基础到培优的梯度突破，突出待定系数法、数形结合等思想方法的迁移应用。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识梳理|12模块|待定系数法四步法、平移口诀（上加下减常数项，左加右减自变量）、分类讨论（k=0与k≠0）|从定义（正比例/一次函数）到解析式求解，再到图像性质（k/b几何意义、象限判定），延伸至变换（平移/对称）与含参数问题，形成“概念-运算-图像-应用”递进链条| |题型突破|10类83题|图像辨析“数-形”双向转化、增减性参数讨论、规律探究归纳法|10类题型覆盖中考全考点，基础题（定义判断、象限分析）与综合题（旋转、动态几何）结合，易错点（截距概念、k≠0）专项警示，强化推理意识与应用能力|

命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 暑假作业09一次函数图像及其性质10题型83题 知识复盘卡 【知识点1正比例函数、一次函数的定义】 1.正比例函数 形如y=x(k为常数，k≠O)的函数，叫做正比例函数。 结构特征：解析式为单项式，无常数项； 从属关系：正比例函数是特殊的一次函数。 2.一次函数 形如y=+b(k、b为常数，k≠0)的函数，叫做一次函数。 结构特征：解析式为一次二项式，自变量x的次数为1； 特殊情况：当b=0时，一次函数退化为正比例函数y=kx。 关键提醒：k≠0是两个函数成立的必要条件，若k=0,式子变为常数函数，不再属于一次函数。 【知识点2解析式求解：待定系数法（基础核心方法）】 1.适用场景：己知函数类型、函数图像上点的坐标，求函数解析式。 2.标准解题步骤 ①设解析式：根据函数类型，设出对应形式（正比例函数设y=kx,一次函数设y=kx+b); ②代点列式：将图像上点的横、纵坐标代入解析式，得到关于系数的方程/方程组； ③求解系数：解方程（组），算出k、b的值； ④回代写式：把系数代回所设解析式，得到最终函数表达式。 【知识点3函数图像的基本画法】 一 次函数的图像是一条直线，核心画法分为两种： 1.通用三步法 列表（取自变量x的若干值，计算对应y值）→描点（在平面直角坐标系中标出对应点）→连线（用 平滑直线连接各点)。 2.实用两点法（考场常用） 依据“两点确定一条直线”，优先选取直线与坐标轴的两个交点： 与y轴交点：令x=0,得点(0，b); 1/33 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 与x轴交点：令y=O,解方程求出x,得对应交点： 连接两点即可快速画出函数图像。 【知识点4k、b的基础几何意义】 设一次函数y=kx+b(k≠0) 1.系数k:决定直线的倾斜方向与倾斜程度，也叫斜率；k越大，直线越陡峭。 2.系数b:叫做直线在y轴上的截距，表示直线与y轴交点的纵坐标，直线与y轴交点坐标为(0，b)。 【知识点5函数增减性判断】 增减性由系数k的符号唯一决定，与b无关： 1.当k>0时，y随x的增大而增大，直线从左向右呈上升趋势； 2.当k<0时，y随x的增大而减小，直线从左向右呈下降趋势。 【知识点6基础题型高频易错点（必规避）】 1.定义判断失误：忽略k≠0的限定条件，误将k=0时的常数函数判定为一次函数/正比例函数； 2.概念混淆：分不清正比例函数与一次函数的从属关系，认为两者是独立函数类型； 3.待定系数法计算出错：代入坐标后解方程、解方程组计算失误，导致系数求解错误： 4.图像绘制不规范：两点法取点随意，连线超出范围，未标注关键点坐标； 5.增减性判断混淆：记反k的符号与增减趋势的对应关系； 6.截距理解偏差：把截距b误认为是线段长度，忽略b可为负数。 【知识点7k、b取值与图像象限、走势的深度对应】 结合k、b的正负组合，精准判断直线经过的象限，是图像分析的核心考点： 设一次函数y=kx+b(k≠0) 1. k>0,b>0:直线经过一、二、三象限，从左向右上升： 2. k>0,b<0:直线经过一、三、四象限，从左向右上升： 3.k<0,b>0:直线经过一、 二、 四象限，从左向右下降； 4. k<0,b<0:直线经过二、三、四象限，从左向右下降； 5. 特殊情况（正比例函数b=0): k>0:直线经过一、三象限； k<0:直线经过二、四象限。 拓展：根据图像经过的象限，反向推导k、b的正负符号，实现“数”与“形”双向转化。 【知识点8一次函数图像平移、对称变换】 函数图像变换遵循*“图像动，解析式跟着变”*原则，是培优计算必考题型。 1.平移变换（口诀：上加下减常数项，左加右减自变量) 上下平移：直线y=kx+b向上平移m个单位，解析式变为y=kx+bm;向下平移m个单位，解析式变为 2/33 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 y=kxbm(只改变b,k不变)； 左右平移：直线y=kx+b向左平移n个单位，解析式变为y=k(xn)+b;向右平移n个单位，解析式变为 y=k(x)+b(只对自变量x进行加减，k不变)。 2.对称变换 己知直线y=kx+b(k≠O): 关于x轴对称：解析式为y=-kx-b; 关于y轴对称：解析式为y=-kx+b; 关于原点对称：解析式为y=kxb。 【知识点9含参数一次函数的图像分析】 题型特征：解析式中含有字母参数（如y=(m-2)x+3-m),结合图像位置、交点位置分析参数取值。 1.解题第一步：分类讨论k=0和k≠0 若k=0:函数退化为常数函数，图像为平行于x轴的水平线，不再是一次函数； 若k≠0：函数为标准一次函数，结合k、b符号分析图像象限、交点。 2.综合分析：结合直线过定点、与坐标轴交点位置、图像走势，列不等式求解参数范围。 【知识点10函数增减性与参数取值范围综合讨论】 1.基础延伸：己知函数增减性，反向求参数k的取值范围； 2.综合拔高：结合自变量取值区间、函数最值、图像位置，联合增减性列不等式（组），求解参数范围； 3.拓展题型：多个一次函数比较增减快慢，利用k大小判断直线陡峭程度。 【知识点11易错图像辨析题专项突破】 1.同坐标系多函数辨析 同一平面内出现两个及以上一次函数图像，根据每条直线的走势、与坐标轴交点，判断k、b符号是否矛 盾，排除错误选项。 2.实际情境图像辨析 结合行程、工程、利润等实际问题，注意自变量x的取值范围，函数图像不再是完整直线，而是射线、线 段，区分图像端点、增减趋势、转折点。 【知识点12培优核心解题思想与方法】 数形结合思想：本章节核心思想，由解析式（数）分析图像特征（形），由图像特征反推系数符号、参数 范围，双向转化解题： 分类讨论思想：含参数解析式必须讨论k=0与k≠0两种情况，参数正负不确定时也要分情况分析； 转化思想：图像平移、对称问题，全部转化为解析式的代数变形，几何问题代数化： 方程思想：待定系数法、求函数交点坐标、图像定点问题，均通过列方程/方程组求解。 3/33 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 培优拓展训练 ★巩固提升练 【题型1正比例函数的图象】 1.在平面直角坐标系中，点A(-1,a),点B(4,b)均在直线y=kx(k≠0)上.若a>b,则该直线经过的 点的坐标可以是() A.(1,-3) B.(1,0) C.(2,5) D.（-1,-3) 2.写出一个函数的表达式，使它满足：①图象经过点(1,1)；②在第一象限内函数值y随着自变量x的增大 而增大，则这个函数的表达式为 3,己知正比例函数y=kx的图象经过第二、四象限，则实数k的值可以是 (只需写出一个符合条 件的实数) 【题型2判断一次函数的图象】 4.己知k<0,b>0,则直线y=bx一k的图象是下列选项中的() D. 5.已知一次函数y1=ax+b和y2=bx+a(a≠b),函数y1和y2的图象可能是() 名木 4/33 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 6.在同一坐标系中，一次函数y1=ax+b和y2=abx一b的图像可能是() 【题型3根据一次函数解析式判断其经过的象限】 7.函数y=一ax一a与函数y=ax(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是() D 8,在同一平面直角坐标系中，函数y1=mx一1和y2=x+m的图象可能是() B 9.联系一次函数的图象，回答下列问题： 5/33 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (I)当k>0时，函数y=kx的图象经过哪几个象限？当k<0时呢？ (2)当k>0,b>0时，函数y=kx+b的图象不经过哪个象限？当k>0,b<0时呢？ 【题型4一次函数图象与坐标轴的交点问题】 10.如图，一个正比例函数图象与一个一次函数y=kx+b(k为常数，k≠0)的图象交于点P(2,2),一次 函数图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且B(0,6) (I)求直线AB的解析式； (2)求△A0P的面积 11.如图，已知一次函数y=之+2与x轴相交于点A,与y轴交于点B B (1)求出点A和点B的坐标， (2)若点C的坐标是(1,0)， ①△ABC是 三角形（按角分类）. ②点P是x轴上的点，若S△ABP=$△ABC,请求出点P的坐标. ③在x轴是否存在点D,使得△BCD是等腰三角形？如果存在，请直接写出点D的坐标，如果不存在，请说 明理由， 12.如图1，直线y=+b与x轴，y轴及直线y=-x+5分别交于点A(-2,0),B,C. (1)求点B和点C的坐标： 6/33 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)若点P在y轴上，并且S△4cP=8,求P点坐标： (3)如图2，M为x轴上点A右侧一动点，以AB,AM为邻边作口ABNM,连接CM,CN,在点M移动过程中， LCMN能否等于45？若能，请求出此时点M的坐标；若不能，请说明理由. 【题型5一次函数图象平移问题】 13.将一次函数y=2x+m的图象向下平移3个单位长度，若平移后的一次函数图象经过点(2，一1)，则m 的值为() A.2 B.-2 C.8 D.-8 14.将函数y=2x+3的图象平移，使它经过点(2，一1)，求平移后的直线所对应的函数的表达式，你能想 出几种不同的平移方法？请和同学交流一下. 15.己知：y+2与3x成正比例，且当x=1时，y的值为4. (I)求y与x之间的函数关系式： (2)若点(x1,a)、点(x2,b)是该函数图象上的两点，其中x1<x2,试比较a、b的大小，并说明理由； (3)将所得的函数图象平移，使它经过点P(1,3),求平移后的函数解析式. 【题型6一次函数图象与对称问题】 16,在平面直角坐标系中，一次函数y=一1的图象分别交x轴和y轴于A,B两点. B (1)求点A和点B的坐标. (2)求直线y=2之x-1关于y轴对称的直线解析式。 17.如图，在平面直角坐标系中，有一动点P(a,a+3)和两定点A(-1,-2),B(2,1) 7/33 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 VA B (I)求直线AB的函数表达式： (2)动点P的横坐标x=a,纵坐标y=a+3,则y关于x的函数关系式为； (3)若直线P0与线段AB(包含端点)有交点，求a的取值范围； (4)无论a取何值，动点P都在一条确定的直线1上，若平行于x轴的直线y=t与直线AB、y轴及直线1有 三个不同的交点，当其中两点关于第三点对称时，直接写出t的值， 18,综合与探究 如图1，在平面直角坐标系中，一次函数y1=一x+3与x轴、y轴分别交于A、B,一次函数y2=+b经 过点B. M ⊙ B O 0 图1 图2 (1)求线段AC的长； (2)如图2，把直线BC沿y轴向上平移5个单位，与直线AB相交于点M,连接MC,求△MBC的面积； (3)在直线x=一2上是否存在一点Q,使得△ABQ的周长最小，若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存 在，请说明理由。 【题型7一次函数图象与旋转问题】 19.已知一次函数y=-之x+2的图象，绕x轴上一点P(m,0)旋转180，所得的图象经过(0，-1)，则 m的值为() A.-2 B.-1 C.1 D.2 20.在平面直角坐标系中，直线y=kx一1与函数y=x-1+|x-3引的图象有且只有两个公共点，则k的 取值范围是()· 8/33 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.1<k≤ B.1<k≤2 C.1<k<2 D.2≤k<3 21,己知一次函数的图象经过点(-3,0)和(1,4)，若将这个函数图象绕原点顺时针旋转90°，求旋转后的函 数解析式 【题型8判断一次函数的增减性】 22.己知点A(x1y),B(x2,y2),C(x3y3)均在直线y=kx+b(k,b为常数，k>0,b<0)上，且x1<x2 <x3,则下列判断一定正确的是() A.若y2y3>0,则x1x2>0 B.若y1y2<0,则x1x3>0 C.若y1y2<0,则x2x3>0 D.若y1y3<0,则x2x3<0 23.已知(-1，y1),（-2y2),(13y3)是直线y=-x+b(b为常数)上的三个点，则下列说法一定正确的 是() A.若y1y2<0,则y1y3>0 B.若y1y2<0,则y1y3<0 C.若y1y2>0,则y2y3>0 D.若y1y2>0,则y2y3<0 24.定义：(1)y是x的函数：（2)对于在自变量取值范围之内的任意x对应的函数值y,始终有y≤a(a 为实数)，则y是x的“顶峰”函数.其中所有满足条件α的最小值称为这个函数的“巅峰”值.下列说法正确的 有() ①函数y=-x(x≥0)是“顶峰”函数； ②函数y=2x一3(x≤2)是“顶峰”函数，“巅峰”值为1； ③函数y=kx+5(-4≤x≤1)的“巅峰”值为3，则k的值为-2或号 ④若函数y=-x+2(a≤x≤b,b>a)的最小值不超过2a+1,“巅峰”值是b,则a≥-1. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【题型9根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况】 25.己知一次函数y=(10-m)x-m. (1)若y随x的增大而增大，求m的取值范围； (2)若m=1,当-}<x<2时，直接写出y的取值范围. 26.在平面直角坐标系x0y中，一次函数y1=kx+b(k≠0)的图象由函数y=x的图象平移得到，且经过 点(3,4). (1)求这个一次函数的解析式： (2)己知函数y2=nx+2,当x≥3时，对于x的每一个值，y1-y2l≥2，直接写出n的取值范围. 27.已知一次函数y=kx+b(k,b为常数，且k<0),的图像经过点（一1,2）， 9/33 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)若k+2b=1,求一次函数的表达式 (2)当-3≤x≤2时，该一次函数的最大值为8，求k的值 (3)若该一次函数的图像经过第一象限，且S=2k一3b,求S的取值范围. 【题型10一次函数的规律探究问题】 28.如图，直线y=x+1与y轴相交于点A1,以0A1为边作正方形0A1B1C1,记作第一个正方形；然后延长 C1B1与直线y=x+1相交于点A2,再以C1A2为边作正方形C1A2B2C2,记作第二个正方形；同样延长C2B2 与直线y=x+1相交于点A3,再以C2A3为边作正方形C2A3B3C3,记作第三个正方形，，依此类推，则 第n个正方形的边长为() B A 6 B O C A.2n-2 B.2n-1 C.2n D.2n+1 29.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=x-1的图象直线l与x轴交于点A1,以0A1为一边作正方形0 A1B1C1,使得点C1在y轴正半轴上，延长C1B1交直线于点A2,按同样方法依次作正方形C1A2B2C2、正方 形C2A3B3C3、、正方形Cn-1 AnBnCn,使得点A1,A2,A3,…An,均在直线l上，点C1,C2,C3…Cn在y 轴正半轴上，则点B2026的横坐标是() C B3 B2 C C B A.42025 B.42026 C.22026 D.22025 30.如图，直线l1y=+与直线L2y=x+1分别与y轴交于点A,B.一动点C从点A出发，先沿垂直于x轴 的方向运动，到达直线l2上的点B处后，改为平行于x轴的方向运动，到达直线l1上的点A1处；再沿垂直于x 轴的方向运动，到达直线2上的点B1处后，又改为平行于x轴的方向运动，到达直线1上的点A2处..照此规 律运动，动点C依次经过点A,B,A1,B1,A2,B2则A2026B2026的长度为 10/33 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B B ★能力培优练 1.己知函数y=(m-2)xlm-1山+n-3是正比例函数，则m+n的值为() A.1 B.3 C.5 D.3或5 2.下列命题中，是真命题的是() A.形如y=mx+n(m,n都是常数)的函数是一次函数 B,三角形三个内角中至少有两个锐角 C.三角形的三条高所在的直线一定相交于三角形内 D.三角形的外角都大于它的任何一个内角 3,若直线1：y=kx+1与直线l2:y=-2x平行，则k的值为() A.-2 B. C.1 D.2 4,己知一次函数y=kx+b(k≠O)的图象经过点M(1,2),且y随x的增大而增大，若点N在该函数的图象 上，则点N的坐标可以是() A.（-2,4) B.(2,2) C.(-1,1) D.(3,0) 5,如图，已知长方形ABCD,动点P从点A处出发沿A→B→C→D的路径向终点D运动，设动点P的运动路程 为x,△ADP的面积为y,图2反映了y与x之间的函数关系，则下列结论错误的是() 08 m 28 图1 图2 A.m=20 B.n=96 C.AC=4v/13 D.当y=24时，x=4或x=24 6.若关于x的函数y=(k+3)x2k-1+4x-5是一次函数，则k的值为（) A.1或-3 B.1或 C.-3或2 D.1或-3或2 7.若函数y=(m-2)xlm-1+5是一次函数，则m的值为() 11/33 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.2 B.-2 C.2或-2 D.0 8.对于一次函数y=-2x-1,下列结论错误的是() A,图象经过第二、三、四象限 B,图象与y轴交于负半轴 C.当x>-2时，y>0 D.图象过点A(xy1),B(x2,y2),若x1>x2,则y1<y2 9.一次函数y=kx+4的图象经过点A(x1y1),B(x2,y2),C(3,y3),且(x1-x2)y1-y2)<0,则y3的值可 能为() A.4 B.5 C.6 D.2 10.当2≤x≤5时，一次函数y=(m+1)x+m+1最小值为6，则实数m的值为() A.0 B.1 C.0或1 D.0或-1 11.若直线y=-kx+b经过第一、二、四象限，则函数y=-bx+k的大致图象是() D 12.象棋是我国传统文化艺术的瑰宝，深受人们喜爱.小明在学习平面直角坐标系后，将如图所示的象棋 盘与平面直角坐标系联系起来，若“相”的坐标为(1,1)，“炮”的坐标为(4,0)，则经过棋子“兵”和“帅”所在点 的一次函数图像是() 相 炮 A.y=-子-3B.y=-x-月 C.y=x+月 D.y=-x+月 13.如图，在平面直角坐标系中，A(1,0),C(3,2√3，点B在x轴上，且∠ABC=45°.已知点P(x,y)在 △ABC内部或边界上，若n=-2x+y+3,则n的最小值为() 12/33 丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 VA OA B主 A.-4V3-3B.1 C.1-43 D.3 14.如图，在平面直角坐标系中，将口ABCD置于第一象限，且AB‖x轴.直线y=-x从原点出发沿x轴正 方向平移，在平移过程中直线被平行四边形截得的线段长度与直线在x轴上平移的距离的函数图象如图 2所示，则口ABCD的面积为() ⑧ O 78 图1 图2 A.10 B.5V2 C.5 D.2W5 15.在同一个平面直角坐标系中，乐乐分别画出了四条直线y=2x+4、y=2x一4、y=k1x+b1与y=k2 x+b2,那么下列说法错误的是() A.如果k1=k2=0,b1≠b2,那么这四条直线所围成的四边形一定是平行四边形 B,如果k1=k2=-b1≠b2,郑么这四条直线所围成的四边形一定是矩形 C.如果k1=0,b1=4,k2<0,b2=-4,那么这四条直线所围成的四边形一定是只有一组对边平行 的梯形 D.如果k1=k2<0,b1=2k1,b2=-2k2,那么这四条直线所围成的四边形一定是菱形 16.在平面直角坐标系中，点P从(1,0)出发，按“上1、右1、下2、右1、上3、右1、下4、右1”的 规律移动（即：第1次向上移动1个单位，第2次向右移动1个单位，第3次向下移动2个单位，第4次 向右移动1个单位，以此类推，如图)，若第次移动后，点P恰好落在直线y=一2x+8上，则满足条件 的所有n的和() 2-10 2 345 A.5 B.8 C.13 D.21 13/33 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 17.为了画一次函数y=一2x+4的图象，嘉嘉在列表过程中的两组对应值如下. 2 5引 4 3 -5-4-3-2-112345x 2 3 -4 5引 (1)①将表格补充完整； ②在坐标系中描出以表格中x,y的值为坐标的两个点，并画出一次函数y=一2x+4的图象； (2)若点A(x1y1),B(x2,y2)在一次函数y=-2x+4的图象上，当x1>x2时，y1y2(填“><”或 “=”) 1 3 y 2 -2 ②画出一次函数y=-2x+4的图象，如图所示： 4 2 - -5-4-3-2-101X345x -2 -3 5 18.如图，在平面直角坐标系中，己知点A(1,0),B(-1,4),都在函数y=ax+b上. (1)常量a与b的值分别为：a= ,b= 14/33 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)在网格中画出函数y=ax+b的图像， 19.已知一次函数y=kx-4k,且当x=1时，y=6. ()求这个一次函数的解析式. (2)若点(m,一1)在这个函数的图象上，求m的值. 20.在平面直角坐标系中，己知点P(8-2m,m-1). (1)若点P的横、纵坐标相等，求m的值； (2)若点P在一次函数y=x+3的图象上，求点P的坐标. 21.已知一次函数y=kx+b的图象经过M(0,2),N(1,3)两点. y不 M A (1)求k,b的值； (2)若一次函数y=kx+b的图象与x轴的交点为A,求一次函数y=kx+b的图象与坐标轴围成三角形的面 积； (3)当-3≤x≤2时，求y的取值范围， 22.如图，已知直线l1y=2x+4,分别与x轴，y轴交于点A,B. y B /l (I)求点A,B的坐标. (2)将直线L1向右平移4个单位得到直线L2,l2与x轴交于点C,以AB,AC为边作口ACDB. ①求口ACDB面积 ②根据图象，直接写出D点坐标. 23.如图，在平面直角坐标系中，A(0,4),B(-3,0),点C在x轴正半轴上，且四边形ABCD是平行四边形， BC=5. 15/33 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A B C 备用图1 备用图2 (I)点D的坐标是 ；平行四边形ABCD的面积是 (2)平面内有一点P(3,5),求经过P点且平分平行四边形ABCD面积的直线解析式； (3)点M是直线AC上一动点，在x轴上是否存在点N,使以O、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若 存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由： (4)若一次函数y=kx一4k一3的图象与平行四边形的边有2个交点，请直接写出k的取值范围 24.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象与x轴交于点A(一3,0)，与y轴交于点B,且与 正比例函数y=x的图象交于点C(m,4) 不y 4 B (1)求m的值，并求一次函数的解析式： (2)求△OBC的面积； (3)点D在x轴上，若△ABD为等腰三角形，直接写出点D的坐标. 15,如图1，直线y=x-6交x轴于点A,交y轴于点B,过点A作直线1，交y轴于点C,若 ∠0AC=30°，AC=4V3. C B 图1 图2 图3 (1)求点A,B,C的坐标； (2)如图2，将△AOC沿着AC翻折得到△ADC,点O的对应点为点D,求点D的坐标； (3)如图3，点P为线段AC上一动点，过点P作y轴的平行线交x轴于点E,交AB于点F,过点F作 16/33 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 FG⊥BC于点G,连接EG,当EG的长度最小时， ①求点E的坐标； ②线段PE上是否存在一点Q,使得LQAP+∠0AC=45°.若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请 说明理由， 创新拓展练 1.关于x、的方程组(2+》=号牛5。，下列结论中正确的是() A.若x、y互为相反数，则a=-3; B.x值随着a值的增大而减小： C.4x+y的值随着a值的变化而变化； D.不存在a的值，使方程组的解为正整数， 2.关于，y的方程组（中就十的解为三6若点P(o,b)总在宜线）=上方，那么k的取 值范围是() A.k>1 B.k>-1 C.k<1 D.k<-1 3.如图，直线y=一x+4与两坐标轴交于A,B两点，点P是线段AB上一动点（不与A,B两端点重合），过 点P作PC⊥x轴于点C,作PD⊥y轴于点D,小明认为矩形PCOD的周长不变且始终为8，小红认为当点P运 动到线段AB的中点时，点P到原点的距离最短，且最短距为2√2.关于两人的判断，下面说法正确的是 () 0 CB A,小明与小红都是正确的 B.小明与小红都是错误的 C.小明是正确的，小红是错误的 D,小明是错误的，小红是正确的 4.如图，直线y=kx+b(k≠0)与x轴交于点(-2,0)，下列叙述正确的是（) -2 A,关于x的方程kx+b=0的解为x=一2 B.k>0,b<0 C.直线y=一bx+k经过第三象限 D.若(-1，y1)、(1y2)是直线y=kx+b上的两点，则y1>y2 17/33 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 5,直线y1=k1x+2与y2=k2x+b相交于点(2,0)，且两直线与y轴围成的三角形面积为6，点P(1,m)是三 角形内部（包括边上）的一点，则的最大值与最小值之差为() A.3 B.月 C.3或 D.3或6 6.如图，在平面直角坐标系中，点4(1，)在过原点的直线l上，以点0为圆心，0A1长为半径画弧交直 线l2:y=2x于点B1,过点B1作B1A2‖x轴交L1于点A2;以点O为圆心，0A2长为半径画弧交直线l2于点B2, 过点B2作B2A3‖x轴交L1于点A3;按此规律，则点B2025的坐标为(） Y B/2 B A, A.(22023,22025)B.(22024,22025) C.(22023,22024)D.(22022,22023) 7.如图，在平面直角坐标系中，函数y=x的图象为直线l,作点A1(1,0)关于直线的对称点A2,将A2向右 平移2个单位得到点A3;再作A3关于直线的对称点A4,将A4向右平移2个单位得到点A5;则按此规 律，所作出的点A2024的坐标为() A.(1012,1011)B.(1012,1009)C.(1009,1012) D.(1011,1012) 8.对于一个函数，如果存在自变量x0=m时，其对应的函数值yo=m,那么我们称该函数为“不动点函 数”，点(m,m)为该函数图象上的一个不动点，例如：在函数y=x2中，当x=1时，y=1,则我们称函数 y=x2为“不动点函数”，点(1,1)为该函数图象上的一个不动点，某数学兴趣小组围绕该定义，对一次函数 进行了相关探究：对一次函数y=kx+b(k≠0)进行探究后，得出下列结论：①y=x+2是“不动点函 数”，且只有一个不动点：②y=-3x+2是“不动点函数”，且不动点是(，0)；③y=x是“不动点函数”， 且有无数个不动点，④y=(n一1)x+2n一4(n为常数，n≠1)，不管n为何值，总是“不动点函数”，且 不动点一定位于第三象限.以上结论中，你认为错误的是() A.②④ B.①② C.①②④ D.①③ 9,小明在探究直线1：y=kx一4k+3(k<0)的性质时，得到如下结论： ①直线1必经过点(4,3)： ②直线1的图像经过一、三、四象限； ③若点A(x1y1),B(x2y2)在直线1上，x1>x2,则y1<y2 ④点O到直线1的距离的最大值为5. 18/33 丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 则以上结论正确的是() A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④ 10.己知(x1y1),(x2y2)(x3y3)为直线y=-2x+1上的三个点，且y1<y2<y3,则以下判断正确的是 () A.若y1y3<0,则x1x2>0 B.若y1y2>0,则x2x3>0 C.若y2y3<0,则x1x3>0 D,若y2y3<0,则x1x2>0 11.如图，在平面直角坐标系x0y中，A(2,1),B(1,-1),点P在直线y=x上.有以下结论： 4 y=x 34 2 ·A -2-101234x ·B ①当点P的坐标为(1,1)时，PA+PB取得最小值； ②当点P的坐标为(1,1)时，PA+PB取得最大值： ③当点P的坐标为(2.5,2.5)时，PA-PB|取得最大值： ④当点P的坐标为(0.5,0.5时，IPA-PB取得最小值 上述结论中，所有正确结论的序号是() A.①③ B.①④ c.②③ D.②④ 12.若一次函数y=kx+1在一2≤x≤2的范围内y的最大值比最小值大8，则下列说法正确的是() A.k的值为2或一2 B.y的值随x的增大而减小 C.k的值为1或一1 D.在-2≤x≤2的范围内，y的最大值为3 13。小虎同学在解方程组3士°的过程中，错把b看成了6，其余的解题过程没有出结，解得此方程 组的解为=-名.又已知直线y=kx+b过点(1，-，则b的值为 14.在同一平面直角坐标系中，一次函数y=k1x+b1与y=k2x+b2的图象如图所示，小颖根据图象得到如 下结论：①在一次函数y=k1x+b1的图象中，y的值随着x值的增大而减小；②方程k1x+b1=k2x+b2 的解为x=2;③k1>k2;④b1>b2·其中正确结论的序号是 19/33 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 y=kx+b, y=kx+b 15.已知点A(x1y1),B(x2,y2)为函数y=x-2I图象上两点，下列结论： ①函数的最小值为0： ②当x1<x2≤2时，y1<y2: ③若x1+x2=4,则y1=y2 ④若方程x-2引-1=kx-4k有两个解，且都满足-1<x≤3，则k的取值范围是0≤k<2 其中正确的结论是·（填写序号） 16.在平面直角坐标系中，已知两条直线l1:y=2x+m和l2:y=-x+n相交于P(1,4).请完成下列探 究： (1)设L1和l2分别与x轴交于A,B两点，则线段AB的长为； (2)已知直线x=a(a>1)分别与l1l2相交于C,D两点，若线段CD长为3，则a的值为 17.观察下列式子，探究它们的规律并解决问题， =1-京女=专-文4=专京若一次函数)-+5(n之1的正整数)图象与坐标轴国 成的三角形面积记为Sn,则S1+S2+…+S24= 18.已知一次函数y=ax+b(a,b是常数，且a≠0)，如果a+b=1,有下列说法： ①它的图象经过点(1,1)： ②直线y=ax+b与x轴的交点坐标为(-，0)： ③函数y=ax+b图象上两点(-1，y1),(2,y2)满足y1>y2,那么b>1; ④关于x的不等式2ax+2b<3x-2(a≠)的解是x<1; ⑤关于x的方程ax+b-lx=0至少有一个实数解. 其中正确的是 (填写序号即可)· 19,己知关于x的一次函数y1=ax+b与y2=bx+a(a,b为常数，a>b且ab≠0)，下列结论：①点 (1,a+b)在函数y1=ax+b图象上；②若y1>y2,则x>1;③若a+b=0,则函数y1=ax+b一定不经 过第二象限；④若函数y2=bx+a经过点(2,0)，则函数y1=ax+b一定经过点（号0）.其中正确结论的序 号是 20.一次函数y=kx+b(k、b为常数，k≠0)中的x与y的部分对应值如下表： 20/33 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A B -3 下列结论中一定正确的是 (填序号即可)， ①当n>0时，k<0;②当y的值随x值的增大而增大时，n<0; ③当S△4oB=9时，n=-5或n=7;④当k<0时，直线AB与y轴相交于点C,则0C=3m+6 4 2l.对于实数a,b,我们定义符号min{a,b}的意义为：当a≥b时，min{a,b)=b;当a≤b时，min{a,b} =a.如：min{3,-2}=-2,min2,5)=2,则关于x的函数为y=min2x-3,-x+3的最大值是 22.【探究发现】创新小队在学习一次函数的图象与性质时，发现一次函数y=kx+b(k≠0)的图象可以 由正比例函数y=kx的图象通过上下平移或左右平移得到，于是，他们进行了如下的探究活动. =2X -6 图1 图2 (1)请你完成探究活动中的相关问题 ①将y=2x的图象向上平移4个单位，得到的直线l,则的函数表达式为 ②请在图1平面直角坐标系中，画出直线的图象； ③观察图象，直线也可以看作由y=2x的图象向 (填“左”或“右”)平移 个单位 得到. (2)【类比迁移】将y=-+1向下平移3个单位得到的图象，相当于将y=-+1向 (填 “左”或“右”)平移个单位得到； (3)【拓展升华】将y=kx+b(k>0)向下平移m(m>0)个单位得到的图象，相当于将y=kx+b(k>0)向 (填“左”或“右”)平移 个单位得到. (4【综合应用】已知一次函数y=kx+b的图象如图2所示，结合(1)一(3)的探究，请用无刻度的直 尺和圆规在同一直角坐标系中画出y=kx+2b,y=kx-b的图象.（不写作法、保留作图痕迹） 23.把函数y=2x的图象分别沿y轴向上或向下平移3个单位长度，就得到函数y=2x+3或y=2x-3的 图象 21/33 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【阅读理解】 小尧阅读这段文字后有个疑问：把函数y=一2x的图象沿x轴向右平移3个单位长度，如何求平移后的函数 表达式？ 老师给了以下提示：如图1，在函数y=一2x的图象上任意取两个点A、B,分别向右平移3个单位长度， 得到A'、B',直线A'B就是函数y=一2x的图象沿x轴向右平移3个单位长度后得到的图象. 请你帮助小尧解决他的困难. (1)将函数y=一2x的图象沿x轴向右平移3个单位长度，平移后的函数表达式为 【解决问题】 (2)已知某一次函数的图象与直线y=一2x关于x轴对称，求此一次函数的表达式. 【拓展探究】 (3)一次函数y=一2x的图象绕点(2,3)逆时针方向旋转90°后得到的图象对应的函数表达式为 (直接写结果) 0 图1 备用图 24.阅读材料，完成下列各题： 对于不与x轴、y轴平行或重合直线：y=kx+b(k≠0)，其中k叫做直线1的斜率，若在直线1上有不重 合的两点P1(xy小、P2(x2y2),则斜率的计算公式为k=二号，此公式叫做斜率公式， (1)新知运用：已知点A(3,5)和点B(-2,-1),求过A、B两点的直线L1的斜率k1: (2)拓展迁移：若直线l2:y=k2x+b(k≠0)上有不重合四点C(a,2)、D(a-1,3)、E(-2,y1)、F(V3,y2),求 y1、y2及b之间的大小关系： (3)新知感悟：根据以上的探究，尝试证明斜率公式（使用阅读材料中的题设完成证明）， 25.(1)【知识结论】 我们知道一次函数y=kx+b(k≠0)的图象可以由直线y=kx平移b1个单位得到. 那么将一次函数y=-4x的图象向上平移5个单位长度，所得到的函数表达式为： (2)【拓展探究】 我们己学过平移、轴对称两种基本的图形变换，某数学小组利用平移和轴对称开展“探究一次函数图象经 过图形变换后的函数表达式”的数学活动， ①（平移变换）将图1中一次函数y=一2x+4的图象沿着x轴向左平移1个单位长度，求所得到的图象对 应的函数表达式，小组探究发现，图象的平移就是点的平移，因此，只需要在原图象上任取两点A(0,4), 22/33 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B(2,0),将这两点沿着x轴向左平移1个单位长度，得到对应点A',B',其坐标分别为A( ）,B ( ),从而求出直线A'B对应的函数表达式为： ②（轴对称变换）将图1中一次函数y=一2x+4的图象关于x轴对称，所得到的图象对应的函数表达式 为： (3)【学以致用】 将一次函数y1=之x一n(x≥0，n>0)的图象沿y轴翻折，然后将翻折后的部分先向左平移n个单位，再向上 平移2n个单位，得到的函数图象对应的函数为y2,由y1和y2的图象组成的函数图象对应的函数为y3,当 n-6≤x≤n+t时，n-4≤y3≤n+1,则t的取值范围为 V 4 1 4-3-2-10134 4-3-2-1012345678910 - -2 3 3弘 -44 -4 图1 备用图 26.我们将等腰直角三角板放在平面直角坐标系中进行探究： D 图1 图2 图3 (1)操作思考：如图1，在平面直角坐标系中，等腰直角△ACB的直角顶点C在原点，若顶点A恰好落在 点(3,1)处，则点B的坐标为 (2)类比探究：如图2，等腰直角△ACB的直角顶点C在点(-1,0)处，已知B的坐标为(0,3)，点P为直线 BC上的动点，请问是否存在点P使得S△ABP=3S△ABc？若存在，请求出点P的横坐标； (3)拓展应用：如图3，O为坐标原点，A的坐标为(-5,1)，D的坐标为(1,0)，己知点Q是第三象限的点， 若△ADQ是等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标. 27.综合与实践 问题情境： 如图1，在平面直角坐标系中，直线y=2x+4交x轴于点A,交y轴于点B,过点B的直线交x轴正半轴于 点C. 23/33 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 不y B B 图1 图2 图3 初步探究： (I)当LBAC=LABC时，求直线BC的函数解析式： 深入探究： (2)在(1)的基础上，将LABC沿着CA方向平移到如图2的位置，得到△DEF,线段EF与AB交于点G, 若G恰好是AB的中点，求平移的距离； 拓展延伸： (3)如图3，将△ABC沿着AC翻折，得到四边形ABCB为菱形，继续沿着CA方向平移△ABC,得到 △DEF,连DB',CE,试探究：在平移的过程中，四边形DBCE是否能成为矩形，若能求出平移的距离； 若不能，请说明理由， 28,在学习了《中心对称图形》一章后，小明对特殊四边形的探究产生了浓厚的兴趣，他发现除了已经学 过的四边形外，还有很多比较特殊的四边形，勇于创新的他大胆地作出这样的定义：有一个内角是直角， 且对角线互相垂直的四边形称为“双直四边形”. B 图1 图2 【性质探究】 (1)下列关于“双直四边形”的说法，正确的有（填序号）， ①“双直四边形”的对角线不可能相等： ②“双直四边形”的面积等于对角线乘积的一半； ③若一个“双直四边形”是中心对称图形，则其一定是正方形. 【判定探究】 24/33 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)如图1，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AB、AD上，连接EF、EG、FG,若DF=DG,∠AEF=30° ,∠EGF=75°，证明：四边形EFDG为“双直四边形”. 【拓展提升】 (3)如图2，在平面直角坐标系中，已知A(0,8),C(16,0),点B在线段OC上，且AB=BC,是否存在点 D在第一象限，使得四边形ABCD为“双直四边形”且面积最大，若存在，求出此时点D的坐标，若不存 在，请说明理由 1.关于x、的方程组(2+》=±5。，下列结论中正确的是() A.若x、y互为相反数，则a=-3; B.x值随着a值的增大而减小： C.4x+y的值随着a值的变化而变化： D.不存在a的值，使方程组的解为正整数， 2.关于，y的方程组（中就十的解为三6若点P(《a,6》总在直线）=x上方，那么k的取 值范围是() A.k>1 B.k>-1 C.k<1 D.k<-1 3,如图，直线y=一x+4与两坐标轴交于A,B两点，点P是线段AB上一动点（不与A,B两端点重合），过 点P作PC⊥x轴于点C,作PD⊥y轴于点D,小明认为矩形PCOD的周长不变且始终为8，小红认为当点P运 动到线段AB的中点时，点P到原点的距离最短，且最短距为22.关于两人的判断，下面说法正确的是 () 0 C Bx A,小明与小红都是正确的 B.小明与小红都是错误的 C.小明是正确的，小红是错误的 D,小明是错误的，小红是正确的 4.如图，直线y=kx+b(k≠0)与x轴交于点(-2,0)，下列叙述正确的是() -2 A.关于x的方程kx+b=0的解为x=一2 B.k>0,b<0 C.直线y=-bx+k经过第三象限 D.若(-1，y1)、(1y2)是直线y=kx+b上的两点，则y1>y2 25/33 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 5,直线y1=k1x+2与y2=k2x+b相交于点(2,0)，且两直线与y轴围成的三角形面积为6，点P(1,m)是三 角形内部（包括边上）的一点，则的最大值与最小值之差为() A.3 B.月 C.3或 D.3或6 6.如图，在平面直角坐标系中，点4(1，)在过原点的直线l上，以点0为圆心，0A1长为半径画弧交直 线l2:y=2x于点B1,过点B1作B1A2‖x轴交L1于点A2;以点O为圆心，0A2长为半径画弧交直线l2于点B2, 过点B2作B2A3‖x轴交L1于点A3;按此规律，则点B2025的坐标为(） Y B/2 B A, A.(22023,22025)B.(22024,22025) C.(22023,22024)D.(22022,22023) 7.如图，在平面直角坐标系中，函数y=x的图象为直线l,作点A1(1,0)关于直线的对称点A2,将A2向右 平移2个单位得到点A3;再作A3关于直线的对称点A4,将A4向右平移2个单位得到点A5;则按此规 律，所作出的点A2024的坐标为() A.(1012,1011)B.(1012,1009)C.(1009,1012) D.(1011,1012) 8.对于一个函数，如果存在自变量x0=m时，其对应的函数值yo=m,那么我们称该函数为“不动点函 数”，点(m,m)为该函数图象上的一个不动点，例如：在函数y=x2中，当x=1时，y=1,则我们称函数 y=x2为“不动点函数”，点(1,1)为该函数图象上的一个不动点，某数学兴趣小组围绕该定义，对一次函数 进行了相关探究：对一次函数y=kx+b(k≠0)进行探究后，得出下列结论：①y=x+2是“不动点函 数”，且只有一个不动点：②y=-3x+2是“不动点函数”，且不动点是(，0)；③y=x是“不动点函数”， 且有无数个不动点，④y=(n一1)x+2n一4(n为常数，n≠1)，不管n为何值，总是“不动点函数”，且 不动点一定位于第三象限.以上结论中，你认为错误的是() A.②④ B.①② C.①②④ D.①③ 9,小明在探究直线1：y=kx一4k+3(k<0)的性质时，得到如下结论： ①直线1必经过点(4,3)： ②直线1的图像经过一、三、四象限； ③若点A(x1y1),B(x2y2)在直线1上，x1>x2,则y1<y2 ④点O到直线1的距离的最大值为5. 26/33 丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 则以上结论正确的是() A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④ 10.己知(x1y1),(x2y2)(x3y3)为直线y=-2x+1上的三个点，且y1<y2<y3,则以下判断正确的是 () A.若y1y3<0,则x1x2>0 B.若y1y2>0,则x2x3>0 C.若y2y3<0,则x1x3>0 D,若y2y3<0,则x1x2>0 11.如图，在平面直角坐标系x0y中，A(2,1),B(1,-1),点P在直线y=x上.有以下结论： 4 y=x 34 2 ·A -2-101234x ·B ①当点P的坐标为(1,1)时，PA+PB取得最小值； ②当点P的坐标为(1,1)时，PA+PB取得最大值： ③当点P的坐标为(2.5,2.5)时，PA-PB|取得最大值： ④当点P的坐标为(0.5,0.5时，IPA-PB取得最小值 上述结论中，所有正确结论的序号是() A.①③ B.①④ c.②③ D.②④ 12.若一次函数y=kx+1在一2≤x≤2的范围内y的最大值比最小值大8，则下列说法正确的是() A.k的值为2或一2 B.y的值随x的增大而减小 C.k的值为1或一1 D.在-2≤x≤2的范围内，y的最大值为3 13。小虎同学在解方程组3士°的过程中，错把b看成了6，其余的解题过程没有出结，解得此方程 组的解为=-名.又已知直线y=kx+b过点(1，-，则b的值为 14.在同一平面直角坐标系中，一次函数y=k1x+b1与y=k2x+b2的图象如图所示，小颖根据图象得到如 下结论：①在一次函数y=k1x+b1的图象中，y的值随着x值的增大而减小；②方程k1x+b1=k2x+b2 的解为x=2;③k1>k2;④b1>b2·其中正确结论的序号是 27/33 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 y=kx+b, y=kx+b 15.已知点A(x1y1),B(x2,y2)为函数y=x-2I图象上两点，下列结论： ①函数的最小值为0： ②当x1<x2≤2时，y1<y2: ③若x1+x2=4,则y1=y2 ④若方程x-2引-1=kx-4k有两个解，且都满足-1<x≤3，则k的取值范围是0≤k<2 其中正确的结论是·（填写序号） 16.在平面直角坐标系中，已知两条直线l1:y=2x+m和l2:y=-x+n相交于P(1,4).请完成下列探 究： (1)设L1和l2分别与x轴交于A,B两点，则线段AB的长为； (2)已知直线x=a(a>1)分别与l1l2相交于C,D两点，若线段CD长为3，则a的值为 17.观察下列式子，探究它们的规律并解决问题， =1-京女=专-文4=专京若一次函数)-+5(n之1的正整数)图象与坐标轴国 成的三角形面积记为Sn,则S1+S2+…+S24= 18.已知一次函数y=ax+b(a,b是常数，且a≠0)，如果a+b=1,有下列说法： ①它的图象经过点(1,1)： ②直线y=ax+b与x轴的交点坐标为(-，0)： ③函数y=ax+b图象上两点(-1，y1),(2,y2)满足y1>y2,那么b>1; ④关于x的不等式2ax+2b<3x-2(a≠)的解是x<1; ⑤关于x的方程ax+b-lx=0至少有一个实数解. 其中正确的是 (填写序号即可)· 19,己知关于x的一次函数y1=ax+b与y2=bx+a(a,b为常数，a>b且ab≠0)，下列结论：①点 (1,a+b)在函数y1=ax+b图象上；②若y1>y2,则x>1;③若a+b=0,则函数y1=ax+b一定不经 过第二象限；④若函数y2=bx+a经过点(2,0)，则函数y1=ax+b一定经过点（号0）.其中正确结论的序 号是 20.一次函数y=kx+b(k、b为常数，k≠0)中的x与y的部分对应值如下表： 28/33 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A B -3 下列结论中一定正确的是 (填序号即可)， ①当n>0时，k<0;②当y的值随x值的增大而增大时，n<0; ③当S△4oB=9时，n=-5或n=7;④当k<0时，直线AB与y轴相交于点C,则0C=3m+6 4 2l.对于实数a,b,我们定义符号min{a,b}的意义为：当a≥b时，min{a,b)=b;当a≤b时，min{a,b} =a.如：min{3,-2}=-2,min2,5)=2,则关于x的函数为y=min2x-3,-x+3的最大值是 22.【探究发现】创新小队在学习一次函数的图象与性质时，发现一次函数y=kx+b(k≠0)的图象可以 由正比例函数y=kx的图象通过上下平移或左右平移得到，于是，他们进行了如下的探究活动. =2X 3 -6 图1 图2 (1)请你完成探究活动中的相关问题 ①将y=2x的图象向上平移4个单位，得到的直线l,则的函数表达式为 ②请在图1平面直角坐标系中，画出直线的图象； ③观察图象，直线也可以看作由y=2x的图象向 (填“左”或“右”)平移 个单位 得到. (2)【类比迁移】将y=-+1向下平移3个单位得到的图象，相当于将y=-+1向 (填 “左”或“右”)平移个单位得到； (3)【拓展升华】将y=kx+b(k>0)向下平移m(m>0)个单位得到的图象，相当于将y=kx+b(k>0)向 (填“左”或“右”)平移 个单位得到. (4【综合应用】已知一次函数y=kx+b的图象如图2所示，结合(1)一(3)的探究，请用无刻度的直 尺和圆规在同一直角坐标系中画出y=kx+2b,y=kx-b的图象.（不写作法、保留作图痕迹） 23.把函数y=2x的图象分别沿y轴向上或向下平移3个单位长度，就得到函数y=2x+3或y=2x-3的 图象 29/33 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【阅读理解】 小尧阅读这段文字后有个疑问：把函数y=一2x的图象沿x轴向右平移3个单位长度，如何求平移后的函数 表达式？ 老师给了以下提示：如图1，在函数y=一2x的图象上任意取两个点A、B,分别向右平移3个单位长度， 得到A'、B',直线A'B就是函数y=一2x的图象沿x轴向右平移3个单位长度后得到的图象. 请你帮助小尧解决他的困难. (1)将函数y=一2x的图象沿x轴向右平移3个单位长度，平移后的函数表达式为 【解决问题】 (2)已知某一次函数的图象与直线y=一2x关于x轴对称，求此一次函数的表达式. 【拓展探究】 (3)一次函数y=一2x的图象绕点(2,3)逆时针方向旋转90°后得到的图象对应的函数表达式为 (直接写结果) 0 图1 备用图 24.阅读材料，完成下列各题： 对于不与x轴、y轴平行或重合直线：y=kx+b(k≠0)，其中k叫做直线1的斜率，若在直线1上有不重 合的两点P1(xy小、P2(x2y2),则斜率的计算公式为k=二号，此公式叫做斜率公式， (1)新知运用：已知点A(3,5)和点B(-2,-1),求过A、B两点的直线L1的斜率k1: (2)拓展迁移：若直线l2:y=k2x+b(k≠0)上有不重合四点C(a,2)、D(a-1,3)、E(-2,y1)、F(V3,y2),求 y1、y2及b之间的大小关系： (3)新知感悟：根据以上的探究，尝试证明斜率公式（使用阅读材料中的题设完成证明）， 25.(1)【知识结论】 我们知道一次函数y=kx+b(k≠0)的图象可以由直线y=kx平移b1个单位得到. 那么将一次函数y=-4x的图象向上平移5个单位长度，所得到的函数表达式为： (2)【拓展探究】 我们己学过平移、轴对称两种基本的图形变换，某数学小组利用平移和轴对称开展“探究一次函数图象经 过图形变换后的函数表达式”的数学活动， ①（平移变换）将图1中一次函数y=一2x+4的图象沿着x轴向左平移1个单位长度，求所得到的图象对 应的函数表达式，小组探究发现，图象的平移就是点的平移，因此，只需要在原图象上任取两点A(0,4), 30/33 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B(2,0),将这两点沿着x轴向左平移1个单位长度，得到对应点A',B',其坐标分别为A( ）,B ( ),从而求出直线A'B对应的函数表达式为： ②（轴对称变换）将图1中一次函数y=一2x+4的图象关于x轴对称，所得到的图象对应的函数表达式 为： (3)【学以致用】 将一次函数y1=之x一n(x≥0，n>0)的图象沿y轴翻折，然后将翻折后的部分先向左平移n个单位，再向上 平移2n个单位，得到的函数图象对应的函数为y2,由y1和y2的图象组成的函数图象对应的函数为y3,当 n-6≤x≤n+t时，n-4≤y3≤n+1,则t的取值范围为 V 4 1 4-3-2-10134 4-3-2-1012345678910 - -2 3 3弘 -44 -4 图1 备用图 26.我们将等腰直角三角板放在平面直角坐标系中进行探究： D 图1 图2 图3 (1)操作思考：如图1，在平面直角坐标系中，等腰直角△ACB的直角顶点C在原点，若顶点A恰好落在 点(3,1)处，则点B的坐标为 (2)类比探究：如图2，等腰直角△ACB的直角顶点C在点(-1,0)处，已知B的坐标为(0,3)，点P为直线 BC上的动点，请问是否存在点P使得S△ABP=3S△ABc？若存在，请求出点P的横坐标； (3)拓展应用：如图3，O为坐标原点，A的坐标为(-5,1)，D的坐标为(1,0)，己知点Q是第三象限的点， 若△ADQ是等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标. 27.综合与实践 问题情境： 如图1，在平面直角坐标系中，直线y=2x+4交x轴于点A,交y轴于点B,过点B的直线交x轴正半轴于 点C. 31/33 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 不y B B 图1 图2 图3 初步探究： (I)当LBAC=LABC时，求直线BC的函数解析式： 深入探究： (2)在(1)的基础上，将LABC沿着CA方向平移到如图2的位置，得到△DEF,线段EF与AB交于点G, 若G恰好是AB的中点，求平移的距离； 拓展延伸： (3)如图3，将△ABC沿着AC翻折，得到四边形ABCB为菱形，继续沿着CA方向平移△ABC,得到 △DEF,连DB',CE,试探究：在平移的过程中，四边形DBCE是否能成为矩形，若能求出平移的距离； 若不能，请说明理由， 28,在学习了《中心对称图形》一章后，小明对特殊四边形的探究产生了浓厚的兴趣，他发现除了已经学 过的四边形外，还有很多比较特殊的四边形，勇于创新的他大胆地作出这样的定义：有一个内角是直角， 且对角线互相垂直的四边形称为“双直四边形”. B 图1 图2 【性质探究】 (1)下列关于“双直四边形”的说法，正确的有（填序号）， ①“双直四边形”的对角线不可能相等： ②“双直四边形”的面积等于对角线乘积的一半； ③若一个“双直四边形”是中心对称图形，则其一定是正方形. 【判定探究】 32/33 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)如图1，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AB、AD上，连接EF、EG、FG,若DF=DG,∠AEF=30° ,∠EGF=75°，证明：四边形EFDG为“双直四边形”. 【拓展提升】 (3)如图2，在平面直角坐标系中，已知A(0,8),C(16,0),点B在线段OC上，且AB=BC,是否存在点 D在第一象限，使得四边形ABCD为“双直四边形”且面积最大，若存在，求出此时点D的坐标，若不存 在，请说明理由， 33/33 完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业09 一次函数图像及其性质10题型83题 【知识点1 正比例函数、一次函数的定义】 1.正比例函数 形如 （ 为常数，）的函数，叫做正比例函数。 结构特征：解析式为单项式，无常数项； 从属关系：正比例函数是特殊的一次函数。 2.一次函数 形如 （ 为常数，）的函数，叫做一次函数。 结构特征：解析式为一次二项式，自变量 的次数为1； 特殊情况：当 时，一次函数退化为正比例函数 。 关键提醒： 是两个函数成立的必要条件，若 ，式子变为常数函数，不再属于一次函数。 【知识点2 解析式求解：待定系数法（基础核心方法）】 1.适用场景：已知函数类型、函数图像上点的坐标，求函数解析式。 2.标准解题步骤 ① 设解析式：根据函数类型，设出对应形式（正比例函数设 ，一次函数设 ）； ② 代点列式：将图像上点的横、纵坐标代入解析式，得到关于系数的方程/方程组； ③ 求解系数：解方程（组），算出 的值； ④ 回代写式：把系数代回所设解析式，得到最终函数表达式。 【知识点3 函数图像的基本画法】 一次函数的图像是一条直线，核心画法分为两种： 1.通用三步法 列表（取自变量 x 的若干值，计算对应 y 值）→ 描点（在平面直角坐标系中标出对应点）→ 连线（用平滑直线连接各点）。 2.实用两点法（考场常用） 依据“两点确定一条直线”，优先选取直线与坐标轴的两个交点： 与 y 轴交点：令 x=0，得点 (0, b)； 与 x 轴交点：令 y=0，解方程求出 x，得对应交点； 连接两点即可快速画出函数图像。 【知识点4 k、b 的基础几何意义】 设一次函数 y=kx+b (k≠0) 1.系数 k：决定直线的倾斜方向与倾斜程度，也叫斜率；|k| 越大，直线越陡峭。 2.系数 b：叫做直线在 y 轴上的截距，表示直线与 y 轴交点的纵坐标，直线与 y 轴交点坐标为 (0, b)。 【知识点5 函数增减性判断】 增减性由系数 k 的符号唯一决定，与 b 无关： 1.当 k>0 时，y 随 x 的增大而增大，直线从左向右呈上升趋势； 2.当 k<0 时，y 随 x 的增大而减小，直线从左向右呈下降趋势。 【知识点6 基础题型高频易错点（必规避）】 1.定义判断失误：忽略 k≠0 的限定条件，误将 k=0 时的常数函数判定为一次函数/正比例函数； 2.概念混淆：分不清正比例函数与一次函数的从属关系，认为两者是独立函数类型； 3.待定系数法计算出错：代入坐标后解方程、解方程组计算失误，导致系数求解错误； 4.图像绘制不规范：两点法取点随意，连线超出范围，未标注关键点坐标； 5.增减性判断混淆：记反 k 的符号与增减趋势的对应关系； 6.截距理解偏差：把截距 b 误认为是线段长度，忽略 b 可为负数。 【知识点7 k、b 取值与图像象限、走势的深度对应】 结合 的正负组合，精准判断直线经过的象限，是图像分析的核心考点： 设一次函数 1. ：直线经过一、二、三象限，从左向右上升； 2. ：直线经过一、三、四象限，从左向右上升； 3. ：直线经过一、二、四象限，从左向右下降； 4. ：直线经过二、三、四象限，从左向右下降； 5. 特殊情况（正比例函数 ）： ：直线经过一、三象限； ：直线经过二、四象限。 拓展：根据图像经过的象限，反向推导 的正负符号，实现“数”与“形”双向转化。 【知识点8 一次函数图像平移、对称变换】 函数图像变换遵循**“图像动，解析式跟着变”**原则，是培优计算必考题型。 1.平移变换（口诀：上加下减常数项，左加右减自变量） 上下平移：直线 y=kx+b 向上平移 m 个单位，解析式变为 y=kx+b+m；向下平移 m 个单位，解析式变为 y=kx+b-m（只改变 b，k 不变）； 左右平移：直线 y=kx+b 向左平移 n 个单位，解析式变为 y=k(x+n)+b；向右平移 n 个单位，解析式变为 y=k(x-n)+b（只对自变量 x 进行加减，k 不变）。 2.对称变换 已知直线 y=kx+b (k≠0)： 关于 x 轴对称：解析式为 y=-kx-b； 关于 y 轴对称：解析式为 y=-kx+b； 关于原点对称：解析式为 y=kx-b。 【知识点9 含参数一次函数的图像分析】 题型特征：解析式中含有字母参数（如 y=(m-2)x+3-m），结合图像位置、交点位置分析参数取值。 1.解题第一步：分类讨论 k=0 和 k≠0 若 k=0：函数退化为常数函数，图像为平行于 x 轴的水平线，不再是一次函数； 若 k≠0：函数为标准一次函数，结合 k、b 符号分析图像象限、交点。 2.综合分析：结合直线过定点、与坐标轴交点位置、图像走势，列不等式求解参数范围。 【知识点10 函数增减性与参数取值范围综合讨论】 1.基础延伸：已知函数增减性，反向求参数 k 的取值范围； 2.综合拔高：结合自变量取值区间、函数最值、图像位置，联合增减性列不等式（组），求解参数范围； 3.拓展题型：多个一次函数比较增减快慢，利用 |k| 大小判断直线陡峭程度。 【知识点11 易错图像辨析题专项突破】 1.同坐标系多函数辨析 同一平面内出现两个及以上一次函数图像，根据每条直线的走势、与坐标轴交点，判断 k、b 符号是否矛盾，排除错误选项。 2.实际情境图像辨析 结合行程、工程、利润等实际问题，注意自变量 x 的取值范围，函数图像不再是完整直线，而是射线、线段，区分图像端点、增减趋势、转折点。 【知识点12 培优核心解题思想与方法】 数形结合思想：本章节核心思想，由解析式（数）分析图像特征（形），由图像特征反推系数符号、参数范围，双向转化解题； 分类讨论思想：含参数解析式必须讨论 k=0 与 k≠0 两种情况，参数正负不确定时也要分情况分析； 转化思想：图像平移、对称问题，全部转化为解析式的代数变形，几何问题代数化； 方程思想：待定系数法、求函数交点坐标、图像定点问题，均通过列方程/方程组求解。 【题型1 正比例函数的图象】 1．在平面直角坐标系中，点，点均在直线（）上．若，则该直线经过的点的坐标可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据点，的横坐标关系和对应函数值的大小关系判断的符号，确定直线经过的象限，再结合条件判断各选项即可． 【详解】∵点，在直线上，且，， ∴随的增大而减小， ∴，直线经过第二、四象限， ∵选项B代入得，不符合的条件， 选项C在第一象限，选项D在第三象限，都不符合直线经过的象限，只有选项A在第四象限，符合条件，故选A． 2．写出一个函数的表达式，使它满足：①图象经过点；②在第一象限内函数值随着自变量的增大而增大，则这个函数的表达式为______． 【答案】 （答案不唯一） 【分析】根据常见函数的增减性性质，结合题目给出的过定点和增减性要求，即可写出符合条件的函数表达式． 【详解】解：答案不唯一，例如． 检验：当时，， 所以图象经过点；在第一象限内函数值随着自变量的增大而增大． 故是符合题意的一个函数． 3．已知正比例函数的图象经过第二、四象限，则实数的值可以是______．（只需写出一个符合条件的实数） 【答案】 （答案不唯一） 【详解】解：正比例函数的图象经过第二、四象限， ，则实数的值可以是（答案不唯一）． 【题型2 判断一次函数的图象】 4．已知，，则直线的图象是下列选项中的（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了根据一次函数的解析式判断其经过的象限，根据本题中，，图象经过一、三象限， ，则，图象与轴的交点大于，即可解答． 【详解】 ， 图象经过一、三象限， ，， ， 图象与轴的交点大于， 综上，图象经过一、二、三象限， 故选． 5．已知一次函数和，函数和的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查一次函数图像与系数的关系，选定一个函数图象确定系数k，b的符号，看另一个函数图象的位置是否符合． 【详解】当时，与均过一、二、三象限，所以正确，不符合题意； 当时，过一、三、四象限，过一、二、四象限，所以选项不符合题意； 6．在同一坐标系中，一次函数和的图像可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的图象性质，熟练掌握图像性质中系数大小与图像的关系是解题的关键． 分别根据分析各选项的图像一次函数和的系数，若存在矛盾，则不符合题意，据此即可解答。 【详解】解：A.由得，而由得，存在矛盾，不符合题意； B. 由得，而由得，即，存在矛盾，不符合题意； C.由得，而由得，即，不存在矛盾，符合题意； D. 由得，而由得，即，存在矛盾，不符合题意. 故选C. 【题型3 根据一次函数解析式判断其经过的象限】 7．函数与函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正比例函数和一次函数的图象性质，分和两种情况讨论，判断图象所在的象限及交点位置． 【详解】解：由题意，函数为正比例函数，图象必过原点；函数为一次函数，分两种情况讨论： （1）当时：的图象过第一、三象限；的，图象过第二、三、四象限，此时两直线交点在第三象限．没有选项符合题意； （2）当时：的图象过第二、四象限；的，图象过第一、二、三象限，选项D正确． 8．在同一平面直角坐标系中，函数和的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数图像与系数的关系，对于一次函数（k为常数，）图像与k、b的关系是解题的关键． 根据一次函数图像与系数的关系判断两个函数的图像对应解析式中m的符号，再看是否存在矛盾即可解答． 【详解】解：A．一次函数的图像经过第二、三、四象限，则；一次函数的图像经过第一、三、四象限，则，不存在矛盾，符合题意； B．一次函数的图像经过第一、二、四象限与矛盾，不符合题意； C．一次函数的图像经过第一、二、四象限与矛盾，不符合题意； D．一次函数的图像经过第一、三、四象限，则；一次函数的图像经过第二、三、四象限，则，二者存在矛盾，不符合题意． 故选：A． 9．联系一次函数的图象，回答下列问题： (1)当时，函数的图象经过哪几个象限？当时呢？ (2)当时，函数的图象不经过哪个象限？当时呢？ 【答案】(1)当时，函数的图象经过第一、三象限；当时，函数的图象经过第二、四象限． (2)当时，函数的图象不经过第四象限；当时，函数的图象不经过第二象限 【分析】（1）画出和时函数的图象，根据图象解答即可； （2）画出时，时的图象，根据图象解答即可． 【详解】（1）解：当时，函数的图象如图，则函数的图象经过第一、三象限； 当时，函数的图象如图，则函数的图象经过第二、四象限； （2）解：当时，函数的图象如图，函数的图象不经过第四象限； 当时，函数的图象如图，函数的图象不经过第二象限． 【题型4 一次函数图象与坐标轴的交点问题】 10．如图，一个正比例函数图象与一个一次函数（为常数，）的图象交于点，一次函数图象与轴、轴分别交于、两点，且． (1)求直线的解析式； (2)求的面积． 【答案】(1) (2)3 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）先根据直线的解析式求出点A的坐标，再根据三角形面积公式求解． 【详解】（1）解：将，代入，得： ， 解得， 直线的解析式为； （2）解：令， 解得， ， ， ， ． 11．如图，已知一次函数与轴相交于点，与轴交于点． (1)求出点和点的坐标． (2)若点的坐标是， ①是_____三角形（按角分类）． ②点是轴上的点，若，请求出点的坐标． ③在轴是否存在点，使得是等腰三角形？如果存在，请直接写出点的坐标，如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)①直角；②或；③存在点，坐标为：． 【分析】（1）令可求出点A的坐标，令可求出点B的坐标； （2）①根据勾股定理及其逆定理判断即可； ②根据求出长即可求解； ③分三种情况，利用勾股定理列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵当时，，， ∴． ∵当时，， ∴； （2）解：①∵，，点的坐标是， ∴， ∴． ∵ ∴， ∴是直角三角形； ②∵， ∴， ∴， ∴或，即或； ③设D的坐标是 ∴，， 当时，，解得：； 当时，，解得：（舍去）； 当时，，解得：； 综上可知，点的坐标为． 12．如图1，直线与轴，轴及直线分别交于点，，． (1)求点和点的坐标； (2)若点P在y轴上，并且，求P点坐标； (3)如图2，为轴上点右侧一动点，以，为邻边作▱，连接，，在点移动过程中，能否等于？若能，请求出此时点的坐标；若不能，请说明理由． 【答案】(1)， (2)P点坐标为或； (3)能，． 【分析】（1）先求出直线的解析式，再求两直线交点坐标即可； （2）设P点坐标为，求得，根据题意得到，据此求解即可； （3）过点C作交于点Q，过C点作轴，过点M作交于E点，过点Q作交于F点，证明，设，则，Q点在直线上，可得，求出m即可求M点坐标． 【详解】（1）解：将点代入， ∴， 解得， ∴， 当时，， ∴， 当时，解得， ∴， ∴； （2）解：设P点坐标为， ∵，，， ∴， ∵， ∵， ∴， 解得或， ∴P点坐标为或； （3）解：能等于，理由如下： 过点C作交于点Q，过C点作轴，过点M作交于E点，过点Q作交于F点， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， 设，则点， ∵， ∴， ∴， ∴点纵坐标为， ∴， ∵， ∴设直线的解析式为， 将代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 将代入得， 解得， ∴． 【题型5 一次函数图象平移问题】 13．将一次函数的图象向下平移3个单位长度，若平移后的一次函数图象经过点，则m的值为（   ） A．2 B． C．8 D． 【答案】B 【分析】先根据一次函数图象平移的规律得到平移后的解析式，再利用待定系数法代入已知点的坐标即可求解 【详解】解：将一次函数向下平移3个单位长度， 根据平移规律可得平移后的解析式为： ∵平移后的函数图象经过点 ∴将代入解析式得： 整理得： 解得： 14．将函数的图象平移，使它经过点，求平移后的直线所对应的函数的表达式．你能想出几种不同的平移方法？请和同学交流一下． 【答案】 平移后的直线对应的函数表达式为，常见平移方法有多种，可以为向下平移8个单位长度或向右平移4个单位长度，平移方法不唯一． 【分析】设平移后的解析式为，将点代入可得出值，进而求得解析式． 【详解】解：设平移后的解析式为， 将点代入得， ，解得 ． ∴平移后的解析式为． 平移方法：①函数的图象经过点，与点比较，即可得出直线向下平移8个单位长度； ②函数的图象经过点，与点比较，即可得出直线向右平移4个单位长度． 15．已知：与成正比例，且当时，y的值为4． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)若点、点是该函数图象上的两点，其中，试比较、的大小，并说明理由； (3)将所得的函数图象平移，使它经过点，求平移后的函数解析式． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）设，再将，代入计算即可得出结果； （2）由（1）可得，由，得出随着的增大而增大，由一次函数的性质即可得出结果； （3）设平移后的函数解析式为，将代入解析式计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵与成正比例， ∴设， ∵当时，y的值为4， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 由（1）可得， ∵， ∴随着的增大而增大， ∵点、点是该函数图象上的两点，且， ∴； （3）解：设平移后的函数解析式为， 将代入解析式可得， 解得， ∴平移后的函数解析式为． 【题型6 一次函数图象与对称问题】 16．在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交轴和轴于，两点． (1)求点和点的坐标． (2)求直线关于轴对称的直线解析式． 【答案】(1) ， (2) 【分析】（1）分别令求解即可； （2）先求出点关于y轴的对称点坐标为，再根据待定系数法求解即可 【详解】（1）解：令，则，解得， 令，则， 所以，点的坐标为，点的坐标为； （2）解：点关于y轴的对称点坐标为， 设直线关于轴对称的直线解析式为， 把和代入上式得，解得：， ∴． 17．如图，在平面直角坐标系中，有一动点和两定点． (1)求直线的函数表达式； (2)动点P的横坐标，纵坐标，则y关于x的函数关系式为_____； (3)若直线与线段（包含端点）有交点，求a的取值范围； (4)无论a取何值，动点P都在一条确定的直线l上，若平行于x轴的直线与直线、y轴及直线l有三个不同的交点，当其中两点关于第三点对称时，直接写出t的值． 【答案】(1) (2) (3) (4)7或1或 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）根据点P的横纵坐标解答即可； （3）分别求出直线过点B，A是函数解析式，即可； （4）求出直线与直线、y轴及直线l有三个交点分别为，，，然后分三种情况讨论即可． 【详解】（1）解：设直线的函数表达式为， 把点代入得： ，解得：， ∴直线的函数表达式为； （2）解：∵动点P的横坐标，纵坐标， ∴y关于x的函数关系式为； （3）解：设直线的解析式为， 当直线过点时，， 解得：， ∴此时直线的解析式为， 把点代入得：， 解得：； 当直线过点时，， 解得：， ∴此时直线的解析式为， 把点代入得：， 解得：； ∴a的取值范围为； （4）解：由（1），（2）得：直线的函数表达式为，直线l的解析式为， ∴直线与直线、y轴及直线l有三个交点分别为，，， 当和关于点对称时，， 解得：； 当和关于点对称时，， 解得：； 当和关于点对称时，， 解得：； 综上所述，t的值为7或1或． 18．综合与探究 如图1，在平面直角坐标系中，一次函数与x轴、y轴分别交于A、B，一次函数经过点B． (1)求线段的长； (2)如图2，把直线沿y轴向上平移5个单位，与直线相交于点M，连接，求的面积； (3)在直线上是否存在一点Q，使得的周长最小，若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）先利用求出A，B两点的坐标，然后根据点B的坐标求出的函数解析式，最后求出点C的坐标即可求解； （2）先利用函数图象平移的规律，求出平移后直线的解析式以及点M的坐标，根据求解即可； （3）由于是定值，只要满足最小即可．先作点A关于直线的对称点，连接，与直线的交点即为点Q，然后利用待定系数法求出直线的解析式即可求解． 【详解】（1）解：把代入，得，所以点B的坐标为． 把代入，得，所以点A的坐标为． 把代入，得，即． 把代入，得，所以点C的坐标为． 所以线段； （2）解： 设平移后的直线与y轴交于点D，则由题意可知 直线的解析式为． 把，联立，得    解得 所以点M的坐标为． 如图1，连接，过点M作，垂足为H，则 ； （3）解：存在，，理由： 如图2，作点A关于直线的对称点，连接，与直线交于点Q， 由对称性知，周长，即此时周长最小． 故点Q满足使周长最小． 由题意可知点的坐标为． 设直线的解析式为， 把点，代入，得   解得 所以直线的解析式为． 把代入，得 ． 所以点Q的坐标为． 【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质、用待定系数法求函数的解析式、平移、轴对称等．熟练掌握在坐标系中如何求线段的长度以及图形的面积的方法；熟悉常见的最值模型是解决问题的关键． 【题型7 一次函数图象与旋转问题】 19．已知一次函数的图象， 绕x轴上一点 旋转， 所得的图象经过， 则m的值为（ ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】先求出直线与坐标轴的交点，再求出绕x轴上一点 旋转后的新坐标，即可由待定系数法求解函数表达式，最后代入求解即可． 【详解】解：对于一次函数，当时，；当时，，解得 ∴一次函数的图象与坐标轴的交点坐标为，， 故图象绕x轴上一点旋转后的新坐标，， 设新解析式为， 根据题意，得， 解得， 故函数的解析式为 ， 又图象经过， ∴ 解得． 20．在平面直角坐标系中，直线与函数的图象有且只有两个公共点，则的取值范围是（  ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将绝对值函数化为分段函数，结合直线恒过定点的性质，根据特殊位置的斜率判断k的取值范围即可． 【详解】先对去绝对值，分段得： 当时，； 当时，； 当时，， 经过端点和， 直线恒过定点， 如图， 当：直线过、，此时直线与分段函数只有个交点； 当：直线绕向上旋转，斜率大于、小于，此时直线和分段函数有个交点； 当：直线，与的射线平行（无交点），和左侧两段图像恰好个交点； 当：直线斜率大于，与的射线无交点，此时和分段函数产生个交点，不符合题意， 综上，当时，直线与函数图象有且只有两个公共点． 21．已知一次函数的图象经过点和，若将这个函数图象绕原点顺时针旋转，求旋转后的函数解析式． 【答案】 【分析】首先求出原一次函数的表达式，然后求出与x轴和y轴的交点坐标，然后利用待定系数法求解． 【详解】解：设一次函数解析式为， 则， 解得， 所以一次函数解析式为． 设与轴和轴分别交于点和点，则，， 所以，绕原点顺时针旋转的点为， 设 代入得， 解得， 所以一次函数解析式为． 【题型8 判断一次函数的增减性】 22．已知点，，均在直线（k，b为常数，，）上，且，则下列判断一定正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】利用一次函数的增减性，结合和的符号，确定直线与轴交点的位置，再根据的乘积关系判断的符号，得到结论． 【详解】解：∵，∴随增大而增大， ∵，∴， 令，得直线与轴交点横坐标， ∵，，∴，即交点在轴正半轴， 若，可得，因此， ∵，，∴，，可得，故C正确． A中可为负，可为正，， A错误； B中为负，为正，，B错误； D中可正可负，不一定小于，D错误． 23．已知，，是直线（b为常数）上的三个点，则下列说法一定正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征．根据所给一次函数解析式，结合一次函数的性质得出y随x的增大而减小，据此多所给选项依次进行判断即可． 【详解】解：因为一次函数解析式为，， 所以y随x的增大而减小． 因为，，在直线上，且， 所以． 当时， 则，， 所以， 则． 故A选项符合题意，B选项不符合题意； 当时， 则，或，． 当，时无法得出的正负， 所以无法得出的正负， 所以CD选项不符合题意． 故选：A． 24．定义：（1）是的函数：（2）对于在自变量取值范围之内的任意对应的函数值，始终有（为实数），则是的“顶峰”函数．其中所有满足条件的最小值称为这个函数的“巅峰”值．下列说法正确的有（    ） ①函数是“顶峰”函数； ②函数是“顶峰”函数，“巅峰”值为1； ③函数的“巅峰”值为3，则的值为－2或： ④若函数的最小值不超过，“巅峰”值是，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题根据新定义可知，“巅峰值”就是函数在自变量范围内的最大值，“顶峰函数”就是函数在自变量范围内存在最大值，结合一次函数的性质，逐个判断即可得到结果 【详解】解： ①对于， ∵随增大而减小， ∴当时，取得最大值，即恒成立， ∴函数是“顶峰”函数，①正确； ②对于， ∵，随增大而增大， ∴当时，取得最大值，即恒成立， ∴函数是“顶峰”函数，“巅峰”值为，②正确； ③对于，巅峰值为，即最大值为，分情况讨论： 当时，随增大而增大，最大值在处， ∴，解得，与矛盾，舍去； 当时，随增大而减小，最大值在处， ∴，解得，与矛盾，舍去； 当时，，最大值为，不符合题意， ∴不存在满足条件的，③错误； ④对于， ∵，随增大而减小， ∴函数最大值为，最小值为， ∵巅峰值是，∴， ∵最小值不超过，∴， 将代入不等式得， 化简得，解得， 又，即，解得， ∴， ④错误； 综上，①②正确，共个正确说法，故选B 【题型9 根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况】 25．已知一次函数． (1)若随的增大而增大，求的取值范围； (2)若，当时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)的取值范围是 【分析】（1）根据一次函数的图象及性质可得，解不等式即可； （2）由得：，当时，，当时，，根据随的增大而增大，进而可求解． 【详解】（1）解：由题意得：， ； （2）解：∵， ， 当时，， 当时，， ∵随的增大而增大， ∴当时，求的取值范围为：． 26．在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点． (1)求这个一次函数的解析式； (2)已知函数，当时，对于的每一个值，，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)的取值范围或． 【分析】（）利用待定系数法解答即可； （）根据题意求得，分三种情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象由函数的图象平移得到， ∴， ∴， 将点代入得，， ∴， ∴一次函数的解析式为； （2）解：当时，，其中， ∴， 情况1：当即， 此时随的增大而增大， 在时取得最小值，最小值为， 由，得， 解得； 情况2：当即，此时， 不满足，舍去； 情况3：当即， 此时随的增大而减小， 在时取得最大值， 最大值为， 由，得，解得； 综上，的取值范围或． 27．已知一次函数（k，b为常数，且），的图像经过点． (1)若，求一次函数的表达式． (2)当时，该一次函数的最大值为8，求k的值． (3)若该一次函数的图像经过第一象限，且，求S的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了一次函数的图像和性质、待定系数法求解析式等知识点，正确求出函数解析式是解题的关键． （1）一次函数（k，b为常数，且）的图像经过点，得到，再结合得到二元一次方程组求解即可； （2）根据题意可得一次函数y随x的增大而减小，可得当时，，结合一次函数（k，b为常数，且）的图像经过点得到，二元一次方程组求解即可； （3）根据，即，进而得到，再根据一次函数的图像经过第一象限再结合可得，然后确定S的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵一次函数（k，b为常数，且），的图像经过点， ∴， ∵， ∴，解得：， ∴一次函数的表达式为：． （2）解：∵， ∴一次函数y随x的增大而减小， ∵当时，该一次函数的最大值为8， ∴当时，， ∵一次函数（k，b为常数，且），的图像经过点， ∴， ∴，解得：． （3）解：根据题意：，即， ∴， ∵一次函数的图像经过第一象限，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即． 【题型10 一次函数的规律探究问题】 28．如图，直线与轴相交于点，以为边作正方形，记作第一个正方形；然后延长与直线相交于点，再以为边作正方形，记作第二个正方形；同样延长与直线相交于点，再以为边作正方形，记作第三个正方形，…，依此类推，则第个正方形的边长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线解析式先求出，再求出第二个正方形的边长为2，第三个正方形的边长为，得出规律，即可求出第个正方形的边长． 【详解】解：∵在上， 当时，， ∴， ∴第一个正方形的边长为1， ∴当时，第1个正方形的边长为； ∵在上，， 当时，， ∴， ∴第二个正方形的边长为2， ∴当时，第2个正方形的边长为； 同理，当时，第3个正方形的边长为； …… ∴第个正方形的边长为． 【点睛】解决这类规律问题首先要从简单图形入手，抓住随着“编号”或“序号”增加时，后一个图形与前一个图形相比，在数量上增加或倍数情况的变化，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论． 29．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象直线与轴交于点，以为一边作正方形，使得点在轴正半轴上，延长交直线于点，按同样方法依次作正方形、正方形、、正方形，使得点，，，，均在直线上，点，，在轴正半轴上，则点的横坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征结合正方形的性质，可得出点、、的坐标，同理可得出、、、…的坐标，进而得到、、、、……的横坐标，根据点的坐标变化可找出变化规律，依此规律即可得出结论． 【详解】解：当时，有， 解得， ∴点的坐标为． ∵四边形为正方形， ∴点的坐标为． 当时，有， 解得， ． 同理，可得出：，，，……， 的横坐标为2，的横坐标为4，的横坐标为8，的横坐标为16，…， 的横坐标为（为正整数）， ∴点的横坐标是． 30．如图，直线与直线分别与轴交于点．一动点从点出发，先沿垂直于轴的方向运动，到达直线上的点处后，改为平行于轴的方向运动，到达直线上的点处；再沿垂直于轴的方向运动，到达直线上的点处后，又改为平行于轴的方向运动，到达直线上的点处…照此规律运动，动点依次经过点…则的长度为______． 【答案】 【分析】先根据题意求出，，根据平行于轴的直线上点的纵坐标相等，垂直于轴的直线上点的横坐标相等及直线的函数表达式可知，，，，求出，；；…，可得规律，即可解答 【详解】解：在直线中，令，则，故， 在直线中，令，则，故， 根据题意将代入直线中得，故， 将代入直线中得，故， ∴， 同理可得，， ∴；；…， 由此可得，， ∴的长度为． 1．已知函数是正比例函数，则的值为（    ） A．1 B．3 C．5 D．3或5 【答案】B 【分析】根据正比例函数的定义列出关于m，n的条件，求解后代入计算即可得到结果． 【详解】∵是正比例函数， 根据正比例函数定义可得， 解得：或，即或， ∵，即， ∴， 解得：， ∴． 2．下列命题中，是真命题的是（　　） A．形如（m，n都是常数）的函数是一次函数 B．三角形三个内角中至少有两个锐角 C．三角形的三条高所在的直线一定相交于三角形内 D．三角形的外角都大于它的任何一个内角 【答案】B 【详解】解：A、一次函数定义要求形如（，为常数）中，当时，该函数不是一次函数，故A是假命题； B、三角形内角和为，若三角形只有一个锐角，则另外两个角之和不小于，三角形内角和会大于，矛盾，故三角形三个内角中至少有两个锐角，故B是真命题； C、钝角三角形的三条高所在直线的交点在三角形外部，故C是假命题； D、钝角三角形中，钝角的外角是锐角，小于这个钝角内角，故D是假命题． 3．若直线：与直线：平行，则k的值为（　　） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】本题考查一次函数图象中两直线平行的性质，形如的一次函数，两直线平行时一次项系数相等且常数项不相等．解题的关键是掌握“若两条直线互相平行，则它们的一次项系数（斜率）相等”这一性质．直线与直线平行，根据两直线平行斜率相等的性质，直接可得． 【详解】解：∵ 一次函数图象中，两条直线平行的条件是一次项系数相等，且常数项不相等 ∵ 直线：与直线：平行 ∴ ，且（满足常数项不相等的条件） ∴ 的值为 故选A． 4．已知一次函数的图象经过点，且随的增大而增大．若点在该函数的图象上，则点N的坐标可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的性质，根据一次函数y随x的增大而增大，可知，分别将点M和各选项代入，求出k的值，即可确定． 【详解】解：∵一次函数过 ∴把代入得，即 又∵随的增大而增大 ∴ A、将代入得，把代入得，化简得，解得，不满足，舍去 B、将代入得，把代入得，化简得，不满足且，舍去 C、将代入得，把代入得，化简得，解得，满足条件 D、将代入得，把代入得，化简得，解得，不满足，舍去 故选：C． 5．如图，已知长方形，动点从点处出发沿的路径向终点运动，设动点的运动路程为的面积为，图2反映了与之间的函数关系，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D．当时，或 【答案】B 【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，勾股定理，由图2可知，当时，点P运动到点B，当时，点P运动到点C，当时，点P运动到点D，据此可得的长，利用勾股定理可求出的长，据此可判断A、B、C；当时，点P在上运动，则，当时，点P在上运动，则， 当时，点P在上运动，则，据此可判断D． 【详解】解：由图2可知，当时，点P运动到点B， 当时，点P运动到点C， 当时，点P运动到点D， ∴ 由长方形对边相等可得，， ∴， ∴，故A结论正确，不符合题意； ∵， ∴，故B结论错误，符合题意； 如图1所示，连接， 在中，由勾股定理得，故C结论正确，不符合题意； 当时，点P在上运动，则， 当时，； 当时，点P在上运动，则，此时不满足； 当时，点P在上运动，则， 当时，； 综上所述，当时，或，故D结论正确，不符合题意； 故选：B． 6．若关于的函数是一次函数，则的值为（   ） A．1或 B．1或 C．或 D．1或或 【答案】D 【分析】根据一次函数的定义，函数中的最高次数必须为，且一次项系数不为．因此，需使含的项的系数为或指数为或，并确保整体函数为一次函数． 本题考查了一次函数的定义，掌握一次函数的定义是解决本题的关键． 【详解】解：∵函数是一次函数， ∴需考虑的情况： 情况1：当系数时，即，函数化为，是一次函数； 情况2：当指数时，即，函数化为，是一次函数； 情况3：当指数时，即，函数化为，是一次函数； 其他情况均不满足一次函数定义； 故选：D． 7．若函数是一次函数，则的值为（） A．2 B． C．或 D．0 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的定义．根据一次函数的定义，x的指数必须为1且系数不为零． 【详解】解：函数是一次函数， 且， 解得， 或， 当时，，不符合条件， 当时，，符合条件， 的值为． 故选：B． 8．对于一次函数，下列结论错误的是（     ） A．图象经过第二、三、四象限 B．图象与轴交于负半轴 C．当时， D．图象过点，若，则 【答案】C 【分析】根据一次函数的图像与性质，判断象限、交点位置和增减性，再通过解不等式判断选项正误，即可得到错误结论． 【详解】解：Ａ、对于一次函数， ∵，， ∴函数图象经过第二、三、四象限，A结论正确，不符合题意； B、 ∵一次函数与轴交点为， ∴图象与轴交于负半轴，B结论正确，不符合题意； C、若，可得不等式， 解得， 即当时， 因此C结论错误，符合题意； D、∵，随的增大而减小， ∴若，则，因此D选项正确，不符合题意． 9．一次函数的图象经过点，，，且，则的值可能为（　　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据已知不等式判断一次函数的增减性，得到的取值范围，再代入点的坐标求出的范围，最后结合选项得到答案． 【详解】解：， 与异号， 随增大而减小， 一次函数中， 把代入函数解析式得：， ， ， ， 的值可能为． 10．当时，一次函数最小值为6，则实数的值为（     ） A．0 B．1 C．0或1 D．0或 【答案】B 【分析】根据一次函数的增减性，分一次项系数大于零、小于零、等于零三种情况讨论，计算出m，舍去不符合条件的解即可． 【详解】解：当，即时，随的增大而增大， ∴当时，取得最小值， 代入得， 解得，符合条件； 当，即时，随的增大而减小， ∴当时，取得最小值， 代入得， 解得，舍去； 当，即时，，不符合最小值为，舍去； 综上，． 11．若直线经过第一、二、四象限，则函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据直线所过象限，判断参数的范围，再根据参数的范围，判断所求直线经过的象限，即可. 【详解】解：∵直线经过第一、二、四象限， ∴， ∴， ∴函数的图象过第一、二、四象限； 故只有A选项的图象符合题意. 12．象棋是我国传统文化艺术的瑰宝，深受人们喜爱．小明在学习平面直角坐标系后，将如图所示的象棋盘与平面直角坐标系联系起来，若“相”的坐标为，“炮”的坐标为，则经过棋子“兵”和“帅”所在点的一次函数图像是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先建立直角坐标系得出“兵”的坐标和“帅”的坐标，然后利用待定系数法求出一次函数解析式即可． 【详解】解：根据“相”的坐标为，“炮”的坐标为建立直角坐标系如下： 则“兵”的坐标为：和“帅”的坐标为：， 设经过棋子“兵”和“帅”所在点的一次函数图像是， 则，解得， 所以，经过棋子“兵”和“帅”所在点的一次函数图像是． 13．如图，在平面直角坐标系中，，，点在轴上，且．已知点在内部或边界上，若，则的最小值为（     ） A． B．1 C． D．3 【答案】A 【分析】过点作，由坐标及等腰直角三角形的判定与性质求出点，再由一次函数图象与性质得到图象过点时，有最小值，此时取到最小值，将代入函数表达式求解即可． 【详解】解：过点作，如图所示： ， ， ， ， 则， ，即点， ， ， 由于一次函数中可知，图象过点时，有最小值，此时取到最小值， 将代入一次函数得，， 解得． 14．如图，在平面直角坐标系中，将置于第一象限，且轴．直线从原点出发沿轴正方向平移，在平移过程中直线被平行四边形截得的线段长度与直线在轴上平移的距离的函数图象如图2所示，则的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意得，，进而，又根据，过点作于点，可得，则可求． 【详解】解：根据题意得：直线向右平移个单位长度时，直线经过点，此时直线的解析式为， 设直线与轴的交点为，与轴的交点为， 当时，，当时，， 则， ∴， ∴， 当直线经过点，点时， 设过点的直线与的交点为，过点的直线与的交点为， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 根据函数图象得， 设直线分别与轴交于点，点， 则四边形是平行四边形， ∴， ∴， 过点作于点， ∴， ∵， ∴， ∴． 15．在同一个平面直角坐标系中，乐乐分别画出了四条直线、、与，那么下列说法错误的是（     ） A．如果，，那么这四条直线所围成的四边形一定是平行四边形 B．如果，，那么这四条直线所围成的四边形一定是矩形 C．如果，，，，那么这四条直线所围成的四边形一定是只有一组对边平行的梯形 D．如果，，，那么这四条直线所围成的四边形一定是菱形 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的图像性质与特殊四边形的判定，核心思路：一次函数中，相等不等时两直线平行，自变量系数乘积为时两直线垂直，结合平行四边形、矩形、梯形、菱形的判定逐一分析选项即可． 【详解】解：已知直线和，且不相等，因此两直线平行， 对选项A：∵，，∴与互相平行，∴四边形两组对边分别平行，因此是平行四边形，A正确； 对选项B：∵，，∴两条直线互相平行，且，说明相邻两组邻边互相垂直，∴对边平行且四个角为直角，因此四边形是矩形，B正确； 对选项C：∵，，∴直线为，又，，因此的自变量系数既不为也不为，仅原有与一组对边平行，另一组对边不平行，因此四边形是只有一组对边平行的梯形，C正确； 对选项D：∵，，，因此与平行，四边形为平行四边形，仅当时邻边长度相等，是菱形，若取其他负数，邻边长度不相等，不是菱形，因此不一定是菱形，D错误． 16．在平面直角坐标系中，点P从出发，按“上1、右1、下2、右1、上3、右1、下4、右1……”的规律移动（即：第1次向上移动1个单位，第2次向右移动1个单位，第3次向下移动2个单位，第4次向右移动1个单位，以此类推，如图），若第n次移动后，点P恰好落在直线上，则满足条件的所有n的和（   ） A．5 B．8 C．13 D．21 【答案】C 【分析】根据已知条件和图形可以发现：对于点P，在移动方向上“每移动4次为一个周期”，同时两个相邻周期内同一个位置上两点的坐标有关联．然后结合坐标系表示出这些点的坐标，再代入直线即可确定满足条件的点． 【详解】解：点P第n次移动后记为，结合图形可以发现，点P“每移动4次为一个周期”，按着“上、右、下、右……”的规律移动，这四个位置的点分别用表示，其中k取自然数． 如图，观察的坐标可以发现，后一个点的横坐标总比前一个点的横坐标多2，纵坐标多1，因为，所以的坐标为．若点在直线，则有，解得，此时． 根据同一个周期内四个点的坐标关系，易知的坐标为、的坐标为，的坐标为． 若，，点在直线，则有 ①，解得，此时不是整数，不满足题意； ②，解得，此时不是整数，不满足题意； ③，解得，此时； 综上可知，满足条件的n的值为5和8， 所以满足条件的所有n的和为． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系内点的坐标规律、一次函数．掌握图形规律题的常见类型，如差不变、比不变、周期等；能够结合图形，最终把几何问题转化为代数问题是解题的关键． 17．为了画一次函数的图象，嘉嘉在列表过程中的两组对应值如下． x 3 y 2 (1)①将表格补充完整； ②在坐标系中描出以表格中x，y的值为坐标的两个点，并画出一次函数的图象； (2)若点，在一次函数的图象上，当时，______（填“”“”或“”）． 【答案】(1)解：①补全表格如下： x 1 3 y 2 ②画出一次函数的图象，如图所示： (2) 【分析】（1）①把表格数据代入进行计算，即可作答；②先结合表格数据，再描点，连线，即可画出一次函数的图象； （2）根据②的一次函数的图象，且结合进行分析，即可作答． 【详解】（1）解：①当时，，当时，即，则， 补全表格略： ②略； （2）解：由（1）②的函数图像可知，y的值随着x的增大而减小， ∵点，在一次函数的图象上， ∴当时，． 18．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，都在函数上． (1)常量与的值分别为：_________，_________； (2)在网格中画出函数的图像． 【答案】(1)； (2)图见解析 【分析】（1）将点，代入一次函数解析式得到关于、的二元一次方程组，解方程组即可； （2）一次函数图象是一条直线，因此在网格中建立平面直角坐标系，描出点，，作直线即可． 【详解】（1）解：将点，代入，得， 解得； （2）解：如图，直线即为所作函数的图象． 19．已知一次函数，且当时，． (1)求这个一次函数的解析式． (2)若点在这个函数的图象上，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意直接代入求解即可； （2）将点代入（1）求出的表达式中即可求出m的值． 【详解】（1）解：∵当时，， ∴， ∴， ∴一次函数的解析式为． （2）∵点在这个函数的图象上， ∴， 解得． 20．在平面直角坐标系中，已知点． (1)若点P的横、纵坐标相等，求m的值； (2)若点P在一次函数的图象上，求点P的坐标． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）由题意，得，据此求解即可； （2）把，代入，求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得， 解得； （2）解：把，代入， 得， 解得， ∴，， 即点P的坐标为． 21．已知一次函数的图象经过，两点． (1)求，的值； (2)若一次函数的图象与轴的交点为，求一次函数的图象与坐标轴围成三角形的面积； (3)当时，求的取值范围． 【答案】(1)，； (2)； (3)． 【分析】（）利用待定系数法即可求解； （）由（）得，，即，然后求出，则，同理，再根据面积为即可求解； （）由（）知一次函数表达式为，由，则随的增大而增大，所以通过当时，，当时，，即可求出的取值范围． 【详解】（1）解：把，两点坐标代入， 得， 解得； （2）解：由（）得，，即， 把代入，得， 解得； ∴， ∴， ∵， ∴， ∴图象与坐标轴围成的面积为； （3）解：由（）知，一次函数表达式为：， ∵， ∴随的增大而增大， 当时，，当时，， ∴当时，， ∴的取值范围为． 22．如图，已知直线，分别与轴，轴交于点． (1)求点的坐标． (2)将直线向右平移个单位得到直线，与轴交于点，以，为边作． ①求面积． ②根据图象，直接写出点坐标． 【答案】(1)、 (2)①；② 【分析】（1）分别将，代入中，分别求出，即可求得点的坐标． （2）①根据平移的性质可得，结合，可得面积为． ②由题意可得，轴，，结合，即可求得点坐标． 【详解】（1）解：将代入中，可得， 将代入中，可得， 解得：， ∴点的坐标为、， （2）解：①∵直线向右平移个单位得到直线， ∴ ∵ ∴ ∴面积为． ②由题意可得，轴，， ∴， ∴点坐标为． 23．如图，在平面直角坐标系中，，，点在轴正半轴上，且四边形是平行四边形，． (1)点的坐标是_____________；平行四边形的面积是_____________； (2)平面内有一点，求经过点且平分平行四边形面积的直线解析式； (3)点是直线上一动点，在轴上是否存在点，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由； (4)若一次函数的图象与平行四边形的边有2个交点，请直接写出的取值范围______________． 【答案】(1)，20 (2) (3)存在，点的坐标为或 (4)或 【分析】（1）由平行四边形的性质可得点D的坐标，平行四边形的面积等于底乘高； （2）平行四边形是中心对称图形，对称中心为对角线交点，平分其面积的直线必经过对称中心； （3）先求出直线的解析式，分三种情况：为对角线时，为边且点N在x轴的负半轴时，为边且点N在x轴的正半轴时，根据对角线中点重合列方程组，即可求解； （4）先将一次函数解析式变形，求出其图像必经过的点，再分别求出其图像经过点D，B时k的值，结合图像即可求解． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形，，点在轴正半轴上，，， ，，， 点D的纵坐标与点A相同，横坐标为， 点的坐标是， 平行四边形的面积； （2）解： ，， 对角线，的交点坐标为，即， 设经过点且平分平行四边形面积的直线解析式为， 将，代入，得：， 解得， 所求直线的解析式为； （3）解： ，点在轴正半轴上，， ，即， 设直线的解析式为， 将，代入，得：， 解得， 直线的解析式为， 设，， 以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，存在三种情况： 当为对角线时，如图： 则与的中点重合， ， 解得， 点的坐标为，即； 当为边，点N在x轴的负半轴时，如图所示： 则与的中点重合， ， 解得， 点的坐标为，即； 当为边，点N在x轴的正半轴时，如图所示： 则与的中点重合， ， 解得， 点的坐标为，即， 综上可得，存在，点的坐标为或； （4）解： ， 一次函数的图象一定经过点， 当 的图象经过点时， ， 解得； 当的图象经过点时， ， 解得； 结合上图，可得当或时，的图象与平行四边形的边有2个交点． 24．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，且与正比例函数的图象交于点． (1)求的值，并求一次函数的解析式； (2)求的面积； (3)点在轴上，若为等腰三角形，直接写出点的坐标． 【答案】(1)； (2) (3)点的坐标为或或或 【分析】（1）先把点纵坐标代入正比例函数解析式求出，确定点横坐标，再将、两点坐标代入一次函数用待定系数法求解析式； （2）求出点的坐标后以为底，点横坐标为高，套用面积公式算面积； （3）设点的坐标为，然后表示出，，，分、、三种情况分类讨论，进而求出点坐标． 【详解】（1）解： 在上， 将点坐标代入可得，， 解得， 点的坐标为， 将，代入， 可得， 解得， 一次函数的解析式为． （2）解：如图，过点作轴， 已知一次函数的解析式为， 当，可得， 点的坐标为， ， 点的坐标为， ， 故． （3）解：设点的坐标为， ，， ，，， 当时，， 可得， 解得或， 若，点与点重合，舍去， 此时点的坐标为； 当时，， ， 解得或， 此时点的坐标为或； 当时，， 可得， 解得， 此时点的坐标为． 综上，点的坐标为或或或． 15．如图1，直线交x轴于点A，交y轴于点B，过点A作直线l，交y轴于点C，若，． (1)求点A，B，C的坐标； (2)如图2，将沿着翻折得到，点O的对应点为点D，求点D的坐标； (3)如图3，点P为线段上一动点，过点P作y轴的平行线交x轴于点E，交于点F，过点F作于点G，连接，当的长度最小时， ①求点E的坐标； ②线段上是否存在一点Q，使得．若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2) (3)①；②存在， 【分析】(1) 由直线分别令、求出、坐标；在中，利用和，由勾股定理求，从而确定坐标． (2) 沿翻折得到，则，．过作轴于点，在中用勾股定理求、，从而确定坐标． (3) ①由在轴上且，可证四边形为矩形，则对角线，要使最小只需最小，当时垂线段最短，由为等腰直角三角形得为中点，从而求坐标． ②由得，即射线平分，故在的平分线上．设平分线交轴于点，用等面积法求，再求直线解析式，令求坐标． 【详解】（1）解：令，，， ， 令，， ， 点在轴正半轴上，设（）， 在中，，， 设则， ∴， ， 解得， 解得， ． （2）解：沿翻折得到，点对应点， ，， ， 过点点作轴于点， 在中，，， ， ， 点在点左侧， 点的横坐标为， ． （3）①解：连， ，， 直线为轴， 于， 轴，即为水平线段， 在轴上，在轴上，为竖直线段， ，，， 四边形为矩形， ， 点在直线上， 要使最小，只需最小， 当时，最小， ，， 为等腰直角三角形， 当时，为中点， ， 与横坐标相同， ． ②解：存在满足条件的点， 当时，，为线段（从到）， ，， ， 点在射线上，， 射线平分，即点在的平分线上， 设的平分线交轴于点，过点作于点， 在的平分线上， ， ， ， ， ， ， ， 设直线的解析式为， 代入和： ， 解得，， 直线的解析式为， 点在直线上，令， ， ． 1．关于、的方程组，下列结论中正确的是（   ） A．若、互为相反数，则； B．值随着值的增大而减小； C．的值随着值的变化而变化； D．不存在的值，使方程组的解为正整数． 【答案】B 【分析】根据相反数的定义，一次函数的性质，加减消元法解二元一次方程组等知识，逐一判断各选项． 【详解】A、若、互为相反数，则，解得，故A选项错误； B、，得，则，所以值随着值的增大而减小，选项B正确； C、，得，所以的值不随着值的变化而变化，C选项错误； D、利用加减消元法解方程组得，当时，，即存在的值，使方程组的解为正整数，D选项错误． 2．关于x，y的方程组的解为，若点P（a，b）总在直线y＝x上方，那么k的取值范围是（　　） A．k＞1 B．k＞﹣1 C．k＜1 D．k＜﹣1 【答案】B 【分析】将k看作常数，解方程组得到x，y的值，根据P在直线上方可得到b＞a，列出不等式求解即可． 【详解】解：解方程组可得， ， ∵点P（a，b）总在直线y=x上方， ∴b＞a， ∴， 解得k＞-1， 故选：B． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，一次函数上点的坐标特征，解本题的关键是将k看作常数，根据点在一次函数上方列出不等式求解． 3．如图，直线与两坐标轴交于两点，点是线段上一动点（不与两端点重合）．过点作轴于点，作轴于点，小明认为矩形的周长不变且始终为8，小红认为当点运动到线段的中点时，点到原点的距离最短，且最短距为．关于两人的判断，下面说法正确的是（    ） A．小明与小红都是正确的 B．小明与小红都是错误的 C．小明是正确的，小红是错误的 D．小明是错误的，小红是正确的 【答案】A 【分析】本题考查矩形的性质以及等腰三角形的三线合一，发现图中的等腰三角形以及能发现并利用垂线段最短是解决问题的关键．先由直线的函数表达式可求出两点的坐标，并发现三角形是等腰直角三角形，再根据，分别垂直于轴和轴，可将，分别转化为，，进而解决问题．根据垂线段最短原则，当时，点到原点的距离最短． 【详解】解：由直线与两坐标轴交于两点，得，，． 所以， ∴是等腰直角三角形． ∵点在线段上运动，且轴，轴， ∴和都是等腰直角三角形， 所以，． 故． 即矩形的周长为定值8． 所以小明说法正确． 在中，根据勾股定理得，． 根据垂线段最短原则，当时，点到原点的距离最短， ∵， 所以点为的中点，且此时． 所以小红的说法正确． 故选：A． 4．如图，直线与轴交于点，下列叙述正确的是（    ） A．关于的方程的解为 B．， C．直线经过第三象限 D．若是直线上的两点，则 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，由直线与坐标轴交点求方程的解．熟练掌握一次函数的图象和性质是解题关键． 由直线的图象可知，即可判断B；又可得出，即得出直线经过第一、二、四象限，可判断C；进而由一次函数的性质可判断D；由直线与坐标轴交点的横坐标即为其相关一元一次方程的解，可判断A． 【详解】解：由图象可知直线经过第一、二、三象限，且与y轴的交点位于x轴上方， ∴，故B错误，不符合题意； ∵， ∴． 又∵， ∴直线经过第一、二、四象限，故C错误，不符合题意； ∵直线与x轴交于点， ∴关于x的方程的解为，故A正确，符合题意； ∵直线经过第第一、二、三象限， ∴y随x的增大而增大． ∵， ∴，故D错误，不符合题意． 故选：A． 5．直线与相交于点，且两直线与轴围成的三角形面积为6，点是三角形内部（包括边上）的一点，则的最大值与最小值之差为（    ） A．3 B． C．3或 D．3或6 【答案】A 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，直线与坐标轴的交点坐标，熟练掌握求交点的坐标是解题的关键．分别求出直线，直线或与直线的交点，从而确定m的最大值与最小值，计算其差即可． 【详解】解：直线过点， 则，解得， ∴， 令，则， ∴直线与轴的交点为， 令，则， ∴直线与轴的交点为， 由题意得， 解得或， ∵直线过点， ∴或， ∴直线或， 若直线和直线时， 当时，，， ∴m的最大值为4，最小值为1， ∴m的最大值与最小值之差为； 若直线和直线时， 当时，，， ∴m的最大值为1，最小值为， ∴m的最大值与最小值之差为； 综上，m的最大值与最小值之差为3， 故选：A． 6．如图，在平面直角坐标系中，点在过原点的直线上，以点O为圆心，长为半径画弧交直线于点，过点作轴交于点；以点O为圆心，长为半径画弧交直线于点，过点作轴交于点；…按此规律，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了函数图象上点的坐标特征、规律型：点的坐标、正比例函数的图象与性质、勾股定理，解题时要熟练掌握并能灵活运用正比例函数的性质是关键．依据题意，由，则，，结合在直线上，设，可得，则，同理可得，，， ，，，最后即可判断得解． 【详解】解：由题意，∵， ∴， 设直线的解析式为，代入，得， ∴， ∵在直线上， ∴可设， ∵， ∴， ∴（负值舍）， ∴， 又∵轴， ∴纵坐标为1， ∴代入，得， ∴， ∴， 设， ∴， ∴， ∴， 同理可得，， ，，． ∴当时，． 故选：C． 7．如图，在平面直角坐标系中，函数的图象为直线，作点关于直线的对称点，将向右平移2个单位得到点；再作关于直线的对称点，将向右平移2个单位得到点；…则按此规律，所作出的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了点的坐标规律探索，轴对称的性质，坐标与图形变化平移，一次函数的图象和性质，通过求出，，，，，进而得到规律当（k为正整数）时，，当时，，再由，即可求出答案． 【详解】解：如图所示， 设与直线l交于点C， ∵， ∴， ∵函数的图象为直线， ∴， 由轴对称的性质可得，， ∴， ∴， ∵将向右平移2个单位得到点， ∴， 同理可得， ∴，， ......， 以此类推，可知当（k为正整数）时，，当时，， ∵， ∴，即． 故选：D． 8．对于一个函数，如果存在自变量时，其对应的函数值，那么我们称该函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．例如：在函数中，当时，，则我们称函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．某数学兴趣小组围绕该定义，对一次函数进行了相关探究：对一次函数进行探究后，得出下列结论：①是“不动点函数”，且只有一个不动点：②是“不动点函数”，且不动点是；③是“不动点函数”，且有无数个不动点．④（为常数，），不管为何值，总是“不动点函数”，且不动点一定位于第三象限．以上结论中，你认为错误的是（   ） A．②④ B．①② C．①②④ D．①③ 【答案】C 【分析】本题考查了新定义“不动点函数”的理解及一次函数不动点的求解，解题的关键是根据不动点的定义，将问题转化为解方程． 根据不动点定义，解方程，判断各结论是否正确． 【详解】对于①： ，令，得，无解，不是不动点函数，故错误． 对于②： ，令，得，，，不动点为，不是，故错误． 对于③： ，令，恒成立，有无数个不动点，故正确． 对于④：，，令，整理得， 当时，，，不动点为，在第三象限； 当时，函数为，有无数不动点，这些点不一定在第三象限，不动点不一定位于第三象限，故错误． 错误的是． 故选． 9．小明在探究直线l： 的性质时，得到如下结论： ①直线l必经过点； ②直线l的图像经过一、三、四象限； ③若点，在直线l上，，则； ④点O到直线l的距离的最大值为5． 则以上结论正确的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的性质，勾股定理． 将代入解析式得到，可知直线必经过点，根据，可知直线经过一、二、四象限，根据可知一次函数中随的增大而减小，即当时，，根据垂线段最短可知点到直线的距离，根据勾股定理可知点到直线的距离的最大值为5． 【详解】①∵直线可变形为， ∴当时，，与取值无关， ∴直线必经过点，结论①正确； ②∵， ∴ ∴， ∵， ∴直线经过一、二、四象限，结论②错误； ③∵，一次函数中随的增大而减小， ∴当时，，结论③正确； ④∵直线恒过定点，根据垂线段最短，点到直线的距离（当时取等号）， ∵， ∴点到直线的距离的最大值为5，结论④正确； 综上，正确的结论是①③④． 故选：C． 10．已知为直线上的三个点，且，则以下判断正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数的增减性．根据一次函数的增减性，逐项分析判断即可解答． 【详解】解：∵直线中，，∴y随x增大而减小， ∵，∴， A、若，则，，对于，当时，，当时，，当时，，∴，，而的符号不能确定，∴不能判定，故A错误，不符合题意； B、若，则与同号，若同为负数时，∵，∴，，同理，，而的符号不能确定，∴不能判定， 若同为正数时，当时，可以取，此时，满足，但， 综上，B错误，不符合题意； C、若，则与异号，∵，∴，，同理，，而，∴，∴不能判定，故C错误，不符合题意； D、若，则与异号，∵，∴，，同理，，而，∴，∴能判定，故D正确，符合题意； 故选：D． 11．如图，在平面直角坐标系中，，点在直线上．有以下结论： ①当点的坐标为时，取得最小值； ②当点的坐标为时，取得最大值； ③当点的坐标为时，取得最大值； ④当点的坐标为时，取得最小值． 上述结论中，所有正确结论的序号是（  ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征、正比例函数的性质、轴对称-最短路线问题，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键．依据题意，结合函数图象分三种情形计算分析即可逐个判断得解． 【详解】解：由题意，如图1， ， 关于直线的对称点， 连接交于点，此时取最小值等于， 又 ， 轴， ， 故①正确，②错误； 连接并延长交直线于，如图2， 此时，取最大值等于， 设直线为， ， ， ， 直线为， 联立方程组， ， 此时， 故③错误； 由题意，连接，作的垂直平分线交于点，如图3， ， 取得最小值为， 在的垂直平分线上， ， 的中点为， 直线为， 的垂直平分线为， 联立方程组， ， ，此时取得最小值， 故④正确； 综上，正确的有①④； 故选：B． 12．若一次函数在的范围内的最大值比最小值大，则下列说法正确的是（    ） A．k的值为2或－2 B．的值随的增大而减小 C．k的值为1或－1 D．在的范围内，的最大值为 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：当时， 当时， 当时，随的增大而增大 则由题意可得： 此时在的范围内，的最大值为 当时，随的增大而减小 则由题意可得： 此时在的范围内，的最大值为 故选：． 13．小虎同学在解方程组的过程中，错把b看成了6，其余的解题过程没有出错，解得此方程组的解为．又已知直线过点，则b的值为 ________． 【答案】 【分析】本题主要考查的是二元一次方程的解和一次函数解析式，理解二元一次方程的解得定义和一次函数的新增是解题关键．先将代入可得k的值，再把和k值代入中求得b的值即可． 【详解】解：先将代入可得：， 解得：； 又∵直线过点，即． ∴． 故答案为：． 14.在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，小颖根据图象得到如下结论：①在一次函数的图象中，的值随着值的增大而减小；②方程的解为；③；④．其中正确结论的序号是______． 【答案】①②④ 【分析】本题考查了一次函数图象的性质，掌握一次函数图象的增减性，两直线的交点坐标的意义是解题的关键． 根据图示得到，，两直线交点坐标为，根据一次函数图象的性质即可求解． 【详解】解：根据图示，一次函数的图象经过第一、二、三象限， ∴， ∴一次函数的图象中，的值随着值的增大而减小，故①正确； ∵两直线交点坐标为， ∴方程的解为，故②正确； 一次函数的图象经过第一、三、四象限， ∴， ∴，故③错误，④正确； 综上所述，正确的有①②④． 故答案为：①②④． 15．已知点，为函数图象上两点，下列结论： ①函数的最小值为0； ②当时，； ③若，则； ④若方程有两个解，且都满足，则k的取值范围是； 其中正确的结论是_______．（填写序号） 【答案】①③④ 【分析】本题主要考查了一次函数的性质、绝对值等知识点，熟练掌握绝对值的性质以及一次函数的性质是解题的关键． 根据绝对值的性质可判断①选项，根据取绝对值，可得一次函数，然后根据一次函数的性质即可判定②；先说明该函数图像为，然后根据对称性即可判定③；将方程转化为，将所求问题转化为函数与函数在有两个解，易得函数的图象必过；然后求得三个临界点k的值，然后结合函数图象即可解答． 【详解】解：①∵， ∴该函数的最小值为0，故①正确； ②∵， ∴， ∴， ∵， ∴y随x的增大而减小， ∴，即②错误； ③由题可知：函数图象对称轴为直线， ∵， ∴A、B关于对称，即，故③正确； ④将方程转化为， ∵方程有两个解，且都满足， ∴函数与函数在有两个解， ∵， ∴函数的图象必过， ∵， 当时，直线与的交点为A，即， ∴， ∴直线的解析式为，即； 当时，直线与的交点为B，即， ∴， ∴，解得：； 当时，直线与的交点为C，即， ∴， ∴，解得：； 由函数图象可得：方程有两个解，且都满足，则k的取值范围是，即③正确． 故答案为∶①③④． 16．在平面直角坐标系中，已知两条直线：和：相交于．请完成下列探究： （1）设和分别与轴交于，两点，则线段的长为_____； （2）已知直线（）分别与相交于，两点，若线段长为3，则的值为______ 【答案】 【分析】（1）先根据待定系数法求得两直线解析式，再求得直线与坐标轴的交点坐标，即可求解； （2）先求得点与点的坐标，结合题意列方程求解即可． 【详解】解：（1）∵直线：和：相交于， ∴将代入得：， 解得：； 将代入得：， 解得：； ∴直线的解析式为，直线的解析式为：； 将代入直线的解析式得：， 解得：， ∴； 将代入直线的解析式得：， 解得：， ∴， ∴， 故答案为：． （2）∵直线（）分别与相交于，两点， ∴，， ∵线段长为3， ∴， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数与坐标轴的交点坐标，两直线的交点等，熟练掌握一次函数相关性质是解题的关键． 17．观察下列式子，探究它们的规律并解决问题， ，，，……若一次函数（的正整数）图象与坐标轴围成的三角形面积记为．则_________． 【答案】12 【分析】此题为一次函数图象与坐标轴所围成的三角形面积的问题，计算结果需要利用分数裂项法进行计算． 【详解】解：当时，；当时，； ∴直线与坐标轴的交点为，， 又∵的正整数， ∴，， 当时，， 当时，， 当时，， ．．．， 当时，， ∴ ． 故答案为：12． 【点睛】本题考查一次函数与坐标轴交点问题，理解一次函数图象上点的坐标特点，以及利用裂项法探索数字变化规律是解题关键． 18．已知一次函数（a，b是常数，且），如果，有下列说法： ①它的图象经过点； ②直线与x轴的交点坐标为； ③函数图象上两点，满足，那么； ④关于x的不等式的解是； ⑤关于x的方程至少有一个实数解． 其中正确的是______（填写序号即可）． 【答案】①②③⑤ 【分析】本题考查了一次函数的性质，不等式的性质，解一元一次方程，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 利用一次函数的性质可判断①②；利用不等式的性质可判断③④；解方程可判断⑤． 【详解】解：一次函数，且， 当时，则， 它的图象经过点，故①正确； 当时，则， ， ∴直线与轴的交点坐标为，故②正确； ∵函数图象上两点满足，即增大时，减小， 随的增大而减小， ， ∵， ，故③正确； 已知，移项可得． ∵， ，代入， 不等式变为． 当，即时，，无法确定； 当，即时，，也无法确定， 故④错误． 当时，方程可化为， 即，． ∵，则， 当时，有解； 当时，，则，方程有解； 当时，方程化为，即， 同样结合，能找到使方程成立的值， 关于的方程至少有一个实数解， 故⑤正确． 综上，正确的是①②③⑤． 故答案为：①②③⑤． 19．已知关于x的一次函数与（a，b为常数，且），下列结论：①点在函数图象上；②若，则；③若，则函数一定不经过第二象限；④若函数经过点，则函数一定经过点．其中正确结论的序号是__________． 【答案】①②③④ 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质．熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征，两直线交点的坐标特征，一次函数与一元一次不等式的关系，一次函数的图象位置与系数符号的关系，是解决本题的关键． ①将点代入即可判断； ②根据列不等式，结合解不等式即可； ③若，根据，得到，，可判断一次函数的图象的位置； ④将点代入，可得，将代入，得到，再判断其是否经过即可． 【详解】将代入， 得，， ∴点在函数图象上， 故①正确； ∵， ∴， 若，则， 解得， 故②正确； 若， 又， ∴，， ∴的图象过一、三、四象限， ∴函数一定不经过第二象限， 故③正确； 将代入， 得，， ∴， ∴， 当时，， ∴一定经过点， 故④正确． 故答案为：①②③④． 20．一次函数（、为常数，）中的与的部分对应值如下表： 下列结论中一定正确的是____（填序号即可）． ①当时，；②当的值随值的增大而增大时，； ③当时，或；④当时，直线与轴相交于点，则． 【答案】①②③ 【分析】将点、代入，求出、关于的关系式，根据关系式即可判断①、②；求出该函数与轴的交点的坐标及即可判断④；分与两种情况讨论，根据即可求解，从而判断④． 【详解】解：依题得：， 解得：，， 时，， ，①正确； 当随着的值增大而增大时，， 即，， ②正确； ， ， 直线与轴相交于点， 即， ④错误； 当时，， ， ， 即，解得， 时，, , ， 即，解得， ③正确． 综上，结论中一定正确的是①②③． 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查的知识点是一次函数的图像与性质，解题关键是熟练掌握图像上两点与原点围成三角形面积的求法． 21．对于实数a，b，我们定义符号的意义为：当时，；当时，．如：，，则关于x的函数为的最大值是______． 【答案】1 【分析】根据定义先列不等式：2x-3≥-x+3和2x-3≤-x+3，确定其y=min{2x3，-x+3}对应的函数，画图象可知其最大值． 【详解】解：由题意得： ，解得：， 当2x-3≥-x+3时，x≥2， ∴当x≥2时，y=min{2x-3，-x+3}=-x+3， 此时该函数的最大值为1； 当2x-3≤-x+3时，x≤2， ∴当x≤2时，y=min{2x-3，-x+3}=2x-3， 此时该函数的最大值为1； 综上所述，y=min{2x-3，-x+3}的最大值是当x=2 所对应的y的值，即y=1， 故答案为 1． 【点睛】本题考查一次函数的性质，理解新定义内容，分情况列出函数解析式并掌握一次函数的性质是解题关键． 22．【探究发现】创新小队在学习一次函数的图象与性质时，发现一次函数的图象可以由正比例函数的图象通过上下平移或左右平移得到，于是，他们进行了如下的探究活动． (1)请你完成探究活动中的相关问题． ①将的图象向上平移4个单位，得到的直线，则的函数表达式为____________； ②请在图1平面直角坐标系中，画出直线的图象； ③观察图象，直线也可以看作由的图象向____________（填“左”或“右”）平移____________个单位得到． (2)【类比迁移】将向下平移3个单位得到的图象，相当于将向____________（填“左”或“右”）平移________个单位得到； (3)【拓展升华】将向下平移个单位得到的图象，相当于将向____________（填“左”或“右”）平移____________个单位得到． (4)【综合应用】已知一次函数的图象如图2所示，结合（1）－（3）的探究，请用无刻度的直尺和圆规在同一直角坐标系中画出的图象．（不写作法、保留作图痕迹） 【答案】(1)①；②见解析；③左，2 (2)左，9 (3)右， (4)见解析 【分析】本题考查一次函数图象的平移，以及左右平移规律的探索，关键是通过与坐标轴的交点解决． （1）①利用一次函数“上加下减”(截距增减)的平移规律，直接给的截距加4，得平移后解析式； ②求出直线与坐标轴的交点，过两点作直线即可； ③求与各自与轴的交点、，对比交点横坐标变化，确定左移2个单位； （2）先求“下减”求向下平移3个单位后的解析式，再分别求两直线与轴的交点，通过横坐标变化确定即可； （3）先求与平移后各自与轴的交点，计算横坐标差值，确定平移方向和平移距离； （4）根据“上加下减”，将上移个单位画，再根据与坐标轴的交点变化画． 【详解】（1）解：①根据“上加下减”的平移规律，直线向上平移4个单位，得； 故答案为：； ②当时，；当时，， 过点，作直线，即为直线：的图象，如图所示： ③∵直线与轴的交点是，与轴的交点是，将点向左平移2个单位得到， ∴直线可以看作由的图象向左平移2个单位得到． 故答案为：左，2； （2）解：令，解得， ∴直线与轴的交点坐标为． 将向下平移3个单位，得到． 令，解得， ∴直线与轴的交点坐标为． ∵将点向左平移9个单位得到， ∴直线相当于将向左平移9个单位得到． 故答案为：左，9； （3）解：同理，直线与轴的交点是． 直线向下平移个单位后的函数为， 令，得，解得， ∴新交点为． ∵，即点向右平移个单位得到， ∴将向下平移个单位，相当于将向右平移个单位得到． 故答案为：右，； （4）解：如图所示： 23．把函数的图象分别沿轴向上或向下平移3个单位长度，就得到函数或的图象． 【阅读理解】 小尧阅读这段文字后有个疑问：把函数的图象沿轴向右平移3个单位长度，如何求平移后的函数表达式？ 老师给了以下提示：如图1，在函数的图象上任意取两个点，分别向右平移3个单位长度，得到，直线就是函数的图象沿轴向右平移3个单位长度后得到的图象． 请你帮助小尧解决他的困难． （1）将函数的图象沿轴向右平移3个单位长度，平移后的函数表达式为___________． 【解决问题】 （2）已知某一次函数的图象与直线关于轴对称，求此一次函数的表达式． 【拓展探究】 （3）一次函数的图象绕点逆时针方向旋转后得到的图象对应的函数表达式为___________．（直接写结果） 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）平移时k的值不变，只有b发生变化．可以先确定平移后与x轴的交点坐标，然后利用待定系数法即可求得； （2）直接根据平面直角坐标系中，点关于x轴对称的特点得出答案； （3）在直线取两点，，根据旋转性质求得旋转后对应点，，然后利用待定系数法求出直线的解析式即可． 【详解】解：（1）将函数的图象沿x轴向右平移3个单位长度， 平移后与x轴的交点为，将代入中，得 ， 解得， 所以平移后的函数表达式为， 故答案为：； （2）解：在函数的图象上取两个点、， 关于x轴对称的点的坐标、， 设直线的解析式为， 把代入，得 ， ∴一次函数的表达式为； （3）解：如图，在直线上取两点，， 一次函数的图象绕点逆时针方向旋转， 点、绕点逆时针方向旋转后对应点为点、， 过点作轴于，过点作轴于，过点作于， ， ，， 由旋转可得，， ， ，， ， ， ， ， ，， 轴， 四边形是矩形， ，， ， ， 同理可求得点， 设直线解析式为， 把、代入，得 ， 解得：， ∴旋转后得到函数解析式为：． 故答案为：． 24．阅读材料，完成下列各题： 对于不与x轴、y轴平行或重合直线 ，其中k叫做直线l的斜率．若在直线l上有不重合的两点、，则斜率的计算公式为，此公式叫做斜率公式， (1)新知运用：已知点和点，求过A、B两点的直线的斜率； (2)拓展迁移：若直线 上有不重合四点、、、，求、及b之间的大小关系； (3)新知感悟：根据以上的探究，尝试证明斜率公式（使用阅读材料中的题设完成证明）． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】（1）直接利用斜率公式计算即可得； （2）先根据点、，利用斜率公式可得，再利用一次函数的增减性即可得； （3）先求出，，，再代入计算即可得证． 【详解】（1）解：由斜率公式，得． （2）解：对于直线 ， 当时，， ∴点在直线上， 由斜率公式，得， 随的增大而减小， 又点、、在直线上，且， ． （3）证明：∵、为直线 上不重合的两点，且直线不与轴平行， ∴，，， ∴． 【点睛】本题主要考查了一次函数的性质，正确理解斜率公式是解题关键． 25．（1）【知识结论】 我们知道一次函数的图象可以由直线平移个单位得到． 那么将一次函数的图象向上平移个单位长度，所得到的函数表达式为：________； （2）【拓展探究】 我们已学过平移、轴对称两种基本的图形变换，某数学小组利用平移和轴对称开展“探究一次函数图象经过图形变换后的函数表达式”的数学活动． ①（平移变换）将图1中一次函数的图象沿着轴向左平移个单位长度，求所得到的图象对应的函数表达式．小组探究发现，图象的平移就是点的平移，因此，只需要在原图象上任取两点，，将这两点沿着轴向左平移个单位长度，得到对应点，，其坐标分别为（________），（________），从而求出直线对应的函数表达式为：______________________________； ②（轴对称变换）将图1中一次函数的图象关于轴对称，所得到的图象对应的函数表达式为：________________； （3）【学以致用】 将一次函数的图象沿轴翻折，然后将翻折后的部分先向左平移个单位，再向上平移个单位，得到的函数图象对应的函数为．由和的图象组成的函数图象对应的函数为．当时，，则的取值范围为________．    【答案】（1）；（2）①，，；②；（3） 【分析】此题是一次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数解析式，平移、对称的性质，熟练掌握相关知识是解本题的关键． （1）根据平移的规律求解即可； （2）①根据坐标的平移规律求出，的坐标，进而根据待定系数法求解即可；②同①在一次函数的图象上任取两点，，求出关于轴对称的点，进而根据待定系数法求解即可； （3）同（2）方法求出，可知，分三种情况求出的值，可知，，求出在的取值范围，进而可知中的取值范围，进而可知的范围． 【详解】解：（1）将一次函数的图象向上平移个单位长度，所得到的函数表达式为， 故答案为：； （2）①，两点沿着轴向左平移个单位长度，得到对应点，， 设直线的解析式为，将点，代入得， 解得， 直线对应的函数表达式为， 故答案为：，，； ②在一次函数的图象上任取两点，，则，两点关于轴的对称点为，， 设直线的解析式为，将，代入得， 解得， 直线的解析式为，即一次函数的图象关于轴对称的函数表达式为， 故答案为：； （3） ， 函数与轴交点为，与轴交于点． 这两点关于轴对称的对称点坐标分别为，． 将其向左平移个单位，再向上平移个单位得到对应点的坐标分别为， 函数的解析式为． ， 当时， ， 随的增大而减小． 当时，， 当时，代入，得到， ， ，矛盾，不合题意，舍去； 当，即时， ， 随的增大而增大， 当时，， ， ，不合题意，舍去； 当，即时， 由图象知函数最小值为． ， ， ，， ， 当时，， 当时，， 当时，，则， 当时，，则， ， ．    26．我们将等腰直角三角板放在平面直角坐标系中进行探究： (1)操作思考：如图1，在平面直角坐标系中，等腰直角 的直角顶点C在原点，若顶点A恰好落在点处，则点B的坐标为______ (2)类比探究：如图2，等腰直角的直角顶点C在点处，已知B的坐标为，点P为直线上的动点，请问是否存在点P使得？若存在，请求出点P的横坐标； (3)拓展应用：如图3，O为坐标原点，A的坐标为，D的坐标为，已知点Q是第三象限的点，若是等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标． 【答案】(1) (2)点P的横坐标为3或 (3)或 【分析】（1）过作轴于，过作轴于，证明，即可求解； （2）在中，，再求得直线的解析式为，设，结合两点间的距离公式列出方程，即可求解； （3）过点作轴，作；过点作轴，作；点是中点，过点作轴，作，分类讨论即可求解． 【详解】（1）解：过作轴于，过作轴于，如图： ∵，即， ∴ 在与中， ∵ ∴， ∴； （2）解：∵等腰直角的直角顶点C在点处，已知B的坐标为，如图； ∴， ∴在中， ∵ ∴ 设直线的解析式为， ∴， 解得 ∴直线的解析式为 设 ∴ ； 解得：或， ∴点P的横坐标为3或. （3）解：①如图；过点作轴，作， ∵是等腰直角三角形，由（1）可得 ∴ ∵A的坐标为，D的坐标为 ∴ ∴ ②如图；过点作轴，作， ∵是等腰直角三角形，由（1）可得 ∴ ∵A的坐标为，D的坐标为 ∴ ∴，不在第三象限；故不符合题意； ③如图；点是中点，过点作轴，作， ∵是等腰直角三角形，点是中点，由（1）可得 ∴ ∵A的坐标为，D的坐标为 ∴点的坐标为， ∴ ∴ ∴综上所述或． 【点睛】注意分类讨论思想和一线三垂直模型的应用． 27．综合与实践 问题情境： 如图1，在平面直角坐标系中，直线交轴于点A ，交轴于点B，过点B的直线交轴正半轴于点C．    初步探究： (1)当时，求直线的函数解析式； 深入探究： (2)在（1）的基础上，将沿着 方向平移到如图2的位置，得到，线段与交于点G，若G恰好是的中点，求平移的距离； 拓展延伸： (3)如图3，将沿着 翻折，得到四边形为菱形，继续沿着方向平移，得到，连，．试探究：在平移的过程中，四边形是否能成为矩形，若能求出平移的距离；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)平移的距离为 (3)能，平移的距离为6 【分析】（1）先求出点A和点B的坐标，设，在中，利用勾股定理列方程求出x，然后用待定系数法即可求出直线的函数解析式； （2）取的中点H，连接，利用三角形的中位线求出的长即可求解； （3）连接，设平移的距离为，则，在中，根据列方程求解即可． 【详解】（1）解：当时，由得 ∴ ∴ 当时， ∴ ∴ 设 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 在中 ∴ ∴ ∴ 设直线的解析式为 把，分别代入中 ∴ ∴直线的解析式为 （2）解：取的中点H，连接 ∵G是的中点    ∴， ∵ ∴ ∴GH= 由平移可得： ∴四边形是平行四边形 ∴ ∴平移的距离为 （3）解：能．连接，    设平移的距离为 则 ∵四边形为菱形 ∴， ，， ∴ ∴ 由平移性质得， ∴， ∴四边形为平行四边形 ∴当时，四边形为矩形 在中 ∴ ∴ ∴平移的距离为6 【点睛】本题考查了一次函数图象与坐标轴的交点，待定系数法求函数解析式，等腰三角形的判定，勾股定理，菱形的性质，矩形的判定，以及平移的性质，数形结合是解答本题的关键． 28．在学习了《中心对称图形》一章后，小明对特殊四边形的探究产生了浓厚的兴趣，他发现除了已经学过的四边形外，还有很多比较特殊的四边形，勇于创新的他大胆地作出这样的定义：有一个内角是直角，且对角线互相垂直的四边形称为“双直四边形”． 【性质探究】 (1)下列关于“双直四边形”的说法，正确的有 （填序号）． ①“双直四边形”的对角线不可能相等； ②“双直四边形”的面积等于对角线乘积的一半； ③若一个“双直四边形”是中心对称图形，则其一定是正方形． 【判定探究】 (2)如图1，在矩形中，点E、F分别在边上，连接，若，证明：四边形为“双直四边形”． 【拓展提升】 (3)如图2，在平面直角坐标系中，已知，点B在线段上，且，是否存在点D在第一象限，使得四边形为“双直四边形”且面积最大，若存在，求出此时点D的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)②③ (2)见解析 (3)存在， 【分析】（1）由““双直四边形”的定义依次判断即可解答； （2）由““SAS”可证，可得，进而求得，，进而证明结论； （3）先求出的解析式，再分两种情况讨论，将点D横坐标代入即可解答． 【详解】（1）解：∵有一个内角是直角，且对角线互相垂直的四边形称为“双直四边形”， ∴正方形是“双直四边形”， ∴双直四边形”的对角线可能相等，故①不符合题意； “双直四边形”的面积等于对角线乘积的一半，故②符合题意； ∵中心对称的四边形是平行四边形，且有一个内角是直角，对角线互相垂直， ∴这样的“双直四边形”是正方形，故③选项符合题意． 故答案为：②③； （2）证明：连接，交于点O， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，   ∴， ∴， 又∵， ∴四边形为双直四边形． （3）解：存在点D在第一象限，使得四边形为“双直四边形”且面积最大， 如图，设与交于点H， ∵点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点； ∵四边形为“双直四边形”， ∴， ∵，   ∴，即点H是的中点， ∵点， ∴点， 设直线的解析式为, 则：，解得：， ∴直线的解析式为， 当时，点D的横坐标为16， ∴， ∴点， 当时， ∵， ∴是的垂直平分线，   ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴点， 综上所述：点D的坐标． 【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、一次函数的应用等知识点，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 1．关于、的方程组，下列结论中正确的是（   ） A．若、互为相反数，则； B．值随着值的增大而减小； C．的值随着值的变化而变化； D．不存在的值，使方程组的解为正整数． 【答案】B 【分析】根据相反数的定义，一次函数的性质，加减消元法解二元一次方程组等知识，逐一判断各选项． 【详解】A、若、互为相反数，则，解得，故A选项错误； B、，得，则，所以值随着值的增大而减小，选项B正确； C、，得，所以的值不随着值的变化而变化，C选项错误； D、利用加减消元法解方程组得，当时，，即存在的值，使方程组的解为正整数，D选项错误． 2．关于x，y的方程组的解为，若点P（a，b）总在直线y＝x上方，那么k的取值范围是（　　） A．k＞1 B．k＞﹣1 C．k＜1 D．k＜﹣1 【答案】B 【分析】将k看作常数，解方程组得到x，y的值，根据P在直线上方可得到b＞a，列出不等式求解即可． 【详解】解：解方程组可得， ， ∵点P（a，b）总在直线y=x上方， ∴b＞a， ∴， 解得k＞-1， 故选：B． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，一次函数上点的坐标特征，解本题的关键是将k看作常数，根据点在一次函数上方列出不等式求解． 3．如图，直线与两坐标轴交于两点，点是线段上一动点（不与两端点重合）．过点作轴于点，作轴于点，小明认为矩形的周长不变且始终为8，小红认为当点运动到线段的中点时，点到原点的距离最短，且最短距为．关于两人的判断，下面说法正确的是（    ） A．小明与小红都是正确的 B．小明与小红都是错误的 C．小明是正确的，小红是错误的 D．小明是错误的，小红是正确的 【答案】A 【分析】本题考查矩形的性质以及等腰三角形的三线合一，发现图中的等腰三角形以及能发现并利用垂线段最短是解决问题的关键．先由直线的函数表达式可求出两点的坐标，并发现三角形是等腰直角三角形，再根据，分别垂直于轴和轴，可将，分别转化为，，进而解决问题．根据垂线段最短原则，当时，点到原点的距离最短． 【详解】解：由直线与两坐标轴交于两点，得，，． 所以， ∴是等腰直角三角形． ∵点在线段上运动，且轴，轴， ∴和都是等腰直角三角形， 所以，． 故． 即矩形的周长为定值8． 所以小明说法正确． 在中，根据勾股定理得，． 根据垂线段最短原则，当时，点到原点的距离最短， ∵， 所以点为的中点，且此时． 所以小红的说法正确． 故选：A． 4．如图，直线与轴交于点，下列叙述正确的是（    ） A．关于的方程的解为 B．， C．直线经过第三象限 D．若是直线上的两点，则 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，由直线与坐标轴交点求方程的解．熟练掌握一次函数的图象和性质是解题关键． 由直线的图象可知，即可判断B；又可得出，即得出直线经过第一、二、四象限，可判断C；进而由一次函数的性质可判断D；由直线与坐标轴交点的横坐标即为其相关一元一次方程的解，可判断A． 【详解】解：由图象可知直线经过第一、二、三象限，且与y轴的交点位于x轴上方， ∴，故B错误，不符合题意； ∵， ∴． 又∵， ∴直线经过第一、二、四象限，故C错误，不符合题意； ∵直线与x轴交于点， ∴关于x的方程的解为，故A正确，符合题意； ∵直线经过第第一、二、三象限， ∴y随x的增大而增大． ∵， ∴，故D错误，不符合题意． 故选：A． 5．直线与相交于点，且两直线与轴围成的三角形面积为6，点是三角形内部（包括边上）的一点，则的最大值与最小值之差为（    ） A．3 B． C．3或 D．3或6 【答案】A 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，直线与坐标轴的交点坐标，熟练掌握求交点的坐标是解题的关键．分别求出直线，直线或与直线的交点，从而确定m的最大值与最小值，计算其差即可． 【详解】解：直线过点， 则，解得， ∴， 令，则， ∴直线与轴的交点为， 令，则， ∴直线与轴的交点为， 由题意得， 解得或， ∵直线过点， ∴或， ∴直线或， 若直线和直线时， 当时，，， ∴m的最大值为4，最小值为1， ∴m的最大值与最小值之差为； 若直线和直线时， 当时，，， ∴m的最大值为1，最小值为， ∴m的最大值与最小值之差为； 综上，m的最大值与最小值之差为3， 故选：A． 6．如图，在平面直角坐标系中，点在过原点的直线上，以点O为圆心，长为半径画弧交直线于点，过点作轴交于点；以点O为圆心，长为半径画弧交直线于点，过点作轴交于点；…按此规律，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了函数图象上点的坐标特征、规律型：点的坐标、正比例函数的图象与性质、勾股定理，解题时要熟练掌握并能灵活运用正比例函数的性质是关键．依据题意，由，则，，结合在直线上，设，可得，则，同理可得，，， ，，，最后即可判断得解． 【详解】解：由题意，∵， ∴， 设直线的解析式为，代入，得， ∴， ∵在直线上， ∴可设， ∵， ∴， ∴（负值舍）， ∴， 又∵轴， ∴纵坐标为1， ∴代入，得， ∴， ∴， 设， ∴， ∴， ∴， 同理可得，， ，，． ∴当时，． 故选：C． 7．如图，在平面直角坐标系中，函数的图象为直线，作点关于直线的对称点，将向右平移2个单位得到点；再作关于直线的对称点，将向右平移2个单位得到点；…则按此规律，所作出的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了点的坐标规律探索，轴对称的性质，坐标与图形变化平移，一次函数的图象和性质，通过求出，，，，，进而得到规律当（k为正整数）时，，当时，，再由，即可求出答案． 【详解】解：如图所示， 设与直线l交于点C， ∵， ∴， ∵函数的图象为直线， ∴， 由轴对称的性质可得，， ∴， ∴， ∵将向右平移2个单位得到点， ∴， 同理可得， ∴，， ......， 以此类推，可知当（k为正整数）时，，当时，， ∵， ∴，即． 故选：D． 8．对于一个函数，如果存在自变量时，其对应的函数值，那么我们称该函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．例如：在函数中，当时，，则我们称函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．某数学兴趣小组围绕该定义，对一次函数进行了相关探究：对一次函数进行探究后，得出下列结论：①是“不动点函数”，且只有一个不动点：②是“不动点函数”，且不动点是；③是“不动点函数”，且有无数个不动点．④（为常数，），不管为何值，总是“不动点函数”，且不动点一定位于第三象限．以上结论中，你认为错误的是（   ） A．②④ B．①② C．①②④ D．①③ 【答案】C 【分析】本题考查了新定义“不动点函数”的理解及一次函数不动点的求解，解题的关键是根据不动点的定义，将问题转化为解方程． 根据不动点定义，解方程，判断各结论是否正确． 【详解】对于①： ，令，得，无解，不是不动点函数，故错误． 对于②： ，令，得，，，不动点为，不是，故错误． 对于③： ，令，恒成立，有无数个不动点，故正确． 对于④：，，令，整理得， 当时，，，不动点为，在第三象限； 当时，函数为，有无数不动点，这些点不一定在第三象限，不动点不一定位于第三象限，故错误． 错误的是． 故选． 9．小明在探究直线l： 的性质时，得到如下结论： ①直线l必经过点； ②直线l的图像经过一、三、四象限； ③若点，在直线l上，，则； ④点O到直线l的距离的最大值为5． 则以上结论正确的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的性质，勾股定理． 将代入解析式得到，可知直线必经过点，根据，可知直线经过一、二、四象限，根据可知一次函数中随的增大而减小，即当时，，根据垂线段最短可知点到直线的距离，根据勾股定理可知点到直线的距离的最大值为5． 【详解】①∵直线可变形为， ∴当时，，与取值无关， ∴直线必经过点，结论①正确； ②∵， ∴ ∴， ∵， ∴直线经过一、二、四象限，结论②错误； ③∵，一次函数中随的增大而减小， ∴当时，，结论③正确； ④∵直线恒过定点，根据垂线段最短，点到直线的距离（当时取等号）， ∵， ∴点到直线的距离的最大值为5，结论④正确； 综上，正确的结论是①③④． 故选：C． 10．已知为直线上的三个点，且，则以下判断正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数的增减性．根据一次函数的增减性，逐项分析判断即可解答． 【详解】解：∵直线中，，∴y随x增大而减小， ∵，∴， A、若，则，，对于，当时，，当时，，当时，，∴，，而的符号不能确定，∴不能判定，故A错误，不符合题意； B、若，则与同号，若同为负数时，∵，∴，，同理，，而的符号不能确定，∴不能判定， 若同为正数时，当时，可以取，此时，满足，但， 综上，B错误，不符合题意； C、若，则与异号，∵，∴，，同理，，而，∴，∴不能判定，故C错误，不符合题意； D、若，则与异号，∵，∴，，同理，，而，∴，∴能判定，故D正确，符合题意； 故选：D． 11．如图，在平面直角坐标系中，，点在直线上．有以下结论： ①当点的坐标为时，取得最小值； ②当点的坐标为时，取得最大值； ③当点的坐标为时，取得最大值； ④当点的坐标为时，取得最小值． 上述结论中，所有正确结论的序号是（  ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征、正比例函数的性质、轴对称-最短路线问题，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键．依据题意，结合函数图象分三种情形计算分析即可逐个判断得解． 【详解】解：由题意，如图1， ， 关于直线的对称点， 连接交于点，此时取最小值等于， 又 ， 轴， ， 故①正确，②错误； 连接并延长交直线于，如图2， 此时，取最大值等于， 设直线为， ， ， ， 直线为， 联立方程组， ， 此时， 故③错误； 由题意，连接，作的垂直平分线交于点，如图3， ， 取得最小值为， 在的垂直平分线上， ， 的中点为， 直线为， 的垂直平分线为， 联立方程组， ， ，此时取得最小值， 故④正确； 综上，正确的有①④； 故选：B． 12．若一次函数在的范围内的最大值比最小值大，则下列说法正确的是（    ） A．k的值为2或－2 B．的值随的增大而减小 C．k的值为1或－1 D．在的范围内，的最大值为 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：当时， 当时， 当时，随的增大而增大 则由题意可得： 此时在的范围内，的最大值为 当时，随的增大而减小 则由题意可得： 此时在的范围内，的最大值为 故选：． 13．小虎同学在解方程组的过程中，错把b看成了6，其余的解题过程没有出错，解得此方程组的解为．又已知直线过点，则b的值为 ________． 【答案】 【分析】本题主要考查的是二元一次方程的解和一次函数解析式，理解二元一次方程的解得定义和一次函数的新增是解题关键．先将代入可得k的值，再把和k值代入中求得b的值即可． 【详解】解：先将代入可得：， 解得：； 又∵直线过点，即． ∴． 故答案为：． 14.在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，小颖根据图象得到如下结论：①在一次函数的图象中，的值随着值的增大而减小；②方程的解为；③；④．其中正确结论的序号是______． 【答案】①②④ 【分析】本题考查了一次函数图象的性质，掌握一次函数图象的增减性，两直线的交点坐标的意义是解题的关键． 根据图示得到，，两直线交点坐标为，根据一次函数图象的性质即可求解． 【详解】解：根据图示，一次函数的图象经过第一、二、三象限， ∴， ∴一次函数的图象中，的值随着值的增大而减小，故①正确； ∵两直线交点坐标为， ∴方程的解为，故②正确； 一次函数的图象经过第一、三、四象限， ∴， ∴，故③错误，④正确； 综上所述，正确的有①②④． 故答案为：①②④． 15．已知点，为函数图象上两点，下列结论： ①函数的最小值为0； ②当时，； ③若，则； ④若方程有两个解，且都满足，则k的取值范围是； 其中正确的结论是_______．（填写序号） 【答案】①③④ 【分析】本题主要考查了一次函数的性质、绝对值等知识点，熟练掌握绝对值的性质以及一次函数的性质是解题的关键． 根据绝对值的性质可判断①选项，根据取绝对值，可得一次函数，然后根据一次函数的性质即可判定②；先说明该函数图像为，然后根据对称性即可判定③；将方程转化为，将所求问题转化为函数与函数在有两个解，易得函数的图象必过；然后求得三个临界点k的值，然后结合函数图象即可解答． 【详解】解：①∵， ∴该函数的最小值为0，故①正确； ②∵， ∴， ∴， ∵， ∴y随x的增大而减小， ∴，即②错误； ③由题可知：函数图象对称轴为直线， ∵， ∴A、B关于对称，即，故③正确； ④将方程转化为， ∵方程有两个解，且都满足， ∴函数与函数在有两个解， ∵， ∴函数的图象必过， ∵， 当时，直线与的交点为A，即， ∴， ∴直线的解析式为，即； 当时，直线与的交点为B，即， ∴， ∴，解得：； 当时，直线与的交点为C，即， ∴， ∴，解得：； 由函数图象可得：方程有两个解，且都满足，则k的取值范围是，即③正确． 故答案为∶①③④． 16．在平面直角坐标系中，已知两条直线：和：相交于．请完成下列探究： （1）设和分别与轴交于，两点，则线段的长为_____； （2）已知直线（）分别与相交于，两点，若线段长为3，则的值为______ 【答案】 【分析】（1）先根据待定系数法求得两直线解析式，再求得直线与坐标轴的交点坐标，即可求解； （2）先求得点与点的坐标，结合题意列方程求解即可． 【详解】解：（1）∵直线：和：相交于， ∴将代入得：， 解得：； 将代入得：， 解得：； ∴直线的解析式为，直线的解析式为：； 将代入直线的解析式得：， 解得：， ∴； 将代入直线的解析式得：， 解得：， ∴， ∴， 故答案为：． （2）∵直线（）分别与相交于，两点， ∴，， ∵线段长为3， ∴， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数与坐标轴的交点坐标，两直线的交点等，熟练掌握一次函数相关性质是解题的关键． 17．观察下列式子，探究它们的规律并解决问题， ，，，……若一次函数（的正整数）图象与坐标轴围成的三角形面积记为．则_________． 【答案】12 【分析】此题为一次函数图象与坐标轴所围成的三角形面积的问题，计算结果需要利用分数裂项法进行计算． 【详解】解：当时，；当时，； ∴直线与坐标轴的交点为，， 又∵的正整数， ∴，， 当时，， 当时，， 当时，， ．．．， 当时，， ∴ ． 故答案为：12． 【点睛】本题考查一次函数与坐标轴交点问题，理解一次函数图象上点的坐标特点，以及利用裂项法探索数字变化规律是解题关键． 18．已知一次函数（a，b是常数，且），如果，有下列说法： ①它的图象经过点； ②直线与x轴的交点坐标为； ③函数图象上两点，满足，那么； ④关于x的不等式的解是； ⑤关于x的方程至少有一个实数解． 其中正确的是______（填写序号即可）． 【答案】①②③⑤ 【分析】本题考查了一次函数的性质，不等式的性质，解一元一次方程，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 利用一次函数的性质可判断①②；利用不等式的性质可判断③④；解方程可判断⑤． 【详解】解：一次函数，且， 当时，则， 它的图象经过点，故①正确； 当时，则， ， ∴直线与轴的交点坐标为，故②正确； ∵函数图象上两点满足，即增大时，减小， 随的增大而减小， ， ∵， ，故③正确； 已知，移项可得． ∵， ，代入， 不等式变为． 当，即时，，无法确定； 当，即时，，也无法确定， 故④错误． 当时，方程可化为， 即，． ∵，则， 当时，有解； 当时，，则，方程有解； 当时，方程化为，即， 同样结合，能找到使方程成立的值， 关于的方程至少有一个实数解， 故⑤正确． 综上，正确的是①②③⑤． 故答案为：①②③⑤． 19．已知关于x的一次函数与（a，b为常数，且），下列结论：①点在函数图象上；②若，则；③若，则函数一定不经过第二象限；④若函数经过点，则函数一定经过点．其中正确结论的序号是__________． 【答案】①②③④ 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质．熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征，两直线交点的坐标特征，一次函数与一元一次不等式的关系，一次函数的图象位置与系数符号的关系，是解决本题的关键． ①将点代入即可判断； ②根据列不等式，结合解不等式即可； ③若，根据，得到，，可判断一次函数的图象的位置； ④将点代入，可得，将代入，得到，再判断其是否经过即可． 【详解】将代入， 得，， ∴点在函数图象上， 故①正确； ∵， ∴， 若，则， 解得， 故②正确； 若， 又， ∴，， ∴的图象过一、三、四象限， ∴函数一定不经过第二象限， 故③正确； 将代入， 得，， ∴， ∴， 当时，， ∴一定经过点， 故④正确． 故答案为：①②③④． 20．一次函数（、为常数，）中的与的部分对应值如下表： 下列结论中一定正确的是____（填序号即可）． ①当时，；②当的值随值的增大而增大时，； ③当时，或；④当时，直线与轴相交于点，则． 【答案】①②③ 【分析】将点、代入，求出、关于的关系式，根据关系式即可判断①、②；求出该函数与轴的交点的坐标及即可判断④；分与两种情况讨论，根据即可求解，从而判断④． 【详解】解：依题得：， 解得：，， 时，， ，①正确； 当随着的值增大而增大时，， 即，， ②正确； ， ， 直线与轴相交于点， 即， ④错误； 当时，， ， ， 即，解得， 时，, , ， 即，解得， ③正确． 综上，结论中一定正确的是①②③． 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查的知识点是一次函数的图像与性质，解题关键是熟练掌握图像上两点与原点围成三角形面积的求法． 21．对于实数a，b，我们定义符号的意义为：当时，；当时，．如：，，则关于x的函数为的最大值是______． 【答案】1 【分析】根据定义先列不等式：2x-3≥-x+3和2x-3≤-x+3，确定其y=min{2x3，-x+3}对应的函数，画图象可知其最大值． 【详解】解：由题意得： ，解得：， 当2x-3≥-x+3时，x≥2， ∴当x≥2时，y=min{2x-3，-x+3}=-x+3， 此时该函数的最大值为1； 当2x-3≤-x+3时，x≤2， ∴当x≤2时，y=min{2x-3，-x+3}=2x-3， 此时该函数的最大值为1； 综上所述，y=min{2x-3，-x+3}的最大值是当x=2 所对应的y的值，即y=1， 故答案为 1． 【点睛】本题考查一次函数的性质，理解新定义内容，分情况列出函数解析式并掌握一次函数的性质是解题关键． 22．【探究发现】创新小队在学习一次函数的图象与性质时，发现一次函数的图象可以由正比例函数的图象通过上下平移或左右平移得到，于是，他们进行了如下的探究活动． (1)请你完成探究活动中的相关问题． ①将的图象向上平移4个单位，得到的直线，则的函数表达式为____________； ②请在图1平面直角坐标系中，画出直线的图象； ③观察图象，直线也可以看作由的图象向____________（填“左”或“右”）平移____________个单位得到． (2)【类比迁移】将向下平移3个单位得到的图象，相当于将向____________（填“左”或“右”）平移________个单位得到； (3)【拓展升华】将向下平移个单位得到的图象，相当于将向____________（填“左”或“右”）平移____________个单位得到． (4)【综合应用】已知一次函数的图象如图2所示，结合（1）－（3）的探究，请用无刻度的直尺和圆规在同一直角坐标系中画出的图象．（不写作法、保留作图痕迹） 【答案】(1)①；②见解析；③左，2 (2)左，9 (3)右， (4)见解析 【分析】本题考查一次函数图象的平移，以及左右平移规律的探索，关键是通过与坐标轴的交点解决． （1）①利用一次函数“上加下减”(截距增减)的平移规律，直接给的截距加4，得平移后解析式； ②求出直线与坐标轴的交点，过两点作直线即可； ③求与各自与轴的交点、，对比交点横坐标变化，确定左移2个单位； （2）先求“下减”求向下平移3个单位后的解析式，再分别求两直线与轴的交点，通过横坐标变化确定即可； （3）先求与平移后各自与轴的交点，计算横坐标差值，确定平移方向和平移距离； （4）根据“上加下减”，将上移个单位画，再根据与坐标轴的交点变化画． 【详解】（1）解：①根据“上加下减”的平移规律，直线向上平移4个单位，得； 故答案为：； ②当时，；当时，， 过点，作直线，即为直线：的图象，如图所示： ③∵直线与轴的交点是，与轴的交点是，将点向左平移2个单位得到， ∴直线可以看作由的图象向左平移2个单位得到． 故答案为：左，2； （2）解：令，解得， ∴直线与轴的交点坐标为． 将向下平移3个单位，得到． 令，解得， ∴直线与轴的交点坐标为． ∵将点向左平移9个单位得到， ∴直线相当于将向左平移9个单位得到． 故答案为：左，9； （3）解：同理，直线与轴的交点是． 直线向下平移个单位后的函数为， 令，得，解得， ∴新交点为． ∵，即点向右平移个单位得到， ∴将向下平移个单位，相当于将向右平移个单位得到． 故答案为：右，； （4）解：如图所示： 23．把函数的图象分别沿轴向上或向下平移3个单位长度，就得到函数或的图象． 【阅读理解】 小尧阅读这段文字后有个疑问：把函数的图象沿轴向右平移3个单位长度，如何求平移后的函数表达式？ 老师给了以下提示：如图1，在函数的图象上任意取两个点，分别向右平移3个单位长度，得到，直线就是函数的图象沿轴向右平移3个单位长度后得到的图象． 请你帮助小尧解决他的困难． （1）将函数的图象沿轴向右平移3个单位长度，平移后的函数表达式为___________． 【解决问题】 （2）已知某一次函数的图象与直线关于轴对称，求此一次函数的表达式． 【拓展探究】 （3）一次函数的图象绕点逆时针方向旋转后得到的图象对应的函数表达式为___________．（直接写结果） 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）平移时k的值不变，只有b发生变化．可以先确定平移后与x轴的交点坐标，然后利用待定系数法即可求得； （2）直接根据平面直角坐标系中，点关于x轴对称的特点得出答案； （3）在直线取两点，，根据旋转性质求得旋转后对应点，，然后利用待定系数法求出直线的解析式即可． 【详解】解：（1）将函数的图象沿x轴向右平移3个单位长度， 平移后与x轴的交点为，将代入中，得 ， 解得， 所以平移后的函数表达式为， 故答案为：； （2）解：在函数的图象上取两个点、， 关于x轴对称的点的坐标、， 设直线的解析式为， 把代入，得 ， ∴一次函数的表达式为； （3）解：如图，在直线上取两点，， 一次函数的图象绕点逆时针方向旋转， 点、绕点逆时针方向旋转后对应点为点、， 过点作轴于，过点作轴于，过点作于， ， ，， 由旋转可得，， ， ，， ， ， ， ， ，， 轴， 四边形是矩形， ，， ， ， 同理可求得点， 设直线解析式为， 把、代入，得 ， 解得：， ∴旋转后得到函数解析式为：． 故答案为：． 24．阅读材料，完成下列各题： 对于不与x轴、y轴平行或重合直线 ，其中k叫做直线l的斜率．若在直线l上有不重合的两点、，则斜率的计算公式为，此公式叫做斜率公式， (1)新知运用：已知点和点，求过A、B两点的直线的斜率； (2)拓展迁移：若直线 上有不重合四点、、、，求、及b之间的大小关系； (3)新知感悟：根据以上的探究，尝试证明斜率公式（使用阅读材料中的题设完成证明）． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】（1）直接利用斜率公式计算即可得； （2）先根据点、，利用斜率公式可得，再利用一次函数的增减性即可得； （3）先求出，，，再代入计算即可得证． 【详解】（1）解：由斜率公式，得． （2）解：对于直线 ， 当时，， ∴点在直线上， 由斜率公式，得， 随的增大而减小， 又点、、在直线上，且， ． （3）证明：∵、为直线 上不重合的两点，且直线不与轴平行， ∴，，， ∴． 【点睛】本题主要考查了一次函数的性质，正确理解斜率公式是解题关键． 25．（1）【知识结论】 我们知道一次函数的图象可以由直线平移个单位得到． 那么将一次函数的图象向上平移个单位长度，所得到的函数表达式为：________； （2）【拓展探究】 我们已学过平移、轴对称两种基本的图形变换，某数学小组利用平移和轴对称开展“探究一次函数图象经过图形变换后的函数表达式”的数学活动． ①（平移变换）将图1中一次函数的图象沿着轴向左平移个单位长度，求所得到的图象对应的函数表达式．小组探究发现，图象的平移就是点的平移，因此，只需要在原图象上任取两点，，将这两点沿着轴向左平移个单位长度，得到对应点，，其坐标分别为（________），（________），从而求出直线对应的函数表达式为：______________________________； ②（轴对称变换）将图1中一次函数的图象关于轴对称，所得到的图象对应的函数表达式为：________________； （3）【学以致用】 将一次函数的图象沿轴翻折，然后将翻折后的部分先向左平移个单位，再向上平移个单位，得到的函数图象对应的函数为．由和的图象组成的函数图象对应的函数为．当时，，则的取值范围为________．    【答案】（1）；（2）①，，；②；（3） 【分析】此题是一次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数解析式，平移、对称的性质，熟练掌握相关知识是解本题的关键． （1）根据平移的规律求解即可； （2）①根据坐标的平移规律求出，的坐标，进而根据待定系数法求解即可；②同①在一次函数的图象上任取两点，，求出关于轴对称的点，进而根据待定系数法求解即可； （3）同（2）方法求出，可知，分三种情况求出的值，可知，，求出在的取值范围，进而可知中的取值范围，进而可知的范围． 【详解】解：（1）将一次函数的图象向上平移个单位长度，所得到的函数表达式为， 故答案为：； （2）①，两点沿着轴向左平移个单位长度，得到对应点，， 设直线的解析式为，将点，代入得， 解得， 直线对应的函数表达式为， 故答案为：，，； ②在一次函数的图象上任取两点，，则，两点关于轴的对称点为，， 设直线的解析式为，将，代入得， 解得， 直线的解析式为，即一次函数的图象关于轴对称的函数表达式为， 故答案为：； （3） ， 函数与轴交点为，与轴交于点． 这两点关于轴对称的对称点坐标分别为，． 将其向左平移个单位，再向上平移个单位得到对应点的坐标分别为， 函数的解析式为． ， 当时， ， 随的增大而减小． 当时，， 当时，代入，得到， ， ，矛盾，不合题意，舍去； 当，即时， ， 随的增大而增大， 当时，， ， ，不合题意，舍去； 当，即时， 由图象知函数最小值为． ， ， ，， ， 当时，， 当时，， 当时，，则， 当时，，则， ， ．    26．我们将等腰直角三角板放在平面直角坐标系中进行探究： (1)操作思考：如图1，在平面直角坐标系中，等腰直角 的直角顶点C在原点，若顶点A恰好落在点处，则点B的坐标为______ (2)类比探究：如图2，等腰直角的直角顶点C在点处，已知B的坐标为，点P为直线上的动点，请问是否存在点P使得？若存在，请求出点P的横坐标； (3)拓展应用：如图3，O为坐标原点，A的坐标为，D的坐标为，已知点Q是第三象限的点，若是等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标． 【答案】(1) (2)点P的横坐标为3或 (3)或 【分析】（1）过作轴于，过作轴于，证明，即可求解； （2）在中，，再求得直线的解析式为，设，结合两点间的距离公式列出方程，即可求解； （3）过点作轴，作；过点作轴，作；点是中点，过点作轴，作，分类讨论即可求解． 【详解】（1）解：过作轴于，过作轴于，如图： ∵，即， ∴ 在与中， ∵ ∴， ∴； （2）解：∵等腰直角的直角顶点C在点处，已知B的坐标为，如图； ∴， ∴在中， ∵ ∴ 设直线的解析式为， ∴， 解得 ∴直线的解析式为 设 ∴ ； 解得：或， ∴点P的横坐标为3或. （3）解：①如图；过点作轴，作， ∵是等腰直角三角形，由（1）可得 ∴ ∵A的坐标为，D的坐标为 ∴ ∴ ②如图；过点作轴，作， ∵是等腰直角三角形，由（1）可得 ∴ ∵A的坐标为，D的坐标为 ∴ ∴，不在第三象限；故不符合题意； ③如图；点是中点，过点作轴，作， ∵是等腰直角三角形，点是中点，由（1）可得 ∴ ∵A的坐标为，D的坐标为 ∴点的坐标为， ∴ ∴ ∴综上所述或． 【点睛】注意分类讨论思想和一线三垂直模型的应用． 27．综合与实践 问题情境： 如图1，在平面直角坐标系中，直线交轴于点A ，交轴于点B，过点B的直线交轴正半轴于点C．    初步探究： (1)当时，求直线的函数解析式； 深入探究： (2)在（1）的基础上，将沿着 方向平移到如图2的位置，得到，线段与交于点G，若G恰好是的中点，求平移的距离； 拓展延伸： (3)如图3，将沿着 翻折，得到四边形为菱形，继续沿着方向平移，得到，连，．试探究：在平移的过程中，四边形是否能成为矩形，若能求出平移的距离；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)平移的距离为 (3)能，平移的距离为6 【分析】（1）先求出点A和点B的坐标，设，在中，利用勾股定理列方程求出x，然后用待定系数法即可求出直线的函数解析式； （2）取的中点H，连接，利用三角形的中位线求出的长即可求解； （3）连接，设平移的距离为，则，在中，根据列方程求解即可． 【详解】（1）解：当时，由得 ∴ ∴ 当时， ∴ ∴ 设 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 在中 ∴ ∴ ∴ 设直线的解析式为 把，分别代入中 ∴ ∴直线的解析式为 （2）解：取的中点H，连接 ∵G是的中点    ∴， ∵ ∴ ∴GH= 由平移可得： ∴四边形是平行四边形 ∴ ∴平移的距离为 （3）解：能．连接，    设平移的距离为 则 ∵四边形为菱形 ∴， ，， ∴ ∴ 由平移性质得， ∴， ∴四边形为平行四边形 ∴当时，四边形为矩形 在中 ∴ ∴ ∴平移的距离为6 【点睛】本题考查了一次函数图象与坐标轴的交点，待定系数法求函数解析式，等腰三角形的判定，勾股定理，菱形的性质，矩形的判定，以及平移的性质，数形结合是解答本题的关键． 28．在学习了《中心对称图形》一章后，小明对特殊四边形的探究产生了浓厚的兴趣，他发现除了已经学过的四边形外，还有很多比较特殊的四边形，勇于创新的他大胆地作出这样的定义：有一个内角是直角，且对角线互相垂直的四边形称为“双直四边形”． 【性质探究】 (1)下列关于“双直四边形”的说法，正确的有 （填序号）． ①“双直四边形”的对角线不可能相等； ②“双直四边形”的面积等于对角线乘积的一半； ③若一个“双直四边形”是中心对称图形，则其一定是正方形． 【判定探究】 (2)如图1，在矩形中，点E、F分别在边上，连接，若，证明：四边形为“双直四边形”． 【拓展提升】 (3)如图2，在平面直角坐标系中，已知，点B在线段上，且，是否存在点D在第一象限，使得四边形为“双直四边形”且面积最大，若存在，求出此时点D的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)②③ (2)见解析 (3)存在， 【分析】（1）由““双直四边形”的定义依次判断即可解答； （2）由““SAS”可证，可得，进而求得，，进而证明结论； （3）先求出的解析式，再分两种情况讨论，将点D横坐标代入即可解答． 【详解】（1）解：∵有一个内角是直角，且对角线互相垂直的四边形称为“双直四边形”， ∴正方形是“双直四边形”， ∴双直四边形”的对角线可能相等，故①不符合题意； “双直四边形”的面积等于对角线乘积的一半，故②符合题意； ∵中心对称的四边形是平行四边形，且有一个内角是直角，对角线互相垂直， ∴这样的“双直四边形”是正方形，故③选项符合题意． 故答案为：②③； （2）证明：连接，交于点O， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，   ∴， ∴， 又∵， ∴四边形为双直四边形． （3）解：存在点D在第一象限，使得四边形为“双直四边形”且面积最大， 如图，设与交于点H， ∵点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点； ∵四边形为“双直四边形”， ∴， ∵，   ∴，即点H是的中点， ∵点， ∴点， 设直线的解析式为, 则：，解得：， ∴直线的解析式为， 当时，点D的横坐标为16， ∴， ∴点， 当时， ∵， ∴是的垂直平分线，   ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴点， 综上所述：点D的坐标． 【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、一次函数的应用等知识点，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $