第5章 直角三角形 习题课件 2026-2027学年湘教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦“直角三角形的性质和判定”核心知识点，通过基础提优题（如平行线与直角组合求角度）引入，衔接三角形内角和等前置知识，逐步过渡到综合应用题（如折叠、旋转中的直角关系证明）和创新拓展题，搭建从基础到高阶的学习支架。 其亮点在于以几何直观和推理能力为核心，通过中点性质应用（如木棍滑动中点距离不变）、分类讨论（如AE垂直三角形不同边求角度）等题目，培养学生空间观念与模型意识。采用分层练习设计，学生能提升逻辑推理与问题解决能力，教师可依托此资料实现精准教学与思维训练。

第5章 直角三角形 5.1 直角三角形的性质定理 第2课时 含 角的直角三角形的性质 1 1. 在中，若，且，则 等 于( ) D A. 2 B. 3 C. 9 D. 12 2．若等腰三角形的顶角为30°，腰长为8，则这个等腰三角形的面积为(　　) A．8 B．16 C．24 D．32 B 返回 基础提优题 2 3．[北京市丰台区期末]如图，在△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，DE垂直平分AC.如果DE＝2，那么BC的长为________． 6 返回 基础提优题 3 4．[北师大附中模拟]某市在旧城改造中，计划在一块如 图所示的 空地上种植草皮以美化环境.已知 ，， ，这种草皮每平方米 售价元，则购买这种草皮至少需要______元.（用含 的代数 式表示） 返回 基础提优题 4 5．如图，小明在A处看见前面山上有个气象站C，仰角为15°，沿AB行走4千米到达B处，此时小明看气象站C的仰角为30°.请你算出这个气象站离地面的高度CD是________． 2千米 返回 基础提优题 5 6.如图，一条船上午8时从海岛 出发，以15 海里/时的速度向正北方向航行，上午10时到 达海岛处，分别从，处观察灯塔 ，测得 ， . 基础提优题 6 （1）求海岛到灯塔 的距离. 【解】由题意得 （海里）. 因为 ， ， 所以 . 所以.所以 海里. 所以海岛到灯塔 的距离为30海里. 综合应用题 7 （2）若这条船到达海岛 处后，继续向正北方 向航行，还要经过多长时间，该船与灯塔 的距 离最短？ 综合应用题 8 如图，过点作于点 ， 所以 .根据垂线段最短，可知线段 的 长为该船与灯塔 的最短距离， 因为 ， 所以 . 因为海里，所以 海里. 综合应用题 9 因为 （时）， 所以若继续向正北方向航行，还要经过1小时，该 船与灯塔 的距离最短. 返回 综合应用题 7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，BC＝4 cm，BD＝2 cm，则AD的长为(　　) A．1 cm B．3 cm C．6 cm D．7 cm C 返回 综合应用题 11 8．如图，在△ABC中，AC＝2AB＝12，∠ABC＝90°，点D是边BC上一动点，以AD为腰作等腰三角形ADE，使AE＝AD，∠DAE＝60°，连接BE，则BE的最小值为________． 3 返回 综合应用题 12 9. 如图，在中， , ,以点为圆心， 长为半径 画弧，交边于点,再分别以点, 为 圆心，大于 的长为半径画弧，两弧 C A. B. C. D. 交于点,作射线交边于点,点为边 上的动点，连接 ,若,则 的取值范围是( ) 综合应用题 13 【点拨】由作图可知，是 的平 分线，因为 ，所 以 ， 所以，因为 ， 解得，所以，所以到的距离等于 的长， 所以，当与或重合时， 的值最大，即 ，所以 . 返回 综合应用题 14 10.[华师一附中自主招生]如图，在 中， ,，是内两点， 平分 , .若 , ，则 的长度是( ) C A. B. C. D. 综合应用题 15 【点拨】如图,延长交于点，延长 交于点，因为，平分 ， 所以， .因为 ，所以 为等边三角 形，所以， .又因为 ，所以.因为 ，所以 ， 综合应用题 16 所以 ，所以 ， 所以 ，所以 . 返回 综合应用题 11. 在等腰三角形ABC中，BC边上的高恰好等于BC边长的一半，则∠BAC＝__________________． 90°或75°或15° 返回 综合应用题 18 12.[长沙市开福区模拟]如图，点 在等边三角形的边上， ，射线 ，垂足为，点是射线 上一动 点，点是线段上一动点，当 取 最小值时，若，则此时 的长为___. 10 综合应用题 19 返回 【点拨】如图，作点E关于CD的对称点E′，连接PE′，所以CE＝CE′，PE＝PE′，所以 EP＋FP＝PE′＋FP，所以当E′，P，F三点共线，且E′F⊥AB时，PE′＋FP的值最小，即EP＋FP的值最小．因为△ABC是等边三角形，所以AB＝BC，∠B＝60°.因为E′F⊥AB，所以∠E′FB＝90°，所以∠FE′B＝30°，所以BE′＝2BF.又因为BF＝7，所以BE′＝14. 因为BE＝6，CE＝CE′，所以14＝2CE＋6， 解得CE＝4，所以 AB＝BC＝BE＋CE＝10. 综合应用题 13. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝60 cm，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别在AB，BC边上匀速运动，点P的运动速度为2 cm/s，点Q的运动速度为1 cm/s.当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t s. (1)当t为何值时，△PBQ为等边三角形？ 创新拓展题 21 【解】在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°， 所以∠B＝60°.因为60÷2＝30(s)，所以0≤t≤30. 根据题意，得BP＝(60－2t)cm，BQ＝t cm. 当BP＝BQ时，△PBQ为等边三角形， 所以60－2t＝t，解得t＝20. 所以当t＝20时，△PBQ为等边三角形． 综合应用题 (2)当t为何值时，△PBQ为直角三角形？ 【解】若△PBQ为直角三角形， ①当∠BQP＝90°时，∠BPQ＝30°，所以BP＝2BQ， 即60－2t＝2t，解得t＝15； ②当∠BPQ＝90°时，∠BQP＝30°，所以BQ＝2BP， 即t＝2(60－2t)，解得t＝24. 综上，当t＝15或t＝24时，△PBQ为直角三角形． 创新拓展题 23 14.在等边三角形中，，是 所在直线上的一个 动点，于点，于点 . 创新拓展题 24 （1）如图①，当在线段上移动时（不与， 重 合）， 的值是不是一个固定值，如果是，请求出这 个值，如果不是，请举出例子； 创新拓展题 25 【解】 的值是一个固定值. 因为 是等边三角形， 所以 ， . 因为， ， 所以 ， ， 所以， ， 所以 ， 所以 的值是一个固定值2. 创新拓展题 26 （2）如图②、图③，当在 的延长线和反向延长线上时， 请分别说明和 有什么数量关系. 创新拓展题 27 当在 的延长线上时，因为 是等边三角形，所以 ， ，所 以 .因为， ，所以 ， ，所以， ， 所以 . 创新拓展题 28 当在 的反向延长线上时， 因为 是等边三角形，所以 ， ，所 以 . 因为， ，所以 ， ，所 以， ， 所以 . 返回 创新拓展题 【点拨】连接AD，因为DE垂直平分AC，所以AD＝CD，∠AED＝90°，所以∠DAC＝∠C＝30°，所以AD＝2DE＝4，所以AD＝CD＝4.因为∠B＝90°，∠C＝30°，所以∠BAC＝90°－∠C＝60°，所以∠BAD＝∠BAC－∠DAC＝30°，所以BD＝AD＝2，所以BC＝BD＋CD＝2＋4＝6. $第5章 直角三角形 5.2 勾股定理及其逆定理 第1课时 勾股定理 1 返回 1．若a，b为直角三角形的两直角边，c为斜边，则下列选项中不能用来证明勾股定理的是(　　) A 基础提优题 2 2．如图，在△ABD中，AC⊥BD于点C，点E为AC上一点，连接BE，DE，DE的延长线交AB于点F，已知DE＝AB，∠CAD＝45°. (1)试说明：DF⊥AB. 【解】因为AC⊥BD，∠CAD＝45°，所以易得△ACD为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°.所以AC＝DC.又因为AB＝DE，所以AB2－AC2＝DE2－DC2，所以BC2＝EC2，所以BC＝EC，所以△ABC≌△DEC.所以∠BAC＝∠EDC. 基础提优题 3 又因为∠EDC＋∠CED＝90°，∠CED＝∠AEF， 所以∠AEF＋∠BAC＝90°，所以∠AFE＝90°， 所以DF⊥AB. 基础提优题 (2)利用图中阴影部分面积完成勾股定理的验证．已知：如图，在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，试说明：a2＋b2＝c2. 返回 基础提优题 5 3．在Rt△ABC中，斜边AB＝1，则AB2＋BC2＋AC2的值是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 B 返回 基础提优题 6 4．[郴州市模拟]如图，在 中， ，分别以， 为圆心，大于 长为半径作弧，两弧相交于点， ，作 直线，与，分别交于点， ，连接 ，若，，则 的周长 为( ) B A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 返回 基础提优题 7 返回 B 基础提优题 8 返回 基础提优题 9 返回 7．[成都市成华区模拟]如图，将腰 长为2的等腰直角三角形 放置于数轴上，直角边 与数 轴重合，直角顶点与重合，为的中点，以点 为圆 心，长为半径画弧，交数轴于点（在点右侧），则 点 表示的数为_______. 基础提优题 10 B 综合应用题 11 【点拨】过点作于点 ，由折叠的性 质可得， . 因为,所以.又因为 , 所以 ， .因为 ,所以 . 综合应用题 12 所以易得 是等腰直角三角形，所以 .在 中，因为, ，所以 ，所以 .所 以 . 返回 综合应用题 9. 如图，在△ABC中，AB＝AC，E是边AB上一点，连接CE，在BC的右侧作BF∥AC，且 BF＝AE，连接CF.若AC＝13，BC＝10，则四边形EBFC的面积为(　　) A．30 B．60 C．90 D．120 B 综合应用题 14 【点拨】因为，所以 . 因为，所以 ，所以 .如图,过点作 于点 ，于点，所以 .又因为 ,所以,所以 .又因为 ，，且 ，所以 ，所以四边形 的面积 综合应用题 15 .因 为，，所以 .设 ，则 .由勾股定理，得 ，所以 ，解得 ， 所以 ， 所以 ， 所以四边形 的面积为60. 返回 综合应用题 10. 如图，在 中， ，分别以各边为直径作半圆， 图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底 月牙”，当， 时，则阴影部 分的面积为________． 14 返回 综合应用题 17 6 返回 综合应用题 18 12.如图，已知等腰直角三角形，点是边 上的一点， ，，为斜边上一点，则 的最小值 为____. 10 综合应用题 19 【点拨】如图，作点关于的对称点 ，连接 ，, , 因为在等腰直角三角形中，， ， 所以， . 由题意可知，， , ,所以 ， . 综合应用题 20 由两点之间线段最短可知，当点,, 共线时， 的值最小，最小值为 的长， 此时 ， 所以 的最小值为10. 返回 综合应用题 13. 如图，在 中， ，， ， 动点从点出发沿射线以 的速度 运动，设运动的时间为 . （1）当点运动到的中点时， 的值是___； 2 创新拓展题 22 （2）连接，内，若，求 的长； 综合应用题 23 【解】在 中,由勾股定理易得 .当点到达点时， ， 所以内，点在线段 上， 由题意得，因为 ，所以 ，在 中,根据勾股定理可得 ，即，解得 ， 所以 . 综合应用题 24 （3）当为直角三角形时，求 的值. 综合应用题 25 ①当 时，点和点 重合，此时 ； ②当 时，点在线段 的延长线 上，如图，因为， ，所以 .在 中，根据勾股定理可得 ，在 中，根据勾 股定理可得 ， 综合应用题 26 所以，解得 . 综上,或 . 返回 综合应用题 14. 【阅读理解】定义：我们把三角形某边 上高的长度与这边中点到高的距离的比值称为三角形这条边 的“中偏度值”，例如：图①中，和分别为 的边 上的高和中线，，，则的边 的 “中偏度值”为 . 创新拓展题 28 【尝试应用】 （1）如图②，在中， ， ， ，求的边 的“中偏度值”； 创新拓展题 29 【解】作的中线，高线 ，如图， 因为 ，，，所以 . 因为 ， 所以 ， 创新拓展题 30 所以，所以 . 因为为斜边 上的中线， 所以 ， 所以 ， 所以的边的“中偏度值”为 . 创新拓展题 【拓展延伸】 （2）如图③，点为直线上方一点，点到直线 的距离 ，点在直线上，且，若点在直线 上， 且，求的边 的“中偏度值”. 创新拓展题 32 ①当在 外部时， 作的中线 ， 因为，，， ， 所以， ， 所以 . 因为为 的中线， 创新拓展题 33 所以 ， 所以 ， 所以的边 的“中偏度值” 为 ； ②当在 内部时， 作的中线 ， 创新拓展题 同①知， ， 所以 . 因为为 的中线， 所以 ， 所以 ， 创新拓展题 所以的边 的“中偏度值” 为 . 综上所述，的边 的“中偏 度值”为6或 . 返回 创新拓展题 【解】因为S△BCE＋S△ACD＝S△ABD－S△ABE，DE＝AB＝c，CE＝BC＝a，AC＝CD＝b，所以a2＋b2＝·c·DF－·c·EF＝·c·(DF－EF)＝·c·DE＝c2，所以a2＋b2＝c2. 5．[安徽省中考]如图，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC，边AC的中点为D，边BC上的点E满足ED⊥AC.若DE＝，则AC的长是(　　) A．4 B．6 C．2 D．3 6.若实数m，n满足|m－3|＋＝0，且m，n恰好是Rt△ABC的两条边长，则第三条边长为________． 5或 8.如图，四边形ABCD中，AB＝AD，连接AC，将△ABC沿着AC折叠，点B恰好落在CD上的点B′处，若∠BAD＝90°，B′D＝6，AD＝9，则CD＝(　　) A．6＋3 B．6＋3 C．5＋4 D．5－4 11.如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点P在△ABC外，连接AP，BP，CP.若PA＝2，PB＝2，∠BPA＝60°，则PC的长为________． $第5章 直角三角形 5.4 角平分线的性质 第2课时 角平分线的综合运用 1 返回 1．在正方形网格中，∠ACB的位置如图所示，则到∠ACB两边距离相等的点是(　　) A．点M B．点N C．点P D．点Q A 基础提优题 2 2. 如图，直线，， 表 示三条公路，现要建一个货物中转站，要 求它到三条公路的距离相等，则可供选择 的地址有( ) D A. 一处 B. 两处 C. 三处 D. 四处 返回 基础提优题 3 返回 3．[泰安市期中]如图所示，点O在一块直角三角板ABC上(其中∠C＝60°)，OM⊥AB于点M，ON⊥BC于点N.若OM＝ON，则∠BOM的度数是________． 75° 基础提优题 4 4．如图，小明将两把完全相同的长方形直尺（单位： ） 如图放置在上，两把直尺的接触点为，边 与其中 一把直尺边缘的交点为，点,在这把直尺上的刻度读数 分别是 和，则 的长度是______. 基础提优题 5 【点拨】如图,过点作 ，垂足 为 .因为是两把完全相同的长方形直尺， 所以.易知，所以 是的平分线,所以 . 因为点,在这把直尺上的刻度读数分别是和 ，所 以 . 由题知，所以，所以 ， 所以 . 返回 基础提优题 6 5．如图①，把△ABC剪成三部分，将边AB，BC，AC放在同一直线l上，点O都落在直线MN上，直线MN∥l，如图②所示．在△ABC中，若∠BOC＝115°，则∠BAC的度数为________． 50° 基础提优题 7 返回 【点拨】如图，过点O，O′，O″分别作OD⊥AB于D，O′E⊥BC于E，O″F⊥CA′于F.因为直线MN∥l，所以OD＝O′E＝O″F，所以点O为△ABC三条内角平分线的交点，所以∠ABC＋∠ACB＝2(∠OBC＋∠OCB)＝2(180°－∠BOC)＝2(180°－115°)＝130°，所以∠BAC＝50°. 基础提优题 6. 如图，△ABC的∠ABC，∠ACB的平分线交于点P，过 点P作PE⊥AB，PG⊥AC，PF⊥BC，垂足分别为E，G，F，若AB＝8，AC＝6，BC＝7，则AE＝______． 3.5 基础提优题 9 返回 【点拨】因为△ABC的∠ABC，∠ACB的平分线交于点P，且PE⊥AB，PG⊥AC，PF⊥BC，所以PE＝PF，PF＝PG.所以PE＝PG.在Rt△BEP和Rt△BFP中，PE＝PF，BP＝BP，所以Rt△BEP≌Rt△BFP，所以BE＝BF， 同理得CF＝CG，AE＝AG.设AE＝x(x＞0)，则AE＝AG＝x，因为AB＝8，AC＝6，所以BF＝BE＝8－x，CF＝CG＝6－x.因为BC＝BF＋CF＝7，所以8－x＋6－x＝7，解得x＝3.5，所以AE＝3.5. 基础提优题 7．如图，OM，ON是两条公路，A，B两处是两个居民小区，现要在两条公路之间的空地处建活动中心P，使得活动中心P到两条公路的距离相等，且到两个小区的距离也相等．如何利用尺规作图确定活动中心P的位置？(不写作法，保留作图痕迹) 【解】如图． 返回 综合应用题 11 8. [宣城市自主招生]如图，四边形ABCD中，∠BAD，∠ABC，∠BCD，∠ADC的平分线恰相交于一点P(A，P，C三点不共线)，记△APD，△APB，△BPC，△DPC的面积分别为S1，S2，S3，S4，则有(　　) A．S1＋S3＝S2＋S4 B．S1＋S2＝S3＋S4 C．S1＋S4＝S2＋S3 D．S1＝S3 A 综合应用题 12 返回 【点拨】四边形ABCD中，四个内角的平分线交于一点P，则P到该四边形每条边的距离相等，如图，过点P向四边分别作垂线，可将四边形分成8个等高的三角形，面积分别是a，a，b，b，c，c，d，d，则S1＝a＋d，S2＝a＋b，S3＝b＋c，S4＝c＋d，所以S1＋S3＝a＋b＋c＋d＝S2＋S4.故选A. 基础提优题 9. 如图，是 的平 分线上一点，于点， 是线 段上一点.已知，， 为 上一动点，若满足，则 的 长度为______. 3或7 综合应用题 14 【点拨】如图，过点作于点 . 因为平分，， ， 所以.又因为 ，所以 （斜边、直角边）， 综合应用题 15 所以.因为， ，所以 ,. 当点在线段 上时，因 为， ，所以 （斜边、直角边），所 以 ， 所以.当点在射线 上时，同理可得 ,所以 .综上, 的长度为3或7. 返回 综合应用题 10.[长沙市芙蓉中学期末]如图，在 中，，的平分线， 相交于点，过点作于点 ，则 下列结论：①若 ，则 ； ；③若 ，，则； 平面内 到三条直线，， 距离相等的点有3个.其中正确的是 ________．(只填写序号) ①②③ 综合应用题 17 【点拨】在中，若 ，则 . 因为, 分别平分, ，所以 , 综合应用题 18 ，所以 .所以 ，故①正确.如图①，过点 作 于点,于点，过点 作 综合应用题 于点.因为是 的平分线， 所以 .因为 , ，所以 ， 所以 ，故②正确. 综合应用题 如图②，过点作于点, 于点，连接.因为, 分别平分 ,， ，所以易得 ，所以 ， 综合应用题 21 故③正确.因为 ，所以 的内部有一个点到直线,, 的距离相等.易知在 的外部还有3个点 符合条件.所以共有4个点到直线,, 的距离相等，故④错误.综上所述，正确的 有①②③. 返回 综合应用题 11.如图，是的平分线，点 在射线上，是线段 的垂直平 分线，交于点,交于点 , 于点.若 , ，则∠AED的度数为________． 综合应用题 23 【点拨】如图，连接,过点 作 于点,交于点,设交 于点.因为是线段 的垂直平分线， 所以 , ,所以 .因为 ,所以 , .因为, ,所以 ,所以 , 综合应用题 24 .因为 ,所以 .因 为 ,所以 .因 为平分,, ,所 以.在和 中, 所以 ,所 综合应用题 以 . 因为 ,所以 , 所以 . 因为 综合应用题 ,所以 .因为 平分 , 所以 ,所以 . 因为, 所以 ,所以 . 返回 综合应用题 创新拓展题 28 创新拓展题 (2)如图②，AD是△ABC的外角的平分线，判断(1)中的关系是否成立，并说明理由． 【解】(1)中的关系仍然成立．理由如下： 如图②，过点D作DF⊥AB交BA的延长线于点F，DG⊥AC于点G， 因为AD平分∠CAE， 所以DF＝DG. 创新拓展题 30 返回 创新拓展题 13.已知点是 平分线上一 点，的两边，分别与射线，相交于， 两点，且 ，过点作 ，垂足 为 . （1）如图①，当点在线段上时，求证： ； 创新拓展题 32 ① 【证明】如图①，过点作，垂足为 . 因为平分， ， 所以 . 因为 ， ， 所以 . 创新拓展题 33 在△BCE和△DCF中，∠CBE＝∠CDF，∠CEB＝∠CFD＝90°，CE＝CF， 所以△BCE≌△DCF，所以BC＝DC. ① 创新拓展题 解法2：【证明】如图②，在射线AM上取一点O，且AO＝AD.因为AC平分∠MAN，所以∠DAC＝∠OAC. 在△ACD和△ACO中，AD＝AO， ∠DAC＝∠OAC，AC＝AC， 所以△ACD≌△ACO，所以CD＝CO，∠ADC＝∠AOC. 又因为∠ABC＋∠ADC＝180°，∠AOC＋∠COB＝180°， 所以∠COB＝∠OBC，所以CO＝CB，所以BC＝DC. 创新拓展题 （2）如图②，当点在线段 的延长线上时，探究线段 ，与 之间的数量关系； 创新拓展题 36 【解】AD－AB＝2BE.如图③，过点C作CF⊥AD，垂足为F.因为AC平分∠MAN，CE⊥AB，CF⊥AD，所以CE＝CF.因为∠ABC＋∠ADC＝180°，∠ABC＋∠CBE＝180°，所以∠CDF＝∠CBE. 在△BCE和△DCF中，∠CBE＝∠CDF， ∠CEB＝∠CFD＝90°，CE＝CF， 所以△BCE≌△DCF，所以DF＝BE. 创新拓展题 37 因为CE＝CF，AC＝AC，所以Rt△ACF≌Rt△ACE， 所以AF＝AE，所以AD＝AF＋DF＝AE＋DF＝AB＋BE＋DF＝AB＋2BE，所以AD－AB＝2BE. 创新拓展题 （3）如图③，在（2）的条件下， 若 ，连接 ，作 的平分线交于点 ， 交于点，连接并延长交于点，若 ， ，求线段 的长. 创新拓展题 39 【解】如图④，在BD上截取BH＝BG，连接OH.因为BO平分∠ABD，所以∠OBH＝∠OBG.又因为BH＝BG，OB＝OB，所以△OBH≌△OBG，所以∠OHB＝∠OGB，∠BOH＝∠BOG.因为AO是∠MAN的平分线，BO是∠ABD的平分线，所以点O到AD，AB，BD的距离相等，所以∠ODH＝∠ODK.因为∠OHB＝∠ODH＋∠DOH，∠OGB＝∠ODK＋∠DAB，所以∠DOH＝∠DAB＝60°，所以∠GOH＝120°， 所以∠BOG＝∠BOH＝60°，所以∠DOK＝∠BOG ＝60°，所以∠DOH＝∠DOK.在△ODH和△ODK中， 创新拓展题 40 返回 创新拓展题 12.[武汉市江岸区期中](1)如图①，在△ABC 中，AD是它的角平分线，求证：＝； 【证明】如图①，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F， 因为AD平分∠BAC，所以DE＝DF. 因为S△ABD＝AB·DE，S△ACD＝AC·DF， 所以＝＝. 过点A作AH⊥BC于点H， 因为S△ABD＝BD·AH，S△ACD＝CD·AH， 所以＝＝.所以＝. 因为S△ABD＝AB·DF，S△ACD＝AC·DG， 所以＝＝. 过点A作AH⊥BD于点H， 所以＝＝.所以＝. 所以△ODH≌△ODK，所以DH＝DK，所以DB＝DH＋BH＝DK＋BG＝2＋1＝3. $第5章 直角三角形 5.4 角平分线的性质 第1课时 角平分线的性质和判定 1 1. 如图，为 的平分线， ，，垂足分别是, ,则 下列结论不一定正确的是( ) D A. B. C. D. 返回 基础提优题 2 2．[娄底市期末]如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，△ABC的面积是10，CD∶BD＝2∶3，DE＝2，则AC的长是________． 4 基础提优题 3 返回 基础提优题 返回 8 基础提优题 5 4．如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为点D，E，BE，CD相交于点O，OB＝OC，连接AO.若∠AOD＝55°，则∠BAC＝(　　) A．35° B．55° C．60° D．70° D 基础提优题 6 返回 基础提优题 5. 如图，，， 分别平分 ，，过点，且与垂直，若 ， ，则四边形的面积是____ . 40 返回 基础提优题 8 6. 如图，已知BP是∠ABC的平分线，AP⊥BP，若S△BPC＝10 cm2，则S△ABC等于(　　) A．20 cm2 B．30 cm2 C．25 cm2 D．不能确定 A 基础提优题 9 7. 如图，在等腰三 角形中，， ， 为的中点，点在 上， ， 若是等腰三角形 的 或 腰上的一点，则当是以 为腰的等腰三角形时， 的度数是_____________. 基础提优题 10 【点拨】如图，连接.因为 ， ，所以 ,所以 .因为为 的中点,所以是的平分线.过点作于， 于，所以. 当时，在 和 中， 综合应用题 11 所以 ，所以 ，所以 . 因为 ，所以 ； 当 时，同理可得 ， 综合应用题 所以 ，所以 . 综上所述，的度数是 或 . 返回 综合应用题 8. 如图，在∠AOB的两边OA，OB上分别取点M，N，连接MN.若MP平分∠AMN，NP平分∠MNB.　 (1)求证：OP平分∠AOB； 综合应用题 14 【证明】如图，过点P作PC⊥OA，垂足为C，过点P作PD⊥MN，垂足为D，过点P作PE⊥OB，垂足为E.因为MP平分∠AMN，NP平分∠MNB，所以PC＝PD，PD＝PE，所以PC＝PE， 所以OP平分∠AOB. 综合应用题 (2)若MN＝8，且△PMN与△OMN的面积分别是16和24，求线段OM与ON的长度之和． 综合应用题 16 返回 基础提优题 17 【点拨】如图，过点D作DF⊥AC于点F.因为AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，所以DF＝DE＝2.因为△ABC的面积是10，CDBD＝23，所以S△ADC＝S△ABC＝×10＝4，所以S△ADC＝AC·DF＝AC×2＝4，解得AC＝4. 3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC.以点A为圆心，任意长为半径作弧交AB，AC于D，E两点；分别以点D，E为圆心，大于DE长为半径作弧，在∠BAC内两弧相交于点P；作射线AP交BC于点F，过点F作FG⊥AB，垂足为G.若AB＝8 cm，则△BFG的周长等于________cm. 【点拨】因为CD⊥AB，BE⊥AC，所以∠ODA＝∠ODB＝∠OEC＝90°.在△BOD和△COE中，所以△BOD≌△COE(角角边)，所以OD＝OE.又因为CD⊥AB，BE⊥AC，点O在∠BAC的内部，所以AO平分∠BAC，所以∠BAC＝2∠OAB.因为∠ODA＝90°，∠AOD＝55°，所以∠OAB＝90°－55°＝35°，所以∠BAC＝2×35°＝70°，故选D. 【解】因为△PMN的面积是16，MN＝8， 所以MN·PD＝16，即×8×PD＝16，所以PD＝4，所以PD＝PC＝PE＝4. 因为△OMN的面积是24， 所以四边形MONP的面积＝△PMN的面积＋△OMN的面积＝16＋24＝40， 所以△POM的面积＋△PON的面积＝40， 所以OM·PC＋ON·PE＝40， 即OM·4＋ON·4＝40， 所以OM＋ON＝20， 即线段OM与ON的长度之和为20. $第5章 直角三角形 5.1 直角三角形的性质定理 第1课时 直角三角形的性质和判定 1 1. 如图，已知直 线，直线与直线， 分别交于点 ，，交直线于点 .若 ，则 的度数为( ) B A. B. C. D. 返回 基础提优题 2 返回 2．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B－3∠A＝10°，则∠B＝________. 70° 基础提优题 3 3．在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC. (1)如图①，已知∠C＝50°，BE平分 ∠ABC，求∠BED的度数； 【解】因为在△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝50°， 所以∠ABC＝90°－50°＝40°. 因为BE平分∠ABC，所以∠DBE＝20°， 因为AD⊥BC，所以∠ADB＝90°， 所以∠BED＝90°－20°＝70°. 基础提优题 (2)如图②，DF⊥AC，DG⊥AB，请直接写出与∠C相等的角(不包括∠C)． 【解】与∠C相等的角有∠GDB，∠ADF，∠GAD. 返回 基础提优题 返回 B 基础提优题 6 5.如图，在中， , 平分,且 ,求证： 是直角三角形. 【证明】因为 ,所以 . 因为平分,所以 . 又因为,所以 , 所以 ,所以 是直角三角形. 返回 基础提优题 7 6. 如图，一根长为 的 木棍斜靠在与地面垂直的墙 上， 设木棍中点为，若木棍 端沿墙下滑， 且 端沿地面向右滑行.在此滑动过程中， 点到点 的距离( ) B A. 变小 B. 不变 C. 变大 D. 无法判断 返回 基础提优题 8 7. 如图，在中， 于点， 于点 ，点是的中点，连接， ，设 ， ，则( ) D A. B. C. D. 基础提优题 9 （第10题） 【点拨】因为于点， 于 点，所以 .因为点 是的中点，所以 ,所 以, ,所以 , ,所以，所以 . 返回 综合应用题 10 8．如图，在由25个边长为1的小正方形拼成的网格中以AB为边画Rt△ABC，使点C在格点上，满足这样条件的点C共有(　　) A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 D 【点拨】以AB为边画Rt△ABC，使点C在格点上，满足这样条件的点C共有8个，如图所示．故选D. 综合应用题 11 9. 如图， 中， ，将绕点 顺时针旋转 得到，点, 的对应点分别为 ,，延长交于点 ，下列结论一定 正确的是( ) D A. B. C. D. 综合应用题 12 【点拨】设与相交于点 ，如图所示. 因为将绕点顺时针旋转 得到 ， 所以, .又因 为 ，所以在 中， ，所以 ，故D选 项正确，符合题意；设 ,所以 . 因为 不一定等于 ，所以 不一定成立，故 综合应用题 13 A选项不正确，不符合题意；因为 ， 所以 ，所以 . 因为 不一定等于 ，所以 不一定等于 ，所以 不一定成立， 故B选项不正确，不符合题意； 综合应用题 根据已知条件，无法直接得AB一定等于EF，故C选项不正确，不符合题意． 返回 综合应用题 10. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，BC＝6，线段DE的两个端点D，E分别在边AC，BC上滑动，且DE＝4，若点M，N分别是DE，AB的中点，则MN的最小值为_____________________________． 3 综合应用题 16 返回 综合应用题 11. 在如图所示的Rt△ABC纸片中，∠ACB＝90°，D是斜边AB的中点，把纸片沿着CD折叠，点B落到点E处，连接AE.若AE∥DC，∠B＝α，则∠EAC的大小为________． 90°－α 【点拨】因为△ABC为直角三角形，点D是斜边AB 的中点，所以CD＝BD＝AD.因为△CDE由△CDB 沿CD折叠得到，所以∠B＝∠CED，∠DCB＝∠DCE，ED＝BD＝AD＝CD，所以∠B＝∠DCB＝∠DCE＝∠DEC＝α，所以∠EDC＝180°－2α. 综合应用题 18 返回 因为AE∥DC，所以∠AED＝∠EDC＝180°－2α.因为ED＝AD，所以∠EAD＝∠AED＝180°－2α.因为∠B＝α，△ABC为直角三角形，所以∠CAD＝90°－α，所以∠EAC＝∠EAD－∠CAD＝180°－2α－(90°－α)＝90°－α. 综合应用题 12. 如图，已知在 中， ， ，将线段沿直线 平移得到线 段，连接，在整个运动中，当垂直 的某一边 时， 的度数为________________. 或 或 综合应用题 20 【点拨】由题意,得 .根据题意分三 种情况：①当时，则 . 因为 ，所以 . 因为 ， 所以 ；②当时，则 . 因为，所以 ；③当 时， 如图所示,则 .因为 ，所以 . 综合应用题 21 因为，所以 .综上所 述,当垂直的某一边时， 的度数为 或 或 . 返回 综合应用题 13. [无锡市期末]如图，在△ABC中，AD是高，E，F分别是AB，AC的中点，AB＝8，AC＝6.求四边形AEDF的周长和面积的最大值． 综合应用题 23 返回 综合应用题 14.［2024北京］已知，点， 分 别在射线，上，将线段绕点顺时针旋转 得到线段，过点作的垂线交射线于点 . 创新拓展题 25 （1）如图①，当点在射线上时，求证：是 的中点； 创新拓展题 26 【证明】如图①，连接 ， 由题意得， , 所以 . 因为 , 所以 . 因为 ,所以,所以 . 因为,所以 , 所以,所以,所以 , 所以点是 的中点. 创新拓展题 27 （2）如图②，当点在内部时，作 ，交射线 于点，用等式表示线段与 的数量关系，并证明. 创新拓展题 28 【解】 .证明如下: 如图②,在射线上取点，连接 ，使得 ，连接，取的中点 ，连接 . 因为， ,所以 , 所以 , 所以 . 又因为，，所以 ， 创新拓展题 29 所以， ， 所以 . 因为， , 所以 ， . 因为是的中点，所以 ， ， 所以 ，所以 ， 所以 ，所以 .又因为， 所以 ，所以 . 返回 创新拓展题 4．已知△ABC的三个角分别是∠A，∠B，∠C，下列式子中： ①∠A＝∠B－∠C；②∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3； ③90°－∠B＝∠C；④∠A＋∠B＝∠C； ⑤∠A＝2∠B＝3∠C， 不能判断△ABC是直角三角形的有(　　) A．1个　 B．2个 C．3个 D．4个 【点拨】如图，连接CM，CN，在△ABC中，因为∠ACB＝90°，点M，N分别是DE，AB的中点， 所以CN＝AB＝5，CM＝DE＝2，当C，M，N三点在同一直线上时，MN取得最小值，所以MN的最小值为5－2＝3. 【解】因为AD是△ABC的高，所以∠ADB＝∠ADC＝90°. 因为E，F分别是AB，AC的中点，AB＝8，AC＝6， 所以DE＝AB＝AE＝4，DF＝AC＝AF＝3， 所以四边形AEDF的周长＝AE＋DE＋DF＋AF＝14. 因为E，F分别是AB，AC的中点，所以S△AED＝S△ABD，S△AFD＝S△ACD.又因为S△AED＋S△AFD＝S四边形AEDF，S△ABD＋S△ACD＝S△ABC，所以S四边形AEDF＝S△ABC. 当△ABC是直角三角形，且AB，AC为两条直角边时，S△ABC最大，此时S△ABC＝AB·AC＝24， 所以四边形AEDF面积的最大值是S△ABC＝12. $第5章 直角三角形 5.2 勾股定理及其逆定理 第3课时 勾股定理的逆定理 1 返回 C 基础提优题 2 2.清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献．由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41……根据上述规律，写出第⑤组勾股数为____________． 11，60，61 基础提优题 返回 3. 当满足下列条件时， 不是直角三角形的是( ) C A. B. C. D. ,, 基础提优题 4 4. 如图，在由 小正方形组成的 网格中，每个小正 方形的顶点称为格点.点，，， ， ，均在格点上，其中点，，， 能与点， 构成一个直角三角形的是 ( ) D A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 返回 基础提优题 5 5.如图，在中，，，， 为直 线上一动点，连接，则线段 的最小值是___. 基础提优题 6 【点拨】由题意知当时,线段 的长最 小.因为，， ，所以 ，所以 ，所以 ，即 ，解得 . 返回 基础提优题 7 6.如图，在四边形中， ， ，，,则 的 度数为______. 基础提优题 8 【点拨】如图，连接 ，因为 ， ，所以 是 所以 . 等边三角形，所以， . 因为 ， ，所以 ，所以 ， 返回 基础提优题 基础提优题 10 返回 基础提优题 8.如图，把一块 土地划出一个 后，测得米，米， 米， 米，其中 . 综合应用题 12 （1）判断 的形状，并说明理由； 【解】 是直角三角形.理由：因为 ，米， 米， 所以 （米）.因为 米，米，所以 ，所以 ， 是直角三角形. 基础提优题 13 （2）求图中阴影部分土地的面积. 图中阴影部分土地的面积 （平方米）. 返回 基础提优题 14 9. [全国初中数学联赛]已知p，q均为质数，但满足5p2＋3q＝59，则以p＋3，1－p＋q，2p＋q－4为边长的三角形是(　　) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 B 综合应用题 15 返回 综合应用题 B 综合应用题 17 返回 综合应用题 11. 已知等腰直角三角形ABC，∠ABC＝90°，AB＝BC＝4，平面内有一点D，连接CD，AD，若CD＝2， AD＝6，则∠BCD＝___________． 135°或45° 【点拨】因为∠ABC＝90°，AB＝BC＝4，所以AC2＝42＋42＝32，∠ACB＝45°.因为CD2＝4，AD2＝62＝36，所以AD2＝AC2＋CD2，所以△ACD为直角三角形，∠ACD＝90°，分两种情况讨论，①如图①，∠BCD＝90°＋45°＝135°；②如图②，∠BCD＝90°－45°＝45°.故∠BCD＝135°或45°. 返回 综合应用题 19 12. 在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，D，E均是网格线的交点，则∠ACB－∠DCE＝________°. 45 返回 综合应用题 20 13. 某小区有4栋住宅楼：B栋，C栋，D栋，E栋，A处为小区入口．为方便小区居民传递爱心，物业管理处准备在小区的一条主干道BE上增设一个“爱心衣物回收箱”，现需确定“爱心衣物回收箱”的具体位置，使得它到4栋住宅楼的距离之和最短．某数学兴趣小组成员借助无人机航测技术绘制了小区平面图(如图①)，并将该小区的平面图进一步抽象成几何图形(如图②)，其中主干道AC与BE交于点F， 综合应用题 21 BE∥CD.小组成员测量出了某些道路的长度(如表格所示)，又借助电子角度仪测得∠BCE＝90°，∠CEB＝∠CED.　 道路 AE AB BC BF EF DE 长度(米) 40 30 30 18 32 25 综合应用题 22 (1)根据图②及表格中的相关数据，请完成下列计算： ①道路CD＝________米； ②道路AC＝________米． 25 【点拨】(1)①因为BE∥CD，所以∠BEC＝∠DCE.因为∠CEB＝∠CED，所以∠CED＝∠DCE，所以CD＝DE＝25米； 48 综合应用题 23 综合应用题 (2)①根据以上探究，请你在主干道BE上画出“爱心衣物回收箱”的具体位置(用点G表示)，并画出需要增设的道路CG，DG(保留作图痕迹，不需要写作法)； 如图，“爱心衣物回收箱”的具体位置点G及需要增设的道路CG，DG即为所求． 综合应用题 25 ②“爱心衣物回收箱”到4栋住宅楼的距离之和的最小值为______________米(保留根号)． 返回 综合应用题 26 14. [](1)如图①，在正方形网格中，△ABC的三个顶点都在小正方形的顶点上，把△ABC绕点A顺时针旋转90°，得到△AB′C′，连接BB′，则∠AB′B＝________． 45° 创新拓展题 27 创新拓展题 综合应用题 (3)如图③，在等腰直角三角形ABC内有一点P，且∠ACB＝90°，PA＝3，PB＝1，PC＝2.求∠BPC的度数． 创新拓展题 30 综合应用题 所以∠BPC＝45°＋90°＝135°. 方法2：过点C在BC的右侧作CE⊥CP，垂足为C，且CE＝CP，连接BE，PE，则△PCE为等腰直角三角形． 所以∠CPE＝45°，PE2＝PC2＋CE2＝8. 因为∠ACP＋∠PCB＝∠BCE＋∠PCB＝90°， 所以∠ACP＝∠BCE. 又因为AC＝BC，PC＝CE，所以△APC≌△BEC. 综合应用题 返回 所以BE＝PA＝3. 又因为PB＝1，所以PE2＋PB2＝BE2. 所以△BPE是直角三角形，且∠BPE＝90°. 所以∠BPC＝∠CPE＋∠BPE＝45°＋90°＝135°. 创新拓展题 1．下列各组数构成勾股数的是(　　) A．0.6，0.8，1.0 B．1，， C．5，12，13 D.，， 7．如图，已知△ABC中，AB的垂直平分线交BC于点D，AC的垂直平分线交BC于点E，点M，N为垂足．若BD＝，DE＝2，EC＝，则AC的长为________． 【点拨】如图，连接AD，AE.因为DM，EN分别是AB，AC的垂直平分线，所以AD＝BD＝，AE＝EC＝.因为DE＝2，所以AD2＋DE2＝＋22＝＝＝AE2，所以△ADE是直角三角形，且∠ADE＝90°.在Rt△ADC中，由勾股定理可得AC＝＝＝. 【点拨】因为5p2＋3q为奇数，所以p，q为一奇一偶，而p，q均为质数，所以p，q中必有一个为2.若q＝2，则p2＝，不合题意，舍去；若p＝2，则q＝13，那么三边长分别为5，12，13.显然有52＋122＝132，所以以p＋3，1－p＋q，2p＋q－4为边长的三角形是直角三角形． 10.如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝12，BC＝6，将△ABC折叠，得到折痕DE，且顶点B恰好与点A重合，点C落在点F处，则CE的长为(　　) A．4 B. C．5 D．3 【点拨】连接BE，如图．因为AB＝6，AC＝12，BC＝6，所以AB2＝180，AC2＝144，BC2＝36，所以AB2＝AC2＋BC2，所以△ABC是直角三角形，且∠C＝90°，由折叠可知DE⊥AB，BD＝DA，所以DE垂直平分AB，所以BE＝AE.设CE＝x，则BE＝AE＝12－x.在Rt△BCE中，BE2＝CE2＋BC2，所以(12－x)2＝x2＋62，所以x＝，所以CE＝. ②因为EF＝32米，FB＝18米，所以EB＝32＋18＝50(米)．又因为AE＝40米，AB＝30米，所以AE2＋AB2＝EB2，所以△AEB是直角三角形，且∠EAB＝90°.因为∠ECB＝90°，BC＝30米，所以在Rt△ECB中，EC＝＝40米．因为AE＝EC，AB＝BC，所以EB垂直平分AC，即EB⊥AC，FA＝FC.所以AF＝＝24米．所以AC＝2AF＝48米． (50＋) 【点拨】因为DC∥EB，EB⊥AC，所以AC⊥DC，所以∠ACD＝90°.因为G在AC的垂直平分线EB上，所以GA＝GC.根据①中作图可知，A，G，D在同一直线上，所以CG＋DG＋EG＋BG＝AG＋GD＋EG＋GB＝AD＋EB＝＋EB＝＋50＝(50＋)米，所以“爱心衣物回收箱”到4栋住宅楼的距离之和的最小值为(50＋)米． (2)如图②，在等边三角形ABC内有一点P，且PA＝2，PB＝，PC＝1，若把△BPC绕点B逆时针旋转60°得到△BP′A，连接PP′，求∠BPC的度数和PP′的长． 由题意得AP′＝CP＝1，BP′＝BP＝，∠AP′B＝∠BPC，∠PBP′＝60°，所以△BPP′是等边三角形，所以PP′＝，∠BP′P＝60°.因为AP′＝1，AP＝2，所以AP′2＋PP′2＝12＋()2＝4＝AP2，所以△PP′A是直角三角形，且∠AP′P＝90°，所以∠BPC＝∠AP′B＝∠AP′P＋∠BP′P＝90°＋60°＝150°. 方法1：如图，将△ACP绕点C逆时针旋转90°得到△BCE，连接PE，则EC＝PC＝2，∠ECP＝90°，EB＝PA＝3， 所以△CPE为等腰直角三角形．所以PE＝＝2，∠CPE＝45°. 在△PEB中，PB＝1，PE＝2，EB＝3， 所以PB2＋PE2＝EB2. 所以△PBE为直角三角形，且∠EPB＝90°. $第5章 直角三角形 5.2 勾股定理及其逆定理 第2课时 勾股定理的应用 1 返回 A 基础提优题 2 13S 基础提优题 3 返回 基础提优题 返回 A 基础提优题 5 4．[东营市中考]如图，小丽在公园里荡秋千，在起始位置A处摆绳OA与地面垂直，摆绳长2 m，向前荡起到最高点B处时距地面的高度为1.3 m，摆动的水平距离BD为1.6 m，然后向后摆到最高点C处．若前后摆动过程中绳始终拉直，且OB与OC成90°角，则小丽在C处时距离地面的高度是(　　) A．0.9 m B．1.3 m C．1.6 m D．2 m A 返回 基础提优题 6 5.如图，嘉琪一家自驾到风景区 游玩，到达 地后，导航显示车辆应沿北偏西 方向行 驶4千米至地，再沿北偏东 方向行驶一 段距离到达风景区，嘉琪发现风景区在 地的北偏东 方向，那么， 两地之间的 距离为_____千米. 基础提优题 7 【点拨】如图所示，过点作于点 . 由题意得千米, ， ，所以 .因为 ，所以 .所以 ，.所以 千 米，.所以 千米.所以 千米. 返回 综合应用题 8 6．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20 dm、3 dm、2 dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点的最短路程是________dm. 25 返回 基础提优题 9 7. 在我国古代数学 著作《九章算术》“勾股”中有一题： “今有开门去阃 一尺，不合二 寸，问门广几何？”大意是说：如图， 推开两扇门和，且，门边缘， 两点到门 槛的距离为1尺（1尺寸），两扇门的间隙 为2寸， 那么门的宽度AB为________寸． 101 综合应用题 10 【点拨】 由题意得.如图,过点作于点 ，则 寸，寸.设 寸，则 寸.在中， ，即 ，解得,所以 寸. 返回 综合应用题 11 综合应用题 12 返回 综合应用题 13 返回 B 综合应用题 14 10. 如图，圆柱形玻璃杯高为24 cm、底面周长为36 cm，在杯内离杯底8 cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿8 cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为________cm. 30 返回 综合应用题 15 11. 如图①，跷跷板是一种常见的儿童玩具．跷跷板一端着地时如图②，支柱OM⊥地面MN，OA＝OB，PC为握把，且PC⊥AB于点C，AC＝40 cm，OM＝70 cm.跷跷板可以绕点O转动，如图③是跷跷板水平，即EF∥MN时，此时点A，C，D，B的对应点分别为点E，G，H，F，恰有AE＝AG，求跷跷板AB的长． 创新拓展题 16 【解】由题意得 ， .如图，过点作于点 .因 为 ，所以 所以，所以 .又因为 ,所以 . ，因为 ，所以 .在中， ， 返回 综合应用题 17 12. 项目主题：监控器 的最优布设方式. 项目背景：台风来袭，汛期将至，某地 水利部门计划新购置一批监控器，监控 河岸和水流情况.已知监控器有效监测距离为 ，最大旋 转角度 ,如图①所示，村落位于河流南侧，与河流邻接长 度为,监控布设线距离河流 ，任意相邻两个监 控器布设点之间的距离相等. 创新拓展题 18 （1）项目方案1：如图②所示，从河流 南岸与村落边缘 处起，使 ，，即 为监 控器的监测范围；从 处起，使 13 ，，即为监控器 的监测范围. 若按方案1进行布设，该水利部门至少需要布设____个监控器. 创新拓展题 19 【点拨】在 中， ， ， 所以 . 因为村落与河流邻接长度为 ,所以 （个）， 所以该水利部门至少需要布设13个监控器. 创新拓展题 （2）项目方案2：如图③， 为监控 器的监测范围，为监控器 的 监测范围， ， ， . 若按方案2进行布设，该水利部门至 少需要布设___个监控器. 8 创新拓展题 21 【点拨】过点作于点 ，依 题意得.在 中， .在 中， ，在 中， ，所以.设 ，则 创新拓展题 22 ，所以，解得，所以 .因为村 落与河流邻接长度为 ,所以 （个），所以该水利部门至少 需要布设8个监控器. 创新拓展题 （3）项目方案3：如图④所示， 为 监控器的监测范围,为监控器 的监测范围.， ， 且， ，则监控 器监测范围的距离为_____ . 600 创新拓展题 24 （4）反思提升：我认为方案___是最优化方案，原因是 _____________________________________________________. 2 监控器的监测范围最大，水利部门布设监控器的个数最少 返回 创新拓展题 25 1.如图，在4×4的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则AC边上的高为(　　) A. B. C. D. 2．我国古代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅弦图，后人称其为“赵爽弦图”. 弦图由四个全等的直角三角形按如图所示方式围成正方形ABCD，然后分别过较长直角边的中点作垂线，围成面积为S的小正方形EFGH(阴影部分)．已知AM为Rt△ABM较长的直角边，若AM＝2EF，则正方形ABCD的面积为________(用含S的式子表示)． 【点拨】如图，在图中标出P，Q.设AM＝2a，BM＝AQ＝b，则AP＝AM＝a，AB＝＝＝，所以正方形ABCD的面积为4a2＋b2.易得EF＝MQ－2PQ＝(AM－AQ)－2(AP－AQ)＝(2a－b)－2(a－b)＝b.因为AM＝2EF，所以2a＝2b，即a＝b.因为小正方形EFGH的面积为S，所以b2＝S，所以正方形ABCD的面积为4a2＋b2＝4(b)2＋b2＝13b2＝13S. 3.象棋是中国的传统棋种，如图所示的象棋棋盘中，各个小正方形的边长均为1.“马”从图中的位置出发，按照“马走日”的规则，走一步之后的落点与“帅”的最大距离是(　　) A．5 B. C. D. 8.开发利用太阳能光伏技术是我国实行节能减排、可持续发展、改善生存环境的重要举措之一．如图①是太阳能光伏板装置的截面示意图，其中，AB为太阳能光伏板，AC为垂直于地面的支架，∠ABC是光伏板的倾斜角．若倾斜角要由45°调整为30°，则需将支架AC的支点C移至C′处(如图②)．已知AB＝2 m，求CC′的长．(精确到0.01 m，参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.236) 【解】易得△ABC是等腰直角三角形． 所以AC＝BC，AB＝＝2 m， 所以AC＝BC＝ m. 依题意，∠A′BC′＝30°，∠A′C′B＝90°，A′B＝AB＝2 m， 所以A′C′＝A′B＝1 m．所以BC′＝＝ m. 所以C′C＝BC′－BC＝－≈1.732－1.414＝0.318≈0.32(m)． 9.如图，门上钉子P处挂着一个“欢迎光临”的长方形挂牌ABCD，测得AB＝10 cm，AD＝24 cm.如图①，当挂牌水平悬挂(即BC与地面平行)时，测得挂绳AP＝DP＝20 cm.将挂绳长度缩短4 cm后重新挂到P处，此时不小心把挂牌弄斜了，如图②，发现点A，C所在直线与地面平行，且点P，D，C三点在同一直线上，则点B的高度下降了(　　) A. cm B. cm C. cm D. cm $第5章 直角三角形 5.3 直角三角形全等的判定 1 1. 两个同样大小的直角三角板按如图所 示的方式摆放，其中两条一样长的直角 边交于点，另一直角边， 分别落 在的边和上，且 ， 作射线，则在说明为 的平分 线的过程中，证全等的依据是( ) C A. 边角边 B. 角边角 C. 斜边、直角边 D. 边边边 基础提优题 2 返回 基础提优题 2．如图所示，已知在△ABC中，∠C＝90°，AD＝AC，DE⊥AB交BC于点E，若∠B＝28°，则∠AEC＝(　　) A．28° B．59° C．60° D．62° B 基础提优题 4 返回 基础提优题 3. 如图，在和 中， ，添加一个条件，可使用“斜边、直角边”判 定 ，则添加的条件是_________________ _______________. （答案不唯一） 基础提优题 6 4．如图所示的网格是正方形网格(小正方形的边长均为1)，图形的各个顶点均在格点上，则∠1＋∠2的度数是________． 45° 返回 基础提优题 7 5．[长沙市雅礼教育集团期末]如图，AD是△ABC的高，E是AD上一点，连接BE，AD＝BD，BE＝AC.若AD＝4，S△ABC＝14，则线段AE的长为________． 1 基础提优题 8 返回 基础提优题 6．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，连接对角线AC，且AC＝AD，点E在边BC上，连接DE，过点A作AF⊥DE，垂足为F，若AB＝AF.求证： (1)∠DAC＝∠FAB； 【证明】因为AF⊥DE，所以∠AFD＝90°. 在Rt△AFD和Rt△ABC中，AD＝AC，AF＝AB，所以Rt△AFD≌Rt△ABC(斜边、直角边)．所以∠DAF＝∠CAB. 所以∠DAF＋∠CAF＝∠CAB＋∠CAF，即∠DAC＝∠FAB. 基础提优题 10 返回 (2)DF＝CE＋EF. 【证明】如图，连接AE， 易知∠AFE＝90°. 在Rt△AEF和Rt△AEB中，AE＝AE，AF＝AB， 所以Rt△AEF≌Rt△AEB(斜边、直角边)，所以EF＝BE. 因为Rt△AFD≌Rt△ABC，所以DF＝BC. 因为BC＝CE＋BE＝CE＋EF，所以DF＝CE＋EF. 基础提优题 11 7．综合实践课上，数学兴趣小组给出了利用无刻度的直尺和圆规作直角三角形的三种方案：①已知两条直角边长；②已知一条直角边长和斜边长；③已知一个锐角和斜边长．图①、图②、图③分别对应以上三种方案中的一种，根据尺规作图痕迹，其对应顺序正确的是(　　) A．①②③ B．②③① C．①③② D．③①② C 返回 基础提优题 12 8. 如图，于点,于点 , 与交于点,,连接 ，则 图中全等的直角三角形共有( ) B A. 2对 B. 3对 C. 4对 D. 5对 综合应用题 13 【点拨】因为, ,所以 . 在和中， 所以 （角角边）,所以 综合应用题 14 ,.在 和 中， 所以 （斜边、直角边）, 所以,所以易得 .在 和中， 所 以 （边角边）.所以图中 共有3对全等的直角三角形. 返回 综合应用题 9. [江苏省自主招生]如图，在△ABC中，P，Q分别是BC，AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别是点R，S，若AQ＝PQ，PR＝PS，下面三个结论：①AS＝AR；②PQ∥AB；③△BRP≌△CSP，其中正确的是(　　) A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ A 综合应用题 16 返回 综合应用题 10. 如图，在正方形ABCD中，AB＝10，E是BC的中点，将△ABE沿AE折叠至△AFE，延长EF交DC于点G，则DG的长是________． 返回 综合应用题 18 11. 如图， ，垂足为， ， ，射线 ，垂足为 ，一动点从点出发以 的速 度沿射线运动，点为射线 上 1或3 一动点，随着点运动而运动，且始终保持，当点 离开点后，运动______时， . 综合应用题 19 【点拨】因为， ， 所以 .当 点在线段上，且 时， .因为 ，所以 （斜边、直角边），所以点离开点 综合应用题 20 后，运动的时间为 ;当点 在射线上,且 时， .因为 ，所以 （斜边、直角边），所以点 离开点 后，运动的时间为 .综 上所述,当点离开点 后，运动1或 时， . 返回 综合应用题 12. 如图①，E，F分别为线段AC上的两个动点，且DE⊥AC于点E，BF⊥AC于点F，若AB＝CD，BF＝DE，BD交AC于点G. (1)猜想AE与CF，GE与GF的数量关系，并说明理由． 综合应用题 22 【解】AE＝CF，GE＝GF.理由如下： 因为DE⊥AC，BF⊥AC，所以∠AFB＝∠CED＝90°. 在Rt△ABF和Rt△CDE中，AB＝CD，BF＝DE， 所以Rt△ABF≌Rt△CDE(斜边、直角边)，所以AF＝CE， 所以AF－EF＝CE－EF，所以AE＝CF. 在△GFB和△GED中，∠BGF＝∠DGE，∠BFG＝∠DEG，BF＝DE， 所以△GFB≌△GED(角角边)，所以GE＝GF. 综合应用题 (2)当E，F两点移动至如图②所示的位置时，其余条件不变，(1)中猜想的结论是否成立？若成立，给予证明；若不成立，请说明理由． 综合应用题 24 【解】成立．证明如下：因为DE⊥AC，BF⊥AC，所以∠AFB＝∠CED＝∠BFG＝∠DEG＝90°. 在Rt△ABF和Rt△CDE中，AB＝CD，BF＝DE， 所以Rt△ABF≌Rt△CDE(斜边、直角边)，所以AF＝CE，所以AE＝CF.在△GFB和△GED中，∠BGF＝∠DGE，∠BFG＝∠DEG，BF＝DE， 所以△GFB≌△GED(角角边)，所以GE＝GF. 综合应用题 13.如图，在和 中， ,, ,连 接并延长交于点 . 创新拓展题 26 （1）求证： . 【证明】因为∠BAC＝∠DAE，所以 ∠BAC＋∠BAE＝∠DAE＋∠BAE， 即∠CAE＝∠BAD. 在△ACE和△ABD中，AC＝AB， ∠CAE＝∠BAD，AE＝AD， 所以△ACE≌△ABD(边角边)． 创新拓展题 （2）若 ,求 的度数. 【解】因为 ,所以 .又因为 ,所以 . ,所以 ,所以易知 创新拓展题 28 （3）过点作于点,请探究,, 三条线段的 数量关系，并给出证明. 创新拓展题 29 【解】 .证明：如图， 连接,过点作于点 .因为 ,所以 , .因为, ,所以 ,所以 .在 和中， 所 创新拓展题 30 以 （斜边、直角 边）,所以.在 和 中， 所以 （斜边、直角边）， 所以 ，所以 . 返回 创新拓展题 【点拨】由题意得∠ABM＝∠ACM＝90°.在Rt△ABM和Rt△ACM中，所以Rt△ABM≌Rt△ACM(斜边、直角边)，所以∠BAM＝∠CAM，所以AM是∠PAQ的平分线． 【点拨】在△ABC中，∠C＝90°，AD＝AC，DE⊥AB交BC于点E，且AE＝AE，所以Rt△CAE≌Rt△DAE(斜边、直角边)，所以∠CAE＝∠DAE＝∠CAB. 因为∠B＋∠CAB＝90°，∠B＝28°，所以∠CAB＝90°－28°＝62°，所以∠AEC＝90°－∠CAB＝90°－31°＝59°. 【点拨】因为AD是△ABC的高，所以∠ADB＝∠ADC＝90°.在Rt△BDE和Rt△ADC中，所以Rt△BDE≌Rt△ADC(斜边、直角边)．所以DE＝CD.因为S△ABC＝14，所以BC·AD＝14.又因为AD＝BD＝4，所以(4＋CD)·4＝14，所以CD＝3＝DE，所以AE＝AD－DE＝1. 【点拨】连接AP，在Rt△APR和Rt△APS中，因为所以△APR≌△APS(斜边、直角边)，所以AS＝AR，∠BAP＝∠SAP，故①正确，因为AQ＝PQ，所以∠PAQ＝∠APQ.所以∠APQ＝∠PAR.所以PQ∥AB，故②正确，在Rt△BRP和Rt△CSP中，只有PR＝PS，所以不满足三角形全等的条件，故③错误． $