精品解析：2026年山东省聊城市阳谷县九年级考前测试 数学试题

二○二六年初中学生学业水平模拟考试数学试题（三） 本试卷满分120分，考试用时120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、考生号和座号填写在答题卡和试卷规定的位置上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 如图，在数轴上，被遮挡住的点表示的数可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了数轴．由题意得，手掌遮住的数大于且小于0，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，手掌遮挡住的数大于且小于0， ∴四个选项中只有C选项中的数符合题意， 故选：C． 2. 中国的航天技术已达到世界先进水平，为世界科技进步贡献了中国智慧．下列中国航天图标中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形的概念，掌握中心对称图形的概念是解答本题的关键．把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据中心对称图形的概念逐项判断即可． 【详解】解：A、图案不能找到一个点，使图形绕这个点旋转后与原来的图形重合， 不是中心对称图形； B、图案不能找到一个点，使图形绕这个点旋转后与原来的图形重合， ∴不是中心对称图形； C、图案能找到一个点，使图形绕这个点旋转后与原来的图形重合， ∴是中心对称图形； D、图案不能找到一个点，使图形绕这个点旋转后与原来的图形重合， ∴不是中心对称图形． 故选：C． 3. 如图所示几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：几何体的主视图为： 即C选项符合题意． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了去括号，二次根式的减法运算，同底数幂的除法，完全平方公式，掌握这些知识是解题的关键．运用去括号法则、二次根式的减法运算法则、指数运算法则和完全平方公式．通过逐一验证每个选项的计算是否正确， 【详解】解：A、，A错误． B、和不是同类二次根式，， B错误． C、， C正确． D、， D错误． 故选C 5. 已知m，n是一元二次方程的两个根，且，则的值是（ ） A. B. C. 2 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，根据一元二次方程的根与系数的关系，可得，，然后将方程化简、代入求值即可． 【详解】解：∵m，n是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴， 解得， 经检验：是原方程的解， 故选：B． 6. 如图，四边形内接于，它的一个外角，分别连接，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠ADC，根据等腰三角形的性质、圆周角定理计算即可． 【详解】解：∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴， ∵， ∴， ∴， 由圆周角定理得，， 故选：A． 【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、等腰三角形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角是解题的关键． 7. 神舟二十号发射窗口时间恰逢第十个“中国航天日”．为激发青少年探索浩瀚宇宙的兴趣，学校组织900名师生乘车前往航空科技馆参观，计划租用45座和60座两种客车（两种客车都要租），若每名学生都有座位且每辆客车都没有空座位，则租车方案有（ ） A. 3种 B. 4种 C. 5种 D. 6种 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程的解，设租用45座客车x辆，60座客车y辆，根据题意列出方程并求解正整数解，确定符合条件的方案种数，即可． 【详解】解：设租用45座客车x辆，60座客车y辆， 由题意得：， ∴， ∵x、y均为正整数， ∴当时，； 当时，； 当时，； 当时，． ∴共4种满足条件的正整数解，对应4种租车方案． 故选B． 8. 当自变量时，下列函数y随x的增大而增大的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了函数的增减性，掌握一次函数，反比例函数以及二次函数的增减性是解题关键．根据函数的相关性质逐一判断即可． 【详解】解：A、在中，，则y随x的增大而减小，不符合题意； B、在中，，则当自变量时，y随x的增大而减小，不符合题意； C、在中，，则y随x的增大而增大，符合题意； D、在中，，则二次函数开口向下，对称轴为直线，当自变量时，y随x的增大而减小，不符合题意； 故选：C． 9. 如图，正方形和正方形的顶点A，E，O在同一直线l上，且，，点M、N分别是线段和的中点，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正方形的性质求得，，根据勾股定理求得，再根据三角形的中位线定理即可求解． 【详解】解：连接，，交直线l于点G， ∵正方形中，， ∴，， ∵正方形的边长， 在中，，， ∴， ∵点M、N分别是线段和的中点， ∴是的中位线， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，三角形的中位线定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 10. 如图，分别经过原点O和点的动直线a，b，其夹角，点M是中点，连接，则的最小值是（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】作的外接圆，连接，取的中点Q，连接，证明是等边三角形，求出，得到点M在以Q为圆心，4为半径的圆上运动，画出，当M在与的交点时，连接交于M，此时有最小值，根据等边三角形的性质及勾股定理即可求解． 【详解】解：作的外接圆，连接，取的中点Q，连接， ∵，， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴点M在以Q为圆心，4为半径的圆上运动，画出， 当M在与的交点时，连接交于M，此时有最小值， ∵是等边三角形，， ∴， ∵，， ∴． ∴的最小值是， 故选：C． 【点睛】本题考查坐标与图形，点到圆上的距离，等边三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，正确作出辅助线构造三角形外接圆是解题的关键． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 分解因式：________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式进行二次分解． 【详解】解：． 12. 在化学元素“H”“”“”“O”中，任意选择两种化学元素，恰好都是水的组成元素的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题结合化学知识（水的组成元素）考查概率计算，关键在于正确运用组合数公式计算所有可能的选取情况，并准确识别符合要求的情况，体现了跨学科知识的综合应用．要解决该问题，需先明确水的组成元素，再计算从给定的四种元素中任意选取两种的所有可能组合数，接着找出其中恰好包含水的组成元素的组合数，最后根据概率公式（概率=符合条件的组合数÷总组合数）计算概率． 【详解】解：∵从H、、、O四个元素中任意选择两种化学元素， ∴所有可能的结果有，共6种． 其中，恰好都是水的组成元素（即H和O）的结果只有这1种． 因此，所求概率为． 故答案为：． 13. 一枚圆形古钱币的正中间是一个正方形孔，它的部分尺寸（单位：）如图，这枚古钱币的半径为____________ ． 【答案】13 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，正方形的性质，勾股定理，先根据题意，则是的直径，过作，连接，再结合正方形的性质以及垂径定理得，，由勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】解：如图所示：是的直径，过作，连接， 依题意，， ∵， ∴，， ∵一枚圆形古钱币的正中间是一个正方形孔， ∴， 在中，， 即这枚古钱币的半径为， 故答案为：13 14. 若关于的分式方程无解，则_________． 【答案】或1 【解析】 【分析】本题考查了分式方程无解问题，分两种情况分别计算，①当时，该整式方程无解，②当时，由分式方程无解得到增根或，代入整式方程即可求解． 【详解】解： 两边同乘以得，， 整理得， ①当时，该整式方程无解， 此时； ②当时，要使原方程无解， 则，即或， 把代入整式方程，a的值不存在， 把代入整式方程，得，解得． 综合①②得或． 故答案为：或1． 15. 定义：有两个内角的差为的三角形叫做“反直角三角形”．如图，在中，，，点为边上一点，若为“反直角三角形”，则的长为___________． 【答案】或 【解析】 【分析】题考查了等腰三角形的判定和性质，解直角三角形的应用，相似三角形的判定和性质等知识，理解“反直角三角形”的定义，利用分类讨论的思想解决问题是关键．分情况讨论：①当时，过点作于点，由等腰三角形的性质得到，证明，得到，即可求出的长；②当时，过点作交于点，由等角对等边得到，再证明，设，进而得出，，根据求出的值，即可求出的长；③当时，利用锐角三角函数，得出，，即此种情况不存在；④当时，同③理可证，此种情况不存在；即可得解． 【详解】解：， ， ， ， ， 若为“反直角三角形”， ①当时，过点作于点， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ； ②当时，过点作交于点， ， ， ， ，， ， ， ， 设，则， ， ，， ， ， ； ③当时， ，，且， ， ， 若，则，即， 此种情况不存在； ④当时， 当点与点重合时，最小，此时， 同③理可证，此种情况不存在； 综上可知，的长为或， 故答案为：或． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 按要求完成下列各题： （1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中x满足． 【答案】（1）； （2）化简结果为，值为； 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ， ， ， 将代入，得：原式． 17. 随着科技的发展人工智能渐渐走进了人们的生活，现从甲、乙两款人工智能软件调查得分中分别随机抽取了20个用户的得分数据进行整理、描述和分析（得分用x表示），共分为四组，A：，B：，C：，D：，下面给出了部分信息． 甲款人工智能软件得分数据：64，70，75，76，78，78，85，85，85，85，86，89，90，90，94，95，98，98，99，100． 乙款人工智能软件在C组内（）的所有得分数据：85，86，87，88，88，88，90，90． 甲、乙两款人工智能软件得分统计表： 软件 平均数 中位数 众数 方差 甲 86 85.5 b 96.6 乙 86 a 88 69.8 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空： ， ， ； （2）根据以上数据，你认为哪款人工智能软件更受用户欢迎？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）若本次调查有900名用户对甲款人工智能软件进行了调查评分，有1200名用户对乙款人工智能软件进行了评分，估计其中对甲、乙两款人工智能软件非常满意（）的总用户数． 【答案】（1）86.5，85，20 （2）乙款人工智能软件更受用户欢迎， 理由如下：(本题理由不唯一，合理即可参照给分） ∵甲款和乙款的平均数相同，乙款的方差小于甲款的方差， ∴乙款人工智能软件比较稳定， ∴乙款人工智能软件更受用户欢迎. （3）估计该次调查对甲、乙两款人工智能软件非常满意（90＜x≤100）的总用户数为510名 【解析】 【分析】本题考查了数据的统计分析概念，如中位数、众数、百分比以及根据样本数据估计总体情况．熟练掌握中位数、众数、百分比以及根据样本数据估计总体情况是解题的关键． （1）根据中位数和众数的定义来计算和，根据组数据个数计算； （2）通过比较两款软件的平均数、中位数、众数等统计量来判断哪款更受欢迎； （3）先计算出样本中对两款软件非常满意的比例，再用这个比例乘以总体人数来估计总用户数． 【小问1详解】 解：：乙款抽取的名用户的得分中排第，第位的数据为：，， 所以乙款得分的中位数为：， 甲款抽取的名用户的得分中出现的次数最多，所以甲款得分的众数为：， 组人数， 所以，故， 故答案为：，，． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ∵（名）． ∴估计该次调查对甲、乙两款人工智能软件非常满意（）的总用户数为510名． 18. 如图1是“宇树科技”机器人“”在展示中国功夫时的精彩瞬间，图2是其瞬间的几何示意图，机器人的一腿直立于地面，另一腿的大腿部分与所成的角度为，小腿部分刚好平行于地面，即于点，，．已知，，．是机器人“”小腿上踢后与大腿在同一直线的瞬间．（这里的小腿，都包括脚面部分）求： （1）的度数； （2）点距离地面的高度．（结果精确到．参考数据：，，） 【答案】（1） （2）点距离地面的高度约为 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，解直角三角形，熟练掌握三角形函数的定义是解题的关键； （1）过点作，根据题意得出，进而根据平行线的性质，即可求解； （2）过点作，过点作，交于点，则四边形是矩形，在中，求得的长，即可求解． 【小问1详解】 解：如图，过点作 ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∵， ∴ ∴ 【小问2详解】 解：如图，过点作，过点作，交于点，则四边形是矩形， ∴， 在中， ∴ ∴ 答：点距离地面的高度约为． 19. 在中按以下步骤进行尺规作图． （1）①以为圆心，任意长为半径画弧，交于点，交于点； ②以点为圆心，以长为半径画弧交于点； ③以点为圆心，以长为半径画弧交前弧于点； ④作射线交于点． （2）以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点、．分别以点、为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，交于点． 请根据上述尺规作图过程， （1）证明：； （2）已知，，求的值． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查尺规作图，三角形外加和的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是关键． （1）由作图步骤得：，，根据三角形外角和定理得到，即可求解； （2）根据题意可证，得到，根据相似三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 证明：由作图步骤得：，， 是的外角， ， 是的外角，， ， ； 【小问2详解】 解：，， ， ， ， ， ，， ． 20. 随着智能化家电逐渐走进千家万户，扫地机器人凭借便捷高效的清洁优势备受青睐．小明家购买了一台扫地机器人，经过多次使用后发现，该扫地机器人在工作过程中，打扫面积y（平方米）与显示电量x（）近似满足函数（，不考虑其他耗电问题），且在满电量状态下打扫30平方米后，显示电量为． （1） ； （2）为延长扫地机器人的使用寿命，建议电量剩余时开始充电．按此建议，该扫地机器人，在满电量状态下打扫多少平方米后开始充电？ （3）已知该扫地机器人电池容量为，充电功率为，其中电量（）充电功率（W）充电时间（h）．满电量的扫地机器人先打扫了100平方米后停止工作，再充电t小时，电量显示为，求t的值． 【答案】（1）200 （2）140平方米 （3） 【解析】 【分析】（1）将已知的代入函数，通过解方程求出的值． （2）先由（1）得到完整的函数解析式，再将代入函数，求出对应的值，即为开始充电时的打扫面积． （3）先将代入函数求出此时的电量，再根据剩余电量充电电量目标电量列出方程，求解得到的值． 【小问1详解】 解：把代入， 得， 所以． 【小问2详解】 解：由（1）得， 当时，． 答：建议在满电量状态下打扫140平方米后开始充电． 【小问3详解】 解：当时，代入， 得，解得：，即此时电量为． 由题意得， 解得：． 21. 如图，在中，点D是边的中点，且，点O在边上，经过点C且与边相切于点E． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的面积． 【答案】（1）见解析 （2）30 【解析】 【分析】本题考查切线的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）等边对等角，结合三角形的内角和定理，求出，即可得证； （2）解直角三角形得到，如图所示，连接，根据切线的性质得到，设，则，由此列式得到，进而得到的长，再用三角形的面积公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：∵点D是边的中点，且， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵点O在边上， ∴为的半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：由（1）可知，， ∴在中，，， ∴， ∴， 如图所示，连接， ∵经过点且与边相切于点， ∴， ∴， 设，则， ∴， 解得，， ∴， ∵点是边的中点， ∴， ∴． 22. 在平面直角坐标系中，已知点在抛物线上． （1）求抛物线的顶点坐标； （2）点在抛物线上，若点N到y轴的距离小于4，请直接写出b的取值范围． （3）把直线向下平移个单位长度后与抛物线的两个交点都在第四象限，求n的取值范围． 【答案】（1）抛物线的顶点坐标为 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象和性质，二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键： （1）把点代入函数解析式，进行求解即可； （2）根据点N到y轴的距离小于4，得到，根据二次函数的增减性，进行求解即可； （3）由题意，得到平移后的直线的解析式为，联立两个解析式，得到，根据直线与抛物线有2个交点，得到，再根据时，直线和抛物线的两个交点恰好在对称轴上，即可得出结果． 【小问1详解】 解：把代入抛物线，得 解得． ∴． ∴抛物线的顶点坐标为． 【小问2详解】 ∵， ∴抛物线的开口向上，抛物线的对称轴为直线， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵点在抛物线上，点N到y轴的距离小于4， ∴， ∴当时，最小为，当时，最大为， ∴； 【小问3详解】 ∵直线向下平移个单位长度， ∴平移后直线解析式为． 由得，即． ∵直线与抛物线有两个交点， ∴方程有两个不相等的实数根． ∴． 解得． 又当时，， 解得， ∴直线与抛物线的两个交点为，恰好在坐标轴上， ∴的取值范围为． 23. 在四边形中，，，分别为边，上的两点，连接，相交于点，且满足． （1）如图1，如果四边形为矩形时，求证：． （2）如图2，如果四边形为平行四边形时，试问（）的结论是否依然成立？并说明理由． （3）如图3，在四边形中，，，，点M、N分别在边、上，且，求的值 ． 【答案】（1）见解析 （2）结论仍然成立，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由四边形为矩形，，可得，，结合，即可求解， （2）由已知可得，进而得到，由，可得，通过等量代换，即可求解， （3）过点 C 作 于 点H，通过证明，然后根据相似三角形的性质进行推理计算． 【小问1详解】 解：四边形为矩形，， ， ， ， ， ， ， ， ， 【小问2详解】 解：仍然成立，理由如下： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴， 【小问3详解】 解：过点 C 作 于 点H ∵， ∴ 又∵ ∴ ∴ ∵ ， ∴ ∴ ∴． 【点睛】本题考查了，矩形的性质、平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定，解题的关键是：熟练应用相似三角形的性质进行求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 二○二六年初中学生学业水平模拟考试数学试题（三） 本试卷满分120分，考试用时120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、考生号和座号填写在答题卡和试卷规定的位置上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 如图，在数轴上，被遮挡住的点表示的数可能是（ ） A. B. C. D. 2. 中国的航天技术已达到世界先进水平，为世界科技进步贡献了中国智慧．下列中国航天图标中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图所示几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知m，n是一元二次方程的两个根，且，则的值是（ ） A. B. C. 2 D. 8 6. 如图，四边形内接于，它的一个外角，分别连接，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 神舟二十号发射窗口时间恰逢第十个“中国航天日”．为激发青少年探索浩瀚宇宙的兴趣，学校组织900名师生乘车前往航空科技馆参观，计划租用45座和60座两种客车（两种客车都要租），若每名学生都有座位且每辆客车都没有空座位，则租车方案有（ ） A. 3种 B. 4种 C. 5种 D. 6种 8. 当自变量时，下列函数y随x的增大而增大的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，正方形和正方形的顶点A，E，O在同一直线l上，且，，点M、N分别是线段和的中点，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，分别经过原点O和点的动直线a，b，其夹角，点M是中点，连接，则的最小值是（ ） A. 4 B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 分解因式：________． 12. 在化学元素“H”“”“”“O”中，任意选择两种化学元素，恰好都是水的组成元素的概率是______． 13. 一枚圆形古钱币的正中间是一个正方形孔，它的部分尺寸（单位：）如图，这枚古钱币的半径为____________ ． 14. 若关于的分式方程无解，则_________． 15. 定义：有两个内角的差为的三角形叫做“反直角三角形”．如图，在中，，，点为边上一点，若为“反直角三角形”，则的长为___________． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 按要求完成下列各题： （1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中x满足． 17. 随着科技的发展人工智能渐渐走进了人们的生活，现从甲、乙两款人工智能软件调查得分中分别随机抽取了20个用户的得分数据进行整理、描述和分析（得分用x表示），共分为四组，A：，B：，C：，D：，下面给出了部分信息． 甲款人工智能软件得分数据：64，70，75，76，78，78，85，85，85，85，86，89，90，90，94，95，98，98，99，100． 乙款人工智能软件在C组内（）的所有得分数据：85，86，87，88，88，88，90，90． 甲、乙两款人工智能软件得分统计表： 软件 平均数 中位数 众数 方差 甲 86 85.5 b 96.6 乙 86 a 88 69.8 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空： ， ， ； （2）根据以上数据，你认为哪款人工智能软件更受用户欢迎？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）若本次调查有900名用户对甲款人工智能软件进行了调查评分，有1200名用户对乙款人工智能软件进行了评分，估计其中对甲、乙两款人工智能软件非常满意（）的总用户数． 18. 如图1是“宇树科技”机器人“”在展示中国功夫时的精彩瞬间，图2是其瞬间的几何示意图，机器人的一腿直立于地面，另一腿的大腿部分与所成的角度为，小腿部分刚好平行于地面，即于点，，．已知，，．是机器人“”小腿上踢后与大腿在同一直线的瞬间．（这里的小腿，都包括脚面部分）求： （1）的度数； （2）点距离地面的高度．（结果精确到．参考数据：，，） 19. 在中按以下步骤进行尺规作图． （1）①以为圆心，任意长为半径画弧，交于点，交于点； ②以点为圆心，以长为半径画弧交于点； ③以点为圆心，以长为半径画弧交前弧于点； ④作射线交于点． （2）以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点、．分别以点、为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，交于点． 请根据上述尺规作图过程， （1）证明：； （2）已知，，求的值． 20. 随着智能化家电逐渐走进千家万户，扫地机器人凭借便捷高效的清洁优势备受青睐．小明家购买了一台扫地机器人，经过多次使用后发现，该扫地机器人在工作过程中，打扫面积y（平方米）与显示电量x（）近似满足函数（，不考虑其他耗电问题），且在满电量状态下打扫30平方米后，显示电量为． （1） ； （2）为延长扫地机器人的使用寿命，建议电量剩余时开始充电．按此建议，该扫地机器人，在满电量状态下打扫多少平方米后开始充电？ （3）已知该扫地机器人电池容量为，充电功率为，其中电量（）充电功率（W）充电时间（h）．满电量的扫地机器人先打扫了100平方米后停止工作，再充电t小时，电量显示为，求t的值． 21. 如图，在中，点D是边的中点，且，点O在边上，经过点C且与边相切于点E． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的面积． 22. 在平面直角坐标系中，已知点在抛物线上． （1）求抛物线的顶点坐标； （2）点在抛物线上，若点N到y轴的距离小于4，请直接写出b的取值范围． （3）把直线向下平移个单位长度后与抛物线的两个交点都在第四象限，求n的取值范围． 23. 在四边形中，，，分别为边，上的两点，连接，相交于点，且满足． （1）如图1，如果四边形为矩形时，求证：． （2）如图2，如果四边形为平行四边形时，试问（）的结论是否依然成立？并说明理由． （3）如图3，在四边形中，，，，点M、N分别在边、上，且，求的值 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $