2026年山东省中考数学自编预测卷

**基本信息** 2026年山东省中考数学预测卷以科技前沿（大模型Token调用量）、文化传承（《增删算法统宗》古算诗）、生活实际（气温水温测量、教室内CO₂检测）为情境，覆盖初中数学核心知识，注重抽象能力、推理意识与模型观念的考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|无理数、图形对称、三视图、科学记数法等|结合微分几何曲线考对称，古算诗考方程思想| |填空题|5/15|代数式取值、函数图像、方程根、规律探究等|动态几何（矩形中动线段最值）与规律题结合| |解答题|8/75|计算、几何证明、统计、函数综合、实践探究|CO₂检测一次函数应用，抛物线与几何综合，平移旋转探究（Rt△中矩形判定及旋转距离计算）|

2026年山东省中考数学考前预测卷 一．选择题一．选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求．） 1．下列各数中是无理数的是（　　） A． B． C．0. D．13 2．数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 3．如图所示的几何体，它的俯视图是（　　） A． B． C． D． 4．截至2026年3月，我国日均词元（Token，是大模型理解和生成文本时的最小基本单位）调用量突破140万亿．将数据140万亿用科学记数法表示为（　　） A．1.4×1013 B．14×1013 C．0.14×1014 D．1.4×1014 5．下列计算正确的是（　　） A．x2+x2＝x4 B．（﹣2xy3）2＝4x2y3 C．（﹣2a﹣3）（2a﹣3）＝9﹣4a2 D．（2a﹣b）2＝4a2﹣2ab+b2 6．如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点F在AC上，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，∠EFD＝90°，∠DEF＝45°，AB∥DE．则∠AFD的度数是（　　） A．25° B．20° C．15° D．10° 7．我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿少二竿．”其大意是：牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知有多少人和竹竿．若每人6竿，则多14竿；若每人8竿，则少2竿．甲、乙两位同学分别给出自己的解法： 甲：设竹竿有x竿，根据题意可列方程； 乙：设牧童有y人，根据题意可列方程6y+14＝8y﹣2． 下列判断正确的是（　　） A．甲、乙都正确 B．甲正确，乙错误 C．甲错误、乙正确 D．甲、乙都错误 8．学校需要从甲、乙、丙、丁、戊五位优秀的班干部中随机选取3人担任某一次升旗仪式的旗手，则同时选中丁、戊的概率为（　　） A． B． C． D． 9．如图，⊙O为正五边形ABCDE的外接圆，过点C作⊙O的切线CF，则∠FCB的度数为（　　） A．36° B．32° C．30° D．27° 10．星期天，小明从早上六点开始每隔半小时对他家附近的气温和一个水池里的水温进行测量，并根据记录的数据绘制成如图所示的图象（实曲线表示气温，虚曲线表示水温），其中横轴表示时间，纵轴表示温度，已知水池里水的质量为100t． 小贴士 ①物质吸收或释放的热量Q＝cmΔt，其中c为该物质的比热容，m为该物质的质量，Δt为该物质升高或降低的温度． ②水的比热容． 下列说法正确的是（　　） A．气温与时间的关系为二次函数关系 B．水温上升或下降的速度比气温快 C．质量为1g的空气在6﹣8时吸收的热量比在16﹣18时放出的热量少 D．水池里的水在6﹣13时吸收的热量约为4.2×108J 二．填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分．） 11．代数式中x的取值范围是　 　 ． 12．若点P（a，b）在函数y＝2x﹣5的图象上，则代数式2a﹣b+2026的值为　 　 ． 13．如果关于x的方程kx2﹣（2k+1）x+k＝0有实数根，那么k的取值范围是　 　 ． 14．如图，在平面直角坐标系中，点A1，A2，A3，A4，…在x轴的正半轴上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，直线OM的表达式为．若点A1的坐标为（1，0），且△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形，则△A2026B2026A2027的面积为　 　 ． 15．如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点E是边AD上的动点，点F在边CD上，CF＝DE．连接AF，CE，则AF+CE的最小值为　 　 ． 三．解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16．(8分）（1）． （2）先化简，再求值：，其中﹣2≤x≤2，选取一个合适的整数． 17．(8分）如图，在矩形ABCD中，以A为圆心，AD长为半径作弧，交BC于点E，连结AE，DE． （1）如图1，若EC＝1，DC＝3，求AD的长． （2）如图2，分别以A，E为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于P，Q，作直线PQ交AE于点F，交BC于点G，连结AG．求证：∠AGB＝4∠EDC． 18．．(8分）在北方冬季，对某校一间坐满学生、门窗关闭的教室中CO2的总量进行检测，部分数据如下： 教室连续使用时间x（分） 5 10 15 20 CO2总量y（m3） 0.6 1.1 1.6 2.1 经研究发现，该教室空气中CO2总量y（m3）是教室连续使用时间x（分）的一次函数． （1）求y与x的函数关系式；（不要求写出自变量x的取值范围） （2）根据有关资料推算，当该教室空气中CO2总量达到6.7m3时，学生将会稍感不适，请通过计算说明，该教室连续使用多长时间学生将会开始稍感不适； （3）如果该教室在连续使用45分钟时开门通风，在学生全部离开教室的情况下，5分钟可将教室空气中CO2的总量减少到0.1m3，求开门通风时教室空气中CO2平均每分钟减少多少立方米？ 17．(10分）为纪念中国工农红军长征胜利89周年，某学校组织开展了以“重走长征路，奋进新征程”为主题的红色知识竞赛活动．从八、九年级学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用x表示，共分为四组：A．90≤x≤100，B．80≤x＜90，C．70≤x＜80，D．60≤x＜70，得分在90分及以上为优秀），下面给出了部分信息： 八年级20名学生的竞赛成绩是：68，72，77，80，82，84，85，85，86，86，88，89，94，94，94，98，99，99，100，100． 九年级20名学生竞赛成绩在B组的数据是：83，85，86，87，88，89． 八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 八年级 88 87 b 九年级 88 a 95 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中的m＝　 　 ，a＝　 　 ，b＝　 　 ； （2）根据以上数据分析，你认为该校八、九年级中哪个年级学生的知识竞赛成绩更好？请说明理由．（写出一条理由即可） （3）若该校九年级有940名学生参加了此次以“重走长征路，奋进新征程”为主题的知识竞赛，估计该校九年级学生参加此次知识竞赛成绩达到优秀的共有多少人？ 20．．(10分）如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠CAB的平分线交BC于点D，交⊙O于点E，连接EB，作∠BEF＝∠CAE，交AB的延长线于点F． （1）求证：EF是⊙O的切线； （2）若BF＝4，EF＝8，求BC的长． 21．(9分）一辆汽车停放于积水水平路面上，如图1是该汽车轮胎的截面示意图，其半径为30cm；如图2，当该汽车行驶到坡角为14°的斜坡CD上的D点时（轮胎截面⊙O与斜坡相切于点D），连接OD并延长交水平地面于点E，已知CD＝180cm． （1）DE的长度约为　 　 cm； （2）求车轮轮胎中心O到水平地面的距离OM的长（结果保留小数点后一位．参考数据：sin14°≈0.24，cos14°≈0.97，tan14°≈0.25）． 22．．(11分）已知抛物线y＝x2﹣ax+5（a为常数）经过点（1，0）． （1）求a的值． （2）过点A（0，t）与x轴平行的直线交抛物线于B，C两点，且点B为线段AC的中点，求t的值． （3）设m＜3，抛物线y＝x2﹣ax+5（m≤x≤n）的一段夹在两条均与x轴平行的直线l1，l2之间．若直线l1，l2之间的距离为16，求n﹣m的最大值． 23．(11分）综合与实践 问题情境： 如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线． 初步探究： （1）如图2，将△BCD沿CD方向平移，当点C落在点D的位置时，D，B的对应点分别是D′、B′，连接AD′、BD′．“笃学”小组发现四边形ACBD′的形状是矩形，请你证明这一结论． 深入思考： （2）“勤思”小组将△DD′B′绕点D顺时针旋转得到△DNM，D′、B′的对应点分别是N，M，若BC＝6，AC＝8． ①如图3，当DM⊥BC时，DM与CB交于点E，MN与CB交于点P，求线段EP的长． ②连接B′B，当DM∥B′B时，请直接写出N到B′B的距离． 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．【解答】解：，0.，13是有理数， 是无理数， 故选：B． 2．【解答】解：A、图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B、图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C、图形既是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意； D、图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意， 故选：C． 3．【解答】解：从上面看这个组合体，所看到的图形如下： 故选：B． 4．【解答】解：140万亿＝140000000000000＝1.4×1014． 故选：D． 5．【解答】解：A、原式＝2x2，错误； B、原式＝4x2y6，错误； C、原式＝9﹣4a2，正确； D、原式＝4a2﹣4ab+b2，错误． 故选：C． 6．【解答】解：如图， ∵∠ACB＝90°，∠ABC＝60°， ∴∠A＝180°﹣∠ACB﹣∠ABC＝180°﹣90°﹣60°＝30°， ∵∠EFD＝90°，∠DEF＝45°， ∴∠D＝180°﹣∠EFD﹣∠DEF＝180°﹣90°﹣45°＝45°， ∵AB∥DE， ∴∠1＝∠D＝45°， ∴∠AFD＝∠1﹣∠A＝45°﹣30°＝15°， 故选：C． 7．【解答】解：牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知有多少人和竹竿．若每人6竿，则多14竿；若每人8竿，则少2竿．甲、乙两位同学分别给出自己的解法： 甲：设竹竿有x竿，根据题意可列方程； 乙：设牧童有y人，根据题意可列方程6y+14＝8y﹣2． ∴甲、乙两位同学的方程均正确， 故选：A． 8．【解答】解：先求出从5人中选3人的所有等可能结果数，再求出同时选中丁、戊的结果数，最后根据概率公式计算如下： （甲、乙、丙）、（甲、乙、丁）、（甲、乙、戊）、（甲、丙、丁）、（甲、丙、戊）、（甲、丁、戊）、（乙、丙、丁）、（乙、丙、戊）、（乙、丁、戊）、（丙、丁、戊）， 故有10种等可能的结果，同时选中丁、戊有3种结果， 则其概率为． 故选：B． 9．【解答】解：连接OC，OB， 由题意可得OB＝OC，∠BOC＝360°÷5＝72°， ∴， ∵CF为⊙O的切线， ∴∠OCF＝90°， ∴⊙O为正五边形ABCDE的外接圆，过点C作⊙O的切线CF，则∠FCB＝∠OCF﹣∠OCB＝36°． 故选：A． 10．【解答】解：根据图象所得的信息逐项分析判断如下： A．由图象不是抛物线可知，气温与时间的关系不是二次函数关系，该选项错误； B．由图象可知，在10：00﹣14：00时，气温上升的速度比水温快，该选项错误； C．由图象可知质量为1g的空气在6﹣8时吸收的热量比在16﹣18时放出的热量少，故该选项正确． D．Q＝cmΔt＝4.2×103×100000×（25﹣15）＝4.2×109J， ∴水池里的水在6﹣13时吸收的热量约为4.2×109J，该选项错误． 故选：C． 二．填空题（共5小题） 11．【解答】解：要使代数式有意义，需同时满足二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，可得：， 解得x＞2． 故答案为：x＞2． 12．【解答】解：由条件可得2a﹣5＝b， ∴2 a﹣b＝5， ∴2a﹣b+2026＝5+2026＝2031． 故答案为：2031． 13．【解答】解：①当k＝0时，2k+1≠0，该方程是一元一次方程，有实数根； ②当k≠0时，Δ＝[﹣（2k+1）]2﹣4k2≥0， 整理的：4k+1≥0， 解得：k， 故k的取值范围是k且k≠0． 综合①②k是取值范围是k． 故答案为：k． 14．【解答】解：由题知， ∵△A1B1A2是等边三角形， ∴∠B1A1A2＝60°． ∵直线OM的表达式为， ∴∠B1OA1＝30°， ∴∠B1OA1＝∠OB1A1＝30°． ∵点A1的坐标为（1，0）， ∴A1B1＝OA1＝1， ∴A1A2＝A1B1＝1． 过点B1作x轴的垂线，垂足为M， ∴， ∴， 同理可得，，，，…， 所以． 当n＝2026时， ． 故答案为：． 15．【解答】解：如下图，在CB上取点H，使得CH＝CD，连接HF，过点H作HG⊥AD于点G，作点A关于CD的对称点A′，连接A′F，A′D， 由题意可得：∠ADC＝∠DCB＝90°，CD＝AB＝4， 在△HCF和△CDE中， ， ∴△HCF≌△CDE（SAS）， ∴HF＝CE， 由题意可得： ∴AF＝A′F，AD＝A′D＝6， ∴AF+CE＝A′F+HF， 当点A′，F，H三点共线时，A′F+HF取最小值，即AF+CE取最小值， ∵∠HCD＝∠CDG＝∠HGD＝90°， ∴四边形HGDC为矩形， ∴GD＝CH＝CD＝4，GH＝CD＝4， ∴A′G＝A′D+DG＝10， ∴， ∴此时，即AF+CE的最小值为． 故答案为：． 三．解答题（共8小题） 16．【解答】解：（1） ＝1﹣523 ＝﹣4； （2） ， ∵x≠0，x+2≠0，x﹣2≠0，x+1≠0， ∴x≠0，x≠±2，x≠﹣1， ∵﹣2≤x≤2且x为整数， ∴当x＝1时，原式． 17．【解答】（1）解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝DC＝3，∠ABC＝90°，AD＝BC， 设AD＝BC＝x，则BE＝BC﹣EC＝x﹣1， ∵以A为圆心，AD长为半径作弧，交BC于点E， ∴AE＝AD＝x， ∵AB2+BE2＝AE2， 即32+（x﹣1）2＝x2， 解得x＝5， ∴AD的长为5； （2）证明：由作图可知：PQ是线段AE的垂直平分线， ∴GA＝GE， ∴∠GAE＝∠GEA， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∴∠ADE＝∠DEC，∠DAE＝∠GEA， ∴∠DAE＝∠GAE， ∵AD＝AE， ∴∠ADE＝∠AED， 设∠EDC＝α，则∠DEC＝90°﹣α， ∴∠ADE＝∠DEC＝90°﹣α， ∴∠AED＝90°﹣α， ∴∠DAE＝180°﹣2（90°﹣α）＝2α， ∴∠GEA＝∠DAE＝∠GAE＝2α， ∵∠AGB是△AGE的外角， ∴∠AGB＝∠GAE+∠GEA＝4α， 即∠AGB＝4∠EDC． 18．【解答】解：（1）设y＝kx+b（k≠0）， 由已知，得 解得，∴y＝0.1x+0.1．（2分） （2）在y＝0.1x+0.1中，当y＝6.7时，x＝66（分）． 答：该教室连续使用66分钟学生将会开始稍感不适． （3）∵当x＝45时，y＝4.6， ∴（立方米）． 答：开门通风时教室空气中CO2的总量平均每分钟减少0.9立方米． 19．【解答】解：（1）八年级20名学生的竞赛成绩中，94出现次数最多，所以众数b＝94； 九年级20名学生竞赛成绩在B组的数据有6个，故，即m＝30； 竞赛成绩在C、D组的占1﹣30%﹣45%＝25%， ∴竞赛成绩在C、D组的有20×25%＝5（名）， 将20名学生竞赛成绩从小到大排列，中位数为第10、11位的平均值，所以中位数， 故答案为：30，88.5，94； （2）根据表格可得，88.5＞87，即九年级的中位数大于八年级的中位数， 因为均值相同，九年级的中位数大于八年级的中位数， 故九年级学生的知识竞赛成绩更好； （3）根据扇形图可得，九年级学生知识竞赛成绩达到优秀占45%， 该校九年级学生参加此次知识竞赛成绩达到优秀的有940×45%＝423（人）． 20．【解答】（1）证明：已知△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠CAB的平分线交BC于点D，交⊙O于点E，连接OE， ∵BE是∠CAB的平分线， ∴∠CAE＝∠EAB． ∵OA＝OE， ∴∠EAB＝∠AEO， ∵∠BEF＝∠CAE， ∴∠BEF＝∠AEO， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠AEB＝90°， ∴∠AEO+∠OEB＝90°， ∴∠BEF+∠OEB＝90°， 即∠OEF＝90°， ∴EF是⊙O的切线； （2）解：设⊙O的半径为r， 则OB＝OE＝r， 在Rt△OEF中，OE2+EF2＝OF2， ∴r2+82＝（r+4）2， 解得r＝6， ∴OB＝6， ∴AB＝12，OF＝6+4＝10， 由（1）知∠CAE＝∠EAB＝∠AEO， ∴∠CAO＝∠CAE+∠EAB＝∠AEO+∠EAB＝∠EOF， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠C＝90°， ∵∠OEF＝90°， ∴∠C＝∠OEF＝90°， ∴△ACB∽△OEF， ∴， ∴， 解得． 21．【解答】解：（1）∵∠CDE＝90°，∠DCE＝14°，CD＝180cm， ∴DE＝CD•tan∠DCE＝180×0.25＝45（cm）， 答：DE的长度约为45cm， 故答案为：45； （2）∵∠CDE＝90°， ∴CE185.57（cm）， ∵OD＝30cm， ∴OE＝OD+DE＝75cm， ∵∠CDE＝∠OME＝90°，∠E＝∠E， ∴△OME∽△CDE， ∴， ∴， ∴OM≈72.7， 答：车轮轮胎中心O到水平地面的距离OM的长为72.7cm． 22．【解答】解：（1）抛物线y＝x2﹣ax+5（a为常数）经过点（1，0）， 将点（1，0）代入得：1﹣a+5＝0， ∴a＝6； （2）由（1）知：y＝x2﹣6x+5＝（x﹣3）2﹣4， ∴对称轴为直线 x＝3， ∵点A（0，t）在y轴上，过点A（0，t）与x轴平行的直线交抛物线于B，C两点， ∴B，C关于对称轴对称，B，C的纵坐标均为t， 又∵点B为线段AC的中点， ∴xC＝2xB， ∴， ∴xB＝2， ∴x＝2代入y＝x2﹣6x+5，得：y＝22﹣6×2+5＝﹣3， ∴t＝﹣3； （3）∵y＝x2﹣6x+5＝（x﹣3）2﹣4， ∴抛物线的顶点坐标（3，﹣4）， 当抛物线的一段y＝x2﹣ax+5（m≤x≤n）夹在两条均与x轴平行的直线l1，l2之间时， m，n为直线与抛物线的交点， ∴要使n﹣m最大，则，m，n为一条直线与抛物线的交点，x＝m和x＝n关于对称轴对称， 又∵直线l1，l2之间的距离为16，为定值， ∴当一条直线恰好经过抛物线的顶点（3，﹣4），即：y＝﹣4时，n﹣m最大，此时另一条直线的解析式为y＝16﹣4＝12，如图： ∴当x2﹣6x+5＝12时， 解得：x1＝7，x2＝﹣1， ∴n＝7，m＝﹣1， ∴n﹣m的最大值为：7﹣（﹣1）＝8． 23．【解答】（1）证明：在Rt△ABC中，CD是斜边AB的中线， ∴CD＝AD＝BD， 由平移可知CD＝DD′， ∴CD＝AD＝BD＝DD′， ∴四边形ACBD′是平行四边形， ∵∠ACB＝90°， ∴四边形ACBD′是矩形； （2）解：①在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6， 由勾股定理得：， ∵CD是斜边AB的中线， ∴CD＝AD＝BD＝5， ∴∠ABC＝∠DCB， ∴， 由平移性质得BD＝B′D′，∠ABC＝∠B′， 由旋转性质得∠M＝∠B′＝∠ABC，MN＝D′B′＝DB＝5，DM＝DB′＝BC＝6， ∴，， ∵DM⊥BC， ∴∠DEC＝∠PEM＝90°， 在Rt△CED中，， ∴EM＝DM﹣DE＝6﹣4＝2， 在Rt△PEM中，； ②点N到B′B的距离为或；理由如下： 由题意得，△CDB≌△DD′B′≌△DNM， ∴∠DCB＝∠DBC＝∠NDM＝∠D′DB′＝∠M，ND＝CD＝5，DB′＝BC＝6，MN＝BD＝5， ∴， 如图4，当DM∥B′B时，则DM和DC所在直线重合， 过点B作BH⊥CD交CD于点H，过点N作KG∥BH交CD于点K，交B′B延长线于点H， 则四边形HKGB是矩形， ∴KG＝BH， 在Rt△BCH中，， 在Rt△MNK中，， ∴， 即点N到B′B的距离为； 如图5，当DM∥B′B时，则DM和DC所在直线重合， 过点B′作B′H⊥DM交DM于点H，过点N作KN∥B′H交DM于点G，交B′B于点K， 则四边形HGKB′是矩形， ∴KG＝B′H， 在Rt△B′DH中，， ∴， 在Rt△DGN中，， ∴， 即点N到B′B的距离为； 综上所述，点N到B′B的距离为或． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $