5.3 直角三角形全等的判定 课件2025-2026学年湘教版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦直角三角形全等的“斜边、直角边”（HL）定理，通过复习SAS、ASA等已有全等判定方法，以问题链引导学生思考直角三角形特有条件，构建从旧知到新知的学习支架，衔接自然。 其亮点在于以探究式学习培养数学思维，通过勾股定理推导HL定理证明过程提升推理能力，结合滑梯等生活情境增强几何直观，以规范符号语言表述定理体现模型意识。采用例题解析与分层练习结合的教学方法，帮助学生提升应用能力，也为教师提供系统教学资源。

5.3 直角三角形全等 的判定 第四章 三角形 数学湘教版八年级上册 1.熟练并掌握直角三角形全等的判定-“斜边、直角边”定理； 2.能正确应用“斜边、直角边”定理证明两个三角形全等； 3.已知斜边、直角边会画直角三角形，经历画直角三角形探究得到“斜边、直角边”定理，体会“斜边、直角边”定理的合理性； 4.经历探索三角形全等的条件的过程，体会运用操作、归纳获取数学结论的方法，初步形成解决问题的基本策略． 重点 难点 学习目标 到目前为止，我们已学过哪些方法判定两三角形全等？ 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等. 3.角角边(AAS) 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等. 2.角边角(ASA) 1.边角边(SAS) 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等. 4.边边边(SSS) 三边分别相等的两个三角形全等. 复习回顾 (1)对于两个直角三角形，已有一个直角相等，要判定这两个直角三角形全等，可以添加哪些条件呢？ ①添加一个锐角和一边分别相等，则由角角边或角边角就可以判定两个直角三角形全等； ②添加两直角边分别相等，则由边角边也可以判定两个直角三角形全等. 探究新知 (2)若有一条直角边和斜边分别相等，这两个三角形全等吗？ 已知两个直角三角形的一条直角边和斜边分别相等，根据勾股定理可求出另外一条直角边也相等，故利用边边边可证明两直角三角形全等. 你能根据上述思路，证明一条直角边和斜边分别相等的两个三角形全等吗？ 探究新知 证明：在Rt△ABC中，由勾股定理得， BC²=AB²-AC², 同理，在Rt△A'B'C'中，B'C'²=A'B'²-A'C'². 由于AB=A'B'，AC=A'C'，因此BC²=B'C'²，从而BC=B'C'. 在△ABC与△A'B'C'中，AB=A'B'，BC=B'C'，AC=A'C'， 因此△ABC≌△A'B'C'(SSS). A B C A′ B′ C′ 已知：如图，在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∠C=∠C'=90°，AB=A'B'， AC=A'C'.求证：△ABC≌△A'B'C'. 探究新知 由此可得判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理： 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等. 简写成“斜边、直角边”或“HL”. B C A A' C' B' 注意：“斜边、直角边”是判定直角三角形全等的特有方法，两个“△”前要加“Rt”. 探究新知 例1 如图，BD，CE 是△ABC 的高，且BE = CD. 求证：Rt△BEC≌Rt△CDB. A B C E D 分析：由三角形的高得到直角三角形，再由HL证全等即可. 注意 找到隐藏的公共边是解决此题的关键. 教材 例题 应用新知 例2 已知一直角边和斜边作直角三角形. 如图，已知线段a，c（c>a）.求作Rt△ABC， 使得斜边AB=c，一条直角边BC=a. 作法：(1)作一条直线l，在直线l上截取BC=a； (2)过点C作直线l的垂线CD； (3)以点B为圆心，以c为半径画圆弧，交CD于点A，连接AB，于是△ABC为所求作的直角三角形. a B c C l D A 教材 例题 应用新知 例3 如图，AB=CD，BF⊥AC，DE⊥AC，AE=CF. 求证：BF=DE. A F C E D B 证明：因为 BF⊥AC，DE⊥AC， 所以∠BFA=∠DEC=90°. 因为AE=CF， 所以AE+EF=CF+EF，即AF=CE. 在Rt△ABF和Rt△CDE中， AB=CD， AF=CE. 所以 Rt△ABF≌Rt△CDE(HL). 所以BF=DE 注意 一定要注意HL只能用于证明直角三角形的全等. 经典例题 应用新知 教材 练习 1.下面说法是否正确?为什么? (1)两个锐角对应相等的两个直角三角形全等; (2)两条直角边对应相等的两个直角三角形全等. 解：(1)两个锐角对应相等，加上一对直角，三个角对应相等不能得到两个三角形全等; (2)两条直角边对应相等，结合直角，利用SAS可证全等；或根据勾股定理可得斜边相等，故利用HL也可证两个直角三角形全等. 课堂练习 2. 如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度 AC 与右边滑梯水平方向的长度 DF 相等，且AC⊥AB，DE⊥DF，两个滑梯的倾斜角∠ABC和∠DFE的大小有什么关系？ 解：因为AC⊥AB，DE⊥DF， 所以△ABC 和△DEF是直角三角形. 在 Rt△ABC 和 Rt△DEF 中， BC = EF， AC = DF， 所以Rt△ABC≌Rt△DEF (HL). 所以∠ABC = ∠DEF(全等三角形对应角相等). 因为 ∠DEF +∠F = 90°，所以∠ABC +∠DFE= 90°. 教材 练习 课堂练习 3. 如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点E ，AD、CE交于点H，已知EH=EB=3，AE=4， 则CH的长为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 A 课堂练习 证明：因为点D为BC的中点，所以BD=CD 因为DE⊥AB，DF⊥AC，所以∠BED=∠CFD=90°， 即△BED和△CFD都是直角三角形 在Rt△BED和Rt△CFD中， 因为 BD=CD(斜边)，DE=DF(直角边)， 所以 Rt△BED ≌Rt△CFD(HL). 4.如图，在△ABC中，点D为BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，点E、F为垂足，DE=DF.求证：Rt△BED≌Rt△CFD. A B C E F D 课堂练习 5.如图，点E在BC上，AC⊥CB，DB⊥BC，且AC=BE，AB=DE． 求证：CE=BD-AC． 证明：因为AC⊥CB，DB⊥BC，所以∠C=∠DBC=90°， 所以△ABC和△EDB都是直角三角形， 在Rt△ABC和Rt△EDB中， AC=EB，AB=ED. 所以Rt△ABC≌Rt△EDB(HL). 所以BC=BD，所以CE=BC-BE=BD-AC. 课堂练习 6. 如图，∠C=90°，AC=4，BC=3，射线AP⊥AC，点D和E分别在线段AC和射线AP上运动，且DE=AB.当AE=_____时，△ABC与△ADE全等. 分析：△ABC与△ADE全等，根据∠C=∠EAC=90°，可知Rt△ABC≌Rt△DEA或Rt△ACB≌Rt△EAD，由此根据全等三角形的性质，求线段AE的长. 3或4 课堂练习 定理 如图，在△ABC与△A'B'C'中， 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.简写成“斜边直角边”或“HL.”. 直角三角形全等的判定 所以△ABC≌△A'B'C'(HL). AB=A'B'， AC=A'C'， 总结归纳 $