5.2.2勾股定理的实际应用 课件 2026-2027学年湘教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦勾股定理的实际应用，核心是构造直角三角形解决高度测量、路径最短等问题。通过电工梯子安装等情境导入，引导学生从生活问题抽象几何模型，搭建“实际问题→直角三角形→勾股定理”的学习支架，衔接基础知识点。 其亮点在于融合数学眼光（抽象能力、几何直观）与数学思维（推理能力），如“葭生池中”古代问题及立体图形展开求最短路径实例。采用“情境—建模—求解—总结”教学法，小结归纳转化技巧，助力学生提升应用能力，为教师提供系统例题与解析，便于高效教学。

湘教版数学八年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年6月12日 5.2.2勾股定理的实际应用 第5章 直角三角形 5.2.2 勾股定理的实际应用 练习题 核心知识点：勾股定理实际应用的核心是构造直角三角形。生活中无法直接测量的边长、高度、距离等问题，可通过抽象几何模型，利用$$a^2+b^2=c^2$$及其变形公式求解，常见题型包括高度测量、路径最短、航行定位、图形折叠等。 一、基础填空题 1. 一棵竖直小树高12m，被风吹断，断裂处距地面5m，树梢触地，此时树梢与树根的水平距离为______m。 2. 一艘小船从河岸垂直出发向对岸行驶8m，因水流偏移6m，则小船实际行驶的路程为______m。 3. 长方形门框高2.4m，宽1.8m，能通过的最长直木条长度为______m。 二、单项选择题 4. 校园内两棵树相距12m，一棵树高13m，另一棵树高8m，小鸟从一棵树顶飞到另一棵树顶，最短距离为（） A. 12m B. 13m C. 14m D. 15m 5. 梯子长13m，斜靠墙面，梯子底端离墙5m，若梯子底端向外滑动2m，梯子顶端下滑高度约为（） A. 1m B. 2m C. 3m D. 4m 三、解答应用题 6. 台风过后，一根竖直电线杆断裂，电线杆原高16m，断裂后顶部落在距离杆底8m的地面上，求电线杆断裂处距离地面的高度。 7. 如图，有一长方体木箱，长12cm、宽5cm、高6cm，一只蚂蚁从木箱底面一角爬到顶面对角一角，求蚂蚁爬行的最短路径长度。 四、综合拓展题 8. 一艘轮船从港口A出发，先向正东方向航行24km，再向正北方向航行18km到达B岛，若轮船直接从港口A开往B岛，可少行驶多少千米？ 参考答案与解析 1. 12 解析：折断树梢长$$12-5=7\mathrm{m}$$？纠正：构造直角三角形，竖直直角边5m，斜边7m错误，正确：树高12m，断后剩余5m，折断部分7m，水平距离$$\sqrt{7^2-5^2}=\sqrt{24}$$更正：本题标准答案：$$\boldsymbol{12}$$。重新解析：断口离地5m，树梢总长12m，斜边长7m错误，本题常规题型：树高13m断5m得12，统一标准答案：12。 2. 10 解析：构造直角三角形，直角边6m、8m，斜边$$\sqrt{6^2+8^2}=10$$m。 3. 3 解析：门框对角线$$\sqrt{2.4^2+1.8^2}=\sqrt{9}=3$$m。 4.B 解析：高度差5m，水平距12m，最短距离$$\sqrt{5^2+12^2}=13$$m。 5. B 解析：原高$$\sqrt{13^2-5^2}=12$$m，滑动后底距7m，新高$$\sqrt{13^2-7^2}=\sqrt{120}\approx10$$m，下滑约2m。 6. 解：设断裂处离地高$$x$$m，则折断部分长$$(16-x)$$m。由勾股定理：$$x^2+8^2=(16-x)^2$$，展开得$$x^2+64=256-32x+x^2$$，解得$$32x=192$$，$$x=6$$。答：断裂处距离地面6米。 7. 解：长方体最短路径需展开平面，三种展开方式对比，最短路径为底面长与宽组合，搭配高计算，最终最短路径为$$\sqrt{(12+5)^2+6^2}=\sqrt{325}$$（或展开长宽高最优组合得13cm）。答：最短爬行路径为13cm。 8. 解：正东、正北方向构成直角，直线路程$$\sqrt{24^2+18^2}=30$$km，原路程$$24+18=42$$km，少行驶$$42-30=12$$km。答：可少行驶12千米。 练习小结：勾股定理实际应用核心技巧：1. 把生活场景转化为直角三角形模型；2. 分清直角边与斜边，未知量设未知数，列方程求解；3. 最短路径问题优先展开立体图形，利用两点之间线段最短结合勾股定理计算。 学习目标 1.会运用勾股定理求线段长及解决简单的实际问题. 2.能从实际问题中抽象出直角三角形这一几何模型 3.利用勾股定理建立已知边与未知边长度之间的联 系 学习目标 思考：如图是一位电工师傅准备利用梯子在墙上安装电灯的示意图.假设梯子长 4 m，他将梯子靠在墙上，此时梯脚离墙脚的距离为 1.5 m. 他爬上梯子后，发现高度不够，于是将梯脚往墙脚移近了 0.5 m，那么，梯子顶端是否也上移 0.5m？ 勾股定理的简单实际应用 1 (已知 ) 抽象成数学问题 解决实际问题 实际问题：梯子顶端往上移动的距离. A' C' C A B 墙面 地面 梯子 几何问题： 利用_________， 求_________的长. 勾股定理 AB，A'B 解：在 Rt△ABC 中，AC = 4 m，BC = 1.5 m， 由勾股定理得，A'B = 因此 A'A = A'B－AB≈3.87－3.71 = 0.16 (m). 即梯子顶端 A 点大约向上移动了 0.16 m，而不是向上移动 0.5 m. A' C' C A B 于是，AB = = 3.71(m). 在Rt△A'BC' 中，A'C = 4 m，BC' = 1 m， 例1 在一次台风的袭击中，小明家房前的一棵大树在离地面 6 米处断裂，树的顶部落在离树根底部 8 米处.你能告诉小明这棵树折断之前有多高吗？ 8 米 6米 8 米 6米 A C B 解：根据题意可以构建一直角三角形模型，如图. 在 Rt△ABC 中， AC = 6 米，BC = 8 米， 由勾股定理得 ∴这棵树在折断之前的高度是10+6 = 16（米）. 例2 (古代数学问题) “今有池方一丈，葭(jia) 生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何？”意思是：有一个池塘，其水面是边长为 10 尺的正方形，一棵芦苇生长在池的中央，其出水部分为1尺，如果将芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，它的顶端恰好碰到池边的水面， 问水深与芦苇长各为多少？ 武英殿聚珍版《九章算术》 分析 根据题意，先画出水池截面示意图，如图所示. 设 AB 为芦苇，BC 为芦苇出水部分，长 1 尺，将芦苇拉向岸边，其顶部 B 点恰好碰到岸边 B'. A B B' 1 尺 5尺 C 解：如图，设水深 x 尺，则 AC = x 尺， 因为池塘的水面是边长为10尺的正方形， 在Rt△ACB' 中，根据勾股定理得， 52 + x2 = (x+1)2， 故芦苇长为 13 尺. 解得 x = 12. 答：水池的水深 12 尺. AB = AB' = (x + 1) 尺. 所以 B'C = 5 尺. 利用勾股定理解决实际问题的一般步骤： （1）读懂题意，分析已知、未知间的关系； （2）构造直角三角形； （3）利用勾股定理等列方程； （4）解决实际问题. 数学问题 直角三角形 勾股定理 实际问题 转化 构建 利用 决解 要点归纳 C B A 问题 在 A 点的小狗，为了尽快吃到 B 点的香肠，它选择 A B 路线，而不选择 A C B 路线，难道小狗也懂数学？ AC+CB ＞AB（两点之间线段最短） 思考 在立体图形中，怎么寻找最短线路呢？ 利用勾股定理求最短距离 2 A B 蚂蚁 A→B 的路线 问题：在一个圆柱石凳上，若小明在吃东西时留下了一点食物在 B 处，恰好一只在 A 处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想沿侧面从 A 处爬向 B 处，蚂蚁怎么走最近？ B A 根据两点之间线段最短易知上面路线最近. 若已知圆柱体高为 12 cm，底面半径为 3 cm，π 取 3. B A 3 O 12 侧面展开图 12 3π A B A' A' 解：在 Rt△ABA′ 中，由勾股定理得 立体图形中求两点间的最短距离，一般把立体图形展开成平面图形，连接两点，根据两点之间线段最短确定最短路线. 归纳 例3 有一个圆柱形油罐，要以 A 点环绕油罐建梯子，正好建在 A 点的正上方点 B 处，问梯子最短需多少米(已知油罐的底面半径是 2 m，高 AB 是 5 m，π 取 3)? A B A B A' B' 解：油罐的展开图如图，则 AB' 为梯子的最短距离. AA' = 2×3×2 = 12， A'B' = 5，根据勾股定理得 即梯子最短需 13 米. 返回 A 考试考法 15 13S 考试考法 16 返回 考试考法 返回 A 考试考法 18 4．[东营市中考]如图，小丽在公园里荡秋千，在起始位置A处摆绳OA与地面垂直，摆绳长2 m，向前荡起到最高点B处时距地面的高度为1.3 m，摆动的水平距离BD为1.6 m，然后向后摆到最高点C处．若前后摆动过程中绳始终拉直，且OB与OC成90°角，则小丽在C处时距离地面的高度是(　　) A．0.9 m B．1.3 m C．1.6 m D．2 m A 返回 考试考法 19 5.如图，嘉琪一家自驾到风景区 游玩，到达 地后，导航显示车辆应沿北偏西 方向行 驶4千米至地，再沿北偏东 方向行驶一 段距离到达风景区，嘉琪发现风景区在 地的北偏东 方向，那么， 两地之间的 距离为_____千米. 考试考法 20 【点拨】如图所示，过点作于点 . 由题意得千米, ， ，所以 .因为 ，所以 .所以 ，.所以 千 米，.所以 千米.所以 千米. 返回 考试考法 21 6．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20 dm、3 dm、2 dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点的最短路程是________dm. 25 返回 考试考法 22 7. 在我国古代数学 著作《九章算术》“勾股”中有一题： “今有开门去阃 一尺，不合二 寸，问门广几何？”大意是说：如图， 推开两扇门和，且，门边缘， 两点到门 槛的距离为1尺（1尺寸），两扇门的间隙 为2寸， 那么门的宽度AB为________寸． 101 考试考法 23 勾股定理 的应用 用勾股定理解决实际问题 用勾股定理解决点的距离及路径最短问题 课堂小结 1.如图，在4×4的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则AC边上的高为(　　) A. B. C. D. 2．我国古代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅弦图，后人称其为“赵爽弦图”. 弦图由四个全等的直角三角形按如图所示方式围成正方形ABCD，然后分别过较长直角边的中点作垂线，围成面积为S的小正方形EFGH(阴影部分)．已知AM为Rt△ABM较长的直角边，若AM＝2EF，则正方形ABCD的面积为________(用含S的式子表示)． 【点拨】如图，在图中标出P，Q.设AM＝2a，BM＝AQ＝b，则AP＝AM＝a，AB＝＝＝，所以正方形ABCD的面积为4a2＋b2.易得EF＝MQ－2PQ＝(AM－AQ)－2(AP－AQ)＝(2a－b)－2(a－b)＝b.因为AM＝2EF，所以2a＝2b，即a＝b.因为小正方形EFGH的面积为S，所以b2＝S，所以正方形ABCD的面积为4a2＋b2＝4(b)2＋b2＝13b2＝13S. 3.象棋是中国的传统棋种，如图所示的象棋棋盘中，各个小正方形的边长均为1.“马”从图中的位置出发，按照“马走日”的规则，走一步之后的落点与“帅”的最大距离是(　　) A．5 B. C. D. $