4.3.5 全等三角形的应用（ 课件 -2026-2027学年湘教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦全等三角形的判定与性质应用，涵盖实际测量、几何推理等核心内容，通过测量池塘距离、河宽等实际问题导入，衔接全等判定方法，以四大判定选用总结、三大经典模型搭建学习支架，帮助学生形成“构造全等—证明全等—得结论”的解题逻辑。 其亮点在于以数学眼光观察现实问题，将测量河宽、玻璃瓶内径等场景转化为几何模型，体现模型意识；通过8字模型证明AC=BD等例题培养推理能力，步骤模板化强化数学思维。学生能提升实际应用能力，教师可借助系统资源提高教学效率。

湘教版数学八年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年6月12日 4.3.5 全等三角形的应用 第4章 三角形 湘教版数学八年级下册4.3.5 全等三角形的应用同步讲义与练习 本节核心考点：利用全等三角形的判定与性质，解决实际测量、线段相等、角度相等、平行证明等几何综合问题；掌握全等经典几何模型，学会将实际问题转化为几何全等模型，是几何大题、实际应用题的核心考点。 一、核心知识点精讲 1. 全等三角形应用核心原理 核心思想：转化思想。 生活中很多无法直接测量的长度、距离、角度，可通过构造全等三角形，把不可测量的量转化为可测量的量。 解题逻辑：构造全等 → 证明全等 → 利用全等对应边角相等 → 得出所求量。 2. 全等三角形两大核心应用场景 （1）实际测量应用 测量池塘两端距离、河宽、障碍物两端距离、物体高度等无法直接测量的线段长度。 （2）几何推理应用 证明线段相等、角相等、两直线平行、垂直，解决几何综合计算与证明大题。 3. 四大全等判定方法选用总结（实战版） ① 已知三边条件、线段和差问题 → 优先SSS ② 已知两边条件、含夹角（对顶角、公共角） → 优先 SAS ③ 已知平行、两角条件、含夹边 → 优先 ASA ④ 已知两角、无夹边，有对边 → 优先AAS ⑤ 绝对禁用：SSA、AAA 4. 三大必考经典全等模型（本节重点） 模型一：背靠背模型（公共边模型） 两个三角形共用一条公共边，常考SSS、SAS判定，是最基础、最高频模型。 特征：共边、左右两个三角形对称，常用于证明边角相等。 模型二：8字模型（对顶角模型） 两直线相交形成对顶角，构成“8”字形三角形，常考SAS、AAS、ASA。 特征：隐藏对顶角相等，无需额外证明，直接作为夹角条件。 模型三：平移线段模型（线段和差模型） 三角形平移后形成共线线段，通过线段相加、相减得到相等对应边，常考SSS、SAS。 特征：BE=CF → BE+EC=CF+EC → BC=EF，是考试万能套路。 5. 实际测量通用解题步骤（满分模板） 1. 建模：将实际场景转化为几何三角形图形； 2. 找条件：梳理已知相等的边、角、隐藏条件； 3. 证全等：选用合适判定定理证明三角形全等； 4. 得结论：利用全等对应边相等，得到待测长度。 二、选择题（每题4分，共24分） 1. 测量池塘两端无法直接测量的距离，利用的数学原理是（） A. 三角形稳定性 B. 全等三角形对应边相等 C. 平行线性质 D. 对顶角相等 2. 8字全等模型中，最核心的隐藏相等条件是（） A. 公共边 B. 对顶角相等 C. 直角相等 D. 内错角相等 3. 已知BE=CF，可推出BC=EF，依据是（） A. 等式的性质 B. 全等性质 C. 平行性质 D. 对顶角性质 4. 证明两条线段相等，最常用的几何方法是（） A. 证明三角形全等，利用对应边相等 B. 目测相等 C. 周长相等 D. 面积相等 5. 下列不能用来构造全等测量距离的是（） A. SAS B. ASA C. SSA D. SSS 6. 全等三角形应用的核心数学思想是（） A. 分类讨论 B. 转化思想 C. 数形结合 D. 方程思想 三、填空题（每题4分，共24分） 7. 利用全等三角形解决实际问题的核心是将未知量________为已知量。 8. 全等三角形的________、________相等，是几何推理的重要依据。 9. 8字模型的核心隐藏条件是________。 10. 线段和差推导边长相等的依据是________。 11. 无法直接测量的距离，可通过构造________来求解。 12. 背靠背全等模型的核心条件是________。 四、解答题（共52分） 13.（16分）基础应用（8字模型）： 如图，AB、CD相交于点O，OA=OB，OC=OD。求证：AC=BD。 14.（18分）线段平移模型应用： 已知：点B、E、C、F在同一直线上，AB=DE，AB∥DE，BE=CF。求证：AC=DF。 15.（18分）实际测量应用题（必考题型）： 要测量池塘两端A、B的距离，先在地面取一点O，连接AO、BO并延长，使OC=OA，OD=OB，连接CD，测量CD的长度即为AB的长度，请说明理由。 五、参考答案与详细解析 一、选择题 1.B（利用全等三角形对应边相等，转化测量未知距离）； 2.B（8字模型核心隐藏条件：对顶角相等）； 3.A（等式左右同时加相等线段，等式依然成立）； 4.A（几何中证明线段、角相等，首选全等三角形）； 5.C（SSA不能判定全等，无法用于测量证明）； 6.B（将未知不可测量转化为已知可测量，属于转化思想）。 二、填空题 7. 转化 8. 对应边；对应角 9. 对顶角相等 10. 等式的性质 11. 全等三角形 12. 公共边相等 三、解答题 13. 证明： 在△AOC和△BOD中 ∵ OA=OB（已知） 　 ∠AOC=∠BOD（对顶角相等） 　 OC=OD（已知） ∴ △AOC≌△BOD（SAS） ∴ AC=BD（全等三角形对应边相等）。 14. 证明： ∵ AB∥DE（已知），∴ ∠B=∠DEF（两直线平行，同位角相等） ∵ BE=CF（已知） ∴ BE+EC=CF+EC（等式的性质），即BC=EF 在△ABC和△DEF中 ∵ AB=DE（已知） 　 ∠B=∠DEF（已证） 　 BC=EF（已证） ∴ △ABC≌△DEF（SAS） ∴ AC=DF（全等三角形对应边相等）。 15. 解：理由如下： 在△AOB和△COD中 ∵ OA=OC（已知） 　 ∠AOB=∠COD（对顶角相等） 　 OB=OD（已知） ∴ △AOB≌△COD（SAS） ∴ AB=CD（全等三角形对应边相等）。 ∴ 测量出CD的长度，即可得到池塘两端AB的距离。 本节易错必记 1. 所有实际测量问题，本质都是构造全等、转化边长，无其他解题思路； 2. 证明线段、角度相等，必须先证全等，再用对应边角相等得出结论，不能跳过全等； 3. 线段和差步骤必须写等式的性质，考试得分关键点； 4. 隐藏条件优先找：公共边、公共角、对顶角、平行线同位角/内错角； 5. 严禁使用SSA、AAA判定全等，应用题中直接扣分； 6. 几何大题必须步步有据，条件齐全、定理对应、不跳步。 第四章 三角形证明与全等 全章终极总结 1. 命题分真假，证明求真、反例辨假； 2. 公理无需证，定理推论需证明，均可作推理依据； 3. 全等性质：对应边角、周长、面积、中线、高线全部相等； 4. 全等四判定：SAS、ASA、AAS、SSS； 5. 全等两陷阱：SSA、AAA永远不能判定全等； 6. 应用核心：构造全等，转化未知量为已知量。 学习目标 1.熟练掌握全等三角形的判定定理，全面认清条件 2.能正确地利用相关条件判定三角形全等； 3.运用全等三角形的判定方法解决线段相等和角 相等的相关应用问题. 学习目标 思考：如图，为测量河宽 AB，小楠从河岸的 A 点沿着与 AB 垂直的方向走到 C 点，并在 AC 的中点 E 处立一根标杆，然后从 C 点沿着与 AC 垂直的方向走到 D 点，使点D，E，B 恰好在一条 直线上. 于是小楠说： “CD 的长就是河的宽度.” 你认为小楠说得对吗？ 为什么? A B E C D 1 全等三角形的实际应用 解： 如图，在△AEB 和△CED 中， ∠A =∠C = 90°， AE = CE， ∠AEB =∠CED (对顶角相等)， 所以△AEB≌△CED (角边角). 从而 AB = CD. 即 CD 的长就是河的宽度. 因此，小楠说得对. 例1 小玲家有一个小口玻璃瓶，她想知道它的内径是多少，但是尺子不能伸到里边测量，于是她想了个办法：将两根长度相同的细木条的中点固定在一起，木条可以绕中点转动(如图所示)，使 CD 与瓶底平行，这样只要量出 AB 的长，就可以知道玻璃瓶的内径是多少，你知道其中的理由是什么吗 （木条的粗细忽略不计)？ 分析：只需要说明 AB 和 CD 相等即可. 解：如图，连接 AB，CD， 所以△AOB≌△COD (边角边)， 从而 AB = CD， 即 AB 的长等于玻璃瓶的内径. 由题意可知，OA = OB = OC = OD. 在△AOB 和△COD 中， OA = OC， ∠AOB =∠COD (对顶角相等)， OB = OD， 例2 在甲楼底部、乙楼顶部分别安装一盏射灯. 其中 A 灯恰好照到 B 灯，B 灯恰好照到甲楼的顶部 C 处，如图所示. 已知 AE 为水平线，CA⊥AE，BE⊥AE，如果两盏灯的光线 AB，BC 与水平线的夹角相等，那么能否说甲楼高度是乙楼高度的 2 倍？为什么? 解：如图，过点 B 作 BF⊥AC，交 AC 于点 F，则∠CFB =∠AFB = 90°. 又∠CFB =∠CAE = 90°， 所以 FB∥AE， 从而∠ABF =∠BAE. 因为两盏灯的光线 AB，BC 与水平线的夹角相等， 所以∠CBF =∠BAE，从而∠CBF =∠ABF. 所以△CBF≌△ABF（角边角），从而 CF = AF. 又 FA⊥AE，BE⊥AE，且 AE∥FB， 所以 AF，EB 是平行线 AE 与 FB 的公垂线段， 故 AF = EB，从而AC = 2AF = 2EB. 因此，可以说甲楼高度是乙楼高楼的 2 倍. 在△CBF 和△ABF 中， ∠CBF =∠ABF， BF = BF， ∠CFB =∠AFB， 例3 已知：如图，AB = CD，BC = DA，E，F 是 AC上的两点，且 AE = CF. 求证：BF = DE. 证明：在△ABC 和△CDA 中， ∴△ABC≌△CDA (SSS). ∴∠BCF =∠DAE. AB = CD， BC = DA， AC = CA (公共边)， 在△BCF 和△DAE 中， ∴△BCF≌△DAE (SAS). ∴ BF = DE. BC = DA， ∠BCF = ∠DAE， CF = AE， 全等三角形的判定与性质的综合运用 2 9 例4 如图，在四边形 ABCD 中，AB＝AD，BC＝DC，E 为 AC 上的一动点(不与 A 重合)，在点 E 移动的过程中 BE 和 DE 是否相等？若相等，请写出证明过程；若不相等，请说明理由． 解：相等．理由如下： 在△ABC 和△ADC 中， AB＝AD， AC＝AC， BC＝DC， ∴△ABC≌△ADC (SSS)， ∴∠DAE＝∠BAE. 在△ADE 和△ABE 中， AB＝AD， ∠DAE＝∠BAE， AE＝AE， ∴△ADE≌△ABE (SAS). ∴ BE＝DE. 10 本题考查了全等三角形的判定和性质，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．本题要特别注意“SSA”不能作为三角形全等的证明依据使用． 方法总结 例5 如图，已知 CA = CB，AD = BD，M，N 分别是 CA，CB 的中点，求证：DM = DN. 在△ACD 与△BCD 中， 证明： CA = CB (已知)， AD = BD (已知)， CD = CD (公共边)， ∴△ACD≌△BCD (SSS). 连接 CD，如图所示. ∴∠A =∠B. 又∵M，N 分别是 CA，CB 的中点， ∴ AM = BN. N A B D C M 在△AMD 与△BND 中， AM = BN (已证)， ∠A =∠B (已证)， AD = BD (已知)， ∴△AMD≌△BND (SAS). ∴ DM = DN. N A B D C M 1．[株洲市期末]如图，某校学生为测量 点 到河对面的目标之间的距离，他们在 点同侧 选择了一点，测得 , , 然后在处立了标杆，使 ，那么他 们为了能测得， 之间的距离，还需要( ) D A. 直接测量 的长度 B. 测量 的长度 C. 测量 的度数 D. 作 交于点，测量出 的长度 返回 考试考法 14 2. 风力发电具有环保、节能、可再生等优点，现已被广泛推广应用，其风力发电基础底座直径的大小引起同学们的兴趣，某综合实践小组的同学开展了以测量为主题的项目学习活动，形成了如下活动报告： 项目主题 实物的测量与计算 驱动问题 如何测量风力发电基础底座的直径 活动内容 利用三角形全等的知识进行测量与计算 考试考法 15 活动过程 如图所示为测量方案示意图，AB为东西方向风力发电基础底座的直径． ①从点A处向正西方向步行4 m到达点C处； ②从点B处向正东方向步行4 m到达点D处； ③从点D处沿正南方向步行一定距离 到达点E处，F为DE的中点； ④从点E处沿正东方向步行16 m到达 点G处，此时C，F，G三点在一条直线上 考试考法 (1)请根据上述数据,计算风力发电基础底座的直径AB的长． 【解】根据题意，得∠CDF＝∠GEF，∠CFD＝∠GFE. 因为F为DE的中点，所以DF＝EF. 在△CDF和△GEF中，∠CDF＝∠GEF， DF＝EF，∠CFD＝∠GFE， 所以△CDF≌△GEF(角边角)．所以CD＝GE＝16 m. 因为AC＝BD＝4 m， 所以AB＝CD－AC－BD＝16－4－4＝8(m)． 考试考法 17 返回 (2)请你设计一个不同的测量方案，并在图中画出示意图．(不需写出测量数据) 【解】答案不唯一，合理即可．如：如图，分别在AB，BA的延长线上取两点D，C，在风力发电基础底座外取一点E(点E不在直线AB上)，作射线DE，CE，并分别在射线CE，DE上取点F，G，使EF＝CE，EG＝DE，连接GF，测得AC，BD，GF的长即可． 考试考法 18 3．小川在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其做了进一步的探究．在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂个小球A，小球A可以自由摆动，如图①，OA表示小球静止时的位置，当小川用发声物体靠近小球时， 考试考法 19 如图②，小球从OA摆到OB位置，此时过点B作BD⊥OA于点D，且测得点B到OA的距离BD为10 cm，当小球摆到OC位置时，OB与OC恰好垂直(图中的A，B，O，C在同一平面上)，过点C作CE⊥OA于点E，测得点C到OA的距离CE为18 cm，则在两次摆动中，点B和点C的高度差DE的长为________cm. 8 考试考法 20 4. 如图，为了测量学校旗杆AB和教学楼CE顶端之间的距离，学习小组设计了如下的测量方案，他们首先取地面BC的中点D，此时用测角仪恰好测得∠ADE＝90°，并量得旗杆高度AB＝10.8 m，教学楼高度CE＝20.2 m，则AE的长为________m.   31 考试考法 21 判定三角形全等的思路 已知两边 已知一边一角 已知两角 找夹角(SAS) 找第三边(SSS) 找任一角(AAS) 边为角的对边 边为角的一边 找角的另一边(SAS) 找边的对角(AAS) 找夹边的另一角(ASA) 找夹边(ASA) 找其中一角的对边(AAS) 课堂小结 $