第5章 专题11 勾股定理中的思想方法（作业课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年新教材八年级数学上册同步备课（湘教版2024）

该初中数学课件聚焦八年级上册“直角三角形”专题，核心讲解勾股定理中的方程思想、分类讨论思想及转化思想，通过折叠问题、动点问题等典例导入，衔接直角三角形性质与勾股定理应用，构建思想方法学习支架。 其亮点在于典例精讲与变式训练结合，如方程思想解长方形折叠面积（例1）、分类讨论动点直角三角形（例3），体现数学思维的推理与运算能力，方法总结系统，助力学生提升问题解决能力，为教师提供高效教学资源。

2025秋季学期 《学练优》·八年级数学上·XJ 第5章　直角三角形 专题11　勾股定理中的思想方法 [典例精讲] 例1：方程思想单勾股如下图，长方形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将长方形沿AC折叠，点D落在点D'处，求重叠部分△AFC的面积. 解：由题意知AD'＝AD＝BC＝4. 易证△AFD'≌△CFB，所以D'F＝BF. 设D'F＝BF＝x，则AF＝8－x. 在Rt△AFD'中，(8－x)2＝x2＋42，解得x＝3. 所以AF＝5.所以S△AFC＝ AF·BC＝ ×5×4＝10. 方法总结 　　解决折叠或垂直平分线问题的关键是抓住对称 性，利用线段相等，再由勾股定理列出方程，运用 方程思想解决问题. 例2：方程思想 双勾股 如下图，在△ABC中，BC ＝4，AC＝13，AB＝15，求S△ABC的值. 解：如图，过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点D， 设CD＝x. 因为AD2＝AC2－CD2＝AB2－BD2， 所以132－x2＝152－(4＋x)2. 所以x＝5.所以CD＝5. 所以AD＝ ＝12. 所以S△ABC＝ BC·AD＝24. 方法总结 　　在解决非直角三角形问题中，往往需要构造直 角三角形，当几个直角三角形出现共边时，常常考 虑多次运用勾股定理来建立方程解决. 变式训练 1. 如下图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝ 12，BC＝18，DE是线段AB的垂直平分线，分别 交BC，AB于点D，E，则BD的长为(　C　) A. 8 B. 10 C. 13 D. 15 C 2 3 4 5 6 1 2. (2024·长沙期末)如下图，在△ABC中，已知AB＝AC，D是AB边上的一点，CD＝3，BC＝ ，BD＝1. (1)求证：△BCD是直角三角形； (1)证明：因为CD＝3，BC＝ ，BD＝1， 所以CD2＋BD2＝32＋12＝10＝BC2. 所以△BCD是直角三角形. 2 3 4 5 6 1 如下图，在△ABC中，已知AB＝AC，D是AB边上的 一点，CD＝3，BC＝ ，BD＝1. (2)求△ABC的面积. (2)解：由(1)知△BCD是直角三角形，且∠BDC＝90°. 所以∠ADC＝90°.设AC＝x，则AD＝x－1. 因为CD2＋AD2＝AC2， 所以32＋(x－1)2＝x2，解得x＝5. 所以AB＝AC＝5. 所以△ABC的面积是 ＝ ＝ . 2 3 4 5 6 1 3. (2024·北京朝阳区期中)如下图，A，B，H是直线l上的三个点，AC⊥l于点A，BD⊥l于点B，HC＝HD，AB＝5，AC＝2，BD＝3，求AH的长. 2 3 4 5 6 1 解：因为AC⊥l于点A，BD⊥l于点B， 所以∠CAH＝∠HBD＝90°. 因为A，B，H是直线l上的三个点， 所以AH＋BH＝AB＝5.所以BH＝5－AH. 在Rt△ACH中，AC2＋AH2＝CH2，即4＋AH2＝ CH2. 在Rt△BHD中，BH2＋BD2＝DH2，即(5－AH)2＋ 9＝DH2. 因为HC＝HD，所以4＋AH2＝(5－AH)2＋9.所以 AH＝3. 解：因为AC⊥l于点A，BD⊥l于点B， 所以∠CAH＝∠HBD＝90°. 因为A，B，H是直线l上的三个点， 所以AH＋BH＝AB＝5.所以BH＝5－AH. 在Rt△ACH中，AC2＋AH2＝CH2，即4＋AH2＝CH2. 在Rt△BHD中，BH2＋BD2＝DH2，即(5－AH)2＋ 9 ＝DH2. 因为HC＝HD，所以4＋AH2＝(5－AH)2＋9. 所以AH＝3. 2 3 4 5 6 1 [典例精讲] 例3：分类讨论思想 直角不明 如下图，在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，动点 P从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度移动，设运 动的时间为ts. (1)BC边的长为 cm； 4　 2 3 4 5 6 1 (2)当△ABP为直角三角形时，求t的值. 解：由题意知BP＝tcm.分两种情况： 解：由题意知BP＝tcm.分两种情况： ①当∠APB为直角时，点P与点C重合， BP＝BC＝4cm，即t＝4. ②当∠BAP为直角时，BP＝tcm，CP＝(t－4)cm. 在Rt△ACP中，AP2＝32＋(t－4)2， 在Rt△BAP中，AB2＋AP2＝BP2， 即52＋[32＋(t－4)2]＝t2，解得t＝ . 故当△ABP为直角三角形时，t的值为4或 . 2 3 4 5 6 1 方法总结 　　(1)直角边和斜边不明时需分类讨论；(2)已知三 角形两边a，b及第三边上的高h的长，不明确三角 形形状时，应分以下两种情况讨论： 2 3 4 5 6 1 变式训练 4. 已知Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，则Rt△ABC的面积为 ⁠. 5. 在△ABC中，AB＝13，AC＝15，BC边上的高 AD＝12，则BC＝ ⁠. 6或 　 14或4　 2 3 4 5 6 1 [典例精讲] 例4：通性通法转化思想右图是一个三级台阶，它的 每一级的长、宽、高分别为20dm，3dm，2dm，点 A和点B是这个台阶两个相对的端点，点A处有一 只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着 台阶面爬到点B的最短路程是 dm. 25　 2 3 4 5 6 1 变式训练 6. 如右图，圆柱形玻璃杯的杯高为9cm，底面周长 为16cm，在杯内壁离杯底4cm的点A处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿1cm，且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁 从外壁B处到内壁A处所走的最短路程 为 cm.(杯壁厚度不计) 10　 2 3 4 5 6 1 方法总结 长方体：A→F 说明：若BC＜AB＜AD，则图①路线为最短路径. 2 3 4 5 6 1 圆柱：A→B(A，B两点同在容器内壁或容器外壁) 2 3 4 5 6 1 此时，从A到B的最短距离为A'B的长. A→B(A，B其中一点在容器内壁，另一点在容器 外壁) 2 3 4 5 6 1 $