5.1 直角三角形的性质定理 课件 2025--2026学年湘教版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦直角三角形的性质（两锐角互余、斜边上中线等于斜边一半）与判定定理，通过“内角三兄弟之争”故事导入，从三角形内角和旧知自然过渡到新知，搭建学习支架帮助学生理解知识脉络。 其亮点是结合故事导入激发学习兴趣，通过动手操作（如用三角板画图探究斜边上中线性质）和逻辑推理培养数学思维中的推理能力，规范几何语言表达体现数学语言素养。学生能主动参与探究，教师可高效实施教学，提升核心素养。

第5章 直角三角形 5.1 直角三角形的性质定理 第1课时 直角三角形的性质定理 1.理解并掌握直角三角形的性质定理、判定定理。 2.会运用三角形的性质定理、判定定理解决问题 学习目标 导入新课 内角三兄弟之争 在一个直角三角形里住着三个内角，平时，它们三兄弟非常团结.可是有一天，老二突然不高兴，发起脾气来，它指着老大说：“你凭什么度数最大，我也要和你一样大!”“不行啊！”老大说，“这是不可能的，否则，我们这个家就再也围不起来了……”“为什么？”老二很纳闷.你知道其中的道理吗？ 导入新课 直角的度数为90°，老二若是和老大的度数一样大，则老二和老大的度数和就是180°，这与“三角形的内角和等于180°”相矛盾，因此是不可能的. 探究新知 活动一：探究直角三角形的性质定理1 问题1：如图，在Rt△ABC中，若∠C＝90°，则∠A+∠B＝？ 你能完成上述问题的证明过程吗？ 证明： 在Rt△ABC中， 因为∠C＝90° 所以∠A+∠B＝90°（三角形的内角和定理） 由此可得到直角三角形的什么性质1： 几何语言： 在Rt△ABC中， 因为∠C＝90° 所以∠A+∠B＝90° 直角三角形的两个锐角互余 归纳总结 问题2：＂直角三角形的两个锐角互余＂的逆命题是什么？该命题是真命题吗？ 总结：有两个角互余的三角形是直角三角形. 如果一个三角形的两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形. 如图，在Rt△ABC中， 因为∠A+∠B+∠C＝180°，∠A+∠B＝90°， 所以∠C＝90° 因此△ABC是直角三角形 探究新知 由此可得到直角三角形的判定定理： 有两个角互余的三角形是直角三角形 因此△ABC是直角三角形. 几何语言： 在△ABC中， 因为∠A+∠B＝90° 所以∠C＝90° 归纳总结 活动二：探究直角三角形的性质定理2 如图，用三角板画一个Rt△ABC，取线段AB的中点D，连接DC.以点D为圆心，DB的长为半径画圆弧，则所画的弧经过点C吗？DC与AB之间有怎样的数量关系？ 该弧经过点C，且 探究新知 是否对于任意一个直角三角形，都有斜边上的中线等于斜边的一半呢？ 在任意直角三角形中，都有斜边上的中线等于斜边的一半. 条件： 结论： 类比性质定理1的探究过程，你能用数学符号表示上面问题中的条件和结论吗？ 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线. 探究新知 求证：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线. 证明：过点D作DE//BC，DF//AC，分别交 AC，BC于点E，F， 于是∠ADE＝ ，∠AED＝∠ACB＝ ， ∠FDC＝ ，∠DFB＝∠ACB＝ . 90° 90° 探究新知 ∠B ∠ECD ∠ADE =∠B， AD = DB， 所以∠ADE≌△DBF(角角边)， 在 △DFC 与△CED 中， ∠DFC = ∠CED， DC = CD， 所以△DFC≌∠CED(角角边)， 从而 ② 由 ① 式和 ② 式得， . 在△ADE和△DBF中， 从而 ① DE = BF CF＝DE CF = BF 探究新知 ∠AED =∠DFB， ∠FDC = ∠ECD， 因此直线DF是线段BC的垂直平分线. 根据线段垂直平分线的性质定理得， 因此 DC＝DB 探究新知 由此可得直角三角形的性质定理2： 几何语言： 在 Rt△ABC 中， 因为 D 为斜边 AB 上的中点， 所以有 CD = AD = BD = AB. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 归纳总结 例1 如图，已知CD是△ABC的边AB上的中线，且CD = AB.求证：△ABC是直角三角形. 证明：因为CD = AB = AD = BD， 所以∠1 =∠A，∠2 =∠B. 因为∠A＋∠B＋∠ACB = 180°， ∠ACB ＝∠1＋∠2， 所以∠A＋∠B ＋∠1＋∠2 ＝180°. 从而 2（ ∠A＋∠B ）＝ 180°. 因此∠A ＋∠B ＝ 90°. 所以△ABC 是直角三角形. （等边对等角） （三角形内角和定理） （有两个角互余的三角形是直角三角形） 探索例题 1. 在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，斜边上的中线 CD = 2.5，则斜边 AB 的长是多少？ 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 直角三角形性质定理： AB = 2CD = 5 A B D C 【课本P159 练习 第1题】 随堂练习 2. 如图，AB∥CD，∠CAB 和∠ACD 的平分线相交于点H，E为 AC 的中点，EH = 2.那么△AHC 是直角三角形吗？为什么？若是，求出 AC 的长. 解：△AHC 是直角三角形，理由： ∵AB∥CD，∴∠CAB +∠ACD = 180°. ∵AH，CH 分别为∠CAB，∠ACD 的平分线， ∴∠CAH +∠ACH = 90°. ∴∠AHC = 90°，即△AHC 是直角三角形. ∵E 为 AC 的中点，∴AC = 2EH = 4. 【课本P159 练习 第2题】 随堂练习 性质 判定 直角三角形两锐角互余. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 有一个角是直角的三角形是直角三角形. 有两个角互余的三角形是直角三角形. 三角形一边上的中线等于这条边的一半的三角形 是直角三角形. 直角三角形 课堂小结 $