第5章 直角三角形【章末复习】（培优课件）2026-2027学年湘教版数学八年级上册

该初中数学课件系统梳理了直角三角形的核心知识，包括性质（含30°角、斜边中线）、勾股定理及逆定理、HL全等判定、角平分线性质与判定，通过核心知识汇总和章节复习小结构建知识网络，体现知识点间的逻辑联系。 其亮点在于分层设计练习，从基础填空到综合应用，如台风电线杆问题用勾股定理建模培养模型意识，HL全等证明题提升推理能力，错题笔记助力查漏补缺。这种设计帮助学生巩固知识，教师可精准教学，提升复习效率。

湘教版数学八年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年6月12日 章末复习 第5章 直角三角形 第5章 直角三角形 综合练习题 第五章核心知识汇总：本章重点包含直角三角形性质、含30°角直角三角形性质、勾股定理及逆定理、直角三角形全等判定（HL）、角平分线性质及逆定理。所有题型围绕章节核心考点设计，适配单元巩固、随堂检测、期末复习。 一、基础填空题（每空3分，共18分） 1. 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，若斜边AB=10，则30°角所对的直角边BC=______。 2. 直角三角形两直角边长为5、12，则斜边长为______。 3. 三边长为9、12、15的三角形______（填“是”或“不是”）直角三角形。 4. 直角三角形全等的专属判定定理是______定理。 5. 角平分线上的点到角两边的______相等。 6. 在角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的______上。 二、单项选择题（每题4分，共20分） 7. 下列关于直角三角形的性质说法错误的是（） A. 直角三角形两锐角互余 B. 30°角对的直角边等于斜边一半 C. 斜边中线等于斜边的一半 D. 任意两边平方和等于第三边平方 8. 下列各组数中，不属于勾股数的是（） A. 6、8、10 B. 7、24、25 C. 5、7、9 D. 9、12、15 9. 判定两个直角三角形全等，不能使用的条件是（） A. HL B. AAA C. SAS D. AAS 10. 点P在∠AOB内部，PM⊥OA，PN⊥OB，若PM=PN，则（） A. OP=OA B. OP平分∠AOB C. OP⊥AB D. ∠AOB=90° 11. 一棵大树折断后，折断部分与地面成30°角，树干剩余高4m，则折断部分长度为（） A. 4m B. 8m C. 10m D. 12m 三、基础解答题（每题8分，共32分） 12. 在Rt△ABC中，∠C=90°，a=8，b=15，求斜边c和三角形周长。 13. 已知三角形三边长为12、16、20，求证该三角形是直角三角形。 14. 已知：AC⊥BC，AD⊥BD，AC=BD，求证：Rt△ABC≌Rt△BAD。 15. 如图，AD平分∠BAC，DB⊥AB，DC⊥AC，求证：DB=DC。 四、综合应用题（每题15分，共30分） 16. 台风导致电线杆断裂，电线杆原高18m，断裂后顶端落地点距离杆底12m，求电线杆断裂处距离地面的高度。 17. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，CD=4，AB=15，求△ABD的面积。 参考答案与详细解析 1. 5 解析：含30°角直角三角形性质，30°对直角边=斜边的一半。 2. 13 解析：勾股定理$$5^2+12^2=13^2$$。 3. 是 解析：$$9^2+12^2=15^2$$，满足勾股定理逆定理。 4. HL（斜边、直角边） 解析：直角三角形独有全等判定定理。 5. 距离 解析：角平分线性质定理核心内容。 6. 平分线 解析：角平分线逆定理核心定义。 7. D 解析：勾股定理仅适用两直角边平方和等于斜边平方，并非任意两边。 8. C 解析：$$5^2+7^2 eq9^2$$，无法构成直角三角形，不是勾股数。 9. B 解析：AAA只能判定相似，无法判定三角形全等。 10. B 解析：依据角平分线逆定理，等距证平分。 11. B 解析：30°角对直角边为4m，斜边（折断部分）=8m。 12. 解：由勾股定理得$$c=\sqrt{8^2+15^2}=\sqrt{289}=17$$，周长=8+15+17=40。答：斜边为17，周长为40。 13. 证明：最长边为20，$$12^2+16^2=144+256=400=20^2$$，满足勾股定理逆定理，故此三角形为直角三角形。 14. 证明：∵AC⊥BC，AD⊥BD，∴∠C=∠D=90°。在Rt△ABC和Rt△BAD中，AB=BA（公共边），AC=BD（已知），∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL）。 15. 证明：∵AD平分∠BAC，DB⊥AB，DC⊥AC，根据角平分线性质定理，角平分线上的点到角两边距离相等，∴DB=DC。 16. 解：设断裂处离地高$$x$$m，则折断部分长$$(18-x)$$m。由勾股定理：$$x^2+12^2=(18-x)^2$$，展开化简得$$x^2+144=324-36x+x^2$$，解得$$x=5$$。答：断裂处距离地面5米。 17. 解：∵AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB，∴DE=CD=4。$$S_{\triangle ABD}=\frac12\times AB\times DE=\frac12\times15\times4=30$$。答：△ABD面积为30。 章节复习小结：本章解题核心思路：1. 含30°直角三角形优先用边长倍数关系快速计算；2. 边长判定用勾股定理，边长计算用勾股定理公式；3. 直角三角形全等优先用HL简化证明；4. 角平分线问题牢记“平分得等距、等距证平分”，规避重复证全等的繁琐步骤。 直角三角形的性质定理1 直角三角形的两个锐角______. 互余 直角三角形的判定定理1 有两个角______的三角形是直角三角形. 互余 一、直角三角形的性质与判定 概念梳理 直角三角形的重要推论 1. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的_____. 一半 2. 在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的_____. 一半 3. 在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于____°. 30 1. 如果直角三角形两直角边分别为 a，b，斜边 为 c，那么 a2 + b2 = c2 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 在直角三角形中才可以运用. 2. 勾股定理的应用条件 二、勾股定理 3. 勾股定理表达式的常见变形： a2＝c2－b2， b2＝c2－a2， A B C c a b 三、勾股定理的逆定理 1. 勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2 + b2 = c2 ， 那么这个三角形是直角三角形. 满足 a2 + b2 = c2 的三个正整数，称为勾股数. 2. 勾股数 A B C c a b 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等. 简写成“斜边，直角边”或“HL”. A B C D E F 注意：①对应相等； ②“HL”仅适用直角三角形； ③书写格式应为: ∵在 Rt△ABC 和 Rt△DEF 中， AB = DE， AC = DF， ∴Rt△ABC≌Rt△DEF (HL). 四、直角三角形全等的判定 图形 已知 条件 结论 P C P C OP 平分∠AOB PD ⊥ OA 于 D PE ⊥ OB 于 E PD = PE OP 平分 ∠AOB PD = PE PD⊥ OA 于 D PE ⊥ OB 于 E 角的平分线的判定 角的平分线的性质 五、 角平分线的性质与判定 1. 如图是脊柱侧弯的检测 示意图，在体检时为方便测出角 的大小，需将 转化为与它相等的角， 则图中与 相等的角是( ) B A. B. C. D. 返回 考试考法 8 2．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，点D，E分别在边AC，BC上，且DC＝DE，BE的垂直平分线交AB于点F，交BE于点G，连接EF，DF. (1)试判断△DEF的形状，并说明理由． 【解】△DEF是直角三角形，理由如下： 因为FG是线段BE的垂直平分线，所以BF＝EF， 所以∠B＝∠FEB.因为DC＝DE，所以∠DEC＝∠C. 因为∠A＝90°，所以∠B＋∠C＝90°， 所以∠FEB＋∠DEC＝90°， 所以∠DEF＝90°，所以△DEF是直角三角形． 考试考法 9 返回 (2)若∠B∠C＝711，求∠ADE的度数． 【解】因为∠B∠C＝711，所以可设∠B＝(7x)°，∠C＝(11x)°. 因为∠B＋∠C＝90°，所以7x＋11x＝90，解得x＝5， 所以∠C＝55°.所以∠DEC＝∠C＝55°， 所以∠ADE＝∠DEC＋∠C＝110°. 考试考法 10 返回 108° 考试考法 11 返回 4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边的中线，点E在BC上，且CE＝AC，∠BAE＝15°，则∠DEB的大小为(　　) A．125° B．75° C．105° D．115° C 考试考法 12 返回 5. 如图，△ABC中，∠A＝∠C＝30°，AB＝12，点D是AC边上的动点，连接DB，以DB为边在其左侧作等边三角形BDE，在点D的运动过程中，线段AC的中点M与点E距离的最小值为________． 3 考试考法 13 6. [黄冈市竞赛]如图，在直线l上依次摆放七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别为1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1＋2S2＋2S3＋S4＝(　　) A．5 B．4 C．6 D．16 C 考试考法 14 返回 【点拨】先根据正方形中∠ABD＝90°，AB＝DB.可证得△ABC≌△BDE，于是有AC＝BE，再利用勾股定理，得DE2＋BE2＝BD2，即DE2＋AC2＝BD2.所以S1＋S2＝1.同理，S2＋S3＝2，S3＋S4＝3.所以S1＋2S2＋2S3＋S4＝1＋2＋3＝6. 考试考法 7. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，M为边AB的中点，点D在边BC上．过点M作ME⊥MD于点M，与边AC交于点E，连接DE，探究线段AE，DE，DB之间满足什么数量关系？并说明理由． 【解】方法1：ED2＝AE2＋BD2.理由如下： 如图①，作AN∥BC交DM的延长线于点N，连接EN， 所以∠NAM＝∠B，∠ANM＝∠BDM. 考试考法 16 因为M为边AB的中点，所以AM＝BM. 所以△ANM≌△BDM，所以AN＝BD，MN＝MD. 又因为ME⊥MD，所以ME是线段DN的垂直平分线，所以ED＝EN. 因为∠C＝90°，AN∥BC，所以∠EAN＝90°， 所以EN2＝AE2＋AN2，所以ED2＝AE2＋BD2. 考试考法 17 方法2：ED2＝AE2＋BD2.理由如下： 如图②，延长EM到点E′，使得EM＝ME′，连接DE′，BE′，则∠EMD＝∠E′MD＝90°. 又因为EM＝E′M，MD＝MD， 所以△EMD≌△E′MD， 所以DE＝DE′. 因为M为AB的中点，所以AM＝BM. 考试考法 18 返回 在△AEM和△BE′M中，AM＝BM，∠AME＝∠BME′，EM＝E′M，所以△AEM≌△BE′M， 所以AE＝BE′，∠AEM＝∠BE′M，所以AC∥BE′. 因为∠C＝90°，所以∠E′BD＝90°. 在Rt△DBE′中，BD2＋E′B2＝E′D2. 所以ED2＝AE2＋BD2. 考试考法 19 8. 如图，在四边形ABCD中，AC为∠BAD的平分线，过点C作CF⊥AD，已知CB＝CD.若CF＝6，AB＝4，S△ACD＝21，则DF的长为________． 返回 考试考法 20 9. 如图，在 中，，， 为的中点，为 的角 平分线，的面积记为 ， B A. 13 B. C. D. 的面积记为，则 为 ( ) 考试考法 21 【点拨】如图，过分别作于 ， 于.因为为 的角平分线， 所以，所以 . 所以.因为， , 所以 ，所以 .因为是 的中点，所以 ， 返回 考试考法 22 10. 如图，在△ABC中，AB＝5，BC＝4，AC＝3，点O是△ABC三条角平分线的交点，则△BCO的边BC上的高是________． 1 【点拨】过O作OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，OD⊥AB于D，如图．因为在△ABC中，AB＝5，BC＝4，AC＝3，所以BC2＋AC2＝42＋32＝25，AB2＝52＝25，所以BC2＋AC2＝AB2，所以△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°.因为点O为△ABC三条角平分线的交点，所以OE＝OF＝OD. 考试考法 23 返回 考试考法 11. 在中， ，， 是的角平分线，它们相交于点 . （1）如图①，连接，求证：点在 的平分线上； 考试考法 25 【证明】如图①，过点分别作，， 的垂线段，垂足 分别为点，， . 因为，是的角平分线，所以， ， 所以，所以点在 的平分线上. 考试考法 26 （2）如图②，延长交于点，过点 作于点，于点 .求证： . 考试考法 27 如图②，过点作交的延长线于点 . 因为是的平分线， ， 所以 . 因为 ，所以 . 因为是 的平分线， 所以 ， 所以，所以是 的平分线. 又因为,所以，所以 . 返回 考试考法 28 12.如图，在一张长方形纸板 上 放着一个长方体木块.已知 ， ，该木块的 长与平行，横截面是边长为 的 正方形，则一只蚂蚁从点爬过木块到达点 需要走的最短路 程为________. 返回 考试考法 29 13.如图，在中， ， ，，为上一点，若 是 的平分线，则 ___. 5 考试考法 30 【点拨】如图，过点作于点 . 因为 ，所以.又因为 是 的平分线，所以.在 和中， 所以 （斜边、直角边），所以 . 因为在中， ， 考试考法 31 所以 .设 ，则 .因 为在中， ，所以 ，解得 ，所以 . 返回 考试考法 3．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝18°，在BC下方有一点D，∠DBC＝42°，且BD＝AC，则∠BDC的度数为________． 设OE＝OF＝OD＝x.因为S△OAB＋S△OAC＋S△OBC＝S△ABC，所以×5OD＋×3OE＋×4OF＝×4×3，所以5x＋3x＋4x＝12，解得x＝1，所以点O到BC的距离等于1，即△BCO的边BC上的高是1. $